Inverzní z-transformace. prof. Miroslav Vlček. 25. dubna 2013

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Inverzní z-transformace. prof. Miroslav Vlček. 25. dubna 2013"

Jitka Lišková
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Modelování systémů a procesů 25. dubna 2013

2 Obsah Inverzní z-transformace 1 Inverzní z-transformace 2

3 Obsah Inverzní z-transformace 1 Inverzní z-transformace 2

4 Metody výpočtu inverzní z-transformace Zpětná z-transformace má tvar integrálu y(n) = 1 Y(z)z n 1 dz Z 1 [Y(z)] 2πi C podél uzavřené křivky C, která obsahuje všechny singulární body racionální lomené funkce Y(z) = Q(z) N(z).

5 Metody výpočtu inverzní z-transformace O racionální lomené funkci Q(z) N(z) říkáme, že má nulové body z 0ν, jestliže a že má póly z µ, jestliže Q(z 0ν ) = 0, N(z µ ) = 0.

6 Rozklad racionální lomené funkce na parciální zlomky Pokud má funkce Q(z) N(z) N(z) = jednoduché póly, potom N (1 z µ z 1 ) = (1 z 1 z 1 )(1 z 2 z 1 )... µ=1...(1 z N z 1 )

7 Rozklad racionální lomené funkce na parciální zlomky a platí Q(z) N N(z) = k µ 1 z µ z 1 = µ=1 k 1 1 z 1 z 1 + k z 2 z 1 k + N 1 z N z 1

8 Rozklad racionální lomené funkce na parciální zlomky kde k µ = lim (1 z µ z 1 ) Q(z) z z µ N(z) = Q(z µ ) lim (1 z µ z 1 1 ) z z µ N(z) 1 = Q(z µ ) lim z z µ N(z) 1 z µ z 1 1 = Q(z µ ) N (z µ )

9 Rozklad racionální lomené funkce na parciální zlomky Pro jednoduchost budeme dále psát z µ z µ. Protože pro az 1 < 1 platí [ ] [ ] Z az 1 = Z 1 a n z n = a n n=0

10 Rozklad racionální lomené funkce na parciální zlomky dostaneme [ ] Q(z) N Z 1 = Z 1 k µ N(z) 1 z µ z 1 = µ=1 N k µ zµ n. µ=1

11 Diferenční rovnice - mikroekonomický model Rovnice nabídky - nabídka dnes závisí na včerejší ceně a to tak, že nabídka stoupá s rostoucí cenou. Pro C > 0 platí n(k) = Cc(k 1)+Ax(k). (1)

12 Diferenční rovnice - mikroekonomický model Rovnice poptávky - poptávka dnes závisí na dnešní ceně a to tak, že poptávka klesá s rostoucí cenou. Pro D > 0 platí p(k) = Dc(k)+Bx(k). (2)

13 Diferenční rovnice - mikroekonomický model Rovnost nabídky a poptávky pak vede na diferenční rovnici prvního řádu c(k)+ C D n(k) = p(k) (3) B A c(k 1) = x(k). (4) D

14 Řešení diferenční rovnice 1.řádu Pro jednoduchost označíme C D γ B A D α. Diferenční rovnice má v označení c(k) y(k) tvar y(k)+γy(k 1) = αx(k)

15 Řešení diferenční rovnice 1.řádu Za přepokladu x(k) 1(k) a y(k) = 0 pro k < 0 dostaneme s použitím z transformace algebraickou rovnici Y(z)+γz 1 Y(z) = s řešením v rovině z ve tvaru Y(z) = α 1 z 1 α (1 z 1 )(1+γz 1 ).

16 Řešení diferenční rovnice 1.řádu Rozkladem na parciální zlomky Y(z) = α (1 z 1 )(1+γz 1 ) = k 1 1 z 1 + k 2 1+γz 1, kde k 1 k 2 = lim z 1 (1 z 1 )Y(z) = α 1+γ, = lim z γ (1+γz 1 )Y(z) = αγ 1+γ.

17 Řešení diferenční rovnice 1.řádu Zpětná transformace funkce Y(z) = α ( 1+γ vede na řešení diferenční rovnice y(k) = α 1+γ 1 (1 z 1 ) + ) γ 1+γz 1 ( 1 ( γ) k+1) 1(k), které v případě stabilního trhu γ = C < 1 určuje limitní velikost D ceny lim c(k) = α k 1+γ = B A C + D.

18 Řešení diferenční rovnice 1.řádu Pro následující obrázek byly zvoleny hodnoty A = 100, B = 120, C = 3, D = nabídka a poptávka cena

19 Řešení diferenční rovnice 2.řádu Hledejme řešení diferenční rovnice druhého řádu, která popisuje LTI diskrétní systém, y(n+2)+2a y(n+1)+(a 2 + b 2 )y(n) = c 0 x(n) (5) splňující počáteční podmínky ve tvaru y(0) = 1, y(1) = 1. (6)

20 Řešení diferenční rovnice 2.řádu Rovnici (5) řešíme pomocí z-transformace. Protože platí ) m 1 Z{y((n+m)} = z (Y(z) m y(ν)z ν ν=0 Z{y(n)} = Y(z), Z{y(n+1)} = z 1 (Y(z) y(0)), Z{y(n+2)} = z 2 (Y(z) y(0) z 1 y(1)).

21 Řešení diferenční rovnice 2.řádu Transformací nalezneme algebraický tvar diferenční rovnice (5) a s použitím počátečních podmínek platí ( ) Y(z) z 2 + 2a z 1 +(a 2 + b 2 ) 2azy(0) z 2 y(0) zy(1) = c 0 X(z). (7) Y(z) = c 0X(z)+z 2 +(2a 1)z z 2 + 2a z +(a 2 + b 2 ) z 2. (8) z 2

22 Řešení diferenční rovnice 2.řádu Přenosová funkce H(z) je definována jako podíl obrazu výstupu k obrazu vstupu Y(z) pro nulové počáteční podmínky a tedy X(z) H(z) = Y(z) X(z) = c 0 z 2 1+2a z 1 +(a 2 + b 2 )z 2 = c 0 z 2 (1 z 1 z 1 )(1 z 2 z 1 ), (9) kde z 1, z 2 jsou póly přenosové funkce z 1,2 = a±jb,. (10)

23 Řešení diferenční rovnice 2.řádu Impulsní odezvu určíme jako inverzní z-transformaci přenosové funkce. Potože platí lim H(z)(1 z 1 z 1 ) = c 0z 1 1, z z 1 z 1 z 2 lim H(z)(1 z 2 z 1 ) = c 0z 1 2, z z 2 z 1 z 2 obdržíme impulsní odezvu ve tvaru

24 Řešení diferenční rovnice 2.řádu h(n) Z 1 z n 1 1 z n 1 2 {H(z)} = c 0 z 1 z 2

Podobné dokumenty

Inverzní Laplaceova transformace

Inverzní Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 6. přednáška MSP čtvrtek 30. března