Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT" Trigonometrie MATA2 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR 1
Trigonometrie Trigonometrie je oblastí matematiky, která se zabývá řešením úloh v obecném trojúhelníku (v doslovném překladu z řečtiny znamená toto slovo měření trojúhelníku). Již na základní škole a v 1. ročníku jste řešili úlohy týkající se trojúhelníku pravoúhlého nebo rovnoramenného. My se v této kapitole naučíme řešit trojúhelník obecný. Nejdříve si však zopakujeme to, co bychom již měli z dřívějška znát. 1.Opakování V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C platí: Pythagorova věta: Součet obsahů čtverců sestrojených nad odvěsnami je roven obsahu čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku. +. Sinus ostrého úhlu je poměr délky odvěsny protilehlé tomuto úhlu a délky přepony. sinα sin Kosinus ostrého úhlu je poměr délky odvěsny přilehlé tomuto úhlu a délky přepony. cosα cosβ Tangens ostrého úhlu je poměr délek odvěsny protilehlé tomuto úhlu a odvěsny přilehlé. tgα tg Kotangens ostrého úhlu je poměr délek odvěsny přilehlé tomuto úhlu a odvěsny protilehlé. cotgα cotg. 2
Trigonometry Trigonometry is the mathematic area which is dealt with the solvetions of the tasks in a general triangle (it literary means the measurement of a triangle in Greek). You have already been solving the tasks regarding a rectangural or isosceles triangle at the 1. class. We are going to learn to solve a general triangle in this chapter. Firstly, we have to revise what we already know from the past. 1. Revision In a rectangural triangle ABC with a right angle at the vertex C is valid: The Pythagorean theorem: In any right triangle, the area of the square whose side is the hypotenuse (the side opposite the right angle) is equal to the sum of the areas of the squares whose sides are the two legs (the two sides that meet at a right angle). + The sine gives the ratio of the length of the side opposite to an angle to the length of the hypotenuse. sinα sin The cosine of an angle is the ratio of the length of the adjacent side to the length of the hypotenuse. cosα cosβ The tangent of an angle is the ratio of the length of the opposite side to the length of the adjacent side. tgα tg The cotangent is the ratio of the length of the adjacent side to the length of the opposite side. cotgα cotg 3
Obr.1.1. Cvičení 1. Na břehu řeky je změřena vzdálenost 20 kolmá na směr. Z bodu je vidět bod na protějším břehu pod úhlem 65. Jak široká je řeka v místech,? 2. Dvě přímé ulice se křižují v úhlu o velikosti β51. Místo na jedné z těchto ulic, vzdálené od křižovatky 1625m, má být spojeno nejkratší cestou s druhou ulicí. Jak dlouhá bude tato spojka? 2. Sinová věta V předchozím článku jsme ukázali, jak lze užít znalosti o goniometrických funkcích při řešení úloh, jejichž matematizací dospějeme k úkolu nalézt velikosti některých stran či úhlů v pravoúhlém trojúhelníku. Nyní se postupně seznámíme s několika větami, které mají základní důležitost při hledání velikostí stran a úhlů v libovolném trojúhelníku (tede ne pouze v pravoúhlém). V tomto článku uvedeme sinovou větu: Pro každý trojúhelník ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α,β,γ a strany délky a, b, c, platí: (*) Poměr délky strany a hodnoty sinu velikosti protilehlého úhlu je v trojúhelníku konstantní. ( α BAC, β ABC, γ ACB, a BC, b AC, c AB ) 4
Pic.1.1. Exercise 1. It is measured the distance on the bank of the river = 20 m which is orthogonal to the direction AC. It is seen the point C on the opposite bank from the point B under the angle 65. How wide is the river at the place of A,C? 2. Two stright streets are crossed at the angle of the size β51. The place A on one the street distants 1625 m from the crossroad is supposed to be joined the shortest way with the other street. How long will the join be? 2. The sine theorem We have been shown in previous article how to use the knowledge of goniometrical functions in solving tasks giving to math we are able to find the size of some sides or angles in a rectangular triangle. Now, we are going to learn with a few theorems that have the basic importance at looking for the sizes sides and angles in a general triangle (so not only in rectangular). We mentioned the sine theorem in this article: For each triangle ABC whose inner angles have the size of α,β,γ and lengths a,b,c is valid: α β γ (*) The ratio of the length of the side and the value of the sine of the oppocite angle is constant in a triangle. α BAC β ABC γ ACB a BC b AC c AB 5
Sinovou větu užíváme k výpočtu neznámých délek stran a velikostí úhlů trojúhelníku v těchto dvou případech: a) je-li dána délka jedné strany a velikosti dvou vnitřních úhlů; b) jsou-li dány délky dvou stran a velikost vnitřního úhlu proti jedné z nich. Příklad 1 Obr.2.1. V trojúhelníku ABC je dáno: α0,845, β0,682, c5,24cm. Vypočítejte délky zbývajících stran a velikost vnitřního úhlu γ. Řešení. Z věty usu o shodnosti trojúhelníků plyne, že bude existovat právě jedno řešení, tj. γ, a, b budou určeny jednoznačně. a) V každém trojúhelníku je součet velikostí všech vnitřních úhlů roven π, a proto 0,8450,682 1,615 b) S užitím sinové věty určíme délku strany BC, tj. a: Odtud: sin sin sin sin 5,24 0,748 cm 3,92cm 0,999 6
The sine theorem is used for calculation of unknown sides and the sizes of angles of a triangle in these two cases: a) if it is given the length of one side and the sizes of two inner angles; b) if it is given the lenghts of two sides and the size of one inner angle opposite the one of them. Pic. 2.1. Exercise 1 In a triangle ABC is given α0,845, β0,682, c5,24cm. Calculate the lengths of the remaining sides and the size of inner angle γ. Solution. It is clear, from the asa (angle-side-angle) pattern, that there is only one solution, it means γ, a, b will be determined definetly. a) In each triangle is the sum of the sizes of all inner angles equals π, and thus 0,8450,682 1,615 b) Using the sine theorem we determine the lenght of the side BC, it is a: where: 5,24, cm 3,92cm, 7
c) Pomocí sinové věty vypočítáme nakonec délku strany AC, čili b: Z toho: Závěr: γ 1,615, a 3,92 cm, b 3,30 cm sin sin sin sin 3,92 0,630 0,748 cm 3,30cm Přiklad 2 V trojúhelníku ABC je dáno: 72 10, 8,54, 10,82. Určete velikost zbývajících vnitřních úhlů a délku strany a. Řešení. Z věty Sus o shodnosti trojúhelníků vyplývá, že α, β, a budou určeny jednoznačně. a) Nejprve s užitím sinové věty vypočítáme velikosti úhlu ABC, tj. β: sin sin sin sin 8,54 10,82 sin72 10 0,789 0,9520 0,751 K určení β je třeba vyřešit rovnici sin0,751 o neznámé 0,180. Tato rovnice má dva kořeny: 48 40 131 20 však nemůže být velikostí vnitřního úhlu ABC v uvažovaném trojúhelníku, protože 203 30 a přitom víme, že součet velikostí všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180. Je tedy 48 40. 8
c) By means of the sine we calculate the length of the side AC in the end, thus b: from that: Summary: γ 1,615, a 3,92 cm, b 3,30 cm 3,92,, cm 3,30cm Exercise 2 In the triangle ABC is given: 72 10, 8,54, 10,82. Determine the size of remaining inner angles and the lenght of the side a. Solution: Using pattern sas about identical triangles si clear that α, β, a will be determined clearly. a) First of all, using the sine theorem calculate the size of the angle ABC, it s β: sin sin 8,54 10,82 sin72 10 0,789 0,9520 0,751 To determine β it is necessary to solve the equation sin0,751 0,180 as uknown. This equation has got two roots: 48 40 131 20 however, cannot be the size of inner angle ABC in the mentioned triangle because 203 30 and although we know that the sum of sizes of all inner angles in a triangle is 180. It is 48 40 9
b) Určíme velikost úhlu CAB, tj. α: 180 180 48 40 72 10 59 10 c) Zbývá vypočítat délku strany BC, tj. a. Využijeme opět sinovou větu: sin sin 10 82, cm 9,79cm, Závěr: 59 10, 48 40, 9,76cm Sinovou větu lze v některých případech s výhodou užít při výpočtu obsahů trojúhelníků. Nejprve uvedeme jednu větu: Pro obsah S trojúhelníku, jehož strany mají délky a, b, c a vnitřní úhly velikosti α, β, γ, platí 1 2 sin1 2 sin1 2 sin Důkaz. Obr.2.2. Víme, že obsah trojúhelníku lze vypočítat podle vzorce, (1) kde je výška ke straně BC. Dále platí, že sin (2) 10
b) We determine the size of the angle CAB, it is α: 180 180 48 40 72 10 59 10 c) It remains to calculate the length of the side BC, ti means a. We use the sine again: 10 82, cm 9,79cm, Conclusion: 59 10 48 40 9,76 cm The sine theorem si possible to use in some cases with the advantage of using it in the calculation of an area of a triangle. At the beginning we state: For the area (S) of a triangle whose sides have got the lengths a, b, c and the inner angles the sizes α, β, γ, it is valid: 1 2 sin1 2 sin1 2 sin The proof: Pic 2.2 We know that an area of a triangle can be calculated according to the figure, (1) where is the hight to the side of BC. Further it is valid that sin (2) 11
a také sin. (3) Dosadíme-li do (1) vztah (2), dostaneme sin; po dosazení (3) do (1) obdržíme sin. Poslední ze tří vztahů uvedených ve větě můžeme získat např. s využitím vzorce. Příklad 3 Určete obsah trojúhelníku, je-li dáno: 25,10 dm, 63, 38. Řešení. Nejdříve pomocí sinové věty vypočítáme b, pak určíme γ a nakonec dosadíme dané a vypočtené údaje do vzorce sin. sin sin 25,1 25,1 sin sin38 sin sin63 0,8910 0,6157 17,34 180 180 63 38 79 1 2 sin 1 2 25,1 17,4 sin79 217,62 0,9816 213,6 Závěr: Obsah trojúhelníku je přibližně 213,6. 12
and also If we substitute to (1) relation (2), the result is: sin. (3) sin; after the substitution (3) to (1) is given sin Last of the three relations mentioned in the theorem we can got, e.g. using the figure Example 3 Assess an area of a triangle whether it is given: 25,10 dm, 63, 38. Solution. Initially, by means of the sine theorem we calculate b, then determine γ and in the end, substitute the given and calculated data to the figure sin. 25,1 25,1 sin sin38 sin sin63 0,8910 0,6157 17,34 180 180 63 38 79 1 2 sin 1 2 25,1 17,4 sin79 217,62 0,9816 213,6 Conclusion: An area of triangle is aproximately 213,6. 13
Cvičení: 1. Větu sinovou lze formulovat také takto: poměr délek dvou stran v trojúhelníku se rovná poměru hodnot sinů velikostí protilehlých úhlů. Uměl byste upravit vztah ( ) tak, aby toto znění vyjadřoval? 2. Dokažte sinovou větu pro případ pravoúhlého trojúhelníku. 3. Určete délky zbývajících stran a velikosti zbývajících vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jeli dáno: a) 20 cm, 45, 30 b) 11,3 cm, 1,135, 0,611 c) 8,6 mm, 11,4 mm, 74 20 d) 0,72 dm, 0,37 dm, 1,868 4. Určete velikost všech vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, je-li 35, 2 5. Určete obsah trojúhelníku ABC, je-li dáno: a) 6,4 dm, 4,7 dm, 68 b) 12,8 m, 9,6 m, 0,977 3. Kosinová věta Sinovou větu můžeme užít k určení neznámých délek stran a velikostí vnitřních úhlů trojúhelníku tehdy, jestliže dva ze tří daných prvků jsou délka strany a velikost úhlu ležícího proti ní. Tato věta nám však neumožní řešit trojúhelník, ve kterém jsou dány délky dvou stran a velikost úhlu jimi sevřeného. V uvedeném případě můžeme použít kosinovou větu. 14
Exercise: 1. The sine theorem can be formulated also as: the ratio of the lenghts of two sides in triangular equals the ratio of the figures of the sines of the sizes of opposite angles. Could you adjust the relation (*) in the way it expresses this version? 2. Prove the sine theorem in case of a rectangural triangle. 3. Assess the lengths of remaining sides and the sizes of the remaining inner angles of the triangle ABC whether it is given: a) 20 cm, 45, 30 b) 11,3 cm, 1,135, 0,611 c) 8,6 mm, 11,4 mm, 74 20 d) 0,72 dm, 0,37 dm, 1,868 4. Determine the size of all inner angles of the triangle ABC, whether: 35, 2 5. Assess an area of the triangle ABC, if: a) 6,4 dm, 4,7 dm, 68 b) 12,8 m, 9,6 m, 0,977 3. Cosine theorem We can use the cosine theorem for deremining the unknown lengths of sides and sizes of inner angles of triangles supposing two of three given elements are the length of a side and the size of the angle lying opposite the side. The theorem cannot solve the triangle where are the length of two sides and the size of the angle whose sides grip it. We can use the cosine theorem in the stated case. 15
Kosinová věta Pro každý trojúhelník ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α,β,γ a strany délky a, b, c platí: a) 2bc cos b) 2ca cos c) 2ab cos Příklad 1 Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jehož délky stran jsou 6,9 mm, 4,3 mm, 3,1 mm. Řešení. Využijeme např. nejprve část a) kosinové věty k výpočtu α: 2bc cos Z toho cos,,,,, 0,7318. Odtud 137 Velikost úhlu β, můžeme opět vypočítat z kosinové věty, část b). (Mohli bychom také použít sinovou větu, neboť známe dvě strany a velikost úhlů proti jedné z nich.) 2ab cos Z toho Odtud plyne 25 10. cos,,,,, 0,9053. 16
The cosine theorem For each triangle ABC whose inner angles have the size of α,β,γ and lengths a,b,c is valid: Example 1 a) 2bc cos b) 2ca cos c) 2ab cos Calculate the sizes of inner angles of triangle ABC whose length of sides are jsou 6,9 mm, 4,3 mm, 3,1 mm. Solution. Firstly, we use the part a) of the cosine theorem to calculate α: from that from that 137 cos 2bc cos,,,,, 0,7318. We can calculatefrom the cosine theorem the size of the angle β, the part b). (We could use the sinus theorem as well, because we know two sides and the sizes of angles opposite one of them.) From that From that 25 10. cos 2ab cos,,,,, 0,9053. 17
Pro γ platí: 180 180 137 25 10 17 50 Závěr: 137, 25 10, 17 50, Příklad 2 V trojúhelníku ABC je 51,34 cm, 34,75 cm, 64 30. Vypočítejte c, α, β. Řešení. Nejprve užitím kosinové věty určíme c: 2cos51,34 34,75 2 51,34 34,75 cos64 30 2307,24 48,03 cm Pomocí sinové věty určíme nyní např. bychom ovšem mohly vypočítat také z části a kosinové věty : sin sin sin sin 34,75 48,03 sin64 30 6,6530 Odtud 40 46 ; 139 14 ; číslo však nemůže být velikostí vnitřního úhlu ABC ( a tedy, protože proti kratší straně leží menší úhel). Platí tedy, že 40 46. Zbývá určit α: 180 18040 46 64 30 74 44 Závěr: 48,03, 40 46, 74 44 18
For γ is valid: 180 180 137 25 10 17 50 Conclusion: 137, 25 10, 17 50, Example 2 In the triangle ABC is 51,34 cm, 34,75 cm, 64 30. Calculate: c, α, β. Solution. Instantly, using the cosine theorem, we assess c: 2cos51,34 34,75 2 51,34 34,75 cos64 30 2307,24 48,03 cm By means of the sine we determine e.g.,. ( is possible to calculate from the part a) of the cosine too): sin sin,, sin64 30 6,6530 From that 40 46 ; 139 14 ; the number cannot be the size of the inner angle ABC though ( and so because apposite a shorter side lies a smaller angle). Though, it si valid that 40 46 It remains to assess: α: 180 18040 46 64 30 74 44 Conclusion: 48,03, 40 46, 74 44 19
Cvičení: 1. Určete délky zbývajících stran a velikostí zbývajících vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, je li dáno: a) 16,9 mm, 21,82 mm, 19,4 mm b) 2,6 dm, 2,4 dm, 1,8 dm c) 64,1cm, 29,3cm, 48 20 d) 0,15cm, 0,27m, 110 59 2. Vypočítejte velikost největšího nitřního úhlu trojúhelníku ABC, v němž je 74, 53m, 45m. 3. Určete velikost úhlu ACB v trojúhelníku ABC, pro který platí: a) b) z praxe. 4 Užití trigonometrie v praxi Uvedeme několik příkladů možností využití trigonometrických vzorců při řešení úloh Příklad 1 Nosník KLM a rameny KM a LM je upevněn na svislé stěně (viz. obr.), 35, 72. V bodě M je nosník zatížen břemenem o tíze 15000N. Vypočítejte velikost tahu na rameno KM nosníku a velikost tlaku na rameno LM, tj. velikosti sil a. 20
Exercise: 1. Determine the lengths of remaining sides and sizes of the remaining inner angles of the triangle ABC, wheter: a) 16,9 mm, 21,82 mm, 19,4 mm b) 2,6 dm, 2,4 dm, 1,8 dm c) 64,1cm, 29,3cm, 48 20 d) 0,15cm, 0,27m, 110 59 2. Calculate the sizes of the largest inner angle of the trianlge ABC where is 74, 53m, 45m. 3. Assess the size of the angle ACB in the triangular ABC where given: a) b) 4 Using trigonometry in practice We state a few examples of possibilities of applying of trigonometric figures in solving tasks in practice. Example 1 The girder KLM and arms KM and LM is fixed on a vertical wall (vide picture), 35, 72. At the point M the girder is loaded by the weight G = 15000 N. Calculate the size of the pull on the arm KM on the girder and the size of the pressure LM, it is the size of strength and. 21
Obr.4.1. Řešení. MNOP je rovnoběžník (jde o tzv. rovnoběžník sil). Je tedy (viz obr.),, 180 Obr.4.2. Určíme nyní velikosti obou hledaných sil; užijeme sinovou větu: a) 15000 14300 22
Pic.4.1. Solution. MNOP is a parallelogram (it is about a parallelogram of strentgh). Thus, it si given (vide pic.),, 180 Pic.4.2. We determine the sizes of both looked for strength; using the sine theorem: a) 15000 14300 23
b) 15000 15000 237000 Závěr: Velikost síly je přibližně 14300N, velikost síly se rovná přibližně 23700N. Příklad 2 Je třeba určit vzdálenost míst U a V, která jsou oddělená rybníkem. K tomuto účelu byla od místa U vytyčená přímá trasa se stanovišti K a L (viz obr. 2.55). Bylo naměřeno: 115 30, 104 30 ; vzdálenost míst U, K je 110 metrů, vzdálenost K, L je 65 metrů. obr.4.3. Řešení. Pomocí sinové věty nejprve určíme délku strany VL v trojúhelníku LKV a potom užitím kosinové věty vypočteme délku strany UV v trojúhelníku LUV. V trojúhelníku LKV je 180 a 180 180. Podle sinové věty je: sin sin sin sin 65 sin104 20 sin11 10 325 24
b) 15000 15000 237000 Conclusion: The sizes of the strength is aproximately 14300N, the size of the strength equals 23700N roughly Example 2 It is necessary to assess the distance of places U and V which are divided by a pond. It was defined stright way from the place U with the stands K and L (vide pic. 2.55) because of this purpose. It was measured 115 30, 104 30 ; the distance fo places U, K is 110 m, K, L is 65 m. Pic 4.3. Solution. Using the sine, first of all, we determine the length of side VL in the triangle LKV and further using cosine, we calculate the length of side UV in the triangle LUV. In the triangle LKV is 180 a 180 180. According to the sine is: sin sin sin sin 65 sin104 20 sin11 10 325 25
V trojúhelníku VLU platí podle kosinové věty: 2 sin 325 45 2 325 45 cos115 30 120242 347 Závěr: Vzdálenost míst U a V je přibližně 347 metrů. Cvičení: 1. Kosmická loď byla spatřena v určitém okamžiku pod výškovým úhlem o velikosti 23 10 a její vzdálenost od pozorovacího místa na Zemi byla 592km (viz obr.). V jaké výšce nad Zemí byla loď v okamžiku pozorování? (Poloměr Země 6378km.) Obr.4.4. 2. Je třeba zjistit výšku věže (viz obr.). Bylo naměřeno: 30 34.), 41, vzdálenost míst A, B je 14metrů. Obr.4.5. 26
In the triangle VLU is valid according to the cosine: 2 sin 325 45 2 325 45 cos115 30 120242 347 Conclusion: The distance between places U and V is roughly 347 meteres. Exercise: 1. A spaceship was seen at the particular moment under the altitudinal angle in the size of 23 10 and its distance from the observational place on the Earth was 592 km (vide pic). How high over the Earth was the ship at the moment of observation? (the diamter of the Earth is 6378km) Pic. 4.4. 2. It is necessary to figer out the hight of the tower (vide pic.). It was measured: 30 34.), 41, the distance of the places A, b is 14 m. 27 Pic. 4.5.
3. Síly,, jejichž velikosti jsou po řadě 14N a 7,8N, působí v bodě A a svírájí úhel o velikosti 61 10. Určete velikost síly, která působí též v bodě A a ruší účinek sil,. Obr.4.6. 4. Ze dvou oken, která jsou 8,8m nad sebou v budově stojí přímo u řeky, je vidět ve směru kolmém na tok řeky místo A na protějším břehu řeky pod hloubkovými úhly 12 50, 6 10 (viz obr.). Určete šířku řeky. Obr.4.7. 5. Z místa A ležícího 158 metrů nad vodorovnou rovinou procházející patou věže (viz obr. 2.60) je vidět vrchol B věže pod hloubkovým úhlem o velikosti 19 10 a patu P věže pod hloubkovým úhlem o velikosti 28 30. Určete výšku věže. Obr.4.8. 28
3. The forces,, whose sizes are 14 N and 7,8 N causing at the point A and gripping the angle at the size of 61 10. Assess the sizes of force that causes at the point A as well and interferes the cause of forces, Pic. 4.6. 4. It is seen, in the perpendicular direction, the place A, on the opposite bank of the river are angles 12 50, 6 10, at the flow of the river from two windows which are 8,8 m over each other in a building standing just beside the river. Determine the windth of the river. Pic.4.7. 5. From the place A lying 158 m over the horizontal surface going through the base of the tower (vide pic 2.60) is seen the top B of the tower under the angle 19 10 and the base P of the tower under the angle 28 30 Assess the hight of the tower. Pic. 4.8. 29
Literatura:doc. RNDr. Oldřich Odvárko a kolektiv:matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 3. část 30
Literatura:doc. RNDr. Oldřich Odvárko a kolektiv:matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 3. část 31