ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Prostějov 2009

2 Základní poznatky z matematiky Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

Základní poznatky z matematiky 3 Obsah Číselné obory 1... 7 Přirozená čísla... 7 Celá čísla... 9 Racionální čísla... 10 Reálná čísla... 12 Číselná osa... 14 Číselné obory 1... 15 Varianta A... 15 Číselné obory 1... 17 Varianta B... 17 Číselné obory 1... 19 Varianta C... 19 Číselné obory 2... 21 Druhá odmocnina... 21 Třetí odmocnina... 22 Absolutní hodnota reálného čísla... 23 Číselné obory 2... 24 Varianta A... 24 Číselné obory 2... 26 Varianta B... 26 Číselné obory 2... 28 Varianta C... 28 Pravoúhlý trojúhelník... 30 Pythagorova věta... 30 Goniometrické funkce pravého úhlu... 31 Pravoúhlý trojúhelník... 33

4 Základní poznatky z matematiky Varianta A... 33 Pravoúhlý trojúhelník... 35 Varianta B... 35 Pravoúhlý trojúhelník... 37 Varianta C... 37 Mocniny s přirozeným mocnitelem... 39 Mocniny s celým mocnitelem... 41 Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem... 42 Varianta A... 42 Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem... 44 Varianta B... 44 Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem... 46 Varianta C... 46 Základní množinové pojmy... 48 Intervaly... 51 Zobrazení... 52 Množiny a zobrazení... 53 Varianta A... 53 Množiny a zobrazení... 55 Varianta B... 55 Množiny a zobrazení... 57 Varianta C... 57 Výrazy... 59 Mnohočleny... 60 Mnohočleny... 62 Varianta A... 62 Mnohočleny... 64

Základní poznatky z matematiky 5 Varianta B... 64 Mnohočleny... 66 Varianta C... 66 Lomené výrazy... 68 Krácení a rozšiřování lomených výrazů... 68 Sčítání a násobení lomených výrazů... 69 Dělení lomených výrazů... 70 Složený lomený výraz... 71 Lomené výrazy... 72 Varianta A... 72 Lomené výrazy... 74 Varianta B... 74 Lomené výrazy... 77 Varianta C... 77 Elementární teorie čísel... 80 Zápisy přirozených čísel, násobek a dělitel čísla... 80 Znaky dělitelnosti... 82 Prvočísla a čísla složená... 84 Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek... 85 Elementární teorie čísel... 86 Varianta A... 86 Elementární teorie čísel... 88 Varianta B... 88 Elementární teorie čísel... 90 Varianta C... 90 Výroky... 92 Výrok a jeho negace... 92

6 Základní poznatky z matematiky Složené výroky... 94 Důkazy matematických vět... 97 Výroky... 98 Varianta A... 98 Výroky... 100 Varianta B... 100 Výroky... 102 Varianta C... 102

Základní poznatky z matematiky 7 Číselné obory 1 Přirozená čísla Slouží k vyjádření počtu, označení-, Pro každá tři přirozená čísla platí: 1.) Součet je přirozené číslo (U) Součin je přirozené číslo 2.) (K) 3.) (A) 4.) (N) 5.) (D) Všimněte si nápadné obdoby vlastností sčítání a násobení zapsaných v prvních šesti řádcích. Označení v posledním sloupci znamená: (U) věty o uzavřenosti oboru vzhledem ke sčítání a násobení (součtem a stejně tak součinem libovolných přirozených čísel je vždy přirozené číslo) (K) věty o komutativnosti sčítání a násobení (pořadí sčítanců při součtu, resp. pořadí činitelů při násobení můžeme zaměnit) (A) věty o asociativnosti sčítání a násobení (sčítance při součtu, resp. činitele při násobení můžeme libovolně sdružovat) (N) věta o neutrálnosti čísla 1 vzhledem k násobení (číslo 1 je neutrálním prvkem vzhledem k operaci násobení přirozených čísel) (D) věta o distributivnosti násobení vzhledem ke sčítání (násobíme-li číslem součet dvou nebo více čísel, vynásobíme tímto číslem každého sčítance)

8 Základní poznatky z matematiky Rozdíl dvou přirozených čísel je to přirozené číslo, pro které platí. Podíl dvou přirozených čísel je to přirozené číslo, pro které platí. Mocnina dvou přirozených čísel je to přirozené číslo, které je součinem činitelů rovnajících se číslu.

Základní poznatky z matematiky 9 Celá čísla Vyjadřují změny počtů (přírůstky, úbytky). Označení-, Pro každá tři celá čísla platí: 1.) Součet je celé číslo (U) Součin je celé číslo 2.) (K) 3.) (A) 4.) (N) 5.) (D) Ke každému celému číslu existuje takové celé číslo, že platí. Čísla a se nazývají čísla navzájem opačná. Opačné číslo ke kladnému číslu je číslo záporné. Opačné číslo k zápornému číslu je číslo kladné. Opačné číslo k číslu nula je číslo nula. Při počítání s opačnými čísly postupujeme podle těchto pravidel: neutrální prvek vzhledem k operaci sčítání neutrální prvek vzhledem k operaci násobení

10 Základní poznatky z matematiky Racionální čísla Používají se k vyjádření dílů, částí. Označení. Jsou to všechna čísla, která lze vyjádřit ve tvaru zlomku, kde je číslo celé a je číslo přirozené. Zlomek je v základním tvaru, pokud jsou nesoudělná čísla. Pro každá tři racionální čísla platí: 1.) Součet je racionální číslo Součin je racionální číslo 2.) Rozdíl je racionální číslo (U) Podíl, kde, je racionální číslo 3.) (K) 4.) (A) 5.) (N) 6.) (D) Obor racionálních čísel je uzavřený vzhledem ke sčítání, odčítání, násobení a dělení (s výjimkou dělení nulou). Racionální čísla zapsaná zlomky v základním tvaru porovnáváme na základě srovnání součinů :, právě když,, právě když,, právě když.

Základní poznatky z matematiky 11 Pro libovolná dvě racionální čísla platí:, kde Racionální čísla můžeme zapisovat ve tvaru - Zlomku - Desetinného čísla - Nekonečného periodického desetinného rozvoje s vyznačenou periodou Desetinným číslem se rozumí racionální číslo, které lze zapsat zlomkem, kde je celé číslo a je přirozené číslo. Je to tedy číslo s konečným desetinným rozvojem. Periodická čísla: perioda předperioda; perioda Smíšené číslo je zápis pro čísla větší než 1 např. (jedna celá a dvě třetiny),,

12 Základní poznatky z matematiky Reálná čísla Reálnými čísly nazýváme čísla, která jsou velikostmi úseček (při zvolené jednotkové úsečce), čísla k nim opačná a nulu. Každé reálné číslo je na číselné ose znázorněno právě jedním bodem. Každý bod číselné osy je obrazem právě jednoho reálného čísla. Označení- iracionální čísla Iracionální čísla nelze zapsat ve tvaru, kde je číslo celé a je číslo přirozené. Lze je charakterizovat typickou vlastností jejich zápisu v desítkové soustavě. Iracionální čísla lze zapsat jenom takovým desetinným rozvojem, který je nekonečný a neperiodický. Zaokrouhlování čísel: Číslo zaokrouhlíme na místo daného řádu tak, že vynecháme všechny číslice, které jsou vpravo od číslice na místě daného řádu, a je-li první z vynechaných číslic menší než 5, pak všechny ponechané číslice se nemění, rovna nebo větší než 5, pak číslu tvořenému ponechanými číslicemi přičteme jednu jednotku nejmenšího ponechaného řádu. Čísla zaokrouhlujeme na místa určitého řádu nebo na daný počet platných číslic. Platné číslice daného reálného čísla jsou všechny číslice v zápisu tohoto čísla od první nenulové číslice zleva až po poslední zapsanou číslici vpravo. Např. čísla: mají tři platné číslice mají dvě platné číslice mají jednu platnou číslici.

Základní poznatky z matematiky 13 Pro každá tři reálná čísla platí: Jestliže a zároveň, pak. Jestliže a zároveň, pak. Jestliže a zároveň, pak. Jestliže a je libovolné reálné číslo, pak. Pro každá čtyři reálná čísla platí: Jestliže a zároveň, pak. V průběhu studia matematiky se setkáváme se zápisy: množina všech celých nezáporných čísel, tj. množina všech přirozených čísel sjednocena s množinou množina všech celých záporných čísel, tj. množina množina všech kladných reálných čísel množina všech nezáporných reálných čísel, tj. množina všech kladných reálných čísel sjednocena s množinou

14 Základní poznatky z matematiky Číselná osa Číselná osa je přímka, na které zvolen počátek a jednotka. Na číselnou osu zobrazujeme obrazy reálných čísel. Každému reálnému číslu odpovídá na číselné ose právě jeden bod a naopak.

Základní poznatky z matematiky 15 Číselné obory 1 Varianta A Příklad: Vypočtěte s využitím matematických zákonů a pravidel: c) d) Řešení: c) d) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

16 Základní poznatky z matematiky Příklady k procvičení: 1) Vypočítejte: c) d) 2) Seřaďte daná čísla od nejmenšího k největšímu: 3) Vypočítejte a výsledek zapište desetinným číslem: 4) Pro která čísla je součin roven nule? Výsledek řešení: 1.),, c), d) 2), 3.), 4.)

Základní poznatky z matematiky 17 Číselné obory 1 Varianta B Příklad: Uspořádejte vzestupně racionální čísla. Řešení: 1. způsob- daná čísla vyjádříme desetinnými rozvoji rozhoduje počet setin rozhoduje počet tisícin Závěr: 2. způsob- daná čísla vyjádříme zlomky ; Porovnáme a :, to znamená, že Porovnáme a :, to znamená, že Závěr: Některá racionální čísla (větší než jedna nebo menší než minus jedn zapisujeme jako smíšená čísla. Například číslo, které je zapsáno zlomkem v základním tvaru, můžeme zapsat jako smíšené číslo (čteme: dvě a tři třináctiny, nikoli dvě krát tři třináctiny). Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

18 Základní poznatky z matematiky Příklady k procvičení: 1) Zapište smíšená čísla a jako zlomky. Zapište zlomky a jako smíšená čísla. 2) Daná racionální čísla zapište zlomkem v základním tvaru: 3) Uspořádejte daná racionální čísla od nejmenšího k největšímu: 4) Uspořádejte daná racionální čísla od nejmenšího k největšímu: Výsledek řešení: 1.), 2.), 3.), 4.),

Základní poznatky z matematiky 19 Číselné obory 1 Varianta C Příklad: Rozhodněte, které z čísel π a je větší. Řešení: Napíšeme desetinná čísla, kterými nahradíme daná iracionální čísla. π Číslo má větší počet desetitisícin než číslo π, je tedy větší. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

20 Základní poznatky z matematiky Příklady k procvičení: 1) Uspořádejte podle velikosti daná reálná čísla: 2) Převráceným číslem k reálnému číslu se nazývá reálné číslo, pro něž platí. Rozhodněte, zda existuje ke každému reálnému číslu číslo převrácené. Určete převrácená čísla k číslům: 3) Vypočtěte a výsledek zapište jako desetinné číslo: 4) Vypočtěte co nejúsporněji a výsledek vyjádřete desetinným číslem: Výsledek řešení: 1.), 2.) Existuje ke každému reálnému číslu s výjimkou nuly neexistuje; 3.), 4.),

Základní poznatky z matematiky 21 Číselné obory 2 Druhá odmocnina Druhá odmocnina z nezáporného reálného čísla Věta: K jeho označení užíváme symbol. je takové nezáporné číslo, pro které platí Pro každá dvě nezáporná reálná čísla platí:, pro Druhá odmocnina je definována pouze z nezáporného reálného čísla. Jinak řečeno, druhé odmocniny ze záporných čísel (např. apod.) nejsou definovány v oboru reálných čísel. Později tuto definici rozšíříme zavedením čísel komplexních. Druhá odmocnina z nezáporného čísla je vždy nezáporné číslo, např., i když, a rovněž. Symbol musí být jednoznačný, tj. musí označovat právě jedno číslo. Stručně lze zapsat: pro každé je.

22 Základní poznatky z matematiky Třetí odmocnina Třetí odmocnina z nezáporného reálného čísla. K jeho označení užíváme symbol. je takové nezáporné číslo, pro něž platí Věta: Pro každá dvě nezáporná reálná čísla platí:, pro Usměrňování zlomků: Usměrnit zlomek znamená odstranit odmocniny ze jmenovatele zlomku.

Základní poznatky z matematiky 23 Absolutní hodnota reálného čísla Absolutní hodnotu reálného čísla definujeme takto: Je-li, pak, Je-li, pak. Věta: 1.) Pro každé reálné číslo platí. 2.) Absolutní hodnota každého reálného čísla je rovna vzdálenosti obrazu tohoto čísla na číselné ose od počátku. 3.) Vzdálenost obrazů reálných čísel na číselné ose je rovna. 4.) Pro platí Geometrická interpretace absolutní hodnoty

24 Základní poznatky z matematiky Číselné obory 2 Varianta A Příklad: Vypočtěte: c) d) Řešení: e) f) c) d) e) f) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Základní poznatky z matematiky 25 Příklady k procvičení: 1) Vypočítejte zpaměti druhé odmocniny z čísel: c) 2) Rozhodněte, zda platí následující rovnosti. Své rozhodnutí zdůvodněte: c) 3) Rozhodněte, zda platí (své rozhodnutí zdůvodněte): c) 4) Vypočtěte: c) Výsledek řešení: 1.),, c) 2) platí, a je nezáporné číslo, neplatí, c) neplatí. Druhá odmocnina je vždy nezáporné číslo. 3.) platí, a je nezáporné číslo, neplatí, třetí odmocnina je vždy nezáporné číslo, c) platí, a i jsou nezáporná čísla 4.) 0,09, 0,2, c) 3

26 Základní poznatky z matematiky Číselné obory 2 Varianta B Příklad: Usměrněte zlomky: c) Řešení: c) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Základní poznatky z matematiky 27 Příklady k procvičení: 1) Usměrněte zlomky: 2) Upravte výrazy: 3) Usměrněte zlomky: 4) Usměrněte zlomky: Výsledek řešení: 1.), 2.), 3.), 4.),

28 Základní poznatky z matematiky Číselné obory 2 Varianta C Příklad: Na číselné ose znázorněte obrazy všech reálných čísel, pro která platí: c) d) Řešení: Zápis znamená, že máme na číselné ose najít obrazy čísel x, pro něž je vzdálenost od obrazu čísla 3 rovna 2. (Tj. 3-2=1, 3+2=5) c) d) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Základní poznatky z matematiky 29 Příklady k procvičení: 1) Vypočítejte: c) 2) Na číselné ose znázorněte všechna reálná čísla, pro něž platí: c) 3) Na číselné ose znázorněte všechna reálná čísla, pro něž platí: c) 4) Na číselné ose znázorněte všechna reálná čísla, pro něž platí: c) Výsledek řešení: 1.),, c) 2.),, c) taková čísla neexistují 3.) úsečka určená body -3 a 3 bez těchto krajních bodů, všechna reálná čísla s výjimkou čísel ležících mezi čísly -1 a 1(dvě polopřímky), c) všechna reálná čísla s výjimkou nuly 4.),, c) všechna reálná čísla s výjimkou čísel a všech čísel ležících mezi těmito čísly

30 Základní poznatky z matematiky Pravoúhlý trojúhelník Pythagorova věta Pravoúhlý trojúhelník je každý trojúhelník, který má jeden úhel pravý a zbývající dva ostré. odvěsny přepona pravý úhel Pythagorova věta: V každém pravoúhlém trojúhelníku platí Kde je délka přepony, jsou délky jeho odvěsen. Platí-li pro délky stran trojúhelníku vztah, je trojúhelník pravoúhlý s pravým úhlem proti straně, která je tedy jeho přeponou, zbývající dvě strany jsou odvěsnami.

Základní poznatky z matematiky 31 Goniometrické funkce pravého úhlu Definice: Sinus úhlu α je poměr délky odvěsny protilehlé k úhlu α a délky přepony pravoúhlého trojúhelníku. Kosinus úhlu α je poměr délky přilehlé odvěsny k úhlu α a délky přepony. Tangens úhlu α je poměr délek protilehlé odvěsny k úhlu α a přilehlé odvěsny. Kotangens úhlu α je poměr délek přilehlé odvěsny k úhlu α a protilehlé odvěsny.

32 Základní poznatky z matematiky Vztahy mezi goniometrickými funkcemi:, podobně c) d) e) f) g) h) Některé hodnoty goniometrických funkcí: Sinus Kosinus Tangens Kotangens

Základní poznatky z matematiky 33 Pravoúhlý trojúhelník Varianta A Příklad: Vypočítejte délku přepony pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky 4cm a 7cm. Trojúhelník sestrojte z daných údajů, změřte jeho přeponu a výsledek porovnejte se svým výpočtem. Řešení: Pro délku přepony platí, takže. Délka přepony je přibližně 8,06cm. Narýsujeme si dvě kolmé polopřímky se společným počátkem, od něhož naneseme na jednu polopřímku 4cm, na druhou 7cm. Koncové body určují spolu se společným bodem obou polopřímek pravoúhlý trojúhelník. Délka jeho přepony by se neměla při pečlivém rýsování a měření lišit od hodnoty 8,1cm o více než 1mm. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

34 Základní poznatky z matematiky Příklady k procvičení: 1) Žebřík délky 6m je opřen o zeď tak, že pata žebříku je od zdi vzdálena 2m. V jaké výšce nad zemí je druhý konec žebříku? 2) Vypočítejte délku druhé odvěsny pravoúhlého trojúhelníku, je-li dána délka jedné odvěsny a délka přepony: 3) Vypočítejte délku úhlopříčky obdélníku, který má délky stran: 4) Rovnoramenný trojúhelník má ramena délky, a základnu délky ; výška k základně má délku. Vypočtěte zbývající údaj, je-li dáno: Výsledek řešení: 1.), tj. asi 5,66m 2) 40cm, 12cm 3.) 25,6cm, 45,3cm 4.) 10,3cm, 11,5cm

Základní poznatky z matematiky 35 Pravoúhlý trojúhelník Varianta B Příklad: V kružnici s poloměrem 3,5cm jsou sestrojeny dvě rovnoběžné tětivy, jejichž délky jsou 4,2cm a 6,4cm. Vypočítejte vzdálenost těchto tětiv. Řešení: Vzdálenost tětiv je. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

36 Základní poznatky z matematiky Příklady k procvičení: 1) Vypočítejte délku tělesové úhlopříčky hranolu, který má rozměry. 2) Vypočítejte obsah štítu domu, který má tvar rovnoramenného trojúhelníku se základnou délky12m a rameny délek 6,5m. 3) V trojúhelníku je dáno, délka těžnice. Vypočítejte. 4) Z kmene stromu, jehož nejmenší průměr je 25cm, se má zhotovit trám čtvercového průřezu. Vypočítejte délku strany největšího možného trámu s přesností na centimetry. Výsledek řešení: 1.) 20,7cm 2.) 3.) 11,7cm 4.) 17cm

Základní poznatky z matematiky 37 Pravoúhlý trojúhelník Varianta C Příklad: Určete velikost úhlu α, který svírá tělesová a stěnová úhlopříčka krychle. Řešení: Označíme-li délku hrany krychle, je délka stěnové úhlopříčky, délka tělesové úhlopříčky je. Z pravoúhlého trojúhelníku o stranách plyne, že, takže. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

38 Základní poznatky z matematiky Příklady k procvičení: 1) V pravoúhlém trojúhelníku má přepona délku, jeden jeho ostrý úhel má velikost. Určete délky odvěsen. 2) Odvěsny pravoúhlého trojúhelníku mají délky 5cm a 12cm. Určete velikosti jeho ostrých úhlů. 3) Hrany kvádru mají délky 3cm, 4cm a 12cm. Určete velikosti úhlů, jež svírají stěnové úhlopříčky téže stěny, a velikosti úhlů, jež svírá tělesová úhlopříčka se stěnovými úhlopříčkami. 4) Rotační kužel má výšku, poloměr podstavy je. Jaký úhel svírají strany s rovinou podstavy, s osou kužele? Co platí o součtu velikostí těchto dvou úhlů? Výsledek řešení: 1.), 2.) 3.) 4.)

Základní poznatky z matematiky 39 Mocniny s přirozeným mocnitelem Definice: Pro každé reálné číslo a každé přirozené číslo je, kde v součinu na pravé straně je n činitelů. Výraz se nazývá mocnina, je základ mocniny(mocněnec), je mocnitel(exponent). Z definice vyplývá, že pro každé reálné číslo platí, pro každé přirozené číslo platí a. Věta 1: Pro každé a pro každé platí: je-li, pak, je-li, pak, c) je-li, pak. Věta 2: Pro každá dvě reálná čísla a pro každá přirozená čísla platí:

40 Základní poznatky z matematiky V matematice, přírodních a technických vědách často pracujeme s velkými čísly, která zpravidla zapisujeme pomocí mocnin se základem 10, tj. ve tvaru, kde. Exponent čísla zapsaného ve tvaru určíme tak, že zjistíme řád první platné číslice zapisovaného čísla Např..

Základní poznatky z matematiky 41 Mocniny s celým mocnitelem Věta: Pro každé reálné číslo platí. Pozn.: Věta o dělení mocnin se stejným základem platí pro, proto výraz není definován. Věta: Pro každé reálné číslo a pro každé celé číslo platí. Věta: Pro každá dvě reálná čísla a pro libovolná celá čísla platí:

42 Základní poznatky z matematiky Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem Varianta A Příklad: Vypočítejte: c) d) e) f) Řešení: c) d) e) f), (mocnitel je liché číslo) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Základní poznatky z matematiky 43 Příklady k procvičení: 1) Zaokrouhlete na dvě platné číslice a vyjádřete ve tvaru, kde : c) d) 2) Vypočítejte: c) 3) Dané výrazy vyjádřete jako mocniny se základem 2 nebo 3 a bez použití kalkulačky vypočítejte: c) 4) Vypočítejte: c) 1.),, c), d) 2),, c) 3.),, c) 4.),, c)

44 Základní poznatky z matematiky Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem Varianta B Příklad: Za předpokladu, že jsou nenulová reálná čísla, vypočítejte: c) d) e) Řešení: c) d) e) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Základní poznatky z matematiky 45 Příklady k procvičení: 1) Vypočítejte: 2) Vypočítejte: 3) Vyjádřete v co nejjednodušším tvaru: 4) Zjednodušte následující výrazy za předpokladu, že jsou nenulová reálná čísla, a výsledek zapište pomocí mocnin s přirozeným mocnitelem: 1.), 367 2.), 0 3.), 4.),

46 Základní poznatky z matematiky Mocniny s přirozeným a celým mocnitelem Varianta C Příklad: Za předpokladu, že jsou nenulová reálná čísla, vypočítejte: c) d) Řešení: ; c) d)

Základní poznatky z matematiky 47 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Zjednodušte následující výrazy za předpokladu, že jsou nenulová reálná čísla, a výsledek zapište pomocí mocnin s přirozeným mocnitelem: 2) Zjednodušte následující výrazy za předpokladu, že jsou nenulová reálná čísla, a výsledek zapište pomocí mocnin s přirozeným mocnitelem: 3) Vypočtěte: 4) Vypočtěte co nejúsporněji: 5) Upravte daný výraz tak, aby obsahoval pouze kladné exponenty, a pak určete, kdy má zlomek smysl: 1.), 2.), 3.), 4.), 5)

48 Základní poznatky z matematiky Základní množinové pojmy Definice množiny: Skupina prvků, které mají společnou charakteristickou vlastnost. Prvek množiny je dále nedělitelný prvek; např., pan Novák. Označení množin- Prvky množin- je prvkem množiny není prvkem množiny Prázdná množina- množina, která neobsahuje žádný prvek. Např. studenti třídy 1.E na GJW. Značíme:. Každou množinu lze určit dvěma způsoby: Výčtem prvků- pouze u konečných množin Určením charakteristické vlastnosti- u konečných i nekonečných množin Definice: Podmnožinou množiny nazveme každou takovou množinu, jejíž všechny prvky jsou současně i prvky množiny. Zápis:. Definice: Rovnost množin: Množiny se sobě rovnají(píšeme = ) právě tehdy, když každý prvek množiny je prvkem množiny a naopak, každý prvek množiny je prvkem množiny. = právě tehdy, když.

Základní poznatky z matematiky 49 Definice: Nechť. Doplňkem množiny v množině (píšeme ) je množina, která obsahuje takové prvky, které patří do množiny, ale nepatří do množiny. Definice: Průnikem množin a nazýváme takovou množinu (značíme ), která obsahuje takové prvky, které patří současně do množiny i.

50 Základní poznatky z matematiky Definice: Sjednocením množin a nazveme takovou množinu (značíme ), která obsahuje všechny prvky, které patří buď do množiny nebo do množiny (Může patřit i do obou současně). Definice: Rozdílem množin a (v daném pořadí) je taková množina (značíme ), která obsahuje ty prvky, které patří do množiny, ale nepatří do množiny.

Základní poznatky z matematiky 51 Intervaly Omezené intervaly jsou takové podmnožiny množiny všech reálných čísel, které lze na číselné ose znázornit úsečkou. Podle toho, zda k úsečce patří oba krajní body nebo jen jeden nebo žádný, rozdělujeme omezené intervaly na uzavřené, polouzavřené a otevřené. Přehled omezených intervalů s krajními body je uveden v následující tabulce: Zápis charakteristické Zápis intervalu Znázornění na reálné Název intervalu vlastnosti ose Uzavřený interval Polouzavřený interval (zleva otevřený a zprava uzavřený) Polouzavřený interval (zleva uzavřený a zprava otevřený) Otevřený interval

52 Základní poznatky z matematiky Zobrazení Definice: Zobrazení množiny do množiny je předpis, který každému prvku jednoznačně přiřadí nějaký prvek. Prvek se nazývá vzor prvku, prvek je obraz prvku. Označíme-li zobrazení φ, píšeme. Množina je definiční obor zobrazení, množina všech prvků tvaru, kde, se značí, a nazývá se obrazem množiny v zobrazení. Podle definice je. Je-li, říkáme, že je zobrazením množiny na množinu. Zobrazením množiny do množiny, které přiřazuje různým prvkům množiny různé prvky množiny, se nazývá prosté. Inverzní zobrazení: Je-li zobrazení množiny na množinu, existuje ke každému aspoň jeden prvek tak, že. Je-li navíc prosté, existuje takové právě jedno. Říkáme, že je vzájemně jednoznačné zobrazení množiny na množinu. Přiřadíme-li prvku právě ten prvek, pro který je, dostaneme zobrazení množiny na množinu. Toto zobrazení nazýváme inverzní zobrazení k zobrazení a značíme.

Základní poznatky z matematiky 53 Množiny a zobrazení Varianta A Příklad: Jsou dány množiny Určete: Doplněk množiny B v A c) d) Všechny podmnožiny množiny B Řešení: c) d) {}, Pozn.: Pro libovolnou množinu platí: 1.) 2.). 3.) Obsahuje-li množina prvků, je počet všech jejich podmnožin určen číslem. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

54 Základní poznatky z matematiky Příklady k procvičení: 1) Určete průnik a sjednocení množin: c) 2) Najděte a pro množiny určené v předchozím příkladu. 3) Určete doplněk množiny B v množině A, jestliže: c) 4) Určete průnik a sjednocení množin, jestliže: 1.), ; c) ; 2) c) 3.),, c) 4.) ;, ;

Základní poznatky z matematiky 55 Množiny a zobrazení Varianta B Příklad: Určete sjednocení a průnik intervalů: c) d) Řešení: Dané intervaly zobrazíme nad číselnou osou a na ní znázorníme jejich sjednocení a průnik: c) d) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

56 Základní poznatky z matematiky Příklady k procvičení: 1) Na číselné ose znázorněte a jako interval zapište tyto množiny: c) 2) Na číselné ose znázorněte a jako interval zapište tyto množiny: c) 3) Rozhodněte, která z následujících množin je interval, a pak příslušný interval zapište: c) 4) Rozhodněte, která z následujících množin je interval, a pak příslušný interval zapište: c) 1.),, c) 2.),, c) 3.) není, není, c) není 4.), není, c) není

Základní poznatky z matematiky 57 Množiny a zobrazení Varianta C Příklad: Znázorněte na číselné ose dané množiny reálných čísel a zapište pomocí intervalů: c) Řešení: c) Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

58 Základní poznatky z matematiky Příklady k procvičení: 1) Rozhodněte, která z následujících množin je interval, a pak příslušný interval zapište: c) 2) Rozhodněte, která z následujících množin je interval, a pak příslušný interval zapište: c) 3) Určete sjednocení a průnik intervalů: c) 4) Určete sjednocení a průnik intervalů: c) 1.), není, c) 2.),, c) 3.),, c) 4.),, c)

Základní poznatky z matematiky 59 Výrazy Výraz je zápis skládající se z čísel a písmen označujících proměnné, které jsou spojeny matematickými znaky (např. ). Pro proměnné je třeba stanovit obory proměnných, což jsou množiny čísel, která můžeme dosazovat za proměnné tak, že má daný výraz smysl. Hodnota výrazu je číslo, které dostaneme po dosazení za všechny proměnné z jejich oborů a provedení všech početních operací. Algebraické výrazy jsou výrazy, jejichž každá proměnná má za svůj obor číselnou množinu. Pozn.: Obvykle poznáme ze souvislostí, zda jde o algebraický výraz a slovo algebraický vynecháváme.

60 Základní poznatky z matematiky Mnohočleny Mnohočlen (polynom) s jednou proměnnou je výraz, který lze napsat ve tvaru, kde jsou reálná čísla, celé nezáporné číslo a proměnná; je-li, tj. když koeficient u proměnné s největším exponentem je nenulový, jde o mnohočlen tého stupně. Čísla se nazývají koeficienty mnohočlenu, jeho jednotliví sčítanci, tj. výrazy, kde, se nazývají členy mnohočlenu. Koeficient se nazývá absolutní člen, člen lineární člen a člen se nazývá kvadratický člen mnohočlenu. Podle počtu členů mnohočlenu mluvíme o jednočlenu, dvojčlenu, trojčlenu atd. Mnohočlen 1. Stupně (zapisuje se obvykle místo ) se nazývá lineární, mnohočlen 2. Stupně (zapisuje se obyčejně ve tvaru ) se nazývá kvadratický, mnohočlen 3. stupně se nazývá kubický. Opačný mnohočlen k danému mnohočlenu je mnohočlen, který má tytéž členy, ale s opačnými znaménky; např. dvojčlen je opačný k dvojčlenu, trojčlen je opačný k trojčlenu apod. Součtem obou mnohočlenů je nulový mnohočlen. Pozn.: mnohočlen nultého stupně nulový mnohočlen Definice: Říkáme, že: mnohočlen je uspořádán sestupně mnohočlen je uspořádán vzestupně

Základní poznatky z matematiky 61 Věta: Pro libovolná platí 1.) 2.) 3.) 4.) 5.) Definice: Rozkladem mnohočlenu na součin rozumíme jeho vyjádření ve tvaru součinu několika mnohočlenů, které už se zpravidla nedají dále rozložit. Rozklad provádíme 2 způsoby: vytýkáním užitím vzorců Kvadratický trojčlen můžeme zapsat ve tvaru ; kde, jsou řešením příslušné kvadratické rovnice. Pozn.: Nemá-li kvadratická rovnice řešení, tak se trojčlen nedá rozložit na součin.

62 Základní poznatky z matematiky Mnohočleny Varianta A Příklad: Zjistěte, pro které hodnoty jednotlivých proměnných má každý z následujících výrazů smysl, a určete jeho hodnotu pro dané hodnoty proměnných: c) Řešení: Výraz má smysl pro všechna, pro něž je, tj. pro všechna. Jeho hodnota pro je. Aby měl daný výraz smysl, musí platit tj. a zároveň a. Hodnota daného výrazu pro je c) Aby měl daný výraz smysl, musí zároveň platit: ; První z těchto podmínek je splněna pro každé, druhá pro všechny a třetí pro všechna, pro něž je, tj. pro a. Hodnota daného výrazu pro je. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Základní poznatky z matematiky 63 Příklady k procvičení: 1) Zjistěte, kdy má každý z následujících výrazů smysl, a určete jeho hodnotu pro dané hodnoty proměnných: 2) Zjistěte, kdy má každý z následujících výrazů smysl, a určete jeho hodnotu pro dané hodnoty proměnných: 3) Určete součet tří po sobě jdoucích přirozených čísel, jestliže: nejmenší je rovno největší je rovno 4) Pomocí zvolených proměnných zapište: druhou odmocninu ze součtu druhých odmocnin dvou reálných čísel; druhou odmocninu podílu součtu druhých odmocnin dvou reálných čísel a druhé odmocniny součtu těchto čísel; c) součet podílu druhých odmocnin dvou reálných čísel a druhé odmocniny podílu těchto čísel. 1.), 2),, 3.), 4.),, c)

64 Základní poznatky z matematiky Mnohočleny Varianta B Příklad: Určete podíl Řešení: Uspořádáme oba mnohočleny sestupně. Jednočlen -1 v posledním řádku je mnohočlen nultého stupně, tj. mnohočlen stupně nižšího, než je stupeň dělitele, takže v dělení dále nepokračujeme. Jednočlen -1 představuje zbytek; mnohočlenu se říká neúplný podíl. Dostali jsme tedy, že pro všechna, pro něž je, platí: Je vidět, že v tomto případě podílem daných mnohočlenů není mnohočlen. O správnosti výsledku se můžeme přesvědčit zkouškou:. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C

Základní poznatky z matematiky 65 Příklady k procvičení: 1) Určete podíl: 2) Určete podíl mnohočlenů: 3) Určete podíl mnohočlenů: 4) Výraz vyjádřete jako mnohočlen s proměnnou, který je uspořádaný sestupně, jeli: 1.) 2.), 3.), 4.),