Fyzikální korespondenční seminář MFF UK

Transkript

1 Fyzikální koepondenční eminář MFF UK Úloha I.4... něo je tu nakřivo 6 bodů; půmě 3,1; řešilo 6 tudentů Pozoovatel e nahází na lodi na otevřeném moři ve výše h nad hladinou. Je vzdálen d od vodoovného zábadlí a to v takové poloze, že dívá-li e kolmo na zábadlí, plývá dolní okaj zábadlí hoizontem. Podívá-li e ale na zábadlí ve vzdálenoti l na tanu od kolmie, vidí, že e obzo nahází o ± pod dolním konem zábadlí. Učete polomě Země. Lubošek tpí mořkou nemoí. V elé úloze budeme považovat Zemi za dokonalou kouli. Po vyřešení úlohy je eeniální pávné pohopení potoové konfiguae a ouvilotí jednotlivýh paametů ytému. Začněme lokálním okolím pozoovatele jako na obázku 1 1. B l A C d ϕ β Ob. 1: Situae v okolí pozoovatele. Čákované elementy e nahází mimo ovinu pozoovatel zábadlí (konkétně pod ní). Označme polohu pozoovatele P, patu kolmie od P k zábadlí A, bod na zábadlí ve vzdálenoti l označme B a konečně označme C bod o pod bodem B, tj. půečík vilé oviny zábadlí, pojni pozoovatele a bodů na obzou a vilé oviny obahujíí P a B. ovněž zaveďme označení úhlů BPC jako φ a APB jako β. Ze ituae je zřejmé, že φ = atg l + d l + d, (1) o β = d l + d. Opavedlněním apoximae e budeme zabývat níže 1 V řešeném případě jme uvažovali, že o níže je měřené kolmo na přímku pohledu. Tato fomulae e dá též pohopit, že je měřeno vile, tj na pojnii e tředem Země. Oba přítupy dávají nakone po zanedbáníh tejný výledek. P 1

2 Fyzikální koepondenční eminář MFF UK ϕmax P A h H ψ S Ob. : Řez Zemí znázoňujíí geometiký význam hoizontu. Dále e zamylíme, o je vlatně hoizont kteý vidíme. Bod v linii pohledu na obzou označme A, třed Země označme S, ψ označme úhel A SP polomě Země, polomě kužnie-hoizontu a H označme velikot výšky vhlíku Země odděleným ovinou hoizontu. Z geometie ytému a z Pythagoovy věty plyne A P + = ( + h), A P = h + h, A P h, kde jme zanedbali člen h vůči členu h, potože je /hkát menší, ož je řádově milionkát. Tento ahetyp budeme používat během elé této úlohy, jelikož h je vůči velie malé. Po tuto velikot je i hodnota ψ: ( ) A P h ψ = atg = 1. Jak je známo, po ψ 1 platí tg ψ in ψ ψ, kde ψ je velikot onoho úhlu v adiáneh. Toto také umožňuje apoximae φ jakožto malého úhlu v (1), jelikož hodnota φ nikdy nepřeáhne ψ (viz ob. ). Po polomě kužnie-obzou je tedy 3 A P h. () Další ozmě, kteý e nám bude hodit, je H. Napíšeme-li Pythagoovu větu po tojúhelník A S, + ( H) =, H H + = 0, Bez újmy na obenoti toto může být třeba bod na obzou plývajíí e zábadlím. 3 Obdobné platí po délku přílušného oblouku tedy vzdálenot obzou po povhu Země (nebo po moři).

3 Fyzikální koepondenční eminář MFF UK doazením () dotáváme H H + h = 0, H = 1 4 ( ± 8h), H = ± h, ( ( H = 1 ± 1 h )), kde 4 jme použili binomikou apoximai (1 + h )n 1 + n h, jelikož h. Dotáváme tedy dvě řešení, jedno H = h a k němu komplementání H = h, budeme tedy uvažovat H h. (3) Jak tohle ouvií naším pozoováním? Na obázku 3 je ovina PBC, tj. ovina pozoovatele a měřené vzdálenoti obzou od zábadlí v pojeki do vilé oviny zábadlí. Cheme-li dát do vztahu φ otatními veličinami, můžeme jej například vyjádřit jako ozdíl úhlů CP a B P (třídavý úhel), to jet P B C ϕ H + h B C Ob. 3: ovina obahujíí, tzn. ovina obahujíí pozoovatele a vilii na zábadlí v bodě A. ( φ = CP B H + h P = atg ) atg ( ) H + h. (4) + Podle (3) jou čitatele agumentů zhuba h, podle () jou jmenovatele agumentů alepoň h. Agumenty akutangent jou tedy velmi malé a je tedy možné použít apoximai z (4) tedy dotaneme φ H + h atg (x) x, x 1, H + h + = (H + h) ( + ). (5) 4 Všimněme i, že kvadatiká ovnie po H by neměla eálné řešení po h > /. Toto je důledkem dříve povedené apoximae, kteá předpokládala h, tento haakte ovnie je tedy přijatelný. 3

4 Fyzikální koepondenční eminář MFF UK Tento vztah zatím v tomto tvau ponehejme a zabývejme e velikotí. Tak lze učinit podívámeli e na řez ovinou hoizontu jako na ob. 4. Vzhledem k pavoúhloti tojúhelníku B A platí ( + ) o γ =, ( ) 1 = o γ 1. (6) B C A γ Ob. 4: ovina obahujíí kužnii-obzo. Hodnota γ koeponduje hodnotou β, jak e ukáže z obázku 5 a náledujííh vztahů. P A β ϕ γ H + h B C Ob. 5: Abtake znázoňujíí ouvilot β a γ. Napišme i koinové věty po tojúhelník A PB, ep. A B po úhly β, ep. γ A B = A P + B P A P B P o β, A B = A + B A B o γ. 4

5 Fyzikální koepondenční eminář MFF UK Vezmeme-li Pythagoovy věty po tojúhelníky A P a B P, zíkáváme z ovnoti pavýh tan koinovýh ovni (H + h) + (H + h) + ( + )(H + h) ((H + h) + )((H + h) + ( + ) ) o β = = ( + ) o γ, Do vztahu doadíme (3), () a zanedbáme všehny členy typu h/ vůči členům typu 1 či 1/ o ξ 5 dotáváme zhuba o (γ) o (β). (7) Nyní už tačí dát dohomady ovnoti (1), (), (3), (5), (6) a (7) dotáváme hd φ (H + h) ( + ), ( + )φ h, φ 1 o β h( 1 o β 1), 1 h o β( o β 1) 1 φ, ( ) l + d 1 h, d ( hd l d ) l + d +, d ož je odhad po v dot dobém přiblížení. Podle Gauova vzoe po šíření hyb bude hyba učení poloměu Země ( 4 hd l 3 d ) l + d +. d Ukutečnit tento nápad v paxi je tehniky náočné, jelikož je potřeba šioký úhel pohledu na moře, alepoň čátečně tabilní pozoovatelkou základnu (malé lodě e budou hodně, yhle a čato houpat) a také je tím itlivější na přenot měření, čím níže jte nad hladinou. Pokud byhom povedli měření na velké výletní lodi, 6 mohli byhom povét měření paamety například h = 40 m, d = m, l = 1,5 m a ( ± ) = (,0 ± 0,5) mm, 7 naše výledky udávají polomě země jako = (5 000 ± 500) km. 5 Předpokládáme, že l není řádově větší než d. Poté lze výazy o ξ považovat za řádově 1 a + řádově. Naví i v tom případě by apoximae byla na mítě, jen by bylo třeba nahlédnout že výaz typu h/( + ) je ještě menší než h/. 6 např. 7 Vzhledem k tehniké náočnoti by bylo velie komplikované doáhnout vyšší přenoti. 5

6 Fyzikální koepondenční eminář MFF UK Komentáře k došlým řešením Největší poblémy dělalo pávné pohopení zadání. Za zmínku tojí také jiný potup, kteý vyhází z ylindiké imetie outavy pozovatel obzo. Lubomí Gund gund@fyko.z Fyzikální koepondenční eminář je oganizován tudenty MFF UK. Je zatřešen Oddělením po vnější vztahy a popagai MFF UK a podpoován Útavem teoetiké fyziky MFF UK, jeho zamětnani a Jednotou čekýh matematiků a fyziků. Toto dílo je šířeno pod liení Ceative Common Attibution-Shae Alike 3.0 Unpoted. Po zobazení kopie této liene navštivte 6