Finanční matematika. Téma: Důchody. Současná hodnota anuity



Podobné dokumenty
Důchody. Současná hodnota anuity. Důchody rozdělení. Důchody univerzální vztah. a) Bezprostřední b) Odložený. a) Dočasný b) Věčný

Ing. Barbora Chmelíková 1

5 ST ADATEL, FONDOVATEL, ZÁSOBITEL, NESTEJNÉ PENùÎNÍ PROUDY, REÁLNÁ ÚROKOVÁ MÍRA

Téma: Jednoduché úročení

1 Časová hodnota peněz

2. cvičení. Úrokování

Základy finanční matematiky

Budoucí hodnota anuity Spoření

Kolik musíme pravidelně na daný účet spořit, vždy koncem každého druhého měsíce, abychom si za 9 let mohli z účtu vybrat při úrokové sazbě 9

Přípravný kurz FA. Finanční matematika Martin Širůček 1

Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku Význam faktoru času a základní metody jeho vyjádření

Finanční matematika. Čas ve finanční matematice. Finanční matematika v osobních a rodinných financích

( ) = H zásobitel = 1. H i =

ZÁKLADY FINANČNÍ MATEMATIKY

4. cvičení. Splácení úvěru. Umořovatel.

FINANČNÍ MATEMATIKA. PŘEDNÁŠEJÍCÍ: Jarmila Radová

Finanční matematika. Mgr. Tat ána Funioková, Ph.D Katedra matematických metod v ekonomice

PENÍZE, BANKY, FINANČNÍ TRHY

Výpočet pojistného v životním pojištění. Adam Krajíček

Krátkodobé cenné papíry a Skonto obsah přednášky

1 Umořovatel, umořovací plán, diskont směnky

Úročení (spoření, střádání) ( ) Základní pojmy. Úrok je finančně vyjádřená odměna za dočasné poskytnutí kapitálu někomu jinému.

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta

Úroková sazba. Typy úrokových sazeb: pevné (fixní) pohyblivé

Ča Č sov o á ho h dn o o dn t o a pe p n e ě n z ě Petr Málek

ČASOVÁ HODNOTA PENĚZ ÚROKOVÁNÍ

K n = lim K 0.(1 + i/m) m.n. K n = K 0.e i.n. Stav kapitálu při spojitém úročení:

4 Zásobitel, reálná úroková míra, diskont směnky

Analýza cenných papírů 2 Analýza dluhopisů. Alikvótní úrokový výnos a cena dluhopisu mezi kupónovými platbami

4. Přednáška Časová hodnota peněz.

7.1. Jistina, úroková míra, úroková doba, úrok

Stavební spoření. Datum uzavření /14 PRG 04/14 V20. Spoření ukončeno dne Splacení úvěru

KOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla

Úkol: ve výši Kč. zachovat? 1. zjistěte, jestli by paní Sirotková byla schopna splácet hypotéku

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011

KOMPLEXNÍ ČÍSLA. Algebraický tvar komplexního čísla

CVIČENÍ ZE ZÁKLADŮ FINANCÍ

Finanční řízení podniku 1. cvičení. I) Vývoj vztahů mezi celkovým majetkem a kapitálem má svá ustálená pravidla.

SEM. 4. série VZOROVÉ ŘEŠENÍ

ÚROK = částka v Kč, kterou dostaneme z uložené nebo zaplatíme z vypůjčené částky

CVIČENÍ ZE ZÁKLADŮ FINANCÍ

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám

CVIČENÍ ZE ZÁKLADŮ FINANCÍ

Za případné drobné chybky a nepřesnosti v textu se omlouvám. Jednoduché úročení

SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ. částky naspořené po n letech při m úrokových obdobích za jeden rok platí formule

FINANČNÍ MATEMATIKA. Ing. Oldřich Šoba, Ph.D. Rozvrh. Soukromá vysoká škola ekonomická Znojmo ZS 2009/2010

Úročení vkladů. jednoduché složené anuitní

Vyplatí se vám investovat do nemovitosti na pronájem?

CVIČENÍ ZE ZÁKLADŮ FINANCÍ

Pasivní bankovní operace, vkladové bankovní produkty.

ČASOVÁ HODNOTA PENĚZ. Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace. 8. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D.

Nedejte šanci drahým a nevýhodným úvěrům

1 Běžný účet, kontokorent

Obligace obsah přednášky

CVIČNÉ PŘÍKLADY z finanční matematiky

SPOŘENÍ KRÁTKODOBÉ. Finanční matematika 5

Stejně velké platby - anuita

BKF_CZAF PRVNÍ TUTORIÁL Tomáš Urbanovský Katedra financí kancelář č. 402 (4. patro)


Článek I. Základní ustanovení

Program finanční podpory poskytování sociálních služeb v Olomouckém kraji ZVLÁŠTNÍ ČÁST

FRP cvičení Leasing

Užití geometrických posloupností ve finanční matematice VY_32_INOVACE_M PaedDr. Hana Kůstová 1. pololetí školního roku 2013/2014

Matematika stavebního spoření

Excel COUNTIF COUNTBLANK POČET

Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/ Označení materiálu

Pasivní bankovní operace, vkladové bankovní produkty.

Příspěvky do Fondu pojištění vkladů Garančního systému finančního trhu

3 Jednoduchý a složený úrok, budoucí a současná hodnota, střadatel, fondovatel, nestejné peněžní proudy

Úvěrový proces. Ing. Dagmar Novotná. Obchodní akademie, Lysá nad Labem, Komenského 1534

PLC 4. cvičení KRÁTKODOBÉ PLÁNOVÁNÍ (1)

Finanční matematika pro každého příklady + CD-ROM

Obligace II obsah přednášky

Ukázka knihy z internetového knihkupectví

FINANČNÍ ŘÍZENÍ Z HLEDISKA ÚČETNÍ EVIDENCE. COST BENEFIT ANALÝZA Část II.

Carmen Simerská. Ústav matematiky VŠCHT, Praha. Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.

CITROËN CASHBACK VYBERTE SI SVOJI SLEVU

SPOTŘEBITELSKÝ ÚVĚR. Na začátku provedeme inicializaci proměnných jejich vynulováním příkazem "restart". To oceníme při opakovaném použití dokumentu.

Produkty finanční matematiky. Podle standardů finanční. gramotnosti pro střední školy. Předmět matematika Praktické využití posloupností a řad

Numerická matematika 1. t = D u. x 2 (1) tato rovnice určuje chování funkce u(t, x), která závisí na dvou proměnných. První

Inflace. Makroekonomie I. Osnova k teorii inflace. Co již známe? Vymezení podstata inflace. Definice inflace

Finanční řízení podniku cvičení 1. I) Vývoj vztahů mezi celkovým majetkem a kapitálem má svá ustálená pravidla.

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

Přehled poplatků a parametrů pojištění Výběrové životní pojištění MAXIMUM EVOLUTION

DOHODA O UZNÁNÍ ZÁVAZKU A O ZMĚNĚ OBSAHU ZÁVAZKU (NOVACI) uzavřená podle ustanovení 1902 zákona č. 89/2012 Sb., občanský zákoník ( Dohoda č.j.

POROVNÁNÍ MEZI SKUPINAMI

Časová hodnota peněz ( )

Tab. č. 1 Druhy investic

Důchodové pojištění, jeho produktové modifikace a srovnání s životním pojištěním

Závazné požadavky na parametry úvěrů

VY_42_INOVACE_M2_34 Základní škola a mateřská škola Herálec, Herálec 38, ; IČ: ; tel.:

Příklady z FM. Zdůvodněte rozdíly a určete odpovídající hodnoty t r podle v praxi používaných standardů.

Metodika výpočtu RPSN stavebního spoření

Tab. č. 1 Druhy investic

RPSN (Roční Procentní Sazba Nákladů) ( )

Zvyšování kvality výuky technických oborů

PŘEHLED POPLATKŮ A PARAMETRŮ POJIŠTĚNÍ VÝBĚROVÉ ŽIVOTNÍ POJIŠTĚNÍ MAXIMUM EVOLUTION

Program finanční podpory poskytování sociálních služeb v Olomouckém kraji ZVLÁŠTNÍ ČÁST

Prosté úročení: Denní sazba krát počet dní, plus 1 = úrokový faktor. Složené úročení: roční úrokový faktor umocněný na počet let

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta

Transkript:

Fnanční matematka Téma: Důchody Současná hodnota anuty

Důchody Defnce: Důchodem se rozumí pravdelné platby ve stejné výš, tzv. anuty Pozor na nejednotnost termnologe Různé možnost rozdělení důchodů

Členění důchodů dle okamžku vyplacení jednotlvé platby: - předlhůtní - polhůtní dle délky doby vyplacení důchodů: - dočasný - věčný dle toho, kdy se začínají vyplácet důchody: - bezprostřední - odložený

Výpočty u důchodu Současná hodnota důchodu D Budoucí hodnota důchodu (spoření) S Vztah mez současnou a budoucí hodnotou důchodu: S = D.(1 + ) n Kde S je budoucí hodnota důchodu; D je současná hodnota důchodu; je úroková sazba úrokové období n je počet úrokových období

Důchod bezprostřední Výplata začíná okamžtě bez prodlení 2 druhy předlhůtní polhůtní

Důchod bezprostřední předlhůtní na počátku každého období důchod a po n období př úrokové sazbě., Současná hodnota D - součet současných hodnot všech plateb a a a a a...... 0 1 2 3 n - 1 n

Výplata číslo Současná hodnota 1 a/(1 + ) 0 2 a/(1 + ) 1 3 a/(1 + ) 2 n a/(1 + ) n - 1

, D = a.[(1 +(1 + ) -1 + (1 + ) -2 + + (1 + ) -(n-1) ] Dskontní faktor označíme v D = a ( 1 + ) 1 v n

, Výraz a n = (1 + ). 1 - (1 + ) -n se nazývá zásobtel předlhůtní, udává současnou hodnotu důchodu n jednotkových výplat, které jsou vyplaceny na počátku n období př úrokové sazbě. Výraz (1 + ) -1 se taky nazývá dskontní faktor

Důchod bezprostřední polhůtní Nechť se bude dostávat na konc každého období důchod ve výš a po n období př úrokové sazbě. Počáteční hodnota D je součet současných hodnot všech plateb vztažených k počátku. a. a. a.,,,. a a. 0 1 2 3 n - 1 n

Výplata číslo Současná hodnota 1 a/(1 + ) 1 2 a/(1 + ) 2 3 a/(1 + ) 3 n a/(1 + ) n

D = = a.[(1 + ) -1 +(1 + ) -2 + (1 + ) -3 + + (1 + ) -n ] Výraz v hranatých závorkách je konečná geometrcká řada Současnou hodnotu polhůtní anuty D = a 1 v n

Výraz a n = (1 (1 + ) -n )/ se nazývá zásobtel polhůtní Platí také tyto vztahy: D = D.(1 + ) S = D.(1 + ) n a n = a n.(1 + ) s n = a n.(1 + ) n

Příklad : Jakou částku je třeba mít k dspozc teď, aby bylo možné pokrýt každoroční výdaje ve výš 45 000 Kč po dobu 5 let? Tyto výdaje budou vynaloženy hned na počátku každého roku. Úrokovou sazbu předpokládejme 5% p.a.. Řešení: D = 45000.1,05.(1 1,05-5 )/0,05 = 204567,80 Kč

Příklad: Jaká je současná hodnota všech každoročních plateb ve výš 15 000 Kč vydaných vždy na konc roku po dobu 5 let? Předpokládejme opět úrokovou míru ve výš 5% p.a.. Řešení: D = 15000.(1 1,05-5 )/0,05 = 64942,15Kč

Důchod bezprostřední s více výplatam za 1 období Uvažujme důchod po n období během jednoho období výplata m-krát částka ve výš x na konc (počátku) každé m-tny období (x). 0 1 2 3 m-1,,,. m..,,,.. ( ) x x x x x S 1 S 1 S 1 S 1 0 1 2 3 n - 1 n S 1

Nejdříve pomocí krátkodobého spoření spočítáme budoucí hodnotu m výplat za 1 období S 1 S 1 (m ± 1) = m.x.(1 +.) 2.m znaménko + vyplácí-l se částka x na počátku každé m-tny úrokového období, znaménko vyplácí-l částka x na konc každé m-tny úrokového období

Současná hodnota důchodu se vypočítá jako součet současných hodnot n výplat S 1 vztažených k počátku (1 (1 + ) D = S 1. -n ) (m ± 1). (1 (1 + ) -n ) D = m.x.(1 + ) 2.m.

Příklad Na konc každého měsíce je nutno zaplatt nájem za nebytové prostory ve výš 20 000 Kč. Na konc června musíme zaplatt zpětně nájemné za duben a květen a navíc jsme se rozhodl, že zaplatíme nájemné až do konce roku. Jakou částku budeme v červnu platt, jestlže úroková sazba je 6 % p.a. s měsíčním přpsováním úroků? Výsledek: 178 228,19

Řešení Spoření S ( + ) n + 0,06 12 1 1 1 1 = a S = 20000 = 60300, 50 0,06 12 3 Důchod 1 v D = a n 1 1 0,06 1 + D = 20000 12 0,06 12 6 = 117927,69

Příklad Kupujete nemovtost. Odhadujete, že bude vynášet nájemné 10 000 Kč na konc každého měsíce. Předpokládáte její držbu po dobu 3 let, za 3 roky j budete moc prodat za 2,5 ml. Kč. Jaká je maxmální cena, za kterou jste ochotn nemovtost koupt, když požadujete výnos 24 % p.a.? Výsledek: 1 575 128

Řešení Cena současná hodnota všech budoucích plateb ( ) n t n P v k k k X P + + + = 1 1 2 1 1 0 ( ) 1575128 0,24 1 2500 000 0,24 0,24 1 1 1 0,24 12 2 1 12 1 12 000 10 3 3 0 = + + + + = P

Příklad Dlužník se zavázal splácet 800 Kč měsíčně, polhůtně po dobu 10 let. Počátkem 5. roku (hned potom, co byla zaplacena 48. splátka) věřtel tuto pohledávku prodal. Kolk čnla cena pohledávky, jestlže úroková sazba byla 8 % p.a. a úrokové období bylo 1 měsíc? Výsledek: 45 627,6

Řešení Kupující pohledávky obdrží ještě 12x6 plateb ve výš 800 Kč D = 1 v a n 1 1 D = 800 1 0,08 + 12 0,08 12 72 = 45627,6

Důchod odložený Výplata je posunutá o k období Dle okamžku, kdy v 1 období dochází k výplatě, se dělí opět na : předlhůtní polhůtní....... (0) (1) (2) (3),,, (n -1) (n) 0 k k + n

Důchod odložený předlhůtní Nechť je vyplacen důchod ve výš a vždy na počátku jednoho období od konce k- tého období do (k + n)-tého období, celkem je vyplaceno n důchodů (anut) př úrokové sazbě....,,,. 0 k a a a a. k + n

Hodnota n anut na konc k-tého období lze vypočítat pomocí bezprostředního důchodu:, D = a.(1 + ). k 1 (1 + ) -n Současná hodnota n anut vyplacených na počátku každého období vztažená k úplnému počátku je, D = a.(1 + ) 1-k. 1 (1 + ) -n

Důchod odložený polhůtní Nechť je vyplacen důchod ve výš a vždy na konc jednoho období od konce (k+1)- tého období do (k + n)-tého období, celkem je vyplaceno n důchodů (anut) př úrokové sazbě....,,,. 0 k a a a a. k + n

Analogcky jako u předlhůtního důchodu odloženého, hodnota n anut na konc k-tého období lze vypočítat pomocí bezprostředního důchodu: D = a. k 1 (1 + ) -n Současná hodnota n anut vyplacených na konc každého období vztažená k úplnému počátku je D = a.(1 + ) -k. 1 (1 + )-n

Pokud během jednoho období je vyplaceno m anut ve výš x (ať už na počátku č na konc každé m-tny jednoho období) po n období, postup je zcela analogcký. Nejdříve vypočítáme hodnotu důchodu v čase k, pak dskontujeme k úplnému počátku. Fnální vzorec je následující: (m ± 1). PV = (1 + ) -k.m.x.(1 + ). 2m Poznámka: + ve vzorc platí pro předlhůtní důchod - ve vzorc platí pro polhůtní důchod 1 (1 + ) -n

Příklad: Máme k dspozc 30 000 Kč. Touto částkou s chceme zajstt roční polhůtní důchod na pět let s tím, že s jeho výplatou začneme za dva roky. Jak vysoké budou výplaty př neměnné 4% roční úrokové sazbě? Řešení: 30000 = 1,04-2.x.(1 1,04-5 )/0,04 x = 7288,7 Kč

Příklad: Po narození dítěte byla uložena částka 100 000 Kč do podílového fondu s průměrnou roční výnosností ve výš 3,5% do dovršení jeho plnoletost. Zjstěte, jaká je velkost částky vyplacené potomkov na počátku každého měsíce po dobu 10 let. Př vyplacení důchodu předpokládejme vyšší úrokovou sazbu 4,5% p.a. a roční úročení. Řešení: x = 1909,70 Kč 100000 = 1,035-18.12.x.(1 + 13.0,045/24). (1 1,045-10 )/0,045

Důchod věčný Důchod je vyplacen po dobu nekonečně dlouhou Opět se dělí na, Předlhůtní Polhůtní Pro začátek předpokládejme, že důchod je vyplacen jednou za období Nechť je vyplacen důchod ve výš a př úrokové sazbě nekonečně dlouho

Důchod věčný předlhůtní: současná hodnota důchodu věčného předlhůtního je lmtní hodnota bezprostředního důchodu předlhůtního, když n, 1 (1 + ) D = lm a.(1 + ). -n a = a + n Důchod věčný polhůtní: stejnou analogí dostaneme vzorec pro výpočet důchodu věčného polhůtního: D = lm a. 1 (1 + ) -n = a/ n

Pokud během jednoho období je vyplaceno m anut ve výš x (ať už na počátku č na konc každé m-tny jednoho období) po nekonečně dlouhou dobu, pak současná hodnota věčného důchodu bude: (m ± 1). PV = lm m.x.(1 + ) 2m n 1 (m ± 1). = m.x..(1 + ) 2m (1 (1 + ) -n )

Příklad věčný důchod O Kolk je třeba zvýšt částku, kterou jste zajstl pololetní polhůtní věčný důchod ve výš Kč 3000,-, chcete-l jej změnt na čtvrtletní předlhůtní věčný důchod ve výš Kč 1500,-?

Rodče naspořl částku 800 000 Kč, kterou chtějí věnovat na vzdělání svých 2 dětí. Chtějí jm poskytnout každý rok stejný reálný příspěvek během doby jejch studa. Jakou částku dostane mladší dítě ve 3. roce studa, když starší dítě začíná studovat jž nyní a mladší začne studovat až za 4 roky? Obě budou studovat standardně 5 let. Dále víme, že částky budou vyplaceny vždy na konc roku a po celou dobu se roční míra nflace ve výš 2,1 % a úroková míra 4,9 % nezmění.