Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme reálné číslo, které splňuje následující podmínky: 1. λ = AC BC, 2. λ > 0 C neleží mezi body A, B a λ < 0 C leží mezi body A, B. Poznámka 8.1.1. Z definice ihned plyne, že λ R \ {0, 1}. Věta 8.1.1. Nechť (ABC) = λ. Potom platí: (BAC) = 1 λ, (ACB) = 1 λ, (BCA) = 1 1 λ = λ 1 (CBA) = λ λ 1, (CAB) = 1 1 λ. Definice 8.1.2. Je dán bod S a reálné číslo κ R \ {0, 1}. Uvažujme zobrazení H(S, κ) v rovině E 2, které je určeno následujícím předpisem: (i) Obrazem bodu S je bod S = S. (ii) Obrazem bodu X S je bod X takový, že (X XS) = κ. Zobrazení H(S, κ) se nazývá stejnolehlost (homotetie), bod S nazýváme střed stejnolehlosti a reálné číslo κ nazýváme koeficient stejnolehlosti. Poznámka 8.1.2. Porovnáním konstrukčních definic obou zobrazení zjistíme, že platí H(S, 1) = S(S), tj. středová souměrnost je zvláštním případem stejnolehlosti. Poznámka 8.1.3. Obdobně bychom definovali i stejnolehlost v prostoru E 3 nebo na přímce E 1. Věta 8.1.2. Stejnolehlost je prosté zobrazení. Věta 8.1.3. Inverzním zobrazením ke stejnolehlosti H(S, κ) je opět stejnolehlost, neboli H 1 (S, κ) = H(S, 1 κ. λ, Věta 8.1.4. Ve stejnolehlosti H(S, κ) je obrazem přímky p přímka p s ní rovnoběžná; obrazem úsečky AB úsečka A B, přičemž A B = κ AB ; obrazem polopřímky AB polopřímka A B, přičemž A B AB κ > 0 a A B AB κ < 0; obrazem úhlu AV B úhel A V B shodný s úhlem AV B. Věta 8.1.5. Stejnolehlost H(S, κ) má jediný samodružný bod střed stejnolehlosti. Samodružnými přímkami jsou všechny přímky procházející středem stejnolehlosti. Všechny směry jsou samodružné. Stejnolehlost 2 kružnic Věta 8.1.6. Obrazem kružnice k(s 0, r) ve stejnolehlosti H(S, κ) je kružnice k (S 0, κ r). Věta 8.1.7. Každé dvě kružnice jsou stejnolehlé. Věta 8.1.8. Dotýkají-li se dvě kružnice, potom bod dotyku je jedním ze středů stejnolehlosti.
Typeset by LATEX2ε 2 Věta 8.1.9. Jsou-li dány 2 nesoustředné kružnice k 1, k 2 (S 1 S 2 ) a přímka t, která je tečnou kružnice k 1 a současně prochází jedním ze středů stejnolehlosti, potom je přímka t i tečnou kružnice k 2. Věta 8.1.10. Společná tečna 2 nesoustředných kružnic k 1 (S 1, r 1 ), k 2 (S 2, r 2 ) prochází některým ze středů stejnolehlosti kružnic k 1, k 2 nebo je rovnoběžná s přímkou S 1 S 2. Poznámka 8.1.4. Předcházející věty lze využít při konstrukci společné tečny 2 kružnic. Poznámka 8.1.5. Při konstrukci společné tečny 2 kružnic lze využít metodu kontrakce a dilatace. Skládání stejnolehlostí Věta 8.1.11. (Mongeova věta: Nechť jsou dány stejnolehlosti H 1 (S 1, κ 1 ), H 2 (S 2, κ 2 ). Složením H 1 H 2 vznikne 1. identita I S 1 = S 2 κ 1 κ 2 = 1; 2. translace T S 1 S 2 κ 1 κ 2 = 1; 3. stejnolehlost H(S, κ 1 κ 2 ) κ 1 κ 2 1. Věta 8.1.12. Množina všech stejnolehlostí, všech translací a identity tvoří vzhledem k operaci skládání grupu. Definice 8.1.3. Grupa G M z předcházející věty se nazývá Mongeova grupa. Poznámka 8.1.6. Průnikem Mongeovy grupy G M a grupy všech shodností G S je grupa tvořená středovými souměrnostmi, translacemi a identitou. 8.2 Podobná zobrazení (podobnosti). Skládání podobností Definice 8.2.1. Je dáno kladné reálné číslo k. Zobrazení P(k) v množině M se nazývá podobné zobrazení (zkráceně podobnost) v množině M, právě když ( X, Y M) (P(k) : X X Y Y = X Y = k XY ). Číslo k se nazývá poměr podobnosti. Poznámka 8.2.1. M = E 1 (eukleidovská přímka) podobná zobrazení na přímce, M = E 2 (eukleidovská rovina) podobná zobrazení v rovině, M = E 3 (eukleidovský prostor) podobná zobrazení v prostoru Poznámka 8.2.2. Základním invariantem podobných zobrazení je poměr velikostí úseček. Z definice shodnosti dvou úhlů vyplývá, že tato vlastnost je ekvivalentní se zachováním velikosti úhlu. Definice 8.2.2. Podobnost P(1) se nazývá nevlastní podobnost. Podobnost P(k) (k 1) se nazývá vlastní podobnost. Pro k > 1 hovoříme o zvětšení, pro k < 1 o zmenšení. Věta 8.2.1. Shodnost S je nevlastní podobnost. Věta 8.2.2. Každá vlastní podobnost má nejvýše jeden samodružný bod. Věta 8.2.3. Stejnolehlost H s koeficientem κ je podobnost s poměrem podobnosti κ. Věta 8.2.4. Každé podobné zobrazení je prosté.
Typeset by LATEX2ε 3 Věta 8.2.5. Inverzní zobrazení k podobnosti P(k) je podobnost P( 1 k ). Věta 8.2.6. Složením dvou podobných zobrazení v množině M vzniká opět podobné zobrazení v množině M. Věta 8.2.7. Každou vlastní podobnost v rovině lze rozložit na stejnolehlost a shodnost, a to v libovolném pořadí. Definice 8.2.3. Podobnost, která vznikne složením stejnolehlosti a přímé (nepřímé) shodnosti se nazývá přímá (nepřímá) podobnost. Poznámka 8.2.3. Opět platí: Sestrojíme-li libovolný trojúhelník ABC a jeho obraz A B C v přímé podobnosti, potom jsou smysly obíhání vrcholů obou trojúhelníků souhlasné. Sestrojíme-li libovolný trojúhelník ABC a jeho obraz A B C v nepřímé podobnosti, potom jsou smysly obíhání vrcholů obou trojúhelníků opačné. Věta 8.2.8. Složením dvou přímých podobností vzniká přímá podobnost. Složením dvou nepřímých podobností vzniká přímá podobnost. Složením přímé a nepřímé podobnosti vzniká nepřímá podobnost. Důsledek 8.2.1. Skládání přímých podobností je uzavřená operace. Věta 8.2.9. Všechny podobnosti v rovině vytvářejí grupu (G P, ). Věta 8.2.10. Všechny přímé podobnosti v rovině vytvářejí grupu (G P, ), která je podgrupou grupy všech podobností G P. Věta 8.2.11. Grupa všech shodností G S je podgrupou grupy všech podobností G P. Grupa všech přímých shodností G S je podgrupou grupy všech přímých podobností G P. Věta 8.2.12. Mongeova grupa G M je podgrupou grupy všech podobností G P Věta 8.2.13. (O určenosti podobného zobrazení) Nechť jsou dány dva trojúhelníky ABC a A B C, přičemž platí A B = k AB, B C = k BC a C A = k CA. Potom existuje jediná podobnost, která převádí bod A v bod A, bod B v bod B a bod C v bod C. 8.3 Podobnost trojúhelníků. Eukleidovy věty, Pythagorova věta Definice 8.3.1. Útvar U je podobný útvaru U, jestliže existuje podobnost Z, která převádí útvar U na útvar U. Značíme U U. V závislosti na podobnosti Z hovoříme o útvarech přímo podobných a nepřímo podobných. Poznámka 8.3.1. Relace podobnosti je reflexivní, symetrická a tranzitivní, tj. jedná se o relaci ekvivalence. Ta vytváří na množině geometrických útvarů třídy navzájem podobných útvarů. Poznámka 8.3.2. Zřejmě platí: Každé 2 kružnice jsou podobné. Každé 2 čtverce jsou podobné. Každé 2 rovnostranné trojúhelníky jsou podobné. Každé 2 pravidelné n-úhelníky jsou podobné. Věta 8.3.1. Věty o podobnosti trojúhelníků Jsou dány trojúhelníky ABC (velikosti stran a, b, c a velikosti vnitřních úhlů α, β, γ) a A B C (velikosti stran a, b, c a velikosti vnitřních úhlů α, β, γ ).
Typeset by LATEX2ε 4 Věta sss o podobnosti trojúhelníků a = k a b = k b c = k c k > 0 = A B C ABC Věta sus o podobnosti trojúhelníků (b = k b c = k c k > 0) α = α = A B C ABC Věta uu o podobnosti trojúhelníků α = α β = β = A B C ABC Věta Ssu o podobnosti trojúhelníků (a = k a b = k b k > 0) a > b α = α = A B C ABC Věta 8.3.2. Eukleidovy věty: Nechť je dán pravoúhlý ABC s pravým úhlem při vrcholu C. Označme C 0 patu výšky spuštěné z vrcholu C a c a, c b velikosti úseků přepony (c a = BC 0, c b = AC 0. Potom platí a 2 = c a c b 2 = c b c; v 2 c = c a c b Eukleidova věta o odvěsně Eukleidova věta o výšce Věta 8.3.3. Pythagorova věta: Nechť je dán pravoúhlý ABC s pravým úhlem při vrcholu C. Potom platí a 2 + b 2 = c 2. 8.4 Mocnost bodu ke kružnici. Chordála. Potenční střed Mocnost bodu ke kružnici Věta 8.4.1. Nechť je dána kružnice k(s, r) a bod M, který na ní neleží. Nechť p a p jsou dvě libovolné sečny kružnice k, které procházejí bodem M a protínají kružnici v bodech A, B a A, B. Potom platí kde k je konstantní číslo (k > 0). MA MB = MA MB = k, Věta 8.4.2. Nechť je dána kružnice k(s, r) a její vnější bod M. Nechť p je libovolná sečna kružnice k, která prochází bodem M a protíná kružnici v bodech A, B, a t je tečna, která se dotýká kružnice k v bodě T. Potom platí MA MB = MT 2 = k, kde k je konstantní číslo (k > 0). Poznámka 8.4.1. Jestliže označíme MS = d, potom pro vnější bod M platí MA MB = MA MB =... = MT 2 = d 2 r 2. Definice 8.4.1. Nechť je dán bod M a kružnice k(s, r). Označme vzdálenost M S = d. Mocností bodu M ke kružnici k(s, r) (značíme µ M k ) rozumíme číslo µ M k = d 2 r 2. Důsledek 8.4.1. M je vnější bod kružnice k (tj. d > r), potom µ M k = d 2 r 2 > 0. M je vnitřní bod kružnice k (tj. d < r), potom µ M k = d 2 r 2 < 0. M je bod na kružnici k (tj. d = r), potom µ M k = d2 r 2 = 0.
Typeset by LATEX2ε 5 Chordála dvou nesoustředných kružnic Příklad 8.4.1. Vyšetřete množinu všech bodů v rovině, které mají stejnou mocnost ke dvěma zadaným kružnicím k 1, k 2. Závěr: Množinou všech bodů v rovině, které mají stejnou mocnost ke kružnicím k 1 (S 1, r 1 ) a k 2 (S 2, r 2 ) ( S 1 S 2 = s) je přímka c kolmá na přímku S 1 S 2, jejíž patou je bod P, pro který platí S 1 P = s 2 +r 2 1 r2 2 2s. Definice 8.4.2. Přímka c, která je množinou všech bodů v rovině majících stejnou mocnost ke kružnicím k 1 a k 2, se nazývá chordála kružnic k 1, k 1. Příklad 8.4.2. Sestrojte chordálu 2 nesoustředných kružnic k 1, k 2. a) k 1, k 2 se protínají v bodech A, B. Platí A k 1 µ A k 1 = 0 a A k 2 µ A k 2 = 0. Bod A je jedním bodem chordály. Ze stejného důvodu i B c, tj. c = AB. b) k 1, k 2 se dotýkají v bodě T. Platí T k 1 µ T k 1 = 0 a T k 2 µ T k 2 = 0. Bod T je jedním bodem chordály. Dále víme: c S 1 S 2. c) k 1 k 2 = viz dále Potenční střed tří (po dvou nesoustředných) kružnic Příklad 8.4.3. Jsou dány kružnice k 1 (S 1, r 1 ), k 2 (S 2, r 2 ), k 3 (S 3, r 3 ) (S 1 S 2 S 3 S 1 ). Vyšetřete, zdali existuje bod, který by měl stejnou mocnost ke všem kružnicím. a) S 1, S 2, S 3 kolineární. Potom chordály ch 12, ch 23, ch 31 jsou navzájem rovnoběžné, přičemž buďto všechny splynou, anebo žádné dvě spolu nesplynou. b) S 1, S 2, S 3 nekolineární. Potom se chordály ch 12, ch 23, ch 31 protínají v jednom bodě. Definice 8.4.3. Bod P, který má stejnou mocnost ke kružnicím k 1, k 2, k 3 se nazývá potenční střed kružnic. k 1, k 2, k 3. Příklad 8.4.4. Sestrojte chordálu 2 nesoustředných kružnic k 1, k 2 bez společného bodu. 1. zvolíme k 3 (S 3, r 3 ), S 3 S 1 S 2 tak, aby k 1 k 3 = {A, B} k 2 k 3 = {C, D} 2. ch 13 = AB ch 23 = CD = {P }, 3. P ch 12 ch 12 S 1 S 2