ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu úloha/zadání název úlohy Vyšší geodézie 1 3/3 GPS - výpočet polohy stanice pomocí dvojitých diferencí školní rok semestr skupina zpracoval datum klasifikace 2010/11 1 NG1-88 Jan Dolista 22. 11.

GPS - výpočet polohy stanice pomocí dvojitých diferencí Zadání: Máte k dispozici observační a navigační soubory formátu RINEX, pořízené pro body 4001, 4003 a 4004. V první části úlohy vypočítejte polohu a opravu hodin přijímače referenčního bodu 4004 na základě časových epoch t 1, t 2, t 3 observačního souboru RINEX. Výpočet proveďte zpracováním kódových měření, pracujte s pseudovzdálenostmi získanými v P2-kódu. Polohy družic a opravy družicových hodin určujte na základě příslušného navigačního souboru formátu RINEX (pokud nejsou v daném souboru k dispozici nejbližší dřívější efemeridy - nejbližší nižší čas efemerid, tak použijte nejbližší pozdější). Jako přibližnou polohu bodu 4004 vstupující do vyrovnání použijte přibližné souřadnice přijímače udané v observačním souboru formátu RINEX. V druhé části úlohy vypočítejte polohu připojovaného bodu 4001/4003 relativně k bodu 4004. Pracujte opět s pseudovzdálenostmi získanými v P2-kódu ve stejných časových epochách a výpočet proveďte zpracováním dvojitě diferencovaných měření. Při výpočtu berte v úvahu družice společné pro referenční a připojovaný bod. Jako rychlost světla použijte hodnotu c = 299792458.0ms 1, jako geocentrickou gravitační konstantu GM = 398, 6005 10 12 m 3 s 2 a jako úhlovou rychlost rotace Země ω e = 7292115, 1467 10 11 s 1. Číselné zadání 3: číslo zadání referenční bod připojovaný bod epocha t 1 [s] epocha t 2 [s] epocha t 3 [s] 3 4004 4003 48150 48750 49350 Epochy t 1, t 2, t 3 jsou zadány v sekundách od začátku dne. Vypracování: Veškeré výpočty byly provedeny v programu Octave. 1 Poloha bodu 4004 1.1 Načtení měřené pseudovzdálenosti a přibližných souřadnic stanice Jako první byly zadané časy epoch převedeny na hodiny, minuty a vteřiny v rámci daného dne. Pro tyto časy byla z observačního RINEXu vybrána měření na všechny družice NAVSTAR GPS. Pro další zpracování bylo načteno PRN družice a měřená pseudovzdálenost získaná z P2-kódu. Z hlavičky souboru byly převzaty přibližné souřadnice určovaného bodu [X 0, Y 0, Z 0 ]. Pro tento účel byla v programu Octave vytvořena funkce, která pro zadaný observační soubor a čas epochy vrací vektory výše zmíněných hodnot (PRN, pseudovzdálenost a přibližné souřadnice). Funkce ještě vyžaduje pomocný parametr a to rok měření. 1.2 Poloha družice v době vyslání signálu Na základě již načtených pseudovzdáleností byl pro každou z družic určen přibližný čas vyslání signálu: t i1 = t epochy R c, kde t epochy je zadaný čas měření, R měřená pseudovzdálenost a c rychlost světla. Pro tento čas a každou z družic byl v navigačním RINEXu vyhledán záznam s nejbližším nižším časem, pokud takový záznam nebyl nalezen, byl použit nejbližší vyšší čas měření. Pro vyhledání záznamu a výpočet polohy byla opět vytvořena funkce v programu Octave, jejíž vstupní parametry

jsou PRN, přibližný čas vyslání signálu, soubor navigačního RINEXu a pomocný parametr rok měření. Funkce po nalezení příslušného záznamu ve tvaru: δ PRN ROK MĚSÍC DEN HODINA MINUTA SEKUNDA δ c c t C rs n M 0 C uc e C uc a T oe C ic l 0 C is I 0 C rc ω 0 Ω I. načte parametry dráhy družice do proměnných a spočte souřadnice družice v systému WGS-84 a chybu hodin. Tyto hodnoty pak vrátí jako výstup. 1.2.1 Přesný čas vyslání signálu a chyba hodin družice Jako první je pro danou družici určena chyba hodin v přibližném čase vyslání signálu t i1 : Dále je zpřesněn čas vyslání signálu: δ s = δ c + δ c t (t i1 t 0 ) + 2 δ c t 2 (t i1 t 0 ) 2 t 1 = t i1 δ s Vzhledem k malým rozdílům časů t 1 a t i1 již nebyla dále zpřesňována chyba hodin družice. Dalším krokem byl výpočet Keplerovských oskulačních elementů: 1.2.2 Střední anomálie 1.2.3 Excentrická anomálie M = M 0 + n(t 1 t 0 ) + n(t 1 t 0 ) E = M + e sin E Excentrická anomálie byla určena iteračně, kdy v první iteraci je hodnota excentrické anomálie volena E 0 = M + e sin M. V dalších iteracích je hodnota anomálie dána vztahem E i = M + e sin E i 1. Výpočet je opakován, dokud rozdíl ve dvou po sobě jdoucích iteracích není menší než dvojnásobek přesnosti výpočtu (dáno možnostmi počítače). 2 δ c t 2 1.2.4 Pravá anomálie v = 2atan ( 1 + e tg E ) 1 e 2 1.2.5 Argument šířky u 0 = ω 0 + v ω = ω 0 + C uc cos (2u 0 ) + C us sin (2u 0 ) u = ω + v

1.2.6 Průvodič r 0 = a(1 e cos E) r = r 0 + C rc cos (2u) + C rs sin (2u) Po výpočtu argumentu šířky a délky průvodiče byly určeny souřadnice družice v systému, kde oběžná dráha družice je v rovině xy, a osa x směřuje do výstupního uzlu (průsečík dráhy s rovinou rovníku). X S = r cos u sin u 0 1.2.7 Sklon I = I 0 + C ic cos (2u) + C is sin (2u) + I(t 1 t 0 ) 1.2.8 Délka výstupního uzlu 1.3 Rotace do WGS l = l 0 + ( Ω ω E )(t 1 t 0 ) T oeω E Posledním krokem výpočtu souřadnic družice je rotace do systému WGS. Ta probíhá ve dvou krocích. Nejprve sklopením kolem osy x o úhel I v matematicky záporném smyslu. Tím je ztotožněna osa z s osou Z systému WGS. Druhým krokem je pak rotace kolem osy Z o úhel l v matematicky záporném smyslu. X WGS = R Z ( l)r X ( I)X S, kde R Z ( l) = cos ( l) sin ( l) 0 sin ( l) cos ( l) 0 0 0 1 R X ( I) = 1.4 Určení polohy bodu vyrovnáním MNČ 1 0 0 0 cos ( I) sin ( I) 0 sin ( I) cos ( I) Pomocí obou funkcí byly získany přibližné souřadnice stanice X R0, Y R0, Z R0 a měřené pseudovzdálenosti RR S na všechny družice dostupné v daných etapách. Ke každé pseudovzdálenosti byly také určeny souřadnice družice v době vyslání signálu X S, Y S, Z S a chyba hodin družice δ s v tomto okamžiku. Pro výpočet vyrovnání byla vytvořena další funkce v programu Octeve, jejímž vstupem je vektor přibližných souřadnic stanice, matice, která na každém řádku obsahuje: PRN RR S XS Y S Z S δ s, posledním vstupem je pak vektor obsahující počty měření v jednotlivých etapách. 1.4.1 Přibližná geometrická vzdálenost mezi určovaným bodem a družicí Z těchto hodnot lze určit přibližnou geometrickou vzdálenost mezi družicí a stanicí: ρ S R0 = (X R0 X S ) 2 + (Y R0 Y S ) 2 + (Z R0 Z S ) 2 1.4.2 Vektor redukovaných měření Vektor l obsahuje redukovaná měření pro všechny použité družice ve všech třech epochách. Jednotlivé prvky vektoru l jsou určeny l i = ρ S R0 R S R cδ S, kde ρ S R0 je přibližná geometrická vzdálenost, RS R je měřená pseudovzdálenost a δs chyba hodin družice.

1.4.3 Derivace funkčního vztahu podle neznámých Měřená pseudovzdálenost je vzhledem k neznámým souřadnicím a chybě hodin přijímače vyjádřena vztahem: ρ S R = (X R X S ) 2 + (Y R Y S ) 2 + (Z R Z S ) 2 + cδ R cδ S Derivace tohoto vztahu podle souřadnic: a S R0 = X R0 X S ρ S R0 b S R0 = Y R0 Y S ρ S R0 c S R0 = Z R0 Z S ρ S R0 Derivace tohoto vztahu podle chyby hodin přijímače: d S R0 = 1 Derivováno bylo podle chyby hodin přijímače násobené rychlostí světla, tento fakt je nutné v dalším výpočtu zohlednit. 1.4.4 Matice plánu submatice pro 1. epochu: A 1 = a 1 R0 b 1 R0 c 1 R0 1 0 0...... a k R0 b k R0 c k R0 1 0 0, kde k je počet družic v 1. epoše submatice pro 2. epochu: A 2 = kde p je počet družic ve 2. epoše submatice pro 3. epochu: A 3 = a 1 R0 b 1 R0 c 1 R0 0 1 0...... a p R0 b p R0 c p R0 0 1 0 a 1 R0 b 1 R0 c 1 R0 0 0 1...... a q R0 b q R0 c q R0 0 0 1,, kde q je počet družic ve 3. epoše výsledná matice plánu: A = A 1 A 2 A 3 1.4.5 Opravy přibližných hodnot neznámých (vlastní vyrovnání) Opravy přibližných hodnot souřadnic a chyb hodin přijímače byly vypočteny vyrovnáním MNČ. ( 1 dh = A A) T A T l

1.4.6 Vyrovnané hodnoty souřadnic bodu a chyb hodin přijímače Vyrovnané hodnoty neznámých se vypočtou přičtením oprav k přibližným hodnotám. Přibližné hodnoty chyb hodin přijímače jsou δ R1 = δ R2 = δ R3 = 0. h = X R0 Y R0 Z R0 0 0 0 + dh Jelikož byla v matici plánu použita derivace podle chyb hodin přijímače násobené rychlostí světla, (cδ R ) bylo nutné opravy chyb hodin přijímače vydělit konstantou c. 1.4.7 Vektor vyrovnaných měření ( ) T h = X R Y R Z R δ R1 δ R2 δ R2 S využitím vyrovnaných hodnot neznámých byl vypočten vektor vyrovnaných měření l vyr : 1.4.8 I. a II. výpočet oprav l vyr i = (X R X S ) 2 + (Y R Y S ) 2 + (Z R Z S ) 2 + cδ R cδ S Opravy byly vypočteny dvakrát. Jednou v rámci vyrovnání a podruhé jako rozdíl pseudovzdáleností vypočtených z vyrovnaných neznámých a měřených pseudovzdáleností. v I = A dh + l v II = l vyr l P2, kde l P2 je vektor obsahující měřené pseudovzdálenosti. 1.4.9 Porovnání I. a II. výpočtu oprav I. a II. výpočet oprav byly vzájemně porovnány. Jelikož rozdíl řádově 10 6 byl považován za dostatečně malý, nebyla provedena další iterace. 1.5 Charakteristiky přesnosti v I v II Na závěr byly vypočteny charakteristiky přesnosti. 1.5.1 Aposteriorní střední jednotková chyba v m 0 = T v n m, kde n=k+p+q... počet družic, m=6... počet neznámých. K výpočtu byl použit I. výpočet oprav. 1.5.2 Kovarianční matice neznámých Q dh = ( ) 1 A T A

1.5.3 Střední chyby neznámých m dh = m 0 diag(q dh ) Střední chyby chyb hodin přijímače jsou opět vzhledem k použité derivaci v matici plánu násobeny rychlostí světla c. 1.6 Číselné výsledky pro bod 4004 Přibližné souřadnice určovaného bodu: X 0 = 3970656.0m Y 0 = 1018570.3m Z 0 = 4870425.3m Střední aposteriorní jednotková chyba: m 0 = 4.1 Vyrovnané hodnoty souřadnic a chyb hodin přijímače a jejich střední chyby: X = 3970663.1m m X = 2.6m Y = 1018585.9m m Y = 1.7m Z = 4870434.1m m Z = 2.8m δ R1 = 8.0393643e 07s m δr1 = 9.170e 09s δ R2 = 0.00022616521s m δr2 = 9.122e 09s δ R3 = 0.00045191807s m δr3 = 9.027e 09s 2 Poloha bodu 4003 Pro výpočet souřadnic bodu 4003 pomocí druhých diferencí byly souřadnice bodu 4004 zafixovány na hodnotách vypočtených v první části úlohy: X 4004 = 3970663.1m Y 4004 = 1018585.9m Z 4004 = 4870434.1m 2.1 Načtení měřené pseudovzdálenosti a přibližných souřadnic stanice Pomocí výše popsané funkce v programu Octave byla z observačních RINEXů pro stanice na bodech 4004 a 4003 načtena měření pro dané časy epoch t 1, t 2, t 3. Použita byla opět kódová měření (P-kód) na nosné vlně L2. Současně byly načteny přibližné souřadnice obou stanic. Jelikož ale pro stanici 4004 jsou již známé přesné souřadnice nejsou přibližné souřadnice potřeba. Souřadnice bodu 4004 jsou určeny se střední chybou 2m a tedy označení přesné je zavádějící, ale pro další výpočet jsou fixovány. 2.2 Poloha družice v době vyslání signálu Pro každé měření byl opět určen přibližný okamžik vyslání signálu: t 1 = t i1 δ s Druhou z již zmíněných funkcí byly pro tento okamžik vypočteny z navigačních RINEXů polohy všech družic, z nichž byl přijat signál a tedy měřena pseudovzdálenost. Vzhledem k rozdílné poloze bodů je měřená pseudovzdálenost na družici se stejným PRN různá a tedy i okamžik vyslání signálu je odlišný. Odlišná je tedy i poloha družice v okamžiku vyslání. Tyto rozdíly v poloze družice dosahují řádově decimetrů, avšak pro další výpočet byly uvažovány. Oproti tomu chod hodin družice dosahuje velmi malých hodnot. Chyba hodin družice v okamžiku vyslání pro bod 4004 se od chyby hodin družice v okamžiku vyslání pro bod 4003 liší řádově o 10 14 s a lze jí pro oba okamžiky považovat za shodnou, čehož je dále ve výpočtu využito.

Z přibližných souřadnic bodu 4003 resp. fixovaných souřadnic bodu 4004 a souřadnic družice byly vypočteny přibližné geometrické vzdálenosti: ρ S 4003 0 = (X 40030 X S ) 2 + (Y 40030 Y S ) 2 + (Z 40030 Z S ) 2 resp. ρ S 4004 = (X 4004 X S ) 2 + (Y 4004 Y S ) 2 + (Z 4004 Z S ) 2 Načtené seznamy družic v každé epoše byly porovnány a pro další výpočet byly použity pouze společné družice resp. měření na ně pro obě stanoviska. 2.3 Výpočet 1. diferencí V dalším kroku byly vypočteny 1. diference měřených pseudovzdáleností: R S 4003,4004 = R S 4004 R S 4003 a zároveň i 1. diference přibližných geometrických vzdáleností: ρ S 4003 0,4004 = ρ S 4004 ρ S 4003 0, kde S je PRN družice společné pro obě stanoviska. Při přechodu na 1. diference dojde k vyloučení chyby hodin družice, neboť je považována za přibližně stejnou pro měření z obou stanovisek, jak bylo uvedeno výše. Dále je odstraněn vliv inosférické refrakce, který lze pro obě stanoviska považovat za stejný (s vysokou přesností) a částečně je vyloučen i vliv troposférické refrakce. Troposférickou refrakci nelze pro oba přijímače považovat za stejnou, neboť největší vliv mají vlastnosti spodní vrstvy atmosféry, tedy podmínky v okolí přijímačů, které se mohou i značně lišit. Podle přibližných souřadnic jsou však oba přijímače velmi blízko sebe (několik metrů) a tedy chyba při považování vlivu troposféry za stejný nebude příliš velká. 2.4 Výpočet 2. diferencí Poté byly vypočteny 2. diference měřených pseudovzdáleností a to odečtením měřené pseudovzdálenosti od jedné referenční (libovolně zvolené): R kl 4003,4004 = R k 4003,4004 R l 4003,4004. Zároveň byly vypočteny i 2. diference přibližných geometrických vzdáleností: ρ kl 4003 0,4004 = ρ k 4003 0,4004 ρ l 4003 0,4004, kde k je PRN referenční družice a l je PRN ostatních družic v epoše. Jako referenční byla zvolena vždy první družice v dané epoše. Přechodem na 2. diference je vyloučena chyba hodin přijímače. 2.5 Matice vah Vzhledem k tomu, že při přechodu na druhé diference je zvolena jedna družice jako referenční, je toto měření ve výpočtu použito vícekrát a měření jsou tedy závislá. Proto je nutné zavést do výpočtu matici vah. Jelikož první diference jsou nezávislé, lze matici vah 1. diferencí považovat za diagonální: 1 0 0 0 0 1 0 0 P Di = 0 0 1 0, 0 0 0 1

Rozměr matice odpovídá počtu 1. diferencí v rámci jedné etapy. Vztah mezi 1. a 2. diferencí lze zapsat pomocí matice F, což je matice derivací funkčního vztahu podle 1. diferencí. Obdobně jako matice plánu při vyrovnání. 1 1 0 0 F = 1 0 1 0, 1 0 0 1 Počet sloupců matice F odpovídá počtu 1. diferencí a počet řádku počtu 2. diferencí, tedy o 1 méně než 1. diferencí. Matice vah 2. diferencí je pak podle zákona přenášení vah: P DDi = ( F ) (P Di ) 1 F T 1 Druhé diference mezi epochami jsou však nezávislé a tak matici vah pro všechny epochy lze sestavit jako diagonální matici, kde na diagonále jsou submatice vah pro jednotlivé etapy a mimo diagonálu 0. P DD = P DD1 0 0 0 P DD2 0 0 0 P DD3 2.6 Určení polohy bodu vyrovnáním MNČ 2.6.1 Vektor redukovaných měření Vektor l obsahuje redukovaná měření (2. diference). Jednotlivé prvky vektoru l jsou určeny l i = ρ kl 4003 0,4004 R kl 4003,4004, kde ρ kl 4003 0,4004 je 2. diference přibližné geometrické vzdálenosti a Rkl 4003,4004 je 2. diference měřené pseudovzdálenosti. 2.6.2 Derivace funkčního vztahu podle neznámých Druhá diference pseudovzdálenosti je vzhledem k neznámým souřadnicím přijímače vyjádřena vztahem: R kl 4003,4004 = (ρ k 4004 ρ l 4004) + ( ρ k 4003 + ρ l 4003) Derivace tohoto vztahu podle souřadnic určovaného bodu 4003: 2.6.3 Matice plánu, a kl 4003 = X 4003 0 X k ρ k + X 4003 0 X l 4003 0 ρ l 4003 0 b kl 4003 = Y 4003 0 Y k ρ k + Y 4003 0 Y l 4003 0 ρ l 4003 0 c kl 4003 = Z 4003 0 Z k ρ k + Z 4003 0 Z l 4003 0 ρ l 4003 0 A = kde n je počet 2. diferencí ve všech epochách. a 1 4003 b 1 4003 c 1 4003... a n 4003 b n 4003 c n 4003,

2.6.4 Opravy přibližných hodnot neznámých (vlastní vyrovnání) Opravy přibližných hodnot souřadnic přijímače byly vypočteny vyrovnáním MNČ. ( 1 dx = A T P DD A) A T P DD l 2.6.5 Vyrovnané hodnoty souřadnic bodu Vyrovnané hodnoty neznámých se vypočtou přičtením oprav k přibližným hodnotám. X 40030 x = Y 40030 + dx Z 40030 2.6.6 Vektor vyrovnaných měření S využitím vyrovnaných hodnot neznámých byl vypočten vektor vyrovnaných měření l vyr : kde ρ S R = l vyr i = (ρ k 4004 ρ l 4004) + ( ρ k 4003 + ρ l 4003), (X R X S ) 2 + (Y R Y S ) 2 + (Z R Z S ) 2, kde R jsou stanoviska 4004 a 4003 a S je PRN družic. Při výpočtu vyrovnaných měření je nutné zachovat stejné pořadí družic a jako referenční (k) zvolit stejnou družici jako při výpočtu vektoru l. 2.6.7 I. a II. výpočet oprav Opravy byly vypočteny dvakrát. Jednou v rámci vyrovnání a podruhé jako rozdíl 2. diferencí vypočtených z vyrovnaných neznámých a 2. diferencí měřených pseudovzdáleností. v I = A dh + l v II = l vyr l R, kde l R je vektor obsahující 2. diference měřených pseudovzdáleností. 2.6.8 Porovnání I. a II. výpočtu oprav I. a II. výpočet oprav byly vzájemně porovnány. Jelikož rozdíl řádově 10 6 byl považován za dostatečně malý, nebyla provedena další iterace. 2.7 Charakteristiky přesnosti v I v II Na závěr byly vypočteny charakteristiky přesnosti. 2.7.1 Aposteriorní střední jednotková chyba v m 0 = T v n m, kde n... počet 2. diferencí (velikost vektoru l), m=3... počet neznámých. K výpočtu byl použit I. výpočet oprav.

2.7.2 Kovarianční matice neznámých ( ) 1 Q dh = A T P DD A 2.7.3 Střední chyby neznámých m dh = m 0 2.8 Číselné výsledky pro bod 4003 diag(q dh ) Přibližné souřadnice určovaného bodu: X 0 = 3970651.65m Y 0 = 1018573.21m Z 0 = 4870428.35m Střední aposteriorní jednotková chyba: m 0 = 0.65 Vyrovnané hodnoty souřadnic přijímače a jejich střední chyby: X = 3970658.98m m X = 0.41m Y = 1018588.51m m Y = 0.27m Z = 4870437.26m m Z = 0.46m 3 Shrnutí výsledků Poloha bodu 4004: X 4004 = 3970663.1m Y 4004 = 1018585.9m Z 4004 = 4870434.1m m X = 2.6m m Y = 1.7m m Z = 2.8m Poloha bodu 4003: X 4003 = 3970658.98m Y 4003 = 1018588.51m Z 4003 = 4870437.26m m X = 0.41m m Y = 0.27m m Z = 0.46m Závěr: V první části úlohy byly z dat obsažených v observačním a navigačním RINEXu určeny souřadnice bodu 4004. K výpočtu byly použity zdrojové kódy pro předchozí dvě úlohy, které byly upraveny tak, aby je bylo možné použít jako funkce. Pro výpočet bylo použito kódové měření a to P-kód na nosné vlně L2. Výsledné souřadnice bodu 4004 jsou určeny s přesností 2-3m. V druhé části úlohy byly určeny souřadnice bodu 4003 a to pomocí dvojitých diferencí. Jako referenční bod byl zvolen bod 4004, jehož souřadnice vypočtené v první části úlohy byly zafixovány. Použitím druhých diferencí byl odstraněn vliv ionosférické refrakce a snížen vliv troposférické refrakce (viz výše). Dále byl eliminován vliv broadcast efemeridů a chyby hodin družice, jejichž střední chyba může být až 1m. Použitím dvojitých diferencí rovněž není potřeba zavádět chybu hodin přijímače jako neznámou do výpočtu, neboť je vyloučena. Při vyrovnání je dosaženo o řád lepší přesnosti výsledných souřadnic. Je však nutné uvážit, že pomocí dvojitých diferencí je určována pouze relativní poloha vůči referenčnímu bodu. Proto i když bylo dosaženo relativní přesnosti v řádu decimetrů, absolutní poloha bodu 4003 je určena se stejnou přesností jako poloha referenčního bodu 4004, tedy 2-3m. To lze demonstrovat porovnáním posunů (dx) obou bodů: X 4003 = 7.297m X 4004 = 7.089m Y 4003 = 15.308m Y 4004 = 15.558m Z 4003 = 8.910m Z 4004 = 8.764m Tyto posuny jsou v řádech metrů stejné. Tedy do výsledných souřadnic bodu 4003 se plnou měrou promítly souřadnice bodu 4004. Výpočty byly provedeny v programu Octave. Zdrojový kód k výpočtům není přílohou technické zprávy (v případě potřeby bude zaslán). V Kralupech nad Vltavou 22.11.2010 Jan Dolista (so-cool@ehm.cz)