Trojúhelník Jan Kábrt
Co se učívá ve školách Výšky, jejich průsečík ortocentrum O Těžnice, jejich průsečík těžiště T Osy stran, střed kružnice opsané S o Osy úhlů, střed kružnice vepsané S v Někdy ještě něco k tomu: O, T, S o leží na jedné přímce (Eulerova přímka) Uprostřed mezi O a S o leží střed kružnice devíti bodů D.
O čem bude řeč zde 1. Eulerova přímka a ortocentrum 2. Kružnice devíti bodů a Feuerbachův bod 3. Symediány a Lemoinův bod 4. Lemoinova kružnice 5. Spiekerův bod 6. Úpatnicové trojúhelníky 7. Morleyův trojúhelník 8. Gergonnův bod 9. Středy trojúhelníku
Body O, D, T, S o leží na jedné přímce.
1. Eulerova přímka a ortocentrum Eulerově přímka spojuje O, D, T, S o Pro úsečky na Eulerově přímce platí: OT : TS o = 2 : 1 OT = 2 TS o OD : DS o = 1 : 1 OD = DS o
Ortocentrum Zvolíme-li z bodů A, B, C, O tři jako vrcholy trojúhelníku, je čtvrtý z těchto bodů pro takový trojúhelník ortocentrem. * Ostroúhlý trojúhelník se tak dělí na tři tupoúhlé. * Tupoúhlý trojúhelník lze podobně doplnit dvěma dalšími tupoúhlými na ostroúhlý.
Pravoúhlý trojúhelník Bude-li pravý úhel při vrcholu C: * Ortocentrum O = C. * Paty dvou výšek jsou také tam A 0 = B 0 = O = C. * Střed opsané kružnice je středem přepony S o = C 1
Pravoúhlý trojúhelník (s pravým úhlem při vrcholu C): * D je středem těžnice CC 1. * D je středem střední příčky A 1 B 1. * DT = AB 1 12
2. Kružnice devíti bodů a Feuerbachův bod Kružnice devíti bodů je taková kružnice v trojúhelníku, na níž leží jeho následující body: * středy stran A 1, B 1, C 1 * paty výšek A 0, B 0, C 0 * středy spojnic vrcholů s ortocentrem (ortocentrum O je průsečík výšek trojúhelníka)
Kružnice devíti bodů a kružnice opsaná (Střed) kružnice devíti bodů (D) je stejnolehlým obrazem (středu) kružnice opsané (S o ), kdy * střed stejnolehlosti je v těžišti (T) * koeficient κ = 0,5. D je uprostřed mezi ortocentrem (O) a středem kružnice opsané (S o ). Poloměr kružnice devíti bodů je polovinou poloměru kružnice opsané.
Feuerbachův bod Kružnici devíti bodů se ve východní Evropě říká také Feuerbachova kružnice. Německý matematik Karl Wilhelm Feuerbach byl asi první, kdo dokázal, že se kružnice devíti bodů dotýká kružnice vepsané a kružnic připsaných. (Jde o bratra filosofa Ludwiga Feuerbacha.) Bod dotyku těch dvou kružnic je Feuerbachův bod (F i v anglosaském prostředí). Střed kružnice vepsané již na Eulerově přímce neleží.
Ludwig Feuerbach (1804 1872) Karl Wilhelm Feuerbach (1800 1834) Obr.: http://en.wikipedia.org/wiki/ludwig_feuerbach, http://en.wikipedia.org/wiki/karl_wilhelm_feuerbach
Body F, S v, D leží na jedné přímce.
3. Symediány a Lemoinův bod Symediána je osově souměrný obraz těžnice podle osy příslušného úhlu (např. symediána těžnice z vrcholu A podle osy úhlu při vrcholu A).
Antipříčka Je úsečka, která spojuje dvě strany jako příčka, ale má na rozdíl od příčky prohozené úhly svírané se stranami. Symediány lze definovat také tak, že spojují vrchol se středem nikoli běžné příčky (to by byly těžnice), ale antipříčky.
Lemoinův bod je průsečík symedián trojúhelníku. Lemoinův bod (L) leží uvnitř trojúhelníku a platí pro něj, že má ze všech vnitřních bodů trojúhelníka nejmenší součet čtverců vzdáleností od stran trojúhelníka.
4. Lemoinova kružnice Pokud Lemoinovým bodem (L) vedeme rovnoběžky s jednotlivými stranami (příčky), všechny průsečíky těchto příček se stranami (je jich šest) leží na kružnici, která se nazývá první Lemoinova kružnice. Střed první Lemoinovy kružnice (L 1 ) je středem úsečky spojující Lemoinův bod (L) a střed kružnice opsané (S o ). Vedeme-li Lemoinovým bodem antipříčky, mají také všech šest krajních bodů na jedné kružnici. To je druhá Lemoinova kružnice. Má střed L.
Body L, L 1, S o leží na jedné přímce.
Barvy Červená výšky Zelená těžnice Tm. modrá osy stran Šedá osy úhlů Tm. hnědá symediány Tm. žlutá příčky Lemoinovým bodem Oranžová antipříčky Lemoinovým bodem Sv. žlutá úpatnice z Lemoinova bodu Fialová kružnice devíti bodů Tm. modrá kružnice opsaná Šedá kružnice vepsaná Tm. žlutá první Lemoinova kružnice Oranžová druhá Lemoinova kružnice
5. Spiekerův bod Spiekerův bod T o lze definovat dvěma způsoby: * Je to střed kružnice vepsané do trojúhelníku ze středních příček * Zároveň je to také těžiště z obvodu (původního) trojúhelníku ABC.
Body S v, T, T o leží na jedné přímce. Těžiště z obvodu (T o ) je stejnolehlým obrazem středu kružnice vepsané (S v ) se středem stejnolehlosti v těžišti (T) trojúhelníka a koeficientem κ = 0,5. Kružnice vepsaná do trojúhelníka ze středních příček (ta z definice Spiekrova bodu) je stejnolehlým obrazem kružnice vepsané (S v ) se středem stejnolehlosti v těžišti (T) trojúhelníka a koeficientem κ = 0,5.
Body S v, T, T o leží na jedné přímce.
6. Úpatnicové trojúhelníky Jejich vrcholy tvoří paty kolmic na strany, když všechny tři kolmice jsou spuštěné z jednoho bodu. Úpatnice jsou kolmice na strany spouštěné z jednoho bodu.
Úpatnice Z ortocentra O Ze středu kružnice opsané S o výšky osy stran Ze středu kružnice vepsané S o normály bodů dotyku Také je lze spouštět z T, D, S v, L,
7. Morleyův trojúhelník také srdce trojúhelníku Je to trojúhelník, jehož vrcholy jsou průsečíky přímek dělících vnitřní úhly na třetiny. Srdce každého trojúhelníku je trojúhelník rovnostranný.
8. Gergonnův bod Spojnice bodů dotyku kružnice vepsané (se stranami) s protějšími vrcholy se protínají v jednom bodě. Ten se nazývá Gergonnův bod.
Úsečky uvnitř trojúhelníka O D T S o L L 1 S o S v T T o zelenohnědá černá světle modrá Gergonnův bod leží obecně mimo ně.
9. Středy trojúhelníku Na začátku devadesátých let 20. století jich bylo 400. K 29. červenci 2008 jich bylo 3514. Všechny splynou v rovnostranném trojúhelníku s O = T = S o = S v. V rovnoramenném jsou na ose souměrnosti.