KVADRATICKÁ FUNKCE (vlastnosti, grafy)

Transkript

1 KVADRATICKÁ FUNKCE (vlstnosti, gr) Teorie Kvdrtikou unkí se nzývá kždá unke dná předpisem ; R,, R; D( ) je proměnná z příslušného deiničního ooru unke (nejčstěji množin R),, jsou koeiient kvdrtiké unke, přičemž.. kvdrtiký koeiient.. lineární koeiient.. solutní koeiient kvdrtiké unke Jednotlivým členům v zápisu kvdrtiké unke tké říkáme.. kvdrtiký člen lineární člen.. solutní člen resp. koeiient kvdrtiké unke Gr kvdrtiké unke A) Sestrojme gr zákldní kvdrtiké unke, tj. unke, pro kterou pltí,, Vtvořme tulku unkčníh hodnot jednotlivýh odů, ležííh n gru kvdrtiké unke splňujíí výše uvedený unkční předpis. Volme vhodné ( ) > <

2 Vpočtené souřdnie jednotlivýh odů zvolenýh unkí vznčme v souřdniovém sstému (sestrojme orz těhto odů v ) spojme je křivkou získná křivk je pk grem příslušné kvdrtiké unke (viz níže). = = > =,5 = V ; o os prol < o os prol V ; = -,5 = - = -

3 Vlstnosti unke grem kvdrtiké unke je křivk zvná PARABOLA gr kždé kvdrtiké unke souřdni gr kždé kvdrtiké unke VRCHOL PARABOLY je souměrný podle os krtézské soustv prohází odem ; V tento od je tzv. > ) gr unke leží nd osou (prol je otevřen směrem nhoru ) ) unke je sudá unke její gr je souměrný podle os, protože pltí ( ) ( ) tj. hodnot unke v odě ( ) je stejná jko hodnot unke v odě 3) pro ; pro ; ) pro je unke klesjíí je unke rostouí má unke minimum tj. V ; vrhol prol 5) D ( ) R R, H( ) < ) gr unke leží pod osou (prol je otevřen směrem dolů ) ) unke je sudá unke její gr je souměrný podle os, protože pltí ( ) ( ) tj. hodnot unke v odě ( ) je stejná jko hodnot unke v odě 3) pro ; pro ; ) pro je unke rostouí je unke klesjíí má unke mimum tj. V ; vrhol prol 5) D ( ) R R, H( )

4 B) Sestrojme gr dlšíh kvdrtikýh unkí, přičemž gr kždé kvdrtiké unke ; R,, R; D( ) posunutím gru zákldní kvdrtiké unke lze získt g Řešené úloh Příkld. Sestrojte gr kvdrtiké unke 3 posunutím gru unke vlstnosti unke! g zpište Řešení Kvdrtiký koeiient v předpisu unke prol je otevřen směrem nhoru. Sestrojíme gr unke g posuneme jej o 3 jednotk v záporném směru os (tj. o 3 jednotk dolů), čímž získáme gr původní unke 3 Všimněme si, že vrhol prol unke má souřdnie V ; 3 g = o = - 3 D( ) R H ( ) klesá v roste v sudá 3; ; ; - -3 V ; 3

5 Příkld. Sestrojte gr kvdrtiké unke pomoí gru unke vlstnosti unke! g zpište Řešení Kvdrtiký koeiient v předpisu unke prol je otevřen směrem nhoru. Funkční předpis unke uprvíme následujíím způsoemprvou strnou v zápisu unke tvoří kvdrtiký trojčlen vtvářejíí vzore ( ) V tkovém přípdě při sestrojení gru unke postupujeme tkto ) Sestrojíme gr unke g ) Gr unke g posuneme o jednotku v záporném směru os (tj. o jednotku dolev), čímž získáme gr původní unke ( ) Protože pltí, že ( ), všimněme si, že vrhol prol unke má souřdnie V ; = (+) = + + g = o D( ) R H ( ) ; klesá v roste v ; ; ni sudá, ni lihá V ;

6 Příkld 3. Sestrojte gr kvdrtiké unke zpište její vlstnosti! Řešení Kvdrtiký koeiient v předpisu unke prol je otevřen směrem nhoru. Funkční předpis unke uprvíme následujíím způsoem. ) N prvou strnu unkčního předpisu se snžíme dostt vzore, ož provedeme tkto ) první dv člen kvdrtiký lineární opíšeme ) přičteme polovinu lineárního koeiientu umoníme jej n druhou 3) toto získné číslo od výrzu zse ihned odečteme ) opíšeme solutní koeiient (člen) z předpisu unke () () ( ) 3 první tři člen vtvoří poždovný vzore kvdrtikého trojčlenu dv dlší člen novou konstntu. ) Sestrojíme gr unke g 3) Sestrojíme gr unke h ( ) posunutím gru unke dolev, ted v záporném směru os g o jednotku ) Sestrojíme gr unke ( ) 3 posunutím gru unke h ( ) o 3 jednotk dolů, ted v záporném směru os, čímž získáme gr původní unke Protože pltí, že ( ) 3, všimněme si, že vrhol prol unke má souřdnie V ; 3

7 h = (+) g = o D( ) R H ( ) klesá v roste v 3; ; ; ni sudá, ni lihá = (+) 3 = = + V ; 3 -

8 Teorie Gr kždé kvdrtiké unke je souměrný podle přímk, která je rovnoěžná s osou krtézské soustv souřdni prohází odem v v V ; nzývným vrholem prol. Určení vrholu prol (oeně) ) ( Pk pro souřdnie vrholu prol pltí V v v ; ; Řešené úloh Příkld. Sestrojte gr kvdrtiké unke 3 zpište její vlstnosti! Řešení ) Njdeme vrhol prol. způso nlezení vrholu prol Užitím vzore pro výpočet souřdni vrholu 3 ; ; ;. 3 ;. ; ; V v v vzore = V V Je-li předhozí výrz V V

9 . způso nlezení vrholu prol Úprvou unkčního předpisu 3 3 ( ) V v ; v ; ) Kvdrtiký koeiient prol je otevřen směrem nhoru. 3) Nlezneme několik odů, ležííh n gru dné kvdrtiké unke, užitím tulk unkčníh hodnot! -ové souřdnie odů volíme Resp. nlezneme průsečík gru unke s osou osou os os ; 3 ( 3).( ) 3 ; () ové souřdnie odů dopočítáváme podle dného unkčního předpisu ) Sestrojíme orz těhto nlezenýh odů v souřdniovém sstému od spojíme. (Pmtujeme, že prol je souměrná podle přímk, proházejíí vrholem prol rovnoěžné s osou )! Rovněž můžeme vužít znlostí o posunutí gru unke g nejprve o jednotku v záporném směru os (dolev) následně o jednotk v záporném směru os (dolů)! = o D( ) R H ( ) klesá v roste v ; ; ; ni sudá, ni lihá V ;

10 Příkld 5. Sestrojte gr kvdrtiké unke 6 8 zpište její vlstnosti! Řešení ) Njdeme vrhol prol. způso nlezení vrholu prol Užitím vzore pro výpočet souřdni vrholu ; 6; 8 V. 6.( ) 36.( ) ; ; ; 8 3; v v. způso nlezení vrholu prol Úprvou unkčního předpisu 6 8 ( 6 9) 9 8 ( 3) V v ; v 3; ) konstntu před kvdrtikým koeiientem (jinou než ) vžd vtýkáme před závorku ) do závork opíšeme kvdrtiký lineární člen, všk dáváme POZOR n použití správnýh znmének v závore 3) závorku doplníme n kvdrtiký trojčlen podle již dříve zmíněnýh prvidel vzniká vzore pro výpočet dvojčlenu ) v tomto přípdě odečtenou novou konstntu následně opět přičteme opíšeme solutní člen unke 5) unki uprvíme do již známého tvru, z něhož určíme souřdnie vrholu prol ) Kvdrtiký koeiient prol je otevřen směrem dolů. 3) Nlezneme několik odů, ležííh n gru dné kvdrtiké unke, užitím tulk unkčníh hodnot! -ové souřdnie odů volíme ové souřdnie odů dopočítáváme podle dného unkčního předpisu Resp. nlezneme průsečík gru unke s osou osou os ; os 6 8 ( ; () ) ( ).( )

11 ) Sestrojíme orz nlezenýh odů v souřdniovém sstému od spojíme. (Pmtujeme, že prol je souměrná podle přímk, proházejíí vrholem prol rovnoěžné s osou )! Rovněž můžeme vužít znlostí o posunutí gru unke nejprve o 3 jednotk v záporném směru os (dolev) následně o jednotku v kldném směru os (nhoru)! V 3; D( ) R H ( ) klesá v roste v ; 3; ; 3 o ni sudá, ni lihá = 6 8

12 Úloh k provičování Sestrojte gr kvdrtikýh unkí zpište jejih vlstnosti! ) ) 3 3) ) 6 5) 3 5 6) 5 7) 3 8) 6 8 9) ***. ) *** g v téže soustvě souřdni ) *** g v téže soustvě souřdni VYSVĚTLIVKY Učivo oznčené smolem *** je určeno studentům studijního ooru Tehniké leum