1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA

N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1

Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2

Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3

Jevy a pravděpodobnosti 4

Rozdělení náhodných veličin 7

Rozdělení náhodných veličin 8

Distribuční funkce 9

Diskrétní rozdělení Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní distribuční funkce 11

Spojité rozdělení Spojitá hustota pravděpodobnosti Spojitá distribuční funkce 12

Střední hodnota náhodné veličiny 13

Rozptyl náhodné veličiny 14

Střední hodnota a rozptyl -příklady 15

Další charakteristiky náhodné veličiny 16

Charakteristiky dvojic náhodné veličiny 17

Kovarianční matice 18

Korelační koeficient 19

Korelační matice 20

Výběrové charakteristiky náhodné veličiny Výběrové (empirické) charakteristiky jsou výběrovými protějšky teoretických charakteristik. Provádíme náhodný výběr X 1,X 2,...,X n z náhodné veličiny. Mezi nejužívanější výběrové charakteristiky patří výběrový průměr, který je určen vztahem: a výběrový rozptyl, daný pro vztahem: Výběrovou směrodatnou odchylku získáme jako: 21

Vlastnosti výběrových charakteristik Provedeme-li náhodný výběr X 1,X 2,...,X n z rozdělení se střední hodnotou µ a rozptylem σ 2, pak platí: S rostoucím n konverguje výběrový průměr k µ a výběrový rozptyl S 2 k σ 2. 22

Výběrový kovarianční koeficient Výběrová kovariance Výběrová kovarianční matice 23

Výběrový korelační koeficient Výběrová korelace 24

Normované normální rozdělení 25

Obecné normální rozdělení 26

Normální rozdělení pravděpodobnost jevů 27

Normální rozdělení -normování 28

Normální rozdělení intervaly spolehlivosti 29

Normální rozdělení kvantily 30

Normální rozdělení kvantily 31

Normální rozdělení kvantily pro 32

Logaritmicko-normální rozdělení Náhodná veličina X má rozdělení logaritmicko-normální s parametry µ a σ 2 (označujeme je LN(µ, σ 2 )), když má hustotu pravděpodobnosti: Má-li náhodná veličina X rozdělení LN(µ, σ 2 ), má potom náhodná veličina Y = lnx rozdělení N(µ, σ 2 ). Obráceně, má-li veličina Y rozdělení N(µ, σ 2 ), veličina X = e Y má rozdělení LN(µ, σ 2 ). Logaritmicko-normální rozdělení se používá zejména v teorii spolehlivosti a ve finančním modelování. 33

Diskrétní rozdělení 34

Binomické rozdělení 37

VaR Value at Risk (Hodnota v riziku) ) Princip VaR Metoda VaR vznikla jako metoda měření tržního rizika (zejména kurzového a akciového), poté však byla přijata jako obecná metoda pro měření všech rizik. Tím se posunulo její chápání od metody k přístupu, a proto se matematický aparát pro jednotlivé druhy rizik může značně lišit. Podstatou metody zůstává snaha odhadnout vývoj zvoleného ukazatele či veličiny na základě historických dat v potřebném časovém horizontu a na základě pravděpodobností, a tím podle nejhoršího scénáře určit nejvyšší možnou ztrátu se zvolenou pravděpodobností. Pro vysvětlení vlastního mechanismu metody použijeme klasický příklad měnového rizika, kde je metoda VaR nejjednodušší a nejtransparentnější. 40

VaR Value at Risk (Hodnota v riziku) ) VaR pro odhad ztráty z jedné pozice Měření tržního rizika pomocí VaR závisí na odhadu budoucích nepříznivých změn kurzů a cen, v našem příkladě měnového kurzu USD/CZK. Tyto odhady se provádějí na základě analýzy historických hodnot těchto pohybů. Abychom mohli změřit výši rizika vyplývajícího z pohybu kurzu USD/CZK, musíme učinit několik předpokladů: chování této veličiny vyhovuje modelu tzv. náhodné procházky a její změny tudíž mohou být aproximovány normálním rozdělením nepřítomnost autokorelace mezi změnami v odlišný časový okamžik časová stabilita určovaných charakteristik (tzn., že jakýkoliv pohyb kurzu není závislý na předcházející změně, pouze reprezentuje jev daného pravděpodobnostního rozdělení). Splnění těchto předpokladů je nutnou podmínkou pro použití níže uvedených statistických metod. 41

VaR Value at Risk (Hodnota v riziku) ) Sledujeme tedy denní změnu kurzu jako statistickou veličinu a chceme s jistou pravděpodobností odhadnout maximální změnu kurzu za jeden den, a tím i maximální ztrátu, která může být maximálním pohybem kurzu způsobena. K tomu potřebujeme určit střední hodnotu denní změny, která by měla být nulová, neboť pracujeme s normálním rozložením, a směrodatnou odchylku S. 1 K K 1 1 2 1 2 x ( ) t S = t= 0 1 x t x K t= 0 x = ( ) K Dle statistické teorie lze říci, že s pravděpodobností 95% nebude jednodenní změna kurzu větší než dvojnásobek směrodatné odchylky. Tím jsme odhadli chování kurzu USD/CZK a můžeme přistoupit k vyčíslení rizika dané pozice, tedy vyčíslení případné ztráty. 42

VaR Value at Risk (Hodnota v riziku) ) Příklad: Nechť má banka pozici +10 mil. USD/CZK, to znamená, že dolarová aktiva banky převyšují její dolarová pasiva o 10 mil. USD, tj. banka utrpí ztrátu v případě, že dojde k oslabení dolaru vůči koruně. Aktuální kurz USD/CZK nechť je 22,00 CZK/USD a vyčíslená standardní odchylka S změn kurzu USD/CZK je 0,5%. Pomocí metody VaR jsme vypočetli, že s pravděpodobností 95% se kurz bude zítra pohybovat v intervalu ±2S ± = ±1%, ± tj. 21,78 22,22 CZK/USD. To znamená, že s pravděpodobností 95% nebude ztráta banky z otevřené dolarové pozice větší než 1% * 10 mil. USD, tj. 2,2 mil. CZK. 43

Poznámka: VaR Value at Risk (Hodnota v riziku) ) Střední hodnota kurzové odchylky nemusí vyjít nulová, jak by odpovídalo teorii.to je způsobeno jednak tím, že použitý statistický soubor není dostatečně široký, jednak tím, že náhodné rozdělení dané veličiny (tj. měnový kurz) není dokonale normální, že tedy naše předpoklady nejsou perfektně splněny. Většina cen finančních instrumentů vykazuje oproti normálnímu rozdělení určité anomálie, a to zejména následujícího charakteru: oproti normálnímu rozdělení je zde asymetrie mezi poklesy a nárůsty cen; vzestupy cen jsou častější a v průměru nižší oproti méně častým a hodnotově větším poklesům oproti normálnímu rozdělení se častěji objevují velké změny cen, tzn. velké poklesy a nárůsty. Tyto odchylky však výrazně nezkreslují námi dosažený výsledek. V praxi je lze minimalizovat těmito způsoby: můžeme zkoumanou veličinu statisticky otestovat, tj. zjistit, zdali je dostatečně normální můžeme zjištěné anomálie ošetřit v rámci statistických metod, tj. vzít je v úvahu při výpočtu můžeme zvětšit interval spolehlivosti. 44

Metoda VaR pro více veličin V praxi většinou potřebujeme ocenit či změřit riziko vyplývající z více různých pozic v různých rizikách. Naše celkové riziko tedy závisí na větším počtu náhodných veličin cen. Tyto veličiny nemusejí být statisticky nezávislé, tj. pohybují se podle určitého algoritmu. Tento vzájemný vztah dvou a více veličin může vyplývat jednak z přesně definovaných vazeb (např. navázanost jedné měny na druhou, jako u DKK a EUR), jednak z ekonomických souvislostí (např. závislost kurzu CZK vůči dolaru na kurzu USD/EUR). Pro určení celkového rizika je třeba určit korelační koeficienty určující vzájemné vztahy sledovaných veličin. Ty tvoří tzv. kovarianční matici, pomocí které se určuje celková potenciální ztráta ze sledovaných pozic v jednotlivých rizikách, a to jako výsledná hodnota maticového součinu kovarianční matice a jednotlivých pozic reprezentujících náhodné veličiny ceny. 45

Metoda VaR pro více veličin Příklad: Jako příklad uvedeme vzorec pro výpočet kumulované VaR měnového rizika pro všechny otevřené pozice v jednotlivých měnách při použití kovarianční matice popisující korelaci mezi relativními změnami kurzů. Vstupy: 1) denní otevřená devizová pozice v jednotlivých měnách P = [P AUD, P CAD,..., P USD ], 2) vektor volatilit směnných kurzů jednotlivých měn (maximální relativní změna kurzu s pravděpodobností 95%) VOL = [vol AUD, vol CAD,..., vol USD ], 46

Metoda VaR pro více veličin 3) korelační matice C = 1 ρ M ρ CAD, AUD ρ USD, AUD ρ K ρ AUD, CAD AUD, USD 1 K 1 Kde ρ X,Y = korelace mezi relativními změnami kurzů X a Y. 47

Metoda VaR pro více veličin Výstup: Hodnota kumulované VaR měnového rizika pro všechny otevřené pozice s pravděpodobnosti 95%. Vzorec pro výpočet VAR pomocí korelační matice: kde a r r VaR = V C V T r V = VaR, VaR,, VaR (vektor VaR-ů pro jednotlivé měny) [ K ] VaR = P * vol AUD CAD USD X X X 48