Mechanika hmotného bodu

Transkript

1 Mechanika hmotného bodu Pohybové zákony klaické fyziky Volný hmotný bod = hmotný bod (HB), na kteý nepůobí žádné íly (je to abtaktní objekt). Ineciální vztažná (ouřadná) outava = vztažná (ouřadná) outava, ve kteé e každý volný HB pohybuje ovnoměně přímočaře, nebo je v klidu.. Newtonův pohybový zákon (pincip) Exituje ineciální vztažná (ouřadná) outava (= těleo etvává ve vhodně zvolené vztažné (ouřadné) outavě v klidu nebo pohybu přímočaém ovnoměném, pokud není vnějšími ilami nuceno tento vůj tav změnit (Newton)) Pozn.: Všechny.., kteé e vůči jedné ineciální.. pohybují přímočaře ovnoměně, nebo jou v klidu, jou ineciální. Všechny.., kteé nejou ineciální, jou neineciální. Příklady ineciálních ouřadných outav: a) Heliocentická Slunce = volný HB = počátek outavy. Oy jou namířeny ke tálicím. b) Geocentická Země = počátek outavy. Oy jou namířeny v pevných měech ke tálicím. Pozn.: není přeně ineciální, neboť má v heliocentické.. nenulové zychlení způobené gavitační ilou Slunce na Zemi. Pokud však můžeme při zkoumání dějů v ní zanedbat pávě gavitační ílu Slunce, má vlatnoti ineciální.. c) Laboatoní je pjatá povchem Země.

2 Pozn.: Není přeně ineciální. Po většinu dějů (kátkodobých) ji lze dotatečnou přenotí považovat za ineciální. Ověření, zda je vztažná outava (vagon) ineciální, nebo neineciální.. Newtonův pohybový zákon (pincip) Síla F - vektoová veličina chaakteizující půobení jednoho tělea (nebo ilového pole) na duhé těleo. Výledkem tohoto půobení je defomace nebo změna pohybového tavu tělea nebo obojí. Zavedení: HB o m = kg e pohybuje v inec... kontantní ychlotí v. Nechť na něj půobí íla (ealizovaná např. pužinou) tak, že mu udělí zychlení a = m/ -. Půobení této pužiny na HB je chaakteizováno ilou N. Její mě = mě íly (pužiny). Hmotnot m tělea chaakteizuje etvačnot tělea, tj. vlatnot tělea, že bez půobení otatních těle nemění voji ychlot vůči ineciální.. a také to, že dvě ůzně hmotná tělea nabývají tejným půobením jiného tělea ůzných zychlení. Definice: kde a a m = m = kg, a a

3 m je hmotnot jednotkového hmotného nomálu (je uložen v Seve u Paříže), Mezináodní hmotnotní tandad kg má tva válce, jehož výška i půmě jou 39 mm. a je velikot zychlení a, kteé zvolená pužina udělí v inec... jednomu kilogamu, a je velikot zychlení a, kteé tatáž tejně potažená (jako v předchozím případě) pužina udělí v inec... těleu o hmotnoti m. Nejpřenější vymezení hmotnoti tělea: Hmotnot tělea je chaakteitika tělea, kteá učuje pomě mezi ilou půobící na těleo a uděleným zychlením Pozn.: hmotnot je veličina aditivní. Expeimentální zkušenot ukazuje:. Zychlení HB má tejný mě jako íla na něj půobící. Jejich velikoti jou i přímo úměné.. Půobí-li táž íla na HB o ůzných hmotnotech, je a ~. m 3. Půobí-li na HB oučaně íly F, F, LFn, je jejich účinek tejný jako účinek jejich výlednice Fv = F + F + L+ F n. Ze závěů -3 plyne: 3

4 . Newtonův pohybový zákon - = ma F v Pozn. : Doadíme-li do předchozí ovnice konkétní vyjádření F v jako funkce ouřadnic a čau (tj. tzv. ilový zákon), mluvíme o pohybové ovnici. 3. Newtonův pohybový zákon (pincip) - zákon akce a eakce Půobí-li jedno těleo na duhé při jejich tyku ilou F (akce), půobí duhé na pvní ilou F = F (eakce). Příklady nejčatějších il. Gavitační íla F g - půobí v celém objemu tělea.. Tíha G = F g + F o ( F g, neboť F g >> F o ). F o - etvačná íla odtředivá (Země e otáčí). 3. Síly vzájemného půobení lano výtahu na kabinu, kabina na lano. 4. Třecí íla: 4

5 tatická = tečná ložka íly, kteou podložka půobí na těleo, kteé je vůči ní v klidu. Ft 0, F t max, Ft max = fn, kde f je oučinitel tatického tření (je dán kvalitou tyčných ploch), N - nomálová ložka íly, kteou podložka půobí na těleo. F po F zůtane těleo v klidu. 0, F t max Po F > F t max e těleo začne pohybovat a íla tření klene. Nazývá e pak kinetická třecí íla = tečná ložka íly, kteou podložka půobí na těleo, kteé e po ní mýká. Ft = fk N, k kde f k je oučinitel kinetického (též mykového nebo dynamického) tření. Je funkcí kvality tyčných ploch a čátečně (většinou nepatně) i ychloti v vzájemného pohybu. 5

6 íla valivého odpou = tečná ložka íly, kteou podložka půobí na těleo, kteé e po ní odvaluje. Ft = v fv N, kde f v je koeficient valivého odpou. Je funkcí kvality tyčných ploch a čátečně (většinou nepatně) i ychloti v vzájemného pohybu. 6

7 Pohyb v neineciálních outavách. Někdy je vhodné řešit poblém v neineciální ouřadné outavě (jednoduchot popiu). Potom F v ma, avšak přidáním členů majících význam etvačných il lze zachovat její tva i v neineciální ouřadné outavě. Úloha:: Neineciální.. S vykonává neovnoměný tanlační pohyb vůči ineciální.. S : Hmotný bod e účinkem výledné íly F pohybuje vůči V S S. Platí : v = V + v, a = A + a, kde V je okamžitá ychlot a A okamžité zychlení S vůči S, v je ychlot a a je zychlení hm. bodu v S, v je ychlot a a je zychlení hm. bodu v S, Platí: Fv = ma = m( A+ a ) S : F ma= ma S : chceme,aby v F v = ma Z poledních dvou ovnic plyne: F = F ma = F + F, v v kde F = ma je etvačná (fiktivní) íla (má původ ve zychleném pohybu S vůči S a nikoliv v jiných těleech). Tedy i v neineciální ouřadné outavě platí, že oučin m a je oven výlednici všech il (kutečných i etvačných) Závě: Potulujeme platnot. Newtonova zákona i v neineciální outavě S. Potom k ilám kutečným muíme přidat i ílu etvačnou. 7

8 Pozn.: Síly etvačné mají na tělea tejné účinky jako íly kutečné (defomace, změna pohybového tavu) 6/58C. Kakadé v aute přejíždí vcholek, jehož pofil je přibližně kuhový, poloměem 50m (obázek). Jakou největší ychlotí muže jet, aby vozidlo neztatilo kontakt e ilnicí? 8

9 Mechanická páce, výkon a enegie Enegie tavová chaakteitika těle, jejich outav i fyzikálních polí. Podle toho, o jaké tavy e jedná, hovoříme o ůzných fomách enegie: polohové tavy polohová enegie, pohybové tavy pohybová enegie. Při fyzikálních dějích přechází enegie z jedné fomy do duhé nebo při inteakci ytémů i tyto jednu fomu předávají. Platí zákon zachování enegie: Celková enegie libovolné izolované outavy je tálá při všech dějích, kteé v ní pobíhají. Změny enegie a přechody enegie mezi outavami jou chaakteizovány veličinami páce a teplo. Jetliže jedna outava půobí na duhou ilou F, jejíž půobiště e pohybuje, koná íla F páci a přenáší enegii ovnou této páci. Tepelná výměna enegie enegie e přenáší ážkami molekul, tepelným zářením nebo pouděním látky. Většinou e výměna enegie mezi outavami ukutečňuje oučaně fomou páce i tepelnou výměnou. 9

10 Páce Expeimentální zkušenot: Enegie e přenáší, když oučaně půobiště íly e pohybuje íla má nenulovou ložku ve měu pohybu půobiště. Fyzikální definice páce to muí epektovat.. Páce tálé íly při přímočaém pohybu půobiště Páce W tálé íly na úeku P, P je definována takto: W = F coα P P [Nm] = [J] Jinak zapáno: W = F. Pozn.: 0 Po 0 α p 90 W f 0, α = 90 0 W = 0, p α 80 W p 0. Pohyb je elativní, tajektoie půobiště íly je v ůzných ouř. outavách ůzná W je v ůzných ouř. outavách ůzná. 0

11 . Páce poměnné íly při obecném pohybu půobiště Na tajektoii půobiště poměnné íly, kteá je oientována ve měu pohybu HB, zavedeme dáhovou ouřadnici. Tajektoii ozdělíme na malé elementy a zavedeme přílušné vektoy pounutí tak, že na každém z nich je páce F kont. W = F = F coα F coα ( ) V lim 0 je dw = F d co α = F d = F d Páce íly F na úeku P P je W = Σ W. Přeně W = F d = Páce výlednice několika il půobících v jednom bodě (při tanlačním pohybu i v ůzných bodech) je ovna oučtu pací jednotlivých il. F F + F + L+ F W = W + W + LW F d v = n n

12 Výkon íly Nechť íla F koná páci ( t) Definice: Střední výkon tř W během čaového intevalu t,t. P íly F v čaovém intevalu t,t : W ( t ) W ( t ) P tř = [W]. t t Výkon íly v čae t : dw P( t ) = limt t Ptř =. dt Platí: Nechť e půobiště íly F pohybuje v čae t ychlotí v dané ouř. outavě v. Potom: P = F. v Pozn.: Pomocí výkonu popiujeme, jak e páce íly koná v čae. Kinetická enegie hmotného bodu Nechť e HB pohybuje v ineciální.. po libovolné tajektoii z bodu P do bodu P účinkem ůzných il výlednicí F v. Potom páce WP P, kteou přitom vykoná F v je: W P P = mv mv, kde m - hmotnot HB, v je ychlot HB v bodě P, v je ychlot HB v bodě P. Důkaz povedeme výpočtem: WP = = = = P F v d Fv d ma d dv m dt d.

13 dv d Je d = dv = vdv, dt dt kde v je dáhová ychlot. Tedy v v W = mv dv = mv = mv mv P P v v neboť v = v, v = v ( v = v = v ). Rozbo: K přechodu HB z pohybového tavu (ychlot v ) do pohybového tavu (ychlot v ) je zapotřebí vykonat vždy tejnou páci W, kteá nezávií ani na poloze bodů P, P, ani P P na tvau tajektoie, ani na ychlotech během pohybu, ani na půběhu F v na tajektoii, závií jen na m, v, v. To umožňuje zavét fyzikální veličinu kinetickou (pohybovou) enegii E k v dané ouř. outavě (chaakteizuje pohybový tav HB)., Definice: Ek = mv [J] Je-li f 0 WP P, ychlot HB e zvětšuje a E k ote. Pozn.: Toto vše platí nejen po HB, ale po tuhé těleo, kteé koná tanlační pohyb. 3

14 Potenciální (polohová) enegie HB Páce tíhové íly: Tíhové ilové pole u povchu Země je homogenní, tj. tíhová íla G = kont. G = mg, kde g je tíhové zychlení. Vypočtěme páci této íly při přenou HB z bodu P ( x, y, z) do P x, y z. bodu ( ), W G = G d = Gxdx + Gydy + x x y y z z G z dz 4

15 Tedy páce G W G G =, G z ( 0,0 ) ( z z ) = mg dz = mg. z W nezávií na tvau tajektoie, po níž e HB přemiťuje, ani na ychloti HB, ale závií jen na výšce nad ovinou Oxy. To umožňuje zavét potenciální (polohovou) enegii E G hmotného bodu v homogenním tíhovém poli (tíhovou enegii) Definice:. Zvolíme libovolnou ovinu σ a po každý bod P σ položíme E G ( P) = 0.. Zavedeme vilou ou Oh počátkem v σ a oientovanou nahou. Potom tíhová enegie HB v tíhovém poli v bodě P ~ o ouřadnici h je E G = mgh [J] Pozn.: Síly, jejichž páce nezávií na tajektoii jejich půobiště, ale jen na počáteční a koncové poloze tohoto půobiště, e nazývají konzevativní. Tedy páce konzevativních il po uzavřené křivce je nulová. 5

16 Páce pužné íly Ideální pužina: hmotnot m = 0, je dokonale pužná, tj. velikot její defomace l je úměná velikoti F defomující íly (plňuje Hookův zákon). F Tuhot pužiny: k = l Síla pužiny (eakční íla k defomující íle F ): x = k F p ( ) x Její páce při její defomaci ze tavu, kdy ouřadnice půobiště íly F je x do tavu, kdy ouřadnice půobiště íly F je x. x x Wp = Fp ( x) dx = k x dx = kx kx x x Tato páce nezávií na způobu defomace, ale jen na hodnotách x a x. (Tedy íla pužina je konzevativní). Je tedy možné zavét veličinu Eel = kx, kteá má význam (potenciální) elatické (pužné) enegie pužiny. Mechanická enegie hmotného bodu Definice: V zadané ouřadné outavě je E = E + E. m k pot 6

17 Příklad: Po homogenní tíhové pole Země: E m = mv + mgh. Páce a mechanická enegie HB e pohybuje z míta P do míta P v ůzných překládajících e ilových polích. Platí: E m Em = W j, kde W j je oučet pací, kteé na úeku P P vykonají nekonzevativní íly. Důkaz: Součet pací všech il půobících na HB při přemítění P P : W v = mv mv, (i) kde W = W + W. (ii) v Platí (viz např. páci tíhové nebo pužné íly): W = E E (iii) konz konz pot pot Doazením (iii) do (ii) a pak do (i) dotaneme: E pot E pot + W j = mv mv. Odtud E E = W m m j. j Zákon zachování mechanické enegie Je-li W = 0, je E E kont j m = m =. 7

18 8