řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky

Podobné dokumenty
4 Numerické derivování a integrace

ODR metody Runge-Kutta

8 Střední hodnota a rozptyl

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola

metody jsou proto často jedinou možností jak danou diferenciální rovnicivyřešit.

Budeme hledat řešení y(x) okrajové úlohy pro diferenciální rovnici druhého řádu v samoadjungovaném tvaru na intervalu a, b : 2 ) y i p i+ 1

Extrémy funkce dvou proměnných

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany

Diferenciální rovnice 1

úloh pro ODR jednokrokové metody

Numerické řešení diferenciálních rovnic

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Kombinatorická minimalizace

Numerická matematika 1

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Matice přechodu. Pozorování 2. Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např.

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

Tento dokument obsahuje zadání pro semestrální programy z PAA. Vypracování. vypracovanou úlohu podle níže uvedených zadání. To mimo jiné znamená, že

ekologie Pavel Fibich rovnice rovnice Pavel Fibich Shrnutí Literatura

Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu.

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

Literatura: Kapitola 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Libovolnou z probraných metod najděte s přesností na 3 desetinná místa kladný kořen rovnice. sin x + x 2 2 = 0.

Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze

Moderní numerické metody

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

Diferenciální rovnice 3

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Řešení "stiff soustav obyčejných diferenciálních rovnic

Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Uvod k pocatecnimu problemu pro obycejne diferencialni

Logaritmické rovnice a nerovnice

Řešení 1D vedení tepla metodou sítí a metodou

Numerické řešení nelineárních rovnic

Co je obsahem numerických metod?

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

Obyčejné diferenciální rovnice (ODE)

Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

Důvodů proč se zabývat numerickou matematikou je více. Ze základní školy si odnášíme znalost, že číslo

Matematika pro všechny

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

M - Příprava na pololetní písemku č. 1

Matematika IV 9. týden Vytvořující funkce

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební ROVNICE. Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc.

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Numerická matematika Banka řešených příkladů

Integrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze

diferenciální rovnice verze 1.1

Úlohy nejmenších čtverců

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení

EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a

metody jsou proto často jedinou možností jak danou diferenciální rovnicivyřešit.

CVIČNÝ TEST 11. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

Kapitola 12: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

South Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI ÚVOD

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =

11 Rovnoměrné a normální rozdělení psti

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

1 Řešení soustav lineárních rovnic

Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku:

CVIČNÝ TEST 38. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Mocninná funkce: Příklad 1

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

Soustavy lineárních rovnic

5 Obyčejné diferenciální rovnice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

l, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky

Matematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt

LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

Transkript:

řešeny numericky řešeny numericky Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Na minulé přednášce jsme viděli některé klasické metody a přístupy pro řešení diferenciálních rovnic: stručně řečeno, rovnice obsahující derivace řešíme analyticky procesem opačným k derivování integrací. Dnes si představíme některé numerické metody. Ve skriptech [1] je tato kapitola bohatě probrána v jednom týdnu přednášky a cvičení ovšem stihneme projít jen strany 97-102, dále 111-115, a možná ještě metodu střelby na str. 119-120. bed b@d OBSAH 1/28

řešeny numericky 6.1 Počáteční úloha 6.1 Počáteční úloha Příklad 6.1. Numerickou metodou s krokem h = 0,1 řešte počáteční úlohu y = x 2 y, y(0) = 1. bed b@d OBSAH 2/28

řešeny numericky 6.1 Počáteční úloha Název počáteční úloha pochází z toho, že kromě diferenciální rovnice je zadána počáteční podmínka y 0 = y(x 0 ) = y(0) = 1. Řešením numerické metody se zadaným krokem nyní bude posloupnost přibližných funkčních hodnot y 1 y 2. y n. = y(x1 ) = y(x 0 + h);. = y(x2 ) = y(x 0 + 2h);. = y(xn ) = y(x 0 + nh). Tuto posloupnost hodnot y i v bodech x i nazveme řešením dané počáteční úlohy na intervalu a; b = x 0 ; x n. bed b@d OBSAH 3/28

řešeny numericky 6.1 Počáteční úloha Vyřešme tuto úlohu třemi metodami počet metod nemá studenty zahltit, ale jedná se o A) nejjednodušší možnou numerickou metodu; dále o B,C) mírné modifikace té nejjednodušší metody, které už dávají výsledky téměř přijatelné v praxi. bed b@d OBSAH 4/28

řešeny numericky 6.1 Počáteční úloha A) Metoda Eulerova Viz skripta, str. 98-99. Tato metoda je nejjednodušší numerická metoda řešící počáteční úlohu prvního řádu, protože vychází z geometrické interpretace rovnice y = f(x, y) : sklon funkce y v bodě x k je roven funkční hodnotě f(x k, y(x k )), a navíc sklon neznámé funkce y v počátečním bodě x 0 je známý je zadaný v počáteční podmínce. Pokud tedy sklon y v uvedené rovnici nahradíme přibližně směrnicí sečny k funkci y y(x i+1 ) y(x i ) h. = f(x i, y(x i )), bed b@d OBSAH 5/28

řešeny numericky 6.1 Počáteční úloha a dále přesné hodnoty y(x i ) nahradíme přibližnými y i, máme vztah y i+1 y i. = f(x i, y i ), h odkud plyne vzorec numerické metody y i+1 = y i + hf(x i, y i ). (1) V našem konkrétním příkladu po dosazení funkce v diferenciální rovnici dostáváme vzorec y i+1 = y i + 0,1 (x 2 i y i ), přičemž z počáteční podmínky víme, že y 0 = 1. Můžeme tedy počítat: bed b@d OBSAH 6/28

řešeny numericky 6.1 Počáteční úloha y 1 = 1 + 0,1 (0 2 1 ) = 0,9; y 2 = 0,9 + 0,1 (0,1 2 0,9 ) = 0,811; y 3 = 0,811 + 0,1 (0,2 2 0,811 ) = 0,7339; y 4 = 0,7339 + 0,1 (0,3 2 0,7339 ) = 0,6695; y 5 = 0,6695 + 0,1 (0,4 2 0,6695 ) = 0,6186; Uvedený vektor hodnot je výsledkem této numerické metody. Lze porovnat s přesnými hodnotami: y(x 1 ) = 0,9052, y(x 2 ) = 0,8213, y(x 3 ) = 0,7492, y(x 4 ) = 0,6897, y(x 5 ) = 0,6435. bed b@d OBSAH 7/28

řešeny numericky 6.1 Počáteční úloha B) První modifikace Eulerovy metody Viz skripta, str. 102. Jedná se jen o jemnou modifikaci předchozí metody s tím rozdílem, že vypočteme bod y i+1 pomocí sklonů přibližně odhadnutých ve dvou bodech (viz obr. skripta str. 103): pak užijeme vzorec k 1 = f(x i, y i ); k 2 = f(x i + h 2, y i + h 2 k 1); y i+1 = y i + hk 2. (2) bed b@d OBSAH 8/28

řešeny numericky 6.1 Počáteční úloha V našem příkladu po dosazení konkrétní rovnice máme tedy vzorce k 1 = x 2 i y i ; ( k 2 = x i + 0,1 ) 2 ( y i + 0,1 ) 2 2 k 1 ; y i+1 = y i + 0,1 k 2. To prakticky znamená, že v každém kroku musíme spočítat nejprve dva sklony k 1, k 2, a pak teprve dosadit do vzorce metody 2: y 0 = 1 je zadáno z počáteční podmínky. Dále bed b@d OBSAH 9/28

řešeny numericky 6.1 Počáteční úloha k 1 = 0 2 1 = 1; ( k 2 = 0 + 0,1 2 ) 2 ( 1 + 0,1 y 1 = 1 + 0,1 ( 0,9475) = 0,90525. ) 2 ( 1) k 1 = 0,1 2 0,90525 = 0,89525; ( k 2 = 0,1 + 0,1 2 ) 2 ( 0,90525 + 0,1 y 2 = 0,90525 + 0,1 ( 0,8379875) = 0,82145125. atd. = 0,9475; ) 2 ( 0,89525) V porovnání s přesnými hodnotami na str. 7 je tato metoda lepší. = 0,837 bed b@d OBSAH 10/28

řešeny numericky 6.1 Počáteční úloha C) Druhá modifikace Eulerovy metody Viz skripta, str. 102. Jedná se jen o jemnou modifikaci původní Eulerovy metody s tím rozdílem, že vypočteme bod y i+1 pomocí sklonů přibližně odhadnutých ve dvou bodech (viz obr. skripta str. 103), a nyní tyto dva sklony volíme jinak než u první modifikace: pak užijeme vzorec k 1 = f(x i, y i ); k 2 = f(x i + h, y i + hk 1 ); y i+1 = y i + h 2 (k 1 + k 2 ) (3) bed b@d OBSAH 11/28

řešeny numericky 6.1 Počáteční úloha (výsledný sklon, v jehož směru hledáme následující bod, vznikne jako aritmetický průměr dvou vypočtených sklonů). V našem příkladu po dosazení konkrétní rovnice máme tedy vzorce k 1 = x 2 i y i ; k 2 = (x i + 0,1) 2 (y i + 0,1 k 1 ) ; y i+1 = y i + 0,1 2 (k 1 + k 2 ). To prakticky znamená, že v každém kroku musíme spočítat nejprve dva sklony k 1, k 2, a pak teprve dosadit do vzorce 3: y 0 = 1 je zadáno z počáteční podmínky. Dále bed b@d OBSAH 12/28

řešeny numericky 6.1 Počáteční úloha k 1 = 0 2 1 = 1; k 2 = (0 + 0,1) 2 (1 + 0,1 ( 1)) = 0,89; y 1 = 1 + 0,1 ( 1 0,89) = 0,9055. 2 k 1 = 0,1 2 0,9055 = 0,8955; k 2 = (0,1 + 0,1) 2 (0,9055 + 0,1 ( 0,8955)) = 0,77595; y 2 = 0,9055 + 0,1 ( 0,8955 0,77595) = 0,8219275. 2 atd. Přesnost této 2.modifikace je srovnatelná s 1.modifikací. bed b@d OBSAH 13/28

řešeny numericky 6.2 Okrajová úloha 6.2 Okrajová úloha Příklad 6.2. Numerickou metodou s krokem h = 0,25 řešte okrajovou úlohu y + ( 1 + x 2) y = x, y(0) = 1, y(1) = 2. Název okrajová úloha pochází z toho, že kromě diferenciální rovnice je zadána počáteční podmínka y 0 = y(x 0 ) = y(0) = 1, a dále koncová podmínka určující funkční hodnotu na pravém konci intervalu: y n = y(x n ) = y(1) = 2. Uvedeme si dvě metody řešení této úlohy: ta první D) se používá častěji, ta druhá E) dobře dokumentuje kombinaci několika matematických úprav a metod. bed b@d OBSAH 14/28

řešeny numericky 6.2 Okrajová úloha D) Metoda konečných diferencí Ve vyšší dimenzi bývá tato metoda nazývána jako metoda sítí, protože definiční obor se rozdělí na obdélníkovou síť a numerická metoda hledá přibližné řešení v uzlových bodech sítě. Nyní řešená úloha v dimenzi 1 ještě žádnou skutečnou síť neobsahuje, protože pouze rozdělíme interval a; b s krokem h, a dostaneme posloupnost bodů x i pro i = 1, 2,..., n. Numerickým řešením diferenciální rovnice budou přibližné hodnoty y i neznámé funkce y v těchto bodech. bed b@d OBSAH 15/28

řešeny numericky 6.2 Okrajová úloha Rozdělme tedy interval 0; 1 s krokem h = 0,25 na body x 0 = 0, x 1 = 0,25, x 2 = 0,5, x 3 = 0,75, x 4 = 1. Dále je zadána přesná hodnota na začátku a na konci intervalu: y 0 = 0, y 4 = 1. Pro každou z neznámých funkčních hodnot y 1, y 2, y 3 upravíme diferenciální rovnici ze zadání tak, aby v ní nevystupovaly derivace nahradíme derivace v rovnici pomicí vzorce pro numerické derivování: První derivaci (pokud se v rovnici vyskytuje) v bodě x i nahradíme vztahem f (x i ). = 1 2h (y i+1 y i 1 ) ; druhou derivaci v bodě x i nahradíme vztahem f (x i ). = 1 h 2 (y i+1 2y i + y i 1 ). bed b@d OBSAH 16/28

řešeny numericky 6.2 Okrajová úloha Tak dostaneme v každém z bodů x 1, x 2, x 3 jednu lineární rovnici, takže dohromady budeme mít systém tří lineárních rovnic: y 2 2y 1 + y 0 i = 1 : ( ) 1 + x 2 0,25 2 1 y1 = x 1 ; y 3 2y 2 + y 1 i = 2 : ( ) 1 + x 2 0,25 2 2 y2 = x 2 ; y 4 2y 3 + y 2 i = 3 : ( ) 1 + x 2 0,25 2 3 y3 = x 3. Dosazením do těchto rovnic (x 1 = 0,25, x 2 = 0,5, x 3 = 0,75, a dále známe také y 0 = 0, y 4 = 1) a odstraněním zlomků příslušným násobením dostaneme systém tři lineárních rovnic o třech neznámých bed b@d OBSAH 17/28

řešeny numericky 6.2 Okrajová úloha 2,06640625y 1 y 2 = 1,015625; y 1 + 2,078125y 2 y 3 = 0,03125; y 2 + 2,09765625y 3 = 2,046875, odkud lze určit řešení (po zaokrouhlení na tři desetinná místa) y 1 = 1,140, y2 = 1,341, y3 = 1,615.... Pro srovnání, hodnoty přesného řešení jsou (po. zaokrouhlení na tři desetinná místa) y(x 1 ) = 1,138, y(x 2 ) =. 1,337, y(x 3 ) =. 1,612. Kdybychom chtěli dosáhnout větší přesnosti naší numerické metody, museli bychom interval rozdělit jemněji. bed b@d OBSAH 18/28

řešeny numericky 6.2 Okrajová úloha E) Metoda střelby Převeďme nejprve diferenciální rovnici 2.řádu z našeho příkladu na systém dvou diferenciálních rovnic prvního řádu. Označme nejprve y 1 (x) := y(x), y 2 (x) := y (x). Tím pádem máme první derivaci neznámé funkce y označenu jako y 2, a když nyní dosadíme toto označení za y, dostaneme pouze první derivaci funkce y 2 (tedy y 2 = y ), takže se snížil řád diferenciální rovnice!! Ovšem díky označení y 2 se zvýšil počet neznámých funkcí, bed b@d OBSAH 19/28

řešeny numericky 6.2 Okrajová úloha a tak místo jedné rovnice druhého řádu y = ( 1 + x 2) y x, y(0) = 1, y(1) = 2; dostaneme systém dvou rovnic prvního řádu: y 1 = y 2 ; y 2 = ( 1 + x 2) y 1 x s neznámými funkcemi y 1 (x), y 2 (x) a okrajovými podmínkami y 1 (0) = 1, y 1 (1) = 2. bed b@d OBSAH 20/28

řešeny numericky 6.2 Okrajová úloha Podobnou úpravu lze vždy provést (viz [1], str. 112) obyčejnou diferenciální rovnici řádu n lze substitucí za vyšší derivace neznámé funkce y(x) převést na systém n diferenciálních rovnic řádu 1 (= systém, kde se v každé rovnici vyskytuje pouze první derivace, a žádné vyšší derivace zde už nejsou). Ve výsledku nás bude zajímat jen výsledek pro funkci y 1, protože y 1 = y označuje původní funkci v rovnici. bed b@d OBSAH 21/28

řešeny numericky 6.2 Okrajová úloha Nyní můžeme náš systém dvou rovnic prvního řádu y 1 = y 2 ; y 2 = ( 1 + x 2) y 1 x řešit například Eulerovou metodou v dimenzi 2 (viz př. 8.7 na str.111 skript). Máme zde ovšem problém: Eulerova metoda vyžaduje počáteční podmínku pro obě funkce y 1 (x 0 ), y 2 (x 0 ), my ovšem máme k dispozci jen y 1 (0) = 1, a pro y 2 nám počáteční podmínka chybí. bed b@d OBSAH 22/28

řešeny numericky 6.2 Okrajová úloha Nevadí, pokusíme se počáteční podmínku pro y 2 (x 0 ) náhodně nastřelit, a pak tuto střelbu zkorigujeme kontrolou s okrajovou podmínkou pro funkci y 1 (x n ), kterou máme ještě k dispozici a Eulerova metoda ji přímo nevyužije. Krok 1: Zkusme zvolit např. y 2 (0) = 1 a proveďme pro tento odhad počáteční podmínky celou Eulerovu metodu: y 1 = y 2 ; y 1 (0) = 1; y 2 = ( 1 + x 2) y 1 x; y 2 (0) = 1; Jako výstup Eulerovy metody dostaneme sloupec hodnot y1 k a sloupec y2 k viz soubor kroky.txt: bed b@d OBSAH 23/28

soubor kroky řešeny numericky 6.2 Okrajová úloha x_k y_1k y_2k 0.00000 1.0000000000 1.0000000000 0.25000 1.2500000000 1.2500000000 0.50000 1.5625000000 1.5195312500 0.75000 1.9423828125 1.8828125000 1.00000 2.4130859375 2.4540557861 Vidíme, že v nalezeném řešení y1(1) = 2,4130859375, což jsme trochu přestřelili podmínku ze zadání původního příkladu y1(2) = 2. Zkusme tedy trochu snížit úhel, pod kterým vystřelujeme funkci y2. bed b@d OBSAH 24/28

řešeny numericky 6.2 Okrajová úloha Krok 2: Eulerovu metodu proveďme pro: y 1 = y 2 ; y 1 (0) = 1; y 2 = ( 1 + x 2) y 1 x; y 2 (0) = 0; soubor kroky x_k y_1k y_2k 0.00000 1.0000000000 0.0000000000 0.25000 1.0000000000 0.2500000000 0.50000 1.0625000000 0.4531250000 0.75000 1.1757812500 0.6601562500 1.00000 1.3408203125 0.9319458008 Nyní y1(1) = 1,3408203125, takže hodnotu 2 jsme trochu podstřelili. bed b@d OBSAH 25/28

řešeny numericky 6.2 Okrajová úloha Nyní víme, že hodnota počáteční podmínky pro funkci y2 leží na intervalu 0; 1 a můžeme ji s libovolnou přesností najít například metodou půlení intervalů: Po dalších jedenácti krocích mírné modifikace počáteční podmínky y2(0) = s, kde s je vždy střed intervalu získaného v předchozím kroku, dojdeme ke kroku 13: bed b@d OBSAH 26/28

řešeny numericky 6.2 Okrajová úloha Krok 13: Eulerovu metodu proveďme pro: y 1 = y 2 ; y 1 (0) = 1; y 2 = ( 1 + x 2) y 1 x; y 2 (0) = 0,6147460938; soubor kroky x_k y_1k y_2k 0.00000 1.0000000000 0.6147460938 0.25000 1.1536865234 0.8647460938 0.50000 1.3698730469 1.1086940765 0.75000 1.6470465660 1.4117794037 1.00000 1.9999914169 1.8676569685 Nyní lze vzít sloupec pro y1 jako řešení našeho příkladu pro dané h (a ještě všechny hodnoty zaokrouhlit na tři desetinná místa). bed b@d OBSAH 27/28

Literatura K samostatnému procvičení: str. 122, příklady 8.1, 8.5, 8.6 (na konci skript najdete řešení). Literatura [1] Fajmon, B., Růžičková, I.: Matematika 3. Skriptum FEKT VUT v elektronické formě, Brno 2003. Počet stran 257 (identifikační číslo v informačním systému VUT: MAT103). http://www.rozhovor.cz/souvislosti/matematika3.pdf. bed b@d OBSAH 28/28