VYSOKÉ UENÍ TECHNICKÉ V BRN FAKULTA STAVEBNÍ ING. JIÍ KYTÝR, CSc. ING. PETR FRANTÍK, Ph.D. STATIKA I MODUL BD-MO ROZŠÍENÝ PRVODCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Statika I Vážení uživatelé tohoto uebního textu, dovolujeme si Vás požádat o malé strpení pro využívání této uební pomcky pro Vaše studium. Pi závrené kontrole byly navrženy další vylepšující úpravy, které pispjí ke zlepšení kvality uebního textu. Rovnž je potebné provést formální úpravy, a to zejména nové pe- íslování rovnic, obrázk i tabulek, aby se shodovaly s oznaením kapitol. Z asových dvod však nebylo možné úpravy dosud realizovat. Pedpokládáme, že opravy provedeme zaátkem roku 6. Posekejte proto prosím se stahováním a používáním, dokud nezmizí tento upozorující text. Dkují autoi Jií Kytýr, Petr Frantík, Brno 5 - (5) -
Obsah OBSAH Úvod...5. Cíle...5. Požadované znalosti...5. Doba potebná ke studiu...5.4 Klíová slova...5 Úvod do statiky stavebních konstrukcí...7. Prutové konstrukce...7 Výpoet petvoení prutových soustav.... Virtuální veliiny a virtuální práce..... Virtuální práce vnjších sil..... Virtuální práce vnitních sil.... Lagrangev princip virtuálních prací...5. Vty o vzájemnosti virtuálních prací...6.. Bettiho vta...6.. Maxwellovy vty...6.4 Výpoet deformací metodou jednotkových sil...7.4. Zjednodušení výpotu deformací plnostnných nosník...8.4. Verešaginovo pravidlo...8.4. Výpoet deformací píhradových soustav...9.5 Ilustrující píklad... 4 Silová metoda... 4. Stupe statické neuritosti... 4. ešení rovinného rámu...5 4.. Obecn ešený píklad...6 4.. Kanonické rovnice...7 4.. Výpoet petvárných souinitel...8 4..4 Urení vnitních sil...8 4. Ilustrující píklad...9 4.4 Deformaní zatížení... 4.4. Vliv zmny teploty... 4.4. Dané popuštní podpor rámu... 4.5 ešení spojitého nosníku...4 4.6 Využití symetrie rámu...9 5 Tabulky...4 6 Studijní prameny...49 6. Seznam použité literatury...49 6. Seznam doplkové studijní literatury...49 6. Odkazy na další studijní zdroje a prameny...49 - (5) -
Statika I - 4 (5) -
Úvod Úvod. Cíle Úkolem pedmtu Statika I je zvládnout ešení prutových konstrukcí základní metodou, a to metodou silovou. Metoda sice není prakticky vhodná pro ešení rozsáhlejších staticky neuritých prutových konstrukcí, ale je velmi pehledná a poskytuje ešení základních petvárn uritých pípad (primárního i sekundárního stavu) pro analýzu prutových konstrukcí další metodou, a to deformaní metodou, která bude obsahem pedmtu Statika II. Naším cílem bude ešení nosných staticky neuritých prutových stavebních konstrukcí a získání prbh vnitních sil i složek reakcí jako prostedek pro jejich dimenzování podle jednotlivých materiál.. Požadované znalosti Ve Statice I se navazuje zejména na znalosti získané v pedmtu Základy stavební mechaniky (ešení prbh vnitních sil) a v pedmtu Pružnost a pevnost. Studenti by mli být obeznámeni se základními operacemi z integrálního potu. Z matematického aparátu využijeme zejména goniometrické funkce, vektorový a maticový poet i ešení soustav lineárních algebraických rovnic.. Doba potebná ke studiu Modul pedstavuje rozšíený prvodce a obsahuje základní látku probíranou v prbhu tém celého semestru. Doba potebná k nastudování jednotlivých kapitol i odstavc se liší od nkolika desítek minut až po hodiny. Záleží zejména na pedchozí prprav studenta ve výše citovaných pedcházejících pedmtech, ale i na obtížnosti daného tématu. Potebná doba ke studiu iní 4 až 5 hodin..4 Klíová slova mechanika, statika, síla, reakce, interakce, rovnováha, poddajnost, tuhost, vektor, matice, modul pružnosti, momenty setrvanosti, transformace, prut, prutová soustava, nosník, rám, píhradová konstrukce - 5 (5) -
Statika I - 6 (5) -
Úvod do statiky stavebních konstrukcí Úvod do statiky stavebních konstrukcí Statika stavebních konstrukcí je nauka o výpotech stavebních konstrukcí. Každá stavební konstrukce musí bezpen penést veškeré zatížení, nesmí se pitom porušit, nesmí doznat nepípustných tvarových zmn a musí být stabilní. ást konstrukce, zajišující potebnou odolnost a tuhost stavebního díla, nazýváme nosnou konstrukcí. Nosná konstrukce sestává z ady rzných prvk. Ve statice stavebních konstrukcí se omezujeme na analýzu pouze takových konstrukcí, jejichž statický model lze vytvoit pouze z prut. Nazýváme je prutovými soustavami. V dalších úvahách budeme pedpokládat dokonale lineární pružný materiál. V Základech stavební mechaniky jsme ešili staticky urité prutové konstrukce, k jejichž analýze postaují statické podmínky rovnováhy. Obsahem statiky stavebních konstrukcí jsou pedevším výpoty staticky neuritých prutových konstrukcí. K jejich ešení už nevystaíme s podmínkami rovnováhy, ale musíme pedepsat ješt petvárné podmínky. K ešení staticky neuritých konstrukcí se používají dv základní metody, a to metoda silová (probírá se ve Statice I) a metoda deformaní (je obsahem pedmtu Statika II). Každá konstrukce se úinkem zatížení petvoí. Petvoení (deformace) se projeví posuny a pootoeními jednotlivých ástí stavebních konstrukcí. Petvoení jsou vtšinou, vzhledem k rozmrm konstrukcí, velmi malá. Obr..: Rovinný uzavený rám. Prutové konstrukce Rám je prutová soustava s monolitickým (tuhým) spojením prut. Ve statickém modelu idealizujeme jak nosné prvky, tak i jejich spojení a spolupsobení. Místo, kde se pruty spojují, nazýváme uzel (styník). Pruty bývají vtšinou v uzlu spojeny tuze, anebo mohou být také pipojeny kloubem. Tuhé spojení (obr. 6.a) zaruuje stejné pemístní (posunutí i pootoení) všech konc pipojených prut pi deformaci a penáší ohybové momenty. Kloubové spojení (obr. 6.b) zaruuje pouze stejné posunutí, pootoení konc pipojených prut jsou nezávislá a ohybové momenty jsou nulové. U rovinného rámu (obr..) leží v jedné rovin stednice všech prut, zatížení, reakce a interakce a rovnž jedna z hlavních centrálních os setrvanosti pr- ez všech prut. Rám je typickým pedstavitelem staticky neurité prutové konstrukce. Jako speciální pípad rámu se vyskytuje spojitý nosník (obr..) a píhradový nosník (obr..). - 7 (5) -
Statika I Obr. 6.: Uzel (styník) rovinného rámu Rozlišujeme rámy s pruty pímými (obr. 6. a 6.4) nebo zakivenými (obr. 6.), rámy pravoúhlé (obr. 6. a 6.5) i kosoúhlé (obr. 6.4), jednoduché (obr. 6.4), sdružené (obr. 6.) nebo patrové (obr. 6., 6.5 a 6.6), otevené (obr. 6. a 6.4) i uzavené (obr. 6.5, 6.6 a 6.7), rámy s neprbžnými pruty (obr. 6.5 a 6.6). Obr..: Spojitý plnostnný nosník Obr..: Spojitý píhradový nosník Z termín používaných u prutových konstrukcí uve me nejzákladnjší. Sloup (stojka) je svislý prut, píel (trám) je vodorovný prut. Prut mže být pímý, lomený i zakivený (oblouk). Vnjší vazby (obr. 6.) mohou být jednonásobné (kyvný prut, posuvná kloubová podpora), dvojnásobné (neposuvný kloub, posuvné vetknutí), trojnásobné (dokonalé vetknutí). Obr. 6.: Patrový rám Obr. 6.: Sdružený rám Obr. 6.4: Jednoduchý s obloukovou pílí kosoúhlý rám - 8 (5) -
Úvod do statiky stavebních konstrukcí Obr. 6.5: Patrový rám Obr. 6.6: Patrový rám Obr. 6.7: Vierendeelv s neprbžnou pílí s neprbžným sloupem rámový nosník Otázky. ím se zabývá statika stavebních konstrukcí?. Charakterizujte rovinnou prutovou soustavu.. ím se liší rám, spojitý nosník a píhradový nosník? 4. Co zajišuje monolitické a kloubové spojení prut ve styníku? 5. Funkce vnitního kloubu v prutové soustav. Shrnutí V této úvodní kapitolce jsme si vymezili obsah pedmtu a naznaili rozdlení rámových a ostatních prutových konstrukcí. - 9 (5) -
Statika I - (5) -
Výpoet petvoení prutových soustav Výpoet petvoení prutových soustav Pi vyšetování nosných stavebních konstrukcí sledujeme nejen prbhy vnitních sil a naptí, ale také deformace (petvoení). Ty je dležité posoudit jak z hlediska funknosti konstrukce, tak i z hlediska estetického, aby nedocházelo k viditelným geometrickým zmnám. V nkterých pípadech postaí urit diskrétní hodnoty složek pemístní (posuny, potoení), jindy potebujeme znát prbh ohybové áry celého prutu. Obr..: Deformace rovinné plnostnné konzoly Pro ešení petvoení staticky uritých prutových konstrukcí (obr..) se používají tyto metody: aplikace principu virtuálních prací, tzv. metoda jednotkových sil, umožující urit složky pemístní v diskrétních bodech plnostnných i píhradových nosník; metoda je pedmtem této kapitoly a její princip je použit pro ešení staticky neuritých prutových soustav silovou metodou (viz kapitola 4), Mohrova metoda pro získání diskrétních hodnot deformací, probraná v pedmtu Pružnost a pevnost, metoda integrace diferenciální rovnice ohybové áry (pop. s Clebschovou úpravou integraního postupu) pro získání funkcí ohybové áry nebo sklon teen k ohybové áe, probraná rovnž v pedmtu Pružnost a pevnost, Castiglianova metoda vycházející z minima petvárné práce, která se pi uplatnní pomocné doplkové síly ztotožní s metodou jednotkových sil. Obr..: Virtuální práce síly a momentu - (5) -
Statika I. Virtuální veliiny a virtuální práce Virtuální veliiny (oznaené symbolem δ nebo pozdji pruhem) pedstavují virtuální petvoení a virtuální zatížení, resp. virtuální práci. Virtuální petvo- ení (δs, δϕ) je velmi malé, fiktivní, myšlené, ale fyzicky možné, vyvolané virtuálním zatížením (obr..a). Nastává v souladu s vnjšími a vnitními vazbami. Virtuální zatížení (δf, δm) je fiktivní, myšlené, ale možné zatížení, neomezené velikosti (nejastji volené jednotkové), viz obr..b. Virtuální práce síly (resp. momentu) je práce virtuální síly δf (resp. virtuálního momentu δm) na skuteném posunutí s (pootoení ϕ) δ L = δf s = δfs. (.) Virtuální práce reálné síly F (resp. momentu M) na virtuálním posunutí δs (resp. pootoení δϕ) δ L = F δs = Fδs. (.) Virtuální práce má kladnou hodnotu, je-li souhlasný smysl síly a deformace. V dalším textu jsou virtuální veliiny z dvodu odlišení obecné deformace (složky pemístní) δ od symbolu virtuálních veliin δ oznaeny pruhem, tedy δ F = F, δs = s = δ, δl = L = L. Obr..: Rovinný nosník.. Virtuální práce vnjších sil Soustava vnjších virtuálních sil, tj. zatížení F i, M i, i reakcí R rx, R rz, M r (obr..), koná virtuální práci na skutených deformacích (δ i, ϕ i, u r, w r, ϕ r ) vyvolaných libovolným skuteným silovým zatížením (F, M, q, n, m) nebo deformaním zatížením (popuštním) od virtuálního zatížení L Fiδ i +M iδ, (.5) ez = i od virtuálních složek reakcí (u pružn poddajných podpor nebo u popuštní) - (5) -
Výpoet petvoení prutových soustav L ( Rrxur + Rrxwr + M rϕ r ) =Rrδ, (.6) er = r takže celková virtuální práce vnjších (externích) sil je L e = Lez + Ler = Fiδ i + M iϕi + Rrδ r. (.7) Obr..4: Petvoení prvku pímého nosníku.. Virtuální práce vnitních sil Virtuální zatížení F, M ) vyvolá v libovolném prezu x (obr..4a) virtuální ( i i vnitní síly N, V, M. Kladné složky virtuálních vnitních sil uvažujeme podle - (5) -
Statika I konvence (obr..4d), piemž pedpokládáme N = N, V = V, M = M. Kladné virtuální vnitní síly N, V, M konají zápornou virtuální práci na kladných deformacích u, w, ϕ (obr..4b) od skuteného zatížení (silového i deformaního), takže L i l = ( N u + V w+ M ϕ ). (. ) Petvoení prutového elementu dx od vlivu skuteného zatížení (vnitních sil N, V, M a zmny teploty) vyšetujeme samostatn na osové namáhání (vliv normálové síly a rovnomrné zmny teploty), píný smyk (vliv posouvající síly), ohyb (vliv ohybového momentu a rovnomrné zmny teploty). Osové namáhání Pi osovém namáhání (obr..4f, c) je celkové prodloužení od tahové osové síly N a od rovnomrného oteplení t dáno výrazem N dx dx = u = un + ut = + α t tdx, (.) EA kde A je prezová plocha prutu, E modul pružnosti v tahu a tlaku, α t souinitel tepelné roztažnosti, t je pírstek teploty pro rovnomrnou zmnu. Píný smyk U píného smyku platí pro vzájemné píné posunutí od posouvající síly V (obr..4g) w = γ dx, takže nakonec získáme vztah V dx w = κ, (.4) GA kde G je modul pružnosti ve smyku, κ koeficient vlivu nerovnomrného rozdlení smykového naptí po výšce prezu (nap. pro obdélník κ =, a pro kruh κ = 5/7), τ s je stední hodnota smykového naptí v prezu. Petvoení vlivem posouvající síly se asto u bžných prut zanedbává, nutno ho však respektovat u vysokých nosník (h >> b). Ohyb Pro vliv ohybu vyšetíme vzájemné pootoení koncových prez od ohybového momentu M = M y (obr..4h). Protože platí dx = ρ dϕ, mžeme z pomrného protažení ε x = z/ρ pi uvažování obecného vlákna ve vzdálenosti z a Hookova zákona vyjádit píslušnou složku od ohybového momentu. Pootoení koncových prez od vlivu lineární nerovnomrné zmny teploty (obr..4c) pi konvenci stanovení teplotního rozdílu t = t d t h poskytne druhou složku pootoení. Celkové vzájemné pootoení od vlivu ohybového momentu a nerovnomrné zmny teploty je pak M dx α t t dx ϕ = dϕ M + dϕt = +, (.5) EI h d - 4 (5) -
Výpoet petvoení prutových soustav kde I y = I je moment setrvanosti prezu k tžištní ose y a h výška prezu. Virtuální práci L i virtuálních vnitních sil N, V, M podle (. ) pak získáme s využitím (.), (.4) a (.5) pro pímý prut promnného prezu délky l ve tvaru L l l l l l N N VV M M i = dx + κ dx + dx + Nα t tdx + EA GA EI t Mαt h U zakiveného prutu se zamní délka l za s a dx za ds, takže mžeme napsat L s s s s s N N VV M M i = ds + κ ds + ds + Nα t tds + EA GA EI t Mαt h dx. (.6) ds. (.7) Poznamenejme, že stejnou virtuální práci konají skutené vnitní síly N, V, M od skuteného zatížení na virtuálních petvoeních u, w, ϕ od virtuálního zatížení.. Lagrange v princip virtuálních prací Lagrangev princip je formulován pro virtuální pemístní (posuny). Je jedním ze základních zákon mechaniky (vyplývají z nho statické podmínky rovnováhy obecné prostorové soustavy sil). Pro tuhé tleso ho formuloval J. L. Lagrange (76 8) takto: Virtuální práce rovnovážné soustavy sil p sobící na tuhé tleso je pi libovolném virtuálním pemístní tlesa rovna nule (L = ). V 9. století byl tento princip rozšíen i na pružná tlesa: Pi libovolném virtuálním petvoení pružného tlesa, nacházejícího se v rovnovážném stavu, je souet virtuálních prací všech vnjších a vnitních sil, psobících na tleso, roven nule. Platí tedy neboli L L e + L =, (.8) = i Le = L i. (.9) Po dosazení (.7) a (.7) do (.9) obdržíme po úprav = Fδ + i i M ϕ = i i s s s s s N N VV M M ds + ds ds N t tds EA κ + GA + α EI + t Mαt ds R δ r, r h (.) - 5 (5) -
Statika I. Vty o vzájemnosti virtuálních prací.. Bettiho vta Virtuální práce jedné soustavy vnjších sil F,, F i,, F n (obr..5), pracujících na posunutích δ,, δ i,, δ n, vyvolaných druhou soustavou vnjších sil F I,, F k,, F m, je rovna virtuální práci druhé soustavy sil, psobících na posunutích δ I,, δ k,, δ m, vyvolaných první soustavou sil, tedy n i= m Fδ = F δ. (.) i i k= k k Obr..5: K Bettiho vt Pro virtuální práci moment pak analogicky platí n i= n M ϕ = M ϕ. (.) i i i= k k Podobné vztahy lze rovnž napsat pro spojité zatížení píné q, osové n i momentové m... Maxwellovy vty Maxwellovy vty pedstavují zvláštní pípady Bettiho vty. První Maxwellova vta se týká vzájemnosti posunutí. Uvažujme podle obr..5 v rovnici (.) jako první soustavu F i = a druhou soustavu F k =. Pak pro vzájemná posunutí dvou libovolných prez i, k platí δ ik = δ ki. (.) Druhá Maxwellova vta pojednává o vzájemnosti pootoení. Jako první soustava se uvažuje M i = a druhá soustava M k =. Pro vzájemná pootoení dvou libovolných prez i, k platí ϕ ik = ϕ ki, takže pi obecném oznaení deformace symbolem δ získáme vztah (.). Tetí Maxwellova vta se týká vzájemnosti posunutí a pootoení. Jako první soustava se uvažuje F i = a druhá soustava M k =. Pro vzájemný vztah mezi posunutím a pootoením dvou libovolných prez i, k podle Bettiho vty platí δ ik = ϕ ki, což pedstavuje íselnou rovnost mezi posunutím δ ik prezu i od M k = v prezu k a pootoením ϕ ki prezu k od F i = v prezu i. Pi obecném oznaení deformace symbolem δ opt získáme vztah (.). Ze vztahu (.) vyplývá symetrie matice poddajnosti v silové metod. - 6 (5) -
Výpoet petvoení prutových soustav Obr..9: Výpoet posunutí a pootoení prezu rovinného plnostnného nosníku.4 Výpoet deformací metodou jednotkových sil Touto metodou lze vypoítat diskrétní hodnotu deformace, tj. v rovin posunutí u, w a pootoení ϕ daného prezu nosníku (obr..9). Je nutné uvažovat dva zatžovací stavy, a to stav skutený (zpsobující petvoení nosníku) se zatížením silovým (F, M, q, n, m) resp. deformaním (popuštní podpor i teplota) podle obr..9a a stav virtuální s jednotkovou silou F m = (obr..9b) psobící ve smru hledaného posunutí δ m nebo s jednotkovým momentem M m = (obr..9c) psobícím ve smru hledaného pootoení ϕ m (obecn rovnž oznaeného δ m ). Z rovnice (.) pak po rozepsání posledního lenu podle výrazu (.6) získáme Maxwell v Mohr v vztah δ m = r s ( R N N ds + EA rx u r + R s rz VV κ ds + GA r s w + M r ϕ ), r M M ds + EI s Nα t ds + t s t Mαt h ds kde δ m je hledané posunutí u m, w m (resp. pootoení ϕ m ), N, V, M jsou vnitní síly od skuteného zatížení, u r, w r, ϕ r jsou dané složky popuštní podporového prezu r, N, V, M jsou virtuální vnitní síly od virtuálního zatížení F m = (resp. M m = ) psobícího v prezu m, R rx, R rz, M r jsou virtuální složky reakcí podporového prezu r, vyvolané virtuálním zatížením F m = (resp. M m = ) psobícím v prezu m, A je prezová plocha prutu, I je moment setrvanosti (.6) - 7 (5) -
Statika I prezu, h je jeho výška, E pedstavuje modul pružnosti v tahu a tlaku, G je modul pružnosti ve smyku, t je rovnomrné oteplení prezu, t teplotní rozdíl dolních a horních vláken prezu, α t souinitel tepelné roztažnosti a κ je koeficient vlivu nerovnomrného rozdlení smykového naptí..4. Zjednodušení výpotu deformací plnostnných nosník Maxwellv Mohrv vztah (.6) zahrnuje vliv všech tí složek výslednice vnitních sil rovinného prutu od silového zatížení i obou typ deformaního zatížení (rovnomrné a nerovnomrné zmny teploty a nepružného popuštní podpor). Ke zjednodušení lze pihlédnout v pípad, je-li rovinná prutová soustava bez vlivu deformaního zatížení namáhaná pevážn na ohyb (nosníky, rámy), takže mžeme zanedbat virtuální práce od normálových a posouvajících sil N, V. Pak z rovnice (.6) zstane pouze s M M δ m = ds. (.8) EI Je-li navíc rovinná prutová soustava složená pouze z pímých prizmatických prut s rznými prezovými charakteristikami (momentem setrvanosti I j ), pak vztah (.8) pejde na tvar p j δ m = M Mdx j. E I (.4) j= j l j Výpoet uritého integrálu v (.4) ze souinu dvou funkcí M(x) od skuteného silového zatížení (F, M, q, n, m) a M (x) od virtuálního zatížení F m = (resp. M m = ) lze provést tmito zpsoby: analyticky integrací z definovaných funkcí M(x), M (x), piemž obecn lze uvažovat i ohybovou tuhost jako funkci EI(x), numerickou integrací (nap. aplikací Simpsonovo pravidlo) pro pruty rovnž s promnnou ohybovou tuhostí (EI konst.), užitím tabulky 4. pro pruty konstantního prezu (EI = konst.), aplikací Verešaginova pravidla pro EI = konst. Obr..: Verešaginovo pravidlo.4. Verešaginovo pravidlo Je-li funkce M(x) libovolná spojitá hladká funkce a M (x) lineární funkce (od F =, M = ) podle obr.., pak platí - 8 (5) -
Výpoet petvoení prutových soustav s t M Mds = AM M. (.4) Slovn to mžeme vyjádit: Hodnota integrálu je rovna souinu obsahu momentového obrazce od libovolné funkce a poadnice u lineární funkce v míst tžišt obrazce s libovolnou funkcí. Verešaginovo pravidlo lze aplikovat i pro jiné funkce splující výše uvedené pedpoklady, nap. pro funkce normálových i posouvajících sil. Plošné obsahy obrazc najdeme nap. v tabulce. druhého modulu Základ stavební mechaniky (BD MO). Složitjší obrazce (obr..) rozkládáme na jednodušší obrazce a aplikujeme princip superpozice, takže hodnota integrálu je s M Mds = M M ds + M M ds + M M ds + M M ds. (.45) s s Pro každý integrál na pravé stran rovnice (.45) mžeme aplikovat výpoet pomocí Verešaginova pravidla (.4). s s Obr..: Složitjší tvary momentových obrazc.4. Výpoet deformací píhradových soustav Zvláštností píhradových soustav (obr..) je, že u nich vyšetujeme jen složky posunutí u, w styník a v prutech vznikají pouze normálové síly N. Potom z Maxwellova-Mohrova vztahu (.6) zstane (pi uvažování i deformaního zatížení) jen první a tvrtý integrál a suma. Vzhledem ke konstantním funkcím normálových sil po prutech pro složku posunutí styníku δ m (ve smru x, z) platí δ = m s N N EA d s + s Nα t t ds r R δ = r r p j= N j N jl EA j j + p j= N α t l j t j j r R δ r r (.7) kde pro j =,,, p je N j osová síla prutu j od skuteného zatížení, δ r dané popuštní podpory, N j osová síla prutu j od virtuální síly F m =, R r reakce vnjší vazby od F m =, l j délka prutu j, A j prezová plocha prutu j, t j rovnomrná zmna teploty prutu j a popuštní δ r se týká vodorovného a svislého posunu. Výsledné posunutí styníku (obr..d) se urí z pravoúhlých složek. - 9 (5) -
Statika I Obr..: Petvoení rovinného píhradového nosníku.5 Ilustrující píklad Jako ukázku aplikace principu virtuálních prací pro ešení petvoení plnostnných nosník a soustav si uvedeme pípad lomené konzoly. Píklad. Zadání Stanovte výsledné posunutí δ c a pootoení ϕ c prezu c lomeného konzolového nosníku (obr..6) s pruty konstantního obdélníkového prezu,, m o délkách l = m, l = m. Zatížení má intenzitu q = knm, modul pružnosti má hodnotu E =,5 GPa. ešení Smr posunutí δ c prezu c nosníku je neznámý, takže neznáme smr uplatnní jednotkové virtuální síly. Proto vyjdeme z výpotu dvou pravoúhlých složek posunutí δ c,v a δ c,h. Pi ešení zanedbáme vliv normálových a posouvajících sil. Postaí tedy vykreslit prbhy ohybových moment, a to od zadaného spojitého rovnomrného zatížení podle obr..6a v prbzích v obr..6b a dále samostatn ti prbhy od jednotkových sil (svislé a vodorovné) a jednotkového momentu (obr..6c e). Vzhledem k jednoduchým prbhm sestavíme nejprve výraz pro výpoet deformace pomocí obecn oznaených veliin a následn ho vyíslíme - (5) -
Výpoet petvoení prutových soustav (pitom použijeme moment setrvanosti urený ze zadaných rozmr prezu hodnotou I = 4,5 4 m 4 ). K ešení použijeme vztahy z tabulky 4. a Vereš- aginovo pravidlo. Svislé posunutí δ c,v pr ezu c Obr..6: Lomený konzolový nosník Použijeme momentové obrazce M (obr..6b) a obrazce M (obr..6c). Pak ql ql ql δ c, v = ( l) l ( l) l = ( l + 4l ). EI 4 + 8EI ( + 4 ) δ c, v = =,957m( ), 6 4 8,5 4,5 Vodorovné posunutí δ c,h pr ezu c S pihlédnutím k momentovým obrazcm M (obr..6b) a obrazcm M (obr..6d) dostaneme ql δ c, h = ( l) l = EI ql l. 4EI δ c, h = =,65m( ), 6 4 4,5 4,5 Výsledné posunutí δ c pr ezu c obdržíme vektorovým soutem složek o velikosti δ c,v a δ c,h (obr..6f). Výsledné posunutí δ c pak má velikost δ = δ δ c c h + c v a smr α c, pro njž platí vztahy - (5) -
Statika I íseln je δc h δc v cosαc =, sinαc =. δ δ c c ' δ =,65 +,957 =,8m, α = 57 6. c c Pootoení ϕ c pr ezu c Využijeme momentové obrazce M (obr..6b) a obrazce M (obr..6e), takže ql ql ql ϕ ( l) l ( l) l ( l l ) c = = + +, EI 6EI Otázky ( + ) ϕ c = 6 6,5 4,5 4 = 5,4 rad, ϕ = c ' '' 74 (po smru).. Vysvtlete pojem virtuálního petvoení, zatížení a virtuální práce.. Jak se urí virtuální práce vnjších a vnitních sil pímého prutu?. Princip virtuálních prací. 4. Bettiho vta o vzájemnosti virtuálních prací. 5. Maxwellovy vty. 6. Maxwellv Mohrv vztah pro výpoet petvoení prutové konstrukce. 7. Jak se urí posunutí i pootoení prezu plnostnného nosníku? 8. Verešaginovo pravidlo. 9. Jak se urí posunutí styníku rovinného píhradového nosníku? Shrnutí Nauili jsme se urovat složky pemístní (posunutí a pootoení) v diskrétních bodech plnostnných i píhradových nosník metodou jednotkových sil, tj. aplikací principu virtuálních prací. Proto jsme si vysvtlili základní pojmy o virtuální práci a odvodili ji pro pímý rovinný prut. Pomocí Lagrangeova principu virtuálních prací jsme získali Maxwellv Mohrv vztah pro výpoet deformací metodou jednotkových sil. Uvedli jsme si zjednodušení pro plnostnné i píhradové nosníky a pomcku pro vyíslení integrálu Verešaginovo pravidlo. Získané znalosti jsme použili pi ešení numerického píkladu. - (5) -
Silová metoda 4 Silová metoda Silová metoda je jedna ze dvou základních metod pro ešení staticky neuritých prutových konstrukcí. U této metody se za neznámé volí silové veliiny (reakce, složky výslednice vnitních sil), proto se metoda oznauje jako pímá. Poet neznámých veliin a souasn poet ešených rovnic uruje stupe statické neuritosti. Vedle statických podmínek rovnováhy se navíc sestavují petvárné (deformaní) podmínky. Jako základní soustava se volí prutová soustava staticky uritá po odstranní pebytených vazeb i interakcí. Silová metoda je vhodná pro ešení jednoduchých prutových soustav (s nízkým stupnm statické neuritosti), není nevhodná k algoritmizaci, ale je nezbytná k ešení prut základní petvárn urité soustavy u deformaní metody. Postup výpotu prutové soustavy silovou metodou je takový, že na základní soustav sestavíme deformaní podmínky, ímž získáme soustavu lineárních algebraických rovnic. Jejich ešením obdržíme staticky neurité veliiny a uplatnním tí statických podmínek rovnováhy (v rovin) vyešíme zbývající složky reakcí. Pi všech známých složkách reakcí bžným postupem jako u staticky urité prutové soustavy uríme prbhy vnitních sil N, V, M. Na poátku ešení musely být pedem zvolené (odhadnuté) rozmry prez všech prut. Pi dimenzování prut na konkrétní prbhy vnitních sil se ukáže, zda byly voleny vhodn. V opaném pípad se musí provést úprava prezových ploch a provést opravný výpoet. Obr..4: Staticky uritý, peuritý a neuritý lomený nosník 4. Stupe statické neuritosti Rovinná prutová soustava (obr..4) uvolnná z podporových vazeb tvoí spolen s daným zatížením a jím vyvolanými složkami reakcí podporových vazeb rovnovážnou rovinnou soustavu sil. V rovin však mžeme sestavit pouze ti statické podmínky rovnováhy. Je-li složek reakcí více, nestaí podmínky rovnováhy k jejich urení. Oznaíme-li a poet jednoduchých vnjších vazeb (event. pevedených na jednoduché), je otevená rovinná prutová soustava zevn staticky (a kinematicky) uritá, když a =, staticky neuritá (a kinematicky peuritá), když a > a staticky peuritá (a kinematicky neuritá, tj. pohyblivý mechanismus), je-li a <. - (5) -
Statika I Obr..5: Vnitní kluby Statickou neuritost snižují vložené vnitní klouby (obr..5). Jednoduchý vnitní kloub spojující dva pruty pidává jednu statickou podmínku M k =. Vnitní kloub spojující navzájem n prut pak pidává n statických podmínek a nahrazuje n jednoduchých kloub. Obr..6: Jednoduchý uzavený rám Každá uzavená ást prutové soustavy (obr..6) pedstavuje v rovin ti neznámé složky výslednice vnitních sil N, V, M. Rozíznutím uzavené ásti a nahrazením temi interakcemi v obou ezem rozdlených ástech se objeví další neznámé silové veliiny. Stupe statické neuritosti rovinné prutové soustavy je tedy roven potu pebytených staticky neuritých veliin soustavy (podporové reakce, složky N, V, M v libovolném prezu). Uríme ho ze vztahu n s = (a ) + u p k, (.5) kde a je poet složek reakcí vnjších vazeb, u poet uzavených ástí, p k poet jednoduchých vnitních kloub. Výraz a pedstavuje zevní statickou neur- itost a výraz u p k vnitní statickou neuritost. Odstranním všech pebytených veliin se vytvoí základní staticky uritá soustava. Obr..7: Staticky uritá, peuritá a neuritá kloubová prutová soustava - 4 (5) -
Silová metoda Píhradová soustava (kloubová prutová soustava), nap. podle obr..7, je jako celek staticky (a kinematicky) uritá, když platí b = p + a (viz vztah (.) modulu BD-MO4) a souasn nenastane výjimkový pípad a je D. Píhradová soustava je staticky (a kinematicky peuritá) neuritá, platí-li b < p + a a staticky (a kinematicky neuritá) peuritá, je-li b > p + a. Stupe statické neuritosti píhradové soustavy tedy uríme ze vztahu n s = p + a b, (.) kde p je poet vnitních prut, a poet složek reakcí vnjších vazeb, b poet styník, a pedstavuje zevní statickou neuritost a p + b vnitní statickou neuritost. Posouzení podle vztahu (.5) je rovnž možné, ale ponkud nepraktické. Ve všech pípadech rovinných prutových soustav však vždy musí platit a. 4. ešení rovinného rámu Stupe statické neuritosti n s prutové soustavy stanovíme podle vztahu (.5). Zvolíme základní staticky (a kinematicky) uritou soustavu, tj. odstraníme n s vhodn zvolených jednoduchých vazeb. Pitom nesmí nastat výjimkový pípad podepení (musí tedy být D ). Každou odebranou jednoduchou vazbu nahradíme odpovídající složkou reakce i interakce (X i pro i =,,, n s ) s neznámou velikostí a libovoln zvoleným smyslem, které pedstavují staticky neurité veliiny. Základní staticky uritou soustavu lze vytvoit mnoha zpsoby. Její tvar závisí na volb pebytených jednoduchých vazeb. Volíme ji vždy s ohledem na usnadnní výpotu. Základní soustava je zatížena daným zatížením a staticky neuritými veliinami X i. Pitom deformace musí být shodná s deformací pvodní staticky neurité konstrukce. V míst odebrané jednoduché vazby pedepíšeme deformaní (petvárné) podmínky v obecném tvaru δ i = d i (i =,,, n s ), (.6) kde d i jsou pedepsané hodnoty deformací (u nepoddajného podepení d i = ). Obr..8: Jednoduchý staticky neuritý rovinný rám Nap. u soustavy z obr..8 s n s = lze jako základní soustavu (s rznými deformaními podmínkami) volit lomenou konzolu (obr..8b), lomený prostý - 5 (5) -
Statika I nosník (obr..8c), trojkloubový lomený nosník (obr..8d), složenou nosníkovou soustavu nebo po rozíznutí dv lomené konzoly (obr..8e). Pitom nesmíme volit základní soustavu tak, aby vzniknul virtuální kloub nebo aby ti klouby ležely v jedné pímce. Každou deformaci δ i základní soustavy ve vztahu (.6) vyjádíme jako funkci daného zatížení a jednotlivých staticky neuritých veliin X i (s využitím principu superpozice). Dílí vyšetované stavy pak jsou nultý stav s psobícím daným zatížením a každý i tý stav s psobící jedinou píslušnou staticky neur- itou veliinou X i = (s využitím principu úmrnosti) pro i =,,, n s. Obr. 6.8: Metoda jednotkových sil u jednoduchého rovinného rámu 4.. Obecn ešený píklad Princip ešení rámu silovou metodou si ukážeme obecn na pípadu jednoduchého oteveného rámu oboustrann vetknutého (obr. 6.8a). Podle vztahu (.5) uríme n s =. Základní soustavu zvolíme jako prostý lomený nosník (obr. 6.8b) s neznámými X = M a, X = M b, X = R bx. Na základní soustav vyšetíme celkem n s + = 4 zatžovací stavy, a to nultý stav od daného zatížení (síly F), viz obr. 6.8c, - 6 (5) -
Silová metoda jednotkové stavy až pro neznámé jednotkové síly X =, X = a X = (obr. 6.8d-f). Pro každý z tchto zatžovacích stav vyšetíme prbhy ohybových moment M i (i =,,, ), nebo vliv normálových a posouvajících sil zanedbáme. Petvárné (deformaní) podmínky pedepíšeme tak, aby deformace základní soustavy (s psobícím zadaným zatížením a neznámými silami X i ) byla stejná jako pvodní staticky neuritá soustava, tedy ϕ = δ =, a ϕ = δ =, u b b = δ =. (6.) Aplikací principu superpozice a principu úmrnosti mžeme petvárné podmínky rozepsat do soustavy petvárných rovnic δ X δ δ,,, X X + δ X + δ + δ,,, X + δ X, + δ,, X X + δ X 4.. Kanonické rovnice + δ, + δ + δ,, =, =, =, (6.) Rovnice (6.) pedstavují kanonické rovnice (kánon je zákon, pravidlo), které nezávisí na tvaru prutové soustavy. Fyzikální význam petvárných souinitel δ i,k (vzhledem k platnosti tetí Maxwellovy vty) se pi numerickém ešení potlauje. V úsporném tvaru pak mžeme kanonické rovnice obecn zapsat n s k = δ X + δ = ( i =,, n ). (6.) i, k k i, s kde δ i,k je deformaní souinitel vyjadující pootoení nebo posunutí pr ezu i základní soustavy ve smru veliiny X i od k tého jednotkového stavu X k =, δ i, je deformaní souinitel vyjadující pootoení nebo posunutí pr ezu i základní soustavy ve smru veliiny X i od nultého zatžovacího stavu. Index i pedstavuje íslo deformace (místo sledované deformace) a je totožné s íslem neznámé veliiny X i, index k, resp. uruje íslo zatžovacího stavu, v nmž deformace vznikla. Souinitele δ i,i se nazývjí hlavní deformaní souinitele (nebo leží na hlavní diagonále) a souinitele δ i,k jsou vedlejší deformaní sou- initele (leží na vedlejších diagonálách). Podle Maxwellovy vty platí δ i,k = δ k,i (pro i k). (6.4) V maticové form mžeme kanonické rovnice zapsat δ X δ = (6.5) + bez vlivu deformaního zatížení typu popuštní, nebo ve tvaru δ X + δ = d, (6.6) kde je matice deformaních souinitel - 7 (5) -
Statika I δ,, δ,,..., δ, n s δ,, δ,,..., δ, ns δ =,... (6.7) δ s,, δ s,,..., δ s, n s vektor staticky neuritých veliin T { X X..., }, X =,, X ns (6.8) vektor zatžovacích len T { δ δ,..., }, δ = (6.9),,, δ ns, event. vektor daných deformací v místech odebraných vazeb (nehomogenní okrajové podmínky) T { d d..., }. d =,, d ns (6.) 4.. Výpoet petvárných souinitel Pro urení petvárných souinitel δ i,k a δ i, využijeme aplikaci principu virtuálních prací podle kapitoly. Pi uvažování vlivu ohybových moment, normálových i posouvajících sil získáme z Maxwellova Mohrova vztahu (.6) výrazy M im NiN VV i δ i, = ds + ds ds, EI + EA κ (6.) GA L L L M im k NiNk VV i k δ i, k = ds + ds ds, EI + EA κ (6.) GA L L L kde k výpotu integrál mžeme využít tabulku 4. nebo Verešaginovo pravidlo (odst..4.). Vliv normálových a posouvajících sil se u pímých prut velmi asto zanedbává. Pro urení správného znaménka petvárného souinitele z ohybových moment je výhodné obrazce ohybových moment opatit znaménky podle zvolených vláken (viz obr. 6.8). Kreslíme-li dsledn poadnice ohybových moment na stranu skuten tažených vláken, pak platí, že jsou-li obrazce na stejné (opané) stran, je petvárný souinitel kladný (záporný). 4..4 Urení vnitních sil Urují se zbývající statické veliiny každého prutu vyjmutého z rámové soustavy. Výpoet vnitních sil v prezu x provedeme na základní soustav bu podle zásad statiky, piemž na základní soustav psobí dané silové zatížení a již známé síly X i, nebo pomocí superpoziních vztah M x = M x, + M x, X + M x, X + + M x,ns X ns, (6.4) R a = R a, + R a, X + R a, X + + R a,ns X ns, (6.5) - 8 (5) -
Silová metoda pi uvažování vlivu V, N pro výpoet petvárných souinitel lze též V x = V x, + V x, X + V x, X + + V x,ns X ns, N x = N x, + N x, X + N x, X + + N x,ns X ns. Pro výpoet posouvajících sil na prutech je výhodné použít vztah V M M l b a = V + V = V +, (5.) x x, x x, ab kde V x, je posouvající síla v prezu x prostého nosníku od daného silového zatížení, V je pírstek posouvající síly od koncových moment (je konstantní pro celý prut). Nejastji se urují v koncových prezech a nebo b. Pro mezipodporové momenty platí M M x + M x l a b = M + M = M + x x, x x,, (5.4) kde M x, je ohybový moment v prezu x prostého nosníku od daného silového zatížení, M x je pírstek ohybového momentu v prezu x od podporových moment. Normálové síly v prutech se urí z podmínek rovnováhy neznámých normálových sil a známých posouvajících sil (vetn daného silového uzlového zatížení)na uvolnných uzlech. Kontrolu rovnováhy je nutno provést jednak u jednotlivých uvolnných uzl, nevyužitých pro výpoet normálových sil, jednak pro celou rámové soustavy (uplatní se ti globální statické podmínky rovnováhy). ab 4. Ilustrující píklad Jako ukázku aplikace ešení rovinného rámu silovou metodou si uvedeme pípad lomené konzoly. Píklad 4. Zadání Vyešte daný jednoduchý otevený rovinný rám z obr. 6.8a s pruty konstantního prezu o délkách l =v = 6 m, l =v = 4 m, l = l = 8 m, momentech setrvanosti I =,5 m 4, I =,4 m 4, I =,6 m 4, modulu pružnosti E = 7 GPa pro zatížení osamlým bemenem F = 8 kn ve vzdálenosti p = 6 m. ešení Podle vztahu (.5) uríme n s =. Základní soustavu zvolíme jako prostý lomený nosník (obr. 6.8b) s neznámými X = M a, X = M b, X = R bx. Deformaní podmínky mají tvar (6.) a z nich plynou petvárné rovnice (6.). Zanedbáme-li vliv normálových a posouvajících sil na deformaci základní soustavy, mžeme petvárné souinitele urit podle vztahu (6.). Momentové - 9 (5) -
Statika I obrazce nultého i jednotkových stav jsou nakresleny na obr. 6.8c f. Vyíslení souinitel δ i,k vetn rozmrových jednotek je: δ δ δ,,, = δ δ δ δ,,, = EI = EI = EI, =,65 v = EI v = EI v = EI v + EI l = 6 v v l + EI l + EI 6EI v + EI 4 ( kn) = 5,5 ( v l + EI l, + v l EI ( v 5 v = EI = δ l v ( knm) ) = δ + v v,, = 8,, l + EI v =,89 6 = 6,9 ( knm) v = EI 4 + v ) =,98 Vyíslení souinitel δ i, vetn rozmrových jednotek je: δ δ,, Fpp' = ( l + p') =,5 6EI l Fpp' = 6EI l Fpp' 6EI l ( kn),, ( kn) 5 l 6EI m. ( knm) (v 4 [ l], δ = ( l + p) =,78 [ l], [ v ( l + p') + v ( l + p) ] =,4 m. Pro numerický výpoet byly zavedeny pomrné deformace δ i, = Eδ i, o velikostech δ ' δ ' δ ' δ ' δ ',,,,, =,knm, δ ' 4, = 4,667kNm, δ ' = 8,667kNm, δ = Eδ i, k i,k a 6 8 6 8 = Eδ = E,664, + = + = m E,5 E,6 5 6 8 = Eδ = =,m,, 6 6 6 8 = Eδ = ( 6 + 4) = 7,56m,, 5 6 6 =,4444m, δ ' = 5,m, δ ' = 5, m, Soustava petvárných rovnic má tvar a ešení,644 X,X 7,56 X +,X +,444 X 5, X,, 7,56 X 5, X + 5,5X =,, = 4,667, X = M =,945kNm (po smm), a, = 8,667,., + v ) = - (5) -
Silová metoda X = M =,4kNm (proti smm), b X bx = R =,55 kn ( ). Obr. 6.9: Prbhy M, V, N na jednoduchém rámu Výpoet zbývajících statických veliin provedeme na základní soustav. Složky reakcí ze superpoziních vztah R R R ax az bz = +,945 +,4 +,55 =,55 kn( ), 8 = 8 8 6 = + 8 + 8 6 4,945 +,4 +,55 =,97kN ( ), 8 8 8 6 4,945 +,4 +,55 = 6,9kN( ); 8 8 nebo mžeme využít statických podmínek rovnováhy F ix =, M ib =, M ia =. - (5) -
Statika I Pitom platí kontrola F iz = : R R + F =. Ohybové momenty ze superpoziních vztah M M M ac ca dc = M a az =,945kNm, bz M bd = M =,4kNm, = +,945 +,4 + ( 6),55 =,985kNm = M = +,945 +,4 + ( 4),55 = 4,7kNm = M b 8 6 M e = M max = +,5,945 +,75,4 + 4,55 = 7,84kNm, 8 4 posouvající síly V V V V V ac ce ce ed bd = V = V = V ec = V = V ca ce, de db a normálové síly N N N ac cd bd = N = N = N = R = R az =,55 kn, =,97kN, M dc M cd 8 ( 4,7) (,985) + = + =,97kN, l 8 8 =,97 8 = 6,9kN = R, = R ca dc db bx ax = R = R = R =,55 kn. az ax bz =,97kN ( tlak), =,55 kn( tlak), = 6,9kN( tlak). Prbhy vnitních sil jsou vyneseny na obr. 6.9. bz cd db,, 4.4 Deformaní zatížení 4.4. Vliv zmny teploty Zmna teploty tvoí samostatný zatžovací stav, piemž δ i,k jsou stejné jako u silového zatížení (obvykle pouze s vlivem M) a δ i, je nutno urit pro píslušný nultý stav. Teplotní úinek lze rozlenit na rovnomrnou zmnu teploty ( t ), zpsobující prodloužení i zkrácení prutu, a na nerovnomrnou zmnu teploty ( t ) lineárn se mnící po výšce prezu, zpsobující ohyb. Pro obdélníkový pr ez platí t = ( t d + t h ) /, t = t d t h. (6.) Podle Maxwellova Mohrova vztahu (.6) platí obecn a pi t = konst., t /h = konst. je (6.) (6.) - (5) -
Silová metoda Pro i tý jednotkový stav nutno urit M i a rovnž N i. Zvláštní pípad nastane, jedná-li se o vliv RZT pi t = konst. a uspoádání vnjších vazeb nebrání tepelné deformaci (obr. 6.). Pak toto zatížení nevyvolá R a N, V, M. Obr. 6.: Rovnomrné oteplení oteveného (a) a uzaveného (b) rovinného rámu 4.4. Dané popuštní podpor rámu tvoí samostatný zatžovací stav δ i,k stejné jako u silového zatížení δ i, nutno urit pro píslušný nultý stav podle zvolené základní soustavy se vliv popuštní projeví u odebraných jednonásobných vazeb: hodnota popuštní d i (i té vazby s neznámou staticky neuritou veliinou X i ) se objeví na pravé stran petvárné rovnice (znaménka podle smysl d i a X i ); deformace v míst pvodního podepení není nulová, ale je rovna danému popuštní (nehomogenní okrajová podmínka) u ponechaných jednonásobných vazeb: vliv popuštní δ r (konkrétn u r, w r, ϕ r ) se projeví jako nultý zatžovací stav; absolutní petvárné souinitele δ i,,p uríme podle Maxwellova Mohrova vztahu (i =,,, n s ), (6.) kde R r,i jsou složky reakcí v ponechaných vazbách r základní soustavy v i tém stavu, δ r je hodnota daného popuštní vazby r ve smru reakce R r,i (znaménko podle smyslu reakce), p v je poet ponechaných vazeb základní soustavy (obvykle ). Petvárné rovnice (pro ob varianty zadávání daného popuštní) po úprav (6.4) (6.5) - (5) -
Statika I 4.5 ešení spojitého nosníku Spojitý plnostnný nosník je pímý nosník uložený na více než dvou podporách (alespo jedna je pevná = vetknutí nebo neposuvný kloub, ostatní posuvné) neuvažují se vložené vnitní klouby nad vnitními podporami probíhá spojit (nejsou tam vnitní klouby). Pole je ást spojitého nosníku mezi sousedními podporami, rozptí je délka pole, prez spojitého nosníku mže být konstantní po celé délce, konstantní v jednotlivých polích nebo jde o prut s nábhy u podpor. Stupe statické neuritosti se stanoví podle vztahu n s = a (5.), takže jednoduše platí pro spojitý nosník s pevným kloubem n s = poet vnitních podpor s vetknutím n s = poet všech jednoduchých podpor Metoda tímomentových rovnic je metoda silová za neznámé se volí podporové momenty M i (i =,,, n s ) ve vetknutí a nad vnitními podporami. Základní soustava je soustava prostých nosník (v potu polí) - nejvýhodnjší. Obr. 5.: Spojitý nosník o tech polích - 4 (5) -
Silová metoda Obr. 5.: Základní staticky uritá soustava spojitého nosníku Obr. 4.h-i: Oboustrann vetknutý nosník s osovým zatížením Deformaní podmínka - 5 (5) -
Statika I u vnitní podpory (nap. b) nesmí nastat zlom (je stejný sklon teen k ohybové áe spojitého nosníku zleva i zprava) [konvence: kladné pootoení smrem dol] Φ ba = Φ bc, (5.) ve vetknutí nenastane pootoení Φ ab =. (4.a) Sklony teen k ohybové áe u vnitní podpory b rozepíšeme Φ ba = M a β ba + M b α ba + ϕ ba, (5.) Φ bc = M b α bc + M c β bc + ϕ bc. (5.4) Z podmínky spojitosti Φ ba = Φ bc získáme pro dv sousední pole tímomentovou rovnici (Clapeyronovu r., 857) pro podporu b s vlivem silového zatížení M a β ba + M b (α ba + α bc ) + M c β bc + ϕ ba + ϕ bc = (5.5) s neznámými podporovými momenty M a, M b, M c. Pro další podpory vyjádíme tímomentovou rovnici cyklickou zámnou index. Pro vetknutý konec a lze uvažovat dv varianty odvození: rozepíšeme pímo podmínku Φ ab = pomocí výrazu (5.4), v nmž provedeme cyklickou zámnu index b a, c b M a α ab + M b β ab + ϕ ab =, (5.7) (4.a) nebo pepíšeme tímomentovou rovnici s cyklickou zámnu index a o, b a, c b na tvar a zjednodušíme pomocí tuhého nulového pole oa (l oa ) s dosazením M o β ao + M a (α ao + α ab ) + M b β ab + ϕ ao + ϕ ab = (5.6) M o =, α ao = β ao = ϕ ao =. Vliv svislého zatížení pevislého konce (v podpoe b) se uplatní pomocí známého podporového momentu M b = M k. Deformaní zatížení spojitého nosníku zahrnuje dané nepružné popuštní podpor vliv nerovnomrné zmny teploty (rovnomrná zmna vede na prodloužení nosníku bez vzniku V, M) Dané popuštní podpor Stednice prostých nosník ab, bc základní soustavy se pootoí o úhly Ve vetknutí poklesne o stejnou hodnotu (5.8) - 6 (5) -
Silová metoda celé nulové pole oa, takže w o = w a a tím ϕ oa,p =. Nerovnomrná zmna teploty Lineární zmna teploty po výšce prezu: teplota dolních vláken se zmní o t d teplota horních vláken se zmní o t h Podporové prezy prostých nosník základní soustavy u podpory b se pooto- í podle Maxwellova-Mohrova vztahu (.6) o úhly kde t (x) = t d t h, h(x) výška prezu. U nosníku s EI = konst. lze pootoení vyjádit kde teplotní rozdíly jsou t ab = t ab,d t ab,h, Obecný tvar tímomentové rovnice t bc = t bc,d t bc,h. (5.9) (5.7) pro podporu b spojitého nosníku pi uvažování silového i deformaního zatížení U prut s konstantním pr ezem v jednotlivých polích jsou deformaní úhly dány vztahy ϕ pomocí Maxwellova-Mohrova vztahu, nebo z tabulky 4.. (5.) (4.4) integrály vyjadující pootoení od vlivu nerovnomrné zmny teploty lze vyjádit jednoduchými vztahy Pr bhy složek vnitních sil u spojitého nosníku Momentový obrazec lze vynést hned po vyešení soustavy rovnic: z poadnic podporových moment získáme posunutou základní áru od ní vynášíme obrazce M dle zatížení jako na prostém nosníku Zbývající statické veliiny spojitého nosníku ešením soustavy tímomentových rovnic podporové momenty samostatné ešení každého pole jako prostého nosníku V, M, R uplatnním zásad statiky z odvozených obecných vztah Posouvající síla (5.7) - 7 (5) -
Statika I Pro libovolný prez x platí (5.) kde V x, posouvající síla v prezu x prostého nosníku od daného silového zatížení, V pírstek posouvající síly od podporových (koncových) moment (konstantní pro celý prostý nosník). V koncových prezech x a nebo b. Mezipodporový moment Pro libovolný prez x platí kde M x, ohybový moment v prezu x prostého nosníku od daného silového zatížení, M x pírstek ohybového momentu v prezu x od podporových moment. Podporová reakce posuvného kloubu Z rovnováhy svislých sil psobících na uvolnný nosníkový element nad podporou b F iz = : R b V b,l + V b,p = získáme R b = V b,l + V b,p = V ba + V bc. (5.5) Vodorovná složka reakce pevného kloubu nebo dokonalého vetknutí = staticky uritá veliina; urí se z podmínky F ix = pro celý spojitý nosník. (5.4) Obr. 5.: Vetknutý konec a spojitého nosníku - 8 (5) -
Silová metoda Obr. 5.4: Nerovnomrná lineární zmna teploty nosníku Obr. 5.6: Pole ab spojitého nosníku Obr. 5.7: Uvolnný nosníkový element s reakcí R b 4.6 Využití symetrie rámu u rovinného rámu i spojitého nosníku veliiny symetrické N, M, w (pi AZ jsou nulové) antimetrické V, ϕ (pi SZ jsou nulové) ešíme vždy jednu polovinu rámu; obecné zatížení se rozkládá na snížení potu petvárných rovnic - 9 (5) -
Statika I zatížení symetrické n s = n s,s + n s,a zatížení antimetrické rozlišujeme pípady osa symetrie protíná píel Osa symetrie rámu protíná píel osa symetrie prochází sloupem ešení: runí staticky neurité veliiny = složky N, V, M na ose SK AZ (ZS píel jako dv konzoly) náhradní vazbou staticky neurité veliiny a ZS lze volit pro SZ i zcela nezávisle (co nejvhodnji) Staticky neurité píhradové nosníky w c = s N N ds + EA s Nα t ds t r R δ = r r p j = N j EA N l j j j + p j = N α t l j t j j r R δ, r (.7) r Rrδ r = ( Rrx ur + Rrz wr ). (.8) r r Obr. 5.8: Soumrný spojitý nosník o tech polích - 4 (5) -
Silová metoda Obr. 5.9: Soumrný nosník se symetrickým zatížením Obr. 5.: Soumrný nosník s antimetrickým zatížením - 4 (5) -
Statika I Otázky. Stupe statické neuritosti rovinného rámu.. Volba staticky neuritých veliin rámu.. Podstata ešení rovinného rámu silovou metodou. 4. Výpoet petvárných souinitel. 5. Volba staticky neuritých veliin spojitého nosníku. 6. Jakou deformaní podmínku vyjaduje tímomentová rovnice? 7. Výpoet podporových reakcí spojitého nosníku. 8. Vliv zmny teploty rovinného rámu. 9. Vliv daného popuštní rovinného rámu.. Definujte soumrný rovinný rám.. Symetrické a antimetrické veliiny. Shrnutí V této kapitole jsme si objasnili princip ešení staticky neuritých prutových soustav silovou metodou. Nejprve jsme si ukázali ešení rovinného rámu a následn ešení spojitého nosníku pomocí speciální volby základní soustavy vedoucí na odvození tímomentové rovnice. Zabývali jsme se rovnž vlivem deformaního zatížení a využitím symetrie pi ešení rovinných rám a spojitých nosník. - 4 (5) -
Tabulky 5 Tabulky V této kapitole jsou souhrnn uvedeny všechny tabulky univerzáln použitelné v p edchozích kapitolách. Tab. 4.: Hodnoty integrál MMdx u prut konstantního pr ezu - 4 (5) -
Statika I Tab. 4.: Hodnoty integrál MMdx u prut konstantního pr ezu (pokra ování) - 44 (5) -
Silová metoda Tab. 4.: Hodnoty integrál MMdx u prut konstantního prezu (pokraování) - 45 (5) -
Statika I Tab. 4.: Deformace prostého nosníku konstantního pr ezu - 46 (5) -
Silová metoda Tab. 4.: Deformace prostého nosníku konstantního pr ezu (pokra ování) - 47 (5) -
Statika I Tab. 4.: Deformace prostého nosníku konstantního prezu (pokraování) - 48 (5) -
Studijní prameny 6 Studijní prameny 6. Seznam použité literatury [] Kadlák, J., Kytýr, J. Statika stavebních konstrukcí II. Staticky neurité prutové konstrukce. Druhé vydání. VUTIUM, Brno 4 [] Kadlák, J., Kolá, A., Kytýr, J., Maurer, E. Statika stavebních konstrukcí I. Skriptum. VUT v Brn, Brno 996 6. Seznam doplkové studijní literatury [] Chobot, K., Benda, J., Hájek, V., Novotná, H. Statika stavebních konstrukcí II. Uebnice. SNTL/ALFA, Praha 98 [4] Harvaník, J., Pekarovi, J. Stavebná mechanika I. ALFA, Bratislava 98 [5] Harvaník, J., Pekarovi, J., Sobota, J. Stavebná mechanika príklady. ALFA/SNTL, Bratislava 986 [6] Cais, S. Statika stavebních konstrukcí Djiny stavební mechaniky. Doplková skripta. VUT, Praha 99 6. Odkazy na další studijní zdroje a prameny [7] http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/mathematicians - 49 (5) -
Statika I Poznámky - 5 (5) -