Tělesa 1/6 Tělesa 1.Mnohostěny n-boký hranol Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), hranol kosý hranol kolmý (boční stěny jsou kolmé k rovině podstavy) pravidelný n-boký hranol (podstavou je pravidelný n-úhelník) rovnoběžnostěn (podstavy i stěny jsou rovnoběžníky) Př 1 a) Podtrhni tělesa, která patří mezi kolmé hranoly: kvádr, krychle, klenec. b) Podtrhni tělesa, která patří mezi pravidelné kolmé hranoly: kvádr, krychle, klenec. c) Podtrhni tělesa, která patří mezi rovnoběžnostěny: kvádr, krychle, klenec. Poznámka: Klenec 6 stěn, stěny jsou kosočtverce. n-boký jehlan Pojmy: výška jehlanu, podstava jehlanu, plášť jehlanu, stěnová výška, hlavní vrchol, vrcholy podstavy (celkem vrcholů ), boční stěny (troj.), podstavné hrany, boční hrany, boční stěny jehlan kolmý jehlan kosý pravidelný n-boký jehlan (podstavou je pravidelný n-úhelník) čtyřstěn (má čtyři trojúhelníkové stěny) těžnice čtyřstěnu (spojnice vrcholu s těžištěm protější stěny), těžiště čtyřstěnu (vzdálenost těžiště od vrcholu je rovna ¾ délky příslušné těžnice) pravidelný čtyřstěn (čtyři shodné stěny rovnostranné trojúhelníky) komolý jehlan má dvě rovnoběžné podstavy (podobné mnohoúhelníky), boční stěny jsou lichoběžníky. 1/6
Tělesa 2/6 Př2 Charakterizuj pravidelný čtyřstěn a pravidelný trojboký jehlan. Mnohostěn (polyedr, n-stěn) Pojmy: je každé těleso, které je ohraničeno mnohoúhelníky stěny mnohostěnu, vrcholy, hrany, sousední stěny, sousední hrany, sousední vrcholy, síť mnohostěnu stěnová úhlopříčka (spojuje dva nesousední vrcholy jedné stěny) tělesová úhlopříčka (spojuje dva vrcholy mnohostěnu, které neleží v jedné stěně) konvexní mnohostěn (bod A a bod B leží v mnohostěnu => úsečka AB leží v mnohostěnu) Eulerova věta : s + v = h + 2 pravidelný mnohostěn (má shodné stěny pravidelné n-úhelníky) každému pravidelnému mnohostěnu lze vepsat i opsat kulovou plochu v prostoru je 5 pravidelných mnohostěnů Platónská tělesa tetraedr pravidelný čtyřstěn stěny jsou rs hexaedr krychle pravidelný šestistěn stěny jsou čtverce oktaedr pravidelný osmistěn - stěny jsou rs dodekaedr pravidelný dvanáctistěn - stěny jsou prav. pětiúhelníky ikosaedr pravidelný dvacetistěn stěny jsou rs Př3 Ověř platnost Eukleidovy věty pro a) n-boký jehlan, b) n-boký hranol. 2/6
Tělesa 3/6 2. Rotační tělesa rotační těleso je těleso, kt. vznikne rotací rovinného obrazce kolem dané přímky (osy rotačního tělesa). Válec vzn. rotací obdélníku (čtverce) kolem přímky, kt. obsahuje jednu stranu obdélníku podstavné hrany (kružnice), podstavy (kruhy), strany válce, osa, výška, poloměr a průměr podstavy válce, osový řez válce rovnostranný válec (osovým řezem je čtverec) rotační válcová plocha, rotační válcový prostor směrová rovina válce (je s osou válce, zvl. případem je tečná rovina) Kužel vzn. rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem odvěsny podstavná hrana (kružnice), podstava (kruh), plášť kužele, strany kužele, vrchol, osa, výška, poloměr a průměr podstavy, osový řez kužele rovnostranný kužel (osovým řezem je rovnostranný trojúhelník) rotační kuželová plocha, rotační kuželový prostor vrcholová rovina kužele (prochází vrcholem, zvl. případem je tečná rovina) Komolý kužel vzn. rotací pravoúhlého lichoběžníku kolem přímky obsahující kratší rameno výška, strany, podstavy, podstavné hrany poloměry podstav původního a nového kužele jsou ve stejném poměru jako výšky těchto kuželů Koule vzn. rotací půlkruhu kolem přímky obsahující průměr střed, poloměr, průměr kulová plocha (střed, poloměr, hlavní a vedlejší kružnice), kulový vrchlík (část kulové plochy) kulová úseč,(polokoule zvl. případ), kulová výseč, kulový pás Anuloid (torus, toroid) vzn. rotací kruhu kolem vnější přímky, která leží v rovině kruhu 3/6
Tělesa 4/6 3. Objemy a povrchy těles - příklady I Př 3.1. Vyjádři obsah a) pravidelného pětiúhelníku, b) pravidelného šestiúhelníku. Př 3.2. (151/5.36) a) Kolikrát se zvětší objem kvádru s rozměry a, b, c, zvětšíte-li tyto rozměry po řadě k-krát, l-krát, m-krát? b) Řeš pro pro k = l = m. Př 3.3. (151/5.37) Určete, přírůstek a) objemu kvádru, b) povrch kvádru, jestliže všechny jeho tři rozměry zvětšíte o hodnotu ε. Řešte pro hodnoty a = 100 cm, b = 50 cm, c = 20 cm, ε = 10-3 cm. Př 3.4. (StG 121/22) Kvádr má objem 810 cm 3, jeho rozměry jsou v poměru 2 : 3 : 5. Vypočtěte jeho povrch. Př 3.5. (151/5.39) Obsahy tří stěn kvádru, které mají společný vrchol, jsou 72 cm 2, 96 cm 2 a 108 cm 2. Vypočtěte objem kvádru. Př 3.6 (151/5.41) Podstavou kvádru je obdélník vepsaný do kruhu s poloměrem 8 cm, kratší straně obdélníku přísluší středový úhel o velikosti 68 40'. Vypočítejte objem kvádru, je-li obsah jeho pláště 120 cm 2. Př 3.7. (163/5.58) Síť pravidelného čtyřstěnu je rovnostranný troj. s výškou h. Vypočítej objem a povrch tohoto čtyřstěnu. Př 3.8. Hrana krychle se zvětší dvakrát. Kolikrát se zvětší její objem? Kolikrát se zvětší její povrch? Př 3.9. (165/5.68) Betonový základ pro el. stožár se skládá ze dvou pravidelných čtyřbokých hranolů, pravidelného čtyřbokého jehlanu a pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu. Vypočítej jeho hmotnost, je-li hustota betonu 2.2 kg/dm 3. Obrázek viz učebnice. Př 3.10 (162/5.45) Je dána krychle s hranou délky a. Určete délku hrany krychle, která má vzhledem k původní krychli dvojnásobný a) objem, b) povrch. Př 3.11 (162/5.46) Prodlouží-li se hrana krychle o 5 cm, zvětší se její objem o 485 cm 2. Určete povrch původní i zvětšené krychle. Př 3.12 Vodojem kulového tvaru je naplněn z jedné poloviny svého objemu a obsahuje 15 m 3 vody. Urči jeho poloměr. Jaký je povrch vodojemu? Kolik bude stát jeho natření barvou, jestliže 4,5 kg barvy stojí o vydatnosti 6 m 2 /1 kg stojí 780 Kč. Př 3.13 (P 97/64) Vypočítej objem a povrch pravidelného rotačního kužele o výšce 10 cm, jehož strana má od roviny podstavy odchylku 30. 4/6
Tělesa 5/6 Př 3.14 (P 97/70) Nálevka má tvar rovnostranného kužele. Vypočítejte obsah plochy smáčené vodou v případě, že do nálevky nalijete 3 litry vody. Př 3.15 (P 97/ 72) Vypočítejte poloměr podstavy a objem rotačního kužele, jestliže rozvinutý plášť je kruhová výseč s poloměrem 3 cm a středovým úhlem 120. Př 3.16 (P 97/74) Určete rozměry válcové nádoby, o objemu 5 litrů, jestliže výška nádoby se rovná polovině průměru podstavy. Př 3.17 (P 97/75) Osovým řezem válce je obdélník s úhlopříčkou délky 20 cm. Výška válce je dvakrát větší než průměr podstavy. Vypočítejte objem válce v litrech. Př 3.18 (P 97/76) Osovým řezem válce je čtverec o obsahu 25 cm 2. Vypočítejte povrch válce. Př 3.19 (P 97/77) Určete rozměry rovnostranného válce o objemu 1 litr. Př 3.20 (180/5.73) Osový řez nádoby, která má tvar válce, je obdélník s úhlopříčkou délky 39 cm. Poměr obsahu pláště a obsahu podstavy je 5 : 3. Kolik litrů vody se vejde do nádoby? Př 3.21 (P 98/80) Jakou část zemského povrchu vidíme z výšky 350 km nad Zemí? Př 3.22 Krychli opiš a vepiš kouli. Vypočítej poměr objemu koule opsané, krychle a koule vepsané. Př 3.23 Vypočítej objem součástky tvaru válcové úseče, která je znázorněna na obrázku. Př 3.24 (182/5.96) Do kulové plochy je vepsán rotační válec. (Kulová plocha prochází podstavnými hranami válce.) Poloměr podstavy válce je o 2 cm a výška o 1 cm menší než poloměr koule. Určete poloměr koule. Př 3.25 Krychle má hranu délky a. Její dolní podstavě je opsán kruh, horní podstavě je vepsán kruh. Urči povrch a objem takto vzniklého komolého kužele. Př 3.26 (P 98/89) Vypočtěte délku hrany krychle vepsané do polokoule o poloměru 6 cm. Kolik procent zaujímá objem krychle z objemu polokoule? Př 3.27 (151/5.43) Ve vodojemu tvaru kvádru je 1500 hl vody, hloubka vody je 2,5 m. Vypočítejte rozměry dna, je-li jeden rozměr vodojemu o 4m větší než druhý. Př 3.28 (165/5.44) Vypočítejte délky hran krychlí, jejichž objemy jsou 1 m 3, 2 m 3, 3 m 3. Př 3.29 (165/5.69) Násypný koš z ocelového plechu se skládá z plášťů dvou pravidelných čtyřbokých hranolů a pravidelného čtyřbokého komolého jehlanu (rozměry na obr jsou v mm). Kolik m 2 plechu se spotřebuje k jeho zhotovení, jestliže se na záhyby a odpad ve výrobě počítá 10% materiálu? 5/6
Př 3.30 (163/5.56) Dřevěný sloup tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu s podstavnou hranou délky a a výškou v se ohoblováním upraví na sloup, který má tvar pravidelného osmibokého hranolu. O kolik procent se zmenší a) objem, b) plášť původního sloupu? 4. Objemy a povrchy těles - příklady II Př 4.1 Kolik hran má hranol se sedmi stěnami. Př 4.2 Povrch krychle je číselně roven jejímu objemu. Urči délku hrany krychle. Tělesa 6/6 Př 4.3 Urči výšku válce na dvě platné číslice, jestliže jeho povrch je 6,28 m 2 a poloměr 50 cm. (počítej s hodnotou pí = 3,14) Př 4.4 Obsahy tří stěn kvádru jsou v poměru 3 : 4 : 5. Objem kvádru je 3600 cm 2. Urči délku nejkratší hrany kvádru. Př 4.5 Poloměr rotačního válce se zvětšil o 30%, výška se zmenšila o 40%. Rozhodněte, jaký má vzniklý válec objem ve srovnání s původním (menší, stejný, větší, nelze rozhodnout). Př 4.6 Vypočítej objem trojbokého hranolu, jehož všechny hrany mají délku 10 cm. Zaokrouhlete na tři platné číslice. Př 4.7 Kolik procent objemu krychle zabírá koule krychli vepsaná? Př 4.8 V rotačním kuželu o objemu 1280 cm 2 svírá strana kužele s rovinou podstavy úhel 60. Vypočtěte poloměr podstavy s přesností na centimetry. Př 4.9 Rotační kužel s výškou 50 cm byl rozříznut rovinou rovnoběžnou s podstavou tak, že vznikly rotační kužel a komolý kužel stejných objemů. Vypočítej, jak vysoký je komolý kužel. Př 4.10 Z koule o poloměru 10 cm byla odříznuta kulová úseč. Výška kulové úseče je 4 cm. Vypočtěte objem kulové úseče s přesností na tři platné číslice. Př 4.11 O kolik procent se zvětší povrch krychle, zvětší-li se hrana o 10%. Př 4.12 Délku podstavné hrany pravidelného čtyřbokého jehlanu zmenšíme o 20%. O kolik procent menší bude objem vzniklého pravidelného čtyřbokého jehlanu? 6/6