Repetitorium z matematiky

Transkript

1 Goniometrické funkce a rovnice Repetitorium z matematiky Podzim 01 Ivana Medková

2 1 GONIOMETRICKÉ FUNKCE OSTRÉHO ÚHLU B odvěsna a C β c b přepona. α odvěsna A sin α a c b cos α c a tgαα b b cotg α a délka protilehlé odvěsny délka přepony délka přilehlé odvěsny délka přepony délka protilehlé odvěsny délka přilehlé odvěsny délka přilehlé odvěsny délka protilehlé odvěsny

3 Velikost úhlů v obloukové a stupňové míře Jednotková kružnice k (S[0,0];r 1) rad rad α α Úlohy Př.1: Vyjádřete v míře obloukové: a) α 40 b) α 150 Př.: Vyjádřete v míře stupňové: 9 a) 10 7 b) 3

4 3 GONIOMETRICKÉ FUNKCE SINUS A KOSINUS Definice: Orientovaný úhel α v základní poloze. Ke každému αϵrlze přiřadit 1!orientovaný úhel velikosti α (v obloukové míře), jehož počáteční rameno je polopřímka OI. Jednotková kružnice k (0;r 1) Pro každé αϵ R platí: sin α y M, cos α M Funkční předpisy: f : y sin, D( f ) R f : y cos, D( f ) R 4

5 3.1 Graf funkce sinus f : y sin sinusoida Vlastnosti: D( f ) R, H ( f ) 1;1 Je lichá:sin (-) -sin. Je rostoucípro ϵ <-/ + k ;/+ k >, kϵz. Je klesajícípro ϵ< / + k ; 3/+ k >, kϵz. Omezená v celém definičním oboru shora i zdola. Maimum [/ + k, 1], minimum[3/ + k,-1]. Perioda : sin sin ( + k), kϵz. Je spojitáv R. 5

6 3. Graf funkce cosinus f : y cos cosinusoida Vlastnosti: D( f ) R, H ( f ) 1;1 Je sudá: cos (-) cos. Je rostoucípro ϵ <+ k ; + k >, kϵz. Je klesajícípro ϵ<k ; + k >, kϵz. Omezená v celém definičním oboru shora i zdola. Maimum [k, 1], minimum[ + k,-1]. Perioda: cos cos ( + k), kϵz. Je spojitáv R. 6

7 Příklady grafů funkcí: f f : y sin : y 1 sin 1 1/ f : y sin f 1 : y sin 7

8 Příklady grafů funkcí: f ( 1) : y sin + f ( 1) : y sin f ( 1) : y 3sin 8

9 4 Graf funkce tangens f : y tg tangentoida Vlastnosti: D ( f ) R + k, k Z, H ( f ) Je lichá: tg (-) -tg. Je rostoucípro ϵ (-/ + k ; /+ k ), kϵz. Není omezená shora ani zdola. Maimum ani minimum neeistuje. Perioda : tg tg ( + k), kϵz. Spojitost: Není definována pro (k+1)/ ), kϵz. R 9

10 5 Graf funkce cotangens f : y cotg cotangentoida Vlastnosti: { k }, k Z, H ( f R D ( f ) R ) Je lichá: cotg (-) -cotg. Je klesajícípro ϵ (k ; + k), kϵz. Není omezená shora ani zdola. Maimum ani minimum neeistuje. Perioda : cotg cotg ( + k), kϵz. Spojitost: Není definována pro k/, kϵ Z. 10

11 6 Důležité hodnoty goniometrických funkcí 11

12 7 Znaménka hodnot goniometrických funkcí 1

13 Úlohy Př.: Vypočítejte: a)sin 7 b)cos 6 13 c)cos 4 14 d )sin 3 e )cos 3 1 f )sin 4 19 g) tg 6 13

14 8 Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Základní vzorce: tg sin cos cotg cos sin 14

15 8 Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Vztahy pro dvojnásobek a polovinu argumentu: Součtové vzorce: 15

16 Úlohy Př.: Zjednodušte goniometrické výrazy: + sin cos cos )sin 4 4 a 1 cos sin ) tg b + + cos cos 1 ) cos ) d c cot 1 ) sin sin ) tg g e d + 1 cotg tg 16

17 9 GONIOMETRICKÉ ROVNICE 9.1 Základní goniometrické rovnice- jsou dány ve tvaru: některá z goniometrických funkcí sin, cos, tg, cotg g ( ) a reálné číslo Úlohy Př.1: a) sin 0,5 d) cotg 1 e) sin 1 b) cos 3 f ) c os c) tg 3 9. Složitější goniometrické rovnice řešíme převedením na základní goniometrické rovnice (pomocí substituce, nebo s použitím vzorců pro goniometrické funkce). Úlohy Př.1: Řešte užitím substituce: Př.: Řešte užitím goniometrických vzorců: ( ) a) sin a) cos + cotg 1 + sin b) cos + 3cos

18 10 Další využití goniometrických funkcí: TRIGONOMETRIE Sinová věta: a b sin α sin β Kosinová věta: c sin γ b γ C a a b c b + c bc cosαα α β a a + c + b ac cos β ab cos γ A c B Užití sinové a kosinové věty: Např.: Při výpočtu výslednice dvou sil, které spolu svírají úhel α. 18

19 Literatura Delventhal, K., M., Kissner, A., Kulick, M. Kompendium matematiky. Praha: Euromedia Group k. s., 003. Bušek, I. a kol. Základní poznatky z matematiky. Matematika pro gymnázia, Praha: Prometheus, 199. Odvárko, O. a kol. Matematika pro gymnázia Goniometrie. Praha: Prometheus, Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, Vošický Zdeněk. Matematika v kostce pro střední školy. Havlíčkův Brod: Fragment,