3 - Póly, nuly a odezvy

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "3 - Póly, nuly a odezvy"

Transkript

1 3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí

2 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeosu jsou kořey jmeovatele pro gs () = bs () as () jsou to komplexí čísla si: as ( i) = pokud přeos emá stejou ulu (a rozdíl od matematiky): Odpovídají módům přirozeé odezvy Patří mezi póly systému Póly přeosu gs ( i ) Póly systému kořey charakteristického polyomu (společého jmeovatele všech přeosů) det ( si A) vlastí čísla matice systému ve stavovém popisu λ ( ) i A charakterizují vitří dyamiku systému, jeho vitří rezoace jsou rovy komplexím frekvecím, které je systém schope sám geerovat (módy odezvy a jeho počátečí stav) ezávisí a vstupí matici B ai a výstupí matici C, tedy ezávisí a umístěí aktuátorů a sezorů (v otevřeé smyčce) = Póly Póly systému Michael Šebek ARI-3-5

3 Nuly přeosu Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Nuly přeosu (přeosové uly) jsou kořey jeho čitatele bs () pro gs () = jsou to komplexí čísla si: bs ( i) = as () Výzam pro řízeí uly přeosu jsou komplexí frekvece, pro které je přeos mezi vstupem a výstupem bloková měí odezvu a tím komplikují ávrh řízeí (viz dále) Michael Šebek ARI-3-5 3

4 Nuly systému Automatické řízeí - Kyberetika a robotika jsou uly přeosu () () před vykráceím tj. když as = si A přesěji jsou to kořey polyomu Schurův doplěk Cadj( si A) B+ det( si A) D= si A B = det( si A) C( si A) B+ D = det C D oproti ulám přeosovým jsou tu avíc vstupí uly (rové pólům eřiditelé části), tj. zi:rak[ zii A B] < bs as ( ) det( ) výstupí uly (rové pólům zii A zi :rak epozorovatelé části), tj. < C Výzam pro řízeí uly systému charakterizují, jak je systém spoje s okolím závisí a B, C, D, tedy a poloze sezorů a aktuátorů estabilí uly ztěžují řízeí, ěkdy je dokoce uto soustavu předělat Michael Šebek ARI-3-5 4

5 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Pól v ekoeču má eryzí racioálí fukce (přeos) Tedy, když je stupeň čitatele větší ež stupeň jmeovatele Např. s Gs () = s= lim Gs ( ) = s Póly a uly v ekoeču Takový systém emůže samostatě existovat, je zapojeí s jiými - zesiloval by i ekoečé frekvece Nula v ekoeču má striktě ryzí racioálí fukce (přeos) Tedy, pokud je stupeň čitatele ostře meší ež stupeň jmeovatele Např. Gs () = lim Gs ( ) = s s takové jsou všechy fyzikálí systémy, blokují ekoečé frekvece Počítáme-li s ásobostmi a ekoečými ulami a póly, tak má každý přeos stejý počet ul a pólů Michael Šebek ARI-3-5 5

6 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Systém. řádu bez ul Impulzí odezva Skoková odezva (impulzí charakteristika) (přechodová charakteristika) t t at T at T g() t = ae = e ht () = e = e T h ( + ) = a= T % a g( + ) = a = T.9 a Gs () = = s + a + Ts a Im Re.37a T = a T 3T 4T 5T.63. Doba áběhu T r.t Doba ustáleí Ts = 4T T T 3T 4T 5T Michael Šebek ARI-3-5 6

7 Systém. řádu bez ul (stabilí) Automatické řízeí - Kyberetika a robotika ω ω ω ω Gs () = = = = s s s j s j s s + ζω + ω ( + σ ωd)( + σ + ωd) ( + ζω) + ω( ζ ) ( + σ ) + ωd Tradičě ozačujeme přirozeou frekveci (atural frequecy) oscilací etlumeého systému ω = b Gs () = b s + as + b a b > frekveci expoeciálího útlumu (expoetial decay frequecy) σ = a obálka ± e σt poměrý útlum, tlumeí (dampig ratio) σ T a ζ = = = = cosθ ω π ω frekveci tlumeých oscilací (damped frequecy) T σ ωd = ω ζ = b ( a ( b)) Michael Šebek ARI-3-5 7

8 Systém. řádu bez ul - zajímavé případy Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Netlumeý systém σ =, ω = ω, ζ = d ω Gs ( ) = s + ω gt ( ) = ω siω t ω ht ( ) = cosω t Im ω = ω d Re ω d Podtlumeý systém ζ <, σ = ζω, ω = ω ζ d Gs () = = s ω + ζωs+ ω ω ( s+ σ jω )( s+ σ + jω ) d d Im σ = ζω ω = ω ζ d Re ω d gt = e t σt ( ) ( ω ωd) siωd [ cos ω ( σω)siω ] σt ht () = e t+ t d d d Michael Šebek ARI-3-5 8

9 Systém. řádu bez ul - zajímavé případy Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Kriticky tlumeý systém ζ =, σ = ω, ω =, d ω Gs () = ( s + ω ) Přetlumeý systém ωt () = ωte g t ωt ht () = e ω te h( t) = ω t ω Gs () = s ω = ( s+ σ )( s+ σ ) + ζωs+ ω ω gt () = σ ( t σt e e ) ζ e σ σ σt σ σ + σ σ ζ : e σ = ω = + = σ ζω ω ζ σ ζω ω ζ σ t, σ Im Michael Šebek ARI σ Im Re Re

10 Systém. řádu Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Všechy případy v jedom obrázku Avšak pozor: Je to přesě tak je když systém emá uly! Michael Šebek ARI-3-5

11 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Doba ustáleí (settlig time) 4 Ts = ζω Doba. maxima (peek time) π Tp = ω ζ Systém. řádu: vzorce pro podtlumeý případ Překmit, překývutí (overshoot) ( ζπ ζ ) % OS = e ζ = π ( OS ) ( OS ) l % + l % Doba áběhu T r : rozumý vzorec eí, je graf ze simulací. Přesto ěkteří užívají velmi přibližý odhad.8 r ω Michael Šebek ARI-3-5 T

12 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Někdy můžeme systém s více póly aproximovat systémem s dvojicí domiatích pólů A pak můžeme vzorečky pro. řád aplikovat a tu dvojici Např. pro systém s dvojicí komplexích pólů a ještě c + ca A=, B= třetím reálým pólem je odezva a skok c + b ca bc A Bs + C D b D = ys () = = + + s ( c + b ca s + as + b)( s + c) s s + as + b s + c c a + ca bc Je-li -c blízko dvojice, zaedbat ho emůžeme! C = c + b ca Je-li hodě daleko alevo, má vliv zaedbatelý Pravidlo 5 : Třetí pól zaedbáme, je-li aspoň 5 víc alevo od imagiárí osy ež reálá část domiatí dvojice Někdo používá Pravidlo Raději to vždy ještě ověříme simulací Vliv dalších pólů Domiatí póly c : A, B, C a, D Michael Šebek ARI-3-5

13 Vliv uly Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Přidáme k systému s přeosem gs () a odezvou ys () ulu v a, což změí přeos a ( + sags ) ( ) a odezvu a ( + says ) ( ) Odezva ového systému bude složeá z původí a ásobku její derivace ys ( ) = ( + says ) () = ys () + ( sa) ys ( ) Je-li ula hodě stabilí (tj. a je velké kladé), má čle s derivací ( sa) ys () zaedbatelý vliv a odezva se skoro ezměí Je-li to ula stabilí méě (tj. a meší kladé), je vliv derivace výzamý! y= ( + sy ) Skoková odezva má typicky a počátku y = derivaci kladou, tedy čle s derivací s se přičte a způsobí větší prví překmit Bude-li ula estabilí (záporé a), má derivace opačé zaméko a odezva je zpočátku dokoce obráceá sy Nuly eovlivňují typ módů, ale jejich relativí vliv, eboť v rozkladu a parciálí zlomky ovlivňují je čitatele (rezidua) ( + ) + 9 Michael Šebek ARI-3-5 3

4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost

4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost 4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost Michael Šebek Automatické řízení 25 25-2-5 Stabilita obecně Automatické řízení - Kybernetika a robotika Stabilita obecně

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Á Š Ř ý ů ý Ž ů ý ů ý Č ý Ž ý ě ě Š ů ě ý ý ů ý ů ě ě Š ů ý ý ů ýš ý ů ý ň ý ň Ž ě ý É ý ý ž ý ň Ý Ý ů ě ě ý ě ě ý ě Ž ě ů Ý Š ě Š Ž ě ě Š ě ě Š ů ě ě ě ů ý ý ž ý ě ě Š ů ě ě ě Š ů ý ý ý ů ě ě Š ů ě ě

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

ě á á áš ží á ř é Č é á á ě á ě ě š ř ů á ř ě ě š ř ů ě á áš á áš Ú Č áš á ž á ř é á Ř á á úř Č á á ř ě á áš ž á ř é ý úě é áš á ě ý ý ě ý ř Ž á Ž ě ř ř ů ů ý ý ě á é ž á Í ř ý ě ý é á é é Ž ř é ů ř á

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

ČÁ š Č Á ř š ú Č Š š Č É Ó ť Ů Ě Ž Ó Ó Ž ť Ž Ě Ú Ž ď Á Á Ř Á Ž Ě Ř Ž Ě Ř ÁŘ Á Á š š Ě š Č ď Č Ě Á Ě Š ÁŘ Á š Ě ť ÁŘ Ý Ů É Ř š ř ť Ž Ú Ů ť š ř š Ž ť ř Ž š š š š Ž Ž Ž ť ť ň ť ť š ť ť Ž ť Ž ť ť Ř Ř Ž š ť

Více

Ú č ší ž čá ů í í č í á á ší á š í ž š ž žá éž é á š ý ší ř ě čá š í ě í í á í š šíč á ř í é ý ž í í í á ž ří ě ž ýč ýč ě á ě ý á í íš ž ř í á ší á í ě é ů ě í ší é í í š šíí ě é ž Š í ý č ý ý ě é ří š

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

ě ý ť ť é ě č ž é š é ě ž Ž Ž É Ž č č č č č ř ó ó ž č é ěř ě ýš é ž ý ě ž é ú ú ď Ů ú é ž Ť Ť Ť ň ť ň ď Ž ě ý ť é é ě č ž é ýš é ě ž Ž Ž É Ž č č č č č ř é é ž č é ěř ě ýš é ž ý ěž Ú ď ú ď Ú ť ú É Ó ř Ď

Více

ó ý ě ŘÍ ú š ě ů ě ě ý ýš ň Í ě ý Č ť ť ý ř š ě ř š ě ýš ě š ě š ě ě ýš ě š ě šť ě ž š ě ý ý ý š š ě š ě š ř ě š ě ě ř š ě ě š ě š ě ý ě š ě ý ě ř Ž ú ů ř ž ú š ě Ž š ě ě š ě Č ť ú ú ř Ž š ě ýš ř š ě ý

Více

ě ě á ř í í ří í š í í á áš í í ěř á í ř í í ÍÍ í Ů ě á í í š ž í á ě á á ý ý Ů Č č ř í š á í ř í í ří í ř á á í ž ř áš á í ě ř í Š á í ř úš ř í ř í š ář ř áš ůž ř í Š ř á í Š ě á Š ář í š žá á í í ř Š

Více

á ý é č č á ž á á ý é á Í á á ř á á ý é ř é á á á č ř á á ý á ř á á ý á č ý á č ý á č á č žá á č ý á é č é ř ýš ý ů ž ž ž ý č á Ž á ý ř ů úč čá č Š á Ýš č Ť ř á ý ů ž ů ř ž ř ž é á Ž žá ů č ř ů ý ý úč

Více

á ář á ř ř Č ř áč ě řá ú á ř č á á á á á ú ů ř ř Č á ř á á á Š ž č ě ř č ý ů á á ř ř ú á ř ž ý ý á á ž á ř č ů á á ů ř ý ý áš á ěř á ž á á ěř á á ř ž á ě ě á á žá á ů ý ř žá ř ě č ě á ě á ř ž ú ů ř ř ž

Více

ř ě ě Š ř ů Š Ř Ž ě ú š ř é ř é é š ý ě ř é ý é Ž Ž é š ý ú ř ě Í ý ř Ž é ř é é ž ř ě ř ě Ó é ž ř Ž ž ř ž ž ř ě ř ř ž ř ř ř Ž ř ř Ž ý ý ě ž ž ý ě ř Ž Ž ř ě é ě ř Ž é ř ě ů ř Ž ě ě Í ě ě ů ů ř ž é ř ž Ž

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

áš š ř ř á ž ď š á š ó á á š á á ů Ž ť á á ř ň á ř á š á š ó š á šť ř ž é ž ř á ž ď é ý ó ý úř ř á ž ř Ň á É ž ř č ář Á Ě šť Ř á č á ů ž ř ý á ů á á ů ž ř š ř ů č ú á š á š Ó Á š á š Ó Á á ý řč č š š ř

Více

É Ř Á Ý Ý Ě Á í í Á í á ář Úč ř í í í í ý ř ň á í í á é ř é é á á ý í á á ň č á á á é á í í á í í á ží á ý á í í í ří č í í é á í ří í é á é ář Žá Ž í é í é á í ří á í ř á í ř á ří Š é á á č í í á ý ř

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium

Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky ELEKTRICKÉ POHONY. pro kombinované a distanční studium Vysoká škola báňská - Techická uiverzita Ostrava Fakulta elektrotechiky a iformatiky ELEKTRICKÉ POHONY pro kombiovaé a distačí studium Ivo Neborák Václav Sládeček Ostrava 004 1 Doc. Ig. Ivo Neborák, CSc.,

Více

Příklady k přednášce 11 - Regulátory

Příklady k přednášce 11 - Regulátory Příklady k přednášce 11 - Regulátory Michael Šebek Automatické řízení 2015 23-3-15 Soustavy s oscilujícími módy V běžných průmyslových procesech je to méně časté, ale některé důležité aplikace mají hodně

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

ř Í ř ě Ú ý ě ř ě Ú ú Ú ě ě Ú é Ú ž é ě ř ž é ě Ř Ě ř ě é ů é é ř ý ě é ř é é ř ř ř é š ě é ž ř ý ú ýš ý ř ě ř š ě ž ý é ř ě ň é é š ž ž ř ě ž ř ý ž š é ú ř ý ů ě ě š ž ž ý ř ů ř é ř é ř é é é é ě ž ž

Více

Ú ů ěš Š ň š Ú ě ě ě ů ž ý ě Ú ž ý ž ý ů ď š ě ž ů ů ů ýš ě ý ý ů ě š ě ě Š ě ý ě ď ě š ýš ž ě š ěž ěž ů ěš ý ě š ý ý ý ý ý ý ý š š Ř ž ž ě ě ž ý ú ů ů ě ý š ě ě ě ě š š ň ě Č ý ě ěž ž ý ú ů ž ě ě ě ý

Více

ň ý ú ž ě ě Ž š ý ú š ý ě ě ě ý š ů ě ě ě š ů ě ě š ů ů ýš ý ě ž ú ě ě ě š ů ě ě š ů ě ě ý ž ů ů ó ě Č ú ě ě š ú ň ě ý ž ů ů ý ě ý ž ů ý ě ý ž ů ů ý ů š Ž ů É ď ť ý ž ú Ž Ž ý ů ů ů ú ý ů ě ý ů ě ě š ů

Více

š Á š š ů š ý š Č Š Č ň ý ž ů ý ž ů Č ý ž ú Ň Š Í š ý ú ý š š š ý š š š š ý š š š Ů š š š š ý ů ů š ý ň š š š ž ů ň š ž ž ň ý ž š ý ý š ý š ý ú ů ž ý š ž š ú ú š ý ň ň š ý š š š Ú ú š ý ů š š š š š š š

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

Á Ž í é á ž é ří íší ě é ý á ě ý ž ů ý íší ě é ř ě ší ší ří ě ší é ě é ý ž á í ří ň ó ň ě ž ě ý á á ž á á é čá í í í í ší í čí íý é ř í á ř ž ž č ě ě ů é í í í á ě á é í é é ř á ý á í ý ů í ý í ů á é é

Více

ý ř é á é Š á ě ů ř á á é á á ž á ě ř ý á á é ě á á á ú ě á čá š Č Č š á š ý ě é ř á ý ě éř ř ý á ť á ř á á ř é á ř č ř é á é š Ž á é á ř ě ů é á ř š é é é ý ě ř ě ř é á ř ě á á áž ý ý ý ý č ě ý ř ě š

Více

ú Í ŤÍ ď š ě ě ř šť Á Š É Š Ě š ě Č Č š ě é éř Í ě éč éř É šť ř é ě ý é Ž ů ů ň Č Č Č Š ř ý Ó ý š ě ý ř é ě ý Í ž š é š ě ě š ě é é ý é ě ý Ž éř Ž Š Ž ř Šť éř Í ř Č Č Č ě ý éř Í Ž ě ě ý éř Í ř šť ěř é

Více

Ř Í Ř ě é ě č č é ž é ě ř č ř é ě ř ý č ÍŘÁ č ř č ř ř ě Í č é ž ž é č ž č ů ě š č é ž ůč ž ý é é é ž š č ý ř ý ž é úř ý č š é ř ě š ř ý ř Č é ř ř ů č Í ř ř ř ě ý ý ř ě š ř č ž é ř ř č ě ř č č ř ě ě ů é

Více

š š ř š ř š ží ř ý úř ř š ř š ř ř š ř Ž Ž ý ý ú ú š ř ř Ž š ý ř ř ý ř š ř ř ž ý ý ř ř ú ý ř Ó ř ý ř š ř ý ží ř ř š ž ř ý ý ř Ž Ž ř ří ý ý ž ř ý ř Ž ý Ž ř š ú ř ř ý ř ú ř Ž š ř Ž ý ž ř ú Ž ř ř ř ž ř š Ž

Více

Ý ý ú ý é ý ě ě š Ů ú ý Ů ý ů ě ě š ů ý ú é é é ě ú é ú ě ý ť ě ó é ý ú é ý ě ý ů š ú é ž ú ě é é ý ý ú ů é Ů ý ě ú ě ú é ň é ú ě ě Ý š ě š ě ů ě Ň š ě é ě é ě ů Ý ů ě ěž ý ý ů ů ť ý ž ěž ú é ú ěž ý ž

Více

ř ú ú Š Í Á É ř ř ř é é ř ř š é ř ř š ř é ž é ž š é š é é ř ů ž ž ř é ř ů é é ž é ř é é ř é ú é é ž é é š ň é ř š é š é Ť é ř ů ž ž ď ř é é é ž ř é Š ů é ř é ř é Š ú ř Í ž ž ř ř Í é š ž é ř Ť š ř ř ř š

Více

ň ý ě ý ý ý ě ň ý ě ý Ú ú ň ň ý ě ý ó ž ý ň ě ě ě ú ú Ř ň ň ý ě ý ě ě ž ý ž ě ý ě ý ě ě ů ě Ů Č Í Ě Á Á Í ě ě ě ě Ž Ů ú ě ě ě Ú ě ů ě ý ě ě ú ň ý ě Ů ž ů ž ě ý ý ý ý ě Č Č ě Č ě ů ý ě ý ý ž ě ě ž ů ž ě

Více

ě ě ú ě ě ě ě ě ň ě ň ů ě ů Ý ě ě ů ň ě Í ě ň ě ě Ž ě ň ě ě ú ů ú ě ě ě ú ě ě ě ě ě ě ů ě ů ě ě ú ů ě ě ě Ž ů ě ě ú Ž Ž Ú ě ě ě ě Ž Ž ě ť Ž Í ě Ž ě Ž Ž ů ěž ů ěž ě Í Ú ů ě ů ě Ž Ž Ž ě ě ě ů ě ě ě ě ě ů

Více

Á Ú ŠŤ Ů ú Č š Č ř ě Ž šť ě ě ý ř š ě Č Č Ú ě ě š ě ě ů š Ž š ě š š ě ř ě ž ž š š ě š š ě ý ř š š ě ů ř š š ě ě ě ě š š ě ě š ú ě Ú ýř š š ě ě Ú š š ž ř ů ý ě ž Ě É Ú Í Í Í Š Ě Í Ú Í š ř ř Č š ě ý Í ě

Více

ý ý ž ž š š ě ě ě ě ě ě ž Á ť ě ý ý ý Ú ý ž š ý ý ž ý ž ý ž Š ě ý ž ý ž Í ý ž ě ž ě ý ú ě ě ý ý ě ě ý ě ú ů ý ž ě ú ú ě ý Ú š ú ů ýš ů ě ú š š ý Ú š ý ě ďě š ú ž Š ě ú Š ě Ť ž ú š ú ž ú ě ě ť ě ý ú ě ž

Více

Á Í Č Ě Č ň ť Š Č Ť ň ň ď Ť Ú ť Č ň ď ť Č Š Ž Ú Ť Ť Ť Ť ň Ť Ť ť Ť Ť Á Ť Ť Ť ď Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť ň ďť Ť Ť Ť Š Š Š ď ň Č Š ň Š ť Š ň Š Š Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ť Ú Š ň ť ť Š ň Š Ž ť ť ť ň Š Č Š Š Í

Více

Á ŘÁ É É Č ž Č ř ř ř Č ř ř Š ř řů ž š ú ů ý ř ř š ř ř ř ý ů řů ř ř Č Ů ř š ř ý ú ů ů ř ř ř ř ř ý ř ř ř ř ú řů ř ů ž Ž ř ř ř řů ř ř ř ř ř ž ř ř ř ř ž ř š ý š ř řů ř ž ř ř ř ž ř ř ž ž ř ž ř ů ř ý ů řů ř

Více

Ý Ř É Á ý ď Ř Á É Á Á ě Ř É Á ě ě ó ý ř ě Ů ě ř ý ě ě š ř ů Á É Ř ý ř ý ů ž ž ý ěř ř ě ž ý š ě ř ě ř ý ý ě ě ď ř ó ů ď Ú ú ř ě ě ě ř ě ě ř ý ž ě ě ř ě ý ě ě Ř Ě Ř É ř ě ř ě ď Ž ř ď ý ď ř ý ě ř š ě ě š

Více

í Á É Á Ř Ň Á í É í š í á á ě š Ú ý ů ě í á ý ř ří í í č á á ř čň á í ý í ů á í ě š á Š í čí á ě í Š Žá á č ý š á ě ě ě í ší á ů á ý š á í ý č í ě á Ú ří ě č í ýš ý ý í čň á á Ú ý ů ě á ř č čň á í ýš í

Více

ůž Ý í ů é í á í ě ý ř ó í Ó ř ě č ů ž ž é ří é í á á áž ě í á ý ě š ž ů ěř ž ě á í ž á á ý á č ý á ý ý ě á ě š í ý á řá á č í á í ů í á š ý á ž á í á é Č ě ý á á í čí ě ší ž á í é í é é é íž é ě č í ý

Více

č Á š Ř Á š Ě Š ř š Ť Í ř ř ř ř Š č é ů š ř Ř éž ř š é Ú ý č é ž ř š ř č ř š é Č ž ř ř ř é é ž ý ř č ř č ý ý š é ř š ú ř ř č ž ů ů é č č čů ý ý ř ý é ý é ř éč ř ý ř ý ž ř č č é ž ř ř é ř ý ň č é ý é é

Více

Ě ČÁ Š š š éč Š ď Í Í Í č ů é ý éč Š ž é é č ú Š é ř š ž é ř ž č Č š ž ú č ý č ť é é é é é Č ž é č é ž é ž č ý ý ň č ž ž č č úč ř ů ř ř š ř č ý ý ů č é Š Í Ž é ž é ý ů č Š ý Č éč č ů ý ý ú Ť ž Í é Č é

Více

ú Š ň ú ú ů ž Č ů ó Ý ů š ú ú ů ů Ů ů ú Ů ů ť ž ú ú ú Ů ž ú ž ú Ů Ř ž ů ú ů Ý Ě ú ů ň ž Ř ň Č š ž Ř Č Š ž ž ň ž Š ž š ů š Ý ž ž ž š ž Š š š š ú ž š š ň ůš úš ž š ů ž Ý š ň š ž ž š š ů š ú š Č ů ů š ž ů

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

í ď é ď é á ž í č é á č é ý á íč Č á č áý í í ý č í í á Ž é á í ů ě éúč ž á ř čí á í č á í á í Č é í ř ěž é čí á í č í ž ě á Í í á í í š ě á íž čá ř í í í á ž é á í á í ř ž ě ř Č ů ř ěž ý ů ř ž ě á í ůž

Více

Á šť š ě šť Č šť Č Č Č ř ě ž šť ř ž Č Č Č Á Ň ř š ě ů Č ř š Š ř Č ď š š ě Ú ů ř š š ě ú ř š ě š ě ř ž ě š ě š ě ě ě š ě Š ř ň ú ů š ě ž Š ě š ě ž š šť ě ě ě š ů ř ž š š ě š ú ž ř š š ě ž ů ě ž ž ž ž ě

Více

ě á é é á á ý š ř í ě Ý ř é á á á á á í í Ž ě é Ú Č á á á éž ěž ě ý ý ář š í ě ý ý ů ě í č í ěž é á í Ž Ž í é Č é á á Č í á ř š í á ě é ů ř í č č í Č ě ň ůčž á á ří š ří á Žá č éř š íř š í í í ěžá ě ý

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Á Í á á á š ú ě š Č á á ř á á é ě é úř é á á ř á é ř ý á á č ú á á š á ř ě á č č ě á ř š č ěř á č š ě š ě Č á č á č ř ě ř é á ř ě ř é á á š ú ě Š ů ě ý é á é é č á ě č ě ů ý ě á é č á ř é á é áš ú č é

Více

á í ě í ž ě á ě č á é č á ů í ě á š ří í á š ě š ží č í í ý ě ě ý í é ý ě ý ířů ž í ží š í í ř é íž ě é ž ř š é ž í ě á í č ý ří ů Ž í á ě é í é ž á áč á č ý áš ě ší é Ž á ě ě ů á íž é ž í ě á ý á š ě

Více

á ó ú Ž ý á á š č š é á č ú Ž á ú é ř é š ů á á ý á á ý ř áš ý ý é á ý ů é ž á é ř ž ý řč ůž ý ř š éž á á č řč á é ý č č é é ů ý ý á Í á á Ž é č ř Ž ř š čů ů Ž č á Ž é Ž č š Ž Ž š á é š ó é š é ůž š ř

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

ž íč é á í Ž ř š á í é ů é í ř á á é ý á í ř ě š í ř ř ě á Ří ř í ř Š č í íč íš Ž éř á á é ě á ž í ď á á í í Ť ř é ý š íáš ě ě ů á ý ý í ě ý é č ť ý íč ř á ý ší ů ž é í ě ě íč íž á Íš ž í ýš í é é é ří

Více

á č é á é é ě č ě á á á á á ý š ů č č ů ť á á á á ů á á úč á ě Š Š č á úč á ě á á ě č é úč č č é č ú ň č ú č č ú č á č ě á á ě ú á ú ě á ů ě ú á Š á á ě č ě ě é Č ť ú ň á á ě ú á á ýš é čá č č á ě é á

Více

Č š ž ý ČŠ ý š šš é é ďě š ý ě ě š ů ě ě š ů é ě ě ě ě ý ů ě ě š ů Č ď š Í ě Í ě Č é ě ž ů ý ý š š ý Ť Ť ý ý š šš é é ě š ý ě ú é é š ý š é š ě ě ú ž ů ě ý š ě ýš ě ů š é ú ě ť ú ů š š ý š š š ý Ť š ě

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

ť ý ř ý ž í ř í š í ý ě ž í ř í š š č ř š š č Ž ý ě ěř í ý ú ř ř ý ě š ě í í Ťí í ř í ř Ž ř ě í ů ř ž ý ý í Ťí í ý š ř ž Ž ň í í í í ř úč í ř ú š č Č Č í í č ú í ř ř Č Ž í ř í ě ř č ě í ě í č ě ě č ě ě

Více

ó ý ó ě ť ě ě é ě ě é ď ú ý ů ý ů š ň ě ě é é ě ó ě é ě ú ě ý ě ý Ú é ě é ě ý ď ý ů ý ů ý ů Č é ž ý ň Ž ď é ý ú ě ý ě ý ů ě ě é ú ů ý ě é ě ý Í ě ý é ů ě ý ů ý ý ů ě ý ú ý ů Ž ú Ť ý ě ě ú ý ě ů ý ý Ů úě

Více

áž í í řá é áž Í á í á á ř í Č é í ř ě á á Ž Č Š ř ý á Í ě ší á á á é á í á í á í áš í ě é í á Ž ý í ů č á ř ě á í ří Š ý á é ůží í ě Ů Í š č á á ý á í ř í ú Š Č á é á í íž ý ř Č é Ž é í Ž ůž á ě á ř ě

Více

Š Ý š ý š ší í š á Ž ů č š č í í í ě ý š á í íč í í Ž í í čí í ě ěž ů Ž í í á í Ž á ě á Ž á č ý ý ý Ž á ě č í í ě áš í ě ý ů á č ý ě ě í ě í č á í í ě š ě ší Ží í á ší í áší á Ž č á Ž š í Ž í ů ů š í ž

Více

ý á ř é é č ř á ě Č é á ž é é čě á í é čě říš ý á é á á číš ě ú ú á á ý ýš í Ž čě é č é á í áš ýš ý ř ř á ě ě é ž í á š ě č ž é ú š ě úž é í ě á á ý ó í ýš ďé ěě řá říš ý á ó š žá š ý ř ú ř ú á š í ě ď

Více

Č á š é á á é á Ě ý á ý á úč č č é š á ů ý ů Ú ú á á á Č é š á ů ů č é š á úč á á ů ů Í ú č é š á č é ť š č úč é č é š ú Ú é é á úč é á é é č ý ď ť ý č ťá áš č é á é č úč š ů é é úč á č úč š ů é é úč á

Více

ů Č š Š É É Í Ě ť ú Č ů ž č ú ý ů ý ú Ú Č á ě á ý ř š ě šš ř č š ě š ě ý ř š š ě ř š ě šš č š ě ž ěř ý ř ř řá ý ů á ě š ě ř č řá č řá š ě ř ý ř č č á Č á á áš č á á č ě š Č š ů ž č ě ý úř ž ř á ě č ě ě

Více

ň Ý Á Ú ú ň Ó š š š ú ó ú ů ů ů š ů ů ů š ů ů ú ů ů ů ú ů ů ů ů ů ů ó ú ú ó ů ů ň ů ň ů ů ú ú ú ó š ó ú ú ó š ú š š š ú ú ů ň ú ů ú ú ú ů ú ú ň ů ú š ň ú š š š š ú ň ů ň ú š ů ů ň ů ů ů ů ú ů ú ú ň ú ú

Více

ř ř ř ř ř ř ř úř ů Žň ř ř Í š š ů ť Š Š Š ů š ř Š Š ž ů Š ú ř ř ů žň ř ř Č Í ř ú ů Č ú ů Č ň ú ů Č Ť ú Č ň ř ú ř ží ů ů ú ú ú Č ú Č ú ú Č ú ú ú Č ú ú ú Č ú ť ů ú ú ú ů ú ó ů ř ů ů š ř ř ů š ů š ř ř ň ů

Více

í í Á Á í ž Í í ě ě ý ý č ů ří ě é áž Ť é í í í í š čí á ž š ž í ř ž ě Í í Í š ý ů á í í ú é ě š é ě ýž ěč í ž ě á ř ř ý ě é á š ší ří ě ý Í ž í č Č í í ř ě í é í úť Í é ří ě ě š é ě ě é é ž í ří ě á í

Více

Ý Á ř á é á á č ř ý á á ě ě š ř ů á á á š á Č ý ř Á ř á ý ú ě á š á Č ý ř á é é ů Ž á é ú ě ě á š ý á ř á č ě ý é é č ě š ř ř ý ů é Ú é á á é ě á ě č ř ř á ř á č ú á ř é á š á Č ý ř á ý ř ý ř ý ř Š Č Č

Více

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I

8.2.10 Příklady z finanční matematiky I 8..10 Příklady z fiačí matematiky I Předoklady: 807 Fiačí matematika se zabývá ukládáím a ůjčováím eěz, ojišťováím, odhady rizik aod. Poměrě důležitá a výosá discilía. Sořeí Při sořeí vkladatel uloží do

Více

Základní pojmy o signálech

Základní pojmy o signálech Základní pojmy o signálech klasifikace signálů transformace časové osy energie a výkon periodické signály harmonický signál jednotkový skok a impuls Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Více

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla

Více

ř ě é ř š ž ř ý é ů ý é š ž ř é ě ě ň ž ř é ř ř ý ř Ý é Ý Ý ú é ř ř ě é ž ů Á ž Č é ť Ú ýš é ž ž ú é ú š ý ž ž Ž é ě ě é ě ř ě ů ě é é ú ě Ť é ě é ě ý ř ž ý ž ř ě š Ť ž ě é ý ě é ž ž ť ě š é ě é š ě š

Více

ř š ř š é úř Ú Č ě Ž ú ř ě ě š ě ě ě Í ř š é ř ú ě ř Á é ř é ý ř ě éž ě é ý Í é é ř Č ř ě é ý ř ě éž é ý Č ř ě ř ě éž ě é é š ř ú Ž é ě éř ě é ř é ýď ř ú ú ě ž ž ýš é š ý ě ů ř ú ž é ě é ř ů ř ú Ž é ě

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Í ý ú ú Ž Í Ž Í ů é ů Ž ů Ž ů Ž Í ů Ž ů Ž ů é ů é é éó ě ě ě ď ů ě ě š Í ů ě ý ě é ě ě ý ú ě Í ý ě ě š ů Š ě ě Ě ě ě ů ý é é ě ě Ó ú ú é ě é ů š ě Ž Ž Š ě ě ý é ů š ě š ě ž ý é ě ýš é Š ý ů ý ý Í Ž Ř ě

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

Á Á Í ŘÍ Í Ž Í Ť č é Ť é ť Ž Ť é č Í Í Š Ť Ť é č Í é Ž Ť č Í č Ť é é é é Č č é é č č Ť Ť Ť é é Ť Ť Í Ž é Ď Ď Í Ť č é Í Ž Í é Ť Í Ť é Ť é é Ť Ť Ž é Ť Š Ť é ň č Ť ď é č é ň č Ť ď č é Ť Š č é č é ň Ý ň Ť

Více

Š ŘÁ É É Š ŘÁ É É Ú š ř ř ř ř ý š ě ě ě š ů ý š ě ě š ř ů ý ň ě ě ý ěř ě ů ý ý ě ů ě ě ý ř ě ů ý ř ý ů ý ř ř š ů ř ř ě š ř ě š ů š ř ý ě š ř ý ř ů ř ř ůž ě ě ů ř ě ř ř ě ř Žš ů ř š ů ř ý ý Ž ě ý ř ř Ž

Více

ě é ě ř ě ě é ž é Č Č ř ě ž ý ě š ř ě ř ě ý ě ž úřé é ý ž ýš ý ý ě ě ě ě Č Ž É Ž Š Č ř ž ř ě ý ů ý é ě ř ř ě é ě é ř š ě ý ř ů ý ě ř ě é ě é ě ě ř š é ě ů é ř ž ýš ý š ž š ů š é ě ů ě ě ž š é ě š ř ě ň

Více

Ó ř í ý č é ó ě ů ř á ý č ě ě í ý í ř Č áč í ý čá á č é ú í č í á ý ý áš ě í ě č é ó ě ší á Ž ě ě ížá é é úž ří ě ší ě ů čí í í ě á é ý ě é ó ř í č á á í á ž é é ž ě ů ň á é í á č á ů č é í í ó ř á ý č

Více

É á ž ž ý Ů Ů ý Ů ř ž š ě á ň č ř ž ý Ů Ž É Á á á š á ř ú ř Č ě š ř š ň ů ě ěž ý ů á ří ář č ě Ů ář Á á ř č á á Č á ě ÍÁ á č ř áž Š ě á ě á á á Š ř řá ě ě ý ř á á á ý ě ě Ž á ž ý č á á ý ů á č č ě č á

Více

é é ě ž é ě ř ú ě ř ž ě Č ě ý ž ť ď ř ě ý ě é ř ř ř ý ř ř é ř ý é ě Ú ř ě ě ÚČ é ú š ě ž ú é Š ě é ř ý ř ž ř é ř ž ě é ž ů é ř ě Č ř é ř ě ž ý é ě ř ý ř ž ě ů ý ž é ž é ž ů é Ů Č é Ž é ý š ř é ě š ě ž

Více

ÁŠ Š Í É áš Š í é č á ó é á ší ě é š ů ě ě é í é á ž ď ě ů ží ě á í é ě é ě é é č í ž é ý ů ň č í ř ýš í ří í ž í á ů á á ů ď á ý í é á á í á í ě é í ř ž ě ě ě í ř ř ěž ž ě ě ž Š í é ř ž ž ď é č ř š ý

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

Í Í ť ř ř í š í ý ě é ří í úč ží í ý č ť š ř é č í í ě Í č íú č é Č í ě ě é í Ž ř ě ř é š í ý ě é ří í úč Ží í ý č š ř é č í í ě š ý č í é ý í ý ý í é í é š ř í ř ě š í é ř ě ý í Í Í Ý í Ú í ř š í ý ě

Více

ý ý ě ý ý ě ý ž š Ž ý ý š ě Ž ý ů ž ý Ž ý ý š ě ý š ž ů ý ě ě ý ž ž Ý ú ů ž š ý ž Ý ýš ž ů Ž ý ý š ě Ž š ů ě ě ý ž ě ý ě ý ž ý ž Í š ý ý ě ů ý ě ý Ž ě Ž ý ýš ý ý ý ů ě Í Ý ž ž ě ě ě ž ú ě ě ě ú ě ě ň ě

Více

š á č á č á í ů ž í í ě ě ě ý í í á ů á á í ů ž í í ě í ě ší ů č íú á á í á í á í á í á éž í é í í š á í ý í í é ů íž í í ý úč ů í í ý í ž é ží á íě š ě í á ý ž š á í í ě ů é á á í í á š ý á é ě á č á

Více