GEOMETRICKÉ PROJEKCE S VYUŽITÍM 3D POČÍTAČOVÉHO MODELOVÁNÍ Petra Surynková, Yulianna Tolkunova Článek ojednává o realizovaných metodách inovace výuky deskritivní geometrie na Matematicko-fyzikální fakultě Univerzity Karlovy v Praze. Základní ideou modernizace výuky této klasické discilíny je oužití očítačového modelování a rozšíření deskritivní geometrie o oznatky z očítačové grafiky a očítačové geometrie. Využití očítačového modelování ředvedeme na říkladech tyických úloh z deskritivní geometrie, kterými jsou rovnoběžné a středové rojekce. Zde se seciálně zaměříme na rojekce loch užívaných v geometrii a inženýrské raxi. V rámci zlešování výuky deskritivní geometrie neustále rozšiřujeme elektronické sbírky úloh a řiravujeme nové studijní materiály. Do ráce s očítačovými rogramy se v rámci svých bakalářských a dilomových rací úsěšně zaojují i naši studenti. 1 Úvod a motivace Deskritivní geometrie, jedna z klasických discilín matematické vědy, se zabývá rerezentací trojrozměrných objektů omocí dvojrozměrného obrazu. Tyickou úlohou, kterou deskritivní geometrie řeší, je rojekce trojrozměrného objektu na rovinu a zětná rekonstrukce trojrozměrného objektu z tohoto obrazu. Abychom uměli s rojekcí srávně racovat, je nutné orozumět geometrickým rinciům, vlastnostem geometrických objektů v rovině i v rostoru a vztahům mezi nimi. V tomto širším ohledu se tedy deskritivní geometrie zabývá také seciálními technicky významnými křivkami a lochami. Mohlo by se zdát, že s nástuem moderních očítačových rogramů jsou metody deskritivní geometrie řežitkem. V dnešní době je ve výrobních rocesech, kde dříve měla deskritivní geometrie své nenahraditelné místo, samozřejmostí ráce s okročilými grafickými softwary. Deskritivní geometrie, jejíž součástí bylo vždy klasické rýsování a črtání, však ani řes tento fakt neztrácí na svém významu. I ři oužití grafických a modelovacích očítačových rogramů je otřeba metody deskritivní geometrie ovládat, neboť i když se jedná o rojekci, technický výkres nebo vymodelovanou rostorovou situaci, které jsou vytvořené na očítači, ro srávnou interretaci takového výstuu se bez znalosti geometrie neobejdeme. V oborech, ve kterých je srávná vizualizace a názorné zobrazení rostoru a rostorových objektů rozhodující, má roto geometrie a seciálně i deskritivní geometrie stále své místo. Klasické rýsování a črtání není na rvní ohled v raxi užíváno, ovšem je zřejmé, že se na tyto ostuy soléháme ve fázi rozvíjení náadů či rvotního hledání řešení geometrických roblémů a to samozřejmě nejen v raxi, ale i ve výuce a ři studiu geometrie. 1
2 Geometrie se všemi svými odobory je součástí mnoha moderních raktických alikací a zasahuje tak do řady odvětví. Všeobecně atří geometrie mezi velmi náročné vědní oblasti vyžadující logické myšlení a současně její studium široce rozvíjí rostorovou ředstavivost. Studium geometrie a seciálně deskritivní geometrie ředstavuje roto skutečnou výzvu ro výzkum i raxi. V článku se věnujeme možným inovativním zůsobům výuky deskritivní geometrie založených ředevším na využití očítačového 3D modelování a ředstavujeme nově vznikající studijní materiály a webovou odoru deskritivní geometrie. Využití modelovacích a grafických rogramů ve výuce geometrie rovněž zvyšuje zájem studentů o danou roblematiku, což vylývá z témat závěrečných rací. Rovněž zaznamenáváme úsěchy našich studentů v soutěžích SVOČ rávě s geometrickými tématy zracovanými s využitím očítačového modelování. 2 Výuka deskritivní geometrie na MFF UK Při výuce deskritivní geometrie na Matematicko-fyzikální fakultě UK se snažíme o výraznější roojení s raxí (zejména v ředmětech Deskritivní geometrie III, Geometrické lochy, Plochy stavební raxe, Alikace deskritivní geometrie) a také o rozšíření deskritivní geometrie o oznatky z očítačové grafiky a očítačové geometrie (ředměty Počítačová geometrie I a II). Při oužívání modelovacího softwaru ve výuce deskritivní geometrie se tato snaha ukazuje jako řirozený krok. Pokud chceme sledovat trend, který je běžný v technické raxi, na niž chceme řiravovat naše absolventy, je nezbytné řizůsobit se moderní době. Ve výrobních rocesech jsou v raxi ři konstruování, navrhování či modelování nejrůznějších objektů dnes již běžně užívány moderní CAD (Comuter Aided Design) systémy [1]. Podobný software lze oužít ve výuce všech klasických geometrických témat i deskritivní geometrie. Deskritivní geometrii tak můžeme cháat ve zcela novém světle. Pokud kromě klasického (a nezbytného) ručního rýsování a črtání zařazujeme do výuky také oužití 3D očítačového modelování, může být deskritivní geometrie cháána znovu jako moderní discilína. Díky tomu, že naši studenti absolvují také očítačovou geometrii, je možné zdůrazňovat, na jakém rinciu takový grafický software funguje. Nejedná se tedy v žádném říadě o ouhé užívání grafického softwaru, vždy je naším cílem dojít k hlubšímu orozumění ozadí daného rogramu. Výhodou je, že rávě v rámci ředmětů Počítačové geometrie I a II se studenti setkávají s geometrickými algoritmy a diferenciální geometrií křivek a loch užívaných v očítačové grafice. 3D modelování a rýsování na očítači ve výuce deskritivní geometrie Ve výuce zmiňovaných ředmětů na Matematicko-fyzikální fakultě využíváme ro tvorbu 3D modelů a modelování rostorových situací komerční 3D modelovací software Rhinoceros (NURBS modeling for Windows). Rhinoceros
je levný a dostuný software obsahující množství rofesionálních modelovacích nástrojů a funkcí a je v raxi běžně užíván. Program Rhinoceros využíváme rovněž k tvorbě rysů, tedy k rýsování v rovině. V žádném říadě neoouštíme klasické ruční rýsování. Počítačovou tvorbu okládáme za odůrnou a moderní metodu rýsování. Kromě rogramu Rhinoceros oužíváme ve výuce také dynamický software GeoGebra a to ředevším k tvorbě rovinných konstrukcí říadně k demonstraci latnosti geometrických zákonitostí. GeoGebra je uživatelsky velice říjemná a i úlný začátečník si její ovládání rychle osvojí. Navíc je GeoGebra běžně užívána ve výuce matematiky a geometrie na mnoha našich základních a středních školách. Jak již bylo zdůrazněno, orozumění složitějším geometrickým úlohám bývá často velmi obtížné. K ochoení rostorové situace, vztahů mezi rostorovými objekty či k nalezení řešení rovinné nebo rostorové geometrické úlohy může naomoci rávě očítačové 3D modelování nebo vhodný dynamický geometrický software. Samozřejmě není nutné racovat ve výuce rávě se zmiňovanými grafickými rogramy. Na trhu existuje celá řada levných nebo dokonce volně dostuných rogramů ro geometrii a matematiku. Rozšiřování sbírky říkladů, tvorba nových studijních materiálů a webová odora ro deskritivní geometrii na MFF UK Počítačové rogramy neulatňujeme ouze ve výuce, ale využíváme je také k tvorbě sbírek říkladů, nových studijních materiálů a k webové odoře výuky deskritivní geometrie. V letošním roce jsme (i díky rojektu FRVŠ) výrazně rozšířili sbírku říkladů ro deskritivní geometrii a zaočali jsme s tvorbou nových studijních materiálů, které se týkají různých geometrických témat. Sbírky říkladů k ředmětům Deskritivní geometrie III, Plochy stavební raxe, Geometrické lochy a Alikace deskritivní geometrie jsou k disozici v elektronické formě na stránkách htt://surynkova.info/mff.h. Příklady jsou rozděleny odle témat a seřazeny chronologicky do jednotlivých řednášek a cvičení. Sbírky říkladů již několik let neustále rozšiřujeme, říadně řidáváme k některým říkladům i jejich řešení. Za výrazné osílení výuky a studia deskritivní geometrie ovažujeme tvorbu nových studijních materiálů a říkladů ro samostudium, které jsou k disozici na stránkách htt://surynkova.info/toics.h. Jedná se o oisy a návody k různým konstrukcím, očítačové modely, ukázky rysů a studentských rací aod. Jmenujme naříklad konstrukce kuželoseček jako obrazů kružnice ve středové kolineaci či říklady konstrukcí kuželoseček z daných rvků omocí středové kolineace. Webové stránky jsou neustále růběžně aktualizovány a jsou určeny nejen studentům naší fakulty, ale všem zájemcům o geometrii (některé odkazy jsou v anglickém jazyce). 3
4 3 Geometrické rojekce Využití očítačového modelování a rýsování na očítači ředvedeme na říkladech klasických úloh z deskritivní geometrie, kterými jsou rovnoběžné a středové rojekce. Zaměříme se zde na rojekce loch užívaných v geometrii a v inženýrské raxi, které jsou na MFF UK vyučovány ve vyšších ročnících. Ukažme si zadání a řešení tyické úlohy z deskritivní geometrie. Nechť je dána šroubová locha tvořicí křivkou (zde seciálně úsečkou) a šroubovým ohybem (šroubový ohyb je zadán osou, smyslem a výškou závitu). Aby měla tato úloha smysl, ředokládáme, že tvořicí úsečka neleží na ose šroubového ohybu a není s ní ani rovnoběžná. Dále ředokládejme, že je dána libovolná rovina, která rotíná šroubovou lochu vzniklou šroubováním tvořicí úsečky. Úkolem studentů je sestrojit (ručně nebo rýsováním na očítači) několik oloh šroubující se úsečky, zdánlivý obrys části lochy (naříklad jednoho závitu) a řez části lochy zadanou rovinou vše v daném romítání. Úlohu řešíme nejrve v rovnoběžném romítání a to v ravoúhlé axonometrii. Zadání úlohy, tj. osa šroubového ohybu, oloha tvořicí úsečky a rovina řezu v ravoúhlé axonometrii, je znázorněno na obrázku 1 vlevo. Na obrázku 1 urostřed vidíme výsledek dané úlohy (již bez omocných čar), řičemž se jedná o rys vytvořený na očítači. 3D modelovací software lze ale využít také k vymodelování rostorové situace, kterou můžeme vidět na obrázku 1 vravo. Nutno odotknout, že ři ráci římo se softwarem lze s rostorovým objektem hýbat, rostorovou situaci je možné různě natáčet, řibližovat či oddalovat. Díky tomu je možné lée orozumět rostorovým vztahům a ráce v rovině, tedy s výslednou rojekcí, je tak snazším úkolem. Na obrázku 1 vravo je řitom ohled na 3D model lochy nastavený tak, aby řesně odovídal zadané rovnoběžné rojekci. Složitější situace nastává ři řešení té samé úlohy ve středovém romítání. Na obrázku 2 vlevo je znázorněno oět zadání úlohy. Na obrázku 2 urostřed můžeme vidět očítačový rys s řešením úlohy (oět bez omocných čar) a na obrázku 2 vravo očítačový 3D model. Oět je ohled na 3D model nastavený tak, aby řesně odovídal zadanému středovému romítání. Zde se můžeme setkat s obtížemi již ři zadávání úlohy. Obrazy rostorových objektů se v obecném středovém romítání mohou velmi výrazně zkreslovat, řičemž míra tohoto zkreslení se ředem velmi těžko odhaduje. Pomoci nám může ři tvorbě takového zadání úlohy samozřejmě zkušenost nebo oět 3D očítačové modelování. Po vymodelování rostorové situace v rogramu Rhinoceros je možné s objektem hýbat a nastavit tak ohled na rostorový objekt, který nám vyhovuje. Většina grafických softwarů odobných rogramu Rhinoceros umožňuje rostorovou situaci ve zvoleném ohledu romítnout do roviny, tj. vytvořit výslednou rojekci (rovnoběžnou i středovou). Tuto funkci hojně využíváme rávě k tvorbě zadávání odobných úloh a rovněž ke kontrole výsledné rojekce rostorových objektů vytvořených buď ručně, nebo rýsováním na očítači v rovině.
5 z = osa rovina 1 x y Obr. 1: Šroubová locha v ravoúhlé axonometrii: zadání (vlevo), výsledek rovnoběžné rojekce (urostřed), 3D model (vravo) osa horizont H rovina 1 základnice Obr. 2: Šroubová locha ve středovém romítání: zadání (vlevo), výsledek středové rojekce (urostřed), 3D model (vravo) 4 Studentské ráce Využití očítačového modelování a rýsování na očítači ve výuce deskritivní geometrie výrazně zvyšuje zájem studentů o danou roblematiku a zajišťuje jejich aktivní zaojení do výuky. To vylývá z reakcí studentů a také ze zájmu věnovat se geometrickým tématům v rámci semestrálních, bakalářských a dilomových rací. Uveďme říklad bakalářské ráce Geometrie stínu [3] studentky Yulianny Tolkunové, která se v roce 2014 umístila na druhém místě na mezinárodní soutěži SVOČ v didaktice matematiky v kategorii bakalářských rací. Bakalářská ráce Geometrie stínu se věnuje geometrickému osvětlení elementárních těles a metodám sestrojení jejich stínů v různých rojekcích. Práce je zaměřena zejména na rovnoběžné osvětlení těles v rovnoběžných rojekcích. Obsahuje řehled základních ojmů a vlastností geometrického osvětlení a je dolněna vlastními názornými ilustracemi, které vznikly s oužitím modelovacích nástrojů v rogramu Rhinoceros. Součástí ráce je sada řešených i neřešených říkladů, které mohou sloužit jako sbírka úloh ro studenty v hodinách deskritivní geometrie.
6 5 Shrnutí a závěr V článku jsme rezentovali realizované metody inovace výuky deskritivní geometrie na Matematicko-fyzikální fakultě UK v Praze. Modernizace výuky je založena ředevším na oužití očítačového modelování a rýsování na očítači a také na rozšíření deskritivní geometrie o oznatky z očítačové grafiky a očítačové geometrie. Počítačové modelování využíváme nejen ři výuce, ale také ři říravě materiálů ro cvičení a řednášky a ro tvorbu sbírek říkladů a nových studijních materiálů ublikovaných na webových stránkách [2]. Při výuce se nám osvědčuje, že studenti ovažují rýsování a modelování na očítači za vhodnou omůcku a vnímají geometrii skutečně jako moderní discilínu. Insiraci v našem řístuu ři výuce geometrie snad naleznou i učitelé a studenti na nižších stuních vzdělávání. Literatura [1] G. Farin et al., Handbook of Comuter Aided Geometric Design, Elsevier Science, 2002. [2] P. Surynková, Academic website Petra Surynková, htt://www.surynkova.info. [3] Y. Tolkunova, Geometrie stínu, bakalářská ráce, MFF UK, Praha, 2014. RNDr. Petra Surynková, Ph.D. Katedra didaktiky matematiky MFF UK Sokolovská 83 186 75 Praha 8 etra.surynkova@mff.cuni.cz Bc. Yulianna Tolkunova Katedra didaktiky matematiky MFF UK Sokolovská 83 186 75 Praha 8 kataulta.yul@gmail.com