1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8

Transkript

1 1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory Operace s vektory Lineární závislost a nezávislost vektorů Báze vektorového prostoru Determinant Matice Operace s maticemi Hodnost matice Inverzní matice Maticové rovnice Soustavy lineárních rovnic

2 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra 11 Vektory 111 Operace s vektory 1 Vypočítejte součet a b + a rozdíl a b a b a vektorů: a) a = ( ) b = ( b) a = b = a = b = a = b = ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) 2 Vypočítejte souřadnice vektoru x pro který platí: a) x+ 2a 4 b = o a = ( 8711 ) b = ( 93 5) 4x8a 2 b = o a = b = b) ( ) ( ) 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 3 Určete konstantu m tak aby vektory ab byly lineárně závislé (kolineární): a) a = ( 4 m 5 ) b = ( 8 61) b) a = ( 1 m m) b = ( 3 6 6) 4 Určete konstanty mr tak aby vektory ab byly lineárně závislé (kolineární): a = 12 m16 b = 9 3 a = 4 m 8 4 b = 6 9 r 6 a) ( ) ( r ) b) ( ) ( ) 5 Zjistěte jak jsou vektory abc závislé: a) a = ( 1 1 ) b = ( ) c = ( 3 3) b) a = ( ) b = ( 1 1 ) c = ( 3 2 5) a = b = c = d) a = ( ) b = ( 1 1 ) c = ( 3 4 7) e) a = 511 b = 21 c = 3 4) c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( - 8 -

3 1 Lineární algebra 6 Zapište vektor d jako lineární kombinaci vektorů abc : a) a = ( 1 1 ) b = ( ) c = ( 3 3 ) d = ( 512 5) b) a = ( ) b = ( 1 1 ) c = ( ) d = ( ) c) a = ( ) b = ( ) c = ( ) d = ( 3 2) a = 21 2 b = 1 3 c = 11 d = 113 d) ( ) ( ) ( ) ( ) 113 Báze vektorového prostoru 7 Dokažteže vektory ab ctvoří bázi vektorového prostoru a zapište souřadnice vektoru d v této bázi: a) a = ( 1 1 ) b = ( ) c = ( 3 1 ) d = ( 119 9) a = 432 b = 11 c = 34 d = a = b = c = 1 4 d = 7 8 b) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 Determinant 8 Vypočítejte determinant: a) b) c) d) e) Vypočítejte determinant Sarrusovým pravidlem: a) b) c) d) e)

4 1 Lineární algebra 1 Vypočítejte determinant determinant upravte a použijte rozvoj podle některého řádku nebo sloupce: a) b) c) d) e) Vypočtěte determinant úpravou na trojúhelníkový tvar: a) b) c) d) Matice 131 Operace s maticemi 12 Vypočítejte 2 A+ 3 BC kde: a) A = 3 B = = 2 5 C

5 1 Lineární algebra b) A= 2 3 B= 5 3 C= Vypočítejte A+ 2 E2 B kde: a) A= B= b) Vynásobte matice A a B : a) A= B= b) A= 3 4 B= A= 3 4 B= c) A= B= 3 d) A= B= e) ( ) A = B= f) A= 4 B= g) A= B= 2 h) A= 1 4 B= i) ( ) A= B= j) A= 3 B= k) A = B= C= matice lze násobit více způsoby

6 1 Lineární algebra 132 Hodnost matice 15 Vypočítejte hodnost matice: a) A = b) A = 3 3 c) A = d) A = e) A = f) A = g) A = h) A = Doplňte parametry ab tak aby matice měla danou hodnost: a) A = a 4 2 h( A) = 2 b) A= a 7 2 h( A ) = b 4 b

7 1 Lineární algebra 133 Inverzní matice 17 Najděte inverzní matici: 4 3 a) A = b) c) 2 1 A = A = d) A = e) A = Najděte inverzní matici: a) A = b) A = c) A = d) A = 2 1 e) A = Najděte inverzní matici: a) 2 1 A = b) A = c) A = d) A = Maticové rovnice 2 Řešte rovnici s neznámou maticí X : a) X = b) X =

8 1 Lineární algebra c) X = d) X = e) X = f) X = Řešte rovnici s neznámou maticí X : a) X = 3 4 b) X = c) 3 1 X = 1 1 d) X = e) X = Řešte rovnici s neznámou maticí X : a) X = 2 b) X 2 3 = ( 3 3) c) X = Řešte soustavu maticových rovnic s neznámými maticemi XY : a) b) 2 3 X = = 6 11 Y 5 X X= Y=X

9 14 Soustavy lineárních rovnic 1 Lineární algebra 24 Řešte soustavu lineárních rovnic GEM a Cramerovým pravidlem: x+ y+ z= 4 2x+ 3y 2z=4 x+ y+ 2z= 6 a) 2x 3y+ z=3 b) 4x 3y+ 3z= 1 c) 2x y 4z=6 x+ 2y 2z= 1 6x 4y 2z= 14 5x+ y+ z= 12 2x+ 3y+ 4z= 9 6x+ y z= 7 x+ y z= 5 d) 5x 3y+ 4z= 6 e) x 6y+ z= 17 f) x 2y+ z= 4x+ 3y 4z=21 x+ y+ 6z= 14 x+ y z=5 g) x + 2y z= 9 x + y+ z= 3 h) 2x y z= 6 2x+ y 2z= 7 2x + 3y 4z= 4 x+ 2y+ z= i) 5x 3y+ 7z= 2 2x+ 3y+ z= 9x + 4y 12z= 1 25 Řešte soustavu lineárních rovnic GEM: x+ y+ z+ u= 4 x + y 4z= 9 x 2y+ 3z u= 2 a) x + y+ 2z= 3 b) c) 2x y+ 4z = 6 x + y z= 6 3x + 5z+ u= 11 3x + 2x + x x = x1+ x2+ 4x3 + x4= 4 2x x + 3x x = x + x + 5x + x = x + 2x x + 3x 2x = 4 2x + 2x 3x + 3x x = 5 d) 2x x 3x + 3x =3 e) x + 2x 2x + x = x + 2x x + 2x x = 6 x + 2x + 4x x = x1 x2+ 5x3 x4 2x5= 4 3x x + x + x = x 2x + 2x + 2x + 4x = 8 26 Řešte homogenní soustavu lineárních rovnic: x + y+ z+ u= x + y 4z= 3x 2y+ z = a) x + y+ 2z= b) c) 2x + 2y+ z+ 2u= x + y z= 6x + y+ 3z 3u= 2x + x + x = 1 2 3x1 x2+ 2x3 + 2x4 = 4x + x + 2x + 5x = x + 5x = 3 4 2x 3x + x x + x = 2x + x 3x + x + x = d) x x + 3x x x = e) 4x 2x 2x + 2x = x 2x 2x + 2x = 3 5 x + 2x x + 4x x = 2x1+ 4x2 4x3+ 6x4 3x5= x + 2x 3x + 2x 2x = x 2x + x 4x + x =

10 1 Lineární algebra

11 1 Lineární algebra 1 a) a+ b = a b = ( ) ( 1 4) b a = ( 4) b) a+ b = ( ) a b = ( ) b a = ( ) c) a+ b = ( ) a b = ( ) b a = ( ) d) nelze sčítat ani odčítat 2 a) x = ( ) b) x = ( ) 3 a) m = 3 b) m = 2 4 a) m= 4 r = 12 b) m= 6 r = 12 5 a) 2a b+ c = o b) a 4b c = o c) 4 a+ b+ 4 c = o d) 2 a+ b c = o e) LNZ 6 a) d = a+ 2b+ 2c b) d = a+ 2b+ 3c c) d = b+ c d) d = 2a+ 3b c a) det =1 tvoří bázi d ( 3 1 5) abc = b) det 1 1 = tvoří bázi d ( 4 4 7) abc = c) det =36 tvoří bázi d ( 1 2 ) abc = a) 3 b) 12 c) d) 1 e) 1 9 a) 7 b) 41 c) d) 24 e) 1 a) 2 b) 7 c) d) 2 e) a) 3 b) 27 c) 8 d) a) b) 13 a) b) X = a) AB = BA = b) A B= B A= c) AB = BA = 4 13 d) AB = BA nelze násobit

12 1 Lineární algebra e) AB = () 1 BA = f) AB = BA = g) AB = BA = 2 9 h) AB nelze násobit BA = = 7 = AB BA j) AB = BA = i) ( ) k) ABC = CAB = BCA = a) h( A ) = 2 b) h( A ) = 3 c) h( A ) = 3 d) h( A ) = 4 e) h( A ) = 2 f) h( A ) = 5 g) h( A ) = 3 h) h( A ) = 5 16 a) ( ) b) a =5 b R 1 2 a = 4 b= 2 a = 4 b= 2 + k k k a) A = b) d) A = e) = A A = c) A = a) A = b) A = c) A neexistuje d) A = e) = A

13 1 Lineární algebra c) b) f) 19 a) = A b) A = d) X = c) X = 21 a) A = X = d) X = b) d) X = 5 2 e) 6 7 b) X = (3 2 3) c) 2 1 = = = = 4 2 A 2 a) X 2 X = e) X = c) X = a) X = X = X = X = a) X= 2 Y= b) X Y 24 a) ( 1 21 ) b) (1 2 ) c) ( 2 46) d) ( 313 ) e) ( 2 23) f) (555) g) ( 3 2 2) h) ( ) 1 3 i) ( ) 25 a) (5 1) tt b) nemá řešení c) d) (17 t4 s s9 2 s t2 + t) e) nemá řešení 26 a) ( tt ) b) ( ) c) ( 5 3) tt t t d) ( ts s 4s2 t t) e) ( 9t4s2 r r t s 2t2s)