Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2017/2018
O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka pro přednášejícího. Řadu důležitých informací v souboru nenajdete, protože přednášející je říká, ukazuje, případně maluje na tabuli. Přednášky jsou na webu k dispozici, aby studenti mohli snadno dohledat probíraná témata z přednášek, které zameškali. Pro samostatné studium doporučuji skripta: M. Kubesa: Základy diskrétní matematiky, výukový text P. Kovář: Úvod do teorie grafů, výukový text Pro přípravu ke zkoušce a písemkám doporučuji cvičebnici: P. Kovář: Cvičení z diskrétní matematiky, sbírka příkladů Vše na http://homel.vsb.cz/~kov16/predmety dm.php
Číslo předmětu: 470-2301/01 Rozsah: 6 kreditů (2/2/2) Garant: Petr Kovář Přednáší: cz: Petr Kovář, Michael Kubesa, en: Tereza Kovářová Web: am.vsb.cz/kovar Email: petr.kovar@vsb.cz Kancelář: EA536
Bodové hodnocení Zápočtové písemky každý týden (počínaje třetím) 2 10 minut bodují se 0/1/2 (ne/téměř správně/zcela správně) každý druhý týden navíc teoretická otázka počítá se 4 nejlepší 2-bodové a 4 nejlepší 3-bodové z 10 písemek celkem až 20 bodů při absenci se písemka počítá za 0 bodů Zadání cvičebních příkladů najdete na http://am.vsb.cz/kovar. Rozděleno do 14 okruhů. Cvičící určí, ze kterých okruhů se píše písemka.
Bodové hodnocení (pokračování) Samostatný projekt zadávání v druhé polovině semestru projekt: asi čtyři příklady (2 diskrétní matematika & 2 teorie grafů) Projekty, pro ty, kteří se chtějí něco naučit dva příklady (1 diskrétní matematika & 1 teorie grafů) celkem 10 (výjimečně i více) bodů pro získání zápočtu musí být projekt přijat (detailní popis projektu je na webu) samostatné vypracování, odevzdávárna dodržet termín odevzdání! Zápočet = alespoň 10 bodů a přijatý projekt.
Bodové hodnocení (pokračování) Zkouška zkouškové termíny stanoveny koncem semestru celkem 70 bodů vzorová písemka na webu (http://am.vsb.cz/kovar) můžete používat jednu stranu A4 rukou psaných poznámek definice, věty a vztahy, ale nesmí obsahovat řešené příklady
Literatura M. Kubesa: Základy diskrétní matematiky, výukový text on-line. P. Kovář: Úvod do teorie grafů, výukový text on-line. P. Kovář: Algoritmizace diskrétních struktur on-line. P. Kovář: Cvičení z diskrétní matematiky, sbírka příkladů on-line. J. Matoušek, J. Nešetřil: Kapitoly z diskrétní matematiky, Karolinum Praha 2000. řešené příklady formou pencastů on-line. Můžete používat i jiná skripta/knihy, ale pozor: detaily se mohou lišit! U zkoušky nutno pracovat s pojmy, jak byly zavedeny na přednášce. Konzultační hodiny (předběžně) po 10:00 11:00 na EA536. web http://am.vsb.cz/kovar
Ochutnávka problémů Úlohy, které se naučíme během semestru řešit: lámání čokolády... dokonalý kompresní algoritmus... podávání rukou... systematické vygenerování všech šestic na tikety sportky... devět kamarádů si dává po třech dárcích... tři domy a tři studně... sedm mostů města Královce... Monty Hall... Další zajímavé problémy i příklady k procvičení: http://am.vsb.cz/kovar.
Přehled přednášky Kapitola 1. Úvod číselné obory množiny a množinové operace posloupnosti, sumy a produkty horní a dolní celá část reálného čísla
Množiny a množinové operace Množina je soubor různých (rozlišitelných) objektů. Obvykle značíme velkými písmeny A, B, X, M,... Prvky množin značíme malými písmeny a, b, x,... Prázdná množina nikoli { }! Množiny zadáváme výčtem prvků (taxativně): M = {a, b, c, d}, platí a M, d M, ale e M charakteristickou vlastností: N = {x : x N, x > 5}. Mohutnost množiny M udává počet prvků v množině M, značíme M. Podmnožina A je podmnožinou B, jestliže pro každé a A je také a B. Píšeme A B.
Množinové operace Sjednocení množin A B = {x : x A nebo x B} Průnik množin A B = {x : x A a současně x B} Rozdíl množin A \ B = {x : x A a současně x B} Symetrický rozdíl množin A B = (A \ B) (B \ A) Příklady A = {a, b, c}, B = {c, d} A B = {a, b, c, d}, A B = {c}, A \ B = {a, b}, A B = {a, b, d} Otázky Najdete takové dvě množiny A, B, že A \ B = B \ A? Najdete takové dvě různé množiny A, B, že A \ B = B \ A?
Rozšířené sjednocení a průnik množin n n Rozšířené sjednocení X i a průnik X i množin. Mějme množinu J, lze použít i X j a X j. j J j J Příklady A i = {1, 2,..., i} 5 A i = {1, 2, 3, 4, 5}, 5 A i = {1}, A i = {1} Otázky Jak vypadá j J A j pro J = {2, 5}? Jak vypadá j J A j pro J = N?
Kartézský součin a kartézská mocnina Kartézský součin množin A B = {(a, b) : a A, b B} je množina všech uspořádaných dvojic prvků vybraných po složkách z množin A a B v daném pořadí. A 1 A 2 A n = {(a 1, a 2,..., a n ) : a i A i, i = 1, 2,..., n} Pro A 1 = A 2 =... = A n dostaneme kartézskou mocninu A n. Definujeme A 0 = { }, A 1 = A. Příklad A = {a, b}, B = {,, } A B = {(a, ), (a, ), (a, ), (b, ), (b, ), (b, )} Typický příklad Kartézské souřadnice (x, y) v R 2 = R R a (x, y, z) v R 3 = R R R.
Potenční množina je množina obsahující všechny podmnožiny množiny A 2 A = {X : X A}. Množinový systém nad A nebo také systém množin nad A je nějaká množina T 2 A. Dáváme přednost termínu systém množin před množina množin. Příklady A = {a, b} 2 A = {, {a}, {b}, {a, b}} 2 A = 2 A Doplněk množiny na univerzu Univerzum obsahuje všechny možné prvky. Pro dané A obsahuje doplněk A právě ty prvky, které nepatří do A.
Otázky B A B =?, A =?, =?, 0 =?, =? Které množinové operace jsou komutativní? asociativní? Otázky A B =?, 2 A? = A 2, 2 A? < A 2, 2 A? A 2 Otázky Množina S obsahuje všechna sudá čísla. Jak vypadá S pro univerzum Z? Jak vypadá S pro univerzum R?
Číselné obory a celočíselný interval Přirozená a celá čísla přirozená čísla značíme N = {1, 2, 3, 4, 5,...} neobsahují číslo 0 přirozená čísla včetně nuly značíme N 0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...} celá čísla značíme Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,...} Interval celých čísel od a do b je množina {a, a + 1,..., b 1, b} značíme: [a, b] = {a, a + 1,..., b 1, b} srovnejte s intervalem reálných čísel (a, b) Příklady [3, 7] = {3, 4, 5, 6, 7} [ 2, 2] = { 2} [5, 0] = (prázdná množina)
Posloupnost je seřazením několika prvků. Posloupnost značíme (a i ) n = (a 1, a 2,..., a n ). v analýze definovány jako zobrazení p : N R umíme určit první, druhý, třetí,... prvek posloupnosti. indexy jsou přirozená čísla, obvykle od 1 prvky posloupnosti se mohou opakovat (na rozdíl od množin) posloupnosti mohou být konečné (a 1, a 2,..., a n ) i nekonečné (a 1, a 2,... ), posloupnost může být i prázdná (v DIM převážně konečné posloupnosti) Příklady (x, v, z, v, y) (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29) (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,...) Zadáváme: výčtem prvků, rekurentně nebo vztahem pro n-tý člen
Suma Suma je součet prvků posloupnosti, značíme a i = a 1 + a 2 + + a n 1 + a n a i = a i1 + a i2 + + a in, kde J = {i 1, i 2,..., i n }. i J Otázka Příklad i 2 =? i {1,3,5,7} i =?
Součin prvků posloupnosti, značíme n a i = a 1 a 2 a n 1 a n Příklady j=1 a i = a i1 a i2 a in, kde J = {i 1, i 2,..., i n } i J ( 5 5 ) ln(i) = ln i = ln (2 3 4 5) = ln 120 i=2 (i j) = i prázdný součet j=1 i=2 ( ) j = i j = 2 i = 0 i=3 j=1 prázdný produkt ( ) 1 2 n(n + 1) 2 2 i = 1 i=3
Příklady (i + j) = J = {2, 8, 12, 21}, i + j = n (n + 1) + nj 2 j = 2 + 8 + 12 + 21 = 43 j J Otázky 5 ln(i) =? 6 i =? n (n i) =? 100 i =? n i =? (n + 1 i) =?
Otázka Existuje taková posloupnost (a i ) n, že n a i < n ( a i)? Otázka Najdete takovou posloupnost (a i ) n, že n a i > 0 a n a i < 0? Otázka Existuje taková posloupnost kladných čísel (a i ) n, že n a i > n a i?
Celá část reálného čísla x (dolní) celá část reálného čísla x x horní celou část reálného čísla x Příklady 3.14 = 3 3.14 = 4 x = x x Z Otázka Udává výraz log n počet číslic n v desítkové soustavě? Pokud ne, umíte najít správnou formuli? Otázka =?, kde n N (a pro n N 0?) n n+1
Příští přednáška Základní kombinatorické výběry princip nezávislých výběrů kombinatorické pravidlo součtu kombinatorické pravidlo součinu metoda dvojího počítání