1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice"

Transkript

1 Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme společný název řd, číslo i =,,, m nzýváme řádkový index, číslo j =,,, n je sloupcový index, prvek ij s řádkovým indexem i sloupcovým indexem j je umístěn v i-tém řádku j-tém sloupci, prvky,,, nn nzýváme digonální prvky mtice, tyto prvky tvoří hlvní digonálu mtice, prvky m, m-,, m-,, tvoří vedlejší digonálu mtice Mtice libovolného typu, jejíž všechny prvky jsou, se nzývá nulová mtice znčí se O, která vznikne z dné mtice výměnou řádků z sloupce se nzývá mtice trnsponovná k mtici znčí se T, je zřejmé, že pltí ( T ) T =, v níž pltí m = n, se nzývá čtvercová mtice řádu n Čtvercová mtice, která má nenulové prvky pouze pod hlvní digonálou nebo pouze nd hlvní digonálou se nzývá trojúhelníková mtice, která má nenulové prvky pouze n hlvní digonále, se nzývá digonální mtice, jejíž všechny prvky n hlvní digonále se rovnjí zbývjící prvky jsou nulové, se nzývá jednotková mtice znčí se E, npříkld E = je jednotková mtice řádu, která má pouze jeden řádek nebo pouze jeden sloupec se nzývá ritmetický vektor, buď řádkový u = (u, u, u,, u n ) nebo sloupcový v = v v v n = ( v, v,, ) v n T Jrmil Doležlová

2 Lineární lgebr Operce s mticemi Rovnost mtic = B Dvě mtice B jsou si rovny, jestliže jsou téhož typu vzájemně si odpovídjící prvky jsou si rovny: ij = b ij pro i, j Součet mtic + B téhož typu je mtice C stejného typu, pro jejíž prvky pltí: C = (c ij ) = ( ij + b ij ) pro i, j Součin mtice reálného čísl k je mtice D téhož typu jko, pro jejíž prvky pltí: D = (d ij ) = (k ij ) pro i, j Součin mtic B Součinem mtice typu m/n mtice B typu n/p (počet sloupců mtice musí být roven počtu řádků mtice B) v tomto pořdí je mtice C typu m/p, pro niž pltí: C = (c ij ) = ( i b j + i b j + + in b nj ) Prvek c ij vznikne vynásobením prvků i-tého řádku mtice odpovídjícími prvky j-tého sloupce mtice B (je to sklární součin i-tého řádku mtice j-tého sloupce mtice B) Součin mtic obecně není komuttivní: B B Příkld : Jsou dány mtice = B = Vypočítejte mtice +B, -B, B-,, B, +B Řešení: +B = + + =, -B =, B- 7 9 =, = ( ) =, 9 B =, +B = 8 5 Příkld : V utoslónech B se doprodávjí stré modely (SM) součsně zvádějí nové modely (NM) utomobilu Přehled tržeb (v tisících Kč po řádcích pro utoslóny, B) z prosinec je dán mticí P, přehled z leden mticí L SM NM SM NM 8 P = Vypočítejte: B 7 L = 9 8 B ) Jké byly celkové tržby z jednotlivé modely v obou utoslónech? b) O kolik vzrostl tržb v lednu? c) Provize z prodeje činí 5% Kolik činí provize pro jednotlivé prodejny podle modelů ut v lednu? Řešení: ) SM NM b) SM NM c) SM NM 9 8 P+L = 8 B 5 L-P= B 7,5L = 5 5 B Jrmil Doležlová

3 Lineární lgebr Příkld : Jsou dány mtice C = D = Vypočítejte mtice K = CD M = DC Řešení: Mtice C je typu / mtice D typu /, můžeme je tedy násobit v tomto pořdí, přičemž výsledná mtice K = C / D / bude typu / Uvedené mtice můžeme násobit tké v opčném pořdí, přičemž výsledná mtice M = D / C / bude typu / K = CD = 5 9, M = DC = 5 9 9, k = ++ = m = + = 9 m = + = 9 k = ++ = 9 m = + = 5 m = + = k = ++ = 5 m = + = m = + = k = ++ = m = + = m = + = m = + = Je zřejmé, že CD DC Cvičení Jsou dány mtice =, B = C = Vypočítejte mtice: ), b) -B, c) +B, d) -B, e) (+B)+C, f) +(B+C) [) 9, b), c), d) 8, e, f) 7 ] Z rovnice + X = 5B vypočítejte neznámou mtici X, jsou-li mtice B zdány v příkldu [ ] Jsou dány mtice = B = Vypočítejte mtice: ) B, b) B [), b) ] Jsou dány mtice C = D = Vypočítejte mtice: ) CD, b) DC [), b) ] Jrmil Doležlová

4 Lineární lgebr 5 Jsou dány mtice F= G= Vypočítejte mtice: ) FG, b) GF [) F, b)nelze] b Určete neznámé, b, c, d z rovnice: + = c d [=-, b=, c=, d=-5] x 5 y 7 7 Vypočítejte neznámé x y, pltí-li: + = x y 7 [ x =, y = ] 8 kciová společnost vyrábí ve dvou závodech U V dv výrobky R S Výrobní cen kždého výrobku složená z ceny mteriálu M ceny práce P je dán mticemi: závod U závod V R S R S M P 5 8 M P Vypočítejte průměrnou cenu výrobků z obou závodů [ M Determinnty Zákldní pojmy P R 57 S ] 77 Determinntem řádu n čtvercové mtice, jejímiž prvky jsou reálná čísl, nzýváme číslo, které oznčujeme det nebo tké nebo pouze pro které pltí: Je-li n =, pk det =, pro n > je det = = n n n n + n + + ( ) n nn n n n n nn + n = D D + + ( ) n Dn nn = n n Toto vyjádření determinntu nzýváme Lplceovým rozvojem determinntu podle prvního řádku Obecně můžeme determinnt vypočítt Lplceovým rozvojem podle libovolného řádku, přípdně sloupce, n n, n Determinnt D, který přísluší mtici D n-tého řádu, obecně lze vyjádřit: Lplceovým rozvojem podle i-tého řádku n i+ j i+ i+ i+ n D = ( ) ij Dij = ( ) i Di + ( ) idi + + ( ) in D in, j= Jrmil Doležlová

5 Lineární lgebr 5 nebo Lplceovým rozvojem podle j-tého sloupce n i+ j + j + j n+ j D = ( ) ij Dij = ( ) j D j + ( ) j D j + + ( ) nj D nj i= Výrz (-) i+j nzýváme znmení prvku ij (nbývá pouze dvou hodnot + nebo -) Determinnt D ij, který vznikne z determinntu D, jestliže v něm vynecháme i-tý řádek j-tý sloupec, nzýváme subdeterminnt vzhledem k prvku ij Součin znmení prvku příslušného subdeterminntu (-) i+j D ij nzýváme lgebrický doplněk k prvku ij Determinnt je tedy součet součinů prvků některé řdy s jejich lgebrickými doplňky Protože výpočet determinntu Lplceovým rozvojem podle některé řdy bývá velmi prcný, uvedeme důležité vlstnosti determinntu, které nám výpočet usndní: Hodnot determinntu se nezmění, změníme-li v něm řádky z sloupce Determinnt, v němž některá řd obshuje pouze nuly, je roven nule Vyměníme-li v determinntu dvě rovnoběžné řdy, determinnt změní znménko Má-li determinnt dvě rovnoběžné řdy shodné, je roven nule Determinnt, v němž je některá řd násobkem jiné, s ní rovnoběžné řdy, je roven nule Násobíme-li některou řdu determinntu D reálným číslem c, dostneme determinnt, jehož hodnot je cd Přičteme-li k některé řdě determinntu nenulový násobek jiné, s ní rovnoběžné řdy, hodnot determinntu se nezmění Výpočet determinntu řádu Pro determinnt řádu existují speciální způsoby výpočtu Není tedy nutno počítt je Lplceovým rozvojem podle vhodné řdy (le smozřejmě to možné je) Determinnt řádu vypočteme, jestliže od součinu prvků n hlvní digonále odečteme součin prvků n vedlejší digonále: det = =, Příkld : Vypočtěte determinnt B = Řešení: B = 5 = 5 - = -7 Determinnt řádu počítáme pomocí Srrusov prvidl: det = = - + = ( + + ) 5 Výpočet si sndno zpmtujeme, jestliže mtici dného determinntu rozšíříme o čtvrtý pátý řádek, které jsou rovny prvnímu druhému řádku Nyní sečteme tři součiny tří prvků ve směru hlvní digonály od nich odečteme součet tří součinů tří prvků ve směru vedlejší digonály K témuž výsledku dojdeme rozšířením mtice determinntu o čtvrtý pátý sloupec, do nichž přepíšeme první druhý sloupec = Jrmil Doležlová

6 Lineární lgebr, Příkld 5: Vypočtěte determinnt C = Řešení: Příslušná uprvená mtice má tvr:, přípdně Výpočet podle Srrusov prvidl: C= + + (-) [ + (-) + ] = = ( - + ) = - = Poznámk: Pro determinnty vyššího řádu než třetího obdobné prvidlo nepltí!!! Příkld : Vypočtěte determinnt D = 5 Řešení: Determinnt vypočítáme Lplceovým rozvojem podle vhodné řdy Přitom z vhodnou řdu povžujeme tu řdu, ve které je nejvíce nul Dlší nuly můžeme v determinntu vytvořit n zákldě jeho vlstností: - V determinntu D nejprve z druhého sloupce vytkneme před determinnt - Dvojnásobek druhého řádku přičteme k řádku třetímu - Ke čtvrtému řádku přičteme řádek druhý - Lplceův rozvoj (b) provedeme podle druhého sloupce, ve kterém nyní jsou nuly D = = = (-)(-) + = 5 = - [ ( )] = 8 (výpočet podle Srrusov prvidl) nebo ještě dále uprvíme odečtením prvního řádku od řádku třetího pk provedeme Lplceův rozvoj () podle třetího řádku: D = - = - = -(-) + = 8 Poznámk: Uvedený postup řešení není jediný možný Způsobů, jk získt v některé řdě determinntu co nejvíce, je celá řd Jrmil Doležlová

7 Lineární lgebr 7 Hodnost mtice Čtvercová mtice se nzývá regulární, je-li její determinnt různý od nuly, singulární, je-li její determinnt roven nule Hodnost mtice je mximální řád regulární mtice, kterou lze z dné mtice vybrt Příkld 7: Rozhodněte, zd mtice D = 5 je regulární Řešení: Protože příslušný determinnt D = det D = 8 (viz příkld ) je nenulový, je mtice D regulární Hodnost mtice D je proto h(d)= Příkld 8: Určete hodnost mtice = 5 Řešení: Z mtice vybereme čtvercovou mtici řádu, kterou vytvoří její libovolný nenulový prvek, npříkld = ( ) = () Protože její determinnt je nenulový ( = ), je mtice regulární hodnost mtice je tedy spoň Nyní vytvoříme čtvercovou mtici řádu tkovou, by obshovl mtici : =, její determinnt je nenulový ( = ), proto je mtice regulární hodnost mtice je tedy spoň Vytvoříme čtvercovou mtici řádu tkovou, by obshovl mtici : =, její determinnt =, proto je mtice singulární 5 Musíme tedy vytvořit jinou čtvercovou mtici řádu, která obshuje mtici : =, rovněž její determinnt =, proto je tké mtice singulární Protože žádná dlší čtvercová mtice řádu, která obshuje mtici neexistuje, je hodnost mtice rovn h()= Poznámky: Postup určení hodnosti mtice použitý v příkldu 8 se nzývá vroubení Jiný způsob určení hodnosti mtice spočívá v převedení mtice n trojúhelníkový tvr pomocí následujících ekvivlentních úprv, které nemění hodnost mtice výměn dvou řádků, vynásobení řádku nenulovým číslem, vynechání řádku se smými nulmi, přičtení nenulového násobku jednoho řádku k řádku jinému Jrmil Doležlová

8 Lineární lgebr 8 Hodnost mtice je pk rovn počtu nenulových řádků mtice v trojúhelníkovém tvru Tuto metodu určení hodnosti mtice budeme používt při řešení soustv lineárních lgebrických rovnic Příkld 9: Určete hodnost mtice z příkldu 8 převedením n trojúhelníkový tvr Řešení: V mtici nejprve odečteme od třetího řádku řádek první pk v této uprvené mtici odečteme od třetího řádku řádek druhý = 5 V trojúhelníkové mtici zůstly nenulové řádky, proto je hodnost mtice rovn h() = Cvičení Vypočítejte determinnty: ) 5, b) 5, c), d) 5 7 9, e) Pomocí Srrusov prvidl vypočítejte determinnty: 5 ), b) 5, c), d) [), b) 9, c), d) 5, e) ] [), b) 9, c), d) ] Vyřešte rovnice: x ) =, b) x x x x x 9 =, c) x = [),, b), c), ] Pomocí Lplceov rozvoje podle vhodné řdy vypočítejte determinnty: ) , b), c) [) -8, b), c) 7] 5 Vypočítejte hodnost mtic: 7 ), b) 5, c), d) 5 9, e), 5 f) 5 5 7, g) 5 [), b), c), d), e), f), g) ] Jrmil Doležlová

9 Lineární lgebr 9 Inverzní mtice Zákldní pojmy Ke kždé regulární mtici řádu n existuje inverzní mtice řádu n, kterou znčíme kterou pltí = = E pro det = je singulární det je regulární Je-li dán regulární mtice neexistuje, existuje = n n n n nn = dj det, kde dj je mtice djungovná k mtici + n D D ( ) D n + n D D ( ) Dn dj =, n+ n+ ( ) Dn ( ) Dn D nn, pk její inverzní mtice má tvr T kde D ij je subdeterminnt k prvku ij v mtici trnsponovné k mtici Poznámk: Jiný postup určení inverzní mtice spočívá v převedení mtice pomocí ekvivlentních úprv n jednotkovou mtici E Provedeme-li tytéž ekvivlentní úprvy s jednotkovou mticí E téhož řádu, převedeme ji n mtici inverzní : E stejné ekvivlentní úprvy E Výpočet inverzní mtice Prktický výpočet provádíme podle následujícího lgoritmu: Vypočítáme determinnt dné mtice det Pokud pltí det =, je mtice singulární inverzní mtice NEPOČÍTÁME!!!) Pokud pltí det, je mtice regulární inverzní mtice dále) Utvoříme trnsponovnou mtici T ( výměnou řádků z sloupce) k ní neexistuje (tedy ji k ní existuje (pokrčujeme Vytvoříme djungovnou mtici dj tk, že všechny prvky ij trnsponovné mtice nhrdíme jejich lgebrickými doplňky ( ) i + j Dij T Jrmil Doležlová

10 Lineární lgebr 5 Inverzní mtici získáme doszením do vzorce Kontrolu správnosti provedeme zkouškou: = dj det = = E Příkld : Určete k mtici = Řešení: det = ( ) 5 = = mtici inverzní Pltí det, tedy mtice je regulární inverzní mtice k ní existuje T T Vypočítáme výměnou řádků z sloupce trnsponovnou mtici : = Nejprve určíme subdeterminnty D ij příslušné k jednotlivým prvkům ij v trnsponovné T mtici : D = = D = = D = = - D = = Doplněním znmének jednotlivých prvků ij k příslušným subdeterminntům D ij získáme lgebrické doplňky ( ) i + j Dij, které vytvářejí djungovnou mtici dj= ( ) 5 Dosdíme do vzorce = dj = 5 det ( ) = 5 Provedeme zkoušku: = 5 5 = 5 5 = = E Příkld : Určete k mtici B = 5 mtici inverzní Řešení: det B = 5 = (- + ) = - Pltí det B, tedy mtice B je regulární inverzní mtice B k ní existuje T T Vypočítáme výměnou řádků z sloupce trnsponovnou mtici B : B = 5 Nejprve určíme subdeterminnty D ij příslušné k jednotlivým prvkům b ij v trnsponovné T mtici B : D = = 8 D = = D = 5 5 = - D = = D = 5 = D = 5 = - Jrmil Doležlová

11 Lineární lgebr D = = - D = = -8 D = = Doplněním znmének jednotlivých prvků b ij k příslušným subdeterminntům D ij získáme lgebrické doplňky ( ) i + j Dij, které vytvářejí 8 djungovnou mtici djb = ( ) ( 8) 8 5 Dosdíme do vzorce B = djb = det B 8 Provedeme zkoušku: 5 BB = ( ) 8 = 8 = Cvičení K dné mtici určete inverzní mtici: 5 ) ; b) ; c) ; d) 8 ; e) ; f) 5 ; g) 5 ; h) [ ) 9 8, b), c) 5, d), e) neexistuje, f), g) 5, h) ] = E Soustvy lineárních lgebrických rovnic Definice soustvy Soustvou m lineárních lgebrických rovnic o n neznámých nzýváme systém rovnic tvru: x + x + + n xn = b x + x + + n xn = b x + x + + x = b m m V soustvě nzýváme: x, x,, x n neznámé, mn n m Jrmil Doležlová

12 Lineární lgebr reálná čísl ik (i =,,, m, k =,,, n) koeficienty, reálná čísl b i (i =,,, m) prvé strny soustvy, mtici m/n = m m n n mn x mtici X n/ = x mticí neznámých, x n b b mtici B m/ = b m mticí prvých strn, mticí soustvy, n b n b mtici B m/n+ =, která vznikne připojením mtice B m m mn bm k mtici, rozšířenou mticí soustvy Soustvu nyní můžeme jednoduše zpst ve tvru m/n X n/ = B m/ Pltí-li v soustvě pro všechny prvé strny b = b = = b m =, nzývá se soustv homogenní: m/n X n/ = O Řešením soustvy nzýváme kždý sloupcový vektor k = ( k, k,, kn ) T tkový, že po doszení čísel k, k,, kn do rovnic soustvy z neznámé x, x,, xn jsou všechny tyto rovnice součsně splněny O existenci řešení soustvy rozhodujeme n zákldě Frobeniovy věty: Soustv m lineárních lgebrických rovnic o n neznámých má řešení právě tehdy, když hodnost mtice soustvy je rovn hodnosti rozšířené mtice soustvy Oznčíme-li tuto společnou hodnost h, pk pltí: je-li h = n, má soustv jediné řešení, je-li h < n, má soustv nekonečně mnoho řešení, která můžeme vyjádřit pomocí n-h prmetrů Homogenní soustv má vždy nulové (triviální) řešení (,,, ) T Gussov eliminční metod Universální metod, pomocí které můžeme vyřešit kždou soustvu lineárních lgebrických rovnic, se nzývá Gussov eliminční metod Její princip spočívá v převedení rozšířené mtice soustvy B n trojúhelníkový tvr pomocí ekvivlentních úprv, které nemění hodnost mtice: Postup řešení si předvedeme n příkldech Jrmil Doležlová

13 Lineární lgebr Příkld : Vyřešte soustvu rovnic x + x x x x x + 5x + x x = 9 Řešení: V zdné soustvě je počet rovnic shodný s počtem neznámých: m = n = Rozšířenou mtici soustvy uprvíme pomocí tbulky, pro jejíž poslední (kontrolní) sloupec, oznčený v záhlví, vždy pltí: součet prvků v příslušném řádku rozšířené mtice soustvy se po provedení příslušné řádkové ekvivlentní úprvy v celém řádku musí rovnt prvku v sloupci kontrolním x x x b Σ úprvy r -r r -r r -r Uprvená rozšířená mtice soustvy v trojúhelníkovém tvru má stejnou hodnost jko původní rozšířená mtice soustvy Pro hodnosti pltí: h() = h( B) = = n Podle Frobeniovy věty má soustv jediné řešení, které sndno vypočítáme řešením nové soustvy: x + x + 5x = -9 x = -9 x 5x = = - x - x = x = -( + x )/ = -(-)/ =- 8x = 8 x =- V závěrečném výpočtu jsme postupovli směrem zdol nhoru, tedy od třetí rovnice k rovnici první Příkld : Vyřešte soustvu rovnic: x + x + x = x + x - x = - x + x - x = x + x - x = Řešení: V zdné soustvě je počet rovnic m = počet neznámých n = Úprvy rozšířené mtice soustvy opět zpíšeme do tbulky: x x x b Σ úprvy r -r - r -r - r -r r r r +r = = 5 Jrmil Doležlová

14 Lineární lgebr r -r V tomto přípdě je hodnost h() =, kdežto hodnost h( B) =, proto podle Frobeniovy věty soustv nemá řešení N první pohled to je zřejmé rovněž ze sporu v posledním řádku uprvené mtice soustvy x + x + x =, v němž n levé strně je, kdežto n prvé strně Příkld : Vyřešte soustvu rovnic: x + x - x - x = x + + x - 5x = x - x - x + x = Řešení: Jde o homogenní soustvu, v níž m = n = Pro sndnější úprvy vyměníme v rozšířené mtici soustvy první třetí řádek, by n hlvní digonále prvního řádku byl koeficient x x x x b Σ úprvy r -r - - r -r r r (-7) r : r +r Z poslední úprvy je zřejmé, že pro hodnosti pltí h() = h( B) =, kdežto n = Proto podle Frobeniovy věty má soustv nekonečně mnoho řešení, která závisí n n h = = prmetru Zvolme jko prmetr neznámou x : x = p Pk uprvená soustv má tvr: x - x - x + p = x = -p + x + x = -p + 8p/5 + = 8p/5 7x + 5x - 9p = x = (9p 5x )/7 = (9p 9p)/7 = x -8p = x = 9p/5 Volíme-li z prmetr p libovolná reálná čísl, získáme příslušná řešení soustvy: npříkld pro p = : x =, x =, x =, x = (triviální řešení), pro p = 5: x = 8, x =, x = 9, x = 5, pro p = -5: x = -8, x =, x = -9, x = -5, td Crmerovo prvidlo Pomocí Gussovy eliminční metody můžeme řešit libovolnou soustvu lineárních lgebrických rovnic Ve speciálních přípdech, kdy počet rovnic je roven počtu neznámých (m = n: řešíme tedy soustvu n lgebrických rovnic o n neznámých) mtice soustvy je regulární, můžeme k řešení použít Crmerovo prvidlo: Jrmil Doležlová

15 Lineární lgebr 5 Je-li mtice typu n/n determinnt mtice soustvy det = D s, pk soustv X = B má právě jedno řešení X = (D, D,, D n ) T, D s kde determinnt D i (i =,,, n) vznikne z determinntu D s, nhrdíme-li v něm i-tý sloupec sloupcem prvých strn Poznámk: Podmínk regulárnosti mtice soustvy je zřejmá z tvru řešení (ve jmenovteli zlomku nesmí být ) Příkld 5: Vyřešte soustvu rovnic: x + x + x = 5 x - 5x + x = 7 7x + x = -7 Řešení: V zdné soustvě je počet rovnic shodný s počtem neznámých: m = n = Ověříme ještě, zd mtice soustvy je regulární: D s = 5 = - 7 ( ) 7 Vypočítáme determinnty 5 D = 7 5 = - 5, D = 7 D s D s = 7, D = 5 7 = pomocí Crmerov prvidl určíme jednotlivé neznámé: D 5 D 7 D x = = =, x = = =, x = = = Cvičení Vyřešte vhodnou metodou zdné soustvy rovnic: ) x + y =, x + 7y = [x =, y = -] b) 5x y + =, x + y +7 = [x = -, y = -] c) x y =, x 9y = [nemá řešení] d) x + y = 5, x y = -5, x + y = [x = -, y = ] e) x + y z =, y =, x y = - [x =, y =, z = ] f) x y z = -7, x + z =, x y + z = - [x =, y = 5, z = -] g) x y + z =, x y + z =, x z = [x = p+, y = p, z = p] h) x y z + t =, x y + z t =, x + y z = [x = p, y = p, z = p, t = p] i) x + y z + t =, x y + z t =, x + y z + t =, x + y + t = [nemá řešení] j) x + y + z + t =, x + y + z + t = 8, x + y + z t =, x + y + z t = [x =, y =, z = -, t = ] V závodě se vyrábějí tři druhy výrobků, B, C postupně n třech výrobních linkách B C P, Q, R v následujícím čsovém limitu:,5, R,,,5 Týdenní kpcit linek, B, C je postupně 8,, hodin P Q,,,9 D s Jrmil Doležlová

16 Lineární lgebr Kolik kusů jednotlivých druhů výrobků je nutno vyrobit, by byl využit plná kpcit závodu? [: 5 ks, B: ks, C: ks] Vyřešte příkld pro týdenní kpcitu výrobních linek postupně,, 8 hodin [: ks, B: ks, C: ks] Zlté šperky se vyrábějí ze slitiny: krátové zlto je čisté, krátové zlto obshuje zlt, 8 8 krátové zlto obshuje zlt, td Kolik krátového 8 krátového zlt musí klenotník smícht, by získl g krátového zlt? [ 8 krátového krátového zlt] 5 Vyřešte příkld v přípdě, kdy má klenotník k dispozici pouze krátové čisté 5 zlto [ 7 krátového 7 čistého krátového zlt] Jrmil Doležlová

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

m n. Matice typu m n má

m n. Matice typu m n má MATE ZS KONZ B Mtice, hodnost mtice, Gussův tvr Mtice uspořádné schém reálných čísel: m m n n mn Toto schém se nzývá mtice typu m řádků n sloupců. m n. Mtice typu m n má Oznčujeme ji A, B,někdy používáme

Více

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11 Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n

Více

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém 1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE

HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.

Determinanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu. Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ07/500/4076 Název školy SOUpotrvinářské, Jílové u Prhy, Šenflukov 0 Název mteriálu VY INOVACE / Mtemtik / 0/0 / 7 Autor Ing Antonín Kučer Oor; předmět, ročník

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtiky MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolín Z jzykovou věcnou správnost obshu díl odpovídá utor et neprošel jzykovou ni redkční úprvou Rdek Stolín ISBN 98-8-8-- Obsh

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

Základy teorie matic

Základy teorie matic Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Soustavy lineárních rovnic a determinanty

Soustavy lineárních rovnic a determinanty Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

13. Soustava lineárních rovnic a matice

13. Soustava lineárních rovnic a matice @9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

Logaritmická funkce teorie

Logaritmická funkce teorie Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor . LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící

Více

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log

ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC. Řešme na množině reálných čísel rovnice: log 5. 3 log x. log Řešme n množině reálných čísel rovnice: ) 6 b) 8 d) e) c) f) ŘEŠENÍ JEDNODUCHÝCH LOGARITMICKÝCH ROVNIC Co budeme potřebovt? Chápt definici ritmu. Znát průběh ritmické funkce. Znát jednoduché vět o počítání

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

Matematika pro ekonomy MATEMATIKA PRO EKONOMY

Matematika pro ekonomy MATEMATIKA PRO EKONOMY Mtemtik pro ekonomy MATEMATIKA PRO EKONOMY 8 ešení soustvy lineárních rovnic užitím mtic Gussov eliminní metod (GEM) MATICE 6 6 Hlvní digonál TROJÚHELNÍKOVÁ MATICE Pozn.: i... i-tý ádek mtice PIVOT = první

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

Neurčité výrazy

Neurčité výrazy .. Neurčité výrzy Předpokldy: Př. : Vypočti ity: ) d) ) d) neeistuje,, Zjímvé. Získli jsme čtyři nprosto rozdílné výsledky, přestože přímým doszením do všech výrzů získáme to smé: výrz může při výpočtu

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

II. kolo kategorie Z5

II. kolo kategorie Z5 II. kolo ktegorie Z5 Z5 II 1 Z prvé kpsy klhot jsem přendl 4 pětikoruny do levé kpsy z levé kpsy jsem přendl 16 dvoukorun do prvé kpsy. Teď mám v levé kpse o 13 korun méně než v prvé. Ve které kpse jsem

Více

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2) 5.3 Řešené příkldy Příkld 1: U prutu kruhového průřezu o průměrech d d b, který je ztížen kroutícími momenty M k1 M k2 (M k2 = 2M k1 ), viz obr. 1, vypočítejte rekční účinek v uložení prutu, vyšetřete

Více

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p.

Zkoušku snadno provedeme tak, že do soustavy (1), která je ekvivalentní dané soustavě rovnic, dosadíme příslušné hodnoty s a p. 1. V oboru reálných čísel řešte soustvu rovnic x 2 xy + y 2 = 7, x 2 y + xy 2 = 2. (J. Földes) Řešení. Protože druhou rovnici můžeme uprvit n tvr xy(x + y) = 2, uprvme podobně i první rovnici: (x + y)

Více

Studijní materiály ke 4. cvičení z předmětu IZSE

Studijní materiály ke 4. cvičení z předmětu IZSE ZSE 8/9 Studijní mteriály ke 4 vičení z předmětu ZSE Předkládný studijní mteriál je určen primárně studentům kterým odpdlo vičení dne 4 9 (velikonoční pondělí) Ke studiu jej smozřejmě mohou využít i studenti

Více

Logaritmické rovnice I

Logaritmické rovnice I .9.9 Logritmické rovnice I Předpokldy: 95 Pedgogická poznámk: Stejně jko u eponenciálních rovnic rozkldů n součin bereme ritmické rovnice jko nácvik výběru metody. Sestvujeme si rzenál metod n konci máme

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)

KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy) KVADRATICKÁ FUNKCE (vlstnosti, gr) Teorie Kvdrtikou unkí se nzývá kždá unke dná předpisem ; R,, R; D( ) je proměnná z příslušného deiničního ooru unke (nejčstěji množin R),, jsou koeiient kvdrtiké unke,

Více

celek jsme rozdělili na 8 dílů, ale žádný jsme si nevzali celek na nulka dílů rozdělit nelze!!!

celek jsme rozdělili na 8 dílů, ale žádný jsme si nevzali celek na nulka dílů rozdělit nelze!!! . Dělení celku zlomek 0 zlomek zlomková čár čittel udává z kolik stejných částí se zlomek skládá ( z ) jmenovtel udává n kolik stejných částí je celek rozdělen () Vlstnosti: Je-li v čitteli zlomku nul

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice

Logaritmická funkce, logaritmus, logaritmická rovnice Logritmická funkce. 4 Logritmická funkce, ritmus, ritmická rovnice - získá se jko funkce inverzní k funkci eponenciální, má tvr f: = Pltí: > 0!! * * = = musí být > 0, > 0 Rozlišujeme dv zákldní tp: ) >

Více

Lineární algebra. 1) Vektor, lineární závislost a nezávislost. Def.: Číselným vektorem n-rozměrného prostoru nazýváme uspořádanou množinu n čísel

Lineární algebra. 1) Vektor, lineární závislost a nezávislost. Def.: Číselným vektorem n-rozměrného prostoru nazýváme uspořádanou množinu n čísel Lineání lge ) Vekto, lineání záislost nezáislost Def: Číselným ektoem n-ozměného postou nzýáme uspořádnou množinu n čísel,, ) ( n Čísl,, n nzýáme souřdnice ektou, číslo n dimenzí neo ozměem ektou Opece

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázi zákldní vzdělávání Jroslv Švrček kolektiv Rámcový vzdělávcí progrm pro zákldní vzdělávání Vzdělávcí oblst: Mtemtik její plikce Temtický okruh: Nestndrdní plikční

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer

Determinanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky

Více

Hlavní body - magnetismus

Hlavní body - magnetismus Mgnetismus Hlvní body - mgnetismus Projevy mgt. pole Zdroje mgnetického pole Zákldní veličiny popisující mgt. pole Mgnetické pole proudovodiče - Biotův Svrtův zákon Mgnetické vlstnosti látek Projevy mgnetického

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE

3.2. LOGARITMICKÁ FUNKCE .. LOGARITMICKÁ FUNKCE V této kpitole se dovíte: jk je definován ritmická funkce (ritmus) jké má ákldní vlstnosti; důležité vorce pro práci s ritmickou funkcí; co nmená ritmovt odritmovt výr. Klíčová slov

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

Repetitorium z matematiky

Repetitorium z matematiky Rovnie, nerovnie jejih soustvy (lineární, kvdrtiké, irionální) Reetitorium z mtemtiky Podzim Ivn Vulová A) Rovnie jejih řešení Mnoho fyzikálníh, tehnikýh jinýh úloh lze mtemtiky formulovt jko úlohu tyu:

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného

Více

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic

Lineární algebra. Soustavy lineárních rovnic Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326

Více

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu:

Svazy. Def Svaz je algebra S ( M ;, ) = se dvěma binárními operacemi taková, že pro libovolné prvky c M platí následující podmínky axiomy svazu: vz je lgebr ( M ; ) vzy = se dvěm binárními opercemi tková že pro libovolné prvky b c M pltí následující podmínky xiomy svzu: ( b) c = ( b c) ( b) c = ( b c) b = b b = b ( ) ( ) b = b =. Operce se nzývá

Více

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady: 443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

Cvičení 4.ročník rovnice, nerovnice, výrazy, funkce . 4 3

Cvičení 4.ročník rovnice, nerovnice, výrazy, funkce . 4 3 Cvičení.ročník rovnice, nerovnice, výrzy, funkce ) Vypočítejte: ) [0 (8. 0 7. 0 )] b) [ ( ). ( ) ( 7)]: ( ) c) (9 ): ( ) + [ 8 (0 )] d)[. ( 9 + 7) ( ). ( )]. e). 9. 9 f). 7 + 9 ) Vyjádřete jko jedinou

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Nerovnosti a nerovnice

Nerovnosti a nerovnice Nerovnosti nerovnice Doc. RNDr. Leo Boček, CSc. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávcích příležitostí pro ndné žáky studenty v přírodních vědách mtemtice s využitím online prostředí, Operční

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie Kliment Šoler Progrmovná učebnice mtemtiky pro vysoké školy technické Pokroky mtemtiky, fyziky stronomie, Vol. 14 (1969), No. 4, 182--193 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/139283

Více

Laboratorní práce č.8 Úloha č. 7. Měření parametrů zobrazovacích soustav:

Laboratorní práce č.8 Úloha č. 7. Měření parametrů zobrazovacích soustav: Truhlář Michl 7.. 005 Lbortorní práce č.8 Úloh č. 7 Měření prmetrů zobrzovcích soustv: T = ϕ = p = 3, C 7% 99,5kP Úkol: - Změřte ohniskovou vzdálenost tenké spojky přímou Besselovou metodou. - Změřte ohniskovou

Více

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}?

( a, { } Intervaly. Předpoklady: , , , Problém zapíšeme snadno i výčtem: { 2;3; 4;5}? 1.3.8 Intervly Předpokldy: 010210, 010301, 010302, 010303 Problém Množinu A = { x Z;2 x 5} zpíšeme sndno i výčtem: { 2;3; 4;5} Jk zpst množinu B = { x R;2 x 5}? A =. Jde o nekonečně mnoho čísel (2, 5 všechno

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 11. červenec 2012 Název zpracovaného celku: LINEÁRNÍ ROVNICE S PARAMETREM

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 11. červenec 2012 Název zpracovaného celku: LINEÁRNÍ ROVNICE S PARAMETREM Předmět: Ročník: Vytvořil: Dtum: MATEMATIA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁ 11. červenec 01 Název zrcovného celku: LINEÁRNÍ ROVNICE S PARAMETREM LINEÁRNÍ ROVNICE S PARAMETREM Rovnice s rmetrem obshuje kromě neznámých

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra

2. Lineární algebra 2A. Matice a maticové operace. 2. Lineární algebra 2 Lineární algebra 2A Matice a maticové operace 2 Lineární algebra Verze října 201 Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při

Více

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x.

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x. Lineární rovnice Rovnice je zápis rovnosti mezi dvěma algebraickými výrazy, které obsahují alespoň jednu proměnnou, kterou nazýváme neznámá. Rovnice má levou stranu L a pravou stranu P. Rovnost pak zapisujeme

Více

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi

Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi 2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí

Více