Kategorie mladší. Řešení 3. kola VI. ročník. Úloha 3A

Transkript

1 Kategoie mladší Úloha A Sůví table Když Anička přeloží papí na polovinu, jeho tloušťku t tím zdvojnásobí. Nová tloušťka t je pak ovna t. Po duhém přeložení bude nová tloušťka t ovna t = t, po třetím přeložení bude t = t = t, a tak dále, po každém přeložení vynásobíme tloušťku papíu dvěma. Páni matematikové, aby nemuseli psát tak dlouhé řady násobení, používají po označení vícenásobného násobení speciální značku, =, = atd. Tloušťka papíu tedy bude vždy odpovídat, x, kde x je počet přeložení papíu. Anička potřebuje, aby tloušťka byla nejlépe úplně přesně cm, k tomu se jí nejlépe hodí, =, cm., mm jí sice bude přebývat, ale to už je v mezích toleance. Papí by tedy měla přehnout devětkát. Potože Anička bude papí překládat tak, že vždy přepůlí jeho delší stanu, bude pětkát půlit delší stanu papíu A a čtyřikát půlit stanu katší. Podobně jako u násobení dvěma, i teď využijeme mocniny dvou, teď jimi ale délky papíu budeme dělit. Delší stana papíu A má délku mm, po vydělení = vyjde mm. Katší stanu budeme dělit =, vyjde nám délka mm. Papí by tedy měl mít po devátém přeložení ozměy mm. Nicméně velká část z této plochy by musela být použita na přehyby, jak jste mnozí spávě připomněli, a skutečná plocha papíu by tedy musela být mnohem menší. Řešení. kola To by byla teoie, ale jak vypadá paxe? Většině z vás se podařilo papí ohnout šestkát, někteým šikovnějším dokonce sedmkát i osmkát. Devět přeložení se ale po Aničku zdá být nedostižnou metou, navíc je otázkou, jestli by pak takto přeložený papí plnil svoji funkci. Asi bychom jí spíše dopoučili nůžky, případně pilku na ostatní tři nohy stolu. Překládání papíu, ač se to nezdá, je dosti diskutovaným tématem a lidé soutěží v tom, kolikát to dokáží. Pozatímním ekodem se zdá být přeložení, jak je možno se dočíst v následujícím článku: kde se mimo jiné píše: Kdybychom teoeticky mohli pokačovat dále, po sedmnáctém přeložení by papí dosahoval výšky dvojposchoďového domu. Po výstupu na pětadvacetkát přeložený papí byste se mohli dívat na Mattehon seshoa. Úloha A Vii Kuba chce získat dva tóny, jejichž výšky jsou v poměu :. Ví, že výška tónu závisí na fekvenci, kteou může spočítat jako f = : ( l) = : l ( m/s je ychlost zvuku ve vzduchu). To znamená, že ( : l ) a ( : l ) musí být také v poměu :. Z toho už Kuba snadno vidí, že l a l musí být v poměu přesně opačném, tedy :. (Kuba si to může i spočítat pomocí úpavy ovnic. Po vydělení ví, že ( : l ) : ( : l ) = :, tedy ( : l ) l = : a konečně (l : l ) = :.) Zbývá tedy jen ozpůlit píšťalku v daném poměu, delší část bude měřit cm a ta katší (hající kvatu) bude mít cm. l Úloha A l Rekombinace Zajímavost po hudebníky: osmicentimetová píšťalka bude znít fekvencí, Hz, což zhuba odpovídá tónu C, šesticentimetová píšťalka bude mít fekvenci, Hz, což je (poněkud zvýšený) tón F. Bude to tedy opavdu hodně vysoká kvata, jak se na komáy sluší. Po jednoduchost budeme předpokládat, že v každém úseku mezi použky A a B (tento úsek si v dalším textu označíme písmenem a) a mezi použky B a C (tuto část ostlin označíme b) se mohou bavivky zlomit pouze jedenkát. Nestane se tedy, že by si vyměnily jen nějaký kousek těla mezi sousedními baevnými použky. Dále nebudeme uvažovat případy, kdy se ostliny zlomí v oblasti pod použkem C nebo nad použkem A. Z Magotina pohledu se nic nezmění, neboť pořadí i bava použků vzniklých ostlin zůstanou stejné. Nyní se zamyslíme nad tím, ve kteých z úseků a a b muselo dojít k ekombinaci, aby vznikly jednotlivé vaianty ostlin, kteé Magot pozoovala: Rostliny s kombinací použků ABC a A*B*C* jsou stejné jako ostliny odičovské a k ekombinaci mezi použky u nich nedošlo. U ostlin A*BC a AB*C* změnil svou polohu jen použek A, a k ekombinaci tedy došlo v části ostliny a. U ostlin A*B*C a ABC* došlo k ekombinaci v úseku b. A konečně u ostlin AB*C a A*BC* muselo dojít k ekombinaci jak v úseku a, tak v úseku b. Vzdálenost jednotlivých použků v magotkách už nyní zjistíme jednoduše sečtením četností ostlin, u nichž došlo v daném úseku k ekombinaci. Vzdálenost a použků A a B se tak ovná a vzdálenost použků B a C se ovná a = A*BC + AB*C* + AB*C + A*BC* =, +, +, +, =, magotky b = A*B*C + ABC* + AB*C + A*BC* =, +, +, +, =, magotky (Četnosti ostlin v pocentech jsme převedli na desetinná čísla, jak nám adí nápověda.)

2 Řešení. kola S učováním vzdálenosti použků A a C (označíme si ji c) je to složitější. Pokud bychom pouze sečetli vzdálenosti a a b, dojdeme k výsledku, magotky. V tomto případě jsme ale četnosti ostlin AB*C a A*BC* započítali dvakát. Abychom dostali spávný výsledek, musíme je odečíst: c = a + b AB*C A*BC* =, +,,, =, magotky. Vzdálenost c můžeme také spočítat odečtením četností ostlin, u nichž k ekombinaci nedošlo, od : c = ABC A*B*C* =,, =, magotky nebo obdobně jako v předchozích případech sečtením četností jednotlivých vaiant ostlin, u nichž k ekombinaci došlo: c = A*BC + AB*C* + A*B*C + ABC* + AB*C + A*BC* =, +, +, +, +, +, =, magotky. Pokud bychom uvažovali, že k ekombinaci může dojít na těle bavivky opavdu kdekoli, situace by byla mnohem složitější. Pokud by se totiž bavivky zlomily na dvou místech, kteá by obě ležela mezi použky A a B a vyměnily si tak jen malý kousek těla, kteý žádný baevný použek neobsahuje, na výsledných ostlinách bychom nic nepoznali. Úloha A Pacman Bytosti Matixu možná nepřiovnávají mluvení a mlčení k dahým kovům, avšak v pvních pá kocích by se měl Pacman zachovat podle přísloví choditi stříbo, státi zlato. Když totiž nepodlehne panice a zůstane chvíli stát, všichni agenti se sejdou na jednom políčku a namísto čtyřech nepřátel se bude muset vypořádat jen s jedním. (Jelikož se agenti pohybují podle stejného pogamu a pouze v závislosti na poloze Pacmana, nedokáží se už oddělit.) Po pvním koku (obázek a) se všichni čtyři agenti posunou vodoovně směem k Pacmanovi. Vodoovně poto, že z ohu je to k Pacmanovi stejně daleko vodoovně i svisle, což znamená, že odpověď na otázku Je svislá vzdálenost mezi mnou a Pacmanem menší než vodoovná vzdálenost? zní ne, a agenti se pohybují podle pavé větve pogamu. Rovněž ve duhém (obázek b) i ve třetím koku poputují agenti vodoovně směem k Pacmanovi, takže po šesti sekundách se čevený a ůžový dostanou na stejné políčko v honí řadě a modý a oanžový na stejné políčko ve spodní řadě (obázek c). I nyní je po agenty vodoovná vzdálenost směem k Pacmanovi menší než svislá, avšak vodoovně směem k Pacmanovi jít nemohou, potože dopava i doleva by se od něj naopak vzdalovali. Poto se vydají svisle a Pacman musí ychle přemýšlet, kdy začne utíkat. Překvapivě nejvýhodnější je počkat, až se agenti dostanou do vzdálenosti jediného políčka (obázek d). Pacman se poté vydá dopava, agenti za ním (obázek e) a v dalším koku se agenti spojí (obázek f). Pacman sice teď nemůže doufat, že by agenty zablokoval na jednom z políček mezi bažinami, ale záoveň mu stačí džet se před nimi a nemusí se obávat, že by si na něj někde počkali. Nejjednodušší (avšak nikoli nejychlejší) způsob jak vysbíat pampelišky po obvodu louky, je dvakát ji oběhnout (např. poti směu hodinových učiček), v pvním okuhu se zaměřit na ohy a ve duhém na zbylé pampelišky dále od okajů (obázek g). (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) Obázek

3 Řešení. kola K vysbíání pampelišek na postanství upostřed využijeme faktu, že když to mají agenti k Pacmanovi vodoovně i svisle stejně daleko, pohybují se vodoovně. Pacman vstoupí na postanství nejbližším vchodem a nejpve vysbíá pampelišky v jeho honí části (obázek h). Agenti mu budou stále v patách, ale potože se aději pohybují vodoovně, zůstanou v řádku upostřed louky. Pacman se tedy může otočit (obázek i) a poté postanství opustit honím východem (obázek j). Poté oběhne bažiny vlevo nahoře, vátí se na postanství upostřed a vysbíá dolní řadu pampelišek (obázek k). Pak udělá kok doleva (obázek l), sebee poslední pampelišku (obázek m) a může se adovat, potože vysbíal všechny pampelišky a celou anabázi ve zdaví přežil, čímž splnil zadání. Velmi pěkně si s touto úlohou poadil Tomáš Veselý z Gymnázia Jaoslava Heyovského, kteý řešení ovnou napogamoval. Výsledek si můžete pohlédnout a pacmana zahát na adese Pacman se ovládá šipkami a mezeníkem, případně můžete v menu napavo spustit přednastavené řešení. Úloha A Žabka obkládá Nejjednodušší by samozřejmě bylo, kdyby Atatüka mohla doplnit ona sluníčka dalšími dlaždicemi, se kteými by vytvořily čtveec (obázek a). Pomocí nich by potom obdélníkovou stěnu vydláždila havě. Jedna velká čtvecová dlaždice s vyříznutým otvoem ve tvau sluníčka ale nesplňuje její estetické požadavky, potože má celých stan ( kolem sluníčka a na okajích). I po jejím ozdělení na polovinu zůstává han příliš velký počet, po dalším ozpůlení (z původní velké dlaždice tedy nyní máme čtyři menší) už ale může být Atatüka spokojená, neboť výsledná dlaždice má stan pouze šest (viz obázek c). Existují samozřejmě i jiná řešení, a záleží tak čistě na Atatüčině vybaném vkusu, jak si svou koupelnu ozdobí. (a) (b) (c) Obázek

4 Kategoie staší Úloha B Viii Řešení. kola Známe vzoec po výpočet fekvence a víme, že chceme-li kvatu, musíme mít fekvence tónů v poměu :. Původní fekvenci (se zakytou díkou) si označme jako f, vyšší fekvenci po kvatu jako f. Když vše dáme dohomady, zjistíme, že f f =. Nyní si můžeme fekvence ozepsat podle vzoce a dostaneme c:( l ) c:( l) =. Zlomek teď můžeme zjednodušit a vyjde nám :l :l = l nebo také l =. To znamená, že délky jsou přesně v obáceném poměu, čím katší píšťala, tím vyšší tón. Potože známe délku píšťaly l = cm, ychle dopočítáme vzdálenost pvní díky, l = : =, cm. Po ostatní intevaly už to bude téměř stejné. Díka po sekundu bude ve vzdálenosti l = : = cm. Tecii získá pomocí l = : =, cm. A nakonec po kvintu vyvtá díku ve vzdálenosti l = : = cm. Úloha B Vesmíná navigace Kdybychom věděli, kteý elativní jas patří jaké hvězdě, mohli bychom Pavlovi poadit elativně jednoduše vyřešením soustavy ovnic J = J = J = J = J = kde J J jsou elativní jasy a jsou vzdálenosti lodi od příslušných hvězd. Bohužel však nevíme, zda se J ovná,;,;,;, či, a stejně tak zatím nemůžeme nic říct o J J. Vyřešit tuto úlohu hubou silou by bylo velmi obtížné, potože existuje způsobů, jak přiřadit elativní jasy k jednotlivým hvězdám. Poto začneme od hvězdy, jejíž jas ve vzdálenosti jednoho světelného oku je největší ze všech (). Okamžitě můžeme vyloučit, že elativní jas této hvězdy naměřený lodními senzoy je oven J =,. Oion by totiž musel být vzdálený =, =,, což znamená, že by se nevešel do mapy. Podobně vyloučíme možnost, že senzoy naměřily J =,. Loď by musela být vzdálena =, =, a musela by se nacházet někde na žluté kužnici na obázku. To ovšem znamená, že by byla příliš daleko od hvězdy na souřadnicích [,]. Kdyby této hvězdě lodní senzoy naměřily elativní jas,, nacházela by se loď někde ve vzdálenosti, =, od této hvězdy na čevené kužnici. Obě kužnice se však nepotnou (a nepotnuly by se, ani kdybychom čevené hvězdě přiřadili elativní jas,;, či,), takže není možné, aby J =,., Obázek : Relativní jas žluté hvězdy oven,, Vaianta J =, je možná jen v případě, že senzoy naměří hvězdě na souřadnicích [,] elativní jas,:,, Obázek : Relativní jas žluté hvězdy oven, Pokud jsme J zvolili spávně, musí se Oion nacházet v jednom z půsečíků žluté a čevené kužnice. Zda tomu tak je, ověříme pomocí

5 Řešení. kola další hvězdy: Po všechny zbývající naměřené elativní jasy vypočítáme, jak daleko by se od ní loď musela nacházet, a výsledné kužnice naýsujeme. Zvolíme např. hvězdu na souřadnicích [,] (vyznačena zeleně):,,,,, Obázek : Relativní jas žluté hvězdy oven, Z obázku se zdá, že po elativní jas, se příslušná zelená kužnice potíná s čevenou a žlutou v jednom bodě. Navíc to vypadá, že tento bod leží na souřadnicích [,]. Potože ýsování může být nepřesné, ověříme naši domněnku výpočtem: Čevená: = = =, = ( ), + ( ) = Žlutá: = = =, = ( ), + ( ) = Zelená: = = =, = ( ), + ( ) = To vypadá nadějně, stále však platí, že jsme mohli mít jen štěstí a zbylé hvězdy nám pokazí adost. Jestliže se Oion opavdu nachází na souřadnicích [,], jeho vzdálenost od hvězdy na souřadnicích [,] je ovna ( ) + ( ) = =, a lodní senzoy by měly naměřit elativní jas J = =,. Hvězda na souřadnicích [,] je od Oionu ( ) + ( ) = daleko a její elativní jas je J = =,. Radost nám tedy už nic nepokazí, každé hvězdě jsme dokázali přiřadit elativní jas a vesmíná loď Oion se musí nacházet na souřadnicích [,]. Obázek : Poloha lodi Úloha B Cifený součin Aby byl cifený součin lichý, nesmí být žádná z číslic sudá. Je tedy potřeba zkoumat, kteá z čísel mají všechny cify liché. (Nezapomínej, že jako sudé číslo je bána i. Každé číslo, kteé obsahuje číslici, má tedy sudý cifený součin.) Začněme čísly s jedinou cifou, tedy od do, kde je lichých čísel pět (,,, a ). Pokud k nim přidám navíc číslici na místě desítek, opět budu vybíat číslice z intevalu až a opět tedy budu moci použít pět z nich. Přibude tak dalších možností. (K přiřadím postupně,,, a ; ke také atd.) Když dojdu ke stovkám, získám opět stejnou situaci ke každé z předem získaných vaiant budu moci přiřadit kteoukoli z pěti lichých číslic, celkem tedy máme možností po tojcifená čísla. S každým řádem navíc to pak bude stejné dalších možností ozšíření po každé číslo s doposud nejvyšším řádem. Poto můžeme celkový počet čísel s lichým cifeným součinem zapsat jako součet počtu takových čísel jednotlivých řádů do : , tedy jako součet mocnin. Na závě už stačí výaz pouze spočítat. Čísel s lichým cifeným součinem je v milionu.

6 Úloha B Víla Zvonilka Ve chvíli, kdy Zvonilka doletí k duze (bod R ), aášek je od ní vzdálený = metů (bod R ). Záoveň jsou aášek i Zvonilka metů od středu kužnice (bod S), na kteé leží duha. To je přece ovnostanný tojúhelník, kteý má všechny úhly velké stupňů. Když Zvonilka v bodě R nasedne aáškovi na amena, bude na duze, takže opět metů od středu. Spojíme-li místo, odkud víla Zvonilka vyletěla (R ), střed duhy (S) a místo, kde dostihla aáška (R ), dostaneme ovnoamenný tojúhelník. Úhly SR R a SR R budou mít tedy stejnou velikost. Úhel SR R je úhel, pod kteým Zvonilka vyletěla za aáškem a má, jak víme, velikost stupňů. Potože součet úhlů v tojúhelníku je stupňů, na úhel R SR zbývá stupňů. Z této znalosti můžeme učit úhel R SR jako - = stupňů. R R H S R Řešení. kola Vidíme tedy, že tojúhelníky R SR a R SR jsou (podle věty sus) shodné a shodné jsou poto i vzdálenosti bodů R R a R R. Vzdálenost, kteou aášek po duze uběhl, než Zvonilka doazila na její začátek, se ovná vzdálenosti, kteou uběhl, než ho Zvonilka vyazivši od začátku duhy dostihla. Potože se oba pohybují ovnoměně, víme, že totéž platí i po Zvonilku: vzdálenost, kteou uazila k začátku duhy od chvíle, kdy ji aášek spatřil, je stejná, jako vzdálenost, kteou uletěla, než jej na duze dostihla. Chceme-li tedy spočítat, jak daleko aáškové vidí, stačí zjistit, jak daleko jsou od sebe body R a R. Na obázku je tato vzdálenost označena tečkovaně. Body R, R, R a S dohomady tvoří kosočtveec o staně metů, jehož delší úhlopříčka je dáha Zvonilky od začátku duhy k aáškovi (R R ). Potože víme, že úhlopříčky se v kosočtveci půlí a jsou na sebe kolmé, stačí pomocí Pythagoovy věty z tojúhelníka R SH spočítat vzdálenost bodů R a H = =, metů a vynásobit ji dvěma. Raášek tedy viděl Zvonilku ve vzdálenosti zhuba metů. Poznámka: Kdyby si Zvonilka situaci náležitě ozmyslela, mohla by ve chvíli, kdy ji aášek uvidí, vyazit přímo k místu na duze, kde na něj může naskočit. Zvonilka ale nemá tak bystý zak jako aášci, poto si na tak přesné míření netoufá. Úloha B Poznávací zájezd Aby mohl Mustafa přesně učit polohu muzea, potřebuje, aby mu smě ukázali alespoň dva domoodci. Tyto dva směy (dvě přímky) navíc nesmí být ovnoběžné. Muzeum pak bude ležet na jejich půsečíku. Vzhledem k tomu, že se Mustafa chce ptát nejvýše na osmi místech, musí to zařídit tak, aby měl po sedmé otázce pozkoumáno celé město. V podstatě si může svými otázkami ozdělit město do kuhů, v nichž se otázkami dozví, jestli zde muzeum je, či není. Tyto kuhy budou mít polomě km (tedy vzdálenost, kteou místní znají) a středem bude samozřejmě dotyčný, kteého se Mustafa ozhodne zeptat. Znamená to tedy, že Mustafa musí pokýt sedmi kuhy o poloměu km celé město beze zbytku. Takových řešení je nekonečně mnoho, jedno z nich je na obázku a. Mustafův duhý dotaz nejvzdálenější možná poloha muzea pvní vesničan (a) (b) Obázek Jakmile Mustafa naazí na vesničana, kteý mu ukáže smě k muzeu, ví, že muzeum leží na úsečce, kteá je km dlouhá a vede daným směem. Pokud by muzeum leželo hned za ohem, ví o něm i všichni vesničani v okuhu km od pvního (modý kuh vpavo na obázku b). Naopak kdyby muzeum bylo až na konci této úsečky, ví o něm vesničané v km okolí konce úsečky (modý kuh vlevo). Mustafa se tedy může zeptat kteéhokoli vesničana v půniku těchto oblastí, například popojde, km směem k muzeu a, km kolmo vpavo na tuto vzdálenost.