ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ týden doc Ing Renata WAGNEROVÁ, PhD Otrava 013 doc Ing Renata WAGNEROVÁ, PhD Vyoká škola báňká Technická univerzita Otrava ISBN Tento tudijní materiál vznikl za finanční podpory Evropkého ociálního fondu (ESF) a rozpočtu Čeké republiky v rámci řešení projektu: CZ107/00/150463, MODERNIZACE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ A DIDAKTICKÝCH METOD

2 OBSAH 1 LAPLACEOVA TRANSFORMACE 3 11 Úvod 4 1 Základní vlatnoti 4 13 Základní vlatnoti Chyba! Záložka není definována 14 Určování originálů z obrazu 6 15 Řešení diferenciálních rovnice 7 POUŽITÁ LITERATURA 10 CZ107/00/150463

3 3 1 LAPLACEOVA TRANSFORMACE OBSAH KAPITOLY: Definice L-tranformace Základní vlatnoti L-tranformace Rozklad na parciální zlomky Řešení diferenciálních rovnic MOTIVACE: Chování dynamických ytému popiují diferenciální rovnice Pro vyšetření základních vlatnotí ytémů je nutné umět co možná nejjednodušším způobem vyřešit diferenciální rovnice CÍL: Budete umět definovat Laplaceovu tranformaci a vyřešit lineární diferenciální rovnice pomocí Laplaceovy tranformace CZ107/00/150463

4 4 11 ÚVOD L-tranformace je důležitým nátrojem unadňující analýzu a yntézu pojitých lineárních dynamických ytémů Převádí ložitý problém z protoru originálu do protoru obrazů, kde je řešení takhle tranformovaného problému mnohem jednodušší Po vyřešení obrazu vypočítáme pomocí zpětné tranformace výledný originál, viz obr 1 Obr1 - Obecné chéma řešení problémů pomocí tranformace 1 ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI je definována vztahy: Přímá L-tranformace CZ107/00/ { } x( x( e t X ( ) L dt Zpětná L-tranformace x t L 1 1 ( ) πj ) kde je 0 t { X ( ) } X ( e d r (1), () α + jω - je komplexní proměnná ( α Re{ }, ω Im{ } ), t - reálná proměnná (v našem případě ča), x ( - originál (L-originál); funkce definovaná v oblati reálné proměnné pro t 0, ), X () - obraz (L-obraz); komplexní funkce definovaná v oblati komplexní proměnné,

5 5 j 1 - imaginární jednotka, L - operátor přímé L-tranformace, -1 L - operátor zpětné (inverzní) L-tranformace, C - reálná kontanta zvolená tak, aby v polorovině Re{ } X () neměla žádné ingulární body > C funkce Z přímé L-tranformace vyplývá, že zobrazuje funkci reálné proměnné x ( (v našem případě čau) na komplexní funkci komplexní proměnné X () Hodnota originálu x ( pro t 0 předtavuje ve fyzikálních interpretacích zpravidla velikot určité fyzikální veličiny v čaovém okamžiku t Protože ča t e mění pojitě, hovoříme o pojité tranformaci a je zřejmé, že L-tranformace bude vhodná především pro pojité ytémy, jejichž vlatnoti e dají vyjádřit pomocí lineárních diferenciálních, integrálních a integro-diferenciálních rovnic kontantními koeficienty Podmínky které originál muí plňovat: 1 muí být nulový pro záporný ča x( t 0 x ( ; 0 t < 0 muí být exponenciálního tvaru x( Meα0t, M > 0, α 3 muí být pojitá funkce 0 (, ), t 0; Splnění podmínek: 1 podmínka počívá v tom, že vždy vynáobíme danou čaovou funkcí Heaviideovým jednotkovým kokem, definovaným vztahem: 1 t 0 η ( ; 0 t < 0 a 3 podmínka odpadá, protože většina čaových funkci používaných v technice plňuje Výjimkou je např funkce x ( et Vztah mezi originálem a jeho obrazem e nazývá korepondence a zapiuje e ve tvaru x ( ˆ X ( Originál značíme malým pímenem a obraz tejným velkým pímenem Vztah mezi originálem a obrazem, které budeme používat při výpočtech tranformací 1 Linearita Derivace 1 řádu { a x a x ( } a X ( ) a X ( ) L ± ± (3) 1 1( 1 1 dx( L dt X ( ) x(0) (4) CZ107/00/150463

6 6 3 Derivace n-tého řádu 4 Integrace n d n x( 1 1 (0) ( ) i n n d x L X n 1,, 3, (5) n i 1 dt dt i 1 t 1 L x( τ ) dτ X ( ) (6) 0 5 Počáteční hodnota v čaové oblati x(0) lim x( lim X ( ) (7) t 0 6 Koncová hodnota v čaové oblati (pokud exituje) x( ) lim x( lim X ( ) (8) t 0 7 Pounutí v čaové oblati vpravo (zpoždění) L { x( t a} e a X ( ), a 0 (9) 8 Pounutí v čaové oblati vlevo (předtih) L a ( + e a X ( ) t x( e dt, a 0 (10) 0 { x t a} 13 URČOVÁNÍ ORIGINÁLŮ Z OBRAZU Pomocí lovníku L-tranformace najdeme vztahy mezi originály a obrazy Potíže mohou vznikat při určení originálu z obrazu Obraz je vždy ve tvaru racionální lomené funkce a čato je nutné jej rozdělit na oučet parciálních zlomků, které ve lovníku L-tranformace najdeme M ( ) b m m + + b1 + b0 X ( ), N( ) a n n > m n + + a1 + a0 Pokud tupeň jmenovatele n není větší než tupeň čitatele m, je třeba provét úpravu obrazu vydělením čitatele jmenovatelem Obraz ve tvaru ryze racionální lomené funkce můžeme zjednodušit rozložením na parciální zlomky, pro které již ze lovníku L-tranformace nadno najdeme odpovídající korepondenci: M() M() X(), r q N( ) ( )( ) ( + a+ b)( + c+ d) 1 kde ( 1) - odpovídá reálnému kořenu, ( ) r - odpovídá r -náobnému reálnému kořenu, ( a b) odpovídá komplexně druženým kořenům, CZ107/00/150463

7 7 ( c d) q odpovídá q -náobným komplexně druženým kořenům Obraz X() může být zapán v rozloženém tvaru : A B1 B Br C + D X( ) r ( ) ( ) + a+ b 1 E1+ F1 E E F + F q + q , q + c + d ( + c + d) ( + c + d) kde A, B, jou kontanty, které e určí např doazovací 1 B,, Br, C, D, E1, F 1, F,, Fq metodou nebo metodou neurčitých koeficientů Někdy je vhodné tyto metody kombinovat 14 ŘEŠENÍ DIFERENCIÁLNÍCH ROVNICE Potup řešení diferenciálních rovnic kontantními koeficienty je náledující Nejdříve muíme určit obraz diferenciální rovnice (rovnice e mění na algebraickou), najít obraz řešení a ten převét zpět do oblati originálu, viz (obr obr 1) Příklad 1: Vyřešte rovnice nulovými počátečními podmínkami: y ( + 4y( + 3y( 4e 3t y ( 0) 0; y (0) 0 Potup řešení: Obraz levé trany e rovná obrazu pravé trany Nejdříve muíme určit obraz diferenciální rovnice 4 Y ( ) + 4Y ( ) + 3Y ( ) + 3, 4 Y ( ) ( ) + 3, obraz řešení muíme pro další výpočty rozložit na parciální zlomky 4 A B C Y() + + ( + 1)( + 3) ( + 3) muíme vypočítat kontanty rozkladu, použijeme například doazovací metodou 4 A( + 3) + B( + 1) ( + 3) + C( + 1), 4 4A A 1, 4 C C, 4 9A + 3B + C, B B 1, pomocí lovníku L-tranformace (tab 3 vlatnot 16 a 17) je řešeni y t L ( ) e t 3e 3t te 3 t 1 3 ( 3) Příklad : Vyřešte diferenciální rovnici: y ( + 5y ( + 6y( 1, počátečními podmínkami y ( 0) ; y (0) 0 Potup řešení: V podtatě tejný jak v předchozím příkladu K vypočtu použijeme vzorec L y ( + 5y ( + 6 L 1 CZ107/00/ { } { }

8 8 Zavedeme-li L { y( } Y ( ) a použijeme-li vztah o linearitě (3), vztah o derivaci obrazu (4) a vztah o derivaci n-tého řádu (5), kde n, dotáváme: [ Y ( ) y(0) y (0)] + 5[ Y ( ) y(0) ] + 6Y ( ), doazení obou počátečních podmínek a úpravou dotaneme 1 Y ( ) [ ] , tím dotáváme obraz řešení Y ( ), ( ) pomocí lovníku L-tranformace (tab 3 vlatnot 3) je řešeni 1 1 y L { Y( ) } L η() t Příklad 3: Vyřešte diferenciální rovnici pomocí L-tranformace y ( + 3y ( + y( 6 ; y ( 0) 3; y (0) Potup řešení: Určíme obraz diferenciální rovnice [ 6 Y ( ) 1y(0) 0 y (0)] + 3[ Y ( ) 0 y(0) ] + Y ( ), doazení obou počátečních podmínek a úpravou dotaneme 6 Y ( ) [ ] , obraz řešení muíme opět rozložit na proporcionální zlomky A B C Y() + + ( + 3+ ) Řešení metodou neurčitých koeficientů (A + B + C) + (3A + B + C) + A Protože koeficienty u tejných mocnin komplexních proměnné muí být tejné, lze proto pát: 3 A + B + C, 7 3A + B + C, 6 A Z této outavy 3 lineárních algebraických rovnic nadno dopočítáme 3 neznámé kontanty: A 3, B -, C Pomocí lovníku L-tranformace (tab 3 vlatnot 4, 16 a 17) je řešení 1 3 t t yt () L + 3 η() t e + e Příklad 4: Najděte řešení nehomogenní lineární diferenciální rovnice řádu y ( + 3y ( + y( e t ; y ( 0) 0; y (0) 0 Potup řešení: Určíme obraz diferenciální rovnice Y ( ) + 3Y ( ) + Y ( ), + obraz řešení: Y ( ) ( + )( ) ( + )( + )( + 1) ( + 1)( + ) CZ107/00/150463

9 9 Řešení metodou neurčitých rezidui: ri 1 t 1 d r i t x( re[ X ( ) e ] lim [( ] i ) X ( ) e ri 1 i i i ( r i i 1)! d Kde počet různých kořenů je ( i 1, ) ; 1 1, 1-1, ; náobnot kořenů r 1 1, r, tupeň mnohočlenu ve jmenovateli obrazu n r1 + r 3, potom: 1 t 1 t y( lim ( 1) e lim ( ) e (1 1)! ( 1)( ) ( 1)! + ( 1)( ) t t t t t t lim e lim e + lim te e e te 1 + ( ) ( 1) ( 1) CZ107/00/150463

10 Použitá literatura 10 POUŽITÁ LITERATURA [1] ŠVARC, I 00 Automatizace/Automatické řízení Brno: Nakladateltví CERM, 00, ISBN [] VÍTEČKOVÁ, M 005 Slovníky L- a Z- tranformace řešenými příklady Otrava, KAKI ISBN X [3] VÍTEČKOVÁ, M&VÍTEČEK, A 006 Základy automatické regulace Otrava: VŠB-TU Otrava ISBN CZ107/00/150463