II. 5. Aplikace integrálního počtu

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "II. 5. Aplikace integrálního počtu"

Transkript

1 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu [, b] Obsh obrzce ohrničeného uzvřenou křivkou o prmetrických souřdnicích x ϕt) y ψt) pro t [α, β]: β β S ψt) ϕ t) dt ϕt) ψ t) dt 1 [ϕt) ψ t) ψt) ϕ t)] dt α α α Křivk je orientován kldně, tzn, že ploch leží nlevo od křivky Obsh plochy vymezené grfy funkcí f g v intervlu [, b] vypočteme pomocí určitého integrálu S b Délk grfu funkce f pro x [, b]: l b fx) gx) dx 1 + [f x)] dx Délk křivky zdné prmetricky x ϕt) y ψt) pro t [α, β]: l β α β [ϕ t)] + [ψ t)] dt Objem rotčního těles, které vznikne rotcí podgrfu spojité nezáporné funkce f, x [, b] kolem osy x: V x π b f x) dx Objem rotčního těles, které vznikne rotcí podgrfu spojité nezáporné funkce f, x [, b], >, kolem osy y V y π b xfx) dx Objem rotčního těles, které vznikne rotcí plochy vymezené křivkou zdnou prmetricky x ϕt) y ψt) pro t [α, β], ϕt), kolem osy x: V x π β α ψ t) ϕ t) dt Objem rotčního těles, které vznikne rotcí plochy vymezené křivkou zdnou prmetricky x ϕt) y ψt) pro t [α, β], ϕt), kolem osy y: V y π β α ψt) ϕt) ϕ t) dt Obsh pláště rotčního těles, které vznikne rotcí podgrfu spojitě diferencovtelné nezáporné funkce f, x [, b] kolem osy x: Q x π b fx) 1 + [f x)] dx

2 II 5 Aplikce integrálního počtu 495 Obsh pláště rotčního těles, které vznikne rotcí plochy vymezené křivkou zdnou prmetricky x ϕt) y ψt) pro t [α, β], ϕt), kolem osy x: Q x π β α ψt) [ϕ t)] + [ψ t)] dt Fyzikální plikce Funkce st) udává délkovou hustotu v bodě [ϕt), ψt)] pro křivku zdnou prmetricky x ϕt) y ψt), t [α, β] Potom M vyjdřuje hmotnost křivky [ Sy M, S ] x M jsou souřdnice jejího těžiště, kde S x S y jsou tzv sttické momenty křivky vzhledem k ose x, resp y Přičemž pltí M S x S y β α β α β α st) [ϕ t)] + [ψ t)] dt, st)ψt) [ϕ t)] + [ψ t)] dt, st)ϕt) [ϕ t)] + [ψ t)] dt Nechť nyní funkce sx) udává délkovou hustotu v bodě [x, fx)] pro křivku grfem funkce fx), x [, b] Potom pltí M S x S y b b b sx) 1 + [f x)] dx, sx)fx) 1 + [f x)] dx, xsx) 1 + [f x)] dx Funkce St) udává hustotu obrzce vymezeného křivkou zdnou prmetricky x ϕt) y ψt), t [α, β] Potom M vyjdřuje jeho hmotnost [ Sy M, S ] x M jsou souřdnice jeho těžiště Přičemž pltí M β S x 1 S y α β α β α St)ψt)ϕ t) dt, St)ψ t)ϕ t) dt, St)ψt)ϕt)ϕ t) dt Nechť nyní funkce St) udává hustotu obrzce vymezeného křivkou určenou grfem funkce fx), x [, b], osou x Potom M vyjdřuje jeho hmotnost [ Sy M, S ] x M

3 496 II Integrální počet funkcí jedné proměnné jsou souřdnice jeho těžiště Přičemž pltí M b S x 1 S y b b Sx)fx) dx, Sx)f x) dx, xsx)fx) dx

4 II 5 Aplikce integrálního počtu ) Určete obsh plochy vymezené grfy funkcí fx) x + x gx) x x + Nejdříve musíme určit průsečík obou funkcí, tj vyřešit rovnici fx) gx), tzn že x + x 5 x 1 5 x 1 Nvíc, v intervlu [ 5, 1] pltí gx) > fx), proto hledný obsh vypočteme s pomocí následujícího integrálu S 1 5 [ x x + ) x + x ) ] dx [ x x + 5x ] x x + 5 ) dx ) 4 4

5 498 II Integrální počet funkcí jedné proměnné 47) Určete obsh plochy ohrničené křivkmi x + y y x Nejdříve musíme určit průsečík obou funkcí, tj y + y y 1 y 1 Vzhledem k podmínce y x je pro nás zjímvá pouze hodnot y Potom x 1 1 x 1 Nvíc, n intervlu [ 1, 1] pltí x > x, proto hledný obsh dostneme pomocí integrálu S 1 x x ) dx 1 + rcsin 1 1 ) 1 + π 4 [ x x x + rcsin ) ] 1 x Při výpočtu jsme využili následující integrál x x dx sin t dx cos t dt sin t cos t dt 1 sin t cos t dt cos t dt cos t cos t 1 1 cos t + 1 ) dt cos t + 1) dt 1 sin t + t + C ) x sin t cos t + rcsin + C x ) 1 x x + rcsin + C x ) x x + rcsin + C

6 II 5 Aplikce integrálního počtu ) Určete obsh oblouku cykloidy x t sin t, y 1 cos t, t [, π] S Doszením do vzorce pro obsh plochy mezi prmetricky zdnými křivkmi obdržíme π π 1 cos t) 1 cos t) dt π cos t + 1 ) cos t dt 1 cos t + cos t ) dt cos t cos t [ t sin t + 1 ] π sin t π 4

7 5 II Integrální počet funkcí jedné proměnné 49) Určete, v jkém poměru dělí křivk P : y x plochu kruhu K : x + y 8 Zdání je znázorněno n následujícím obrázku Z obrázku je zřejmé, že ve stejném poměru, jko dělí prbol kuh, dělí horní větev prboly y x horní půlkruh y 8 x Pro výpočet budeme potřebovt souřdnice průsečíku horní větve prboly horního půlkruhu Poznmenejme, že nás zjímá pouze průsečík v I kvdrntu, což nám umožní volnější úprvy y y, x 8 x, x 8 x, x + x 8, x

8 II 5 Aplikce integrálního počtu 51 Průsečík má tedy souřdnice [, ] Nyní spočítáme obsh červeně vyznčené plochy 8 S x dx + 8 x dx [ ] 8 x + 8 x dx x dx 8 + π π π 8 cos t dt π π 4 x 8 sin t dx 8 cos t dt 8 π π 4 π cos t 1 + cos t dt [ t + 8 π π 4 1 ) + π sin t 8 + π dt ] π π 4 π sin t 8 cos t dt Z rovnice kruhu vidíme, že jde o kruh o poloměru 8 Protože červená ploch má obsh + π, zbytek horního půlkruhu má obsh 4π + π) π Hledný poměr je tedy π ) : π + ), neboli 9π ) : π + )

9 5 II Integrální počet funkcí jedné proměnné 44) Odvoďte vzorec pro výpočet plochy elipsy s poloosmi b Obecná rovnice zdné elipsy je tvru E : x + y b 1 Tto rovnice zdává implicitně funkci horní dolní půlelipsy Příkld vyřešíme tk, že si z rovnice elipsy explicitně vyjádříme funkci horní půlelipsy pomocí ní pk spočítáme obsh čtvrtiny elipsy, která se nchází v I kvdrntu Horní půlelips je dán funkcí f : y b 1 x Intervl, n kterém tto funkce zdává čtvrtelipsu v I kvdrntu je x [, ] Můžeme tedy počítt S 4 b π b 1 x dx b 1 x dx π 1 sin t cos t dt b x sin t dx cos t dt π cos t dt b b [ ] π sin t t + bπ 4 Vzorec pro obsh elipsy s poloosmi b je tedy S πb π 1 + cos t dt

10 II 5 Aplikce integrálního počtu 5 441) Určete délku grfu funkce fx) ln x pro x [, 15] Doszením do vzorce dostneme l x dx x x dx t 4 t 1 t dt t t 1 dt ) t 1 dt t t t x x dt 4 dx t x + 1 t dt x dx t 1 [ t + 1 ln t 1 1 ln t + 1 ] ln 1 ln 5 1 ln ln + ln 1 ln 5 ) dt

11 54 II Integrální počet funkcí jedné proměnné 44) Určete délku oblouku cykloidy x t sin t, y 1 cos t, t [, π] Aplikcí odpovídjícího vzorce obdržíme π π l sin t) + 1 cos t) dt cos t dt 1 cos t sin t π sin t [ dt 4 cos t ] π 8

12 II 5 Aplikce integrálního počtu 55 44) Určete délku oblouku řetězovky fx) cosh x, I [ 1, 1] Připomeňme, že pltí l sinh x ex e x, cosh x sinh x sinh x dx 1 1 cosh x dx [ sinh x ] 1 1 sinh 1 e 1 e 1 ) cosh x dx cosh je všude kldný ) 1 sinh

13 56 II Integrální počet funkcí jedné proměnné 444) Vypočtěte délku oblouku křivky fx) ln ex +1 e x 1 l 1 pro x [1, ] Nejdříve vypočteme uprvíme výrzy potřebné pro výpočet integrálu, tj f e x x) 1 + [f e x +1) e x 1) x)] e 4x + e x +1 e x +1) e x 1) 1 + ex e x 1 Proto můžeme spočítt 1 + e x e x 1 dt 1 1 e x 1 + ) [ ex dx x + 1 e x 1 ln e x e 1 ) e +1 ) ln e x 1 ] + ln e 4 1 ) + 1 ln e 1 )) 1 + ln e 1 přičemž jsem využili následující dv integrály dx t x e x 1 dt dx 1 dt e t 1 1 e t e t e dt e t u t e t dt du 1 du u u 1 1 u + 1 ) du u ln u + 1 ln u 1 + C 1 t + 1 ln e t 1 + C x + 1 ln e x 1 + C; e x e x 1 dx t e x dt e x dx 1 1 ln e +1 ) 1 ln e +1, e dt t 1 1 ln t 1 + C 1 ln e x 1 + C

14 II 5 Aplikce integrálního počtu ) Určete objem rotčního těles, které vznikne rotcí podgrfu funkce fx) sin x, x [ π, 1π ]e, kolem osy x 6 1π 6 V x π ) π sin x dx π π π 1π 6 π 1π 6 π 1 + sin x + 1 ) 4 sin x dx sin x 1 1 cos 6x) 1 + sin x cos 6x) ) dx [x 1 cos x + 18 x 148 sin 6x ] 1π 6 π π 16 π

15 58 II Integrální počet funkcí jedné proměnné 446) Vypočtěte objem těles, které vznikne rotcí podgrfu funkce fx) 1 1+x, x [ 1, 1], kolem osy x Poněvdž funkce f je sudá, můžeme spočítt poloviční objem n intervlu [, 1] Proto 1 ) [ 1 1 V x π dx π 1 + x rctg x + 1 ] 1 x π π 1 + x ) π π + ), 4 4 neboť ) 1 dx K 1 + x, 1) 1 K 1, 1) + 1 x 1 + x 1 rctg x + 1 x 1 + x + C

16 II 5 Aplikce integrálního počtu ) Určete objem těles, které vznikne rotcí prvního oblouku cykloidy x t sin t, y 1 cos t, t [, π], kolem osy x V π π π π π neboť pltí cos t dt cos t dt 1 cos t) 1 cos t) dt π π 1 cos t + cos t cos t ) dt [ t sin t + t + 4 sin t sin t + sin t 1 cos t) dt ] π π π + π) 5π, 1 + cos t dt t sin t + + C; 4 1 sin t ) u sin t 1 cos t dt du cos t dt ) u du u u + C sin t sin t + C

17 51 II Integrální počet funkcí jedné proměnné 448) Njděte vzorec pro výpočet objemu komolého kužele s poloměrem podstv r 1, r výškou v Jký je objem nekomolého kužele? Komolý kužel lze vytvořit tk, že necháme rotovt lichoběžník s vrcholy kolem osy x [, ], [v, ], [v, r ], [, r 1 ] K výpočtu ovšem potřebujeme funkční předpis přímky dné body [, r 1 ] [v, r ] Ten njdeme ve směrnicovém tvru y kx + q Doszením bodu [, r 1 ] do rovnice přímky ihned dostneme, že q r 1 Pomocí této znlosti doszením bodu [v, r ] do rovnice přímky dostneme směrnici k r r 1 Úsečk, jejíž rotcí vznikne plášť studovného v komolého kužele je tedy dán předpisem y r r 1 x + r 1, x [, v] v Nyní použijeme známý vzorec v ) r r 1 V x π x + r 1 dt v Umocním závorky jednoduchou integrcí polynomu obdržíme výsledek V 1 πvr 1 + r 1 r + r ) Obyčejný kužel je speciální přípd kužele komolého s nulovým poloměrem jedné podstvy Tedy položíme-li npř r 1, r r, získáme vzorec pro objem obyčejného kužele ve tvru V K 1 πr v

18 II 5 Aplikce integrálního počtu ) Určete obsh pláště těles, které vznikne rotcí podgrfu funkce fx) sin x, x [, π], kolem osy x Ob oblouky cykloidy jsou stejné, můžeme se omezit pouze n intervl [, π], proto Q x π π sin x ) cos x dx 4π 1 + t dt 8 cos x t sin x dx dt π 1 8 ln + ) 5 + ) 5 4π ln + 5) + 8π 5 [ 1 t 1 + t dt 8π ln t + t 1 + t ] Při výpočtu jsme využili následující výpočet primitivní funkce 1 t sinh u + t dt dt cosh u du cosh u du cosh u cosh u 1 1 cosh u + 1 du 1 ) sinh u + u + C sinh u cosh u + u + C cosh u sinh 1 cosh u sinh u + 1 t t rcsinh u + C Nvíc přímým výpočtem ověříme, že rcsinh u 1 t ln + t + 1

19 51 II Integrální počet funkcí jedné proměnné Položme sinh x ex e x y, potom ln y + y e x e x + 1 ln e x e x ln ln e x e x ln e x e x e x + e + x e x + e + x + 4 e + x + e x ) 4 + ex + e x ln ex x rcsinh y

20 II 5 Aplikce integrálního počtu 51 45) Určete obsh pláště těles, které vznikne rotcí podgrfu funkce fx) 4+x, x [ 4, ], kolem osy x Q x π 4 π 4 + x) dx π x) dx ] [4x + x π ) π

21 514 II Integrální počet funkcí jedné proměnné 451) Určete obsh pláště těles, které vznikne rotcí krdioidy srdcovky) x cos t cos t, y sin t sin t, t [, π], kolem osy x Q π π π π π π 4 8π 4 8π sin t sin t) sin t + sin t) + cos t cos t) dt sin t sin t) 8 sin t sin t cos t sin t sin t cos t cos t dt cos t cos t sin t sin t sin t) 8 1 cos t dt 8π π [ sin t 1 cos t) / dt ] u 5/ 5 4 8π 5/ 5 ) u 1 cos t du sin t dt π π sin t 1 cos t) / dt 4 8π 4 8π π u / du

22 II 5 Aplikce integrálního počtu ) Určete obsh pláště těles, které vznikne rotcí prvního oblouku cykoidy x t sin t, y 1 cos t, t [, π], kolem osy x Q x π π π π π 8π 1 cos t) 1 cos t) + sin t dt 1 cos t) 1 cos t dt π π 1 1 sin t dt 8π 1 u ) du 16π π π 1 cos t ) sin t dt 1 cos t) / dt 1 cos t sin t 1 sin t ] 1 [u u 16π cos t u dt du 1 π 1 ) 64 π

23 516 II Integrální počet funkcí jedné proměnné 45) Vypočtěte souřdnice těžiště homogenní půlkružnice x + y r, y Podle příslušných vzorců obdržíme π π M σ r sin t) + r cos t) dt σr dt πσr, π π S x σ r sin t r sin t) + r cos t) dt σr sin t dt σr [ cos t] π σr, π π S y σ r cos t r sin t) + r cos t) dt σr cos t dt σr [sin t] π Proto souřdnice těžiště jsou [ ] [ T πσr, σr, r ] πσr π

24 II 5 Aplikce integrálního počtu ) Vypočtěte hmotnost souřdnice těžiště křivky x cos t, y sin t, >, x, y, kde délková hustot v bodě sx) v bodě [xt), yt)] je přímo úměrná x-ové souřdnici bodu Podle příslušných vzorců obdržíme M S x π π π k π k cos t cos t sin t) ) + sin t cos t ) dt k cos t 9 cos 4 t sin t + 9 sin 4 t cos t dt k cos t cos t sin t cos t + sin t ) dt k [ u 5 π cos 4 t sin t dt 5 ] 1 k 1 5 cos t u sin t dt du π 1 ) k 5, [ k cos 4 t sin 4 t dt k 1 18 k π 18 k π 56, k 1 u 4 du sin 4t + 18 t + 1 sin 8t 14 kde jsme využili následující primitivní funkce cos t dt t sin t + + C, 4 cos t u 1 t dt cos dt du u du 1 ) u sin u + + C t sin 4t + + C, 4 8 sin 4 t cos 4 t dt cos t cos t cos t) 1 cos t) dt cos t + cos 4 t ) t u dt 16 dt du 1 sin 4t t t + 1 ) cos 4 u du sin 4t cos u) du sin 4t + + cos u + cos u ) du sin 4t u + 1 ) 1 1 u sin 4u sin u C t 1 1 sin 4t + sin 8t + C S y Dále pltí π k cos 7 t sin t dt u cos t du sin t dt 1 π [ u k u 7 du k ] π ] 1 k 8

25 518 II Integrální počet funkcí jedné proměnné Proto těžiště má souřdnice [ k T 8 5 π, k k 56 ] [ 5 5 k 8, 15π ] 56

26 II 5 Aplikce integrálního počtu ) Vypočtěte souřdnice těžiště trojúhelníku s vrcholy O [, ], A [, 1] B [, ] M σ S x 1 σ 1 x ) dx σ [x x 4 1 x ) 1 dx σ 1 σ [ x x S y σ x 1 x ] σ 1) σ, ) 1 x + x dx 4 ] + x 1 1 σ + 8 ) σ 1, ) dx σ Souřdnice těžiště tedy jsou ) [ ] x x x dx σ x σ 8 ) 6 6 σ T [, 1 ]

27 5 II Integrální počet funkcí jedné proměnné 456) Vypočtěte hmotnost souřdnice těžiště rovinné homogenní plochy omezené křivkou y sin x, x, x π osou x π M σ sin x dx σ [ cos x] π 4 σ, S x 1 σ π S y σ π [ ] x 4 sin sin 6x x dx σ σπ 1, x sin x dx 9 σ [sin x x cos x] π kde jsem využili sin t x x dx dt dx 1 sin t dt 1 t sin t C x sin 6x + C, 1 u x u x sin x dx 1 σπ 9, 1 1 ) cos t dt v 1 cos x v sin x 1 x cos x + 1 cos x dx 1 x cos x sin x + C 1 sin x x cos x) + C 9 Proto těžiště souřdnice jsou dány [ σπ T 9 4σ, σπ ] [ π 4σ 6, π ] 4

28 II 5 Aplikce integrálního počtu ) Vypočtěte souřdnice těžiště rovinného obrzce ohrničeného křivkou dnou předpisem y 6x x osou x M σ 6 S x 1 σ 6 S y σ 6 ) 6x x dx σ [x x 6x x ) dx 1 σ x 6x x ) dx σ 6 6 Těžiště má tedy souřdnice ] 6 σ 18 6) 6σ, 6x 1x + x 4) dx 1 σ [ 6x 6x x ) dx σ [ 6x T [, 18 ] 5 x4 4 ] 6 18σ 1x4 4 ] 6 + x σ,

29 5 II Integrální počet funkcí jedné proměnné 458) Vypočtěte souřdnice těžiště rovinného obrzce ohrničeného cykloidou x t sin t), y 1 cos t), t π osou x M σ π 1 cos t) 1 cos t) dt 9σ π S x 1 π σ 9 1 cos t) 1 cos t) dt 7 σ 7 σ π Př 447) 7 S y σ π 7σ σ π 1 cos t + cos t cos t ) dt 1 cos t) dt π Př 447) 1 cos t) dt [ t sin t + ] π cos t sin t + t) sin t sin t t sin t) 1 cos t) 1 cos t) dt π 1 cos t + cos t ) t sin t) dt Př 48) 9σ4π 7σπ, 7 15 σ 5π) πσ, 7σ t sin t t cos t + cos t sin t + t cos t cos t sin t ) dt [ t 7σ + cos t t sin t cos t cos t + t cos t sin t + t) t ) ] π cos t + t cos t 7σ π + π π 1 4 ) 7σπ, k čemuž jsme v posledním integrálu využili u t u 1 t cos t dt Př 447) v 1 cos t sin t + t) v cos t 1 cos t sin t + t) 1 cos t sin t + t) dt 1 cos t sin t + t) 1 ) cos t t + C, u t u t cos t dt 1 v sin t v cos t t sin t sin t dt t sin t + cos t + C, u cos t cos t sin t dt du sin t dt u du u + C t cos + C, cos u cos t t sin t dt du sin tdt u du u + C t cos Proto souřdnice těžiště jsou dány [ ] 7σπ T T 7σπ, 15πσ 7σπ [ π, 5 ]

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34. I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E

Více

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)

Více

f(x)dx, kde a < b < c

f(x)dx, kde a < b < c URČITÝ INTEGRÁL jeho plikce Newton-Leibnizov formule f(x)=f(b) F(), kde F (x)=f(x). Vlstnosti ) ) ) 4) Substituce f(x)+ c f(x)= f(x)= f(x)= b f(g(x))g (x)= f(x)= f(x) c f(x), kde < b < c pro fsudou, =

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 URČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Dněček, Oldřich Dlouhý,

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2. Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejz Dohnl, CSc. IV. ákldy integrálního počtu 1 Mtemtik I. I. Lineární lgebr II. ákldy mtemtické nlýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Mtemtik I. IV. Integrální

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

V = π f 2 (x) dx. f(x) 1 + f 2 (x) dx. x 2 + y 2 = r 2

V = π f 2 (x) dx. f(x) 1 + f 2 (x) dx. x 2 + y 2 = r 2 Odození zorců pro ýpočet objemů porchů některých těles užitím integrálního počtu Objem rotčního těles, které znikne rotcí funkce y f(x) n interlu, b kolem osy x, lze spočítt podle zorce b V f (x) dx Porch

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ . INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme

Více

Matematika II: Aplikované úlohy

Matematika II: Aplikované úlohy Mtemtik II: Aplikovné úlohy Zuzn Morávková Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - plikovné úlohy Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 (Souřdnicové výpočty) 1 ročník bklářského studi studijní progrm G studijní obor G doc Ing Jromír Procházk CSc listopd 2015 1 Geodézie 1 přednášk č7 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

Kapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku

Kapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku x 5 x 6 x 7 x 8 pitol 3 řivkové integrály 3. řivkový integrál. druhu líčová slov: délk oblouku, délk křivky, křivkový integrál. druhu po oblouku, křivkový integrál. druhu po křivce, neorientovný křivkový

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.

VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx. VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. Výpo et obsahu rovinných ploch a) Plocha ohrani ená k ivkami zadanými v kartézských sou adnicích. Obsah S rovinné plochy ohrani ené dv ma spojitými

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

Matematika II. (LS 2009) FS VŠB-TU Ostrava. Bud te. A = a + 1 2, B = 1. b + 1. y = x 2 + Bx 3A. a osou x.

Matematika II. (LS 2009) FS VŠB-TU Ostrava. Bud te. A = a + 1 2, B = 1. b + 1. y = x 2 + Bx 3A. a osou x. Program 2. Aplikace určitého integrálu zadání 1. y = x 2 + Bx 3A y = ln(bx), x = 1/A a x = 3A Vypočítejte její obsah. 3. Určete obsah plochy ohraničené parametricky zadanou křivkou (tzv. cykloidou) x(t)

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

Cvičení KMA-MAF1 Neurčitý a určitý integrál. Jiří Fišer 9. prosince 2011

Cvičení KMA-MAF1 Neurčitý a určitý integrál. Jiří Fišer 9. prosince 2011 Cvičení KMA-MAF Neurčitý určitý integrál Jiří Fišer 9. prosince Obsh Úlohy n přímou integrci 3 Úlohy n jednoduché substituce 3. Lineárnísubstituce ux+b.... 3.. Dlšíjednoduchésubstituce... 3 3 Integrce

Více

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I

3.2.11 Obvody a obsahy obrazců I ..11 Obvody obshy obrzců I Předpokldy: S pomocí vzorců v uvedených v tbulkách řeš následující příkldy Př. 1: Urči výšku lichoběžníku o obshu 54cm zákldnách 7cm 5cm. + c Obsh lichoběžníku: S v Výšk lichoběžníku

Více

Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce

Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce Obsh PŘEDMLUVA OBSAH 5 I. PRIMITIVNÍ FUNKCE 7 Definice vlstnosti primitivní funkce............ 7 Metody výpočtu primitivních funkcí............. Rcionální funkce................... 7 Ircionální funkce...................

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07 VZOROVÉ ŘEŠENÍ A VYSVĚTLENÍ PROGRAMU. Ing. Marek Nikodým Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava 1 Výpočty v trojúhelníku Je dán trojúhelník ABC v prostoru A[, 3, 3], B[4, 5, ],

Více

Logaritmická funkce teorie

Logaritmická funkce teorie Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

Opakování ke státní maturitě didaktické testy

Opakování ke státní maturitě didaktické testy Číslo projektu CZ..7/../.9 Škol Autor Číslo mteriálu Název Tém hodiny Předmět Ročník/y/ Anotce Střední odborná škol Střední odborné učiliště, Hustopeče, Msrykovo nám. Mgr. Rent Kučerová VY INOVACE_MA..

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

Matematika II: Listy k přednáškám

Matematika II: Listy k přednáškám Mtemtik II: Listy k přednáškám Rdomír Pláček, Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Kpitol 1 Integrální počet funkcí jedné proměnné 1.Řy 11

Více

VI. Derivace složené funkce.

VI. Derivace složené funkce. VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7

Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7 Příklad 1 Pomocí l Hôpitalova pravidla spočtěte následující limity. Poznámka a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim f) lim g) lim h) lim i) lim j) lim k) lim l) lim cotg Všechny limity uvedené v zadání vedou

Více

Ohýbaný nosník - napětí

Ohýbaný nosník - napětí Pružnost pevnost BD0 Ohýbný nosník - npětí Teorie Prostý ohb, rovinný ohb Při prostém ohbu je průřez nmáhán ohbovým momentem otáčejícím kolem jedné z hlvních os setrvčnosti průřezu, obvkle os. oment se

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Diferenciální geometrie

Diferenciální geometrie Diferenciální geometrie Pomocný učební text díl I. František Ježek Plzeň, červen 2005 Obsah 1 Křivky 4 1.1 Vyjádření křivky......................... 4 1.2 Transformace parametru..................... 5

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Plošný integrál funkce

Plošný integrál funkce Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Analytická geometrie v rovině

Analytická geometrie v rovině nltická geometrie v rovině Souřdnicová soustv v rovině Zvolme v rovině dvě nvájem kolmé přímk číselné os. růsečík O těchto přímek nveme počátek souřdnic. Vodorovnou přímku ončíme osou svislou ončíme osou

Více

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0

Komplexní čísla. Pojem komplexní číslo zavedeme při řešení rovnice: x 2 + 1 = 0 Komplexní čísl Pojem komplexní číslo zvedeme př řešení rovnce: x 0 x 0 x - x Odmocnn ze záporného čísl reálně neexstuje. Z toho důvodu se oor reálných čísel rozšíří o dlší číslo : Všechny dlší odmocnny

Více

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky

Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Klára Švarcová klara.svarcova@tiscali.cz 1 Obsah 1 Průlet tělesa skrz Zemi 3 1.1 Zadání................................. 3 1. Řešení.................................

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE

KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE Jiří Novotný Ústav matematiky a deskriptivní geometrie, Fakulta stavební, Vysoké učení technické v Brně Abstrakt: V rámci řešení projektu Inovace bakalářského studia Počítačová

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

14 Kuželosečky v základní poloze

14 Kuželosečky v základní poloze 4 Kuželosečk v zákldní poloze Následující tet 4 7 se týkjí geometrie v rovině. Až dosud jsme studovli útvr lineární (v nltickém vjádření l vžd proměnné,, z v první mocnině). Nní se udeme zývt některými

Více

Vzorová řešení čtvrté série úloh

Vzorová řešení čtvrté série úloh FYZIKÁLNÍ SEKCE Přírodovědecká fkult Msrykovy univerzity v Brně KORESPONDENČNÍ SEMINÁŘ Z FYZIKY 8. ročník 001/00 Vzorová řešení čtvrté série úloh (5 bodů) Vzorové řešení úlohy č. 1 (8 bodů) Volný pád Měsíce

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm

Více

ZÁKLADY MATEMATIKY 2. 1. SÉRIE: URƒITÝ INTEGRÁL, APLIKACE

ZÁKLADY MATEMATIKY 2. 1. SÉRIE: URƒITÝ INTEGRÁL, APLIKACE ZÁKLADY MATEMATIKY 2. SÉRIE: URƒITÝ INTEGRÁL, APLIKACE I. P íprvní úlohy. V této sérii pot ebujete znlost výpo t následujících úloh - otestujte si ji:. Vypo ítejte neur ité integrály: ) (x 2 x + ) 2 dx

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 49 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Kolik hodnot proměnné a R existuje takových, že diference aritmetické

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více