Nespojitá vlákna Nanokompozity Pro 5. ročník nanomateriály Fakulta mechatroniky Katedra materiálu Strojní fakulty Technická univerzita v Liberci Doc. Ing. Karel Daďourek, 2010
Vliv nespojitých vláken Uspořádaná nespojitá vlákna ( 1D systém) s tahovým zatížením v hlavním směru Zatížení do krátkých vláken se může dostat pouze adhezními silami z matrice Protože jsou vlákna velmi tenká, zanedbáváme síly přenášené základnami vláken Veškerá síla je do vláken přenášena tečnými adhezními silami z matrice K posouzení vlivu těchto sil je nutné předpokládat, jaké je chování matrice i vláken při zatížení podíl elastické a plastické deformace.
Elastická vlákna dokonale plastická matrice Plastická deformace v matrici kolem vlákna
Výpočet rovnováhy Rovnice rovnováhy σ*πr 2 + τ p *2πr*dx = (σ+dσ)*πr 2 Úpravou získáme dσ = 2 τ p /r*dx Integrací od kraje až do středu vlákna délky 2*l σ dmax = τ p *2*l / r τ p je tečné napětí mezi matricí a vláknem
Malé napětí ve vláknech Průběh napětí v tak krátkých vláknech, že je σ max menší než σ d, odpovídající Voigtovu modelu pro spojitá vlákna. Tedy σ max < σ c * E d /E c Střední napětí ve vláknech je σ s = σ max /2 Užití vlákna je neefektivní není nikde zatíženo až na zatížení dosahované u dlouhých vláken
Větší napětí ve vláknech Průběh napětí v takových vláknech, že je uprostřed napětí, odpovídající Voigtovu modelu dál se nemůže zvýšit Tedy σ max = σ c * (E d /E c ) Na každé straně napětí roste v délce l t = (E d /E c )* σ c *( r/2 τ p ) Střední napětí ve vláknech je σ s = σ max * (1 - l t /l ) Vlákno má neefektivní délku 2* l t = (E d /E c )* σ c * (r/ τ p )
Porušení vláken Jestliže je ve středu vlákna dosaženo napětí R du, vlákno praskne. Má tedy délku 2*l t. Přitom l t = l k. Kritická délka vlákna. Platí tedy l k = R du * r / 2 τ p Závisí na materiálových vlastnostech i rozměrech vlákna, proto raději kritická štíhlost s k = l k / r = R du / 2 τ p Tečné napětí τ p může být buď mez kluzu matrice, nebo tečné adhezní napětí, nebo tření mezi matricí a vláknem
Neefektivní délka při porušení Vlákno délky menší než 2 * l k se nikdy nemůže přetrhnout Při porušení kompozitu je takovéto vlákno vytrženo. Lom kompozitu tedy nastává vytržením vláken z matrice. Jsou to tzv krátká vlákna. Vlákno délky 2 * l k se může buď vytrhnout nebo přetrhnout, i když je uprostřed něho napětí R du, je v něm přitom ale střední napětí jen R du / 2 Vlákno délky nad 2 * l k se přetrhne dlouhé vlákno (ale ne spojité)
Jiná chování matrice Vztahy jsou daleko komplikovanější, průběhy ale přibližně souhlasí
Elastické řešení matrice Průběhy odpovídají hyperbolickým funkcím. z je vzdálenost od okraje krátkého vlákna. Kritická štíhlost z ideálně plastického přiblížení s k = 1,6 řešení přibližně odpovídá obrázku V matrici vychází tlakové radiální napětí - výhodné pro únavu
Elastoplastická skutečnost Experimentálně zjištěný průběh z je vzdálenost od okraje krátkého vlákna Kritická štíhlost vypočtená z ideálně plastického přiblížení s k = 31 Z obrázku okolo 30 Je možné použít ideálně plastické přiblížení
Tuhost kompozitů Pro nespojitá vlákna je Youngův modul v podélném směru E kd menší než pro spojitá - označení E k. Přesný výpočet z Halpin Tsaiových rovnic. Přibližný vztah E kd = E k * (1 l k /l * ε/ε u ), l k je kritická délka, l délka vlákna, ε u je deformace vláken při jejich lomu. Je vidět, že Youngův modul kompozitu klesá s rostoucí deformací. Příčný Youngův modul není délkou vláken ovlivněn.
Skutečná změna E Ukázka skutečných poklesů podélného Youngova modulu se štíhlostí vlákna Vlevo pro kompozit epoxid - C vlákno Vpravo pro kompozit epoxid - skleněné vlákno Pokles modulu nastává pod štíhlostí s k = 100, u grafitu výraznější větší poměr modulů
Nanovlákna Jestliže uvažujeme nejsilnější nanovlákno o průměru 100 nm, odpovídá štíhlosti s k = 100 délka vlákna 10 mikrometrů! V převážné většině případů jsou tedy nanovlákna (vzhledem ke své minimální tloušťce) tak dlouhá, že je možné pro ně používat vztahy a modely pro spojitá vlákna.
Střední napětí ve vláknech Obecně lze psát σ s = σ max * (1 (1-q)*l k /l ) Korekční koeficient q je poměr modrých ploch k ploše růžových trojúhelníků Koeficient q je mezi 0 a 0,5, většinou se jen velmi málo liší od nuly (do 0,1 chyba 10 %) Pak σ s = σ max * (1 l k /l )
Pevnost kompozitu Pro dlouhá vlákna platí odvozené vztahy pro podélnou pevnost v tahu u spojitých vláken, jestliže místo R du dosadíme střední hodnotu napětí ve vláknech při jejich praskání R dus = R du * (1 l k /l ) Pro krátká vlákna s l < 2 * l k neplatí - nutno počítat s vytažením a ne s porušením vláken
Pevnost pro krátká vlákna Pokud je l < 2 * l k platí vztah R ku = v f * τ p *l/2r + R mu * (1 v f ) Pro kritickou délku l = 2 * l k (50 % neúčinná délka) platí vztah (trojúhelníkový průběh napětí) R ku = v f * R du /2 + R md * (1 v f ) Pro kritický objem vláken platí v krit = (R mu R md ) / (τ p *l/2r R md ) Pro kritickou délku l = 2 * l k je kritický objem vláken téměř dvojnásobný než pro spojitá vlákna
Pevnost pro dlouhá vlákna Pro vlákna délky l > 2 * l k platí vztah R ku = v f * R du *(1 - l t /l ) + R md *(1 v f ) Pro kritický objem vláken platí v krit = (R mu R md ) / (R du *(1 - l t /l ) R md ) Pokud bychom chtěli uvažovat jinou než ideálně plastickou matrici, nutno ještě zavést korekční součinitel q jen velmi malé změny.
Pokles pevnosti kompozitu Tabulka poklesu pevnosti s délkou krátkých vláken l/l k 1 2 5 10 50 100 R kuk / R kus 0,5 0,75 0,90 0,95 0,99 0,995 - R kuk - pevnost kompozitu s krátkými vlákny, R kus - pevnost kompozitu se spojitými vlákny - Je patrné, že s přesností do 10 % je možné s vlákny od pěti kritických délek počítat jako se spojitými