Příklady ke zkoušce ze statistické fyziky

Transkript

1 Příklady ke zkoušce ze statistické fyziky Tomáš Záležák. Uvažujte dvoučásticovou soustavu se třemi kvantovými stavy s energiemi E {, ε a ε}. Teplotu T soustavy udržuje termostat. a) Zapište výraz pro stavovou sumu Z, řídí-li se částice klasickým Maxwellovým- Boltzmannovým rozdělením a jsou-li rozlišitelné. Jsou-li částice rozlišitelné, je počet možných stavů počtem variací s opakováním. třídy protože máme částice) ze prvků máme hladiny), tj. 9. r číslo stavu) E ε ε ε ε ε ε n n n E r r n rε r Stavová suma je zavedena vztahem Z : r e Er/T ) Energie jednotlivých stavů označuje E r, pro níž platí: E r : i n ir ε i ) Pro tento případ je tedy E r n r ε +n r ε +n r ε. Všechny stavy a jejich energie jsou shrnuty v přehledné tabulce výše. Potom pro stavovou sumu dostaneme: Z e ɛ/t + e ɛ/t + e 6ɛ/T + e ɛ/t + e ɛ/t + e 4ɛ/T ) ) b) Nyní nechť jsou částice řízeny Boseho-Einstenovou statistikou. V tomto případě již jde o kvantové částice, a ty jsou navzájem nerozlišitelné. Počet stavů je roven kombinaci s opakováním. třídy ze prvků, tj. ) + 6. Stavová suma bude podobná jako v předchozím případě, jen stavy se stejnou energií tj. a 4, a 7, 6 a 8 v předešlém případu) nebude možno rozlišit. Proto Z e ɛ/t + e ɛ/t + e 6ɛ/T + e ɛ/t + e ɛ/t + e 4ɛ/T 4) c) Tentokrát předpokládejme, že platí Fermiho-Diracova statistika. Opět půjde o nerozlišitelné kvantové částice. Na rozdíl od předešlého případu navíc platí Pauliho vylučovací princip, který nedovoluje více částicím setrvat v témž stavu. To vyloučí stavy, 5 a 9 z prvního případu a zůstane jen Z e ɛ/t + e ɛ/t + e 4ɛ/T 5) Zde je teplota T uváděna v jednotkách energie, nikoli v kelvinech, Boltzmannovu konstantu lze proto zvolit bezrozměrnou a rovnu jedné, tj. k. Pak je i podíl E r /T v exponentu správný a bezrozměrný. Tato konvence bude dále použita všude.

2 . Mějme jednorozměrný harmonický oscilátor s energiemi E n n + ) ω, kde ω je charakteristická frekvence oscilátoru a n N je celé kvantové číslo. Oscilátor je termostatem udržován při teplotě T. Stavová suma je dána v takovém případě takto: Z r e Er/T 6) Zajímá-li nás pravděpodobnost výskytu stavu i > s energií E i, lze využít základního předpokladu, že všechny mikrostavy v izolované soustavě, jíž zde tvoří harmonický oscilátor a termostat, jsou stejně pravděpodobné. První z nich oscilátor) má energii E, entropii S a hustotu stavů Γ, druhý termostat) E, S a Γ. Platí E + E E konst., S + S S konst., ΓE)ΓE ) Γ konst. 7) Entropie S je logaritmus hustoty stavů, SE) ln ΓE). Pro stav i a hustotu stavů termostatu platí: Γ E E r ) e S E E r) e S E ) S E E r e S E ) e Er/T Ke Er/T P r 8) Veličina P r určuje, kolik stavů celé izolované soustavy připadá na dílčí soustavu zde oscilátor) a má význam pravděpodobnosti nalezení takového stavu. Pravděpodobnost je vhodné normovat takto P r Ce Er/T C /Z 9) r r Při sečtení všech pravděpodobností se objevila stavová suma, pravděpodobnost nalezení jednoho stavu je tedy dána vzorcem P r e Er/T i e E i/t eer/t Z ) a) Jaký je poměr pravděpodobnosti nalezení oscilátoru v prvním excitovaném stavu ku pravděpodobnosti nalezení v základním stavu? Použijeme odvozený vztah pro pravděpodobnost: P e E/T /Z P e E /T /Z ee E )/T e ω/t ) b) Jaká je střední hodnota energie oscilátoru jako funkce teploty T? Střední hodnota je dána obvyklým vztahem E r P re r. E r P r E r E re Er/T Z r T Z d dt Zde je vhodné zmínit zavedení volné energie F : Potom dostaneme E T d dt e Er/T T dz Z dt T d dt ln Z r ) Z e F/T ln Z F/T ) F ) F T df T dt F + T S E) 4)

3 Podařilo se tedy odvodit výraz, který má rozměr energie. Zbývá tak jen vyjádřit volnou energii F ze stavové sumy. Z e Er/T r r e r+ ) ω/t e ω Pak dostaneme pro volnou energii: e r ω/t r F T ln Z T lne ω Pro střední hodnotu energie dostaneme E F T df dt ω e ω e ω + e ω e ω ω e e ω T e ω e ω 5) e ω ) 6) ω cotgh ω 7) Jako určitou kontrolu správnosti lze použít fakt, že při nulové teplotě by měla být energie oscilátoru rovna energii základní. Prověřme: lim x e /x + e /x lim e /x e /x y Skutečně platí E T J ω lim ω cotgh T J 8) ) e y + e y e y + e y lim e y e y y e y lim y e y + e y 9) E T J ω. Pro dvourozměrný ideální kvantový nerelativistický plyn najděte tepelnou kapacitu pro pevně danou plochu. Nejprve vyjádřeme stavovou sumu kvantového plynu obdobně jako ve vztahu ). ) Z : e Ω/T r e Er µnr)/t ) Energie jednotlivých stavů je určena vztahem ). Ve vztahu ) je navíc chemický potenciál µ, počet částic ve stavu r určuje N r N i n ir. N {,} N pro bosony e ε µ)/t e Ω/T e n iε i µ)/t i N i n i ) ) + e ε µ)/t pro fermiony i Horní mez součtu v ) je pro bosony a pro fermiony. Po další úpravě vyjde konečný vztah: Ω ±T ln e ) ε i µ)/t ) Horní znaménka přísluší bosonům, spodní fermionům. i Pro další výpočet lze předpokládat, že energiových hladin je velmi mnoho a jsou od sebe poměrně málo vzdáleny. Přibližně lze tak součet nahradit integrálem. d kρk) Je-li F T ln ft ), pak F T df dt i F T ln ft ) T d dt ln ft ) T dft )/dt ft ).

4 Energii nerelativistických částic určuje vztah: E p m k m, k kx, k y ) π L n x, n y ), n x, n y N. 4) Vlnový vektor k je prvkem reciprokého prostoru a na jeden stav připadá objem π/l) π /V, při čemž V zde poněkud neobvykle označuje plochu to aby se nepletl s entropií S). Hustota stavů ρk) potom získáme jako převrácenou hodnotu tohoto objemu: Dostaneme tak integrál Ω ±T d k V [ π ln e k π/ ρk) V π 5) m µ /T ] polární souřadnice jeden kvadrant {}}{ π/ ±T dϕ dk k V [ ] π ln e k /T m µ m me π V ±T de E π ln [ e ] E µ)/t ±T V m de ln [ e ] E µ)/t E XT π de dx T ±T V m π T dx ln [ e X e ] µ/t { fx), [fx)] ±T V m [ {}} { X ln ± e X e µ/t) ] π ±T V m π B,F ) µ/t ) k me/ dk de m/e } dx X ±e X e µ/t e X e µ/t { }}{ dx X e X µ/t T V m π B,F ) µ/t ) 6) Veličina Ω se jmenuje Landauův potenciál. Pokud se vrátíme zpět k rovnici ), můžeme ukázat, jak z něj získáme hledanou tepelnou kapacitu. Ω T ln r e Er µnr)/t T ln Z 7) Potom Ω T Ω T T Z Z T Ω E r µn r T T r e Er µnr)/t T Ω E µn i e E i µn i )/T T Ω E µn) 8) T N Ω r T r T e Er µnr)/t i e E i µn i N N 9) )/T Pomocí těchto rovnic lze vyjádřit energii: E T T µ ) Ω ) Veličina L je hrana krychle nepropustně omezující částici, pro níž je řešena Schrödingerova rovnice dávající vlnové funkce. Jde o tzv. Born-Karmanovy okrajové podmínky, které dávají řešení, jež poté skládáme podle Blochova teorému. Podíl π/l určuje rozměr Brillouinovy zóny.

5 Nyní připomene. termodynamický zákon ve vhodném tvaru pro tento připad: Z něj plyne několik užitečných rovností: E T ds P dv + µdn, E δq + δw ) E T T S T + µ N T E T S + µ N Následuje několik poněkud umělých úprav: E E T E T µ E + T E T + µ E T T µ ) E + T S N N + µ T T µ T + S ) T T µ ) [ ] [ T S) N) E + T S + µ T N T S µn + T T µ ) E + T T T T µ Srovnáním s rovnicí ) získáme Diferencováním dostaneme: ) ) ] T N) T S) + µ T T S + µn) + µ T S + µn) ) E T S µn) 4) Ω E T S µn 5) dω de dt S) dµn) T ds P dv + µdn T ds SdT µdn Ndµ SdT P dv Ndµ 6) Z toho plyne Ω T S Ω V P Ω N 7) Tepelnou kapacitu při konstantním objemu najdeme z. termodynamického zákona ) úvahou. Soustava si vyměňuje teplo s okolím δq), objem soustavy se nemění V konst.), nekoná se tedy práce δw ). Je-li soustava uzavřena, nemění se ani počet částic unitř N konst.). Potom platí: c V δq δt E V,N T T S V,N T V, N T Ω T V, N 8) Stačí tedy zderivovat Landauův potenciál 6) dvakrát podle teploty a upravovat funkce B,F ) n µ/t ). Nejprve tyto zvláštní funkce derivujme: B,F ) n y) d dy B,F ) ny) d dy + n x n e x y x n e x y x n d dy e x y x n d [ ] e x y x n + 9) e x y xn e x y nb,f ) n y) 4)

6 Nejprve vypočtěme entropii: S Ω T V m π [ B,F ) µ/t ) µb,f ) µ/t )] 4) Nakonec určeme tepelnou kapacitu při konstantním objemu: c V T S T V m V,N π [ B,F ) µ/t ) µb, F ) µ/t )] 4) a) Případ vysokých teplot pro fermionový i bosonový plyn. Pro T a N V je nutno vypočítat rozvoj v y : B,F ) n y) x n e x y x n e y x e y x x n e y x ±) i e y x ) i ±) i e iy x n e ix i x t/i dt/i ±) i e iy dt t n i i n+ e t i eiy Γn + ) ±) i n+ 4) i Pro B,F ) y) hledáme součet řady: ln x). Důkaz obráceným přímým výpočtem: ln x) d ln x) Pro B,F ) y) máme ±) i i xi ±) i i xi i i x ±) i x i i ±) i, součtem této řady je polylogaritmus. i i xi Výše uvedené funkce by stačilo dosadit do 4), výsledek by však nebyl názorný. Lze však rozvoj omezit a funkce B, F ) n invertovat. Spočítejme napřed ještě počet částic z Landauova potenciálu: i Dále platí N Ω T T V m π B, F ) µ/t ) 44) B,F ) y) x N V ) π e mt Γ) y ± ey + ey 45) Zde x zastupuje funkce B,F ). Zvolme přiblížení do. řádu e y x + fx) a dosaďme do 45): x + fx) ± x + fx + f Máme tak výraz pro e y e µ/t : e µ/t x x µ ) x T ln x x f fx) ± x) ± x xf fx) x 46) ln [ x x )] ln x+ln x ) ln x x 47)

7 Nakonec zbývá ještě dosadit za e y do B,F ) : ] B,F ) y) Γ) [e y ± ey x x 4 ± x x 4 ) x x 4 48) Nakonec vše dosadíme do vztahu 4) pro tepelnou kapacitu: c V V m [ ) ) ] x x ln x x x N± N π 4 V π N ln mt b) Případ nízkých teplot pro fermionový plyn. Platí T a N, je zde třeba udělat rozvoj pro lim F V ny): y F n y) y y y y x n e x y + x y z z + y)n e z + + z + y)n e z e z + e + z z + y)n e z + + y z + y)n e z + z + y)n e z + y N V y z) n y z)n e z + y + [ ] z)n y z) n y z) n+ + e z + n + y n+ n + + yn yn+ n+ +nyn Vyjádřeme ještě zvlášť hodnotu funkce v nule: y ) π mt 49) + z y )n z y )n e z + z e z + + yn+ n+ +nyn F ) 5) F n ) z n e z + z n j z n e z + e z ) j e jz ) j z n e jz j j Γn + ) ) 5) j n+ j Využijeme Riemannovy zeta-funkce: Dále provedeme úpravu n n s n ζs) ) n n s n n n s 5) n) ζs) 5) s s Pak dostaneme: F n ) Γn + )ζn + ) 54) n

8 4. Příklad 4 Pak F ) Γ)ζ) π /. Ze vztahu 5) je pak přímo vidět, že: F y) y 55) F y) y + F ) y + π 6 To lze nakonec dosazdit to vztahu pro entropii 4): S V m [ ) ] y π + π T y V mt 6 π 6 56) 57) Výsledek pro entropii není zbytečný, takto můžeme ověřit, že splňuje. termodynamický zákon, tj. lim T ST ). Tepelnou kapacitu snadno vypočítáme: c V T S T T V mπ 58) V,N 6 5. Je dána soustava N slabě na sebe působících částic s teplotou T vysokou tak, že lze uplatnit klasickou statistickou mechaniku. Částice mají hmotnost m a vykonávají jednorozměrné kmity kolem rovnovážné polohy. Za úkol je najít tepelnou kapacitu soustavy pro případ vratné síly: a) F Cx, b) F Cx. K řešení použijme Einsteinův model, v němž částice kmitají nezávisle na sobě. Pro stavovou sumu platí vztah: Z e F/T r e Er/T N i n i e niεi/t 59) Energie je dána součtem energie kinetické a potenciální, potenciální energii zase určuje vykonaná práce po dané dráze. x { x E p m + U p a) m + d xf d xc x Cx / x b) d xc x Cx 6) / V dalším kroku je třeba nahradit integrací přes fázový prostor. Pro snazší výpočet uveďmě nejprve postup při řešení dvou integrálů: e αx x t/α dt/ αt) dt α t e t Γ ) π α 6) α e αx x t/α dt t α dt t e t Γ ) α Γ 4) 6) α Vyřešme nejprve případ pro vratnou sílu F Cx, tj. případ a): [ N ] p «/T N [ Z dp π e m + C x ] dp e p mt e C x π i Potom platí pro volnou energii: T F T ln Z T ln 4 i α ) N [ m T N ln T + ln C 4 )] m C T 4 6) 64) ) N m C

9 Entropii dostaneme takto: S F T N [ ln T + ln 4 )] m + N 65) C Tepelnou kapacitu při konstantním objemu je: c v T S T N 66) V Teď spočítejme obdobně totéž pro případ b), sílu F Cx : Z N i [ π dp e p mt e C T x ] [ mt π Γ 4 ) ] N 67) C Potom platí pro volnou energii: 5 F T ln Z T N ln T + ln 6 [ m π Γ 4 ) ] N C 68) Entropii dostaneme takto: S F T N [ ] 5 ln T + ln ) N 69) Tepelná kapacita při konstantním objemu je: c V T S T 5 V 6 N 7) 6. Určete tepelnou kapacitu grafitu s použitím velmi jednoduchého modelu s anizotropní krystalovou strukturou. Každý atom uhlíku může kmitat kolem rovnovážné polohy ve třech rozměrech. Vratné síly působící v krystalové rovině jsou velmi velké a vlastní frekvence w těchto kmitů jsou tak vysoké, že odpovídají energiím vysoko nad K. Naopak ve směru kolmém jsou frekvence w nízké a hluboko pod K. Na základě tohoto určete c V při teplotě K. K řešení lze použít Einsteinův model podobně jako v předchozí úloze, jen tentokrát jde o trojrozměrný případ. Zvolme souřadnice tak, že krystalové roviny, v nichž působí silné vratné síly, jsou rovnoběžné s rovinou xy. Pro energii jednorozměrného oscilátoru platí vztah: E n n + ) ω 7) Stavová suma je pro jednu částici potom dána vzorcem 5) Z e En/T n e ω e ω sinh ω 7) Pro celou soustavu, která je trojrozměrná, dostaneme výsledek součinem tří těchto výsledků s frekvencemi ω, ω, ω a umocněním na N. Z [ sinh ω sinh ω sinh ω ] N 7)

10 Pro volnou energii potom dostaneme: F T ln Z T N ln sinh ω + ln sinh ω ) Entropie je určena takto: S F T N ln sinh ω + ln sinh ω ) [ + T N cotgh ω ) ω + cotgh ω ) ] ω 74) 75) Tepelná kapacita je určena takto: c V T S T N N sinh ω ω sinh ω ω ) + 4T ) + N sinh ω ω sinh ω ω ) 4T ) 76) Ze zadání máme ω k B K a ω k B K. Potom pro T k B K: ω, Můžeme použít tyto limity k dalším úpravám: ω lim x lim x x sinh x x sinh x d/ lim x cosh x 77) lim t /t sinh /t d/dt /t lim t cosh /t)/t lim x cosh x 78) Limita 78) zruší první člen v 76), limita 77) je rovna jedné a vztah 76) pro tepelnou kapacitu přejde v jednoduchý tvar c V N 79) 7. Elektromagnetické záření teploty T i vyplňuje tepelně izolovanou dutinu s objemem V. Jakou bude mít teplotu T f po kvazistatickém zvětšení objemu na 8V? Kvazistatický děj se skládá z pomalých změn, při nichž je soustava stále v rovnováze. Nemění se hustota stavů, tedy ani entropie S konst.). Soustava je navíc tepelně izolovaná. K výpočtu bude třeba nalézt vztah pro entropii, o které víme, že je konstantní. K odvození je potřeba nalézt Landaův potenciál takovým způsobem, jako to ukazuje vzorec 6), ovšem s touto disperzní relací pro ultrarelativistické částice: E pc kc, k kx, k y, k z ) π L n x, n y, n z ), n x, n y, n z N 8) Hustota stavů je zde ρk) V π, 8) na rozdíl od 5) jde o trojrozměrný případ.

11 Stačí tedy obměnit integrál 6), tentokrát jen velmi stručně 4 : Ω ±T d k V π ln e ) kc µ)/t sférické souřadnice jeden oktant π/ π/ π/ {}}{ ±T dϕ dθ sin θ dkk V π ln e kc µ)/t )) ±T π V dee π c) ln e ) E µ)/t E XT de dxt i.p.p. T 4 V π c) Pro entropii potom platí: S Ω T 4πV π c) k E/ c dk de/ c i.p.p. dx X / 4 4πV T ex µ/t π c) B,F ) µ/t ) 8) ) 4 T B µ/t ) µt B µ/t ) konst. 8) Jednou z podmínek pro rovnovážný stav je minimální hodnota volné energie. F T, V, N) ES, V, N) T S df T, V, N) de dt S) SdT P dv + µdn 84) Potom jistě musí platit µ F N 85) T,V Potom se velmi zjednoduší vztah 8) do podoby Z toho plyne: V T Sπ c) 4 4πB ) K konst. 86) V T i 8V T f T f T i / 87) Po skončení děje bude mít fotonový plyn eletromagnetické záření) v dutině poloviční teplotu. 4 Landauův potenciál pro fermiony nás v tomto případě sice nezajímá, jeho zahrnutí ve vztahu však ničemu nepřekáží a může se hodit někdy jindy.