a i = a divu + u grad a. + u i

Transkript

1 To, co následuje, jsou více méně náhodné a zmatené poznámky a poznatky k hamonickým funkcím a použití Geenových funkcí k řešení difeenciálních ovnic. Již tadičně doufám, že tyto poznámky nebudou předkládány žádnému matematikovi, kteý by mě znal, potože bych si ještě chvíli ád užíval života. V textu se nepoužívají žádné matoucí ani zbytečné konvence. Jediná méně obvyklá věc je ta, že vektoy označuju ĄvabaĚem. Geenovy vzoce Jsou dva. Z toho pvní je převlečená Gaussova věta a duhý je převlečený ten pvní. Pišme Gaussovu větu po vektoové pole au, kde oba činitelé závisí na souřadnicích. Dostaneme ( je nějaký celkem libovolný omezený objem, je jeho hanice): div(au)dv = au ds. Nalevo je divegence součinu. Tu vypočteme velmi jednoduše (symboly sumy nepíšeme): div(au) = x i (au i ) = a u i x i + u i a i x i = a divu + u gad a. (Vidíte, šlo to dokonce i bez toho Levi-Civitova symbolu. S tím by bylo jen samé tápení.) Když tuhle identitu použijeme na levé staně Gaussovy věty, dostaneme a divu + u gad adv = au ds. To je docela obecné pavidlo, jakési pe pates po víc poměnných. Geenův vzoec dostaneme hned, pokud dáme u = gadϕ: a divgadϕdv + gadϕ gad adv = a gadϕ ds, a ϕdv = a gadϕ ds gadϕ gad adv. No a pvní Geenův vzoec je na světě. Nevím, co na něm všichni mají. Mně přijde pěkně ošklivý. Jelikož a i ϕ jsou nějaké libovolné skaláy, nikdo nic nepozná, když je v tom vzoci postě pohodíme. Tím dostaneme: ϕ adv = ϕ gad a ds gadϕ gad adv. Ted ty poslední dva výsledky od sebe odečteme. Člen úplně napavo je vůči takové záměně symetický, takže vypadne, a získáme i duhý Geenův vzoec: (a ϕ ϕ a)dv = (a gadϕ ϕ gad a) ds. Občas se vyskytne potřeba využít Geenův vzoec (je celkem jedno kteý) v degeneované podobě, kdy se dosadí a =. Když to dosadíme třeba do toho duhého, dostaneme ( ϕ ϕ )dv = (gadϕ ϕ gad) ds Hamonické funkce ϕdv = gadϕ ds Hamonické funkce jsou takové speciální funkce s mimořádným významem po řešení Poissonovy ovnice typu x = něco. A co to tedy taková hamonická funkce je? To je jednoduché. Je to každá funkce u, kteá vyhovuje ovnici u = (celý ten pojem se vztahuje jen na nějakou oblast; mimo tu oblast se může chovat, jak je jí libo). Doufám, že tím je onen mimořádný význam po řešení ovnic s laplaciánem dostatečně ozřejmen. Dodejme jenom ještě, že pokud uvažovaná oblast není omezená, pak vždy, když se vzdalujeme do nekonečna, musí být lim n 2 u < (n je dimense postou, je vzdálenost agumentu funkce od nějakého pevně stanoveného bodu).

2 Poblém je nyní pouze v tom, že nevíme, jak takové funkce vlastně hledat. Udělejme si tedy výlet do komplexní analysy, tam se nám pomoci dostane. Každé komplexní číslo je možné psát ve tvau a + bi, a tedy i každou funkci komplexní poměnné je možno psát ve tvau f (x + yi) = u(x, y) + iv(x, y). Funkce u a v ale nemohou být úplně náhodné; vážou je takzvané Cauchyho-Riemannovy podmínky: (abychom byli přesní, tyhle podmínky platí jen po jisté slušné funkce tzv. holomofní ale my se s žádnými neslušnými funkcemi v tomhle textu zaobíat nebudeme) u x = v y, u y = v x. V těchto podmínkách jsme, jak je nejspíš vidět, naazili na zlatý poklad. Vezměme nějakou z nich a deivujme ji podle nějaké poměnné (je to vážně jedno, dojdeme vždycky k témuž). Třeba tu pvní podle x: načež dosadíme duhou podmínku: 2 u x = v 2 x y = v y x, 2 u 2 x = u 2 y. 2 A je to. Když ovnici anulujeme, máme u =. A úplně stejně dostaneme i v =. Takže eálná a imaginání část každé slušné komplexní funkce jsou vlastně hamonické funkce! Jednoduché hamonické funkce Jednou z takových voleb, kteé je člověk puzen vyzkoušet co nejdřív, je celočíselná mocnina z n = (x + iy) n. Když těch mocnin pá uděláme, dostaneme z = (x + iy) =, z = (x + iy) = x + iy, z 2 = (x + iy) 2 = x 2 + i2xy y 2, z 3 = (x + iy) 3 = x 3 + i3x 2 y 3xy 2 iy 3, a tak dál. Z toho čteme naše nově objevené hamonické funkce (takto vygeneovaným se říká jednoduché):,, x, y, x 2 y 2,2xy, x 3 3xy 2,3x 2 y y 3, a tak by šlo pokačovat ještě dlouho. Aby se nám geneovaly pohodlněji, můžeme si na ně udělat i pěkné vzoce. Stačí použít binomickou větu: n n (a + b) n = a n i b i, i i= a když si uvědomíme, že se v součtu vždycky střídají eálné a imaginání koeficienty (a vždycky se střídá znamení je to poto, že když postupně umocňujeme i, tak dostaneme: i,, i,, a zase i,,...), můžeme dostat kásný vztah po tu eálnou půlku: a neméně kásný vztah i po tu imaginání půlku: i= n /2 i= ( ) i n 2i x n 2i y 2i n+ 2 n ( ) i x n 2i y 2i+. 2i + Nijak zvlášt to odvození neozvádím, potože, i když se mi to těžko přiznává, jsou ty vzoce úplně k ničemu. Koho to zajímá, jistě si to dosazení povede. Každopádně jsme tím udělali pvní kok k řešení Laplaceovy ovnice u =. Jediná nevýhoda je ta, že místo toho, abychom měli ovnici a našli k ní řešení, jsme našli nějaká řešení, ale nemáme k nim ovnici... Nedá ale učitě moc velkou páci uhodnout, že pokud máme řešit ovnici u = a k ní máme nějakou okajovou úlohu, kteá vynucuje, aby se na hanici naše řešení chovalo jako nějaký polynom konečného stupně, můžeme řešení hledat ve tvau nějaké lineání kombinace tady těch našich jednoduchých hamonických funkcí, a to jen do (zhuba) stejného stupně (jmenovitě do stupně o jedna vyššího) a co víc, máme celkem ozumnou šanci, že se tefíme. 2

3 Fundamentální hamonické funkce Tyhlety funkce jsou po změnu sféicky symetickými řešeními ovnice u =, tedy takovými, kteá závisí jen na vzdálenosti bodu od počátku. Budeme postupovat v obecné dimensi, a uděláme to o něco lépe než ve skiptech, kde nemají lepší způsob, než hustě popsat A4 tansfomací do obecných sféických souřadnic. My si nejdřív zavedeme řádné označení ( = x 2 + x x2 n ), a pak budeme postě hledat řešení ve tvau u = F ( ). Na to potřebujeme duhou deivaci podle všech souřadnic. Nejdřív si uděláme pomocnou deivaci, kteou použijeme ještě asi tak pětkát: = x 2 + x x2 n = x i x i 2 x 2 + x x2 n Tímto se ozbojivše, hledejme pvní deivaci (F = F / F má jen jeden agument): Jak snadné. Deivujme tedy znovu: 2 u x 2 i = x i F xi u = F = F x i x i x i. = F x2 i + xi = F x2 i 2 x i x i x i 2x i = x i. = F xi 2 + F x2 Tyto duhé deivace ted stačí sečíst přes všechna x i. Když si uvědomíme, že součet všech x 2 je (podle našeho označení) totéž co 2, a že i jednička v pavé závoce se nakumuluje n-kát (přičte se za každé x i jednou), dostaneme obyčejnou ovnici po jednu funkci jedné poměnné: F + n F =. To se ted bude chvíli řešit. Omezme se přitom na n aspoň 2 (po n = bychom nic z tohohle nemuseli přece dělat). Zavedeme paamet p = F, čímž ovnice přejde na d p d = n p. Udělá se obyčejná sepaace poměnných: d p p = (n ) d. Integace udělá logaitmy. Zabalíme do těch logaitmů všechno, co jde, a pak je zahodíme, takže dostaneme p = D. n Ale ještě není dobojováno; ještě se musíme zbavit toho paametu. Naštěstí je dostaneme jen další snadno sepaovatelnou ovnici df = na n. Pokud bude n = 2, máme df = D d a řešením je jakýsi logaitmus, jmenovitě: Zato pokud je n > 2, tak se zlomek zinteguje nomálně, na o jedna vyšší mocninu: F = D 2 n F = D ln + E. n 2 + E = D + E. n 2 2. D n d, což se integuje... hm... záleží Ted ještě zlikvidovat ty konstanty. Víme, že při nemá jít výaz k plus nekonečnu; k čemukoliv jinému jít může. Konstanta E s tím zřejmě nic neudělá, takže se jí zbavíme. U logaitmu pak dáme D = (v nekonečnu pak bude dávat mínus nekonečno, ale to nikomu nevadí, jen aby to nebylo plus nekonečno) a u těch ostatních funkcí třeba D =, to je celkem jedno. Takže fundamentální hamonické funkce jsou bud ln (x x ) 2 + (y y ), 2 nebo x x n. Kouzelné vlastnosti po zasmání Hamonické funkce mají hodně papodivných vlastností. Abychom si oddechli od nudné a obtížné matematiky, pá jich uvedu jako kuiositu. Věta o střední hodnotě Hledejme, u jakých funkcí platí, že jejich hodnota v každém bodě je ovna půměu hodnot na každé kužnici se středem v tom bodě. To je hodně divná vlastnost a nejspíš bychom čekali, že tomu bude vyhovovat jenom konstanta. Pojd me to ale vyšetřit aspoň v ovině požadujeme, aby v každém bodě [a, b] platilo u(a, b) = udl, 2π K 3

4 kde K je kuh se středem v bodě [a, b] a poloměem. Existuje i jiný způsob, jak fomulovat totéž: d udl =. d 2π K Lidsky řečeno, integál po kužnici se nesmí měnit, když budeme měnit její polomě. Když uděláme integál po kužnici s poloměem, dostaneme pávě hodnotu v daném bodě. A jakkoli kužnici oztahujeme, stejně musí integál po ní mít tu stejnou hodnotu. Toto tvzení můžeme získat z toho pvního postou deivací obou stan podle. Pojd me tedy počítat s tou duhou fomulací. Zkátíme konstanty a paametisujeme integál: d d S deivací vejdeme do integálu: 2π u(a + cosϕ, b + sinϕ) dϕ = d d 2π 2π u x cosϕ + u y sinϕdϕ =. u(a + cosϕ, b + sinϕ)dϕ =. Všimněme si nyní, že (cosϕ,sinϕ) je jednotkový vekto ve směu vnější nomály kužnice, (u x, u y ) je gad u a že v integálu stojí jejich skalání součin. Když obě stany vynásobíme (aby vzniklo dϕ) a paametisace se opět zbavíme, dostaneme gad u ds =. Ted použijeme tu degeneovanou vaiantu Geenova vzoce, kteou jsme si odvodili hned na začátku: ϕdv = gadϕ ds, K což po náš případ dá K udv =. Z toho tedy dostáváme, že i u =. Je-li tedy funkce hamonická na nějakém kuhu, jeho obvod tuto vlastnost má. Z toho je i vidět, že je-li funkce hamonická na nějakém, pak má tuto vlastnost po všechny body po ty kužnice, kteé se do vejdou jsou její podmnožinou. Jakmile máme toto tvzení, není jistě obtížné uvěřit tomu, že totéž platí i po integaci přes kuh kuh totiž poskládáme ze soustředných kužnic, na nichž tvzení platí. Stejně tak by mělo být intuitivně pochopitelné, že to platí po libovolnou dimensi když víme, že to platí po každou kužnici v ovině, tak si vymezeným bodem (to bude střed) v postou poženeme ovinu, na tu ovinu si nakeslíme kužnici (na kteé naše tvzení, jak už víme, platí), a pak tou ovinou budeme točit dokolečka, až kužnice opíše kulovou plochu. A tak můžeme platnost našeho tvzení ozšiřovat donekonečna. Diichletova enegie Minimalisujme integál /2 (gad u) 2 dv, jsou-li dány hodnoty u na hanici. Jak je vidět, ten integál učuje, jak moc je funkce kopcovitá. V každém bodě se přičte nějaké nezáponé číslo, na ovině nula, jinde číslo tím větší, v čím větším svahu bod je. Říká se tomu Diichletova enegie funkce. K tomuto poblému budeme přistupovat podle osvědčeného eceptu vaiačního počtu. Zvýšíme-li u o nějaký hodně malý příůstek ɛd, požadujeme, aby se výsledek neměnil. Dá se to fomulovat i pomocí tak řečené Féchetovy deivace budeme-li minimalisovaný výaz deivovat podle ɛ a pak položíme ɛ =, musí být výsledek nulový. S chutí do toho: /2 (gad(u + ɛd)) 2 dv = /2 (gad u) 2 + 2ɛgad d gad u + ɛ 2 (gad d) 2 dv. Nyní poved me to, co jsme si usmysleli: d /2 (gad u) 2 + 2ɛgad d gad u + ɛ 2 (gad d) 2 dv = gad d gad udv =. dɛ ɛ= 4

5 Podle pvního Geenova vzoce je to ovno d gad u ds d udv =. Jenže na hanici se s funkcí nijak hýbat nemůže tam je pevně daná. Kvůli tomu je v pvním integálu d pořád jenom nula a z tohoto důvodu ten integál vypadne. Jelikož pak duhý integál musí být nulový po všechna možná i nemožná d, není jiné cesty, než aby platilo u =. Takže ten náš integál minimalisují pávě hamonické funkce! Jen když najdeme nějakou takovou, kteá by odpovídala okajovým podmínkám. Ale ta Diichletova enegie vypadá, že snad může mít i jakousi spojitost s enegií jako fysikální veličinou. Všichni už z mateřské školky víme, že mýdlová bublina natažená na dát zaujme plochu o co nejmenším povchu. Budou s tím mít hamonické funkce něco společného? Na pvní pohled odpověd zní, že ne. Chceme totiž minimalisovat integál + (gad u)2 dv, (funkce u v tomhle případě udává výšku, ve kteé je bublina v každém bodě oviny), a to je přece něco úplně jiného. Ale kdyby se ta odmocnina apoximovala difeenciálem... + /2(gad u) 2 dv, tak se v té jedničce nainteguje nějaká konstanta (objem oblasti) tu můžeme při minimalisaci klidně vyhodit a ta Diichletova enegie tam nakonec zůstane. Takže alespoň v jakémsi hubém přiblížení hamonické funkce opavdu učují i tva mýdlové bubliny natažené na kusu dátu. Ale jenom zhuba. Pincip extémů Hamonické funkce mohou mít extémy jen na hanici oblasti, na kteé jsou hamonické. Opět je to takové zvláštní tvzení, ale uvažujme. Dokázali jsme pá faktů, ze kteých by mělo jít intuitivně vidět, že je tomu opavdu tak. Představme si zase dátěnou smyčku a natáhněme na ni mýdlovou bublinu. Jistě nečekáme, že bublina vytvoří sama od sebe někde uvnitř smyčky extém (tedy nějaký kopec nebo údolí ). Pokud tedy někde vůbec extém je, pak nutně na kaji bublina běží od kaje smyčky zase ke kaji a mezitím se snaží být co možná nejplacatější. Pokud tato představa někomu přijde příliš dětinská, tak můžeme uvažovat o integálu Diichletovy enegie. Už jsme se dotkli toho, že ten integál ukazuje, jak moc je funkce kopcovitá. Pokud hamonické funkce integál minimalisují po zadané hodnoty na kaji, učitě se zbůhdama uvnitř oblasti neudělá žádný extém, potože by se tím zbytečně navyšovala hodnota integálu. Není ani možné udělat někde kopec a snažit se ho pak zušit podobným údolím: gadient je v duhé mocnině, takže každý svah, at už nahou, nebo dolů, hodnotu integálu zvyšuje (a tím daná funkce i nabíá testné body ) takže místo toho, aby se ty dva útvay vyušily, bychom naopak dostali dvakát takovou penalisaci, než kdyby tam byl jen jeden. No a nakonec s tím nesouhlasí ani věta o střední hodnotě. Představme si, že je funkce zcela ovná (konstantní) a z ní se upostřed zdvihá kopec (extém). Taková funkce ale může být těžko hamonická, potože by po bod na kopci (v extému) muselo platit, že je tam výška půměem výšek na libovolné kužnici kolem. Když ale vezmeme kužnici někde na ovině a způměujeme tam výšku, učitě nedostaneme výšku na kopci. To se dá fomulovat i matematičtěji: má-li funkce v nějakém bodě maximum (minimum), pak to znamená, že alespoň v nějakém okolí toho bodu není hodnota funkce větší (nebo menší) než v tom extému. Je-li ovšem extém uvnitř oblasti, na níž funkce má být hamonická, pak existují jen dvě možnosti: funkce je bud konstantní, nebo není hamonická. Vezmeme někteé z těch okolí, ve kteém se nenajde větší (menší) hodnota, než je v onom extému, a položíme na extém kužnici tak, aby se celá vešla do toho okolí. Půmě po té kužnici ovšem musí být oven hodnotě v extému, takže není jiné cesty, než aby v celém tomto okolí byla funkce konstantní a ovná hodnotě v extému pokud by to tak nebylo, půměovaly by se nějaké hodnoty, kteé by byly menší (větší) než to maximum (minimum), a půmě těžko může být menší než nejmenší (či větší než největší) z půměovaných hodnot. Jediný způsob, jak z toho ven, je najít takové body, kteé by v každém svém sebemenším okolíčku měly nějaké body, na kteých funkce hamonická už není, nebot jak jsme odvodili, věta o střední hodnotě platí jen na takových kužnicích, kteé se celé vejdou do oblasti hamoničnosti funkce. V takových bodech by tedy mohly být hodnoty celkem jakékoli, a tedy by tam mohly být i extémy. Jenže takové body jsou pávě na hanici oblasti hamoničnosti funkce, potože hanice je podle definice množina všech takových bodů, po kteé je v libovolném jejich okolí alespoň jeden bod, kteý do množiny patří, a též alespoň jeden, kteý tam nepatří. Poto tedy mohou být extémy jen na hanici, nebo funkce musí být konstantní nebo funkce není hamonická. Závěem jen podotkněme, že poslední tři odstavce jsou ve skiptech považovány za zřejmě plynoucí z věty o střední hodnotě. Geenovy funkce Geenovy funkce představují docela mocnou metodu, kteou se dá řešení paciálních ovnic s okajovými podmínkami ozdělit na dva samostatné poblémy jeden, kteý souvisí pouze s oblastí, na kteé se má ovnice řešit, a duhý, kteý souvisí pouze s vlastním vzezřením 5

6 ovnice. Pojd me to tedy blíže pozkoumat. Jak to funguje Představme si, že máme na nějaké oblasti řešit ovnici přičemž máme i okajovou podmínku po hanici u = F, u = f. (Tedy Diichletovu úlohu.) Nyní se podívejme na duhý Geenův vzoec (je to jedna z pvních věcí, kteou jsme v tomhle PDFku odvodili). Abych ho připomněl, vypadá asi takto: (a ϕ ϕ a)dv = (a gadϕ ϕ gad a) ds. Aby bylo jasněji vidět, jak nám to pomůže, budu psát místo a aději velké G a místo ϕ aději u. Pak dostaneme (G u u G)dV = (G gad u u gad G) ds. Do toho už je možno tochu dosadit podle zadání naší ovnice: (F G u G)dV = (G gad u f gad G) ds. Ted se samozřejmě nabízí zcela opávněná otázka, k čemu je tahle míchanina vůbec dobá. Objevilo se nám tu navíc jakési G, kteé jsme si postě vymysleli navíc, a stejně se nám řešení nijak nezesnadnilo. Nejspokojenější bychom byli, kdybychom dostali hezký, jednoduchý vzoec, kteý by ideálně začínal u =... a kteý by nám ovnou vyklopil řešení. Takový vzoec ale můžeme dostat. Jde totiž o to, že poslední ovnice platí po úplně jakékoli G. Jestliže dovedeme vymyslet nějaké zvláště vhodné G, můžeme si významně pomoci. Tak to vymýšlení pojd me vyzkoušet. O řádek výš jsme řekli, že bychom si nejaději přáli přímo explicitní vzoec po u. Vymysleme tedy G tak, aby se někde v tom vztahu postě u objevilo! Samotné u je tam jenom v jednom členu, a to v u G. To celé je pod integálem. A způsob, jak přinutit integál, aby dal hodnotu funkce v jednom jediném bodě, známe použijeme delta-funkci. Uvažujme zatím jen v ovině a požadujme tedy, aby na oblasti platilo G = δ(x X, y Y ), kde X a Y označují poměnné, podle kteých se povádí ten dvojný integál vlevo. Jedno přání jsme tedy už použili, ale ještě jedno nám zbývá. Můžeme si totiž ještě říci, jak má G vypadat na hanici. Postým pohledem na pavou stanu ovnice nám dojde, že bude nejlepší, když aspoň jeden z těch dvou členů zneškodníme. To se nejsnáz udělá požadavkem G = na. Ve výsledku tedy dostáváme (F G uδ(x X, y Y ))dv = F GdV u(x, y) = f gad G ds, z čehož už snadno dostaneme řešení ve tvau u(x, y) = F GdV + f gad G ds. Ještě jedna věc stojí za poznámku, a to ta, že Geenova funkce je vlastně funkce, kteá bee bod a vydává další, zvláštní funkci po ten jeden jediný bod. Ve vzoci výše jsou tedy v každém integálu ještě jaksi schovány dva paamety, a to x a y, podle kteých se neinteguje, ale jichž je pak samotný integál funkcí. Doufám, že se touto vysvětlivkou povede předejít zmatkům. Abychom to tedy shnuli: řešíme ovnici u = F a naše, tedy vlastně Geenova funkce G má splňovat tyto požadavky: (na ), u = f (na hanici ) G = δ(x X, y Y ) G = (na hanici ). A co víc, je doufám jasně viditelné, že naše sliby o tom, jak Geenova funkce ozdělí řešení ovnice na dva samostatné poblémy, nebyly plané. G totiž vůbec nezávisí na F ani f ; jediné, co ji ovlivňuje, je skutečně tva oblasti, na níž se má ovnice řešit. (na ), 6

7 Jak je hledat Začněme s tím nejjednodušším, co vůbec jde. Hledejme, jaký tva by Geenova funkce měla, kdyby závisela jenom na vzdálenosti od [x, y]. (Ve skutečnosti nám to stačí všechno, co jsme odvodili, platí po každou funkci G, kteá splňuje naše podmínky, at je celkem jakákoli. Hledat cokoliv složitějšího by byla zbytečná páce navíc.) Dostaneme pak ovnici G = δ( ), kde je vzdálenost od našeho bodu x, y. Je-li >, pak se z tohoto poblému stane obyčejná ovnice G =, jejíž kulově symetické řešení už umíme najít. Stačí se podívat o něco zpátky k odstavci o fundamentálních hamonických funkcích, kde jsme odvodili, že tahle ovnice má obecně (ve dvou ozměech) řešení G = Aln + B. Ted se jen zajímejme o to, jak máme zvolit A a B, abychom vyhověli všem podmínkám. Nejspíš nebude vůbec ničemu vadit, když B zahodíme, takže to uděláme (když se tochu zamyslíme nad tím, co budeme dále dělat, bude to vidět) a aději obat me svou pozonost k A. Integujme G na nějakém kuhu kolem [x, y] a jeho polomě označme třeba ρ. Vzpomeňme si na naši degeneovanou vaiantu Geenových vzoců: GdV = gad G ds a uvědomme si, že gad G ds je vlastně směová deivace G podél S, tedy ve směu vnější nomály. Speciálně na kužnici ovšem jde jen o obyčejnou paciální deivaci poloměu, takže dostaneme (poté, co zjistíme, že G je obyčejná delta-funkce, kteá dá při integálu po jakékoli oblasti, kteá obsahuje bod, v níž jsou všechny její agumenty nulové, jedničku): = GdV = G dl = G =ρ =ρ Budeme-li deivovat Aln podle, vypadne z toho A/, takže ve výsledku máme a z toho 2πρ A ρ =, A = 2π. dl = 2πρ G Tím jsme dospěli k jedné takové Geenově funkci, kteá splňuje podmínku G = δ( ). Říká se jí fundamentální a má tedy tva: G = 2π ln = ln[(x X )2 + (y Y ) 2 ]. To ovšem samozřejmě není zdaleka jediná taková funkce. Můžeme k ní přičíst jakoukoli funkci h, kteá bude splňovat h = (laplacián je lineání). Aby byla splněna i duhá podmínka, musí též na hanici oblasti platit h = ln. No a všechno řešení ovnic se pak edukuje 2π na nalezení přiměřené funkce h po tu kteou oblast (a samozřejmě na výpočet těch ohavných integálů, kteé jsou v našem vzoci po řešení, ale nad takové pozemské bahno jsme už v tomto okamžiku povzneseni). Jak vypadá Geenova funkce po někteé oblasti Pojd me si vyzkoušet pá těchto Geenových funkcí spočítat. Celá ovina Celá ovina zřejmě nemá žádnou hanici, takže můžeme podmínky po to, co se má na hanici dít, vesele ignoovat. Volba h v takovém případě není žádná věda zvolme postě nulu a Geenovu funkci dostaneme ve tvau G = ln. 2π Stejně tak vyletí i integál přes hanici v našem supevzoci a dostaneme postě u(x, y) = F ln[(x X ) 2 + (y Y ) 2 ]dv. 7. =ρ

8 Poloovina Chceme-li řešit ovnici jen na poloovině y >, bude celá věc o kapku složitější, potože už si nemůžeme dovolit hanici přehlížet. Nějak je tedy třeba zařídit, aby G byla na hanici nulová. Už jsme odvodili, že na hanici musí platit h = ln. 2π Nejjednodušší tedy bude hledat h pávě ve tvau 2π ln, kde bude vždy vzdálenost mezi bodem [X, Y ], kteý do h vstupuje jako paamet, a nějakým bodem [x, y ]. Z toho dostaneme jen jednoduchou podmínku, že každý bod na hanici musí mít od [x, y ] stejnou vzdálenost jako od [x, y]. To bude patně osově symetický obaz [x, y], tedy [x, y]. Naše h je tedy ovno 2π ln = ln[(x X )2 + (y + Y ) 2 ]. Někdo ted může namítat, že je to sice hezké, ale že h je ted δ(x X, y + Y ). Našim podmínkám to ale naštěstí neodpouje, potože [x, y] se v oblasti, na kteé má podmínka h = platit, vůbec nenachází, a poto zmíněná delta-funkce bude na celé této oblasti nulová. Našli jsme tedy Geenovu funkci ve tvau G = 2π ln = ln (x X )2 + (y Y ) 2 (x X ) 2 + (y + Y ). 2 Ještě ale není konec; abychom našli řešení, musíme v našem vzoci, kteý po něj máme, zjistit, čemu se ovná ten integál po hanici. Opět použijeme té vědomosti, že gad G ds je vlastně směová deivace G podél S, tedy ve směu vnější nomály, a z toho uvidíme, že místo gad G ds můžeme psát G. Y = Y Povedeme-li tu deivaci, dostaneme (píšu to jen velmi zychleně): G Y Y = = ln[(x X ) 2 + (y Y ) 2 ] ln[(x X ) 2 + (y + Y ) 2 ] Y = = 2y (x X ) 2 + y 2y 2 (x X ) 2 + y 2 = y π (x X ) 2 + y 2. Naše řešení má pak tva (integál po hanici je vlastně integál po celé x-ové ose, tedy podle X od mínus nekonečna do nekonečna): u(x, y) = F ln (x X )2 + (y Y ) 2 (x X ) 2 + (y + Y ) ds + y + f (X ) 2 π (x X ) 2 + y dx. 2 Podobně by se povedlo i řešení po jeden kvadant (třeba x >, y > ), ale to je jen hoa otavného počítání, takže to tu nebudu nijak ozvádět. Jednotkový kuh I zde budeme postupovat zcela obdobně. Ke každému bodu [x, y] najdeme takový přidužený bod [x, y ], aby na celé hanici byl pomě / konstantní. (Nemusí to být nutně jedna kdyby to bylo řekněme c, pak se h bude muset změnit jen o konstantu, na 2π ln c = 2π ln ln c.) Ted jen takový bod najít. 2π K tomu hledání bude nejlepší, když se přesuneme do poláních souřadnic. Kužnice v nich má souřadnice =, ψ < 2π, zatímco oba body mají souřadnice po řadě,ϕ a,ϕ. Požadujeme pak, aby se podíl vzdáleností těchto dvou bodů od libovolného bodu ψ kužnice neměnil v závislosti na ψ, tj. d R dψ R =. (R a R jsme ted označili vzdálenosti těch dvou bodů od kužnice.) Hned vidíme, že máme hledat dvě souřadnice bodu, ale máme k tomu jen jednu podmínku. Po pohodlí si tedy napooučíme, že ϕ = ϕ (tedy oba body jsou na jedné přímce se středem kužnice). Ještě si musíme uvědomit, že po počítání vzdáleností mezi dvěma body v poláních souřadnicích (označme je obecně, ϕ a R, Φ) je potřeba použít kosinovou větu, takže po vzdálenost dostaneme ρ 2 = R R cos(φ ϕ). Vzdálenost bodu,ϕ od bodu ψ kužnice je tedy 2 2 cos(ϕ ψ)+, a podobně po bod,ϕ je to 2 2 cos(ϕ ψ)+. Označme ϕ ψ = δ a uvědomme si, že pokud se nemění podíl R/R, pak se jistě nemění ani logaitmus dvojmoci tohoto podílu. (Logaitmus je monotónní a obě dvojmoci jsou jistě kladné.) Poto můžeme stejně tak dobře chtít, aby platilo: d dψ [ln R2 ln R 2 Ṙ2 ] = 2 R R 2 =, 2 R 2 8

9 (tečkou jsme označili deivaci podle ψ), což nám nakonec dává Když tam dosadíme, dostaneme R 2 Ṙ 2 R 2 R 2 =. ( 2 2 cosδ + ) 2 sinδ ( 2 2 cosδ + ) 2 sinδ =. Zkátíme dvojky a siny. Když oznásobíme závoky, navzájem se požeou i 2 cosδ, takže zůstane jen = ( ) ( ) =. To už dává podmínku =. Ještě se podíváme, kolik tedy bude ten podíl R/R : R 2 R 2 = 2 2 cosδ cosδ + = cosδ cosδ + 2 = cosδ cosδ + = 2. Ted už stačí jenom zjistit, jak je na tom vzdálenost mezi nečákovaným, popřípadě čákovaným bodem a libovolným jiným bodem v kuhu. Tím dostaneme konečně naši funkci h, a tedy i G. Mějme obecný bod a,α, přičemž a <, a vypočtěme obě vzdálenosti. K nečákovanému bodu je to 2 + a 2 2a cos(α ϕ), zatímco k čákovanému 2 + a 2 2a cos(α ϕ) = + 2 a2 2 a cos(α ϕ) = a 2 2 2a cos(α ϕ) +. Geenova funkce je pak ovna G = / ln 2π R/R = 2π ln 2 + a 2 2a cos(α ϕ) a2 2 2a cos(α ϕ) + = ln 2 2a cos(α ϕ) + a 2 a 2 2 2a cos(α ϕ) +. Ještě potřebujeme dostat deivaci ve směu vnější nomály na hanici, abychom měli co nacpat do toho integálu, kteý ve vzoci po řešení běží po hanici. Deivace ve směu vnější nomály je postě deivace podle a, přičemž se pak dosadí a =. (Jde pořád o ten stejný postup.) Opět jen schematicky (učitě to pochopí ychle ten, kdo si to zkusí sám): G a a= = = ln( 2 2a cos(α ϕ) + a 2 ) ln(a 2 2 2a cos(α ϕ) + ) a a= 2 2 cos(α ϕ) 2 2 cos(α ϕ) cos(α ϕ) 2 2 cos(α ϕ) + = 2 2π 2 2 cos(α ϕ) +. Ted už můžeme přímo poskládat řešení. Připavte se tedy přijmout ovoce naší tvdé páce... u(,ϕ) = 2π 2 2a cos(α ϕ) + a 2 F ln adadα + a 2 2 2a cos(α ϕ) + 2π 2π f ( 2 )dα 2 2 cos(α ϕ) +. (Čtenáři, kteý by výsledek aději v katézských souřadnicích, se příslušný převod přenechává jako cvičení.) Je-li F = (řešíme-li Laplaceovu ovnici), pak ten dvojný integál vlevo vypadne a zůstane cosi, čemu se říká Poissonův vzoec po jednotkový kuh. Několik slov ke konfomním zobazením Předchozí výsledek je velice důležitý, a to nikoli snad poto, že by se tak obzvláště hojně vyskytovala potřeba řešit ovnice na jednotkovém kuhu, ale poto, že máme mocné postředky, jak libovolnou jednoduše souvislou ohaničenou oblast zobazit na jednotkový kuh. Přitom se využívá poznatků z komplexní analysy, kde zobazení představuje obyčejnou funkci komplexní poměnné. Dokonce je to možné udělat tak, aby zobazení bylo takzvaně konfomní (tedy holomofní slušná bijekce), aby se hanice oblasti zobazila na obvod kuhu a aby se libovolný jeden bod uvnitř té oblasti, kteý si můžeme klidně vybat, zobazil na střed kužnice. Pokud tedy máme řešit ovnici na nějakém náhodném bambooidu, stačí bambooid zobazit, vyřešit ovnici na kuhu a zase řešení zobazit zpátky na bambooid. Jelikož tomu ale ani za mák neozumím, tak to tu nemůžu nijak ozebíat. Bete to tedy spíš jako pozvánku ke studiu komplexní analysy než jako nějakou hodnotnou infomaci. 9