DETERMINATION OF VALUE AT RISK AND CONDITIONAL VALUE AT RISK BY ASSUMING ELLIPTICAL DISTRIBITION

DETERMINATION OF VALUE AT RISK AND CONDITIONAL VALUE AT RISK BY ASSUMING ELLIPTICAL DISTRIBITION [Stanoení Value at Risk a Conditional Value at Risk za předpokladu eliptických rozdělení praděpodobnosti] Kateřina Zelinkoá, Aleš Kresta Vysoká škola báňská-technická unierzita Ostraa, Ekonomická fakulta, Sokolská 33, 70 Ostraa Email:katerina.zelinkoa@sb.cz Vysoká škola báňská-technická unierzita Ostraa, Ekonomická fakulta, Sokolská 33, 70 Ostraa Email:ales.kresta@sb.cz Abstract: The importance of risk management is nowadays one of the most important actiities of financial institutions. One of the most commonly used methods for measuring and managing market risk is the indicator of Value at Risk (the minimum predicted loss for gien significant leel and time horizon and Conditional Value at Risk (the aerage of epected losses that eceed the alue of the Value at Risk. The aim of submitted article is the estimation of Value at Risk and Conditional Value at Risk for gien shares of stock s portfolio assuming elliptical distribution of probability. Significant leel is determined for 5 %, 0 %, 5%, % and 0.5 % for time horizon one day. Firstly, fitting probability of time series will be estimated. It can be assumed that the least appropriate type of distribution for the time series will be the normal distribution. Net, VaR and CVaR will be calculated for all gien probability distribution. Due to the fact that it is assumed that empirical time series and portfolio time series will correspond to either Student or Laplace distribution then the most appropriate model for estimating VaR and CVaR will be these two distributions. Keywords: Conditional Value at Risk, Elliptical distribution, Laplace distribution, Student distribution, Value at Risk. JEL classification: G, G4 Doručeno redakci: 7..06; Recenzoáno: 9..06;.4.06; Scháleno k publikoání: 4.8.06 Úod Value at Risk (VaR je nástrojem použíaným od počátku 80. let minulého století řadou finančních institucí, který slouží k odhadoání elikosti ztráty (hodnoty VaR, kterou může na trhu za nezměněných podmínek dosáhnout inestor s určitou praděpodobností předem stanoeném období. Value at Risk je poažoán za základní měřítko pro kantifikaci tržního, pojistného, nebo kreditního rizika, také se použíá pro stanoení kapitáloého požadaku bankách či pojišťonách. Problematice Value at Risk je ěnoána řada publikací, ze kterých se ychází daném článku, nejkompleněji se obecně dané problematice ěnuje Aleander (008b, Hull (007 a Jorion (007. Artzner et al. (999 charakterizoal tz. Conditional Value at Risk (CVaR, jež lze definoat jako průměrnou elikost očekáaných ztrát, které přeýší hodnotu Value at Risk. Jedná se o eličinu, která tedy yjadřuje střední hodnotu ztráty případě, že ztráta bude yšší než hodnota Value at Risk. Tato eličina splňuje šechny aiomy koherentní míry rizika a z toho důodu je íce doporučoána jako míra rizika než práě Value at Risk. Nicméně při měření rizikoosti finančních institucí se použíá práě hodnota VaR. Tradiční rozdělení praděpodobnosti pro ýpočet Value at Risk analytickou metodou, jež bude aplikoána daném příspěku, se předpokládá normální rozdělení praděpodobnosti. Nicméně, prai tento předpoklad platí jen zřídka, protože konce rozdělení jsou silnější než 95

u normálního rozdělení, protože empirické praděpodobnostní rozdělení finančních ýnosů má oproti normálnímu rozdělení yšší špičatost a nenuloou šikmost, iz Fama (965. Jednou z možných alternati je použít Studentoo rozdělení praděpodobnosti nebo Laplaceoo rozdělení praděpodobnosti. Práě tato rozdělení náleží do tz. eliptických rozdělení. Studentoo rozdělení má těžké konce a úzce souisí s normoaným normálním rozdělením. Platí, že s rostoucím stupněm olnosti se k normálnímu rozdělení přibližuje. Pokud hodnota stupňů olnosti je ětší než 30, tak se toto rozdělení poažuje již za normální. Čím nižší je stupeň olnosti, tím nižší je rchol křiky funkce hustoty a tím těžší jsou její konce. Laplaceoo (oboustranné eponenciální rozdělení se yskytuje případech, kdy jsou náhodné eličiny měřeny za podmínek kolísání rozptylu kolem určité střední hodnoty (Artl a Artloá, 003. Ve sronání s normálním rozdělením je Laplaceoo rozdělení špičatější a má delší konce. Cílem příspěku je stanoit Value at Risk a Conditional Value at Risk pro akcioé portfolio za předpokladu eliptických rozdělení, tzn. normálního, Studentoo a Laplaceoo rozdělení praděpodobnosti a zjistit, jak se od sebe tyto hodnoty liší. Value at Risk a Conditional Value at Risk za předpokladu eliptických rozdělení Ukazatel Value at Risk je definoán dle Zmeškala et al. (004 jako nejmenší predikoaná ztráta na dané hladině praděpodobnosti za daný časoý interal. Také lze charakterizoat Value at Risk jako jednostranný interal spolehliosti potencionálních ztrát hodnoty portfolia po danou dobu držení, což lze zapsat: X -VaR ( F ( = P α,δt α ( kde F ( je distribuční funkce, je hladina spolehliosti and t je časoý horizont. Normální rozdělení je prai značně yužíáno díky sým lastnostem, zejména jednoduchosti, která spočíá potřebě pouze dou snadno zjistitelných parametrů (,. Normální rozdělení praděpodobnosti je jedním z nejznámějších rozdělení praděpodobností spojité náhodné eličiny. Náhodná proměnná X má normální rozdělení, jestliže se funkce hustoty roná (Aleander, 008a, ( ( X ep, ( kde =E( zobrazuje střední hodnotu, yjadřuje rozptyl a náhodná proměnná nabýá hodnot z interalu (- ;. Při odhadu parametrů daného rozdělení je použita metoda maimální ěrohodnosti. Normální rozdělení má zásadní ýznam, protože mnoho náhodných eličin oblasti ekonomie buď mají normální rozdělení, nebo lze rozdělení těchto náhodných eličin normálním rozdělením alespoň aproimoat. Normální rozdělení má použití šude tam, kde je kolísání náhodné eličiny způsobeno součtem elkého počtu nepatrných zájemně nezáislých liů. Vztah pro ýpočet Value at Risk za předpokladu normálního rozdělení má tar VaR (, (3 kde je inerzní funkce k distribuční funkci normoaného normálního rozdělení, je hladina ýznamnosti, je směrodatná odchylka, střední hodnota. Studentoo t-rozdělení je kontinuální rozdělení praděpodobnosti, kterým lze yčíslit střední hodnotu a normální distribuci populace. Lze jej použít za předpokladu, že daný zorek údajů 96

97 je malý (Cipra, 008. Studentoo t-rozdělení úzce souisí s normoaným normálním rozdělením a s rostoucím stupněm olnosti se k normálnímu rozdělení přibližuje. Pokud je 30, tak se toto rozdělení již poažuje za normální. Čím nižší je stupeň olnosti, tím yšší je rchol křiky funkce hustoty a tím těžší jsou její konce. Funkce hustoty pro Studentoo t- rozdělení s stupni olnosti je definoána následujícím ztahem (Lewis, 003, ( ( t t f, (4 kde gamma funkce Г je rozšířením funkce faktoriálu n! na neceločíselné hodnoty. Náhodná proměnná, která má Studentoo t-rozdělení, se značí. ~ t T Věrohodnostní funkce Studentoa rozdělení ychází z funkce hustoty (4 a je dána N i k n t L (,...,,...,, (. Nyní se ěrohodnostní funkce zlogaritmuje a pomocí optimalizační úlohy, jež se maimalizuje, se stanoí stupně olnosti log ln ln ln ln( L i, (5 Vztah pro ýpočet Value at Risk za předpokladu Studentoa rozdělení praděpodobnosti je následující ( ( t VaR. (6 Laplaceoo rozdělení se yskytuje případech, kdy jsou náhodné eličiny měřeny za podmínek kolísání rozptylu kolem určité střední hodnoty. Ve sronání s normálním rozdělením je Laplaceoo rozdělení špičatější a má delší konce. Funkce hustoty pro Laplaceoo rozdělení praděpodobnosti je dána (Beirlant et al., 004, f ep (, (7 kde zobrazuje střední hodnotu, > 0 yjadřuje směrodatnou odchylku a náhodná proměnná nabýá hodnot z interalu (- ;. Laplaceoo rozdělení se literatuře objeuje často jako jedna z forem obecnějších rozdělení doporučoaných pro popis choání finančních časoých řad. A připouští ýskyt ýrazněji odchýlených hodnot a yužíá se jako robustní alternatia normálního rozdělení. Pro ýpočet hodnoty Value at Risk portfolia akcií za předpokladu Laplaceoa rozdělení praděpodobnosti, lze yužít následující ztah ln( VaR. (8 Conditional Value at Risk (CVaR se také nazýá Epected Shortfall (ES nebo Epected Tail Loss (ETL. Conditional Value at Risk lze definoat jako průměrnou elikost očekáaných ztrát, které přeýší hodnotu Value at Risk. Jedná se o eličinu, která tedy yjadřuje střední hodnotu ztráty případě, že ztráta bude yšší než hodnota Value at Risk. Tedy hodnota CVaR je ždy yšší než hodnota VaR. Matematicky lze CVaR yjádřit následoně

X EX X CVaR VaR, (9 kde VaR je očekáaná ztráta, X je náhodná eličina yjadřující zisk či ztrátu a předstauje hodnotu VaR na hladině ýznamnosti α. Hodnota CVaR má lepší ypoídací schopnost než VaR, protože splňuje šechny čtyři podmínky pro koherentní míru rizika, které jsou monotónost, subadditiita, homogenita a translační inariance. Vzhledem k tomu, že CVaR udáá konkrétní hodnotu ztráty při překročení hladiny neočekáané ztráty, umožňuje riziko popsat kompleněji než při použití VaR. Výpočet pro hodnotu Conditional Value at Risk za předpokladu normálního rozdělení má tar ( CVaR ep z. (0 Vztah pro ýpočet CVaR za předpokladu Studentoa rozdělení praděpodobnosti je následující _ CVaRh,, ( t ( ( ( f( (. ( Vztah pro ýpočet CVaR za předpokladu Laplaceoa rozdělení (Zhuo et al, 04 je následující kde, CVaR ( ln g(, g(, ln,, ( g g je definoáno jako, / zjistit jako. g a lze jednoduše analyticky Stanoení VaR a CVaR pro portfolio akti Metodologie Value at Risk a přístup Conditional Value at Risk budou aplikoány na akcioé portfolio, které je sestaeno deseti nejíce obchodoatelných akcií na americkém trhu druhém kartálu tohoto roku. Nejpre jsou popsána a analyzoána stupní data. Dále je z těchto akcií sestaeno portfolio, přičemž áhy jednotliých akcií portfoliu jsou stejné, tzn. 0,. Pro dané portfolio akti je stanoena hodnota Value at Risk a Conditional Value at Risk pro různé stupně praděpodobnosti.. Popis a analýza empirických dat Ceny akcií byly zjišťoány za období od ledna 009 do listopadu 05. Za toto období je k dispozici 93 denních záěrečných kurzů pro každou akcii. Ceny akcií byly zjišťoány z databáze portálu www.financialyahoo.com. Portfolio je složeno z deseti titulů, znamená to, že je také ystaeno deseti rizikoým faktorům, které jsou předstaoány cenami jednotliých akcií. Po zjištění potřebných informací o daném portfoliu a sestaení časoých řad ýoje cen jednotliých akcií byla ypočtena další data, potřebná pro ýpočet hodnoty Value at Risk. Těmito daty byly denní ýnosy těchto akcií. Tyto denní ýnosy byly ypočteny spojitě. Z 93 denních kurzů bylo ypočteno 930 denních spojitých ýnosů dle ztahu Pt R ln, (3 P t 98

kde R je ýnos, P t je cena akcie čase t a P t- je cena čase t-. Nejpre byly ypočteny logaritmické ýnosy dle ztahu (3. Výpočty základních charakteristik jednotliých ýnosů jsou zobrazeny následující tabulce. Tabulka : Základní charakteristiky akcií N Střední hodnota Směrodatná odchylka Šikmost Špičatost Min Ma Apple 930 0,07%,9% -0,540 7,6997-9,7% 3,0% Applied_Material 930-0,005%,8% -0,660 4,976-3,5% 3,3% Cisco 930-0,00%,008% -0,454,5480-7,7% 4,8% Fo 930 0,05%,499% 0,50 8,5069-7,0% 8,9% Intel 930 0,004%,954% -0,067 4,976-3,%,% Micron 930 0,04% 3,798% -0,795 4,46-0,3%,% Microsoft 930 0,00%,864% 0,40 9,375 -,5% 7,% Powershares 930 0,037%,433% -0,077 7,396-9,4%,5% Sirius 930-0,06% 3,906% -0,4864 8,8690-6,8%,3% Yahoo 930-0,00%,406% -0,7309 8,7683-3,4%,3% Zdroj: lastní ýpočty na základě dat z www.financialyahoo.com Dle Tabulky lze idět ypočtené základní stupní parametry, jako jsou střední hodnota, směrodatná odchylka, šikmost a špičatost. Je zřejmé, že střední hodnota a směrodatná odchylka ýnosů se pohybují kolem nuly. Koeficient šikmost neboli třetí centrální normoaný moment může být kladný nebo záporný podle toho, na kterou stranu jsou odchylky od střední hodnoty ětší. Pokud je křika hustoty praděpodobnosti symetrická zhledem ke střední hodnotě, je koeficient šikmosti nuloý. Míry šikmosti poukazují na asymetrické rozdělení ýnosů, a to leostranné, tedy mimo akcii FOX a MICROSOFT, jejímž případě není hodnota záporná, ale kladná. Koeficient špičatosti neboli čtrtý centrální normoaný moment charakterizuje rozdělení finančního instrumentu a poronáá dané rozdělení s normálním rozdělením praděpodobnosti. Pro normální rozdělení praděpodobnosti by byl koeficient špičatosti roen třem. V případě ýsledku ětšího než tři jsou odchylky od střední hodnoty ětší než u normálního rozdělení. Na základě Tabulky lze také pozoroat, že špičatost ýnosů akcií je o poznání yšší, než je charakteristické pro normální rozdělení (hodnota by měla být nuloá. Již z pohledu na hodnoty koeficientu šikmosti a špičatosti je zřejmé, že normální rozdělení není hodné pro modeloání těchto časoých řad. Toto lze potrdit i pomocí Kolgomoro Smirnoa testu (K-S test, iz Tabulka, pomocí kterého můžeme pro šechny časoé řady na % hladině praděpodobnosti zamítnout nuloou hypotézu, že řady odpoídají normálnímu rozdělení. 99

Tabulka : Kolmogoro Smirnoů test Normální Studentoo Laplaceoo df Sig. Sig. Sig. Apple 930 0,000 0,0 0,033 Applied_Material 930 0,000 0,009 0,0 Cisco 930 0,000 0,00 0,0 Fo 930 0,000 0,00 0,0 Intel 930 0,000 0,04 0,034 Micron 930 0,000 0,049 0,065 Microsoft 930 0,000 0,0 0,09 Powershares 930 0,000 0,065 0,07 Sirius 930 0,000 0,00 0,008 Yahoo 930 0,000 0,004 0,04 Zdroj: lastní ýpočty programu SPSS H : soubor má dané rozdělení praděpodobnosti Sig. > 0,0 (tučně zýrazněné 0 H : soubor nemá dané rozdělení praděpodobnosti Sig. < 0,0 V případě normálního rozdělení se zamítá nuloá hypotéza dle p-hodnoty, tedy dané časoé řady nesplňují předpoklad normálního rozdělení praděpodobnosti. P-hodnota (Sig. <, tzn. že p-hodnota, která je prezentoána jako Sig. je menší než zolená hladina praděpodobnosti %. V případě Studentoa a Laplaceoa rozdělení praděpodobnosti není zamítnuta nuloá hypotéza e šech případech. Dané časoé řady odpoídají ětšinou Laplaceou rozdělení praděpodobnosti.. Výpočet VaR a CVaR pro akcioé portfolio Portfolio je složeno z deseti akcií, jež jsou analyzoány předchozí kapitole. Předpokládá se, že áhy akcií portfoliu jsou stejné. Tabulka 3: Základní charakteristiky portfolia Střední hodnota Směrodatná odchylka Šikmost Špičatost Minimum Maimum Portfolio 0,03 %,43% -0,036 7,677-9 % % Zdroj: lastní ýpočty V Tabulce 3 lze idět ypočtené základní stupní parametry, jako jsou střední hodnota, směrodatná odchylka, šikmost a špičatost. Je zřejmé, že střední hodnota a směrodatná odchylka ýnosů se pohybují kolem nuly. Koeficient šikmosti poukazuje na asymetrické rozdělení ýnosů, a to leostranné. Koeficient špičatosti je yšší, než je charakteristické pro normální rozdělení. Z třetího a čtrtého centrálního momentu je zřejmé, že normální rozdělení není hodné pro modeloání daného portfolia. Toto lze potrdit i pomocí K-S testu, jež ýsledky pro portfolio jsou zobrazeny Tabulce 4. Tabulka 4: K-S test portfolia Normální Studentoo Laplaceoo Sig. Sig. Sig. Portfolio 0,000 0,069 0,06 Zdroj: lastní ýpočty 00

V případě normálního rozdělení se zamítá nuloá hypotéza dle p-hodnoty (Sig., tedy portfolio nesplňuje předpoklad normálního rozdělení praděpodobnosti. Vzhledem k tomu, že stupní data odpoídala přeážně Laplaceou rozdělení, se předpokládá, že dané portfolio ěrohodně popisuje také práě Laplaceoo rozdělení, což se potrdilo. Portfolio má Studentoo rozdělení na hladině praděpodobnosti % a Laplaceoo rozdělení má dokonce při 5 %. Dále byly proedeny QQ ploty. Obrázek : QQ ploty portfolia Zdroj: lastní zpracoání SPSS Podle QQ plotů se ukázalo, že normální rozdělení praděpodobnosti nepopisuje ěrohodně empiricky napozoroaná data. Nasbíraná data ykazují těžší konce rozdělení oproti zkoumaným teoretickým rozdělením praděpodobnosti. Z toho důodu je hodné stanoit VaR a CVaR pomocí jiných typů rozdělení, které akceptují těžší konce rozdělení. Mezi takoé přístupy patří práě použití Studentoo rozdělení a Laplaceoo rozdělení. V případě QQ plotu pro Studentoo rozdělení lze idět, že konce nepřiléhají teoretickému rozdělení praděpodobnosti. Z toho důodu není hodné použíat ani Studentoo rozdělení. Nejlépe odpoídá empirické rozdělení s teoretickým rozdělením práě u QQ plotu Laplaceoa rozdělení a to i přesto, že některé hodnoty zcela nedoléhají. Nyní se odhadne hodnota VaR a CVaR za předpokladu normálního, Studentoa a Laplaceoa rozdělení pro stanoené portfolio akti. I když testoání normality ukázalo, že dané portfolio neodpoídá ěrohodně normálnímu ani Studentou rozdělení, tak i přesto je ypočtena hodnota VaR a CVaR za předpokladu těchto dou typů rozdělení a to z toho důodu, aby bylo zřejmé, jaká chyba může nastat při nehodném použití rozdělení praděpodobnosti. Nejpre se musí odhadnout parametry ztahů VaR a CVaR za předpokladu šech uedených rozdělení praděpodobnosti. Jednotlié parametry pro portfolio ychází z Tabulky 3, ošem chybí jeden parametr a to stupně olnosti pro Studentoo rozdělení. Stupně olnosti se odhadnou pomocí metody maimální ěrohodnosti za pomocí optimalizační úlohy, kdy je použit ztah (5. Tabulka 5: Odhad stupňů olnosti Portfolio Stupně olnosti - 4,70 Logaritmická funkce -57,8 Zdroj: lastní ýpočty Nyní jsou známy šechny parametry, a tudíž se může přejít k samotnému ýpočtu hodnoty VaR a CVaR. Hladina ýznamnosti je stanoena e ýši 5 %, 0 %, 5%, % a 0,5%. Časoý horizont je jeden den. V následující tabulce jsou ukázány ypočítané hodnoty VaR 0

za předpokladu normálního rozdělení dle (3, za předpokladu Studentoa rozdělení dle ztahu (6, přičemž stupně olnosti jsou uedeny Tabulce 5 a Laplaceoa rozdělení dle ronice (8. Tabulka 6: Odhad hodnoty VaR 5% 0% 5% % 0,5% Normální,78%,0%,83% 4,00% 4,43% Studentoo,54%,99%,77% 4,87% 5,99% Laplaceoo,46%,96%,80% 4,75% 5,60% Zdroj: lastní ýpočty Z Tabulky 6 je patrné, že hodnota VaR pro portfolio za předpokladu Laplaceoa rozdělení a hladiny ýznamnosti 0,5 % je e ýši 5,6 %, což znamená, že za předpokladu hladiny ýznamnosti 0,5 % bude predikoaná ztráta ětší nebo rona práě 5,6 % z hodnoty daného portfolia. Vzhledem k tomu, že odhad hodného typu rozdělení pro portfolio je práě model s Laplaceoým rozdělením, lze očekáat, že tato hodnota je nejlepší. V případě použití normálního rozdělení by byla predikoaná ztráta podhodnocena, tzn., že by finanční instituce držely nižší obnos peněz, než očekáaly. Naopak, při použití modelu VaR se Studentoým rozdělením, je hodnota VaR nadhodnocena, tzn., že by finanční instituce držely ětší množstí peněz. Dosažené hodnoty Value at Risk z Tabulky 6 jsou pro lepší názornost zobrazeny do grafu, iz obrázek. Jak je tomto grafu znázorněno, hodnota VaR s rostoucí praděpodobností nepřekročení této ztráty roste. Obrázek : Hodnoty VaR pro portfolio při yužití různých hladinách ýznamnosti Zdroj: lastní zpracoání V Obrázku lze názorně idět rozdíly hodnot VaR za předpokladu různých rozdělení praděpodobnosti při daných hladinách ýznamnosti. Křika, která znázorňuje hodnotu VaR za předpokladu Studentoa rozdělení, je téměř totožná s křikou, která znázorňuje hodnoty VaR za předpokladu Laplaceoa rozdělení praděpodobnosti. 0

Také byly ypočítány hodnoty pro CVaR za předpokladu normálního rozdělení dle (0, Studentoa rozdělení dle ztahu ( a Laplaceoa rozdělení praděpodobnosti (. Hodnoty jsou uedeny Tabulce 7. Tabulka 7: Odhad hodnoty CVaR 5% 0% 5% % 0,5% Normální,67% 3,0% 3,54% 4,58% 4,97% Studentoo 3,00% 3,69% 4,89% 7,54% 8,56% Laplaceoo,0%,6% 3,3% 4,9% 5,6% Zdroj: lastní ýpočty Z definice CVaR yplýá, že hodnoty CVaR by měly být yšší než hodnoty VaR, což pro šechny ypočtené modely platí. Hodnota CVaR za předpokladu Laplaceoa rozdělení praděpodobnosti pro hladinu ýznamnosti 0,5 % znamená, že střední hodnota ztráty případě, že ztráta bude yšší než hodnota Value at Risk je e ýši 5,6 %. Vzhledem k tomu, že časoá řada daného portfolio nejlépe odpoídala Laplaceou rozdělení, lze očekáat, že tato hodnota je nejlepší. V případě použití normálního rozdělení by byla predikoaná ztráta podhodnocena, tzn., že by finanční instituce držely nižší obnos peněz, než očekáaly. Naopak, při použití modelu VaR se Studentoým rozdělením, je hodnota VaR nadhodnocena, tzn., že by finanční instituce držely ětší množstí peněz. Opět pro lepší orientaci jsou hodnoty CVaR znázorněny graficky, iz Obrázek 3. Obrázek 3: Hodnoty CVaR pro portfolio při yužití různých hladinách ýznamnosti Zdroj: lastní zpracoání Z Obrázku 3 je zřejmé, že hodnoty CVaR za předpokladu Studentoa a Laplaceoa rozdělení pro různé hladiny praděpodobnosti nejsou téměř totožné jako případě hodnot VaR. S rostoucí hladinou ýznamnosti klesá hodnota CVaR pro šechny uedené modely. Nejyšší hodnoty CVaR dosahují modely za předpokladu Studentoa rozdělení praděpodobnosti pro šechny hladiny ýznamnosti a naopak nejnižší hodnoty CVaR jsou za předpokladu Laplaceoa rozdělení praděpodobnosti a to pro hladiny ýznamnosti 5 %, 0 % a 5 %. 03

.3 Diskuse Fama (965 uedl e sém článku, že ýnosy nemají normální rozdělení, ykazují yšší špičatost a těžší konce, což odpoídá i ýsledkům tomto článku. Práě pro ýnosy s yšší špičatostí a těžšími konci lze očekáat, že mohou splňoat práě Studentoo nebo Laplaceoo rozdělení praděpodobnosti. Z deseti uedených akcií dle K-S testu práě pět splňuje Studentoo rozdělení praděpodobnosti a osm časoých řad Laplaceoo rozdělení. Vzhledem k tomu, že u šech uedených časoých řad není přijata nuloá hypotéza, tak je hodné oěřoat další typy rozdělení praděpodobnosti pro empiricky napozoroaná data, např. NIG rozdělení. Jak lze idět z ýsledků odhad hodnoty VaR, iz Tabulka 6, tak míra rizika za předpokladu normálního rozdělení je yšší při yšších hladinách ýznamnosti. Při 5% hladině ýznamnosti se dané hodnoty při různých typech praděpodobnosti neliší a při nižších než 5% hladině ýznamnosti jsou hodnoty VaR za předpokladu Studentoa a Laplaceoa rozdělení naopak yšší než za předpokladu normálního rozdělení. Výsledky VaR za předpokladu Studentoa a Laplaceoa rozdělení praděpodobnosti se ýrazně neliší za šech uedených hladin ýznamnosti, z toho důodu je hodné proést erifikaci daných modelů. Aleander (008b e sé publikaci dochází ke stejným ýsledkům při ilustratiním příkladu na sronání hodnoty VaR za předpokladu normálního a Studentoa rozdělení. Stejný průběh ýsledků při daných hladinách ýznamnosti je i při odhadu hodnoty CVaR, iz Tabulka 7. Záěr Cílem daného článku bylo stanoit Value at Risk a Conditional Value at Risk pro akcioé portfolio za předpokladu eliptických rozdělení, tzn. normálního, Studentoo a Laplaceoo rozdělení praděpodobnosti a zjistit, jak se od sebe tyto hodnoty liší. Nejpre byl proeden K- S test jednotliých časoých řad, tzn. ýnosů jednotliých akcií, kde se zjistilo, že časoé řady na hladině praděpodobnosti % nemají normální rozdělení, Studentou rozdělení odpoídají pět akcií a Laplaceoo rozdělení ěrohodně popisuje osm časoých řad. Dále byl proeden stejný test pro dané portfolio. Portfolio nejlépe popisuje Laplaceoo rozdělení praděpodobnosti na hladině praděpodobnosti 5 % a na hladině praděpodobnosti % odpoídá portfolio i Studentou rozdělení. Z toho důodu se předpokládá, že nejhodnější model stanoení VaR a CVaR je práě za předpokladu Laplaceoa rozdělení. I přesto byla ypočtena hodnota VaR a CVaR za předpokladu normální a Studentoa rozdělení, aby se dané hodnoty mohly poronat a ilustroat elikost chyby při nehodném použití modelu. V případě použití normálního rozdělení by byla predikoaná ztráta podhodnocena oproti hodnotě VaR za předpokladu Laplaceoa rozdělení praděpodobnosti při nižších hladinách ýznamnosti (0,5 % a % tzn., že by finanční instituce držely nižší obnos peněz, než očekáaly. Při yšších hladinách ýznamnosti tomu bylo naopak. Při použití modelu VaR se Studentoým rozdělením, je hodnota VaR nadhodnocena, za předpokladu nižších hladin ýznamnosti (0,5 % a %, tzn., že by finanční instituce držely ětší množstí peněz. Pro lepší názornost byly ýsledky graficky zobrazeny. Poděkoání Tento článek znikl za podpory projektu grantu GP3-8300P Modeloání finančních časoých řad a odhad rizika. Literatura [] ALEXANDER, C., 008a. Quantitae Methods in Finance. Chichester: John Wiley& Sons. ISBN 978-0-470-99788-8. 04

[] ALEXANDER, C., 008b. Value at Risk models. Chichester: John Wiley& Sons, ISBN 978-0-470-99800-7. [3] ARTL, J. a M. ARTLOVÁ, 003. Finanční časoé řady. Praha: Grada. ISBN 80-47- 0330-0. [4] ARTZNER, P., F. DELBAEN, J.-M. EBER a D. HEATH, 999. Coherent measures of risk. Mathematical finance, 9(3, 03-8. ISSN 467-9965. [5] BEIRLANT, J., Y. GOEGEBEUR, J. SEGERS a J. TEUGELS, 004. Statistics of Etremes: Theory and Applications. Chichester: John Wiley& Sons. ISBN 978-0-47-97647-9. [6] CIPRA, T., 008. Finanční ekonometrie. Praha: Ekopress. ISBN 978-80-8699-43-9. [7] FAMA, E. F., 965. The behaior of stock market prices. Journal of Business, 38(, 34-05. ISSN 00-9398. [8] HULL, J., 007 Risk Management and Financial Institutions. New Jersey: Pearson Education. ISBN 03-39790-6. [9] JORION, P., 007. Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk.. yd. New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-46495-6. [0] LEWIS, N., 003. Market Risk Modelling. London: Risk Books. ISBN -904339-07-7. [] ZHUO, S., Q. LU, L. HAN, Y. LIU a F. HU, 04. A mean-cvar-skewness portfolio optimization model based on asymmetric Laplace distribution. Annals of Operations Research, 6(, 77-739. ISSN 57-9338. [] ZMEŠKAL, Z. et al., 004. Financial models. Ostraa: VŠB TU Ostraa. ISBN 80-869-87-4. 05