Moderní geometrie Rýsování a 3D modelování na počítači v klasické disciplíně RNDr., Ph.D. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta petra.surynkova@mff.cuni.cz www.surynkova.info
Přehled Motivace a praktické aplikace Studium geometrie Deskriptivní geometrie Klasické úlohy deskriptivní geometrie s využitím počítačových programů a aplikace geometrie v praxi promítací metody speciálně lineární perspektiva konstruktivní fotogrammetrie, fotografování geometrické osvětlení plochy stavební praxe, užití v architektuře konstrukce kuželoseček Geometrie v rovině a v prostoru konstrukční úlohy Praktická část programy GeoGebra, Rhinoceros
Motivace a praktické aplikace Geometrie celá řada geometrických disciplín diferenciální, analytická, počítačová geometrie, základ moderních aplikací stavební obory počítačové projektování navrhování architektonických a designových prvků výrobní průmysl
Motivace a praktické aplikace Geometrie přenos reálných interiérů a exteriérů do virtuálních světů - např. virtuální procházka městem nebo domem počítačové hry
Motivace a praktické aplikace Geometrie digitalizace skutečných objektů rekonstrukce povrchů 3D skenováním replikace tvarů skutečných předmětů pomocí 3D tisku počítačová grafika geometrické algoritmy základem elementární geometrické principy
Motivace a praktické aplikace Geometrie moderní aplikace společným základem geometrické principy a poznatky užité metody mnohdy vycházejí z elementární geometrie matematický obor vyžadující logické myšlení, prostorovou představivost studium většiny geometrických oborů velmi náročné Deskriptivní geometrie zobrazování reálných objektů nezastupitelná role v řadě odvětvích, ve kterých je správná vizualizace rozhodující v aplikacích, které jsme uvedli, hraje názorné zobrazení prostoru důležitou roli Geometrie v rovině a v prostoru nezbytná součást všech jmenovaných oblastí tedy i základ DG klasické rýsování neprávem považováno za přežitek, je ale nutné přizpůsobit se nárokům moderní doby
Studium geometrie Všeobecně velmi náročné malá úspěšnost studentů, nezájem se geometrii učit na ZŠ i SŠ někdy opomíjena pokud nezbývá ve výuce čas, bývá redukována nebo dokonce zcela vynechávána právě geometrie především v nižších ročnících by však geometrie měla být v matematice na prvním místě Prostorovou představivost se můžeme do jisté míry naučit, rozvíjet ji a zdokonalovat Nutné začít včas v raném dětském věku lze promeškat vhodnou dobu učení prostorového vidění klást důraz na výuku geometrie již na ZŠ podstatná a nenahraditelná později je obtížné mezery dohnat na SŠ náročné, na VŠ téměř nemožné
Deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie dříve ukázky rysů precizní zpracování, tuš, kvalitní výtvarná stránka Deskriptivní geometrie a rýsování dnes považováno za přežitek po nástupu počítačů zbytečné? má smysl vypracovávat rysy podobné těm starším? nutné přizpůsobit se reálné praxi
Deskriptivní geometrie Moderní počítačové programy CAD systémy - pokročilé grafické programy běžné ve výrobních procesech při konstruování, navrhování či modelování nejrůznějších objektů velmi účinný nástroj ALE POZOR! geometrické zákonitosti je nutné v každém případě znát, i když rýsujeme nebo modelujeme prostorové situace na počítači projekce skutečných reálných objektů a situací, jejich zakreslování, navrhování objektů nových - neobejde se bez znalostí prostorových vztahů musíme rozumět principům vzniku prostorových objektů
Deskriptivní geometrie Správné črtání, rýsování dnes neoprávněně považováno za zbytečné (v praxi přece nic rýsovat nebudeme) samozřejmě elektronická tvorba je dnes běžný standard ale představuje nenahraditelnou roli ve fázi navrhování žádný software nemůže nahradit tužku a papír v okamžiku, kdy má např. architekt nápad a potřebuje jej rychle vyjádřit, zaznamenat a rozvíjet Geometrie nás učí preciznosti, přesnosti, trpělivosti nezáleží na daném tématu nelze zcela opustit
Deskriptivní geometrie Klasická disciplína okruhy promítací metody Mongeovo a kosoúhlé promítání, pravoúhlá a kosoúhlá axonometrie, středové promítání (speciálně lineární perspektiva) křivky a plochy aplikace promítání reliéfy, konstruktivní fotogrammetrie v rámci všech témat poznatky z geometrie v rovině a v prostoru sice hovoříme o DG, ale některá témata a oblasti využitelné i při výuce geometrie na SŠ v rámci planimetrie a stereometrie navíc se nemusí jednat o konkrétní téma, spíše jde o způsob pojetí a využité prostředky
Klasické úlohy DG s využitím počítačových programů Rýsování na počítači a počítačové 3D modelování lze používat v rámci všech klasických geometrických témat geometrie v rovině a v prostoru, deskriptivní geometrie Program Rhinoceros (NURBS modeling for Windows) 3D modelovací komerční program (existují alternativy) GeoGebra software dynamické 2D (3D) geometrie a matematiky motivace studentů podpora prostorové představivosti inovace vyučování geometrie zlepšení výsledků žáků a studentů
Lineární perspektiva Speciální případ středového promítání určeno průmětnou (rovina nebo obecná plocha, na kterou promítáme) a středem promítání, který v průmětně neleží středový obraz bodu A v prostoru (různý od středu promítání ) = s průsečík paprsku (SA) s průmětnou (bod ) S A promítací přímka s A A
Lineární perspektiva Vhodně zvolené středové promítání vzdálenost středu promítání od průmětny nejméně 20 25 cm - distance minimální vzdálenost, ze které jsme schopni zřetelně pozorovat objekty pozorovaný objekt uvnitř zorného kužele rotační kuželová plocha - vrchol ve středu promítání, osa kolmá k průmětně, vrcholový úhel 20 až 45 objekty mimo zorný kužel velké zkreslení d O střed promítání - oko p A A
Lineární perspektiva další možné podmínky a pojmy zobrazované předměty stojí na základní rovině za průmětnou oko (střed promítání) nad základní rovinou výška 1,5 až 2 m hlavní bod, obzorová rovina, horizont, O d hlavní bod H p A h horizont obzorová rovina A výška oka p A1 z A 1 základnice
Lineární perspektiva Čtvercová síť (dlažba) v půdorysné rovině - tzv. pavimentum a její perspektivní obraz důležité pro malíře díky obrazu dlažby lze do perspektivního obrazu přesněji umisťovat další objekty
Lineární perspektiva Přechod do průmětny
Lineární perspektiva Nalezení správné konstrukce pavimenta se v historii vždy věnovala značná pozornost situace v průmětně pavimentum v průčelné poloze U H V h z
Lineární perspektiva Čtvercová síť (dlažba) v půdorysné rovině - tzv. pavimentum a její perspektivní obraz důležité pro malíře díky obrazu dlažby lze do perspektivního obrazu přesněji umisťovat další objekty
Lineární perspektiva Přechod do průmětny
Lineární perspektiva situace v průmětně pavimentum v neprůčelné poloze U H W V h z
Lineární perspektiva Perspektivní obraz 3D objektu O H h z
Lineární perspektiva Zrcadlení v lineární perspektivě situace v prostoru
Lineární perspektiva Zrcadlení v lineární perspektivě zobrazení ve zvolené lineární perspektivě - rys na počítači a 3D počítačový model
Lineární perspektiva Zrcadlení v lineární perspektivě situace v prostoru princip lineární perspektivy
Lineární perspektiva Zrcadlení v lineární perspektivě zobrazení ve zvolené lineární perspektivě - 3D počítačový model
Lineární perspektiva Zrcadlení v lineární perspektivě zobrazení ve zvolené lineární perspektivě - rys na počítači
275 110 Lineární perspektiva Zrcadlení v lineární perspektivě zadání pro studenty pomocí pravoúhlých průmětů 35
Lineární perspektiva Zrcadlení v lineární perspektivě situace v prostoru
Konstruktivní fotogrammetrie Rekonstrukce fotografického snímku konstruktivní fotogrammetrie vkreslení nového objektu do fotografie, vymodelování prostorové situace
Konstruktivní fotogrammetrie Rekonstrukce fotografického snímku konstruktivní fotogrammetrie
Konstruktivní fotogrammetrie Rekonstrukce fotografického snímku konstruktivní fotogrammetrie
Konstruktivní fotogrammetrie Jak z daného středového průmětu vymodelovat prostorovou situaci? používají se metody konstruktivní fotogrammetrie Co všechno musíme znát, aby byl středový průmět jednoznačný? Jaké těleso může mít tento průmět?
Konstruktivní fotogrammetrie příklad tělesa a lineární perspektivy O H h z
Konstruktivní fotogrammetrie Předpokládejme nyní, že jde o krychli v průčelné poloze stojící na základní rovině dokážeme tak najít horizont, střed promítání známe-li velikost hrany krychle, lze k perspektivními průmětu jednoznačně přiřadit prostorový model O H h z
Konstruktivní fotogrammetrie Dnes se fotogrammetrické metody mohou využívat k rekonstrukci fotografie pro vymodelovaní prostorové situace je nutné znát další informace které přímky jsou rovnoběžné, známe úhly, poměry délek,... takto nalezneme horizont a střed promítání nutné znát nějaký rozměr objektu, abychom získali přesný prostorový model objektu
Konstruktivní fotogrammetrie Rekonstrukce fotografického snímku situace v prostoru
Konstruktivní fotogrammetrie Lze rovněž využít k rekonstrukcím malířských děl a posoudit tak geometrické metody použité při zobrazování prostoru Pouze jedna stránka výtvarného díla způsoby zobrazování trojrozměrného prostoru na ploše obrazu toto hledisko není jediným měřítkem, podle kterého lze hodnotit velikost a kvalitu výtvarného díla (někdy dokonce nedůležité) perspektiva - nemusí být nutně použita, je pouze jednou ze složek výtvarného projevu každá historická epocha má své estetické normy, své vlastní způsoby uměleckého vyjadřování v minulosti ve většině kultur šlo o jiné priority než realistické zobrazování prostoru (nemluvě o soudobém výtvarném umění) Tři okruhy problémů, s nimiž se malíři potýkali zobrazení postavy zachycení vztahů mezi postavami znázornění prostoru, do něhož jsou postavy umístěny
Ambrogio Lorenzetti (1290 1348) Zvěstování kolem r.1344 čtvercový obraz, hlavní bod umístěn do průsečíku úhlopříček víra ve správnost souměrné kompozice symetrie je zdůrazněna stejnými výklenky a symetrií postav
Tommaso di Ser Giovanni di Mone Cassai (1401 1428) zvaný Masaccio, italský malíř považován za průkopníka renesanční malby Svatá Trojice kolem r. 1427, freska Santa Maria Novella, Florencie, Itálie dokonalá perspektivní konstrukce, lidé zprvu mysleli, že umělec udělal do zdi otvor zobrazení imaginární architektury, výklenku, valené klenby (typické pro Brunelleschiho) Bůh Otec podpírá ukřižovaného Ježíše, u jehož nohou se nacházejí Panna Maria a sv. Jan u paty kříže na sarkofágu Adamova kostra symbol lidstva vně obrazu donátoři mimo boží prostor, v prostoru pozemském
Jan van Eyck (1390 1441) z Nizozemí Podobizna manželů Arnolfiniových r. 1434, olej na dřevě National Gallery, Londýn údajně se jedná o zobrazení sňatku pes symbol věrnosti nad zrcadlem napsáno,,jan van Eyck byl při tom. lustr hoří jediná svíce symbolizující Kristovu přítomnost pozoruhodné - vypuklé zrcadlo, ve kterém se odráží strop, zahrada, podlaha a dvě další postavy malíř a zřejmě svědek
Leonardo da Vinci (1452 1519) prototyp tvůrčího renesančního člověka Poslední večeře 1495 1498, olej a tempera na sádrové desce velmi brzy poničené Santa Maria delle Grazie (refektář), Milán, Itálie
Geometrické osvětlení Lze chápat jako projekci v daném směru nebo ze středu
Geometrické osvětlení Lze chápat jako projekci v daném směru nebo ze středu
Geometrické osvětlení Lze měnit pohled na modelovaný objekt velká výhoda modelovacího softwaru
Geometrické osvětlení Ručně narýsovaný rys osvětlení kulové plochy v lineární perspektivě poměrně těžký geometrický problém
Geometrické osvětlení půdorys nárys S S
Geometrické osvětlení S Osvětlení situace v prostoru zadání lineární perspektivy průmět kulové plochy a stínů do perspektivní průmětny zobrazeny promítací kužele 3D modelování na počítači může pomoci nejen k řešení prostorové situace, ale také k pochopení principů zobrazování celé situace ve zvolené lineární perspektivě
Geometrické osvětlení Skupina těles pravoúhlá axonometrie podhled! úkol studentů narýsovat ručně osvětlení skupiny těles v daném směru z s W p p 2 x V s 1 U y
Geometrické osvětlení
Plochy stavební praxe Vznik rotační plochy
Plochy stavební praxe Vznik rotační plochy
Plochy stavební praxe Vznik šroubové plochy
Plochy stavební praxe Vznik šroubové plochy
Plochy stavební praxe Vznik přímého parabolického konoidu
Plochy stavební praxe Plocha jednodílného rotačního hyperboloidu
Plochy stavební praxe Frézierův cylindroid
Plochy stavební praxe Přímé kruhové konoidy
Plochy stavební praxe Hyperbolický paraboloid
Plochy stavební praxe Hyperbolický paraboloid
Plochy stavební praxe Cyklická šroubová plocha Přímková šroubová plocha
Plochy stavební praxe Translační plocha
Plochy stavební praxe Válcová plocha jako klenba
Plochy stavební praxe St. Mary s Cathedral San Francisco, USA Hyperbolický paraboloid
Plochy stavební praxe St. Mary s Cathedral - Tokyo, Japonsko Hyperbolický paraboloid
Aplikace geometrie v praxi Geometrie vždy vycházela z praktických potřeb k rozvíjení geometrických znalostí nejvíce přispívala stavitelská činnost platí i obráceně nejpevnějším základem, na kterém se mohla architektura vyvinout, byla znalost geometrických zákonitostí vyměřování pozemků, stavba obydlí, opevnění Využití geometrie v praxi je nejviditelnější a nejhmatatelnější v architektuře Ukázky architektonických děl geometrické plochy, které se využívají v architektuře nebo v technické praxi ukázky využití těchto ploch v architektuře v minulosti i dnes, některé architektonické zajímavosti geometrie staveb
Geometrie v architektuře Rotační plochy
Geometrie v architektuře Použití části kulové plochy a pendentivů k zaklenutí Bazilika sv. Petra Vatikán
Geometrie v architektuře Placková klenba Vatikánská muzea
Geometrie v architektuře Nika u Fontana di Trevi Řím, Itálie
Geometrie v architektuře tzv. koncha Model niky výklenek poloválcového tvaru zakončený čtvrtinou kulové plochy
Geometrie v architektuře Kulová plocha jako kupole Bazilika sv. Petra Vatikán
Geometrie v architektuře (www.en.wikipedia.org) Kulová plocha jako kupole - Bazilika sv. Petra Vatikán
Geometrie v architektuře Rotační jednodílný hyperboloid Planetárium (zakladatel James S. McDonnell ) St. Louis, USA (www.en.wikipedia.org) Roy Thomson Hall - Toronto, Kanada Katedrála (architekt Oscar Niemeyer) Brasília, Brazílie (http://www.trekearth.com)
Roy Thomson Hall - Toronto, Kanada
City Hall - Toronto, Kanada
Geometrie v architektuře Fuji Television Building in Odaiba (architekt Kenzo Tange) Tokyo, Japonsko
Geometrie v architektuře (http://cs.wikipedia.org) Televizní vysílač na Ještědu část věže ve tvaru rotačního jednodílného hyperboloidu - ČR (http://www.zinger-travel.com/jested.htm)
Geometrie v architektuře Přímkové rozvinutelné plochy
Geometrie v architektuře a ) b) c ) d ) Valená klenba u Negrelliho viaduktu Praha, ČR S S S S1
Geometrie v architektuře Křížové klenby
Geometrie v architektuře Bazilika sv. Petra - Vatikán Vatikánská muzea - Vatikán
Geometrie v architektuře Oblouky akvaduktů a viaduktů Akvadukt Avre - Verneuil-sur-Avre, Francie (http://www.trekearth.com) Akvadukt Pont du Gard - Francie (http://www.trekearth.com) Viadukt Ribble Head Hawes, Velká Británie (http://www.trekearth.com)
Geometrie v architektuře (http://familyramble.com) Válcové plochy na Palmovém pavilonu v Kew Gardens Londýn, Anglie (http://picasaweb.google.com)
Geometrie v architektuře Použití eliptické válcové plochy a částí anuloidů u stanice metra Praha, ČR
Geometrie v architektuře Válcové a kuželové skořepiny (http://baixaki.ig.com.br) Kostel v Belo Horizonte (architekt Oscar Niemeyer) - Brazílie (http://www.trekearth.com)
Geometrie v architektuře Válcová skořepina (www.avizora.com) Niterói (architekt Oscar Niemeyer) - Brazílie (http://picasaweb.google.com)
Geometrie v architektuře Přímkové zborcené plochy
Geometrie v architektuře Hyperbolický paraboloid Hyperbolický paraboloid chránící vchod do budovy (http://picasaweb.google.com) Kostel Sv. Athanasia Reading, Massachusetts, USA (http://tullyinternational.com)
Geometrie v architektuře Hyperbolický paraboloid (http://picasaweb.google.com) Tenká skořepina ve formě průniku hyperbolických paraboloidů Restaurace v oceánografickém parku Valencie, Španělsko
Geometrie v architektuře Konoidy Oxford Road Station - Manchester, Anglie (http://commons.wikipedia.org) Soudní budova - Boston, Massachusetts, USA (http://picasaweb.google.com)
Geometrie v architektuře Plocha šikmého průchodu na Negrelliho viaduktu Praha, ČR
Geometrie v architektuře Šroubové plochy
Geometrie v architektuře Přímá uzavřená přímková šroubová plocha Praha, ČR
Geometrie v architektuře Přímková šroubová plocha Muzeum Louvre - Paříž, Francie
Geometrie v architektuře Další zajímavé stavby (http://www.trekearth.com) Katedrála v Independence Missouri, USA (http://www.trekearth.com)
Geometrie v architektuře (http://www.trekearth.com) Muzeum umění ( architekt Oscar Nimeyer) - Rio de Janeiro, Brazílie (http://www.trekearth.com)
Geometrie v architektuře (www.en.wikipedia.org) Oceánografický park a muzeum (Město umění a vědy, architekt Santiago Calatrava) Valencie, Španělsko (www.en.wikipedia.org)
Geometrie v architektuře (http://www.trekearth.com) Biodome - Montreal, Kanada (www.en.wikipedia.org)
Geometrie v architektuře Walt Disney Concert Hall (architekt Frank Gehry) Los Angeles, California, USA
Konstrukce kuželoseček Příklad využití dynamického programu GeoGebra obraz kružnice ve středové kolineaci kuželosečka určená pěti prvky tři body a dvě tečny celkem čtyři různá řešení (zjišťuje se algebraicky), obtížná úloha, vychází osm různých středových kolineací, které převádějí zvolenou kružnici na kuželosečku danou těmito pěti prvky, vždy dvě dávají stejný výsledek součástí úlohy je též zjistit druh kuželosečky a zobrazit ji dva body a tři tečny analogie, opět čtyři různá řešení součástí úlohy je též zjistit druh kuželosečky a zobrazit ji dva body, dvě tečny, parabola asymptota, tři body, hyperbola K programu GeoGebra lze namodelovat všechna řešení navíc lze dynamicky měnit zadání a sledovat, jaké typy kuželoseček vycházejí
Konstrukce kuželoseček Obraz kružnice ve středové kolineaci
Konstrukce kuželoseček Kuželosečka určená pěti prvky
Geometrie v rovině Vepsaná a opsaná kružnice trojúhelníku
Geometrie v rovině Pythagorova a Euklidovy věty
Geometrie v rovině Tětivový a tečnový čtyřúhelník
Geometrie v rovině Středový, obvodový a úsekový úhel příslušný k oblouku kružnice
Shrnutí a závěr Existuje celá řada výukových metod a postupů jak zvýšit zájem o studium geometrie a úspěšnost v jejím absolvování Počítače mohou být jednou z možností, jak dát výuce geometrie nový rozměr geometrii znovu chápat jako nezbytnou součást technického vzdělání Velmi kladný ohlas u studentů vnímají geometrii jako zajímavou a moderní disciplínu počítačové modelování se zdá být vhodnou didaktickou pomůckou Důraz na propojení geometrie a praxe
Praktická část Ukázky modelování v programu Rhinoceros tvorba rysů 3D modelování práce studentů užití na SŠ technické zaměření, na VŠ hodiny DG Užití programu GeoGebra seznámení s GeoGebrou základní ovládání konstrukční úlohy užití na všech stupních vzdělávání