Číslicové řízení procesů

Číslicové řízení procesů čební text VOŠ a SPŠ Ktná Hora Ing. Lděk Kohot

Základní pojmy číslicového řízení Rozdělení řízení podle průběh signálů logické řízení binární signály (RUE, FALSE) analogové řízení spojité signály v daném interval diskrétní řízení signály jso definované poze v rčitých časových okamžicích daných tzv. periodo vzorkování a reprezentovány jako datové slovo. Základem řídicího člen je mikropočítačová výpočetní jednotka. Vlastnosti systémů číslicového řízení Centralizace a decentralizace řídicích prostředků Rozdělení řídicího obvod na několik vzájemně spolpracjících celků propojených průmyslovými komnikačními linkami. Vznik tzv. distribovaného řídicího systém charakterizovaného víceúrovňovo hierarchicko strktro.

Strktra distribovaného systém PC Vrcholová úroveň IPC PLC PC Lokální síť (management.. ) Informační úroveň Průmyslová sběrnice Panely operátora PLC Kompaktní reglátory Inteligentní modly IPC PC + ZMD Řídicí úroveň SNÍMAČE, ŘÍZENÝ AKČNÍ ČLENY PROCES echnologická úroveň

Vlastnosti číslicového řízení - dokončení Spolehlivost Spolehlivost se vyjadřje tzv. střední dobo mezi porchami, příp. střední dobo mezi opravami (řádově 0 4 až 0 5 hodin) Snadná změna strktry reglátorů Algoritms řízení není narozdíl od klasických atomatizačních prostředků rčen pevným zapojením elektronických sočástek či pnematických, příp. hydralických prvků, ale je tvořen programově. Řídicí počítače a programovatelné atomaty možňjí požadovano strktr reglačního člen sestavit vhodno kombinací počítacích bloků. Programové nastavení parametrů reglátorů Minimální drift nly Snadný přenos informace na velké vzdálenosti Snadné nastavení, oživení a montáž řídicích systémů, diagnostika

Základní principy číslicové reglace Obecné schéma reglačního obvod zpět k příklad 4

Blokové schéma číslicového reglačního obvod w + e(t) - Vzorkovací člen e(k) Zesilovač A / D převodník e(k) Centrální jednotka (k) D / A převodník (k) varovací člen (t) Akční člen y(t) Reglovaná sostava Řídicí obvod je realizován výpočetním systémem sestávajícím ze: vstpní jednotky složící k načtení všech vstpních signálů (vzorkování) a převod do číslicové podoby srozmitelné centrální jednotce výpočetního člen výpočetního člen, který zpracovává vstpní signály a počítá např. reglační odchylk e, akční veličin PID de k R ( e + e dt + d ) i dt výstpní jednotky, jejímž úkolem je převést číslicový signál na signál srozmitelný akčním člen (D/A převod, tvarování alarmová hlášení atd.)

Vstpní obvody číslicového systém Vzorkování vstpních signálů periodické testování vstpního signál číslicový systém v pravidelných intervalech odebírá vzorky vstpního signál (reglované veličiny) a "zmrazí" je až do dalšího odběr vzork čas mezi dvěma sosedními odběry se nazývá perioda vzorkování e(t) e(k) t 3 4 5 n t 3 4 5 n k

Principy vzorkování vzorkovač vytváří ze spojitého signál obdélníkové plsy se zanedbatelno šířko a s amplitdo rovno okamžité hodnotě vstpního signál rčení periody vzorkování perioda vzorkování msí být konstantní a dostatečně dlohá -reglátor msí v interval provést: načtení všech vstpů (řádově až tisíce) výpočty v reálném čase (výpočet e(t), výpočet x(t), alarmy, další výpočty) tvarování výstpních signálů atd. zvětšováním periody vzorkování se zhoršje přesnost zpracovávaného signál, volíme s ohledem na: přesnost analogových přístrojů pro získání informace přesnost digitálních přístrojů (A/D převodníků) dynamik řízeného systém

Výpočet optimální periody vzorkování Pro jeden vzorkovaný signál platí: 50 τ p opt ymax ymin t.. časová konstanta řízeného systém p.. celková chyba inform. řetězce y max -y min.. rozsah měření Celková chyba informačního řetězce: p A + D A chyba analogových přístrojů D chyba digitálních přístrojů Chyba analogových přístrojů A p p + + K + pi pi třídy přesnosti analogových přístrojů Chyba digitálních přístrojů 50 3 D [% ] n n počet bitů A/D převodník

Fnkce vstpních obvodů - dokončení Zesílení vstpního signál Analogově - digitální převod Šířka datového slova rčje rozlišjící schopnost převodník a ovlivňje přesnost celé reglační smyčky. Řídicí systémy pracjí většino s datovým slovem s šířko 8 až 6 bitů Mltiplexování vstpů Vstpní obvody zpracovávají řádově desítky až tisíce signálů Zpracování samostatnými vzorkovacími obvody by bylo neúměrně drahé. Pro skpin vstpů se požije jeden analogový obvod, na který se pomocí analogového mltiplexer postpně vstpní signály připojjí.

Zpracování signál v centrální jednotce Přepočet snímaných signálů do odpovídajících fyzikálních jednotek Cílem výpočt je převést digitalizovaný signál ze snímačů teploty, tlak, polohy, příp. objemového tok na C, kpa, m, příp. m3 /s (příklad) Kontrola mezních hodnot programová kontrola vybraných stavových veličin při překročení mezních stavů se generjí tzv. alarmy alarmy informjí obslh formo optické, případně akstické signalizace požití prostředků třídy SCADA/HMI Řízení DSC V režim DSC (Digital Setpoint Control) řídicí počítač generje signál složící pro nastavení řídicí veličiny podřízeného reglačního systém Přímé číslicové řízení DDC V režim DDC (DirectDigital Control) jso naměřené stavové veličiny požity k výpočt akčních veličin Monitorování technologického proces operátorské panely dispečerské SCADA software

Zpracování signál v centrální jednotce -dokončení Optimalizační výpočty Naměřené hodnoty jso požity pro staticko a dynamicko optimalizaci proces Materiálové a energetické výpočty Naměřené hodnoty složí k bilančním výpočtům spotřeby materiál a energií. S rostocími cenami energií nabývají na důležitosti především výpočty týkající se spotřeby elektrické energie. V praxi se často požívá tzv. reglace spotřeby Archivace dat V paměti počítače se chovávají informace charakterizjící řízený proces (průběhy stavových veličin, zásahy obslhy...)

Fnkce výstpních obvodů (k) převádí informace vypočtené centrální jednotko na signály požitelné pro bzení akčních členů základem výstpní analogové jednotky je D/A převodník transformjící datové výstpní slovo CPU na diskrétní signál tvarovač praví signál do vyžitelné podoby: stpňovitý signál šířkově modlovaný signál frekvenčně modlovaný signál (k) x(t) 0 3 4 5 6 7 k x(t) 0 3 4 5 6 7 k 0 3 4 5 6 7 k stpňovitý signál 0 3 4 5 6 7 šířkově modlovaný signál k

eorie číslicového řízení - diferenční rovnice spojitý reglační obvod je popsán diferenciálními rovnicemi proměnné jso definovány spojitě v čase číslicový reglační obvod je popsán diferenčními rovnicemi proměnné jso definovány jen v rčitých časových okamžicích daných násobky periody vzorkování rovnice nejso fnkcí čas t, nýbrž proměnné k. nebo častěji jen k je perioda vzorkování diferenční rovnice možní postpný výpočet okamžitých hodnot výstpní veličiny v časech t k. ; k 0,,, 3,... okamžité hodnoty výstpní veličiny lze vypočítat pomocí transformace Z z rovnicediferenciálnílze pomocí Laplaceovy transformace s nenlovými počátečními podmínkami odvodit rovnici diferenční

Odvození diferenční rovnice jednokapacitní sostavy (k) varovač (t) RS y(t) Reglovaná sostava s tvarovačem diferenciální rovnice sostavy y (t) + y(t) KS (t) obrazový přenos K F(p) S + p (k) Průběhy veličin v k-tém interval (k) ) Průběhy veličin (t)) 3 4 5 k y(τ) k k+ } y(0) y(k) y(t)) t τ t

Převod diferenciální rovnice na diferenční Laplaceovatransformace pro nenlové počáteční podmínky y(0) 0: ( n) n n n (n) (n) { (t)} p F(p) p f (0) p f (0)...pf (0) f (0) L f v našem případě py(p) y(0) + Y(p) K Y(p) K S U(p) + y(0) + p S U(p) Z knihovny Laplaceových obrazů známe Počátečnípodmínka: y(0)y(k) po dosazení: konst K (k) L{ konst} y(k) Y(p) S + p p( + p ) + p průběh y v k-tém τ τ interval: y( τ) k L { Y(p) } y( τ) k KS(k) e + y(k) e chceme znát y(τ) vokamžik (k+), tj. pro τ označíme: e D a po dosazení získáme diferenční rovnici: y(k + ) KS (k ).( D) + D.y(k) nebo častěji: y(k) + a y(k ) b (k ) y(k + ) + a y(k) b (k) a D; b K D e S ( D)

Diferenční rovnice RS Diferenční rovnice popisje, jaké bdo hodnoty výstpního signál y(k) v okamžicích k0,,,3,4,... atd. Koeficienty ai a bi vyjadřjí vlastnosti sostavy Číselné hodnoty koeficientů a i a b i platí poze pro rčito vzorkovací frekvenci. Rovnice zahrnje i přenos tvarovače nltého řád! Diferenční rovnice vyšších řádů můžeme vyjádřit obdobným způsobem. Diferenční rovnice reglované sostavy n-tého řád n n y(k) + ai y(k i) bi (k i) i i

Řešení diferenční rovnice Nmerická metoda postpný výpočet fnkčních hodnot Pro výpočet hodnoty v okamžik k msí být známy hodnoty y v okamžicích k-, k-,..., k-n (n řád sostavy). Nevýhoda - pro výpočet např. 000. vzork msíme vypočítat 999 předchozích hodnot Příklad Vyšetřete přechodovo charakteristik jednokapacitní RS s parametry: Ks, s, perioda vzorkování 0,s, y(0) 0

Diferenční rovnice: y(k) - 0, 8 y(k ) 0, 8 (k Přechodová charakteristika RS ) y(k) 0,8 (k ) + 0,8 y(k ) k 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 y(k) 0 0,8 0,33 0,45 0,55 0,63 0,70 0,75 0,80 0,83 0,86 0,89 0,9 0,9 0,94 0,95 (k) y(k) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 4 6 8 0 4 6 K řešení požijeme tablkový procesor MS-Excel k

Příklad (k) Reglovaná sostava je popsaná diferenční rovnicí y( k) 0,55 y( k ) 0,35( k ) Vypočtěte odezv na implz(t) podle obrázk Výpočet pomocí MS-Excel 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 k 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 y(k) 0,3 0, 0, 0 0 4 6 8 0 4 6

Dvokapacitnístatická RS Diferenční rovnice RS drhého řád : ) (k b ) (k b ) y(k a ) y(k a y(k) + + + ( ) + + + D D D D K b D D K b D D a D D a e D e D S S Příklad 3 Vyšetřete přechodovo charakteristik dvokapacitní RS s parametry: Ks 0, s, 6s, perioda vzorkování 0,s, y(0) 0, y (0) 0 Ks a a b b D D 6 0, 0 -,87-0,875 0,03 0,03 0,905 0,967 K řešení požijeme tablkový procesor MS-Excel Pro RS s přenosem ( ) ( )( ) + + p p K p F S platí pro a i, b i :

Diferenční rovnice reglátorů Diferenční rovnice reglátor dává vztah mezi (k) a e(k) e(k) Algoritms výpočt reglátor (k) Reglátor P Ve spojité oblasti je proporcionální reglátor popsán rovnicí ( t) r e( t r 0 ) 0 KR Diferenční rovnici odvodíme z rozdíl výstpního signál v k téma k- témvzork: ( k) r ( k 0 e( k) ) r e( k ) 0 Odečtením (k) a (k-) dostaneme: ) r [ e( k) e( k ] [ e(k) e(k ) ] + (k ) ( k) ( k 0 ) (k) r0

Diferenční rovnice reglátor I Reglátor I Ve spojité oblasti je integrační reglátor popsán rovnicí Diferenční rovnici odvodíme z rozdíl výstpního signál v k tém a k- témvzork: Odečtením (k) a (k-) dostaneme: i R K r dt t e r t ) ( ) ( ) (k e(k) r (k) + ) ( ) ( ) ( k e r k k k j k j j e r k j e r k 0 0 ) ( ) ( ) ( ) (

Diferenční rovnice složky D Složka D Ve spojité oblasti je derivační složka popsána rovnicí: Diferenční rovnici odvodíme z rozdíl výstpního signál v k tém a k- témvzork: r (k) [ e(k) e(k ) ] r (k ) [ e(k ) e(k ) ] Odečtením (k) a (k-) dostaneme: r r r (k) - (k ) e(k) - e(k ) + e(k ) r (k) [ e(k) - e(k ) + e(k ) ] + (k ) de( t) ( t) r r dt K R d

Diferenční rovnice sdržených reglátorů PI, PD, PID Diferenční rovnice sdržených reglátorů vychází ze základních složek P, I, D. Reglátor PI: (k) (r + r ) e(k) - r0 e(k ) + (k 0 Reglátor PD: r r r (r ) e(k) - (r 0 + 0 + ) e(k ) + e(k ) + (k (k) Reglátor PID: r r r (k) (r r ) e(k) (r ) e(k ) 0 + + 0 + + e(k ) + (k ) ) )

Rozbor číslicového reglačního obvod Příklad 4 Určete diferenční rovnici reglátor, reglované sostavy a diferenční rovnici rčjící závislost reglované veličiny y(k) a řídicí veličiny w(k). Ve spojité oblasti jso členy reglačního obvod popsány přenosy: Reglovaná sostava: 5 F S (p) + 0 p Reglátor: 0,04 F R (p) p Reglační obvod obsahje vzorkovač s 5s a tvarovač nltého řád.

Řešení příklad 4 Diferenční rovnice složek reglačního obvod: Reglovaná sostava: Reglátor: Porovnávací člen: y(k) + a y(k ) b (k ) [] (k) r e(k) + (k ) [] e(k) w(k) y(k) [3] Algoritms řízení -diferenční rovnice zavřeného reglačního obvod: y(k) fce[w(k)] řešíme sostavo diferenčních rovnic: do rovnice RS [] vložíme rovnici reglátor [] pro vzorek k- y(k) a y(k ) b r e(k ) + (k ) + [ ] z rovnice rozdílového člen [3] dosadíme za e(k-) [ r [ w(k ) y(k ) ] + (k ) ] y(k) a y(k ) b + roznásobíme a dosadíme z rovnice [] za b.(k-) y(k) + a y(k ) b r w(k ) b r y(k ) + y(k ) + a y(k ) rovnici pravíme a dosadíme sktečné koeficienty a -0,606, b,97 y(k), y(k ) + 0,606 y(k ) 0,394 w(k ) K řešení požijeme tablkový procesor MS-Excel

ransformace Z - vlastnosti ransformace Zse požívá k řešení diferenčních rovnic analogicky spožitím Laplaceovy transformace ve spojité oblasti. Základní vlastnosti transformace Z Definice obraz Z: F(z) F(z) a k 0 f Věta o linearitě: f (k) a.f (k) + a.f (z) + a k ( k). z.f.f F(z) f(k) z (k) + a (z) + a Věta o posntí voriginál: Z Z Z { f(k) } F(z) { f(k) } z.f(z) n { f(kn) } z.f(z) 3 3.f 3 (k) +... + a.f (z) +... + a 3 obraz Z originální diskrétní fce operátor z n n.f.f n n (k) (z)

lim f (k) lim ransformace Z - dokončení Věty o počáteční a koncové hodnotě fnkce: lim f (k) lim F(z) k 0 k z z [(z ).F(z) ] Obrazy vybraných fnkcí: Originál (k) k a k a ( k k ). a Obraz z z z z a z a z z + a

Zpětná transformace Z Úkol zpětné transformace Z převést obraz Z na diskrétní fnkci Metody zpětné transformace Z dělení polynomů zpětná transformace Z spožitím knihovny obrazů zpětná transformace Z spožitím vzorce Příklad 5 : Pomocí transformace Z rčete obraz zadané diferenční rovnice a vypočtěte odezv RS na jednotkový skok. Diferenční rovnice RS: ransformace Z: y(k) 0,9 y(k ) 0, (k ) Y(z) 0,9z.Y(z) 0,.z F(z) Y(z) U(z) 0,.z 0,9z.U(z) 0, z 0,9

Odezva sostavy na jednotkový skok Obraz výstp: z 0, Y(z) U(z).F(z) z z 0,9 Po úpravě: Y (z) 0, z P(z) Q(z) 0... charakteristická rovnice ( z )( z 0,9) Q(z) Vztah pro výpočet hodnot y(k) získáme zpětno transformací Z : Metoda dělení polynomů P(z) : Q(z) Hodnoty y(k) jso dány odpovídajícími koeficienty podíl polynomů P(z) a Q(z)

Zpětná transformace Z metodo dělení polynomů Y(z) 0, z 0, z ( z)( z0,9) z,9z+ 0, 9 P(z) 0, z Q(z) z,9z+ 0,9 0,z : z -,9z + 0,9 0,z - + 0,9z - + 0,7z -3... 0,z -0,9 +0,09z - +0,9-0,09 z - +0,9-0,36z - +0,7z - +0,7z - -0,7z - Hodnoty y(k) jso dány odpovídajícími koeficienty podíl polynomů P(z) a Q(z). y() 0, y() 0,9 y(3) 0,7... atd.

Zpětná transformace Z s požitím knihovny obrazů výraz rozložíme na parciální zlomky pravíme do potřebné podoby převedeme pomocí knihovny obrazů V našem případě vyjdeme z výraz ve tvar: Výraz rozložíme na parciální zlomky Y( z) 0,z A 0, A+ B A, 0, z ( z)( z0,9) z0, 9 00,9AB A z + ( z0,9) + B ( z) B0,9 B Y( z) Po dosazení dostaneme vztah pro výpočet k-tého vzork: y ( k ) ( k ) (k) ( k) + 0,9 0, 9 0,9 0,9 0, z ( z)( z0,9) Vypočítáme hodnoty y(k) y()0, y()0,9 y(3)0,7... y(50)0,994...

Zpětná transformace Z pomocí vzorce Zpětno transformaci Zprovedeme aplikací vztah: n P(z { } i) k y(k) Z Y(z) z kde z i i kořeny charakteristické rovnice Q(z ) Q (z i ) i vnašem případě: P(z) 0, z Q(z) z -0,9 z + 0,9 Q (z) z -,9 z, z 0,9 y ( k) Po dosazení dostaneme vztah pro výpočet k-tého vzork: y P Q' ( z ) ( z ) 0, 0, 0,09 0, ( ) ( k) (k) k + 0,9 0,9 0,9 P i ( zi 0,9) ( z 0,9) i (k) (k) + 0, 9 i Q' i n derivace charakteristické rovnice řád charakteristické rovnice

Přenosy číslicového reglačního obvod W(z) E(z) Y(z) F R (z) U(z) Z U (z) porcha vstpjící do RO v místě akční veličiny Z Y (z) porcha vstpjící do RO v místě reglované veličiny F F S (z) Z Y (z) Z U (z) Přenos řízení F W (z) F W Y(z) W(z) F (z) F F (z) (z) R S + F (z) F F (z) R S F R (z) F FS (z) + F (z) O kde F (z) F (z) F F O R S je přenos otevřené smyčky (z)

Přenosy číslicového reglačního obvod - dokončení Přenos porchy Z Y Y(z) FY (z) ZY (z) F Y (z) + F R (z) F F S Blokové schéma RO (z) + F O (z) Přenos porchy Z U FU (z) F U Y(z) Z (z) U (z) + F FS (z) F (z) F F R S (z) F F + F S O (z) (z) Charakteristická rovnice: + FO (z) 0

Řešení reglačního obvod pomocí transformace Z Příklad 5 Určete přenos řízení F W (z) reglačního obvod a vypočtěte průběh reglačního pochod vyvolaného skokovo změno řídicí veličiny w(k)5. Reglační obvod obsahje vzorkovač s 5s a tvarovač nltého řád. Reglovaná sostava: Statická. řád: Reglátor: Ks 5; 0s Integrační: KR 0,; i s

F W Přenosy členů reglačního obvod Vyjdeme ze vztah pro přenos řízení F (z) F F (z) F (z) (z) R S O + F (z) F F (z) + F (z) R Reglovaná sostava Diferenční rovnice RS Přenos RS Reglátor Diferenční rovnice Přenos reglátor S y(k) F S O 0,606 y(k ),97 (k ) F (z) Y(z),97.z U(z) 0,606z (k) 0,07 e(k) + (k ) F R (z) U(z) E(z) 0,07 z Přenos F 0 (z) FO (z) FR (z) F FS (z) Přenos řízení F W (z) + 0,0448 z ( z )( z 0,606) 0,0448 z,97 z 0,606 0,07 z z ( z )( z 0,606) 0,07 z,97 z z 0,606 0,0448 z ( z,56z + 0,606) 0,0448 z ( z )( z 0,606)

Y(z) Výpočet reglačního pochod zpětno transformací Obraz reglované veličiny Y(z) F (z) W(z) W Rozložením kvadratického polynom získáme: F W (z) 0,4 z Rozklad na parciální zlomky Y(z) 0,0448 z ( z 0,7)( z 0,838)( z ) 5 8,447 z z 0,838 5 z ( ) z z,56z + 0,606 ( z,56z + 0,606) ( z ) 3,67 + z 0,7 Pomocí knihovny obrazů získáme výsledný vztah ( ) ( k) ( k) ( k k 5 8,447 0,838 + 3,67 0,7 ) y ( k) ( k 5 8,447 0,838 + 3,67 0,7 ) Výpočet sovislé řady hodnot nám snadní MS-Excel 0,4 z

Stabilita číslicového reglačního obvod Stabilita je ntná (nikoli postačjící) podmínka správné fnkce RO Reglační obvod se spojitým reglátorem je stabilní: všechny kořeny charakteristické rovnice + Fo(p) 0 jso reálné záporné jso komplexně sdržené se záporno reálno částí kořeny tedy leží v levé polorovině Gassovy roviny Reglační obvod s číslicovým reglátorem mezi kořeny charakteristických rovnic platí vztah z pi i kořeny charakteristické rovnice zavřeného číslicového RO zi e p i kořeny charakteristické rovnice zavřeného spojitého RO perioda vzorkování Reglační obvod se spojitým reglátorem je tedy stabilní: všechny kořeny charakteristické rovnice + Fo(z) 0 leží vnitř jednotkové kržnice se středem v počátk Gassovy roviny

Příklad - měření teploty odporovým snímačem ma Iref In Rϑ Uϑ In Svorkovnice vstpní jednotky Com Měřící odpor (např. P 00) připojený ke svorkovnici analogové vstpní jednotky. Prodový okrh napájený konstantním prodem Odpor se nesmí ohřívat vlastní výkonovo ztráto Převod vstpních dat na napětí J In LSB In.. vstpní data LSB inkrement napětí In In In n počet bitů převodník vstpní rozsah LSB n Výpočet teploty U R ϑ ϑ Iref R R 0 ϑ ( + α ϑ) Iref R ϑ ϑ 0 Iref α R 0 α.teplotníkoeficien odpor zpět