Hledání parabol

Transkript

1 7.5.1 Hledání arabol Předoklad: 751, 7513 Pedagogická oznámka: Studenti jsou o řekonání očátečních roblémů s aměti vcelku úsěšní, všichni většinou zvládnou alesoň rvních ět říkladů. Hodinu organizuji tak, ab nám na konci zblo alesoň ět minut na diskusi o řešení říkladu 6. Př. 1: Naiš rovnici arabol, která má vrchol v očátku a ohnisko v bodě F [ ;0]. Parabola má vrchol v očátku a ohnisko v bodě F [ ;0] její osa je shodná s osou x, arabola směřuje do záorné olorovin rovnice F - - x - - = x. Platí F = = = rovnice arabol: = x. Př. : Naiš rovnici arabol, která má vrchol v bodě [ ; 1] a má řídící římku =. Řídící římka arabol = je vodorovná osa arabol je svislá. rchol arabol [ ; 1] je nad řídící římkou arabola směřuje do kladné olorovin rovnice ( x ) ( 1) 1

2 - - x - - Platí: 1 = = = arabola má rovnici ( x ) ( 1) + = +. Př. 3: Najdi rovnici arabol, která má ohnisko v bodě F [ ; 1] a jejíž vrcholová tečna má rovnici = 1. Tečna ve vrcholu je kolmá na osu arabol, osa arabol rochází ohniskem můžeme si osu arabol nakreslit, v bodě, kde se rotne s vrcholovou tečnou je vrchol arabol. ;1, osa arabol je rchol arabol leží v bodě [ ] - - F x - - svislá, směřuje do záorné olovin rovnice ( x ) ( 1) Platí F = = = arabola má rovnici ( x ) ( 1) =. Pedagogická oznámka: Studenti často zaměňují vrcholovou tečnu za řídící římku a dochází tak k rovnici ( x ) ( 1) =. Př. : Najdi rovnici arabol, která má vrchol v bodě [ 1; ], rochází bodem [ 1;3] jejíž osa je rovnoběžná s osou x. Osa arabol je rovnoběžná s osou x. A a

3 A - - x - - Bod A je vlevo od vrcholu arabola směřuje do záorné olorovin rovnice arabol: ( ) ( x 1) Poslední neznámou vočteme dosazením bodu A, který musí rovnici vhovovat: ( 3 ) = ( 1 1) 1 = ( ) 1 = 1 Hledaná arabola má rovnici ( ) ( x 1) Pedagogická oznámka: U říkladu mají studenti často roblém s tím, že odle ředchozích říkladů automatick ředokládají, že rovnici zjistíme ze zadaných bodů omocí obrázku. Dobrá ukázka zkostnatělého mšlení. Př. 5: Hledaná arabola má vrchol v bodě [ ; ] a na ose x vtíná úsečku o délce 6. Urči její rovnici. rchol arabol se nachází od osou x, na které vtíná konečný úsek osa arabol je svislá a směřuje do kladné olorovin rovnice arabol: ( x ) ( ) Potřebujeme určit hodnotu arametru, ještě jsme nevužili údaj o vtnuté úsečce. Nakreslíme obrázek: x - - Je vidět, že arabola rochází naříklad bodem A [ 1;0 ]. Dosadíme bod A: ( 1+ ) = ( 0 + ) 9 = 9 = 9 Hledaná arabola má rovnici ( x ) ( ) 3

4 Př. 6: Parabola, jejíž osa je rovnoběžná s osou x, rochází bod K [ ;1], [ 1;0 ] M [ ; 1]. Najdi její rovnici. L a K - - L x - M - Zadané bod nejsou souměrné ani odle jedné ze souřadných os nemůžeme vužít souměrnosti arabol hledáme tři arametr ve vrcholové nebo obecné rovnici, můžeme dosazovat tři bod (a získat tři rovnice). užijeme raději obecný tvar: + x + + r = 0. Dosazujeme: ; r = 0 K [ ]: ( ) L[ 1;0 ] : ( ) M [ ; 1] : ( ) ( ) r = r = 0 Získáme soustavu rovnic: + + r = 1 + r = r = r = r = 1 + r = 0 + r = 1 Doočítáme ostatní neznámé: + r = 0 = r = 1. ( ) ( ) = 1 = Hledaná arabola má rovnici x = + 1 ( ) 1 = x + ( 1) = ( x + ) 1 x 1 = 0. 1 Hledaná arabola má rovnici ( 1) ( x ) = +. Pedagogická oznámka: Pokud studentům říklad řešit nejde, je otřeba na ně tlačit, ab si zadání zkusili alesoň nějak nakreslit. K ;1 za vrchol Někteří studenti začnou říklad řešit tím, že rohlásí bod [ ] arabol. Je třeba je uozornit, že ze zadání taková informace rozhodně nevlývá a roto se na ni ři řešení nemohou soléhat. Dalším roblémem ři řešení říkladu je tvar obecné rovnice arabol. Pokud si jej studenti neamatují, chci o nich, ab ho zkusili nasat sami. Př. 7: Parabola rochází bod A[ 3;1] a [ 1;1] Urči její rovnici. B. Její vrcholová tečna má rovnici = 1. rcholová tečna je vodorovná arabola je svisle orientovaná. Nakreslíme si obrázek:

5 A B - - x - - Oba zadané bod arabol jsou ve stejné výšce jsou souměrné odle os arabol osou arabol je římka x = 1. Průsečík os arabol s vrcholovou tečnou je vrchol 1; 1. arabol [ ] Rovnice arabol: ( x 1) ( 1) Parametr doočteme dosazením jednoho ze zadaných bodů: B [ 1;1] : ( 1 1) ( 1 1) = = 1 Hledaná rovnice má tvar ( x 1) 1( 1) + = +. Př. 8: Petáková: strana 17/cvičení 59 b) strana 17/cvičení 61 c) strana 17/cvičení 6 a) strana 17/cvičení 63 b) strana 17/cvičení 65 strana 17/cvičení 68 strana 17/cvičení 70 strana 17/cvičení 7 Shrnutí: Hledání arabol není těžké, okud si amatujeme význam vrcholu a arametru. 5