Vysoká škola báňská - Techncká unverzta Ostrava Fakulta elektrotechnky a nformatky Katedra aplkované matematky Neřešené příklady k procvčení Lenka Šmonová Ostrava, 2006
Následující sbírka neřešených příkladů Neřešené příklady k procvčení vznkla jako podklad pro výuku cvčení předmětu Statstka I. na FEI VŠB-TU Ostrava, šk. rok 2005/2006, jak v prezenční tak v kombnované formě, komplací příkladů z různých zdrojů uvedených v lteratuře, převážně z následujících ttulů: Dummer M., Klímková M.: Statstka I. Cvčení, Ostrava, 1997, Ltschmannová M.: Statstka I. příklady, Ostrava, 2000, Brš R., Ltschmannová M.: Statstka I. pro kombnované a dstanční studum, Ostrava 2004. Přej příjemné, nčím nerušené, studum. V Ostravě, 12.4.2006 Mgr. Lenka Šmonová
1. Explorační analýza dat 1. Proveďte explorační analýzu datového souboru (údaje o zaměstnancích podnku): Zaměstnanec Pohlaví Věk Vzdělání Funkce Plat (v ts Kč) 1 Muž 55 VŠ Ředtel 55 2 Muž 40 VŠ Náměstek 40 3 Muž 42 VŠ Právník 30 4 Muž 48 SŠ Technk 15 5 Muž 51 SŠ Technk 16 6 Muž 47 SOU Dělník 12 7 Žena 24 SŠ sekretářka 15 8 Žena 45 SOU Dělnce 11 9 Žena 47 SOU Dělnce 12 a) analyzujte rozložení vzdělání, načrtněte koláčový a sloupcový graf, b) určete průměrný věk a směrodatnou odchylku věku, c) analyzujte rozložení platů, určete medán, horní, dolní kvartl, MAD, Shorth, modus; zakreslete box-plot, d) zjstěte užtím z-souřadnce, zda jsou v souboru odlehlá pozorování (posuzujte věk), e) zjstěte užtím medánové souřadnce, zda jsou v souboru odlehlá pozorování (posuzujte výš platu). 2. Uvedená data představují typy používaných moblních operátorů u vybraných deset studentů VŠB. Data vyhodnoťte (určete četnost, rel. četnost a modus) a grafcky znázorněte (načrtněte sloupcový graf a koláčový graf). T-moble Eurotel T-moble Oskar Eurotel Eurotel T-moble Eurotel Eurotel Oskar 3. Následující data představují zem výroby automoblu. Data vyhodnoťte (určete četnost, rel. četnost, modus) a grafcky znázorněte (načrtněte sloupcový graf a koláčový graf). USA USA Evropa Japonsko Japonsko Evropa Japonsko Evropa Evropa Japonsko USA Evropa 4. Následující data představují platy zaměstnanců frmy XY: 14 659, 19 633, 15 899, 25 639, 56 496, 9 637, 12 567, 23 569, 19 639, 18 563. Zkreslete graf stem and leaf.
5. Př dopravním průzkumu byla sledována vytíženost vjezdu do určté křžovatky. Student, provádějící průzkum, s vždy př naskočení zeleného světla zapsal počet aut, čekajících ve frontě u semaforu. Jeho zapsané výsledky jsou: 3 1 5 3 2 3 5 7 1 2 8 8 1 6 1 8 5 5 8 5 4 7 2 5 6 3 4 2 8 4 4 5 5 4 3 3 4 9 6 2 1 5 2 3 5 3 5 7 2 5 8 2 4 2 4 3 5 6 4 6 9 3 2 1 2 6 3 5 3 5 3 7 6 3 7 5 6 Nakreslete krabcový graf, emprckou dstrbuční funkc a vypočtěte následující výběrové statstky: průměr, výběrová směrodatná odchylka, shorth, modus a nterkvartlové rozpětí. 6. Data byla získána měřením a představují napětí baterí ve voltech: 1,2 1,5 1,4 0,6 1,1 1,6 1,4 1,7. Určete: a) maxmum, mnmum, dolní a horní kvartl, medán, nterkvartlové rozpětí; zakreslete krabcový graf; b) shorth, modus, MAD; c) odlehlá pozorování použtím medánové souřadnce. 7. Maxmální teploty naměřené v průběhu jednoho týdne na různých místech ČR byly: 16, 14, 18, 13, 20, 19, 19 ( C). Určete: a) maxmum, mnmum, dolní a horní kvartl, medán, nterkvartlové rozpětí; zakreslete krabcový graf; b) shorth, modus, průměr, směrodatnou odchylku; c) odlehlá pozorování použtím z-souřadnce. 8. Následující data byla získána měřením a představují váhu balíků v kg: 8.1 9.0 6.3 1.8 9.9 9.0 5.4 8.1. Určete: a) maxmum, mnmum, dolní a horní kvartl, medán, nterkvartlové rozpětí; zakreslete krabcový graf; b) shorth, modus, MAD; c) odlehlá pozorování použtím medánové souřadnce 9. Následující data byla získána měřením a představují hlučnost stroje v decbelech: 94 78 104 98 132 90 98 74. Určete: a) maxmum, mnmum, dolní a horní kvartl, medán, nterkvartlové rozpětí; zakreslete krabcový graf; b) shorth, modus, průměr, směrodatnou odchylku; c) odlehlá pozorování použtím z-souřadnce.
2. Pravděpodobnost 1. Házíme 6x hrací kostkou.jaká je pravděpodobnost, že a) nepadne an jedna šestka? b) padne právě jedna šestka? c) padne alespoň jedna šestka? d) padne nejvýše jedna šestka? e) šestka padne více než jedenkrát? 2. Dva hráč, Albert a Bartoloměj, hrají prot sobě hru. V každé hře sází každý hráč 100,- Kč. Vítěz bere vše (200,- Kč). Albert je lepší hráč, pravděpodobnost, že vyhraje konkrétní hru je 2/3. Albert však má na začátku hry k dspozc pouze 100,- Kč, kdežto Bartoloměj začíná s 200,- Kč. Hra končí ve chvíl, kdy jeden z hráčů přjde o všechny peníze (Druhý vyhraje vše - tj. 300,- Kč). Jaká je pravděpodobnost, že vítězem bude Albert? 3. Určete, kolk ldí se musí potkat, aby pravděpodobnost, že alespoň dva z nch mají narozenny v týž den v roce byla větší než jedna polovna. 4. Celostátní pozorování manželských párů ukázalo, že pravdelně určtý pořad sleduje 30% všech manželek a 50% všech manželů. Zároveň se ukázalo, že jestlže pořad sleduje manželka, pak podíl manželů, kteří pořad také sledují, je 60%. Jaká je pravděpodobnost, že u náhodně vybraného manželského páru: a) budou pořad sledovat oba manželé? b) bude pořad sledovat alespoň jeden z nch? c) nebude pořad sledovat an jeden? d) bude pořad sledovat manželka, pokud jej bude sledovat manžel? e) jestlže manžel pořad nesleduje, bude jej sledovat manželka? 5. V dílně pracují 3 stroje. První z nch vyrobí 24%, druhý 36% a třetí 40% produkce dílny. První stroj vyrobí zmetek s pravděpodobností 0,02, u druhého se toto stane s pravděpodobností 0,03 a u třetího s pravděpodobností 0,06. S jakou pravděpodobností: a) bude vyroben zmetek? b) Byl vyrobený zmetek z produkce třetího stroje? 6. Je známo, že 90% výrobků odpovídá standardu. Byla vypracována zjednodušená kontrolní zkouška, která u standardního výrobku dá kladný výsledek s pravděpodobnost 0,95, kdežto u výrobku nestandardního s pravděpodobností 0,20. Jaká je pravděpodobnost, že výrobek, u něhož zkouška dopadla kladně, je standardní? 7. U ntegrovaného obvodu MAA 7551 se s pravděpodobnost 10% vyskytuje výrobní vada. U IO s touto vadou dochází během záruční doby s pravděpodobnost 50% k poruše. U IO, které tuto vadu nemají dochází k poruše s pravděpodobnost 1%. a) S jakou pravděpodobnost se nám zakoupený IO MAA 7551 porouchá během záruční doby? b) Pokud se nám IO MAA 7551 porouchal, jaká je pravděpodobnost, že se jedná o IO s výrobní vadou? 8. Bylo zjštěno, že u jstého druhu elektrckých spotřebčů se s pravděpodobností 0.1 vyskytuje výrobní vada. U výrobků s touto vadou dochází během šestmměsíční záruční lhůty k poruše s pravděpodobností 0.4. Výrobky, které nemají zmíněnou vadu, vykazují během stejné doby poruchu jen s pravděpodobností 0.01. Určete: a) pravděpodobnost, že u náhodně vybraného výrobku nastane v záruční době porucha, b) pravděpodobnost, že výrobek, který se v záruční době porouchá bude mít dotyčnou výrobní vadu.
3. Náhodná velčna 1. Pravděpodobnost toho, že výrobek bude vyhovovat všem technckým požadavkům je 0,9. Označme X počet nevyhovujících výrobků mez třem vybraným výrobky. Určete: a) rozložení pravděpodobnost náhodné velčny X, b) dstrbuční funkc náhodné velčny X, c) střední hodnotu a rozptyl. 2. Předpokládejme, že pravděpodobnost narození kluka je P(K)=0,52, pravděpodobnost narození holky P(H)=0,48. Uvažujme náhodnou velčnu X počet dívek v rodně se 3-m dětm. Určete: a) pravděpodobnostní funkc náhodné velčny X, b) dstrbuční funkc náhodné velčny X, c) střední hodnotu a rozptyl. 3. Tskárna tskne knhy, které mají 80 až 800 stran. Označme X počet stran knhy. Náhodná velčna X se řídí následujícím rozdělením pravděpodobnost: X 80 200 400 800 P(x) 0,1 0,2 0,6 0,1 Určete: a) dstrbuční funkc náhodné velčny X a zakreslete její graf, b) střední hodnotu a rozptyl náhodné velčny X, c) pravděpodobnost, že náhodně vybraná knha bude mít méně než 350 stran. 4. Pan John Nowak má nové zaměstnání prodává počítače. Na příští rok s však není jst svým příjmy. Odhaduje, že se jeho příjem X bude pohybovat od 10 do 40 tsíc dolarů podle následujícího rozdělení pravděpodobnost: x 10 20 30 40 P(x) 0,1 0,3 0,4 0,2 Určete: a) očekávaný příjem prodejce (střední hodnotu) a rozptyl, b) dstrbuční funkc náhodné velčny X a její graf, c) jaká je pravděpodobnost, že prodejce příští rok vydělá méně než 35 000 dolarů. 5. Doba žvota lbovolného atomu radoaktvního prvku je náhodná velčna X, jejíž dstrbuční funkce má tvar αx 1 e, x 0, F( x) = 0, x < 0, kde α > 0 označuje rozpadovou konstantu uvažovaného radoaktvního prvku. Určete: a) hustotu doby žvota atomu tohoto prvku, b) očekávanou hodnotu a rozptyl doby žvota tohoto prvku.
6. Mějme náhodnou velčnu Y, jejíž hustota rozdělení pravděpodobnost má tvar: c.(1 + y)(1 y), y f ( y) = 0, jnde. 1,1, Určete: a) hodnotu konstanty c, b) dstrbuční funkc náhodné velčny Y, c) střední hodnotu a rozptyl, d) modus. 7. Uvažujme funkc F: x 1 e, x > 0, F( x) = 0, x 0. Určete: a) zda funkce F může být dstrbuční funkcí nějaké náhodné velčny (tj. ověřte, zda jsou splněny základní vlastnost dstrbuční funkce), b) hustotu rozdělení pravděpodobnost náhodné velčny X, c) 30% a 70% kvantl náhodné velčny X, d) medán náhodné velčny X.
4. Náhodný vektor 1. V záslce 10-t výrobků je 8 kvaltních a 2 nekvaltní. Mez kvaltním je 5 první jakost a 3 druhé jakost. Ze záslky se náhodně vyberou 2 výrobky (výběr bez vracení). Označme X počet kvaltních kusů ve výběru, Y počet výrobků první jakost ve výběru. Určete: a) smultánní (sdruženou) pravděpodobnostní funkc náhodného vektoru (X,Y), b) margnální rozdělení pravděpodobnost náhodných velčn X a Y, c) dstrbuční funkc náhodného vektoru (X,Y), d) vektor středních hodnot, e) kovaranční matc, f) korelační koefcent, g) zda náhodné velčly X, Y jsou korelované, h) zda náhodné velčly X, Y jsou nezávslé. 2. V osudí je 12 losů, z nch 2 vyhrávají první cenu, 4 vyhrávají druhou cenu a 6 losů nevyhrává. Vyberme náhodně 2 losy (výběr bez vracení). Označme X počet tažených losů, které vyhrávají první cenu, Y počet tažených losů, které vyhrávají druhou cenu. Určete: a) smultánní (sdruženou) pravděpodobnostní funkc náhodného vektoru (X,Y), b) margnální rozdělení pravděpodobnost náhodných velčn X a Y, c) dstrbuční funkc náhodného vektoru (X,Y), d) vektor středních hodnot, e) kovaranční matc, f) korelační koefcent, g) zda náhodné velčly X, Y jsou korelované, h) zda náhodné velčly X, Y jsou nezávslé. 3. Je dána tabulka rozdělení pravděpodobnost náhodného vektoru (X,Y): x \ y j 0 1 2 P X = x ) 0 0,42 0,12 0,06 0,6 1 0,28 0,08 0,04 0,4 P Y = y ) 0,7 0,2 0,1 1 ( j Určete, zda náhodné velčny X,Y jsou nezávslé. ( 4. Je dána tabulka rozdělení pravděpodobnost náhodného vektoru (X,Y): x \ y j 0 1 P X = x ) 0 0,5 0,3 0,8 1 0,1 0,1 0,2 P Y = y ) 0,6 0,4 1 ( j Určete, zda náhodné velčny X,Y jsou nezávslé. (
5. Je dána sdružená hustota rozdělení pravděpodobnost náhodného vektoru (X,Y): 1 x y +, x f ( x, y) = 6 2 3 0, jnde. 0,2, y 0,3, Určete: a) margnální hustoty náhodných velčn X,Y, b) vektor středních hodnot, c) kovaranční matc, d) korelační koefcent, e) zda jsou náhodné velčny X, Y nezávslé, f) zda jsou náhodné velčny X, Y korelované. 6. Dvourozměrný náhodný vektor (X,Y) má hustotu rozdělení pravděpodobnost 1 sn( x + y), x f ( x, y) = 2 0, jnde. π 0, 2, y π 0,, 2 Určete: a) vektor středních hodnot, b) kovaranční matc, c) korelační koefcent, d) zda jsou náhodné velčny X, Y korelované.
5. Dskrétní a spojtá rozdělení pravděpodobnost a) Bnomcké rozdělení 1. Dlouhodobým pozorováním bylo zjštěno, že as 25% užvatelů počítačů používá notebooky. Na školení nového softwarového produktu se sešlo 12 užvatelů počítačů. Určete: a) očekávanou (střední) hodnotu počtu užvatelů (z těchto 12-t), kteří používají notebook. Nyní předpokládejme, že všchn užvatelé, kteří používají notebook s jej vezmou s sebou na toto školení. Určete pravděpodobnost, že notebook s sebou budou mít: b) všchn, c) an jeden, d) právě jeden, e) právě 3, f) méně než tř, g) více než tř. 2. Student složí zkoušku, jestlže v testu odpoví správně alespoň na čtyř z pět otázek. U každé otázky jsou čtyř možné odpověd, z nchž jedná je správná. S jakou pravděpodobností student složí zkoušku, jestlže se vůbec nepřpravoval a odpověd voll náhodně? 3. Student se má ke zkoušce naučt 60 otázek. Z nedostatku času se naučl jen 40. U zkoušky s vylosuje 3 otázky. S jakou pravděpodobností: a) bude umět alespoň dvě otázky? b) nebude umět an jednu otázku? 4. Revzor ze zkušenost ví, že zhruba v 26% tramvají př kontrole najde černého pasažéra. Kolk tramvají musí zkontrolovat, aby alespoň s 95% pravděpodobností našel alespoň jednoho černého pasažéra? b) Geometrcké rozdělení 5. Pravděpodobnost úspěchu je 0.1. Určete pravděpodobnost, že do prvního úspěchu provedeme: a) méně než 5 pokusů b) více než 10 pokusů c) právě 7 pokusů. 6. Kolkrát (průměrně) musíme hodt kostkou, aby nám padla šestka? 7. Jaká je pravděpodobnost, že aby padla šestka musíme hodt kostkou: a) šestkrát, b) jednou, c) více než čtyřkrát, c) Negatvně bnomcké rozdělení 8. Kolkrát (průměrně) musíme hodt mncí, aby nám 5x padl lev? 9. Jaká je pravděpodobnost, že aby nám padl 5x lev musíme hodt mncí: a) desetkrát,
b) alespoň desetkrát, c) nejvíce desetkrát. d) Possonovo rozdělení 10. Stroj vyrobí průměrně 2 zmetky za hodnu. Určete pravděpodobnost, že během 8-m hodnové pracovní směny vyrobí stroj: a) právě 16 zmetků, b) právě 8 zmetků, c) méně než 3 zmetky, d) více než 10 zmetků. 11. Př provozu balícího automatu vznkají během směny náhodné poruchy. Ze zkušenost víme, že během směny dochází v průměru ke 2 poruchám. Jaká je pravděpodobnost, že během 24 hodn (třísměnného provozu) nedojde an jednou k poruše? 12. Hodnová dopravní ntenzta na určtém místě dálnce v určtou denní dobu je 300 vozdel. S jakou pravděpodobností projede tímto místem během jedné mnuty více než 6 vozdel? 13. V jednom mlltru určtého dokonale rozmíchaného roztoku se v průměru nachází 15 určtých mkroorgansmů. Určete pravděpodobnost, že př náhodném výběru vzorku o objemu 1/2 mlltru bude ve zkumavce méně než 5 těchto mkroorgansmu. e) Exponencální rozdělení 14. Výrobní zařízení má poruchu v průměru jednou za 2000 hodn. Jaká je pravděpodobnost, že přístroj bude pracovat déle než 550 hodn? 15. Žvotnost žárovky má exponencální rozdělení se střední hodnotou 400h. S jakou pravděpodobností bude žárovka svítt dalších 100 hodn, jestlže jž svítla 600 hodn? 16. Průměrná doba mez příjezdy nákladních automoblů s betonovou směsí je 10 mnut. Jaká je pravděpodobnost, že doba mez příjezdy dvou vozdel bude kratší než 7 mnut? 17. Doba do vybtí batere se řídí exponencálním rozdělením. a) Jaká je střední doba do vybtí, víme-l, že 1% těchto baterí vydrží déle než 4 000 hodn? b) Je-l střední doba do vybtí 3 150 hodn, kolk procent těchto bater vydrží déle než 4 000 hodn? f) Webullovo rozdělení 18. Předpokládejme, že doba do poruchy určtého systému je modelována Webullovým rozdělením s klesající ntenztou poruch, parametry: λ = 0.02; β = 0.5. a) Jaká je ntenzta poruch systémů po deset hodnách funkce? b) Jaká je ntenzta poruch systémů po 200 hodnách funkce? c) Jaká je pravděpodobnost, že systém bude pracovat bez poruchy během prvních 10-t hodn? d) Jaká je pravděpodobnost, že systém bude pracovat bez poruchy během prvních 200 hodn?
6. Normální rozdělení a lmtní věty A) Normální rozdělení 1. Nechť X je náhodná velčna s normálním rozdělením se střední hodnotou 6 a rozptylem 48. Určete: a) P(X<7), b) P(X>9), c) P(5<X<10). 2. Nechť X je náhodná velčna s normálním rozdělením se střední hodnotou 5 a rozptylem 4. Najděte: a) x 0, 1-10 % kvantl, b) x 0, 5 - medán, c) x 0, 75-75 % kvantl. 2 3. Stanovte pravděpodobnost, že náhodná velčna ~ N( µ, δ ) a) µ σ ; µ + σ, b) µ 3 σ ; µ + 3σ. X nabude hodnot z ntervalu: 4. Dlouhodobým průzkumem bylo zjštěno, že doba potřebná k objevení a odstranění poruchy stroje má střední hodnotu 40 mnut a směrodatnou odchylku 30 mnut. Jaká je pravděpodobnost, že doba potřebná k objevení a opravení poruchy stroje nepřekročí 1 hodnu? 5. Doba potřebná k vypracování písemky ze statstky má normální rozdělení se střední hodnotou 45 mnut a směrodatnou odchylkou 10 mnut. a) Kolk procent studentů dokončí test do jedné hodny? b) Jak dlouho by měl test trvat, aby jej dokončlo 99 % studentů? 6. Dlouhodobým pozorováním bylo zjštěno, že výrobní lnka produkuje klogramové balíčky rýže s průměrnou hmotností 996 g a směrodatnou odchylkou 18 g. Předpokládejme, že hmotnost balíčku rýže je náhodná velčna mající normální rozdělení pravděpodobnost. Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný balíček: a) bude mít hmotnost menší než 1000 g, b) bude mít hmotnost větší než 980 g, c) projde výstupní kontrolou, pokud je povolená tolerance ± 30 gramů od hmotnost 1000 g uváděné na obalu.
B) Lmtní věty a) Bnomcká náhodná velčna (součet alternatvních náhodných velčn) pro velká n aproxmovaná pomocí normálního rozdělení se střední hodnotou np a rozptylem np(1-p), tj. B( n, p) N( np, np(1 p)). 1. Student se podrobí zkoušce ve formě testu s 10-t otázkam, na které náhodně volí odpověd ano/ne. Určete pravděpodobnost, že student odpoví správně na: a) 7 nebo 8 otázek, b) více než 8 otázek. K výpočtu užjte nejprve bnomcké rozdělení, potom aproxmac bnomckého rozdělení normálním rozdělením s použtím korekce na spojtost. Výsledky porovnejte. 2. Pravděpodobnost, že př daném výrobním procesu bude na určtém stroj vyroben vadný výrobek je rovna 0,04. Jaká je pravděpodobnost, že z 250-t vyrobených výrobků bude počet vadných a) právě 10, b) alespoň 5, ale nejvýše 15? 3. Frma XY se zabývá výrobou moblních telefonů. 5% výrobků je př výstupní kontrole vyřazeno v důsledku výrobních vad. Jaká je pravděpodobnost, že v kontrolní sér 500 telefonů bude: a) méně než 30 vadných kusů, b) mez 2.5% a 7.5% vadných kusů. 4. Letecká společnost ví ze svých údajů, že zpravdla 4% osob, které mají rezervovány letenky se nedostaví k odletu. Společnost proto prodává 75 letenek na let, v němž má místo pro 73 osob. Určete pravděpodobnost, že všchn pasažéř, kteří se dostaví k odletu budou mít místo (proveďte korekc na spojtost). 5. Házíme dokonale symetrckou, homogenní kostkou. S jakou pravděpodobností padne v 600-t hodech více než 110 šestek? b) Součet velkého počtu n náhodných velčn X, které jsou nezávslé a mají stejné rozdělení pravděpodobnost se střední hodnotou EX = µ a rozptylem DX = σ aproxmovaný normálním rozdělením, tj. X N( n. µ, nσ. ). 6. Dlouhodobým průzkumem bylo zjštěno, že doba potřebná k objevení a odstranění poruchy stroje má střední hodnotu 40 mnut a směrodatnou odchylku 30 mnut. Jaká je pravděpodobnost, že doba potřebná k objevení a opravení 100 poruch stroje nepřekročí a) 9 hodn, b) 90 hodn? 7. Výletní člun má nosnost 5000kg. Hmotnost cestujících je náhodná velčna se střední hodnotou 70kg a směrodatnou odchylkou 20kg. Kolk cestujících může člunem cestovat, aby pravděpodobnost přetížení člunu byla menší než 0,001? n = 1 8. Zaměstnanc jstého podnku mají nárok na jeden den plně hrazené nemocenské měsíčně. Jestlže víme, že zaměstnanc s vybírají cca 0.78 dní měsíčně ( na zaměstnance ) a v podnku pracuje 220
zaměstnanců, jaká je pravděpodobnost, že s zaměstnanc příští měsíc budou nárokovat celkem více než 195 dní? c) Průměr velkého počtu n náhodných velčn X, které jsou nezávslé a mají stejné rozdělení pravděpodobnost se střední hodnotou EX = µ a rozptylem X = 1 σ DX = σ aproxmovaný normálním rozdělením, tj. X = N( µ, ). n n 9. V továrně na výrobu žárovek bylo př výstupní kontrole zjštěno, že žvotnost žárovky je ( 1600 ± 250 ) hodn. Jaká je pravděpodobnost, že vybereme-l náhodně 100 žárovek, tak jejch průměrná žvotnost bude nžší než 1560 hodn? n d) Possonova náhodná velčna X ~ Po( λ t) aproxmovaná normálním rozdělením N( λ t, λt). 10. Místní frma kompletuje počítače PC. Průměrná doba potřebná k sestavení jednoho počítače je 35 mnut. Ve frmě se pracuje 8 hodn denně, 20 dní měsčně. Jaká je pravděpodobnost, že příští měsíc zaměstnanc sestaví: a) více než 300 počítačů b) mez 250 a 275 počítač
7. Testování hypotéz a ntervalové odhady I) Jednovýběrové testy a) testujeme střední hodnotu př známém rozptylu 1. Odběratel s dodavatelem uzavřel smlouvu o dodávce pytlů oblí. Př známém rozptylu σ 2 = 0, 1 plnícího stroje má být střední hodnota hmotnost pytlů 10 kg. Pro ověření skutečnost, že plnící stroj pracuje dobře, bylo náhodně vybráno 40 pytlů a získán průměr jejch hmotnost x = 9, 6 kg. Rozhodněte, zda dodavatel dodržuje stanovenou střední hodnotu hmotnost. 2 σ b) testujeme střední hodnotu př neznámém rozptylu 2. Balíčky sol mají mít hmotnost 1 kg. Bylo zváženo 10 balíčků a zjštěny odchylky od váhy 1 kg: -1,2 0,5-0,6-0,3 0,2-1,0 0,4-0,8 0,5-0,4. Zjstěte, zda lze na základě zjštěných hodnot konstatovat, že průměrná hmotnost jednoho balíčku nedosahuje 1 kg. c) testujeme podíl (procentuální vyjádření) 3. V náhodném výběru čpů vyráběných velkou světovou společnost 10% čpů nevyhovuje novým požadavkům na kvaltu. Sestrojte 95% nterval spolehlvost pro podíl p čpů (v celé populac), které nevyhovují dané normě, jestlže rozsah výběru je: a) n = 100 b) n = 1000 II) Dvouvýběrové testy d) testujeme rozdíl podílů 4. TV stance zjšťuje sledovanost určtého pořadu a zajímá j, zda u dospělých osob do 25 let ( mladší osoby ) je tato sledovanost jná, než u věkově starších osob. Daný pořad sledovalo 80 z 500 náhodně vybraných mladších osob a 100 z 1000 náhodně vybraných starších osob. a) Najděte 99% nterval spolehlvost pro rozdíl podílů sledovanost uvedeného pořadu u těchto dvou věkových skupn. b) Otestujte danou hypotézu. e) testujeme rozdíl středních hodnot 5. U 12-t náhodně vybraných rodn se 2-m dětm byly zjštěny roční výdaje na průmyslové zboží (v tsících Kč): 41,2 39,4 36,3 38,7 39,9 38,3 40,6 41,5 37,4 43,1 35,7 35,8.
Obdobně u šest náhodně vybraných rodn se 4-m dětm byly údaje následující: 39,2 43,8 38,9 44,3 41,2 44,1. Zjstěte, zda se střední hodnota ročních výdajů na průmyslové zboží lší u rodn se 2-m a 4-m dětm. III) Intervaly spolehlvost 6. Pracovníc obchodní nspekce kontrolují váhu porce masa v určtém výrobku konzervárenského průmyslu. Technologcká norma konzervy a tomu odpovídající cenová kalkulace udávají váhu masa v konzervě 90 g. Inspekce vyhodnotla 15 výrobků s těmto výsledky: 87 88 90 90 85 88 86 90 89 89 88 92 87 90 89 g. Najděte 95% nterval spolehlvost pro střední hodnotu hmotnost porce masa. 7. Ze základního souboru 10.000 automatcky balených sáčků pškotů bylo vybráno 1% sáčků a zjštěna průměrná váha 15,8g a směrodatná odchylka 4,8g. Určete se spolehlvost 0,99, v jakých mezích lze očekávat průměrnou váhu balíčků pškotů. 8. Př kontrole data spotřeby určtého druhu masové konzervy ve skladech produktů masného průmyslu bylo náhodně vybráno 320 konzerv a zjštěno, že 59 z nch má prošlou záruční lhůtu. Stanovte 95% nterval spolehlvost pro odhad procenta konzerv s prošlou záruční lhůtou. 9. Hypermarket Hyper chce pro zkvaltnění služeb poskytovaných zákazníkům zkrátt dobu jejch čekání u pokladen. Náhodně bylo vybráno 10 zákazníků a byla změřena doba jejch čekání u pokladny (předpokládáme normaltu rozdělení dob čekání). Výsledky šetření (v sekundách): 50, 65, 30, 45, 35, 55, 70, 65, 50, 53. V jakých mezích lze s pravděpodobnost 0,95 očekávat průměrnou dobu čekání zákazníka na obsluhu? 10. Výběrovým šetřením bychom chtěl odhadnout průměrnou mzdu pracovníků určtého výrobního odvětví. Z vyčerpávajícího šetření, které probíhalo před několka měsíc, víme, že směrodatná odchylka mezd byla 750,-Kč. Odhad chceme provést s 95% spolehlvost a jsme ochotn přpustt maxmální chybu ve výš 50,-Kč. Jak velký musíme provést výběr, abychom zajstl požadovanou přesnost a spolehlvost? 11. V předvolební kampan s poltcká strana XYZ chce nechat ověřt své preference a nechá s udělat předvolební průzkum. Na anketu odpoví 200 potencálních volčů a z nch 106 preferuje stranu XYZ. a) Zaručuje tento výsledek straně XYZ nadpolovční většnu u skutečných voleb? (rozhodněte na základě jednostranného ntervalu spolehlvost) b) Kolk bychom musel oslovt respondentů, aby byla chyba odhadu čnla maxmálně 2 %?
8. Jednofaktorová ANOVA U všech následujících příkladů: a) Ověřte všechny předpoklady pro použtí analýzy rozptylu ANOVA. b) Podle výsledku bodu a) rozhodněte o použtí parametrcké č neparametrcké podoby analýzy rozptylu ANOVA. Své rozhodnutí zdůvodněte. c) Proveďte analýzu rozptylu ANOVA. Zformulujte nulovou a alternatvní hypotézu, uveďte použté testovací krtérum, zobrazte tabulku ANOVA event. její ekvvalent a grafcký výstup analýzy rozptylu ANOVA. Proveďte případnou analýzu Post-Hoc. 1. Majtel čajovny nabízí hostům různé čaje: čínský, ndcký, japonský, gruzínský a vetnamský. Rád by věděl, zda jsou všechny skupny čajů stejně oblíbené. Proto požádal náhodně vybrané zákazníky, aby zhodnotl jednotlvé druhy čajů na žebříčku od 0 do 100. Získal tyto výsledky (vz soubor čaje.sf3). Lze na základě vypočtených údajů tvrdt, že jsou všechny skupny čajů zákazníky hodnoceny stejně, tedy stejně oblíbené? Vyslovte závěr. 2. Otestujte na souboru cardata.sf3, zda výkon automoblu (horsepower) je závslý na zem výroby automoblu (orgn). Použjte jednofaktorovou analýzu rozptylu ANOVA. Lze na základě vypočtených údajů tvrdt, že výkon automoblu je závslý na zem původu? 3. Data uvádějí množství zahrančních návštěvníků ČR v jednotlvých měsících a způsob jejch dopravy do ČR: Leden Únor Březen Duben Květen Červen Červene Srpen Září Říjen Lstopad Prosnec c Road 6492 6464 6887 7854 8911 8589 9917 10497 8121 8443 7044 7273 Ral 340 301 359 396 415 455 494 522 423 443 356 366 Ar 95 87 111 131 138 139 152 146 140 135 115 92 Celkem 6927 6852 7357 8381 9464 9183 10563 11165 8684 9021 7515 7731 Proveďte analýzu rozptylu ANOVA pro srovnání středních hodnot počtů zahrančních turstů podle způsobu jejch dopravy do ČR (Road-slnce, Ral-železnce, Ar-letecká lnka) vz soubor doprava.sf3.
9. Jednoduchá lneární regrese U všech následujících příkladů: verfkujte (ověřte správnost) použtí lneárního modelu, pomocí ndexu determnace ověřte kvaltu modelu, odhadněte parametry jednoduché lneární regrese a otestujte na 5 % hladně významnost jejch významnost. 1. Zjstěte, zda spotřeba [l/100 km] automoblu závsí na objemu motoru [cm 3 ] vz soubor spotreba.sf3. a) najděte nterval spolehlvost E Y X = ) pro x 3000 cm 3, ( 0 x0 0 = b) odhadněte spotřebu automoblu, který má objem 3000 cm 3. 2. Zjstěte, zda počet ml ujetých na galon benzínu (mpg) automoblu závsí na výkonu motoru (horsepower) vz soubor cardata.sf3. a) najděte nterval spolehlvost E ( Y0 X = x0 ) pro x = 0 100, b) odhadněte počet ml ujetých na galon benzínu u automoblu, který má výkon 100. 3. Najděte typ regresní křvky nejlépe aproxmující závslost mez spotřebou a objemem motoru ( srovnejte hodnoty koefcentů R-Squared pro možné volby typů regresních křvek a tím zdůvodněte, proč je pro pops závslost mez spotřebou a objemem motoru nejvhodnější logartmcký model). Data vz soubor spotřeba.sf3. 4. Následující data byla převzata z nformačního serveru BusnessInfo.cz a reprezentují nezaměstnanost a volná pracovní místa v ČR v období 2004-2005 vz soubor nezaměstnanost.sf3. Legenda: PN 2004 počet nezaměstnaných v roce 2004 (v tsících) PN 2005 počet nezaměstnaných v roce 2005 (v tsících) VPM 2004 počet volných pracovních míst v roce 2004 (v tsících) VPM 2005 počet volných pracovních míst v roce 2005 (v tsících) a) Zakreslete regresní křvku zachycující vývoj nezaměstnanost na jednotlvých měsících, v roce 2004, resp. v roce 2005 (použjte kvadratcký model). b) Zjstěte, zda exstuje závslost mez počtem volných pracovních míst a počtem nezaměstnaných osob v roce 2004, resp. 2005. Pokud ano, specfkujte j. 5. Za účelem analýzy hrubé měsíční mzdy bylo dotázáno 20 osob v jeden den v určtém městě v ČR (zkrácená verze souboru ze stránek ČSÚ ) vz soubor platy_město.sf3. Zjstěte, zda výše hrubé mzdy v daném městě závsí na věku.
Lteratura 1. Anděl J. : Matematcká statstka, Praha, SNTL, 1978 2. Brš R., Ltschmannová M. : Statstka I. Pro kombnované a dstanční studum, VŠB-TU Ostrava, 2004, 3. Cyhelský L., Kalounová J., Hndls R. : Elementární statstcká analýza, Management Press Praha, 1996, 4. Dupač V., Hušková M. : Pravděpodobnost a matematcká statstka, Karolnum, Praha, 2001 5. Dummer M. : Introducton to Satstcal Sence, VŠB-TU Ostrava, 1998, 6. Dummer M., Klímková M. : Statstka I. (cvčení), VŠB-TU Ostrava, 1997, 7. Fredrch V. : Statstka 1., Vysokoškolská učebnce pro dstanční studum, Západočeská Unverzta, Plzeň 2002, 8. Hebák P., Kahounová J. : Počet pravděpodobnost v příkladech, SNTL Praha, 1988 9. Hebák P., Hustopecký J., Jarošová E., Pecáková I. : Vícerozměrné statstcké metody (1), (2), (3), Informatorum Praha, 2004 10. Hndls R., Hronová S., Seger J. : Statstka pro ekonomy, Professonal Publshng Praha, 2004 11. Kunderová P.: Úvod do teore pravděpodobnost a matematcké statstky, Olomouc, 1997, 12. Křvý I. : Úvod do teore pravděpodobnost, Ostravská Unverzta, 1983, 13. Křvý I. : Základy matematcké statstky, Ostravská Unverzta, 1985, 14. Lkeš J., Cyhelský L., Hndls R. : Úvod do statstky a pravděpodobnost, VŠE Praha, 1994 15. Lkeš J., Machek J. :Počet pravděpodobnost, SNTL Praha, 1982, 16. Lkeš J., Machek J. : Matematcká statstka, SNTL Praha, 1988, 17. Ltschmannová M. : Statstka I. - příklady, VŠB-TU Ostrava, 2000, 18. Novovčová J. : Pravděpodobnost a základy matematcké statstky, ČVUT Praha, 2002 19. Rečan B. : Pravděpodobnost a matematcká statstka, Bratslava 20. Rečan B, Neubrunn T. : Teóra mery, Bratslava, 1992