KMA/MM SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Matematický model chování kulky při varovném výstřelu do vzduchu Jméno: Tomáš Vomáčka Datum odevzdání: 9. 1. 007 Studijní číslo: A06057 e-mail: tvomacka@students.zcu.cz
1. Úvod Varovný výstřel představuje prostředek, využívaný zejména armádami a policií většiny, nebo všech zemí světa, jímž si ozbrojená osoba snaží vynutit pozornost druhých, nebo je přimět k vykonání (popř. naopak nevykonání) nějaké akce. Jako takový je varovný výstřel používán minimálně již od 18. století, kdy představoval výzvu jedné lodě ke druhé, aby se tato identifikovala vyvěšením vlajek. O tom, že se jedná o prostředek široce uznávaný a schvalovaný svědčí mj. i 50 zákona č. 333/1991 Sb., o Federálním policejním sboru a Sboru hradní policie: 50 Použití varovného výstřelu do vzduchu Varovný výstřel do vzduchu je policista oprávněn použít jen v případech, ve kterých je oprávněn použít zbraně. Situace, ve kterých je policista oprávněn použít zbraň zpracovává 51 téhož zákona, nicméně pro podstatu řešeného problému nehraje daná situace velkou roli. Představme si nyní situaci, ve které policista použije z libovolného legálního důvodu zbraň a vystřelí varovný výstřel do vzduchu. Může dojít ke zranění civilní osoby, jiného policisty, nebo k poškození majetku padající kulkou? Analogickou situaci může představovat vypjatá situace v oblasti válečného konfliktu armáda může použít varovné výstřely do vzduchu např. k rozehnání davu demonstrantů apod. Vzhledem k tomu, že jak policista, tak i voják v této situaci očekávají potenciální nutnost použití zbraně ke zneškodnění protivníka, nelze očekávat, že budou mít nabito nesmrtícími projektily. Po varovném výstřelu do vzduchu se tedy v oblasti ocitnou kulky, o kterých nikdo neví kam a kdy dopadnou a zda mohou někoho zranit či zabít. Otázka, kterou si klademe za úkol vyřešit tedy zní je varovný výstřel do vzduchu pro své účely bezpečnou metodou? Odpověď na tuto otázku lze najít pomocí metod externí balistiky. Externí (vnější) balistika Věda zkoumající dráhy střel ve vzduchu a děje, které mohou ovlivnit jejich pohyb.. Reálná situace Poté, co střela opustí ústí hlavně pohybuje se po dráze, jejíž trajektorie je označována jako balistická křivka. Na pohyb střely vzduchem přitom působí řada jevů, z nichž některé budou v rámci aproximace zanedbány. Na tomto místě je také třeba zmínit, že veškerý další text se bude zabývat pouze takovými typy střeliva, které se při opuštění hlavně dále nedělí na menší části (tzn. náboji používanými ve zbraních s hlavní opatřenou vývrtem a nikoliv náboji pro brokovnice). Vzhledem k tomu, že moderní střelné zbraně používají ke stabilizaci kulky její roztočení podle podélné osy pomocí vývrtu hlavně, je pohyb kulky vzduchem poměrně složitý. Kulka se tedy vykonává pohyb nejen po své trajektorii, ale i poměrně složitý pohyb kolem svého těžiště. Tento pohyb lze rozdělit na několik složek (viz obr. 1): 1) rotační pohyb střely kolem její podélné osy tento pohyb je způsoben tím, že je vnitřní strana hlavně opatřena vývrtem, jehož jediným účelem je střelu takto roztočit. 1
Rotace kolem podélné osy dodává střele stabilitu střela se pak chová jako setrvačník a při působení cizí síly se nevychyluje ve směru této síly, ale kolmo na něj. ) podélná osa střely opisuje kuželovou plochu, jejíž osa leží ve směru posuvného pohybu střely (tzv. precese). Precesi způsobuje fakt popsaný v odstavci výše vzhledem k tomu, že se střela vychyluje kolmo ke směru působící síly, opisuje její podélná osa právě kuželovou plochu. 3) kmitání střely kolem neustále se měnící příčné osy (tzv. nutace) 4) otočný pohyb kolem horizontální příčné osy Obr. 1: Pohyb kulky po opuštění hlavně (obr. přejat z [1]) Kromě těchto vlivů působí na střelu i další (především atmosférické) vlivy. Dráha střely se proto bude například lišit podle nadmořské výšky, ve které je střela vypuštěna, podle aktuálního počasí (srážky s kapkami deště mohou ovlivnit dráhu střely poměrně výrazně), nebo podle velikosti a směru případného větru. Dále samozřejmě na střelu působí síly související s tím, že se střelec nachází na povrchu Země gravitace a Coriolisova síla. Na chování kulky bude mít pravděpodobně vliv také fakt, že se kulka nemusí po dosažení vrcholu své trajektorie dále pohybovat stejně jako doposud tedy špičkou napřed. Kulka se může během pádu např. obrátit dnem napřed tato poloha je v případě kulky stejně stabilní jako poloha špičkou napřed, což dokazuje fakt, že se kulka při zásahu překážky do této polohy obrátí. Tento jev má potom samozřejmě vliv na aerodynamické vlastnosti kulky. 3. Výpočet dráhy střely Pro výpočet dráhy střely je vhodné považovat pohybující se střelu za hmotný bod, pohybující se ve vertikální rovině. Potom je pohyb střely definován působením dvou sil tíhové síly (působící svisle dolů) a síly vyvolané odporem prostředí (působící vždy proti směru letu střely) viz obr.. Pohyb střely potom můžeme vyjádřit rovnicí (viz obr. ): F w a= v = G (3.1) m
kde síla F w reprezentuje odpor vzduchu (viz kap. 3.1), m vyjadřuje hmotnost kulky G = 0, g představuje vektor tíhového zrychlení. [ ] Obr. : Rozložení sil působících na pohybující se střelu (přejato z [1]) 3.1 Odpor vzduchu působící na letící kulku 3.1.1 Normální atmosféry Pro účely balistických výpočtů se definují tzv. normální atmosféry (standardní atmosféry) jedná se o aproximace atmosférických podmínek s pevně stanoveným průběhem tlaku a teploty. Nejpoužívanější normální atmosféru definovala mezinárodní organizace civilního letectví (International Civil Aviation Organisation ICAO). Tato normální atmosféra je tedy označována jako atmosféra ICAO. Více o normálních atmosférách a agentuře ICAO lze najít v literatuře [], [3]. Atmosféra ICAO předpokládá, že pokles teploty atmosféry závisí lineárně na vzdálenosti od povrchu Země. Vycházíme-li tedy z předpokladu, že pokles teploty je lineární, lze spočítat atmosférický tlak v dané výšce s použitím následujícího vzorce: T0 + γ y p( y) = py = p0 (3.) T0 Získaný tlak lze potom použít pro výpočet hustoty vzduchu: p ρ = (3.3) R T p 0 představuje atmosférický tlak ve vztažné výšce, T 0 teplotu ve vztažné výšce v Kelvinech, T teplotu v Kelvinech ve výšce, ve které chceme vypočítat hustotu vzduchu, γ teplotní gradient (tj. koeficient definující lineární závislost poklesu teploty v závislosti na svislé vzdálenosti od vztažné výšky), g je tíhové zrychlení a R označuje specifickou plynovou konstantu (závislou na chemickém složení plynu). Veličina Hodnota dle atmosféry ICAO p 0 1013,5 mb T 0 88,15 K γ -6,5 10-3 K m -1-3 R 87,05 J kg -1 m y 0 0 m n. m. Tab. 1: Velikosti veličin používaných atmosférou ICAO g R γ 3
3.1. Odpor vzduchu Abychom mohli stanovit dráhu střely, je potřeba vědět, jakou silou na ni během letu působí okolní prostředí. V principu lze tuto sílu vypočítat jako součin tlaku působícího na střelu a vztažné plochy odpovídající této střele. Jako vztažnou plochu používáme pro účely balistických výpočtů obvykle příčný průřez střely. Odpor dynamického tlaku potom vypočítáme ze vzorce: 1 Fs = ρ v A (3.4) kde ρ označuje hustotu vzduchu, v rychlost střely a A vztažnou plochu střely. Skutečný odpor střely potom vyjádříme z poměru mezi odporem dynamického tlaku a skutečným odporem střely: Fs cw = (3.5) Fw c w vyjadřuje součinitel odporu vzduchu. Z uvedených vzorců tedy získáme vztah pro výpočet skutečného odporu střely: 1 Fw = cw Fs = cw ρ v A (3.6) Rozložení působení tlaku, stejně jako plocha, na níž tlak působí, závisejí do značné míry na tvaru střely a rychlosti obtékání. Tyto závislosti se promítají i do hodnoty součinitele odporu vzduchu, který je tak funkcí tvaru střely a Machova čísla střely (Machovo číslo vyjadřuje poměr mezi rychlostí střely a rychlostí zvuku) pro různé tvary střely bude mít tedy funkce c = c ( v ) různé průběhy viz obr. 3. w w Mach Obr. 3: Závislost c w na Machově čísle střely pro různé typy střel 4
3.1.3 Rychlost zvuku Při výpočtech drah střel, které se po celou dobu svého letu pohybují v relativně konstantní vzdálenosti od zemského povrchu (tzv. střely s plochou dráhou letu) lze rychlost zvuku za účelem výpočtu Machova čísla střely považovat za konstantní. Avšak v případě varovného výstřelu do vzduchu - tedy v případě, kdy kulka během svého letu překoná dosti značné převýšení, je potřeba určit závislost rychlosti zvuku ve vzduchu na nadmořské výšce. Rychlost zvuku závisí na médiu, ve kterém se zvuk šíří (je známým faktem, že zvuk se šíří rychleji např. v oceli nebo ve vodě, než ve vzduchu), ale také na vlastnostech tohoto média (zejména potom na jeho teplotě). Jediné médium, kterým má smysl se v našem zabývat je tedy vzduch. Vzhledem k tomu, že atmosféra ICAO považuje vzduch za ideální plyn, můžeme prohlásit, že jediným faktorem, který významnou měrou ovlivní rychlost zvuku ve vzduchu je jeho teplota. Vliv vlhkosti vzduchu na rychlost šíření zvuku můžeme prohlásit za zanedbatelnou a vzhledem k tomu, že vzduch považujeme za ideální plyn, se vliv hustoty vzduchu a atmosférického tlaku na rychlost zvuku vzájemně vyruší viz [4]. Díky použitým aproximacím můžeme tedy stanovit vzorec pro výpočet rychlosti vzduchu v závislosti na teplotě vzduchu (viz [4]): 1 c= 331,5 + ( 0,6 ϑ ) m s (3.7) kde ϑ je teplota vzduchu ve C. 3.3 Pohybové rovnice pro výpočet dráhy střely Po dosazení vztahu pro výpočet skutečného odporu střely (3.6) do rovnic (3.1) získáme následující systém diferenciálních rovnic: dvx d rx 1 ax = = = c w ρ vx A dt dt m (3.8) dvy d ry 1 ay = = = c w ρ vy A g dt dt m kde vx, v y jsou jednotlivé složky rychlosti v= vx, v y, A vztažná plocha kulky (rovná jejímu příčnému průřezu), ρ = ρ( y) je hustota vzduchu závislá na nadmořské výšce a c (, ) w = cw v y je součinitel odporu vzduchu v závislosti na rychlosti pohybu kulky a výšce, v níž se kulka nachází. Při výpočtech plochých drah střel lze získané vztahy dále zjednodušovat (obzvláště potom v případě, kdy se střela pohybuje na natolik krátké vzdálenosti, že nedochází k významnému poklesu její rychlosti), ale v případě střelby téměř kolmo vzhůru již další úpravy provést nelze. 4. Výsledky experimentálních výpočtů Se získaným matematickým modelem jsem provedl experimenty pro tři nejobvyklejší situace modelovou situaci jsem zvolil tak, že střelec vypustí střelu z hlavně pod úhlem 0,48π, přičemž ústí hlavně se nachází m nad úrovní terénu (která je v tomto případě shodná s úrovní hladiny moře). Tab. potom ukazuje hodnoty dosazené do matematického modelu a získané výsledky. Zobrazené výsledky byly získány implementací navrženého matematického modelu v systému Matlab 7. 5
Označení střeliva Typ zbraně Hmotnost kulky (g) Úsťová rychlost kulky (m s -1 ) Dopadová rychlost (m s -1 ) Dopadová vzdálenost (m) 9mm Luger pistole Glock 17 7,45 359,66 353,13 410 7.6x39mm puška AK-47 7,97 716,8 680,3 880 5.56x45mm puška M16 5,18 930 900,35 100 Tab. : Porovnání úsťové a dopadové rychlosti různých typů kulek 9mm Luger Tento typ střeliva, známý též pod označením 9mm Para, nebo 9x19mm, je používán mj. ve zbraních typu Glock17, které využívá Policie ČR. Více podrobností o tomto typu střeliva lze nalézt v literatuře např. [5]. Obr. 4a ukazuje průběh dráhy vystřelené kulky. vˆ 0 353,13 Poměr dopadové a úsťové rychlosti střeliva: 0,9818 v = 359,66 = 0 7.6x39mm Střelivo, známé také pod označením.30 Short Russian, 7.6x54R, nebo 7.6 mm ComBloc je používané zejména v zemích bývalé Varšavské smlouvy (tedy i v Armádě ČR). Jedná se o střelivo využívané v útočných puškách typu AK-47 (Kalašnikov) a zbraních na ní založených. Obr. 4b ukazuje průběh dráhy vystřelené kulky tohoto typu. Další informace o střelivu poskytuje literatura např. [6]. vˆ 0 680,3 Poměr dopadové a úsťové rychlosti střeliva: 0,9491 v = 716, 8 = 0 5.56x45mm NATO Tento typ munice, odvozený (ne zcela zaměnitelný) z munice typu.3 Remington představuje standardní střelivo užívané jednotkami NATO. Střelivo je tedy využíváno např. americkými jednotkami v Iráku jako munice např. karabin typu M16 (potažmo zbraní z ní odvozených). Další informace o tomto střelivu lze nalézt v literatuře [7]. Na obr. 4c je znázorněn průběh dráhy vystřelené kulky tohoto typu. vˆ 0 900,35 Poměr dopadové a úsťové rychlosti střeliva: 0,9681 v = 930 = 0 6
Obr. 4: Zobrazení trajektorií vystřelených kulek jednotlivých typů 7
5. Závěr: Za použití odvozeného matematického modelu a uvedených vstupních hodnot jsem došel k závěru, že varovný výstřel představuje potenciální riziko. I při relativně vysokém úhlu, který při výstřelu svírá hlaveň zbraně se zemským povrchem, dochází k dopadu kulky velice daleko od místa výstřelu. Rychlost, kterou kulka dopadá na zem se navíc příliš neliší od rychlosti, se kterou opustila hlaveň zbraně při výstřelu. Model se samozřejmě dopouští určitých zanedbání a nepřesností zejména co se týče atmosférických podmínek a vlivu počasí, nicméně ukazuje, že varovný výstřel, jakožto nesmrtící donucovací prostředek někdy může totálně selhat a mít poměrně katastrofální, ne-li přímo fatální, následky pro nezúčastněného člověka, který se nachází ve vzdálenosti řádově kilometrů od místa výstřelu, nebo způsobit škody na majetku. Bohužel výpočtem získané výsledky lze jen těžko verifikovat, jelikož se mi nepodařilo dohledat zmínku o tom, že by se touto problematikou někdo zabýval na úrovni experimentu. Navíc lze odhadnout, že samotné provedení takového experimentu by bylo poměrně náročné, protože sledovat jednu kulku, která se od místa výstřelu může vzdálit na stovky metrů (v případě ideálních povětrnostních podmínek) by s největší pravděpodobností šlo i s moderní technikou jen velice obtížně. Použitá literatura [1] KNEUBUEHL, B. P., 004. Balistika. Praha: nakladatelství NAŠE VOJSKO. [] Standard conditions for temperature and pressure[online]. Wikipedia, the free encyclopedia. K dispozici na adrese: http://en.wikipedia.org/wiki/standard_conditions_for_temperature_and_pressure [3] ICAO International Civil Aviation Organisation[online]. K dispozici na adrese: http://www.icao.int/ [4] Speed of Sound[online]. Wikipedia, the free encyclopedia. K dispozici na adrese: http://en.wikipedia.org/wiki/speed_of_sound [5] 9mm Luger Parabellum[online]. Wikipedia, the free encyclopedia. K dispozici na adrese: http://en.wikipedia.org/wiki/9_mm_luger_parabellum [6] 7.6x39[online]. Wikipedia, the free encyclopedia. K dispozici na adrese: http://en.wikipedia.org/wiki/7.6x39 8