Fnanční matematka Téma: Důchody Současná hodnota anuty
Důchody Defnce: Důchodem se rozumí pravdelné platby ve stejné výš, tzv. anuty Pozor na nejednotnost termnologe Různé možnost rozdělení důchodů
Členění důchodů dle okamžku vyplacení jednotlvé platby: - předlhůtní - polhůtní dle délky doby vyplacení důchodů: - dočasný - věčný dle toho, kdy se začínají vyplácet důchody: - bezprostřední - odložený
Výpočty u důchodu Současná hodnota důchodu D Budoucí hodnota důchodu (spoření) S Vztah mez současnou a budoucí hodnotou důchodu: S = D.(1 + ) n Kde S je budoucí hodnota důchodu; D je současná hodnota důchodu; je úroková sazba úrokové období n je počet úrokových období
Důchod bezprostřední Výplata začíná okamžtě bez prodlení 2 druhy předlhůtní polhůtní
Důchod bezprostřední předlhůtní na počátku každého období důchod a po n období př úrokové sazbě., Současná hodnota D - součet současných hodnot všech plateb a a a a a...... 0 1 2 3 n - 1 n
Výplata číslo Současná hodnota 1 a/(1 + ) 0 2 a/(1 + ) 1 3 a/(1 + ) 2 n a/(1 + ) n - 1
, D = a.[(1 +(1 + ) -1 + (1 + ) -2 + + (1 + ) -(n-1) ] Dskontní faktor označíme v D = a ( 1 + ) 1 v n
, Výraz a n = (1 + ). 1 - (1 + ) -n se nazývá zásobtel předlhůtní, udává současnou hodnotu důchodu n jednotkových výplat, které jsou vyplaceny na počátku n období př úrokové sazbě. Výraz (1 + ) -1 se taky nazývá dskontní faktor
Důchod bezprostřední polhůtní Nechť se bude dostávat na konc každého období důchod ve výš a po n období př úrokové sazbě. Počáteční hodnota D je součet současných hodnot všech plateb vztažených k počátku. a. a. a.,,,. a a. 0 1 2 3 n - 1 n
Výplata číslo Současná hodnota 1 a/(1 + ) 1 2 a/(1 + ) 2 3 a/(1 + ) 3 n a/(1 + ) n
D = = a.[(1 + ) -1 +(1 + ) -2 + (1 + ) -3 + + (1 + ) -n ] Výraz v hranatých závorkách je konečná geometrcká řada Současnou hodnotu polhůtní anuty D = a 1 v n
Výraz a n = (1 (1 + ) -n )/ se nazývá zásobtel polhůtní Platí také tyto vztahy: D = D.(1 + ) S = D.(1 + ) n a n = a n.(1 + ) s n = a n.(1 + ) n
Příklad : Jakou částku je třeba mít k dspozc teď, aby bylo možné pokrýt každoroční výdaje ve výš 45 000 Kč po dobu 5 let? Tyto výdaje budou vynaloženy hned na počátku každého roku. Úrokovou sazbu předpokládejme 5% p.a.. Řešení: D = 45000.1,05.(1 1,05-5 )/0,05 = 204567,80 Kč
Příklad: Jaká je současná hodnota všech každoročních plateb ve výš 15 000 Kč vydaných vždy na konc roku po dobu 5 let? Předpokládejme opět úrokovou míru ve výš 5% p.a.. Řešení: D = 15000.(1 1,05-5 )/0,05 = 64942,15Kč
Důchod bezprostřední s více výplatam za 1 období Uvažujme důchod po n období během jednoho období výplata m-krát částka ve výš x na konc (počátku) každé m-tny období (x). 0 1 2 3 m-1,,,. m..,,,.. ( ) x x x x x S 1 S 1 S 1 S 1 0 1 2 3 n - 1 n S 1
Nejdříve pomocí krátkodobého spoření spočítáme budoucí hodnotu m výplat za 1 období S 1 S 1 (m ± 1) = m.x.(1 +.) 2.m znaménko + vyplácí-l se částka x na počátku každé m-tny úrokového období, znaménko vyplácí-l částka x na konc každé m-tny úrokového období
Současná hodnota důchodu se vypočítá jako součet současných hodnot n výplat S 1 vztažených k počátku (1 (1 + ) D = S 1. -n ) (m ± 1). (1 (1 + ) -n ) D = m.x.(1 + ) 2.m.
Příklad Na konc každého měsíce je nutno zaplatt nájem za nebytové prostory ve výš 20 000 Kč. Na konc června musíme zaplatt zpětně nájemné za duben a květen a navíc jsme se rozhodl, že zaplatíme nájemné až do konce roku. Jakou částku budeme v červnu platt, jestlže úroková sazba je 6 % p.a. s měsíčním přpsováním úroků? Výsledek: 178 228,19
Řešení Spoření S ( + ) n + 0,06 12 1 1 1 1 = a S = 20000 = 60300, 50 0,06 12 3 Důchod 1 v D = a n 1 1 0,06 1 + D = 20000 12 0,06 12 6 = 117927,69
Příklad Kupujete nemovtost. Odhadujete, že bude vynášet nájemné 10 000 Kč na konc každého měsíce. Předpokládáte její držbu po dobu 3 let, za 3 roky j budete moc prodat za 2,5 ml. Kč. Jaká je maxmální cena, za kterou jste ochotn nemovtost koupt, když požadujete výnos 24 % p.a.? Výsledek: 1 575 128
Řešení Cena současná hodnota všech budoucích plateb ( ) n t n P v k k k X P + + + = 1 1 2 1 1 0 ( ) 1575128 0,24 1 2500 000 0,24 0,24 1 1 1 0,24 12 2 1 12 1 12 000 10 3 3 0 = + + + + = P
Příklad Dlužník se zavázal splácet 800 Kč měsíčně, polhůtně po dobu 10 let. Počátkem 5. roku (hned potom, co byla zaplacena 48. splátka) věřtel tuto pohledávku prodal. Kolk čnla cena pohledávky, jestlže úroková sazba byla 8 % p.a. a úrokové období bylo 1 měsíc? Výsledek: 45 627,6
Řešení Kupující pohledávky obdrží ještě 12x6 plateb ve výš 800 Kč D = 1 v a n 1 1 D = 800 1 0,08 + 12 0,08 12 72 = 45627,6
Důchod odložený Výplata je posunutá o k období Dle okamžku, kdy v 1 období dochází k výplatě, se dělí opět na : předlhůtní polhůtní....... (0) (1) (2) (3),,, (n -1) (n) 0 k k + n
Důchod odložený předlhůtní Nechť je vyplacen důchod ve výš a vždy na počátku jednoho období od konce k- tého období do (k + n)-tého období, celkem je vyplaceno n důchodů (anut) př úrokové sazbě....,,,. 0 k a a a a. k + n
Hodnota n anut na konc k-tého období lze vypočítat pomocí bezprostředního důchodu:, D = a.(1 + ). k 1 (1 + ) -n Současná hodnota n anut vyplacených na počátku každého období vztažená k úplnému počátku je, D = a.(1 + ) 1-k. 1 (1 + ) -n
Důchod odložený polhůtní Nechť je vyplacen důchod ve výš a vždy na konc jednoho období od konce (k+1)- tého období do (k + n)-tého období, celkem je vyplaceno n důchodů (anut) př úrokové sazbě....,,,. 0 k a a a a. k + n
Analogcky jako u předlhůtního důchodu odloženého, hodnota n anut na konc k-tého období lze vypočítat pomocí bezprostředního důchodu: D = a. k 1 (1 + ) -n Současná hodnota n anut vyplacených na konc každého období vztažená k úplnému počátku je D = a.(1 + ) -k. 1 (1 + )-n
Pokud během jednoho období je vyplaceno m anut ve výš x (ať už na počátku č na konc každé m-tny jednoho období) po n období, postup je zcela analogcký. Nejdříve vypočítáme hodnotu důchodu v čase k, pak dskontujeme k úplnému počátku. Fnální vzorec je následující: (m ± 1). PV = (1 + ) -k.m.x.(1 + ). 2m Poznámka: + ve vzorc platí pro předlhůtní důchod - ve vzorc platí pro polhůtní důchod 1 (1 + ) -n
Příklad: Máme k dspozc 30 000 Kč. Touto částkou s chceme zajstt roční polhůtní důchod na pět let s tím, že s jeho výplatou začneme za dva roky. Jak vysoké budou výplaty př neměnné 4% roční úrokové sazbě? Řešení: 30000 = 1,04-2.x.(1 1,04-5 )/0,04 x = 7288,7 Kč
Příklad: Po narození dítěte byla uložena částka 100 000 Kč do podílového fondu s průměrnou roční výnosností ve výš 3,5% do dovršení jeho plnoletost. Zjstěte, jaká je velkost částky vyplacené potomkov na počátku každého měsíce po dobu 10 let. Př vyplacení důchodu předpokládejme vyšší úrokovou sazbu 4,5% p.a. a roční úročení. Řešení: x = 1909,70 Kč 100000 = 1,035-18.12.x.(1 + 13.0,045/24). (1 1,045-10 )/0,045
Důchod věčný Důchod je vyplacen po dobu nekonečně dlouhou Opět se dělí na, Předlhůtní Polhůtní Pro začátek předpokládejme, že důchod je vyplacen jednou za období Nechť je vyplacen důchod ve výš a př úrokové sazbě nekonečně dlouho
Důchod věčný předlhůtní: současná hodnota důchodu věčného předlhůtního je lmtní hodnota bezprostředního důchodu předlhůtního, když n, 1 (1 + ) D = lm a.(1 + ). -n a = a + n Důchod věčný polhůtní: stejnou analogí dostaneme vzorec pro výpočet důchodu věčného polhůtního: D = lm a. 1 (1 + ) -n = a/ n
Pokud během jednoho období je vyplaceno m anut ve výš x (ať už na počátku č na konc každé m-tny jednoho období) po nekonečně dlouhou dobu, pak současná hodnota věčného důchodu bude: (m ± 1). PV = lm m.x.(1 + ) 2m n 1 (m ± 1). = m.x..(1 + ) 2m (1 (1 + ) -n )
Příklad věčný důchod O Kolk je třeba zvýšt částku, kterou jste zajstl pololetní polhůtní věčný důchod ve výš Kč 3000,-, chcete-l jej změnt na čtvrtletní předlhůtní věčný důchod ve výš Kč 1500,-?
Rodče naspořl částku 800 000 Kč, kterou chtějí věnovat na vzdělání svých 2 dětí. Chtějí jm poskytnout každý rok stejný reálný příspěvek během doby jejch studa. Jakou částku dostane mladší dítě ve 3. roce studa, když starší dítě začíná studovat jž nyní a mladší začne studovat až za 4 roky? Obě budou studovat standardně 5 let. Dále víme, že částky budou vyplaceny vždy na konc roku a po celou dobu se roční míra nflace ve výš 2,1 % a úroková míra 4,9 % nezmění.