II. 5. Aplikace integrálního počtu

Transkript

1 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu [, b] Obsh obrzce ohrničeného uzvřenou křivkou o prmetrických souřdnicích x ϕt) y ψt) pro t [α, β]: β β S ψt) ϕ t) dt ϕt) ψ t) dt 1 [ϕt) ψ t) ψt) ϕ t)] dt α α α Křivk je orientován kldně, tzn, že ploch leží nlevo od křivky Obsh plochy vymezené grfy funkcí f g v intervlu [, b] vypočteme pomocí určitého integrálu S b Délk grfu funkce f pro x [, b]: l b fx) gx) dx 1 + [f x)] dx Délk křivky zdné prmetricky x ϕt) y ψt) pro t [α, β]: l β α β [ϕ t)] + [ψ t)] dt Objem rotčního těles, které vznikne rotcí podgrfu spojité nezáporné funkce f, x [, b] kolem osy x: V x π b f x) dx Objem rotčního těles, které vznikne rotcí podgrfu spojité nezáporné funkce f, x [, b], >, kolem osy y V y π b xfx) dx Objem rotčního těles, které vznikne rotcí plochy vymezené křivkou zdnou prmetricky x ϕt) y ψt) pro t [α, β], ϕt), kolem osy x: V x π β α ψ t) ϕ t) dt Objem rotčního těles, které vznikne rotcí plochy vymezené křivkou zdnou prmetricky x ϕt) y ψt) pro t [α, β], ϕt), kolem osy y: V y π β α ψt) ϕt) ϕ t) dt Obsh pláště rotčního těles, které vznikne rotcí podgrfu spojitě diferencovtelné nezáporné funkce f, x [, b] kolem osy x: Q x π b fx) 1 + [f x)] dx

2 II 5 Aplikce integrálního počtu 495 Obsh pláště rotčního těles, které vznikne rotcí plochy vymezené křivkou zdnou prmetricky x ϕt) y ψt) pro t [α, β], ϕt), kolem osy x: Q x π β α ψt) [ϕ t)] + [ψ t)] dt Fyzikální plikce Funkce st) udává délkovou hustotu v bodě [ϕt), ψt)] pro křivku zdnou prmetricky x ϕt) y ψt), t [α, β] Potom M vyjdřuje hmotnost křivky [ Sy M, S ] x M jsou souřdnice jejího těžiště, kde S x S y jsou tzv sttické momenty křivky vzhledem k ose x, resp y Přičemž pltí M S x S y β α β α β α st) [ϕ t)] + [ψ t)] dt, st)ψt) [ϕ t)] + [ψ t)] dt, st)ϕt) [ϕ t)] + [ψ t)] dt Nechť nyní funkce sx) udává délkovou hustotu v bodě [x, fx)] pro křivku grfem funkce fx), x [, b] Potom pltí M S x S y b b b sx) 1 + [f x)] dx, sx)fx) 1 + [f x)] dx, xsx) 1 + [f x)] dx Funkce St) udává hustotu obrzce vymezeného křivkou zdnou prmetricky x ϕt) y ψt), t [α, β] Potom M vyjdřuje jeho hmotnost [ Sy M, S ] x M jsou souřdnice jeho těžiště Přičemž pltí M β S x 1 S y α β α β α St)ψt)ϕ t) dt, St)ψ t)ϕ t) dt, St)ψt)ϕt)ϕ t) dt Nechť nyní funkce St) udává hustotu obrzce vymezeného křivkou určenou grfem funkce fx), x [, b], osou x Potom M vyjdřuje jeho hmotnost [ Sy M, S ] x M

3 496 II Integrální počet funkcí jedné proměnné jsou souřdnice jeho těžiště Přičemž pltí M b S x 1 S y b b Sx)fx) dx, Sx)f x) dx, xsx)fx) dx

4 II 5 Aplikce integrálního počtu ) Určete obsh plochy vymezené grfy funkcí fx) x + x gx) x x + Nejdříve musíme určit průsečík obou funkcí, tj vyřešit rovnici fx) gx), tzn že x + x 5 x 1 5 x 1 Nvíc, v intervlu [ 5, 1] pltí gx) > fx), proto hledný obsh vypočteme s pomocí následujícího integrálu S 1 5 [ x x + ) x + x ) ] dx [ x x + 5x ] x x + 5 ) dx ) 4 4

5 498 II Integrální počet funkcí jedné proměnné 47) Určete obsh plochy ohrničené křivkmi x + y y x Nejdříve musíme určit průsečík obou funkcí, tj y + y y 1 y 1 Vzhledem k podmínce y x je pro nás zjímvá pouze hodnot y Potom x 1 1 x 1 Nvíc, n intervlu [ 1, 1] pltí x > x, proto hledný obsh dostneme pomocí integrálu S 1 x x ) dx 1 + rcsin 1 1 ) 1 + π 4 [ x x x + rcsin ) ] 1 x Při výpočtu jsme využili následující integrál x x dx sin t dx cos t dt sin t cos t dt 1 sin t cos t dt cos t dt cos t cos t 1 1 cos t + 1 ) dt cos t + 1) dt 1 sin t + t + C ) x sin t cos t + rcsin + C x ) 1 x x + rcsin + C x ) x x + rcsin + C

6 II 5 Aplikce integrálního počtu ) Určete obsh oblouku cykloidy x t sin t, y 1 cos t, t [, π] S Doszením do vzorce pro obsh plochy mezi prmetricky zdnými křivkmi obdržíme π π 1 cos t) 1 cos t) dt π cos t + 1 ) cos t dt 1 cos t + cos t ) dt cos t cos t [ t sin t + 1 ] π sin t π 4

7 5 II Integrální počet funkcí jedné proměnné 49) Určete, v jkém poměru dělí křivk P : y x plochu kruhu K : x + y 8 Zdání je znázorněno n následujícím obrázku Z obrázku je zřejmé, že ve stejném poměru, jko dělí prbol kuh, dělí horní větev prboly y x horní půlkruh y 8 x Pro výpočet budeme potřebovt souřdnice průsečíku horní větve prboly horního půlkruhu Poznmenejme, že nás zjímá pouze průsečík v I kvdrntu, což nám umožní volnější úprvy y y, x 8 x, x 8 x, x + x 8, x

8 II 5 Aplikce integrálního počtu 51 Průsečík má tedy souřdnice [, ] Nyní spočítáme obsh červeně vyznčené plochy 8 S x dx + 8 x dx [ ] 8 x + 8 x dx x dx 8 + π π π 8 cos t dt π π 4 x 8 sin t dx 8 cos t dt 8 π π 4 π cos t 1 + cos t dt [ t + 8 π π 4 1 ) + π sin t 8 + π dt ] π π 4 π sin t 8 cos t dt Z rovnice kruhu vidíme, že jde o kruh o poloměru 8 Protože červená ploch má obsh + π, zbytek horního půlkruhu má obsh 4π + π) π Hledný poměr je tedy π ) : π + ), neboli 9π ) : π + )

9 5 II Integrální počet funkcí jedné proměnné 44) Odvoďte vzorec pro výpočet plochy elipsy s poloosmi b Obecná rovnice zdné elipsy je tvru E : x + y b 1 Tto rovnice zdává implicitně funkci horní dolní půlelipsy Příkld vyřešíme tk, že si z rovnice elipsy explicitně vyjádříme funkci horní půlelipsy pomocí ní pk spočítáme obsh čtvrtiny elipsy, která se nchází v I kvdrntu Horní půlelips je dán funkcí f : y b 1 x Intervl, n kterém tto funkce zdává čtvrtelipsu v I kvdrntu je x [, ] Můžeme tedy počítt S 4 b π b 1 x dx b 1 x dx π 1 sin t cos t dt b x sin t dx cos t dt π cos t dt b b [ ] π sin t t + bπ 4 Vzorec pro obsh elipsy s poloosmi b je tedy S πb π 1 + cos t dt

10 II 5 Aplikce integrálního počtu 5 441) Určete délku grfu funkce fx) ln x pro x [, 15] Doszením do vzorce dostneme l x dx x x dx t 4 t 1 t dt t t 1 dt ) t 1 dt t t t x x dt 4 dx t x + 1 t dt x dx t 1 [ t + 1 ln t 1 1 ln t + 1 ] ln 1 ln 5 1 ln ln + ln 1 ln 5 ) dt

11 54 II Integrální počet funkcí jedné proměnné 44) Určete délku oblouku cykloidy x t sin t, y 1 cos t, t [, π] Aplikcí odpovídjícího vzorce obdržíme π π l sin t) + 1 cos t) dt cos t dt 1 cos t sin t π sin t [ dt 4 cos t ] π 8

12 II 5 Aplikce integrálního počtu 55 44) Určete délku oblouku řetězovky fx) cosh x, I [ 1, 1] Připomeňme, že pltí l sinh x ex e x, cosh x sinh x sinh x dx 1 1 cosh x dx [ sinh x ] 1 1 sinh 1 e 1 e 1 ) cosh x dx cosh je všude kldný ) 1 sinh

13 56 II Integrální počet funkcí jedné proměnné 444) Vypočtěte délku oblouku křivky fx) ln ex +1 e x 1 l 1 pro x [1, ] Nejdříve vypočteme uprvíme výrzy potřebné pro výpočet integrálu, tj f e x x) 1 + [f e x +1) e x 1) x)] e 4x + e x +1 e x +1) e x 1) 1 + ex e x 1 Proto můžeme spočítt 1 + e x e x 1 dt 1 1 e x 1 + ) [ ex dx x + 1 e x 1 ln e x e 1 ) e +1 ) ln e x 1 ] + ln e 4 1 ) + 1 ln e 1 )) 1 + ln e 1 přičemž jsem využili následující dv integrály dx t x e x 1 dt dx 1 dt e t 1 1 e t e t e dt e t u t e t dt du 1 du u u 1 1 u + 1 ) du u ln u + 1 ln u 1 + C 1 t + 1 ln e t 1 + C x + 1 ln e x 1 + C; e x e x 1 dx t e x dt e x dx 1 1 ln e +1 ) 1 ln e +1, e dt t 1 1 ln t 1 + C 1 ln e x 1 + C

14 II 5 Aplikce integrálního počtu ) Určete objem rotčního těles, které vznikne rotcí podgrfu funkce fx) sin x, x [ π, 1π ]e, kolem osy x 6 1π 6 V x π ) π sin x dx π π π 1π 6 π 1π 6 π 1 + sin x + 1 ) 4 sin x dx sin x 1 1 cos 6x) 1 + sin x cos 6x) ) dx [x 1 cos x + 18 x 148 sin 6x ] 1π 6 π π 16 π

15 58 II Integrální počet funkcí jedné proměnné 446) Vypočtěte objem těles, které vznikne rotcí podgrfu funkce fx) 1 1+x, x [ 1, 1], kolem osy x Poněvdž funkce f je sudá, můžeme spočítt poloviční objem n intervlu [, 1] Proto 1 ) [ 1 1 V x π dx π 1 + x rctg x + 1 ] 1 x π π 1 + x ) π π + ), 4 4 neboť ) 1 dx K 1 + x, 1) 1 K 1, 1) + 1 x 1 + x 1 rctg x + 1 x 1 + x + C

16 II 5 Aplikce integrálního počtu ) Určete objem těles, které vznikne rotcí prvního oblouku cykloidy x t sin t, y 1 cos t, t [, π], kolem osy x V π π π π π neboť pltí cos t dt cos t dt 1 cos t) 1 cos t) dt π π 1 cos t + cos t cos t ) dt [ t sin t + t + 4 sin t sin t + sin t 1 cos t) dt ] π π π + π) 5π, 1 + cos t dt t sin t + + C; 4 1 sin t ) u sin t 1 cos t dt du cos t dt ) u du u u + C sin t sin t + C

17 51 II Integrální počet funkcí jedné proměnné 448) Njděte vzorec pro výpočet objemu komolého kužele s poloměrem podstv r 1, r výškou v Jký je objem nekomolého kužele? Komolý kužel lze vytvořit tk, že necháme rotovt lichoběžník s vrcholy kolem osy x [, ], [v, ], [v, r ], [, r 1 ] K výpočtu ovšem potřebujeme funkční předpis přímky dné body [, r 1 ] [v, r ] Ten njdeme ve směrnicovém tvru y kx + q Doszením bodu [, r 1 ] do rovnice přímky ihned dostneme, že q r 1 Pomocí této znlosti doszením bodu [v, r ] do rovnice přímky dostneme směrnici k r r 1 Úsečk, jejíž rotcí vznikne plášť studovného v komolého kužele je tedy dán předpisem y r r 1 x + r 1, x [, v] v Nyní použijeme známý vzorec v ) r r 1 V x π x + r 1 dt v Umocním závorky jednoduchou integrcí polynomu obdržíme výsledek V 1 πvr 1 + r 1 r + r ) Obyčejný kužel je speciální přípd kužele komolého s nulovým poloměrem jedné podstvy Tedy položíme-li npř r 1, r r, získáme vzorec pro objem obyčejného kužele ve tvru V K 1 πr v

18 II 5 Aplikce integrálního počtu ) Určete obsh pláště těles, které vznikne rotcí podgrfu funkce fx) sin x, x [, π], kolem osy x Ob oblouky cykloidy jsou stejné, můžeme se omezit pouze n intervl [, π], proto Q x π π sin x ) cos x dx 4π 1 + t dt 8 cos x t sin x dx dt π 1 8 ln + ) 5 + ) 5 4π ln + 5) + 8π 5 [ 1 t 1 + t dt 8π ln t + t 1 + t ] Při výpočtu jsme využili následující výpočet primitivní funkce 1 t sinh u + t dt dt cosh u du cosh u du cosh u cosh u 1 1 cosh u + 1 du 1 ) sinh u + u + C sinh u cosh u + u + C cosh u sinh 1 cosh u sinh u + 1 t t rcsinh u + C Nvíc přímým výpočtem ověříme, že rcsinh u 1 t ln + t + 1

19 51 II Integrální počet funkcí jedné proměnné Položme sinh x ex e x y, potom ln y + y e x e x + 1 ln e x e x ln ln e x e x ln e x e x e x + e + x e x + e + x + 4 e + x + e x ) 4 + ex + e x ln ex x rcsinh y

20 II 5 Aplikce integrálního počtu 51 45) Určete obsh pláště těles, které vznikne rotcí podgrfu funkce fx) 4+x, x [ 4, ], kolem osy x Q x π 4 π 4 + x) dx π x) dx ] [4x + x π ) π

21 514 II Integrální počet funkcí jedné proměnné 451) Určete obsh pláště těles, které vznikne rotcí krdioidy srdcovky) x cos t cos t, y sin t sin t, t [, π], kolem osy x Q π π π π π π 4 8π 4 8π sin t sin t) sin t + sin t) + cos t cos t) dt sin t sin t) 8 sin t sin t cos t sin t sin t cos t cos t dt cos t cos t sin t sin t sin t) 8 1 cos t dt 8π π [ sin t 1 cos t) / dt ] u 5/ 5 4 8π 5/ 5 ) u 1 cos t du sin t dt π π sin t 1 cos t) / dt 4 8π 4 8π π u / du

22 II 5 Aplikce integrálního počtu ) Určete obsh pláště těles, které vznikne rotcí prvního oblouku cykoidy x t sin t, y 1 cos t, t [, π], kolem osy x Q x π π π π π 8π 1 cos t) 1 cos t) + sin t dt 1 cos t) 1 cos t dt π π 1 1 sin t dt 8π 1 u ) du 16π π π 1 cos t ) sin t dt 1 cos t) / dt 1 cos t sin t 1 sin t ] 1 [u u 16π cos t u dt du 1 π 1 ) 64 π

23 516 II Integrální počet funkcí jedné proměnné 45) Vypočtěte souřdnice těžiště homogenní půlkružnice x + y r, y Podle příslušných vzorců obdržíme π π M σ r sin t) + r cos t) dt σr dt πσr, π π S x σ r sin t r sin t) + r cos t) dt σr sin t dt σr [ cos t] π σr, π π S y σ r cos t r sin t) + r cos t) dt σr cos t dt σr [sin t] π Proto souřdnice těžiště jsou [ ] [ T πσr, σr, r ] πσr π

24 II 5 Aplikce integrálního počtu ) Vypočtěte hmotnost souřdnice těžiště křivky x cos t, y sin t, >, x, y, kde délková hustot v bodě sx) v bodě [xt), yt)] je přímo úměrná x-ové souřdnici bodu Podle příslušných vzorců obdržíme M S x π π π k π k cos t cos t sin t) ) + sin t cos t ) dt k cos t 9 cos 4 t sin t + 9 sin 4 t cos t dt k cos t cos t sin t cos t + sin t ) dt k [ u 5 π cos 4 t sin t dt 5 ] 1 k 1 5 cos t u sin t dt du π 1 ) k 5, [ k cos 4 t sin 4 t dt k 1 18 k π 18 k π 56, k 1 u 4 du sin 4t + 18 t + 1 sin 8t 14 kde jsme využili následující primitivní funkce cos t dt t sin t + + C, 4 cos t u 1 t dt cos dt du u du 1 ) u sin u + + C t sin 4t + + C, 4 8 sin 4 t cos 4 t dt cos t cos t cos t) 1 cos t) dt cos t + cos 4 t ) t u dt 16 dt du 1 sin 4t t t + 1 ) cos 4 u du sin 4t cos u) du sin 4t + + cos u + cos u ) du sin 4t u + 1 ) 1 1 u sin 4u sin u C t 1 1 sin 4t + sin 8t + C S y Dále pltí π k cos 7 t sin t dt u cos t du sin t dt 1 π [ u k u 7 du k ] π ] 1 k 8

25 518 II Integrální počet funkcí jedné proměnné Proto těžiště má souřdnice [ k T 8 5 π, k k 56 ] [ 5 5 k 8, 15π ] 56

26 II 5 Aplikce integrálního počtu ) Vypočtěte souřdnice těžiště trojúhelníku s vrcholy O [, ], A [, 1] B [, ] M σ S x 1 σ 1 x ) dx σ [x x 4 1 x ) 1 dx σ 1 σ [ x x S y σ x 1 x ] σ 1) σ, ) 1 x + x dx 4 ] + x 1 1 σ + 8 ) σ 1, ) dx σ Souřdnice těžiště tedy jsou ) [ ] x x x dx σ x σ 8 ) 6 6 σ T [, 1 ]

27 5 II Integrální počet funkcí jedné proměnné 456) Vypočtěte hmotnost souřdnice těžiště rovinné homogenní plochy omezené křivkou y sin x, x, x π osou x π M σ sin x dx σ [ cos x] π 4 σ, S x 1 σ π S y σ π [ ] x 4 sin sin 6x x dx σ σπ 1, x sin x dx 9 σ [sin x x cos x] π kde jsem využili sin t x x dx dt dx 1 sin t dt 1 t sin t C x sin 6x + C, 1 u x u x sin x dx 1 σπ 9, 1 1 ) cos t dt v 1 cos x v sin x 1 x cos x + 1 cos x dx 1 x cos x sin x + C 1 sin x x cos x) + C 9 Proto těžiště souřdnice jsou dány [ σπ T 9 4σ, σπ ] [ π 4σ 6, π ] 4

28 II 5 Aplikce integrálního počtu ) Vypočtěte souřdnice těžiště rovinného obrzce ohrničeného křivkou dnou předpisem y 6x x osou x M σ 6 S x 1 σ 6 S y σ 6 ) 6x x dx σ [x x 6x x ) dx 1 σ x 6x x ) dx σ 6 6 Těžiště má tedy souřdnice ] 6 σ 18 6) 6σ, 6x 1x + x 4) dx 1 σ [ 6x 6x x ) dx σ [ 6x T [, 18 ] 5 x4 4 ] 6 18σ 1x4 4 ] 6 + x σ,

29 5 II Integrální počet funkcí jedné proměnné 458) Vypočtěte souřdnice těžiště rovinného obrzce ohrničeného cykloidou x t sin t), y 1 cos t), t π osou x M σ π 1 cos t) 1 cos t) dt 9σ π S x 1 π σ 9 1 cos t) 1 cos t) dt 7 σ 7 σ π Př 447) 7 S y σ π 7σ σ π 1 cos t + cos t cos t ) dt 1 cos t) dt π Př 447) 1 cos t) dt [ t sin t + ] π cos t sin t + t) sin t sin t t sin t) 1 cos t) 1 cos t) dt π 1 cos t + cos t ) t sin t) dt Př 48) 9σ4π 7σπ, 7 15 σ 5π) πσ, 7σ t sin t t cos t + cos t sin t + t cos t cos t sin t ) dt [ t 7σ + cos t t sin t cos t cos t + t cos t sin t + t) t ) ] π cos t + t cos t 7σ π + π π 1 4 ) 7σπ, k čemuž jsme v posledním integrálu využili u t u 1 t cos t dt Př 447) v 1 cos t sin t + t) v cos t 1 cos t sin t + t) 1 cos t sin t + t) dt 1 cos t sin t + t) 1 ) cos t t + C, u t u t cos t dt 1 v sin t v cos t t sin t sin t dt t sin t + cos t + C, u cos t cos t sin t dt du sin t dt u du u + C t cos + C, cos u cos t t sin t dt du sin tdt u du u + C t cos Proto souřdnice těžiště jsou dány [ ] 7σπ T T 7σπ, 15πσ 7σπ [ π, 5 ]