Roviny. 3.) MP O[5;7] Rovina je dána body A[-2;3;3], B[-4;1;5] a C[-7;4;1]. Zobrazte stopy roviny.

Transkript

1 Roviny.) MP O 6 Zobrazte stoy rovin 6 ;3) a (-5;45 ;0 )..) MP O[9;5] Zobrazte stoy rovin (-4;h;4) a (5;;h). 3.) MP O[5;7] Rovina je dána body A[-;3;3], B[-4;;5] a C[-7;4;]. Zobrazte stoy roviny. 4.) MP O[9;6] Zobrazte římku =AB, která leží v rovině (3;;), A[-6;4;?], B[-8;;?] 5.) MP O 8,5 7 Dourčete římku h=ef tak, aby ležela v rovině (-0;6;5), E[0;?;,5], F[-0;?;,5]. 6.) MP O[0;8,5] Dourčete římku f=ab tak, aby ležela v rovině (3;3;-6), A[4;;?], B[-3;;?].

2 7.) MP O[9;6] Zobrazte bod A[-;;?], který náleží rovině (h;5;6). A4 na výšku 8.) MP O[9;9] Zobrazte bod A[4;?;5], který náleží rovině (h;6;8). 9.) MP O[6,5;5,5] Dourčete bod M[-3,5;3,5;?] tak, aby ležel v rovině A[;4;5], B[-4;;], C[-6;5;7]. (A;B;C), 0.) MP O 0 7 Dourčete bod M[0;?;4] tak, aby ležel v rovině A[;0,5;5], B[-;5;], C[-5;3;3]. (A;B;C),.) MP O[0;7] Dourčete bod M[0;3;?] tak, aby ležel v rovině A[3;4;3], B[3;;3], C[-3;3;]. (A;B;C),.) MP O[0;6] Dourčete římku =KL tak, aby náležela rovině (A;B;C), A[4;4;], B[0;;4], C[-3;3;], K[4;?;3], L[-3;?;]. A4 na výšku 3.) MP O 9 0 Dourčete římku =AB, tak aby ležela v rovině (K;L;M), A[-;?;3], B[;?;], K[0;6;6], L[0;6;], M[-5;,5;3].

3 A4 na výšku 4.) MP O Dourčete římku =KL tak, aby ležela v rovině A,B,C), A[3;4;8], B[0;;0], C[-7;3;5,5], K[5;?;3], L[-8;?;]. A4 na výšku 5.) MP O 0 Zobrazte hlavní římky (horizontální i frontální) roviny ), které rocházejí bodem B, A[5;5;6], B[0;3;7], C[-3;9;]. 6.) MP O 7 A,x) a zobrazte hlavní římky roviny, které rocházejí bodem M. A[;5;6], M[-4;?;3]. 7.) MP O 9 Zobrazte hlavní římky roviny A,B,C), které rocházejí bodem B, A[4;5;5], B[-;7;], C[-6;5;5]. 8.) MP O 9 Zobrazte hlavní římky roviny A,B,C), které rocházejí bodem C, A[3;8;5], B[3;3;5], C[-6;6;3]. 9.) MP O 9 7 Dourčete římku tak, aby ležela v rovině (A;B;C), římka rochází bodem P[3;4;?] a je kolmá k ose x, A[5;,5;4,5], B[0;5;7],C[-5;3;3].

4 0.) MP O 8 Dourčete římky b=bc a d=de tak, aby ležely v rovině A[-4;6;5], B[5;?;3], C[-8;?;4], D[4;0;0], E[4;6,5;?]. A,x), A4 na výšku.)mp O 9 Zobrazte hlavní římky roviny (A;B;C), které rochází bodem A[0;3;8], B[7;8;3], C[-4;0;5]..) MP O 0 6 Dourčete římku =KL tak, aby náležela rovině (3,5;-4;), K[-5;4;?], L[;5;?]. A4 na výšku 3.) MP O 9,5 Dourčete bod M tak, aby ležel v rovině M[-8;8;?]. A,x), A[;6;5], 4.) MP O 6 Dourčete římku a tak, aby ležela v rovině 5 3;6). Přímka a rochází bodem A[-4;;?] a je kolmá k ose x.

5 .) MP O 6 Zobrazte stoy rovin 6 ;3) a (-5;45 ;0 ).. Zadaná 3 čísla roviny souvisí se souřadnicemi růsečíků roviny s osami x, y, z; A[6;0;0] je růsečík roviny s osou x, B[0;;0] je růsečík roviny s osou y a C[0;0;3] je růsečík s osou z. Zobrazme si tyto 3 body. Body A, B leží v ůdorysně, tedy římka AB je ůdorysná stoa, body A, C jsou body nárysny, tedy římka AC je nárysná stoa.. Číslo -5 v zadání roviny souvisí se souřadnicemi růsečíku R roviny s osou x, R[-5;0;0]. První úhel 45 je orientovaný úhel, který svírá ůdorysná stoa roviny a kladná oloosa osy x. Druhý úhel 0 je orientovaný úhel, který svírá nárysná stoa s kladnou oloosou osy x. n n C A=A R=R O =C =B n = = = n = x B

6 .) MP O 5 Zobrazte stoy rovin h;4) a (5;;h).. Pokud je v záise roviny znak h znamená to, že rovina nerotíná některou z os, tzn. je s říslušnou osou rovnoběžná.. Rovina nerotíhá osu y, je s osou y rovnoběžná. Rovina je tedy kolmá k nárysně a jejím nárysem je římka. 3. Rovina nerotíná osu z, je s osou z rovnoběžná. Rovina je tedy kolmá k ůdorysně a jejím ůdorysem je římka. n n = 4 n 5 O 4 x

7 3.) MP O 5 7 Rovina je dána body A[-;3;3], B[-4;;5] a C[-7;4;]. Zobrazte stoy roviny.. Půdorysná stoa roviny je růsečnice roviny a ůdorysny. Abychom zobrazili tuto stou, otřebujeme zobrazit její různé body. Vybereme si libovolné římky a zobrazíme jejich ůdorysné stoníky. Zde jsme oužili římku l=ba a římku =BC.. Nárysná stoa roviny je růsečnice roviny a nárysny. Abychom zobrazili tuto stou, otřebujeme zobrazit její různé body. Vybereme si libovolné římky a zobrazíme jejich nárysné stoníky. Zde jsme oužili římku l=ba a římku =BC. 3. Pokud se ůdorysná a nárysná stoa rotínají, rotínají se na ose x. N N" n B A l N N" C P" O P = n = x B l A C P P"

8 4.) MP O 6 Zobrazte římku =AB, která leží v rovině 3 ;), A[-6;4;?], B[-8;;?]. Přímka roviny je s římkami roviny rovnoběžná nebo různoběžná. Zde můžeme zjistit vzájemnou olohu římky a ůdorysné či nárysné stoy.. Z ůdorysu je zřejmé, že římka a ůdorysná stoa jsou římky různoběžné, jejich růsečík označíme P. Snadno najdeme nárys bodu P. 3. Z ůdorysu je zřejmé, že římka a nárysná stoa jsou římky různoběžné, jejich růsečík označíme N. Snadno najdeme nárys bodu N. 4. Na náryse římky leží i nárysy bodů A a B. Pozn.: Stoníky římky roviny leží na stoách roviny, ůdorysný stoník na ůdorysné stoě, nárysný stoník na nárysné stoě. n B N A = n =x O P B N P A

9 5.) MP O 8,5 7 Dourčete římku h=ef tak, aby ležela v rovině (-0;6;5), E[0;?;,5], F[-0;?;,5].. Přímka h je s římkami roviny rovnoběžná nebo různoběžná. Zjistíme vzájemnou olohu římky h a římek, n.. Z nárysu je zřejmé, že římky h a n jsou různoběžné a mají solečný bod N. 3. Z nárysu je zřejmé, že římky h a jsou rovnoběžné, tedy i ůdorysy těchto římek jsou římky rovnoběžné. Přímka h roviny je rovnoběžná s ůdorysnou, neboť její nárys je římka rovnoběžná s osou x. Všechny římky roviny, které jsou rovnoběžné s ůdorysnou, se nazývají hlavní římky. osnovy roviny n E N F h F x = =n O N x E h

10 6.) MP O 0 8,5 Dourčete římku f=ab tak, aby ležela v rovině (3;3;-6), A[4;;?], B[-3;;?].. Přímka f je s římkami roviny. Z ůdorysů je zřejmé, že římky f a jsou různoběžné a mají solečný bod P. 3. Z ůdorysů je zřejmé, že římky f a n jsou rovnoběžné, tedy i nárysy těchto římek jsou římky rovnoběžné. Přímka f roviny je rovnoběžná s nárysnou, neboť její ůdorys je římka rovnoběžná s osou x. Všechny římky roviny, které jsou rovnoběžné s nárysnou, se nazývají hlavní římky. osnovy roviny nebo také frontální hlavní římky. Jednou z frontálních hlavních římek je nárysná stoa roviny A n f x = n P O f A P B B

11 7.) MP O 6 Zobrazte bod A[-;;?], který náleží rovině h;5;6).. Rovina je rovnoběžná s osou x. Její stoy jsou rovnoběžné s osou x.. Bod roviny dourčíme omocí libovolné římky roviny, na které bude bod A ležet. Tuto římku nazýváme nositelka bodu A. 3.Půdorys římky je libovolná římka rocházející ůdorysem bodu A. Přímku volíme libovolně, ale vhodně. Zde ji volíme tak, abychom rychle dourčili nárys římky omocí stoníků P a N. 4. Nárys bodu A leží na náryse římky. N n A P O x N A P

12 A4 na výšku 8.) MP O 9 Zobrazte bod A[4;?;5], který náleží rovině h;6;8). Oět můžeme využít libovolnou nositelku bodu A, ale v tomto říkladě si ukážeme jiný zůsob řešení. Rovina je rovnoběžná s osou x, jejím třetím růmětem je římka. Úlohu tedy řešíme otočením třetího růmětu do nárysny.. Zvolíme třetí růmětnu (zde bokorysnu (y, z)) kolmou na osu x. Třetím růmětem roviny je římka. Třetí růmět bodu A musí ležet na této římce.. V třetím růmětu lze zjistit y-ovou souřadnici bodu A. N = N 3 n A A 3 3 N = P P 3 O x A P

13 9.) MP O 6,5 5,5 Dourčete bod M[-3,5;3,5;?] tak, aby ležel v rovině (A;B;C), A[;4;5], B[-4;;], C[-6;5;7]..Bod dourčíme omocí libovolné nositelky bodu A. Půdorys nositelky rochází ůdorysem bodu M. Půdorys volíme libovolně; třeba tak, že rochází ůdorysem některého bodu roviny (zde bodem C).. Nositelka je s římkami roviny rovnoběžná nebo různoběžná. Z ůdorysu vidíme, že římky AB a jsou různoběžné, snadno dourčíme jejich růsečík R. 3. Nárys bodu M leží na náryse římky =RC. C A R M B O x R B A M C

14 0.) MP O 0 7 Dourčete bod M[0;?;4] tak, aby ležel v rovině A[;0,5;5], B[-;5;], C[-5;3;3]. (A;B;C),.Úlohu řešíme obdobně jako úlohu 9. K dourčení bodu M oužijeme libovolnou římku roviny, která rochází bodem M. Protože máme nárys bodu M, začínáme nárysem římky. Zde jsme zvolili =MC..Přímky jedné roviny jsou rovnoběžné nebo různoběžné. Podle nárysů římky a římky AB je zřejmé, že jsou to římky různoběžné a rotínají se v bodě R. Dourčíme ůdorys bodu R a získáme i ůdorys římky. Půdorys bodu M leží na ůdorysu římky. A R M C B A R O x M B C

15 .) MP O 0 7 Dourčete bod M[0;3;?] tak, aby ležel v rovině A[3;4;3], B[3;;3], C[-3;3;]. (A;B;C),. Všimneme si, že římka a=ab roviny je kolmá k nárysně. Obsahuje-li rovina římku kolmou k nárysně, je tato rovina kolmá k nárysně. Nárysem roviny je římka =AC.. Nárys bodu M musí ležet na nárysu roviny. A = B =a M C O x B A M C a

16 .) MP O 0 6 Dourčete římku =KL tak, aby náležela rovině (A;B;C), A[4;4;], B[0;;4], C[-3;3;], K[4;?;3], L[-3;?;].. Přímky jedné roviny jsou rovnoběžné nebo různoběžné. Podle nárysu rozhodneme o vzájemné oloze římky a římek roviny (A,B,C). Zde jsou římky a AB různoběžné (solečný bod Q) a římky a BC také různoběžné (solečný bod R). Mohli jsme také určit vzájemnou olohu římek a AC, odle nárysu vidíme, že jsou to římky rovnoběžné. Půdorysy římek a AC musí být také rovnoběžné.. Půdorys římky je římka =QR, na této římce leží i ůdorysy bodů K a L. b a K B A Q R L C O x B L K R Q C A a b

17 A4 na výšku 3.) MP O 9 0 Dourčete římku =AB, tak aby ležela v rovině (K;L;M), A[-;?;3], B[;?;], K[0;6;6], L[0;6;], M[-5;,5;3].. Všimneme si, že římka KL roviny je kolmá k ůdorysně. Obsahuje-li rovina římku kolmou k ůdorysně, je tato rovina kolmá k ůdorysně. Půdorysem roviny je římka =KM.. Půdorys římky slyne s. Snadno už dourčíme ůdorysy bodů A, B. K A M B L O x M A K = L = B

18

19 a l m b a l

20 A4 na výšku 5.) MP O 0 Zobrazte hlavní římky (horizontální i frontální) rovin ), které rocházejí bodem B, A[5;5;6], B[0;3;7], C[-3;9;].. Víme, že nárys h horizontální římky h je rovnobežný s osou x ( B leží na h ). Rozhodneme o vzájemné oloze římky h a římky AC, jsou to římky různoběžné a mají solečný bod H. Přímka h je určena body B a H.. Víme, že ůdorys f frontální římky je rovnoběžný s osou x ( B leží na f ). Rozhodneme o vzájemné oloze římek f a AC, jsou to římky různoběžné a mají solečný bod F. Přímka f je určena body B a F. h h

21 6.) MP O 7 A,x) a zobrazte hlavní římky roviny, které rocházejí bodem M. A[;5;6], M[-4;?;3].. Zvolíme libovolnou nositelku ro bod M, zde jsme vybrali římku =MA. Vyšetříme vzájemnou olohu římky a římky x, jsou to různoběžné římky se solečným bodem X. Přímka je určena body A, X, ůdorys bodu M leží na ůdoryse římky.. Hlavní římka h je římka rovnoběžná s osou x, je to římka rovnoběžná s ůdorysnou i nárysnou. Rovina má jen jeden systém hlavních římek. M h x

22 7.) MP O 9 Zobrazte hlavní římky roviny A,B,C), které rocházejí bodem B, A[4;5;5], B[-;7;], C[-6;5;5].. Přímka AC roviny je římka rovnoběžná s osou x, tedy rovina je rovnoběžná s osou x. Přímka AC je hlavní římka roviny rovnoběžná s ůdorysnou i nárysnou. Rovina má jen jeden systém hlavních římek.. Bodem B vedeme hlavní římku h rovnoběžnou s AC. A C B A C B h

23 8.) MP O 9 Zobrazte hlavní římky roviny A,B,C), které rocházejí bodem C, A[3;8;5], B[3;3;5], C[-6;6;3].. Přímka AB roviny je kolmá k nárysně, rovina je tedy kolmá k nárysně a jejím nárysem je římka =A C.. Přímka AB je rovnoběžná s ůdorysnou, je to tedy hlavní horizontální římka roviny, bodem C vedeme římku h rovnoběžnou s AB. 3. Půdorys f frontální římky je římka rovnoběžná s osou x, nárys f slyne s. A = B = a f

24 9.) MP O 9 7 Dourčete římku tak, aby ležela v rovině (A;B;C), římka rochází bodem P[3;4;?] a je kolmá k ose x, A[5;,5;4,5], B[0;5;7],C[-5;3;3].. Přímka je kolmá k ose x, roto = je římka kolmá k ose x. Přímka kolmá k ose x není jednoznačně určená svým ůdorysem a nárysem, musíme zobrazit dva různé body římky.. Přímky jedné roviny jsou navzájem rovnoběžné nebo různoběžné. Přímky a AB jsou různoběžné, mají solečný bod Q. Přímky a AC jsou různoběžné, mají solečný bod R. Přímka je určena jednoznačně body Q a R. 3. Dourčíme také bod P, využijeme třetí růmět. P Q B Q 3 P 3 A R R 3 C 3 x O A R Q C P B

25 0.) MP O 8 Dourčete římky b=bc a d=de tak, aby ležely v rovině A[-4;6;5], B[5;?;3], C[-8;?;4], D[4;0;0], E[4;6,5;?]. A,x),. Přímka b a osa x mají solečný bod, jehož růměty jsou mimo aír. K dourčení římky b využijeme libovolné římky a q roviny. Přímky a b jsou různoběžné, mají solečný bod R; římky b a q jsou různoběžné, mají solečný bod Q. Přímka b je určena body Q a R, ůdorysy bodů B, C leží na ůdoryse římky b.. Přímka d je kolmá k ose x, tedy d =d je kolmice k ose x. Přímka kolmá k ose x není svým ůdorysem a nárysem jednoznačně určena. Musíme zobrazit dva její různé body. Máme bod D a určíme další její bod omocí libovolné římky roviny, využijeme třeba římku q. Přímky d a q jsou různoběžné, mají solečný bod F. 3. Přímka d je jednoznačně body D a F, dourčíme i bod E omocí třetího růmětu. A d 3 D 3 d A q b

26 A4 na výšku.) MP O 9 Zobrazte hlavní římky roviny (A;B;C), které rochází bodem A; A[0;3;8], B[7;8;3], C[-4;0;5].. Můžeme sestrojit nárys horizontální římky h rocházející bodem A a ůdorys frontální římky f rocházející bodem A, jsou to římky rovnoběžné s osou x.. K sestrojení ůdorysu h římky h oužijeme libovolnou horizontální římku roviny, kterou rychle dourčíme. Zde jsme oužili římku c rocházející bodem C. Půdorysy římek h a c jsou rovnoběžné římky. 3. K sestrojení nárysu f římky f oužijeme libovolnou frontální římku roviny, kterou rychle dourčíme. Zde jsme využili římku b rocházející bodem B. Nárysy římek f a b jsou rovnoběžné římky. Řešení na dalším listě.

27 A4 na výšku.) MP O 9 Zobrazte hlavní římky roviny (A;B;C), které rochází bodem A; A[0;3;8], B[7;8;3], C[-4;0;5]. f h A b Q C R c B x O A f R h Q B b c C

28 .) MP O 0 6 Dourčete římku =KL tak, aby náležela rovině (3,5;-4;), K[-5;4;?], L[;5;?]. Dourčíme body K a L roviny. Můžeme oužít libovolné nositelky, zde jsme bod K dourčili omocí frontální římky f a bod L omocí horizontální římky h. f K n L h O x h L K f

29 A4 na výšku 3.) MP O 9,5 Dourčete bod M tak, aby ležel v rovině M[-8;8;?]. A,x), A[;6;5],. Pro dourčení bodu M využijeme libovolnou nositelku m, bod M leží na m.. Přímky m a x jsou různoběžné, mají solečný bod P. 3. Přímku m dourčíme omocí další římky roviny, zde jsme zvolili římku a rocházející bodem A a rovnoběžnou s osou x. Přímky m a a mají solečný bod R. 4. Přímka m je určena body P a R, nárys bodu M leží na náryse římky m. m a = n = x = =n R a m

30 4.) MP O 6 Dourčete římku a tak, aby ležela v rovině 5 3;6). Přímka a rochází bodem A[-4;;?] a je kolmá k ose x.. Přímka a je kolmá k ose x, tedy a =a je římka kolmá k ose x. Přímka a není svým ůdorysem a nárysem určena jednoznačně, musíme zobrazit dva její různé body.. Přímky jedné roviny jsou navzájme rovnoběžné nebo různoběžné. Přímky a a jsou různoběžné a mají solečný bod P. Přímky a a n jsou různoběžné a mají solečný bod N, nárys bodu N je ale mimo aír. 3. Dourčíme další bod římky a a to rávě bod A, využijeme hlavní římku h. Přímka a je jednoznačně určena body A a P. n h a a h