Příklad a) V sérii výrobků je 8 % s povrchovou vadou neomezující funkčnost. Pravděpodobnost reklamace takových výrobků je,8. Pro prodej výrobků s touto povrchovou vadou byly určeny dvě strategie. První spočívá v poskytnutí slevy 5 % v případě reklamace. Druhá ve snížení původní ceny všech výrobků bez ohledu na kvalitu povrchové úpravy o 5 % bez možnosti reklamace. Zjistěte, která z obou variant prodeje je pro spotřebitele výhodnější? b) Podle tabulek úmrtnosti je pravděpodobnost úmrtí 5letého muže během roku rovna, 684. Pojišťovna nabízí mužům tohoto věku, že při roční pojistce Kč vyplatí pozůstalým 3 Kč. Vypočtěte, jaký zisk může pojišťovna očekávat, uzavře-li takovou pojistku s muži tohoto věku? c) Počet různých druhů zboží, které nakoupí návštěvník supermarketu při jedné návštěvě, je náhodná veličina X. Bylo zjištěno, že tato veličina nabývá hodnot,,, 3, 4 s pravděpodobnostmi po řadě,5;,55;,;,7;,. Určete charakteristiky polohy a variability této náhodné veličiny. d) Určete charakteristiky polohy a variability náhodné veličiny X, která má hustotu pravděpodobnosti f(x) = Ae x pro < x < e) Náhodná veličina X má konstantní hustotu pravděpodobnosti pro < x < a f(x) = { a jinde Určete: a. E(X + 3) b. E(3X X + ) c. var(x + 3) d. var(x + ) f) Náhodná veličina X má hustotu pravděpodobnosti f(x) = π( + x pro < x < ) Určete polohu a variabilitu mediánem a kvartilovou odchylkou Q(X). g) Určete modus: a. Nespojité náhodné veličiny X s pravděpodobnostní funkcí x P(x) = { ( ) pro x =,, jinde b. Spojité náhodné veličiny X s hustotou pravděpodobnosti f(x) = { x e x pro < x < jinde h) Náhodná veličina X má hustotu pravděpodobnosti f(x) = { e x pro < x < jinde Nalezněte střední hodnotu náhodné veličiny Y = min[x, ]. d b
i) Na hypotetické hodně krátké trati metra je 6 stanic. Byly odhadnuty podmíněné pravděpodobnosti P(B j A i ) pro i, j =,,3,4,5,6 Zde jev A i je nástup v i-té stanici a jev B j je výstup v j-té stanici. Tyto pravděpodobnosti jsou dány tabulkou B j A i 3 4 5 6,,4,5,,75,,3,,,3 3,3,,,4,4 4,5,,3,5, 5,,,,5,45 6,,,4,8,8 Dále byly zjištěny absolutní pravděpodobnosti nástupu na jednotlivých stanicích: P(A ) =,; P(A ) =,; P(A 3 ) =,5; P(A 4 ) =,; P(A 5 ) =,; P(A 6 ) =,5; Určete, jaká je střední hodnota počtu projetých stanic jedním cestujícím. j) Určete střední hodnotu E(X) a rozptyl D(X) náhodné veličiny X, jestliže X má rozdělovací funkci g(x) = x pro x =, 3, 5, 7 6 k) Určete střední hodnotu E(X) a rozptyl D(X) náhodné veličiny X, jestliže X má rozdělovací funkci g(x) = x pro x (, ) l) Určete 5%-ní a 75%-ní kvantil náhodné veličiny X, jestliže pro x a) X má distribuční funkci F(x) = { x 3 pro x (, ) pro x b) X má hustotu f(x) = x pro x (, ) Řešení a Nejprve se budeme zabývat první variantou prodeje. Označme tržbu za jeden výrobek jako náhodnou veličinu X. Tato veličina nabývá hodnot v závislosti na tom, zda je o výrobek s kvalitní či nekvalitní povrchovou úpravou. x = c, x = c Pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude mít hodnotu c, neboli že výrobek má nekvalitní povrchovou úpravu a bude reklamován je P ( c ) =,8,8 =,64 Pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude mít hodnotu c, neboli že výrobek má kvalitní povrchovou úpravu, nebo má nekvalitní povrchovou úpravu a nebude reklamován je d b
P(c) =,9 +,8, =,9 +,6 =,936 = P ( c ) Očekávaná hodnota náhodné veličiny X je tedy EX =,64 c +,936 c =,3 c +,936 c = (,3 +,936) c =,968 c Ze zadání je zřejmé, že při druhé variantě je tržba za jeden výrobek,95 c Z posledních hodnot je zřejmé, že první varianta je výhodněkší pro výrobce a druhá pro spotřebitele. Řešení b Označme náhodný jev X jako zisk či ztrátu pojišťovny při uzavření jedné pojistky. V případě, že pojišťovna nemusí vyplatit pozůstalým pojistné plnění ve výši 3 Kč, získá pojišťovna Kč. V případě, že pojišťovna musí vyplatit plnění ve výši 3 Kč, tratí pojišťovna 9 9 Kč. Druhý případ nastane dle zadání s pravděpodobností,674. Pravděpodobnostní funkce tohoto jevu tedy je,99836 pro x = f(x) = {,674 pro x = 99 Očekávaný zisk při uzavření jedné pojistky tohoto typu je EX =,99836 +,674 ( 99) = 99,836 5,56 = 49,78 Očekávaný zisk při prodeji takových pojistek tedy je EX = 49,78 = 4978 Řešení c Máme náhodnou veličinu X s pravděpodobnostní funkcí,5 pro x =,55 pro x = f(x) =, pro x =,7 pro x = 3 {, pro x = 4 Máme nalézt momentové charakteristiky polohy, variability, šikmosti a špičatosti. Nejprve vypočítáme střední hodnotu. Z teorie víme (jde o diskrétní náhodnou veličinu), že Pro výpočet užijeme tabulku. EX = x i P(X = x i ) i x P(x) xp(x),5,55,55,, 3,7, 4,,8 suma,6 Odtud střední hodnota je EX =,6 Dále budeme počítat rozptyl. Z teorie víme, že d b 3
Pro výpočet rozšíříme naši tabulku. var X = E(X EX) = (x i EX) P(X = x i ) i x P(x) xp(x) x-ex (x-ex) var X,5 -,6,36,89,55,55 -,6,36,98,,,94,8836,9796 3,7,,94 3,7636,6345 4,,8,94 8,6436,787 suma,6 4,7 4,48,864 Dostali jsme tak rozptyl var X =,864 T rozptylu snadno vypočteme směrodatnou odchylku var X =,864 =,93549 Řešení d Máme náhodnou veličinu X, která má hustotu pravděpodobnosti f(x) = Ae x pro < x < Nejprve musíme určit konstantu A tak, aby platilo Ae x dx = Integrovaná funkce je zcela zřejmě sudá, její graf je nutně symetrický kolem osy y. Proto musí platit Tedy musí platit i Integrujeme A e x Odtud Ae x Ae x dx = Ae x d b 4 dx = A e x dx dx = dx = A[ e x ] = A ( lim x e x ( e )) = A ( lim x e x + e ) = A( + ) = A A = Hustota pravděpodobnosti naší náhodné veličiny tedy je Z teorie víme (jde o spojitou náhodnou veličinu), že f(x) = e x pro < x < EX = x f(x) dx = x e x dx = x e x dx Je tedy zřejmé, že pro střední hodnotu platí
EX = x e x dx = Poznámka Kdyby předchozí řádek nebyl laskavému čtenáři úplně jasný, bude snad stačit připomenout, že první funkce v integrandu (funkce x) je lichá a druhá funkce v integrandu (funkce e x ) je sudá. Součin těchto funkcí je tedy nutně funkce lichá a její integrál nad celým oborem R musí být nutně nulový. Kdyby ani toto vysvětlení nebylo pro objasnění dostatečné, můžeme k výsledku dojít jinak. Všimněme si, že v integrovaném výrazu je absolutní hodnota. Integrál tedy rozdělíme na součet dvou integrálů a upravíme. EX = x e x dx = x e ( x) dx + x e x dx = x e x dx + x e x dx Nyní budeme počítat první integrál metodou per partes. Položíme u = x, u =, v = e x, v = e x Potom xe x dx = xe x e x dx = xe x e x dx = xe x e x = (x )e x Nyní můžeme vypočítat hodnotu tohoto prvního integrálu. Limitu vypočteme podle l Hospitalova pravidla x e x dx = [(x )e x ] = ( )e lim (x x x )ex = lim x e x = lim = = x e x Nyní budeme počítat druhý integrál metodou per partes. Položíme u = x, u =, v = e x, v = e x Potom xe x dx = x( e x ) ( e x )dx = xe x + e x dx = xe x e x = (x + )e x Nyní můžeme vypočítat hodnotu tohoto druhého integrálu. Limitu vypočteme podle l Hospitalova pravidla x e x dx = [ (x + )e x ] = lim x (x + )e x ( ( + )e ) (x + ) = lim x e x ( e ) = lim ( ) = + = x ex Tedy celý původní integrál má hodnotu EX = x e x dx + x e x dx = ( ) + = + = Konec poznámky Vypočítáme ještě rozptyl. Z teorie víme, že pro spojité rozdělení platí Dosadíme a upravíme var X = E(X EX) = (x EX) f(x) dx d b 5
var X = (x ) e x dx = x e x dx Vzhledem k tomu, že v integrovaném výrazu se vyskytuje absolutní hodnota, budeme počítat poslední integrál jako součet dvou integrálů. var X = x e x dx = x e ( x) dx + x e x dx = x e x dx + x e x dx Je zřejmé, že oba integrály vyřešíme dvojitou integrací metodou per partes. Nejprve tedy budeme počítat první integrál. Položíme u = x, u = x, v = e x, v = e x Odtud x e x dx = x e x xe x dx = x e x xe x dx Pro druhé použití per partes položíme u = x, u =, v = e x, v = e x Odtud x e x dx = x e x xe x dx = x e x (xe x e x dx) = x e x xe x + e x dx = x e x xe x + e x = (x x + )e x Nyní můžeme vypočítat hodnotu prvního integrálu dvojím využitím l Hospitalova pravidla x e x dx = [(x x + )e x ] = ( + )e lim x (x x + )e x x x + = ( + ) lim x e x x = lim x e x = lim = = Nyní budeme počítat druhý integrál. Položíme u = x, u = x, v = e x, v = e x Odtud x e x dx = x ( e x ) x( e x ) dx = x e x + xe x dx Pro druhé použití per partes položíme u = x, u =, v = e x, v = e x Odtud x e x dx = x e x + xe x dx = x e x + (x( e x ) ( e x )dx) = x e x + x( e x ) e x dx = x e x xe x + e x dx x e x = x e x xe x + ( e x ) = x e x xe x e x = (x + x + )e x Nyní můžeme vypočítat hodnotu druhého integrálu dvojím využitím l Hospitalova pravidla d b 6
x e x dx = [ (x + x + )e x ] = lim x (x + x + )e x ( ( + + )e ) (x + x + ) = lim x e x + ( + + )e = lim = + = + Nyní se můžeme vrátit zpět k výpočtu rozptylu. Dostaneme x x e x + = lim x e x + var X = x e x dx + x e x dx = + = + = Z této hodnoty rozptylu odvodíme snadno směrodatnou odchylku var X = Řešení e Máme náhodnou veličinu X s konstantní hustotou pravděpodobnosti pro < x < a f(x) = { a jinde Nejprve si stanovíme střední hodnotu a rozptyl naší náhodné veličiny. Vzhledem k tomu, že hustota je konstantní na intervalu (, a) a jinde nulová, je zřejmé, že střední hodnota musí být v polovině tohoto intervalu, neboli EX = a Stejnou hodnotu samozřejmě zjistíme i z příslušného vzorce z teorie s využitím toho, že hustota je mimo interval (, a) nulová. EX = x f(x) dx = x a dx = a x Rozptyl si vypočteme rovněž s využitím vzorce z teorie. a a a dx = a a [x ] a = (a ) = a a = a var X = (x EX) f(x) dx = (x a ) a dx = a (x a ) dx = a x x a + (a ) a = a [(a3 3 dx = a x ax + a 4 a a + a a) (3 a 4 3 + a 4 )] d b 7 a a dx = a [x3 3 x a + a a 4 x] = a [(a3 3 a3 + a3 4 ) ( 3 + 4 )] = 6a 3 + 3a 3 a [4a3 ( + )] = a [a3 ] = a a3 = a Pro další výpočty využijeme vlastnosti střední hodnoty a rozptylu z teorie E(a + b X) = a + b EX var(a + b X) = b var X var X = EX (EX) Máme určit: a)
b) E(X + 3) = E(3 + X) = 3 + EX = 3 + a = 3 + a E(3X X + ) = E( X + 3X ) = EX + 3EX = a + 3 a = a + a 3 c) var(x + 3) = var(3 + X) = var X = 4 a = a 3 d) var(x + ) = var( + X ) = var X = var X = E(X ) (EX ) = EX 4 (EX ) = a4 5 (4a ) = a4 5 (a 3 ) = a4 5 a4 9 = 9a4 45 5a4 45 = 4a4 45 Poznámka Výraz EX n se nazývá n-tý moment náhodné veličiny X s hustotou pravděpodobnosti f(x). Počítá se takto: V našich příkladech jsme konkrétně potřebovali EX n = x n f(x) dx EX = x f(x) dx = x a dx = a x a a a a EX 4 = x 4 f(x) dx = x 4 a dx = a x4 dx = a a [x3 3 ] a = (a3 3 3 3 ) = a a3 3 = a 3 dx = a a [x5 5 ] a = (a5 5 5 5 ) = a a5 5 = a4 5 Hodnotu EX bylo možné odvodit z jednoho vzorce pro vlastnosti charakteristik náhodné veličiny. Řešení f Máme náhodnou veličinu X s hustotou pravděpodobnosti f(x) = π( + x pro < x < ) Jde o takzvané Cauchyovo rozdělení. Střední hodnota neexistuje, protože příslušný integrál pro střední hodnotu není absolutně konvergentní. Jde o EX = x π( + x ) dx Obdobně neexistuje ani rozptyl. Máme tedy určit polohu a variabilitu mediánem a kvartilovou odchylkou Q(X). Pro distribuční funkci této náhodné veličiny platí x F(x) = π( + x dt = ) + arctg x π Medián určíme z tohoto výrazu pomocí vztahu + π arctg x = Postupně upravíme d b 8
arctg x = π arctg x = x = tg Neboli x = Kvartilová odchylka Q(X) je polovinou mezikvartilového rozpětí. Potřebné kvartily počítáme takto: Postupně upravujeme Odtud již můžeme snadno vypočítat Q(X) = x,75 x,5 + π arctg x,5 = 4, + π arctg x,75 = 3 4 π arctg x,5 = 4, π arctg x,75 = 4 arctg x,5 = 4 π, arctg x,75 = 4 π x,5 = tg ( π 4 ), x,75 = tg ( π 4 ) x,5 =, x,75 = Q(X) = ( ) = + = = Řešení g a) Máme určit modus x nespojité náhodné veličiny X s pravděpodobnostní funkcí x P(x) = { ( ) pro x =,, jinde Víme, že modus nespojité náhodné veličiny je dán její nejčastější hodnotou. Z pravděpodobnostní funkce vidíme, že se zvyšováním hodnot x pravděpodobnosti P(x) geometricky klesají takto: P() =, P() = 4, P(3) = 8, P(4) = 6, Z toho přímo plyne x = b) Máme určit modus x spojité náhodné veličiny X s hustotou pravděpodobnosti f(x) = { x e x pro < x < jinde Víme, že modem spojité náhodné veličiny je bod, v němž je hustota pravděpodobnosti maximální. Je zřejmé, že hustota náhodné veličiny v krajních bodech intervalu je nulová. Proto budeme modus hledat v bodě, v němž je první derivace hustoty nulová a druhá záporná. Hledáme totiž maximum a potřebujeme vyloučit možné inflexní body a minima. V maximu je hustota konkávní. Pro hledaný bod tedy musí platit f (x) = xe x + x ( e x ) = xe x x e x = (x x ) e x = ( x ) xe x = d b 9
f (x) = e x xe x xe x x ( e x ) = e x xe x xe x + x e x = e x xe x + x e x = ( x + x ) e x < Vyřešíme první rovnici ( x ) xe x = Třetí člen je kladný v celém definičním oboru. Možná řešení tedy jsou x =, x =. První z těchto řešení ovšem nevyhovuje požadavku konkávnosti. Jediným řešením a hledaným modem tedy je x = Řešení h Máme náhodnou veličinu X s hustotou pravděpodobnosti f(x) = { e x pro < x < jinde Máme nalézt střední hodnotu náhodné veličiny Y = min[x, ]. Náhodná veličina Y je funkcí náhodné veličiny X, neboli Y = y(x). Podle teorie obecně platí EY = Ey(X) = y(x) f(x) dx V tomto konkrétním případě je náhodnou veličinou Y veličina X, když x <, nebo hodnota, když x. Tedy EY = x e x dx + e x dx = xe x dx + e x dx První z těchto integrálů vypočteme metodou per partes, druhý po úpravě přímo podle vzorce. Takže pro první integrál nejprve volíme u = x, u =, v = e x, v = e x xe x dx = x( e x ) ( e x ) dx = xe x + e x dx = xe x + ( e x ) = xe x e x = (x + )e x Druhý integrál vypočteme snadno e x dx = e x Vrátíme se zpět k výpočtu střední hodnoty náhodné veličiny Y. EY = xe x dx + e x dx = [ (x + )e x ] + [ e x ] = ( ( + )e ) ( ( + )e ) + lim x ( e x ) ( e ) = e + + + e = e d b
Řešení i Máme najít střední hodnotu počtu projetých stanic jedním cestujícím. Prozkoumáme-li tabulku, pak vidíme, že součty pravděpodobností v jednotlivých řádcích jsou rovny, protože vyčerpávají všechny možnosti výstupu, nastoupí-li cestující na stanici A i v příslušném řádku. Sledovanou náhodnou veličinou X je počet projetých stanic, která může mít hodnotu x = i j. Možné hodnoty jsou,, 3, 4, 5. Hledáme střední hodnotu této veličiny. Vypočítáme nejprve podmíněné střední hodnoty E(X A i ), tedy střední hodnoty veličiny X za předpokladu, že cestující nastoupí ve stanici A i. Obecně platí E(X A i ) = x P(B j A i ) Konkrétně tedy (koeficient váhy představuje vzdálenost mezi konkrétními stanicemi) E(X A ) =, +,4 + 3,5 + 4, + 5,75 =, +,8 +,375 +,4 +,375 = 3,5 E(X A ) =, +,3 +, + 3, + 4,3 =, +,3 +, +,3 +, =, E(X A 3 ) =,3 +, +, +,4 + 3,4 =,64 +, +, +,8 +, =,6 E(X A 4 ) = 3,5 +, +,3 +,5 +, =,75 +, +,3 +,5 +,4 =,8 E(X A 5 ) = 4, + 3, +, +,5 +,45 =,8 +,3 +, +,5 +,45 =,9 E(X A 6 ) = 5, + 4, + 3,4 +,8 +,8 =, +,48 +, +,6 +,8 = 3, Střední hodnotu veličiny X nyní určíme jako úplnou střední hodnotu. j EX = P(A i ) E(X A i ) i Tedy po dosazení EX =, 3,5 +,, +,5,6 +,,8 +,,9 +,5 3, =,6 +, +,54 +,8 +,9 +,78 =,5 Řešení j Ze zadání je zřejmé, že X je diskrétní náhodnou veličinou (rozdělovací funkce je definována jen pro čtyři konkrétní hodnoty, jde tedy o pravděpodobnostní funkci). Střední hodnotu vypočteme podle definice Po dosazení dostaneme E(X) = x g(x) x=,3,5,7 E(X) = g() + 3 g(3) + 5 g(5) + 7 g(7) = 6 + 3 3 6 + 5 5 6 + 7 7 6 = 6 + 9 6 + 5 6 + 49 + 9 + 5 + 49 = = 84 6 6 6 = 4 Rozptyl vypočteme podle známého vzorce odvozeného z definice D(X) = E([X E(X)] ) = E(X ) [E(X)] Po dosazení dostaneme d b
D(X) = g() + 3 g(3) + 5 g(5) + 7 g(7) [ 4 ] = 6 + 9 3 6 + 5 5 6 + 49 7 6 44 6 = 6 + 7 6 + 5 6 + 343 6 44 6 + 7 + 5 + 343 44 496 44 = = = 55 6 6 6 Řešení k Ze zadání je zřejmé, že X je spojitou náhodnou veličinou (rozdělovací funkce je definována pro celý interval, jde tedy o hustotu). Střední hodnotu vypočteme podle definice Po dosazení dostaneme E(X) = x (x ) dx = x x dx E(X) = x g(x) dx = [ x3 3 x ] = [ 3 x3 x ] = ( 3 3 ) ( 3 3 ) = ( 6 3 4) ( 3 ) = 4 3 ( 3 ) = 4 3 + 3 = 5 3 Rozptyl vypočteme podle známého vzorce odvozeného z definice D(X) = E([X E(X)] ) = E(X ) [E(X)] Po dosazení dostaneme D(X) = x (x ) dx [ 5 3 ] = x 3 x dx 5 9 x4 = [ 4 x3 3 ] 5 9 = [ x4 3 x3 ] 5 9 = ( 4 3 3 ) ( 4 3 3 ) 5 9 = = ( 6 6 3 ) ( 3 ) 5 48 3 = ( 3 4 9 6 6 ) 5 9 = 6 6 ( 6 ) 5 9 = 6 6 + 6 5 9 = 7 6 5 5 5 = = 9 8 8 Řešení l Ze zadání je zřejmé pro obě úlohy, že X je spojitou náhodnou veličinou (rozdělovací funkce je definována pro celý interval, jde tedy o hustotu). V obou případech máme vypočítat dolní a horní kvartil. Hledané kvantily musí být v obou případech v intervalu (, ) podle definice distribuční funkce v prvním případě a definice hustoty ve druhém případě. a) V první úloze musí pro dolní a horní kvantil platit podle definice,5 = F(x(,5)) = P(X x(,5)) = x(,5) 3,75 = F(x(,75)) = P(X x(,75)) = x(,75) 3 Dostali jsme tak pro obě hledané neznáme x(,5), x(,75) rovnice, které řešíme a dostaneme 3 x(,5) =,5 3 x(,75) =,75 =,63 =,9 d b
b) Ve druhé úloze musí pro dolní a horní kvantil platit podle definice x(,5),5 = F(x(,5)) = P(X x(,5)) = x dx = [x x(,5) ] = x(,5) x(,75),75 = F(x(,75)) = P(X x(,75)) = x dx = [x x(,75) ] = x(,75) Dostali jsme tak pro obě hledané neznáme x(,5), x(,75) rovnice, které řešíme a dostaneme x(,5) =,5 =,5 x(,75) =,75 =,87 d b 3
Příklad a) Víme, že pravděpodobnost narození chlapce je,55. Určete pravděpodobnost, že mezi čtyřmi po sobě narozenými dětmi budou: a. první dva chlapci, další dvě dívky, b. právě dva chlapci. c. Dále určete takový počet narozených dětí, aby pravděpodobnost, že mezi nimi bude alespoň jeden chlapec, byla větší nebo rovna,99. b) Křížíme bělokvětý hrách s fialovokvětým. Přitom rostliny, na nichž byl pokus prováděn, nebyly dosud kříženy. Podle pravidel dědičnosti můžeme očekávat, že 3 4 nově vzniklých rostlin pokvetou fialově a 4 pokvete bíle. Zatím vzklíčilo nových rostlin. Určete, jaká je pravděpodobnost, že: a. žádná nepokvete bíle, b. fialově pokvetou alespoň 3 z nich, c. fialově pokvete alespoň 6 a nejvýše 8 z těchto nově vzniklých rostlin. c) Podnik produkuje výrobky, u kterých nebyla provedena kontrola jakosti. Tyto výrobky balí po kusech. Podnik předpokládá, že každý balíček, ve kterém bude alespoˇ vadný výrobek, bude reklamován. V takovém případě podnik vrátí peníze. Pravděpodobnost výroby kvalitního produktu je,95. Náklady na vyrobení jednoho balíčku jsou Kč. Jakou cenu má podnik stanovit, aby mohl za uvedených podmínek očekávat alespoň 5% zisk? d) Pravděpodobnost vypěstování zdravé rostliny ze semena je,4. Zasadíme semen. Za náhodnou veličinu X budeme považovat počet zdravých rostlin vypěstovaných z těchto semen. Vypočtěte: a. jaký je nejpravděpodobnější počet zdravých rostlin, které z těchto semen vypěstujeme a jaká je pravděpodobnost tohoto počtu, b. střední hodnotu a rozptyl veličiny X. e) Výrobky procházejí čtyřmi kontrolními zkouškami. Pravděpodobnost, že výrobek projde zkouškou, není ovlivněna výsledky ostatních zkoušek. První zkouškou projde výrobek s pravděpodobností,9, druhou s pravděpodobností,95, třetí s pravděpodobností,8 a čtvrtou s pravděpodobností,85. Vypočtěte pravděpodobnost, že výrobek projde: a. všemi zkouškami, b. nejvýše dvěma z daných čtyř zkoušek, c. alespoň dvěma z daných čtyř zkoušek? Řešení a Lze předpokládat, že pravděpodobnost narození chlapce nebo dívky není ovlivněna pohlavím dříve narozených dětí. Dále přepokládejme, že pravděpodobnost narození chlapce je stále stejná. Náhodná veličina X představující počet narozených chlapců má tedy pro první dvě části naší úlohy binomické rozdělení Bi(,55; 4). a) Pořadí narození chlapců a dívek je určeno, proto hledaná pravděpodobnost je,55 (,55) =,55,485 =,655,355 =,63875565,64 d b 4
b) V tomto případě na pořadí narození nezáleží. Musíme vzít v úvahu všechny možnosti. Proto hledaná pravděpodobnost v tomto případě je (podle binomické věty) P() = ( 4 ),55 (,55) = 6,55,485 = 6,655,355 = 6,63875565 =,374353375,3743 c) Počet dětí n, mezi nimiž bude s pravděpodobností,99 alespoň jeden chlapec, určíme s využitím doplňkového jevu jako řešení nerovnosti P(),99 Přitom P() = (,55) n =,485 n Dosadíme a řešíme takto vzniklou rovnici postupnými úpravami,485 n,99,99,485 n,,485 n,485 n, Na obě strany nerovnice uplatníme přirozený logaritmus. ln,485 n ln, n ln,485 ln, Pozor! Dělíme logaritmem ln,485, který je záporný. Znaménko nerovnosti se obrátí. Dostaneme log, n log,485 4,65786,7366388 6,3649 Počet dětí se udává v přirozených číslech. Proto, abychom dosáhli požadovaného výsledku, musíme výsledek zaokrouhlit nahoru. Proto n = 7 Řešení b Předpokládejme, že nové rostliny mohou nezávisle na sobě kvést fialově nebo bíle. Dále předpokládejme, že pravděpodobnost fialového květu je pro každou rostlinu stejná. Potom náhodná veličina X udávající počet fialově kvetoucích rostlin má binomické rozdělení Bi ( 3 4, ) a) Pravděpodobnost, že veličina X bude mít hodnotu, neboli že žádná z rostlin nepokvete bíle je (podle binomické věty) P() = ( ) (3 4 ) ( 3 4 ) = ( 3 4 ) ( 3 4 ),563355,563 Tuto pravděpodobnost nemusíme počítat, máme-li k dispozici statistické tabulky. V tabulce Pravděpodobnostní funkce binomického rozdělení můžeme příslušnou hodnotu vyhledat. Je nutné si ale uvědomit, že z důvodu symetričnosti binomických koeficientů jsou uvedeny hodnoty jen pro pravděpodobnosti menší nebo rovny,5. Symetričnost binomických koeficientů je vyjádřena jako ( n x ) = ( n n x ) Proto můžeme P() vyjádřit jako P() = ( ) (3 4 ) ( 3 4 ) = ( ) ( 3 4 ) ( 3 4 ) = ( ),5,75 d b 5
V odkazované tabulce najdeme pro n =, x =, p =.5 hodnotu. 563. Proto můžeme přímo bez výpočtu uvést výsledek P(),563 b) Pravděpodobnost, že veličina X bude mít hodnotu alespoň 3 je rovna pravděpodobnosti, že bude mít hodnotu 3, nebo 4,, nebo. To můžeme vyjádřit takto P(X 3) = P(3) + P(4) + P(5) + P(6) + P(7) + P(8) + P(9) + P() S využitím pravděpodobnosti opačného jevu dostaneme jednodušší vyjádření P(X 3) = P(X < 3) = [P() + P() + P()] V odkázané tabulce nalezneme pravděpodobnosti (opět s pomocí symetričnosti binomických koeficientů) P(), P(), P(),4 Po dosazení dostaneme P(X 3) [, +, +,4] =,4 =,9996 c) Pravděpodobnost, že veličina X bude mít hodnotu alespoň 6 a nejvýše 8 je rovna pravděpodobnosti, že bude mít hodnotu 6, nebo 7, nebo 8. To můžeme vyjádřit takto P(6 X 8) = P(6) + P(7) + P(8) V odkázané tabulce nalezneme pravděpodobnosti (opět s pomocí symetričnosti binomických koeficientů) P(6),46 P(7),53 P(8),86 Po dosazení dostaneme P(6 X 8),46 +,53 +,86 =,6779 Řešení c Předpokládáme, že výrobky jsou náhodně vybírány z velkého množství. Je-li pravděpodobnost vyrobení kvalitního výrobku,95, pak pravděpodobnost vyrobení nekvalitního výrobku je,5. Potom má náhodná veličina X představující počet vadných výrobků v balíčku rozdělení Bi(,5; ). Pravděpodobnost, že podnik utrží za výrobek hledanou částku c se rovná pravděpodobnosti toho, že v balíčku nebude žádný vadný výrobek neboli pravděpodobnosti, že X bude mít hodnotu. Vypočteme P() = ( ),5,95 =,598736939,5987 Tuto hodnotu jsme mohli také snadno nalézt v tabulce pravděpodobnosti binomického rozdělení. Nyní můžeme snadno nalézt hledanou hodnotu c z kalkulační rovnice (nalevo je pravděpodobná utržená částka za jeden balíček a napravo je výrobní cena s požadovaným ziskem),5987c =,5 Odtud c =,5,5987 =,5,5987 4,757447 Po rozumném zaokrouhlení na celé desetiny Kč navrhneme prodejní cenu za balíček v Kč c = 4, d b 6
Řešení d Je zřejmé, že vypěstování zdravé rostliny ze semene nijak nezávisí na vypěstování rostlin z jiných semen. Náhodná veličina X má tedy rozdělení Bi(,4; ). a) Hledáme takovou hodnotu X, která má největší pravděpodobnost výskytu, neboli hledáme modus x. Je zřejmé, že pravděpodobnost před svou nejvyšší hodnotou a za svou nejvyšší hodnotou nemohou být větší než tato největší pravděpodobnost, musí současně platit P(x ) P(x ) P(x + ) Z levé nerovnice dostaneme dosazením pravděpodobnostní funkce binomického rozdělení ( n x ) px ( p) n (x ) ( n x ) px ( p) n x Z pravé nerovnice dostaneme dosazením pravděpodobnostní funkce binomického rozdělení ( n x ) px ( p) n x ( n x + ) px + ( p) n (x +) Postupně budeme obě nerovnice společně upravovat. ( n x ) px ( p) n x + ( n x ) px ( p) n x ( n x ) px ( p) n x ( n x + ) px + ( p) n x Poté ( n ) ( p) ( n n x + ) p x x x ( n x ) ( p) (n n (x + ) + p x ) x + Odtud n x + ( p) p x n x ( p) x + p Dále x ( p) (n x + ) p (x + ) ( p) (n x ) p Roznásobíme na pravé i levé straně x x p np x p + p x + x p p np x p Členy s neznámou dáme na levou stranu, ostatní členy na pravou stranu x x p + x p np + p x x p + x p np + p Upravíme levou stranu x np + p x np + p Odtud dostáváme, že platí np + p x np + p Neboli modus, který musí být přirozeným číslem, leží v intervalu délky x (np + p, np + p) Z předchozího po dosazení známých hodnot n =, p =,4 dostaneme,4 +,4 x,4 +,4 Neboli 4,8 +,4 x 4,8 +,4 d b 7
5, x 5, 4, x 5, Tedy získáváme hledaný modus x = 5 Zbývá vypočítat pravděpodobnost, že vypěstujeme právě 5 zdravých rostlin. Touto pravděpodobností je (musíme ji vypočítat, tabulku máme jen pro n ) P(5) = ( 5 ),45 (,4) 5 = ( 5 ),45,6 7 = 79,4,79936,73335 b) Střední hodnotu a rozptyl vypočítáme snadno pomocí vztahů z teorie pro binomické rozdělení EX = n p var X = n p( p) Po dosazení ihned dostáváme EX =,4 = 4,8 var X =,4 (,4) =,4,6 =,88 Řešení e Přistoupíme k problému obecně. Pravděpodobnosti, že nastane sledovaný jev (výrobek projde zkouškou), jsou v jednotlivých zkouškách různé. Označme pravděpodobnost, že výrobek projde i-tou zkouškou jako p i. Pak pravděpodobnost, že výrobek neprojde i-tou zkouškou je p i. Zaveďme pomocnou proměnnou z. Označme X náhodnou veličinu, že nastane jev v n nezávislých pokusech. Je zřejmé, že tato náhodná veličina nabývá hodnot x =,,,, n s pravděpodobnostmi, které jsou rovny koeficientů při členu z x při vyhodnocení výrazu n [( p i ) + p i z] i= V našem konkrétním případu je n = 4, p =,9, p =,95, p 3 =,8, p 4 =,85 Potom můžeme vypočítat P(x) = [(,9) +,9z] [(,95) +,95z] [(,8) +,8z] [(,85) +,85z] = (, +,9z) (,5 +,95z) (, +,8z) (,5 +,85z) = (,5 +,45z +,95z +,855z ) (,3 +,z +,7z +,68z ) = (,5 +,4z +,855z ) (,3 +,9z +,68z ) =,5 +,4z +,565z +,45z +,46z +,4795z 3 +,34z +,95z 3 +,584z 4 =,5 +,565z +,6965z +,3435z 3 +,584z 4 Odtud odstáváme P() =,5 P() =,565 P() =,6965 P(3) =,3435 P(4) =,584 a) Pravděpodobnost, že výrobek projde všemi čtyřmi zkouškami tedy je P(4) =,584 b) Pravděpodobnost, že výrobek projde nejvýše dvěma zkouškami je d b 8
P(X ) = P() + P() + P() =,5 +,565 +,6965 =,7545 c) Pravděpodobnost, že výrobek projde alespoň dvěma zkouškami je P(X ) = P() + P(3) + P(4) =,6965 +,3435 +,584 =,994 d b 9
Příklad 3 a) Podle tabulek úmrtnosti je pravděpodobnost toho, že 5 letý muž přežije další rok, rovna přibližně,998. Pojišťovna nabízí mužům tohoto věku, že při ročním pojistném 5 Kč vyplatí pozůstalým v případě úmrtí pojištěnce Kč. Je pojištěno mužů ve věku 5 let. Jaká je pravděpodobnost, že na konci roku bude zisk pojišťovny alespoň 3 Kč. b) Telefonní ústředna zapojí během hodiny průměrně 5 hovorů. Jaká je pravděpodobnost, že během 4 minut zapojí ústředna: a. právě jeden hovor, b. alespoň dva hovory, c. alespoň dva a nejvýše 5 hovorů? c) Na poštovním úřadu mají být nainstalovány automaty na prodej poštovních známek, které po vhození příslušného obnosu vydají během vteřin žádanou poštovní známku. Předpokládá se, ž v době největší frekvence využití automatu bude chtít tento automat použít 6 osob za minutu. Kolik automatů by mělo být minimálně nainstalováno, aby s pravděpodobností větší než,95 byl i v době největší frekvence obsloužen každý zájemce okamžitě? d) Ve výrobním podniku bylo zjištěno, že pravděpodobnost, že rozměr vyráběné součástky je větší než připouští norma, je p =, a pravděpodobnost, že rozměr součástky je menší než připouští norma, je p =,5. Pro kontrolu e z velké série náhodně vybráno 5 vyrobených součástek. Jaká je pravděpodobnost, že mezi těmito vybranými součástkami bude 5 součástek s rozměrem větším a 5 součástek s rozměrem menším než připouští norma? Řešení 3a Označme X náhodnou veličinu, kterou je počet zemřelých pojištěnců z uvažované pojistky během roku. Vzhledem k relativně vysokému počtu pojištěných n = a malé pravděpodobnosti úmrtí pojištěnce p =, má X Poissonovo rozdělení s parametrem λ =, =. Ze zadání vyplývá, že pokud během roku nikdo nezemře, bude zisk pojišťovny roven vkladu, neboli 5 = 5 Kč. Zemře-li jeden pojištěnec, bude zisk 4 Kč. Zemřou-li dva pojištěnci, zisk bude 3 Kč. Tedy pravděpodobnost toho, že zisk bude alespoň 3 Kč, je rovna pravděpodobnosti, že náhodná veličina X bude mít hodnotu menší nebo rovnou dvěma, neboli budeme hledat P(X ). V tabulce pravděpodobnostní funkce Poissnova rozdělení nalezneme pro λ = a x =,, P(),353 P(),77 P(),77 Odtud P(X ) = P() + P() + P(),353 +,77 +,77 =,6767 Řešení 3b Označme X náhodnou veličinu představující počet spojených hovorů během časového intervalu 5 hodiny. Tato veličina vyhovuje předpokladům Poissonova rozdělení. Střední počet zapojených hovorů během jedné hodiny je 5, sledujeme časový úsek 5 hodiny, proto je parametr tohoto Poissonova rozdělení roven d b
λ = 5 5 = Pro určení pravděpodobnosti P(x) budeme užívat tabulku pravěpodobnostní funkce Poissonova rozdělení pro nalezený parametr. a) Pravděpodobnost, že bude spojen právě jeden hovor, je P(),3679 b) Pravděpodobnost, že budou spojeny alespoň dva hovory, zjistíme jako doplňkový jev k jevu, že bude spojen jeden nebo žádný hovor. Tedy P(X ) = P(X < ) = [P() + P()] [,3679 +,3679] =,7358 =,64 c) Pravděpodobnost, že budou spojeny alespoň dva a nejvýše 5 hovorů, zjistíme jako P( X 5) = P() + P(3) + P(4) + P(5),839 +,63 +,53 +,3 =,636 Řešení 3c Označme počet zájemců o poštovní známku v průběhu vteřin (to je jedna šestina minuty) v době největší frekvence jako náhodnou veličinu X. Je-li střední počet zájemců o známku během jedné minuty 6, pak má veličina X zřejmě Poissonovo rozdělení s parametrem λ = 6 6 = Podle zadání úlohy hledáme nejmenší hodnotu x, pro kterou platí, že ji náhodná veličina X nepřekročí s pravděpodobností větší než,95. Hledáme tedy nejmenší z hodnot x, pro kterou platí P(X x) >,95 Prozkoumejme hodnoty pravděpodobnosti Poissonova rozdělení z tabulky. Vidíme, že P() =,3679 P() =,3679 P() =,839 P(3) =,63 Odtud P(X ) = P() =,3679 P(X ) = P() + P() =,3679 +,3679 =,7358 P(X ) = P() + P() + P() =,3679 +,3679 +,839 =,997 P(X 3) = P() + P() + P() + P(3) =,3679 +,3679 +,839 +,63 =,98 V tuto chvíli je již jasné, že výše uvedená nerovnice je splněná pro x 3. Musíme tedy instalovat nejméně tři automaty. Řešení 3d Označme X v náhodnou veličinu odpovídající počtu součástek ve výběru s větším rozměrem než stanoví norma. Označme X m náhodnou veličinu odpovídající počtu součástek ve výběru s menším rozměrem než stanoví norma. Vybíráme z velké série, na způsobu výběru tedy nezáleží a jednotlivé výběry můžeme chápat jako nezávislé pokusy. Veličiny X v a X m tedy mají přibližně Poissonovo rozdělení s parametry λ v = 5, = 5 λ m = 5,5 =,5 Potom s využitím tabulky pravděpodobností Poissonova rozdělení dostáváme d b
P(X v = 5),755,36 +,8 P(X m = 5) =,369 =,6845 Druhou hodnotu jsme zjistili lineární interpolací příslušných sousedních hodnot. Oba případy mají nastat současně, výsledná pravděpodobnost je tedy součinem těchto zjištěných dílčích pravděpodobností. Tedy P(X v = 5) P(X m = 5),755,6845,3 d b
Příklad 4 Sekretářka telefonuje kolegyni v jiném podniku vždy v době největšího zatížení linky, kdy pravděpodobnost, že linka nebude obsazena, je,5. Pokusy o spojení opakuje vždy po několika minutách tak dlouho, dokud nebude spojena. Určete: a) Pravděpodobnost, že spojení dosáhne až při pátém pokusu, b) Střední hodnotu a rozptyl počtu neúspěšných pokusů do okamžiku, kdy je navázáno spojení. Řešení 4 Označme X náhodnou veličinu vyjadřující počet neúspěšných pokusů do okamžiku spojení. Tato veličina má geometrické rozdělení s parametrem p =,5. a) Pravděpodobnost toho, že úspěšnému spojení předchází 4 neúspěšné pokusy je podle teorie P(4) =,5 (,5) 4 =,5,75 4 =,5,36465 =,79565 b) Střední hodnota a rozptyl jsou podle teorie EX =,5 =,75,5,5 = 3 varx =,5,75,5 =,5,5 = 3,5 = d b 3
Příklad 5 Hráč hází kostkou tak dlouho, dokud nepadne potřetí šestka. Jaká je pravděpodobnost, že hráč bude muset hodit kostkou desetkrát? Řešení 5 Označme X náhodnou veličinu vyjadřující počet neúspěšných hodů do padnutí třetí šestky. Tato veličina má negativní binomické rozdělení. Z deseti hodů, na které se úloha ptá, je neúspěšných sedm (tři jsou pro očekávané hozené šestky ). Pravděpodobnost padnutí šestky v jednom hodu je 6. Odtud podle teorie dostáváme Hledaná pravděpodobnost pak je n = 3, p = 6, i = 7 P(X = 7) = ( 7 + 3 3 ) ( 6 ) 3 ( 6 ) 7 = ( 9 ) ( 6 ) 3 ( 5 6 ) 7 36,46963,798647 =,465368 d b 4
Příklad 6 a) Kdysi byly v ČSSR dvě sázkové hry Sportka a Mates. Při sázení Sportky se na sázence označilo 6 čísel ze 49 možných. Při Matesu pak 5 z 35 možných. Při losování bylo náhodně vybráno 6 (Sportka) respektive 5 (Mates) vyhrávajících čísel bez vracení. Vypočtěte: a. pravděpodobnost výhry v prvním pořadí (všechna uhodnutá čísla) ve sportce a v Matesu, b. pravděpodobnost jakékoli výhry ve sportce (alespoň 3 uhodnutá čísla), c. střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X představující počet uhodnutých čísel ve Sportce. b) Odběratel stanovil následující podmínky výběrové kontroly kvality zásilek přejímaných výrobků. Z každé zásilky je náhodně (bez vracení) vybráno 3 % výrobků. Je-li ve výběru méně než % zmetků, je zásilka automaticky přijata. Je-li ve výběru více než 4 % zmetků, je zásilka automaticky odmítnuta. Je-li ve výběru až 4 % zmetků, je proveden nový náhodný výběr dalších % výrobků (z původního počtu) z dosud nezkoumaného zbytku zásilky. Zásilka se v takovém případě přijme, pokud v tomto druhém výběru není více než % zmetků, jinak je vrácena jako nekvalitní. V zásilce výrobků jsou zmetky. Jaká je pravděpodobnost, že odběratel zásilku nepřijme, bude-li provádět kontrolu podle uvedených podmínek? c) Mezi dělníky jedné dílny je dělníků, kteří plní normu na více než %, 6 dělníků, kteří plní normu na %. Určete pravděpodobnost, že, mezi náhodně vybranými 4 dělníky (výběr bez vracení) bude a. stejný počet dělníků, kteří plní normu na % a kteří planí normu na více než %, b. většina dělníků plnících normu na více než %, c. střední hodnotu a rozptyl dělníků obou skupin ve výběru. Řešení 6a Označme X náhodnou veličinu představující počet vyhrávajících čísel na jedné sázence. Výběr je prováděn bez vracení, jednotlivé tahy čísel jsou tedy závislé pokusy (již jednou tažené číslo nemůže být znovu vytaženo). Proto má tato náhodná veličina hypergeometrické rozdělení. a) Pro Sportku máme pro první pořadí parametry N = 49, M = 6, n = 6, i = 6 Hledané pravděpodobnost výhry v prvním pořadí tedy podle teorie je 6 6 ) (43 ) 398386 = 398386,7538 P(X = 6) = (6 6 ) (49 6 6 6 ) ( 49 6 ) = ( ( 49 6 ) = Pro Mates máme parametry N = 35, M = 5, n = 5, i = 5 Hledané pravděpodobnost výhry v prvním pořadí tedy je P(X = 5) = (5 5 ) (35 5 5 5 ) ( 5 5 ( 35 5 ) = ) (3 ) ( 35 5 ) = 3463 = 3463,3845 Je jasně patrné, že pro sázející byla podstatně vyšší pravděpodobnost výhry v prvním pořadí v Matesu. d b 5
b) Ve sportce bylo možné vyhrát v prvním (6 uhodnutých čísel), druhém (5 uhodnutých čísel), třetím (4 uhodnutá čísla) a čtvrtém pořadí (3 uhodnutá čísla). Podobně, jako jsme výše spočítali pravděpodobnost výhry v prvním pořadí, vypočteme pravděpodobnosti výhry v dalších pořadích. Parametry pro sportku z předchozího výpočtu zůstávají s výjimkou parametru i, který vyjadřuje počet uhodnutých čísel, tedy i = 3, 4, 5, 6. Podle teorie dostáváme P(X = 6) = (6 6 ) (49 6 6 6 ) ( 49 6 ) = ( P(X = 5) = (6 5 ) (49 6 6 5 ) ( 49 6 ) = ( P(X = 4) = (6 4 ) (49 6 6 4 ) ( 49 6 ) = ( 6 6 ) (43 ) ( 49 6 ) = 6 5 ) (43 ) ( 49 6 ) = 6 43 6 4 ) (43 ) ( 49 6 ) = 398386 = 398386,7538 398386 = 58 398386,84498995 5 93 398386 = 3545 398386,96869744 P(X = 3) = (6 3 ) (49 6 6 3 ) ( 49 6 ) = ( 6 3 ) (43 3 ) 34 ( 49 6 ) = 398386 = 468 398386,7654386687 Pravděpodobnost jakékoli výhry ve Sportce tedy je P(3 X 6) = P(3) + P(4) + P(5) + P(6),7654386687 +,96869744 +,84498995 +,7538 =,8637545 c) Střední hodnota a rozptyl počtu uhodnutých čísel ve Sportce podle teorie je EX = 6 6 49 = 36 49,734693878 var X = 6 6 49 ( 6 49 ) 49 6 49 = 36 49 43 49 43,734693878,87755,895833333 48 =,57757845 Řešení 6b Podle zadání zásilka obsahuje výrobků, z nich jsou zmetky. Pro první kontrolu bude vybráno 3 % výrobků, což jsou konkrétně 3 výrobky. Mohou nastat následující situace: a) Mezi vybranými výrobky bude zmetků, to je %, což je méně než %. Zásilka bude přijata. b) Mezi vybranými výrobky bude zmetek, to je asi 33,33 %. Bude provedena druhá kontrola. V rámci této druhé kontroly bude ze zbylých 7 výrobků, mezi kterými je zmetek, vybráno % procent z původního počtu, neboli výrobky. Mohou nastat následující situace: a. Mezi výrobky druhého výběru bude zmetků. Zásilka bude přijata. b. Mezi výrobky druhého výběru bude zmetek, to je 5 %. Zásilka bude odmítnuta. c) Mezi vybranými výrobky budou dva zmetky, to je asi 66,67 %. Zásilka bude odmítnuta. Z toho plyne, že zásilka bude odmítnuta, když v prvním výběru 3 z budou zmetky ze a dobrý výrobek z 8, nebo když v prvním výběru 3 z bude zmetek ze a dobré výrobky z 8 a současně ve druhém výběru ze 7 bude zmetek z a jeden dobrý výrobek ze 6. Tuto pravděpodobnost můžeme vyjádřit pomocí kombinačních čísel takto: P = ( ) (8 ) ( 3 ) + ( ) (8 ) ( 3 ) ( ) (6 ) ( 7 ) = 8 + 8 6 = 8 + 56 6 = 5 + 7 5 7 = 5 + 5 = 5 + 5 = 3 5 = 5 =, d b 6
Řešení 6c Označme X náhodnou veličinu představující počet dělníků ve výběru plnících normu na více než %. Tato náhodná veličiny má hypergeometrické rozdělení s parametry N =, M =, n = 4 Označme X náhodnou veličinu představující počet dělníků ve výběru plnících normu na až %. Tato náhodná veličiny má hypergeometrické rozdělení s parametry N =, M = 6, n = 4 Třetí skupinou jsou zbylí dělníci, kteří neplní normu ani na %. a) Mezi 4 vybranými dělníky má být stejný počet dělníků první i druhé skupiny. Teoreticky jsou možné tři možnosti: a. Bude tam dělníků z první skupiny, dělníků ze druhé skupiny a 4 dělníci ze třetí skupiny. To ale není možné, protože ve třetí skupině jsou jen dělníci. Tato situace tedy nemůže nastat, její pravděpodobnost je P(,,4) = b. Bude tam dělník z první skupiny, dělník ze druhé skupiny a dělníci ze třetí skupiny. Pravděpodobnost této situace je P(,,) = ( )(6 )( ) ( 4 ) c. Budou tam dělníci z první skupiny, dělníci ze druhé skupiny a dělníků ze třetí skupiny. Pravděpodobnost této situace je P(,,) = ( )(6 )( ) ( 4 ) Celková pravděpodobnost, že mezi vybranými 4 dělníky bude stejný počet dělníků z obou prvních skupin tedy je P(,,4) + P(,,) + P(,,) = + ( )(6 )( ) ( 4 ) + ( )(6 )( ) ( 4 ) = 6 66 5 + 4845 4845 = 7 4845 + 99 4845 = 6 4845 =,995 b) Máme vypočítat pravděpodobnost, že ve vybrané skupině 4 dělníků bude většina z první skupiny. Většina ze 4 je 3 nebo 4. Budou-li v ní 3 dělníci z první skupiny, pak tam musí být dělník z druhé, nebo dělník ze třetí skupiny. Budou-li tam 4 dělníci z první skupiny, musí tam být dělníků z druhé a dělníků ze třetí skupiny. Hledaná pravděpodobnost tedy je P(3,,) + P(3,,) + P(4,,) = ( 3 )(6 )( ) ( 4 ) + ( 3 )(6 )( ) ( 4 ) + ( 4 )(6 )( ) = 6 + + 495 = 3 4845 4845 4845 4845 + 44 4845 + 495 4845 = 55 4845 =,46548 c) Střední hodnotu a rozptyl počtu dělníků ve výběru dostaneme z teorie hypergeometrického rozdělení pomocí výše uvedených parametrů: a. pro první skupinu var X = 4 ( b. pro druhou skupinu EX = 4 = 5 =,4 ) 4 = 5 8 6 9 = d b 7 ( 4 ) 5 5 6 9 = 384 475 =,884
EX = 6 5 =, var X = 4 6 ( 6 ) 4 = 6 5 7 6 9 = 67 95 =,77368 d b 8