Přímé metody výpočtu charakteristických čísel matic

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Přímé metody výpočtu charakteristických čísel matic"

Transkript

1 Masarykova Univerzita v Brně Přírodovědecká fakulta Přímé metody výpočtu charakteristických čísel matic Bakalářská práce Vedoucí bakalářské práce RNDr. Ladislav Adamec, CSc. Brno 2007 Roman Melichar

2 Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatně pod odborným vedením RNDr. Ladislava Adamce, CSc. a s použitím uvedené literatury. V Brně Roman Melichar

3 Poděkování Na tomto místě bych rád poděkoval vedoucímu bakalářské práce RNDr. Ladislavu Adamcovi, CSc. za cenné rady, připomínky a čas, který mi věnoval. Dále bych chtěl poděkovat svým prarodičům za veškerou podporu, které se mi v průběhu studia dostalo a Janě Modlitbové za pečlivé přečtení textu a za morální oporu.

4 Obsah 1 Úvod 4 2 Vlastní čísla a vlastní vektory matic Maticespeciálníhotypu Charakteristickýpolynom,vlastníčíslamatice Podobnématice Vlastníčíslamaticovéhopolynomu Lineárníoperátory Vlastnívektoryavlastníčíslaoperátoru Konjugovanýoperátor Základní přímé metody řešení problému vlastních čísel MetodaLeverrierova Metodainterpolační MetodaKrylovova MetodaDanilevského Stabilita problému vlastních čísel 36 5 Příloha- kódy algoritmů KódalgoritmuLeverrierovymetody Kódalgoritmuprovýpočekoeficientů c mi Kódalgoritmuinterpolačnímetody KódalgoritmuKrylovovymetody KódalgoritmuDanilevslkéhometody Kódalgoritmuproměřenípřesnostijednotlivýchmetod Závěr 46 Tabulka použitých symbolů 48 Literatura 49 Rejstřík 50 3

5 Kapitola 1 Úvod Jednou z nejstarších matematicky zpracovaných úloh o vlastních hodnotách je úloha vyšetřovaná již roku 1744 Leonhardem Eulerem pojednávající o kritickém zatížení štíhlého prutu namáhaného tlakem, při němž by mohlo nastat vybočení prutu ohybem. S rozvojem klasické matematické fyziky se během 19. století objevily četné úlohy o vlastních hodnotách při problémech kmitání. Minulé století pak v různých fyzikálních a technických oborech přineslo takovou hojnost úloh, které vedly právě k výpočtu vlastních hodnot, že se tato úloha stala jednou z nejdůležitějších v lineární algebře. Proto bylo věnováno poměrně velké úsilí na vypracování metod jejich výpočtu, založených na nejrůznějších myšlenkách. Prvními z takto vypracovaných metod byly metody přímé. Protože však nebyly co se týče přesnosti vhodné pro náročnější úlohy, byly později rozpracovány i nepřímé metody řešení výpočtu vlastních čísel a vektorů, jejichž použití už bylo vhodné i pro rozsáhlejší úlohy. Úkolem této práce je vyložit několik základních přímých metod výpočtu, navrhnout algoritmy implementující tyto metody a vzájemně je srovnat z hlediska vyžadovaného počtu operací a jejich přesnosti. Tyto algoritmy budou zapsány v programovacím jazyce matlab. Omezíme se zde však pouze na výpočet koeficientů charakteristického polynomu. Výpočet jeho kořenů(vlastních čísel) bude implementován jednou ze základních funkcí matlabu. Poznamenejme ještě, že všechny zde probírané metody kromě Leverrierovy(z roku 1840) vznikly ve třicátých letech tohoto století. Tato práce je členěna do čtyř kapitol. Po úvodu následuje v druhé kapitole seznámení s problematikou vlastních čísel a vektorů. Ve třetí kapitole jsou pak vyloženy čtyři základní přímé metody řešení problému vlastních čísel a ve čtvrté kapitole je krátce pojednáno o stabilitě problému vlastních čísel a vlastních vektorů. Pátou kapitolu tvoří kódy algoritmů pro jednotlivé metody. V závěru je uvedeno srovnání přesností dosahovaných jednotlivými metodami ve srovnání s nepřímou metodou implementovanou v matlabu. Všechny uváděné teoretické poznatky jsou pro jejich názornost doplněny o praktické výpočty. 4

6 Kapitola 2 Vlastní čísla a vlastní vektory matic V této kapitole zavedeme základní pojmy týkající se vlastních čísel a vlastních vektorů a vyšetříme jejich vlastnosti. Poté o nich pojednáme v souvislosti s lineárními operátory. Poslední část této kapitoly věnujeme některým vlastnostem vlastních čísel a vlastních vektorů konjugovaného operátoru. Cílem této kapitoly je nejen zavedení těchto pojmů, ale také vyšetření vlastností, které tvoří podstatu metod jejich určování. 2.1 Matice speciálního typu Souhrn čísel uspořádaných do obdélníkového schématu nazýváme maticí. Zpravidla ji zapisujeme ve tvaru a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn nebo též A=(a ij ), i=1,2,..., m; j=1,2,..., n, kdečísla m, nudávajípočetřádkůasloupců.otétomaticipakříkáme,žejetypu m n.čísla a ij (většinoureálnénebokomplexní)senazývajíprvkymatice.pokud je m=n,nazývámepaktutomaticičtvercovoumaticí řádu naojejichprvcích a ij, prokteréje i=j,mluvímejakoodiagonálníchprvcích.tytopaktvořítzv.hlavní diagonálu matice. Čtvercovou matici tvaru ,

7 jejíž diagonální prvky jsou rovny jedné a jsou ostatní nulové, budeme nazývat jednotkovou maticí a budeme ji označovat E. Další velmi významnou čtvercovou maticí je matice nulová, jejíž všechny prvky jsou rovny nule. Tu budeme označovat symbolem 0. Nechť A je čtvercová matice typu n. Zaměníme-li v této matici řádky za sloupce, získámetakmaticitransponovanou,kterouznačíme A.Pokudbychomvmatici A zaměnili všechny prvky za prvky k nim komplexně sdružené, dostali bychom tak matici komplexně sdruženou. Taková matice se značí symbolem A. Matici transponovanou a komplexně sdruženou k matici A nazvěme maticí konjugovanou a označme ji A. Mezi čtvercovými maticemi existuje několik velmi významných skupin se specifickými vlastnostmi. Pro naše účely bude vhodné definovat pouze tři skupiny. První z nich jsou tzv. normální matice. Těmi budeme nazývat čtvercové reálné matice A, pro které platí A A=AA. Dále čtvercovou komplexní matici A nazveme hermitovskou nebo též hermitovsky symetrickou, platí-li a ij = ā ji, tj. v maticovém zápisu A=A. A konečně čtvercovou komplexní matici A nazveme unitární, je-li A A=E. 2.2 Charakteristický polynom, vlastní čísla matice Nechť A=(a ij )ječtvercovámaticetypu natjereálnáproměnná.deteminant tvarudet(a te),tedy a 11 t a a 1n a 21 a 22 t... a 2n,... a n2... a nn t a n1 je polynomem n-tého stupně v t a nazývá se charakteristický polynom matice A. Položíme-li det(a te) = 0, získáme tak charakteristickou rovnici matice A. Poznamenejme, žepřímý výpočet koeficientů p i charakteristického polynomu ( 1) n [t n p 1 t n 1 p 2 t n 2 p n ]jezhlediskapočtuprovedenýchoperacívelmi zdlouhavý, neboť jak známo platí p 1 = a 11 + a a nn,. p n =( 1) n 1 det A, 6

8 kde p k pro2 k n 1jeažnaznaménko( 1) k 1 součtemvšechminorů k-tého řádu matice A, jejichž hlavní diagonála je částí hlavní diagonály matice A. Definice1.Nechť Aječtvercovámaticeřádu n.kořeny λ 1,...,λ n charakteristické rovnice matice A se nazývají vlastními čísly nebo též charakteristickými čísly matice A. že Ze známých vztahů mezi koeficienty algebraické rovnice a jejími kořeny vyplývá, λ 1 + λ 2 + +λ n = p 1 = a 11 + a a nn, λ 1 λ 2...λ n =( 1) n 1 p n =det A. Vyslovíme nyní zajímavou větu, která ukazuje, že k dané matici existuje nenulový polynom, který se anuluje po dosazení této matice. Věta 1 (Cayleyova-Hamiltonova). Nechť A je čtvercová matice řádu n. Je-li ϕ(t) její charakteristický polynom, potom platí ϕ(a) = 0. Důkaz.Vyjděmezoznačenívevýšeuvedenévětěanechťdále B=adj(A te). Zřejmě každý algebraický doplněk matice A te je polynomem stupně nejvýše n 1, a proto můžeme psát B= B n 1 + B n 2 t+ +B 0 t n 1, kde B n 1,...,B 0 jsoumaticejižneobsahující t.vzhledemkzákladnívlastnosti adjungované matice, která říká, že pro každou čtvercovou matici M platí můžeme psát cožje adjm.m=det M.E, (B n 1 + B n 2 t+ +B 0 t n 1 ).(A te)=det(a te).e= =( 1) n (t n p 1 t n 1 p n )E. B n 1 A B n 1 t+b n 2 At B n 2 t 2 + +B 0 At n 1 B 0 t n =( 1) n (t n p 1 t n 1 p n )E. To je ekvivalentní soustavě rovností B n 1 A=( 1) n+1 p n E, B n 2 A B n 1 =( 1) n+1 p n 1 E,. B 0 A B 1 =( 1) n+1 p 1 E, B 0 =( 1) n E, Odtudnásobenímzpravakaždouzrovnostímaticí A i 1,kde iznačí i-tourovnost, a sečtením získáme což jsme měli dokázat. 0=( 1) n [ p n E p n 1 A p n 2 A 2 +A n ]=ϕ(a), 7

9 Zřejmě anuluje-li se polynom ψ(t) po dosazení nějaké čtvercové matice, pak se takto anuluje i každý jeho násobek. Nenulový polynom f(t) nejmenšího stupně s touto vlastností nazýváme minimálním polynomem matice A. Charakteristický polynom ϕ(t) libovolné čtvercové matice A je dělitelný minimálním polynomem ψ(t) této matice. Podle věty o dělení polynomů totiž existují polynomy q(t)ar(t),kde r(t)jebuďnulový,nebomámenšístupeňnežpolynom ψ(t), tak, že ϕ(t)=ψ(t)q(t)+r(t). Podosazenímatice Adotétorovnostidostáváme r(a)=ϕ(a) ψ(a)q(a)=0. Protože polynom ψ(t) byl nenulovým polynomem nejmenšího stupně anulujícím se po dosazení matice A, musí být r(t) nutně polynom nulový. Charakteristický polynom ϕ(t) je tedy skutečně dělitelný minimálním polynomem ψ(t). Poznámka Úplně stejným způsobem se dokáže, že libovolný polynom ω(t), pro který platí ω(a) = 0, je dělitelný minimálním polynomem matice A. 2.3 Podobné matice Nechť A a B jsou dvě libovolné čtvercové matice stejného řádu. Existuje-li regulárnímatice Ctéhožřádutaková,že B= C 1 AC,řekneme,žematice Bje podobná matici A. Zřejmě platí aodtudi C 1 A 1 C+ C 1 A 2 C+ +C 1 A m C= C 1 (A 1 + A 2 + +A m )C, C 1 A 1 C.C 1 A 2 C...C 1 A m C= C 1 (A 1 A 2... A m )C, Aprotoprolibovolnýpolynom f(t)platí (C 1 AC) m = C 1 A m C. f(c 1 AC)=C 1 f(a)c. Odtud snadno nahlédneme, že minimální polynomy podobných matic jsou až na nenulovou multiplikativní konstantu totožné. Je-li totiž f(t) minimální polynom matice A, pak je zřejmě anulujícím polynomem matice B. Pokud by existoval minimální polynom g(t)matice C 1 ACnižšíhořádunež f(t),pakzrovnosti g(c 1 AC)=0=C 1 g(a)c ihnedplyne,že g(a)anulujeimatici A,neboť Ca C 1 jsounenulové,cožvedeke sporu. Platí dokonce, že podobné matice mají stejné charakteristické polynomy. Platí totiž det(b te)=det(c 1 AC te)=det(c 1 AC tc 1 EC)= =det(c 1 (A te)c)=det(c 1 )det(a te)det C= =(det C) 1 det(a te)det C=det(A te). 8

10 2.4 Vlastní čísla maticového polynomu Nyní ukážeme zajímavou vlastnost maticových polynomů, na které je založena Leverrierova metoda hledání vlastních čísel. Věta2.Nechť Aječtvercovámaticeřádu naλ 1,...λ n jejívlastníčísla,znichž některá mohou splývat. Nechť dále f(t) je libovolný polynom. Potom vlastními čísly matice f(a)jsou f(λ 1 ),..., f(λ n ). Důkaz. Pro nulový polynom f(t) věta zřejmě platí, neboť nulová matice libovolného řádu má jediné charakteristické číslo nula. Mějme tedy f(t) nenulový polynom s kořeny µ 1,...,µ m.potommůžemepsát f(t)=a(t µ 1 )...(t µ m ), kdeajevedoucíkoeficient.nechť ϕ(t)=(λ 1 t)...(λ n t)jecharakteristickýpolynommatice A.Dosazenímmatice Ado f(t)dostaneme f(a)=a(a µ 1 E)...(A µ m E)aodtudužprodeterminantdet f(a)získáváme Rovnost det f(a)=a n det(a µ 1 E)...det(A µ m E)=a n ϕ(µ 1 )...ϕ(µ m ) = n m n m n =a n (λ i µ j )= (a (λ i µ j ))= f(λ i ). i=1 j=1 i=1 j=1 det f(a)=f(λ 1 )...(f(λ n ) je identita vzhledem ke koeficientům polynomu f(t). Užijeme-li této identity pro polynom f(t) u,dostaneme i=1 det(f(a) ue)=(f(λ 1 ) u)...(f(λ n ) u). Tovšakprávěznamená,ževlastníčíslamatice f(a)jsoučísla f(λ 1 ),...,f(λ n ). Poznámka2.4.1.Speciálněpromatici A k (k N)dostávámevlastníčísla λ k 1,...,λk n. 2.5 Lineární operátory NechťRjelineárníprostor.Je-linamnožiněRdánafunkcesoboremhodnot R, nazýváme tuto funkci operátorem nad R. Operátor, který splňuje následující podmínky: 1. A(αu)=αAuprokaždývektoru dom(a)alibovolnéčíslo α(reálnénebo komplexní podle druhu prostoru), 2. A(u 1 +u 2 )=Au 1 +Au 2 prokaždédvavektoryu 1,u 2 dom(a), nazýváme lineárním operátorem. Definujme nyní několik základních operací s lineárními operátory nad týmž prostorem.prvníznichjesoučinablineárníchoperátorůaab(vtomtopořadí), pro nějž platí AB=A B. 9

11 Tentosoučinjezřejměopětlineárnímoperátorem,neboťprolibovolnéu 1,u 2 dom(b) platí AB(u 1 +u 2 )=A(B(u 1 +u 2 ))=A(Bu 1 +Bu 2 )= =A(Bu 1 )+A(Bu 2 )=ABu 1 +ABu 2. Součinem lineárního operátoru A s číslem α nazveme operátor αa, pro který platí αau=α(au) prokaždéu dom(a).dálesoučtemlineárníchoperátorůaabnazvemeoperátor A+B,kde (A+B)u=Au+Bu prokaždéuzdom(a). Součet i číselný násobek lineárních operátorů jsou zřejmě opět lineárními operátory. Mezi lineárními operátory existují dva význačné, které ve smyslu výše uvedených operací plní funkci jednotkového a nulového prvku. Je to identický operátor E, který každému vektoru prostoru přiřazuje tentýž vektor a nulový operátor 0, který každému vektoru přiřadí nulový vektor. Pro libovolný operátor A pak zřejmě platí EA=AE=A, A+0=0+A=0. Přirozenýmzpůsobemmůžemedefinovatin-toumocninuA n lineárníhooperátoru A jakožto n-násobný součin stejného lineárního operátoru. Konečně definujme polynom operátoru jako operátor kde f(t)jepolynom f(a)=a 0 A n + a 1 A n 1 + +a n 1 A+a n E, f(t)=a 0 t n + a 1 t n 1 + +a n 1 t+a n. V následujícím textu se budeme zabývat jen lineárními operátory a proto budeme slovo lineární vynechávat. Nyníukážeme,žekekaždémuoperátoruA:R Rpřipevnězvolenébáziv Rlzejednoznačněpřiřaditmaticianaopak.Nechťtedyu 1,u 2,...,u n jelibovolná bázevra Au 1 = a 11 u 1 + a 21 u 2 + +a n1 u n, Au 2 = a 12 u 1 + a 22 u 2 + +a n2 u n,..... Au n = a 1n u 1 + a 2n u 2 + +a nn u n. Pakprolibovolnývektorx=x 1 u 1 + x 2 u 2 + +x n u n zrplatí Ax=x 1 Au 1 + +x n Au n 10

12 aodtud y=ax= = x 1 (a 11 u 1 + +a n1 u n )+ + x n (a 1n u 1 + +a nn u n )= =(x 1 a x n a 1n )u 1 + +(x 1 a n1 + +x n a nn )u n. To lze maticově zapsat ve tvaru y=ax, kde yaxjsousloupcesouřadnicvektorůyaxaajematicesloženázesloupců souřadnicvektorůau 1,...,Au n vbáziu 1,...,u n,tj. a 11 a a 1n a 21 a a 2n A=.... a n1 a n2... a nn Vzhledem k jednoznačnosti souřadnic libovolného vektoru v libovolné bázi je matice A určena jednoznačně. Naopak definujme přiřazení, které vektoru x se souřadnicemi xvnějakébázipřiřazujevektory,jehožsouřadnice yvtésamébázijsoudány vztahem y=ax. Toto přiřazení je zřejmě lineárním operátorem a je určeno jednoznačně. Toto jednoznačné přiřazení mezi maticemi a operátory je zachováno i při operacích s operátory. Matice součtu operátorů je totiž rovna součtu matic obou sčítaných operátorů a matice součinu operátorů je rovna součinu matic jednotlivých faktorů (v tom samém pořadí). Vidíme tedy, že existuje izomorfní zobrazení mezi množinou operátorů n-rozměrného prostoru a množinou čtvercových matic n-tého řádu. Toto zobrazení přiřazuje operátoru matici při pevně zvolené bázi. Je-li tedy báze prostoru pevně zvolena, můžeme ztotožnit operátor s příslušnou maticí, stejně jako lze ztotožnit vektor s příslušným sloupcem jeho souřadnic. Ve smyslu tohoto přiřazení si pak odpovídá vektor vzniklý provedením operátoru na vektoru a sloupec vzniklý vynásobením příslušné matice příslušným sloupcem. Nyní vyšetříme vztah souřadnic vektorů v různých bázích. NechťRjelineárníprostorax Rjevektor.Označme(x) α,kde α=(u 1,...,u n ) jebázeprostorur,souřadnicevektoruxvbázi α.nechť β=(v 1,...,v n )jedruhou bází tohoto prostoru. Potom matici A řádu n nazveme maticí transformace souřadnic v bázích α a β, jestliže platí (x) β = A(x) α. Podívejme se, jak vypadá tato matice transformace souřadnic. Vyjádříme-li vek- 11

13 tory báze α jako lineární kombinace vektorů báze β u 1 = a 11 v 1 + +a n1 v n, u 2 = a 12 v 1 + +a n2 v n,..... u n = a 1n v 1 + +a nn v n, snadnopakvyjádřímesouřadnicevektorux=x 1 u 1 + +x n u n vbázi β: x=x 1 (a 11 v 1 + +a n1 v n )+ + x 2 (a 12 v 1 + +a n2 v n ) x n (a 1n v 1 + +a nn v n )= =(x 1 a 11 + x 2 a x n a 1n )v 1 + =(x 1 a 21 + x 2 a x n a 2n )v =(x 1 a n1 + x 2 a n2 + +x n a 1n )v n. Odtudužjezřejmé,že a 11 a a 1n x 1 a 21 a a 2n (x) β =.... x 2.. a n1 a n2... a nn Platí tedy x n A=((u 1 ) β (u 2 ) β...(u n ) β ). Poznámka Pro matici A operátoru A v bázi α zřejmě platí B=((Au 1 ) α (Au 2 ) α...(au n ) α ). Tyhle poznatky nám už dovolí lehce odvodit, jak se změní matice operátoru při změně báze prostoru. Mějmedvěmatice AaBoperátoruAvsouřadnicích αaβ,acmaticitransformacesouřadnicvbázích βa α.ukážeme,žeplatí B= C 1 AC, tedy že matice operátoru v různých bázích jsou navzájem podobné a tato podobnost je realizována příslušnou maticí transformace. Zřejměprolibovolnývektorx Rplatí (y) α = A(x) α, (x) α = C(x) β, (y) α = C(y) β. 12

14 Odtud vyplývá, že atedy Avšak(y) β = B(x) β aprotomusíplatit C(y) β = A(x) α = AC(x) β, (y) β = C 1 AC(x) β. B= C 1 AC. 2.6 Vlastní vektory a vlastní čísla operátoru Definice 2. Vlastním číslem(nebo také vlastní hodnotou) operátoru A nazveme každé číslo λ pro které existuje nenulový vektor x dom(a) takový, že platí Ax=λx. Každý takový nenulový vektor x nazveme vlastním vektorem operátoru A, příslušným vlastnímu číslu λ. Podívejme se, jak se najdou vlastní vektory a vlastní čísla nějakého operátoru A. Ktomutoúčelunechť Ajematicetohotooperátoruvnějakébázianechť x 1,...,x n jsou souřadnice některého jeho vlastního vektoru x v této bázi. Souřadnice vektoru Axbudouzřejměvetvaru n n a 1k x k,..., a nk x k. Proto můžeme psát nebo též k=1 k=1 a 11 x 1 +a 12 x a 1n x n = λx 1, a 21 x 1 +a 22 x a 2n x n = λx 2, a n1 x 1 +a n2 x a nn x n. = λx n (a 11 λ)x 1 + a 12 x a 1n x n = 0, a 21 x 1 +(a 22 λ)x a 2n x n = 0,. a n1 x 1 + a n2 x (a nn λ)x n = 0. Zřejmětatohomogennísoustavalineárníchrovniconeznámých x 1,...,x n má nenulovéřešeníprávětehdy,kdyždet(a Eλ)=0 atojeprávětehdy,když λ je vlastním číslem matice A. Pokud bychom zvolili matici operátoru A v jiné bázi, dostali bychom tytéž vlastní čísla, neboť, jak již víme, matice operátoru v různých bázích jsou si navzájem podobné a jejich charakteristické polynomy jsou totožné. Vidíme tedy, že vlastní čísla operátoru splývají s kořeny charakteristického polynomu matice, která tomuto operátoru v libovolné bázi odpovídá. To nás opravňuje vyslovit následující definici. 13

15 Definice 3. Charakteristický polynom matice operátoru v libovolné bázi se nazývá charakteristickým polynomem operátoru. Mějme A matici operátoru A a ϕ(t) jeho charakteristický polynom. Podle Cayley- Hamiltonovy věty platí, že ϕ(a) = 0. Polynomu ϕ(a) operátoru A tedy odpovídá nulovámatice ϕ(a)aproto ϕ(a)=0. Vidíme tedy, že můžeme Cayley-Hamiltonovu větu zobecnit i na operátory. Stejným způsobem můžeme operátoru přiřadit i jeho minimální polynom, který bude odpovídat nenulovému polynomu nejmenšího stupně, který po dosazení daného operátoru dá nulový operátor. Takový polynom je zřejmě i minimálním polynomem matice tohoto operátoru v libovolné bázi a proto je charakteristický polynom operátoru dělitelný minimálním polynomem tohoto operátoru. Každý kořen minimálního polynomu je tedy i kořenem charakteristického polynomu. Avšak platí to i obráceně, že každý kořen charakteristického polynomu je kořenem minimálního polynomu. Tedy že množiny kořenů charakteristického polynomu a minimálního polynomu jsou totožné. Abychom tohle ukázali, předpokládejme, že λ je vlastní číslo nějakého operátoru A a x je jeho vlastní vektor příslušný tomuto vlastnímu číslu. Je-li ψ(t) minimálním polynomem daného operátoru, pak podle Bézoutovyvětyozbytkuplatípronějakýpolynom p(t),že ψ(t)=p(t)(t λ)+ψ(λ). DosazenímAanásobenímxpakdostáváme,že ψ(a)x=p(a)(a λe)x+ψ(λ)x. Avšak(A λe)x=0aψ(a)x=0x=0.protoje ψ(λ)x=0.vzhledemktomu, žexjenenulový,musíbýt ψ(λ)=0. Definice 4. Vlastním vektorem matice A nazveme každý nenulový vektor x, který vyhovuje rovnosti Ax=λx pro nějaké vlastní číslo λ matice A. Zpředešléhoplyne,ževlastnívektorymatice AoperátoruAvnějakébázi α jsou právě sloupci souřadnic vlastních vektorů tohoto operátoru v bázi α. Platí totiž A(x) α =(Ax) α =(λx) α = λ(x) α. Na závěr této části vyšetřeme některé další užitečné vlastnosti vlastních vektorů. Předně podotkněme, že vektor, jehož souřadnice jsou komplexně sdruženy s příslušnými souřadnicemi vlastního vektoru reálné matice, je také vlastním vektorem této matice a odpovídá komplexně sdruženému vlastnímu číslu. To ukážeme snadno. Je-litotiž Areálnáčtvercovámaticeaλnějakéjejívlastníčíslo,pakjezřejměi λ jejím vlastním číslem a platí A x=ax=λx= λ x. Dále ukážeme zajímavou vlastnost, že odpovídá-li několik vlastních vektorů navzájem různým vlastním číslům, jsou tyto vektory lineárně nezávislé. Abychom to dokázali,označmealibovolný operátor, λ 1,...,λ s jehonavzájemrůznávlastní číslaax 1,...,x s některéjimodpovídajícívlastnívektory.předpokládejme,žetyto vektory jsou lineárně závislé. Bez újmy na obecnosti můžeme považovat vektory 14

16 x 1,...,x j,kde j < s,zalineárněnezávisléazbylévektoryzajejichlineárníkombinace.prox s platí j x s = c i x i. Pak ale zároveň také platí Ax s = Dohromady nám to tedy dává i=1 j c i Ax i = i=1 Ax s = λ s x s = j c i λ i x i i=1 j c i λ i x i, i=1 j λ s c i x i. i=1 j λ s c i x i =0 i=1 j (λ s λ i )c i x i =0. i=1 Zlineárnínezávislostivektorůx 1,...,x j vyplývá,ževšechnykoeficienty(λ s λ i )c i jsourovnynuleaprotožepodlepředpokladu λ s λ i pro i=1,2,..., j,jsouvšechna c i rovnanule.toaleznamená,žex s =0,cožjesporsdefinicívlastníhovektoru. Takževektoryx 1,...,x s jsouskutečnělineárněnezávislé. Má-li tedy operátor nad n-dimenzionálním prostorem n různých vlastních čísel, tvoří jeho vlastní kořeny bázi tohoto prostoru. 2.7 Konjugovaný operátor NechťAjeoperátorvn-rozměrnémunitárnímprostoruRanechťA jeoperátor nad stejným prostorem, pro který je splněna rovnost (Ax,y)=(x,A y) pro všechna x, y R. Pak tento operátor nazveme konjugovaným operátorem k operátoru A. Ukážemeotomtooperátoru,nejenževždyexistuje,aletakéžejeurčenjednoznačně.Ktomutoúčelujealenejprvenutnéukázat,žeskalárnísoučinmáv souřadnicíchlibovolnéortonormálníbáze α=(u 1,u 2,...,u n )vyjádření (x,y)=x 1 ȳ 1 + x 2 ȳ 2 + +x n ȳ n, kde(x) α =(x 1, x 2,...,x n ) a(y) α =(y 1, y 2,...,y n ) prolibovolnédvavektoryx,y. To vidíme ihned z rovnosti n n n n (x,y)=( x i u i, y j u j )= x i ȳ j (u i,u j )= x i ȳ i i=1 j=1 15 i,j=1 i=1

17 Nechť tedy A je libovolný operátor nad n-rozměrným prostorem R a a 11 a a 1n a 21 a a 2n A=... a n1 a n2... a nn jejemuodpovídajícímaticevněkteréortonormálníbázi α=(u 1,...,u n ).Nechť dálex,y Rjsoudvalibovolnévektorysesouřadnicemi(x 1, x 2,...,x n ),(y 1, y 2,...,y n ) vbázi α.pak a 11 x 1 + +a 1n x n a 21 x 1 + +a 2n x n (AX) α =. a n1 x 1 + +a nn x n a proto můžeme psát (AX,Y)=a 11 x 1 ȳ 1 + +a 1n x n ȳ 1 + +a 21 x 1 ȳ 2 + +a 2n x n ȳ a n1 x 1 ȳ n + +a nn x n ȳ n = =x 1 (a 11 ȳ 1 + a 21 ȳ 2 + +a n1 ȳ n ) x n (a 1n ȳ 1 + a 2n ȳ 2 + +a nn ȳ n )= =(X,A Y). Odtud vidíme, že za konjugovaný operátor lze zvolit operátor, který má v některé ortonormální bázi matici konjugovanou s maticí původního operátoru v téže bázi. Zbývánámdokázatužjenjednoznačnostkonjugovanéhooperátoru.NechťA 1 a A 2jsoudvaoperátorykonjugovanékoperátoruA.Potomproněplatí,že(Ax,y)= (x,a 1 y)=(x,a 2 y).odtudmůžemepsát(x,(a 1 A 2 )y)=0.toaleznamená,že vektor(a 1 A 2 )yjeortogonálníkekaždémuvektoruxprostorur,atedymusí býtnutně(a 1 A 2)y=0prokaždývektory R.Tahlerovnostmůžebýtsplněna jenvpřípadě,žea 1 A 2 =0,tj.A 1 =A 2. V následujícím textu vyšetříme vzájemné vztahy mezi vlastními čísly a vlastními vektorynavzájemkonjugovanýchoperátorůaaa. Označíme-li A matici operátoru A v libovolné bázi, pak zřejmě platí det(a λe)=det((a λe) )=det(a λe)= =det(a λe)=det(ā λe)= =det(a λe). Odtud plyne, že číslo λ je kořenem charakteristického polynomu operátoru A právě kdyžje λkořenemcharakteristickéhopolynomuoperátorua. 16

18 Označmedálex i vlastnívektoroperátoruanad n-rozměrnýmprostoremodpovídajícívlastnímučíslu λ i ay i vlastnívektoroperátorua odpovídajícívlastnímu číslu λ j.pakplatí atedy (Ax i,y j )=(λ i x i,y j )=λ i (x i,y j ) (Ax i,y j )=(x i,a y j )=(x i, λ j y j )=λ j (x i,y j ) (λ i λ j )(x i,y j )=0. Pokud λ i λ j,tj. λ i λ j 0,dostáváme(x i,y j )=0.NechťnyníoperátorAmá nnavzájemrůznýchvlastníchčísel.pakpro λ i = λ j pokudbyplatilo(x i,y j )=0, tj.(x i,y i )=0,bylbyvektory i ortogonálníkevšemvlastnímvektorůmx 1,...,x n operátorua,atedyikevšemvektorůmprostorur.tobyznamenalo,žey i je nulovývektor,cožjesporspředpokladem,žey i jevlastnívektor.tedy(x i,y j ) 0. Vidímetedy,že(x i,y j )=0právětehdy,když λ i = λ j. Ukažmeještě,žepřilibovolněvybranýchvlastníchvektorechy 1,...,y n,lzevektoryx 1,...,x n normovattak,žepro λ i λ j je(x i y i )=1.Stačímístonichvzít totiž vektory 1 α 1 x 1,..., 1 α n x n, kde α i =(x i,y i ) 0,neboť ( ) 1 x i,y i = 1 (x i,y i )=1. α i α i 17

19 Kapitola 3 Základní přímé metody řešení problému vlastních čísel Úplným problémem vlastních čísel budeme rozumět úlohu určit všechna vlastní čísla dané čtvercové matice. Vdruhékapitolejsmeviděli,žekoeficientycharakteristickéhopolynomu p i jsou až na znaménko rovny součtům všech hlavních minorů i-tého řádu matice A. Přímý výpočet těchto koeficientů tedy vyžaduje při větším řádu matice obrovský počet operací. Proto bylo velmi přirozené vypracovat speciální numerické metody, které zjednodušují výpočet uvedené úlohy. V této kapitole se s některými z nich seznámíme. Poznamenejme ještě, že všechny zde probírané metody kromě metody Leverrierovy(z roku 1846) vznikly v třicátých letech minulého století nebo později. Při výkladu o numerických metodách budeme zpravidla předpokládat, že prvky matic jsou reálná čísla. 3.1 Metoda Leverrierova Výhodou této metody je její jednoduchost a také to, že nemohou nastat výjimečné případy při výpočtu, jak tomu bude například u metody Krylovovy či Danilevského. Avšak cenou za tyto přednosti je právě větší náročnost při výpočtu. Samotná myšlenka spočívá v použití Newtonových vzorců. Je-li totiž ϕ(t)=( 1) n [t n p 1 t n 1 p 2 t n 2 p n ] charakteristickýpolynommatice Askořeny λ 1, λ 2,...,λ n,potomoznačíme-li platí Newtonovy vzorce: n λ k i = s k, i=1 p 1 = s 1, kp k = s k p 1 s k 1 p k 1 s 1 (k=2,...,n). 18

20 Odtud už lehce vyjádříme koeficienty charakteristického polynomu p 1 = s 1, p 2 = 1 2 (s 2 p 1 s 1 ),. (3.1) p n = 1 n (s n p 1 s n 1 p n 1 s 1 ). Zbývánámtedyještěurčitkoeficienty s k.zřejměplatí s 1 = λ 1 + λ 2 + +λ n =Tr A. Jakjižvíme(viz.poznámka2.4.1)jsouvlastníčíslamatice A k rovnaprávěčíslům λ k 1, λk 2,...,λk n aprotomůžemepsát,že s k=tr A k. Vidíme tedy, že pro určení koeficientů charakteristického polynomu stačí postupněpočítatmocninydanématiceaždo n-téhořádu,jejichstopyapotéužmůžeme tyto koeficienty vyjádřit jako řešení rekurentní soustavy rovnic(3.1). Přitom při počítání n-té mocniny stačí určit pouze diagonální prvky. Určování těchto mocnin je samo o sobě jednoduchou operací, avšak může být velmi pracné z hlediska počtu provedených operací. Celkově Leverrierova metoda vyžaduje 1 2 (n 1)(2n3 2n 2 +n+2)operacínásobeníadělení,cožznačněpřevyšuje počet stejného druhu operací při výpočtu metodou Danilevského a Krylovovou, a dokonce je i vyšší než u metody interpolační. Podotkněme ještě, že tahle metoda nijak neulehčuje výpočet vlastních vektorů, jak je tomu třeba u metody Krylovovy nebo Danilevského. Uveďme si pro ilustraci příklad(z[2]) výpočtu koeficientů charakteristického polynomu matice A= Výpočet bude probíhat následovně: s 1 =4, A 2 = , s 2=96, A 3 = , s 3=712,

21 2108 A 4 = , s 4=6992, 2108 p 1 =4, p 2 =(96 (4).(4) )/2=40, p 3 =(712 (440).(964) )/3=56, p 4 =(6992 (44056).(712964) )/4= Metoda interpolační Interpolační metody lze užít i na obecnější úlohy než jen na výpočet charakteristického polynomu. Umožňuje nám převést determinant tvaru f 11 (t)... f 1n (t) F(t)=.., (3.2) f n1 (t)... f nn (t) kde f ik (t)jsoudanépolynomyvtnapolynomiálnítvar. Protože polynom k-tého řádu lze s použitím různých interpolačních vzorců jednoznačně určit jeho hodnotami v k + 1 bodech, spočítáme nejprve k + 1 hodnot číselnýchdeterminantů F(t i ),kde kjepředpokládanýstupeňcharakteristickéhopolynomu,pronějakáobecnělibovolnězvolená,čísla t 0, t 1,...,t k apotésestrojíme tento polynom. K výpočtu je nejvýhodnější(viz.[1]) použít Newtonova interpolačního vzorce proekvidistantníargumenty t i (i=0,1,..., k). Uvedeme(podle[1])Newtonůvinterpolačnívzorecpro t i = i, i=0,1,..., k F(t)= k i=0 i F(0) t(t 1)...(t i+1), (3.3) i! kde i F(l)je i-tádiferencevypočítanýchhodnotpolynomu F(t)definovanárekurzivně takto: Označme nyní 0 F(l)=F(l), i F(l)= i 1 F(l+1) i 1 F(l). 1 i i! t(t 1)...(t i+1)= c mi t m pro1 i k, m=1 20

22 kde 0 c mi t m =1. m=1 Potom můžeme(3.3) přepsat na tvar, jež je nazýván interpolačním vzorcem A. A. Markova: F(t)= k i F(0)( i=0 = 0 F(0)+ i c mi t m )= m=1 k i=1 m=1 =F(0)+(c 11 1 F(0)t)+ i c mi i F(0)t m = +(c 12 2 F(0)t+c 22 2 F(0)t 2 )+ +(c 13 3 F(0)t+c 23 3 F(0)t 2 + c 33 3 F(0)t 3 )+... +(c 1k k F(0)t+c 2k k F(0)t 2 + +c kk k F(0)t k )= k k =F(0)+ ( c mi i F(0))t m. (3.4) m=1 i=m Vyšetřemenyníkoeficienty c mi.napředsepokusímevyjádřitkoeficientypolynomu t(t 1)(t 2)...(t i+1) a c mi dostanemejejichpodělenímčíslem i!. Označme t(t 1)(t 2)...(t (i 1))=e (i) 0 ti e (i) 1 ti 1 + +( 1) i 1 e (i) i 1 t1. Zřejměkoeficient e (i) mbudesoučtemsoučinůvšech m-ticrůznýchprvkůz{1,..., i 1} a proto můžeme psát e (i) 0 =1, e (i) 1 = e (i) 2 =. 1 j i 1 j, 1 j 1 <j 2 i 1 e (i) i 2 = j 1. j 2, 1 j 1 < <j i 2 i 1 e (i) i 1 = 1 j 1 < <j i 1 i 1 j 1...j i 2, j 1...j i 1 =(i 1)!. 21

23 Pro výpočet těchto vztahů se dá použít rekurentního vzorce i j 1...j k = s j 1...j k 1, tedy 1 j 1 < <j k i s=k e (i) k = i 1 j=k 1 j 1 < <j k 1 s 1 j. e (j) k 1. Pro0 < k < i 1můžemevýšeuvedenývzorecještěupravit e (i) k = i 1 j=k = e (i 1) k i 2 j. e (j) k 1 =( j=k +(i 1)e (i 1) k 1. j. e (j) k 1 )+(i 1)e(i 1) k 1 = Při určování koeficientů interpolačního vzorce A. A. Markova se však zpravidla používá již předpočítaná tabulka koeficientů. Podívejme se nyní na počet provedených operací při výpočtu touto metodou. Nejprve je třeba vypočítat n+1 determinantů n-tého řádu, což samo o sobě vyžaduje 1 3 (n+1)(n 1)(n2 + n+3)operacínásobeníadělení.poté,bereme-likoeficienty Markovova interpolačního vzorce z tabulky, bude třeba ještě k výpočtu koeficientů provést 1 2 n(n+1)operacínásobení.celkemtedymáme 1 3 (n+1)(n 1)(n2 + n+3)+ 1 2 n(n+1), operací násobení a dělení, což je sice nižší než u Leverrierovy metody, avšak pořád značně vyšší než u Danilevského nebo Krylovovy metody. Stejně jako v předešlém případě, nezjednodušuje nijak tato metoda výpočet vlastních vektorů. Jako příklad opět uveďme matici A= Potom tabulka determinantů a diferencí bude vypadat následovně: t F(t) F(t) F(t) F(t) F(t) 24 22

24 Dáledoplňmekoeficienty c mi Markovovainterpolačníhovzorce: i i F(0) c 4i c 3i c 2i c 1i , , , , , , , , , ,25000 Odtudužlehcespočítámekoeficienty p 1, p 2, p 3 : p 1 = c 33 3 F(0)+c 34 4 F(0)=4, p 2 = c 22 2 F(0)+c 23 3 F(0)+c 24 4 F(0)=40, p 3 = c 11 1 F(0)+=c 12 2 F(0)+=c 13 3 F(0)+=c 14 4 F(0)=56, p 4 = F(0)= Metoda Krylovova Nechť A je čtvercová matice n-tého řádu a a 11 t a a 1n a 21 a 22 t... a 2n ϕ(t)= =0 (3.5)... a n2... a nn t a n1 její charakteristická rovnice. A. N. Krylov navrhl metodu založenou na myšlence, že se nejprve výše uvedená charakteristická rovnice transformuje na rovnici obecně s ní ekvivalentní tvaru b 11 t b b 1n b 21 t 2 b b 2n D(t)= =0, (3.6)... b n1 t n b n2... b nn jejíž rozvoj podle mocniny t je pomocí Laplaceova rozvoje již značně jednodušší a odtud už bude možno snadno určit koeficienty charakteristického polynomu jako číselné násobky. Podívejme se tedy nejprve na podstatu Krylovovy transformace. Zřejmě rovnost (3.5) je nutnou a postačující podmínkou k tomu, aby soustava homogenních rovnic tx 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + +a 1n x n, tx 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + +a 2n x n,..... tx n = a n1 x 1 + a n2 x 2 + +a nn x n, (3.7) mělanenulovéřešení x 1, x 2,...,x n.násobmeprvnírovnicičíslem t t 2 x 1 = a 11 tx 1 + a 12 tx 2 + +a 1n tx n 23

25 adosaďmeza tx 1,...,tx n jejichvyjádřeníz(3.7)pomocí x 1,...,x n.dostávámetak t 2 x 1 =a 11 (a 11 x 1 + a 12 x 2 + +a 1n x n )+ +a 12 (a 21 x 1 + a 22 x 2 + +a 2n x n )+. +a 1n (a n1 x 1 + a n2 x 2 + +a nn x n )= =(a 11 a 11 + a 12 a a 1n a n1 )x 1 + +(a 11 a 12 + a 12 a a 1n a n2 )x (a 11 a 1n + a 12 a 2n + +a 1n a nn )x n a označíme-li můžeme psát b 2k = n a 1s a sk (3.8) s=1 t 2 x 1 = b 21 x 1 + b 22 x 2 + +b 2n x n. (3.9) Poténásobímerovnici(3.9)znovučíslem taopětdosadímeza tx 1,...,tx n jejich vyjádřenímpomocí x 1,...,x n.tímdostaneme kde t 3 x 1 = b 31 x 1 + b 32 x 2 + +b 3n x n, b 3k = n b 2s a sk. s=1 Je tedy zřejmé, že zopakujeme-li výše uvedený postup ještě(n 3)-krát, dostaneme následující soustavu tx 1 = b 11 x 1 + b 12 x 2 + +b 1n x n, t 2 x 2 = b 21 x 1 + b 22 x 2 + +b 2n x n,. (3.10) t n x n = b n1 x 1 + b n2 x 2 + +b nn x n, jejížkoeficienty b ik jsouurčenyrekurentnímivzorci b 1k = a 1k, n b ik = b i 1,s a sk (i=2,...,n; k=1,..., n). (3.11) s=1 Determinant soustavy(3.10) má zřejmě tvar(3.6). Přitom soustava(3.10) má nenulové řešení pro všechna t, pro která má nenulové řešení soustava(3.7), tj. pro 24

26 taková t,kterávyhovujírovnici ϕ(t) = 0.Toznamená,že D(t) = 0přivšech hodnotách t,kteréjsoukořenyrovnice ϕ(t)=0. Ukážeme, že platí b 11 b b 1n D(t)= ϕ(t)=nϕ(t), (3.12)... b n 1,1 b n 1,2... b n 1,n tj.,žepro N 0se D(t)lišíodhledanéhocharakteristickéhopolynomujenčíselným násobkem. Předpokládejme nejprve, že všechny kořeny polynomu ϕ(t) jsou navzájem různé. Protože tyto kořeny jsou zároveň kořeny D(t), je D(t) dělitelný ϕ(t). Avšak oba polynomy mají týž stupeň. To znamená, že polynom D(t) je násobkem polynomu ϕ(t), a přitom podíl N je konstanta(nezávislá na t). Snadno nahlédneme, že Laplaceovým rozvojemdeterminantuv(3.6)podleprvníhosloupcedostanemekoeficientut n ve tvaru b b 1n ( 1) n b b 2n... b n 1,2... b n 1,n Koeficientpolynomu ϕ(t)ut n je( 1) n.odtudtedyplatnost(3.12). Má-li polynom ϕ(t) vícenásobné kořeny, platí rovněž D(t)=Nϕ(t), (3.13) což lze ověřit přímo vynásobením determinantů, které se v této rovnosti vyskytují a užitím vztahů(3.11). Pro N =0zrovnosti(3.13)plyne,že D(t)seidentickyrovnánule.Jetedy zřejmé, že v tomto případě uvedená transformace neumožňuje určení koeficientů charakteristického polynomu ϕ(t). I pro tento případ navrhl A. N. Krylov speciální metodu. Věnujmesealenejprvevyšetřenívlastnostíkoeficientů b ik určujících D(t).Za tímtoúčelemsidefinujemevektory b i osouřadnicích b i1, b i2,..., b in.zrovností(3.11) vyplývá, že b i1 a 11 a a n1 b i 1,1 b i2. = a 12 a a n2.... b i 1,2., a 1n a 2n... a nn b i 1,n tedy b in b i = A b i 1. (3.14) 25

27 Aodtudjižzřejmě b i = A i b 0, (3.15) neboťplatí b 1 = A b 0,kde b 0 =(1,0,...,0). Odtud už vidíme, že soustavu(3.7) je možné transformovat také tak, že vyjdeme např. od druhého sloupce této soustavy. Stejnými úvahami jako v předešlém textu bychom dospěli k determinantu D(t), ve kterém by se t vyskytovalo vedruhémsloupciapříslušnékoeficienty b ik byseurčilypodlevzorců(3.15),kde b 0 =(0,1,0,...,0). Krylovovu metodu však lze, jak dále ukážeme, přirozeným způsobem zobecnit, budeme-livolitmístovektoru B 0 speciálníhotypulibovolnývektor b 0 =(b 01, b 02,...,b 0n ). Je-li x 1, x 2,...,x n řešenísoustavy(3.7),označme u=b 01 x 1 + b 02 x 2 + +b 0n x n. Násobením a dosazováním(stejně jako v předešlém případě) dostaneme následující soustavu rovnic u=b 01 x 1 + b 02 x 2 + +b 0n x n, ut=b 11 x 1 + b 12 x 2 + +b 1n x n, ut 2 =b 21 x 1 + b 22 x 2 + +b 2n x n, (3.16). ut n =b n1 x 1 + b n2 x 2 + +b nn x n, kde b i =(b i1, b i2,...,b in ) = A i b 0.Tatosoustava n+1lineárníchhomogenníchrovnic o n+1neznámých u, x 1,...,x n mánenulovéřešeníprávěkdyždeterminant 1 b b 0n t b b 1n D(t)= =0.... t n b n1... b nn I zde bychom analogicky předešlým úvahám došli opět ke vztahu D(t)=Nϕ(t), kde Njetentokrát b 01 b b 0n b 11 b b 1n N=. (3.17)... b n 1,1 b n 1,2... b n 1,n Pro N = 0, stejně jako v předešlém případě, uvedená transformace neumožňuje určeníkoeficientůpolynomu ϕ(t).nechťtedynejprve N 0.Označme N i algebraickédoplňkyprvků t n i vdeterminantu D(t).Pakzrovnosti D(t)=Nϕ(t)vyplývá,žekoeficienty p i charakteristickéhopolynomujsouurčenypoměrem( 1) n 1 N i /N. 26

28 Podstatou práce A. N. Krylova je určení koeficientů charakteristického polynomu právě z těchto vztahů. Avšak uvedené úvahy umožňují najít hledané koeficienty bez výpočtu minorů, což podstatně snižuje náročnost výpočtu. Podmínka N 0 je ekvivalentní lineární nezávislosti řádků determinantu(3.17), což jsou právě vektory b 0, b 1,...,b n 1.Protožejichje n,tvoříbáziprostoruaprotomůžemezbylývektor b n vyjádřitpomocíjejichlineárníkombinacevetvaru b n = q 1 b n 1 + +q n b 0. (3.18) Jakdáleukážeme,jsoukoeficienty q i rovnykoeficientům p i charakteristickéhopolynomu ϕ(t)=( 1) n [t n p 1 t n 1 p n ],cožnámumožníurčittytokoeficienty jako řešení soustavy lineárních rovnic ekvivalentní této vektorové rovnosti. Odečtěme od posledního řádku determinantu D(t) lineární kombinaci předcházejícíchřádkůskoeficienty q 1, q 2,..., q n.tímdostanemesvyužitímrovnosti(3.18), že 1 b b 0n t b b 1n D(t)=... = t n 1 b n 1,1... b n 1,n t n q 1 t n 1 q n odkud už zřejmě =( 1) n [t n q 1 t n 1 q n ] N, ϕ(t)= D(t) N =( 1)n [t n q 1 t n 1 q n ]. Koeficienty p i a q i jsousitedyopravdurovny. Podívejme se ještě, jak lze k témuž výsledku dojít pomocí Cayleyovy-Hamiltonovy věty.aplikujeme-lijinamatici A,dostaneme anásobením b 0 pakzískávámeprávětvar cožje A n = p 1 A n 1 + +p n E, A n b 0 = p 1 A n 1 b 0 + +p n b 0, b n = p 1 b n 1 + +p n b 0. (3.19) Aplikujeme-li však tuto větu na matici A, můžeme zřejmě místo soustavy(3.19) použítkurčeníkoeficientů p i téžsoustavy kde c k = A k c 0. c n = p 1 c n 1 + +p n c 0, (3.20) 27

29 Určeníkoeficientů p i Krylovovoumetodouspoužitímsoustavy(3.19)nebo(3.20) vyžadujeprovést 3 2 n2 (n+1)operacínásobeníadělení,cožjepodstatněméněnežu obou předcházejících metod. Pokud bychom určovaly tyto koeficienty A. N. Krylovovou metodou, tak jak ji původně navrhoval ve své práci, tj. prostřednictvím výpočtů minorů,vyžadovalobytoprovést 1 3 (n4 +4n 3 +2n 2 n 3)operacínásobeníadělení. Pro ilustraci uveďme příklad opět pro matici A= apočátečnívektor c 0 = (1,0,0,0).Potomvektory c 0, c 1,..., c 4 budounabývat hodnot: c 0 c 1 c 2 c 3 c

30 c 0 c 1 c 2 c 3 c Odsud vidíme, že p 1 =4 p 2 =40 p 3 =56 p 4 =20. Vyšetřeme nyní situaci, kdy N = 0. V tomto případě soustava nehomogenních lineárníchrovnicurčenárovností(3.19)jižneumožňujeurčitkoeficienty p i charakteristického polynomu, neboť determinant této soustavy je roven nule. Pro tento případ navrhl A. N. Krylov postup spočívající v určení koeficientů nenulovéhopolynomunejmenšíhostupně ϑ(t)takového,že ϑ(a)c 0 =0,tj.koeficientypolynomunejmenšíhostupněanulujícíhovektor c 0.Tentopolynombuderovenminimálnímupolynomumatice Aatedyjehokořeny,jakjižbylodokázánov druhé kapitole, budou totožné se všemi kořeny charakteristického polynomu. Při nevhodnévolběvektoru c 0 všakmůžemedostatnamístominimálníhopolynomuněkterého jeho dělitele, čímž ztratíme část kořenů charakteristické rovnice. Je zřejmé, žedostaneme-linějakouvolboupočátečníhovektoru c 0 děliteleminimálníhopolynomu, potom musíme volit jiný počáteční vektor, který bude lineárně nezávislý s původnímvektorem c 0. Není-li minimální polynom ψ(t) matice A totožný s jejím charakteristickým polynomem(ažnanenulovýfaktor),jestupněmenšíhonež n,aprotožeplatí ψ(a)c 0, musíbýtvektory c 0, Ac 0,...,A n 1 c 0 lineárnězávislé.protoplatí N=0přilibovolné volběvektoru c 0.Krylovovametodatedyumožňujepro N 0určitkoeficienty charakteristického polynomu a pro N = 0 pouze některého jeho dělitele(obecně minimálního polynomu). Vztah N = 0 se projeví, řešíme-li soustavu(3.20) Gaussovou metodou tím, že se v části rovnic eliminují všechny koeficienty zároveň, takže tyto rovnice dávají 29

31 identitu0=0.tytorovnice(označmejejichpočet n m)jenutnovynechat.vezbylé soustavě je třeba vynechat n m posledních sloupců, počínaje sloupcem absolutních členů(tj.sloupcemsouřadnicvektoru c n ).Poslednízezbylýchsloupců,složenýze souřadnicvektoru c m,sepakzvolízaabsolutníčlennovésoustavy.řešenísoustavy pakurčíkoeficientylineárnízávislostivektoru c m navektorech c 0, c 1,..., c m 1,tj. koeficientypolynomunejmenšíhostupněanulujícíhovektor c 0. Pronázornostsitoukažmenapříkladusmaticí B= c 0 c 1 c 2 c Vyřešíme-li soustavu s vynecháním posledního sloupce, získáme koeficienty dělitele charakteristického polynomu: Odsud q 2 = 5, q 1 = 4atedy p 3 + 5p 2 = 29, 3p 2 = 15, t 2 +5t Metoda Danilevského Tato metoda spočívá v tom, že danou matici považujeme za matici operátoru v kanonickébázi(e 1, e 2,...,e n ).ZCayleyovy-Hamiltonovyvětyplyne,že A n e 1 = p 1 A n 1 e 1 + p 2 A n 2 e 1 + +p n e 1, kde p 1, p 2,...,p n jsouhledanékoeficientycharakteristickéhopolynomu. Jsou-livektory e 1, Ae 1,...,A n 1 e 1 lineárněnezávislé,můžemejepovažovatza bázi prostoru, kterou označíme α. Vyjádřeme nyní matici P uvažovaného operátoru vtétobázi. Zprvníkapitolyjižvíme,že P=((Ae 1 ) α (AAe 1 ) α (AA 2 e 1 ) α...(aa n 1 e 1 ) α ), kde(aa k e 1 ) α jsousloupcesouřadnicvektorů AA k e 1 vbázi α.pakjejižzřejmé,že 30

32 matice P má tzv. Frobeniův tvar p n p n p n 2 P= p p 1 Nynípopíšemepřechododbáze e 1, e 2,...,e n kbázi α.postupněvkaždémz n 1krokůbudemepřecházetodbáze e 1, Ae 1,...,A k 1 e 1, e k+1,...,e n kbázi e 1, Ae 1,..., A k e 1, e k+2,..., e n,avšakzapředpokladu,ževšechnytytosoustavyvektorů jsou skutečně lineárně nezávislé. Případy degenerace, kdy nějaká ze soustav bude lineárně závislá, budeme vyšetřovat později. Matici, kterou dostaneme po(k 1)-ním krokubudemeznačit A (k).tedy A=A (1) P= A (n). Zvýšeřečenéhojezřejmé,žesloupcematice A (k) jsousouřadnicemivektorů Ae 1, A 2 e 1,...,A k e 1, Ae k+1,..., Ae n vbázi e 1, Ae 1,...,A k 1 e 1, e k+1,...,e n.prvních k 1 sloupcůmatice A (k) budetedytotožnýchstýmižsloupcifrobeniovymatice P. Samotný přechod se bude realizovat podle následujícího předpisu A (k+1) = S 1 k A(k) S k, kde S k je matice transformace souřadnic v bázích e 1,Ae 1,...,A k e 1,e k+2,...,e n a e 1,Ae 1,...,A k 1 e 1,e k+1,...,e n.jezřejmé,žebudemíttentotvar s 1,k s 2,k S k =....., s n 1,k s n,k kde s 1,k+1, s 2,k+1,..., s n,k+1 jsousouřadnicevektoru A k e 1 vbázi e 1, Ae 1,..., A k 1 e 1, e k+1,..., e n,tedyprvky ik v k-témsloupcimatice A(k).Inverznímatice S 1 k bude mít tvar s 1,k+1 s k+1,k a 1,k s a k+1,k ,k+1 s k+1,k a 2,k a k+1,k S s k,k+1 s k = k+1,k a k,k a 1 = k+1,k s k+1,k s a k+1,k k+2,k+1 s k+1,k a k+2,k a k+1,k s n,k+1 s k+1,k a n,k a k+1,k

33 Přivýpočtumatice A (k+1) budemenejprvepočítatpomocnoumatici B (k) B (k) = S 1 k A(k) = a(k) 1k... 0 k+1,k a(k) 2k... 0 k+1,k n a(k) kk... 0 = k+1,k n a k+1,k = a(k) k+2,k... 0 n1 n2... nn k+1,k a(k) nk... 1 k+1,k = ( 11 ( 21 k+1,1 1,k k+1,k k+1,1 2,k k+1,k. k+1,1 k+1,k. ( n1, k+1,1 n,k k+1,k ), ( 12 ), ( 22 k+1,2 1,k k+1,k 2,k. k+1,2 k+1,k ), ( n2. k+1,2 k+1,k ),..., ( 1n ),..., ( 2n,..., k+1,2 n,k k+1,k k+1,n 1,k k+1,k 2,k. k+1,n k+1,k ),..., ( nn. k+1,n k+1,k k+1,n n,k k+1,k ) ) ). Zvýšeřečeného,žeprvních k 1sloupcůmatice A (k) jetotožnýchstýmiž sloupcifrobeniovymatice P,jezřejmé,žesepřitěchtooperacíchprvních k 1 sloupcůnezmění.vk-témsloupcidostanemena(k+1)-nímmístějedničkuana všechostatníchmístechnuly.taktovypočítanoumatici B (k) budemenynízprava násobitmaticí S k B (k) S k = b (k) 1,k+1... b (k) 1,n b (k) 2,k+1... b (k) 2,n b (k) 3,k+1... b (k) s 1,k ,n s 2,k = b (k) k+1,k+1... b (k)..... k+1,n s n 1,k s n,k b (k) n,k+1... b n,n (k). 32

34 Tímto násobením se změní pouze(k + 1)-ní sloupec. Jeho prvky budou zřejmě čísla n j=1 b (k) 1j a(k) jk, n j=1 b (k) 2j a(k) jk,..., n j=1 b (k) nj a(k) jk. Celkemtedypřechododmatice A (k) kmatici A (k+1) buderealizovánnásledující soustavou rekurentních vzorců b (k) k+1,j = a(k) k+1,j k+1,k b (k) i,j = a(k) i,j a(k) ik b(k) k+1,j a (k+1) ij = b (k) ij n i,k+1 = a (k+1) j=1, b (k) ij a(k) jk. (i k+1), (j k+1), Tato metoda je, z hlediska počtu operací násobení a dělení potřebných k výpočtu koeficientů charakteristického polynomu, nejlepší ze všech v této kapitole uvedených metod.přivýpočtumatice A (k) jetřebaprovést n k+(n k)(n 1)+(n k)n= 2n(n k)těchtokroků.celkemtedymáme n 3 n 2 operacínásobeníadělení. Jako příklad uveďme opět matici A= Výpočet v k-tém kroku budeme zapisovat do následující tabulky: A (k) b (k) k+1,j B (k) a (k+1) i,k+1 A (k+1) 33

35 Tabulka celého výpočtu: 1,000 2,000 3,000 4,000 1,000 2,000 1,000 2,000 3,000 0,500 3,000 2,000 1,000 2,000 1,000 4,000 3,000 2,000 1,000 1,500 0, , 000 1, , 000 0, , 000 0, , 000 0,000 19,000 2,000 2,500 0,000 1,000 11,000 1,000 1,500 1,000 0,000 15,000 2,000 2,500 1,133 0,000 24,000 2,000 5,000 1,167 0,000 0,000 0, ,000 1, 000 0, , 000 0,000 1,000 0,133 0,167 5,000 0,000 0,000 1,200 1,000 6,000 0, 000 0, , , 000 1,000 0,000 34,000 0,333 0,000 0,000 1,000 5,000 0,167 1,000 0,000 0,000 6,000 1,000 0,167 0,000 0,000 0,000 3,333 20,000 1,000 0,000 0,000 5,333 56,000 0,000 1,000 0,000 1,000 40,000 0,000 0,000 1,000 0,167 4,000 0,000 0,000 0,000 20,000 1,000 0,000 0,000 56,000 0,000 1,000 0,000 40,000 0,000 0,000 1,000 4,000 Koeficienty p i charakteristickéhopolynomumatice Abudoutedy p 1 =4, p 2 =56, p 3 =40, p 4 =20. Ukažme nyní, jak postupovat v případech degenerace. Může se stát, že při přechoduodbáze e 1,Ae 1,...,A k 1 e 1,e k+1,...,e n kbázi e 1,Ae 1,...,A k e 1,e k+2,...,e n,budoutytovektorylineárnězávislé.protože e 1,Ae 1,...,A k 1 e 1,e k+2,...,e n jsoulineárně nezávislé, znamená to, že A k e 1 = q 1 e 1 + q 2 Ae 1 + +q k A k 1 e 1 + q k+2 e k+2 + +q n e n. Zřejměčísla q i jsoutotožnásprvkymatice A (k) v k-témsloupci.aprotoje k+1,k = 0. V tomto případě už nemůžeme pokračovat obvyklou Danilevského metodou. Mohou nastat tyto dva případy: 34

36 1.Prvek jk jerůznýodnulypronějaké j > k+1.potomvmatici A (k) vyměníme(k+1)-níaj-týřádekazároveň(k+1)-níaj-týsloupec.tatozáměnajeekvivalentnípřechoduodbáze e 1, Ae 1,...,A k 1 e 1, e k+1,...,e j,..., e n kbázi e 1, Ae 1,...,A k 1 e 1, e j,..., e k+1,...,e n.snadnonahlédneme,žejsou-livektory e 1, Ae 1,..., A n 1 e 1 lineárněnezávislé, paknutněexistujetakovýindex j.potéto transformaci můžeme pokračovat ve výpočtu. Hledáme-li pak vlastní vektory, musíme uvedenou transformaci brát ovšem v úvahu. Ve vhodném okamžiku musíme vyměnit(k + 1)-ní a j-tou souřadnici příslušných vektorů. 2.Jsou-livšechna jk pro j k+1nulová,znamenáto,ževektory e 1, Ae 1,...,A k e 1 jsoulineárnězávislé,takžematice A (k) mátvar k k... C kk 0 A (k) 2 = ( ) A (k) 1 C 0 A (k). 2 Charakteristický polynom matice A je tedy roven součinu charakteristických polynomůmatice A (k) 1 a A (k) 2.Přitommatice A (k) 1 už je ve Frobeniově kanonickém tvaru, takže tuto matici můžeme ihned rozvinout v polynom. K dokončení výpočtu charakteristickéhopolynomunámtedyzbýváupravitmetodoudanilevskéhomatici A (k) 2. To znamená, že se v tomto případě proces výpočtu charakteristického polynomu v každé etapě zjednoduší. 35

37 Kapitola 4 Stabilita problému vlastních čísel V této kapitole odpovíme na otázku, jak se změní vlastní čísla a vlastní vektory matice, změní-li se její prvky v mezích přípustné chyby a ukážeme, že v některých případech nemusí být problém vlastních čísel stabilní. Nechť Aječtvercovámaticeřádu naa+dajekníblízkámatice.budeme předpokládat, že všechna vlastní čísla matice jsou navzájem různá a že prvky matice da(a obdobně dx a dλ) jsou velmi malé. Máme-li Ax i = λ i x i pro i=1,2,..., n,dostávámepřibližně (da) x i + A dx i = λ i dx i +(dλ i ) x i. Uvažujmenynímatici A ajejívlastnívektory v 1,...,v n příslušnévlastnímčíslům λ 1,..., λ n.pakskalárnímnásobenímdostáváme ((da) x i, v j )+(A dx i, v j )=(λ i dx i, v j )+((dλ i )x i, v j ) ((da) x i, v j )+(A dx i, v j )=λ i (dx i, v j )+dλ i (x i, v j ), odkudpro i=jdostaneme((da) x i, v i )+(A dx i, v i )=(dx i, λ i v i )+dλ i (x i, v i )a protože(x i, v i ) 0aA v i = λ i v i,platí dλ i = ((da) x i, v i ). (4.1) (x i, v i ) Pro i jjepakzřejmě(x i, v i )=0avzhledemkrovnosti(A dx i, v j )=λ j (dx i, v j ) dostáváme Nechť ((da) x i, v j )+λ j (dx i, v j )=λ i (dx i, v j ), (λ i λ j )(dx i, v j )=((da) x i, v j ), (dx i, v j )= ((da) x i, v j ) λ i λ j. dx i = n α ij x j. (4.2) j=1 36

38 Potomzřejmě(dx i, v j )=α ij (x j, v j )atedypro i j α ij = ((da)x i, v j ) (x j, v j )(λ i λ j ). (4.3) Koeficient α ii jevzhledemknejednoznačnostivlastníhovektoru x i neurčen.bez újmynaobecnostimůžemepředpokládat,že α ii =0.Normovánímzevzorce(4.1) dostáváme následující vztah da. xi. v i dλ i = c i da, (x i, v i ) kde c i = x i. v i (x i, v i ). ZCauchyho-Buňakovskéhonerovnostijezřejmě c i 1.Vpřípaděreálnýchvlastních vektorů máme 1 c i = cosϕ i, kde ϕ i jeúhelmezivektory x i a v i. Definice5.Zavýšeuvedenéhooznačenínazvemečíslo c i koeficientemdeformace matice Aodpovídajícívlastnímučíslu λ i. Koeficientdeformace c i tedyvyjadřuje,žepřidanénormě da můžebýtzměna λ i tímvětší,čímvětšíjetentokoeficientdeformace.uhermitovských,specielně symetrickýchmatic,platí c i =1,tedy dλ i da,protože xi = v i aprotojev tomto případě úloha určit vlastní čísla vždy stabilní. Pro libovolnou matici platí, že je tato úloha nestabilní jen při velkém koeficientu deformace. Přejděme nyní ke stabilitě výpočtu vlastních vektorů. Z(4.2) a(4.3) plyne, že dx i = j {1,...,n}\{i} ((da)x i, V j ) (X j, V j )(λ i λ j ) X j aodtud dx i da. Xi = da. Xi j {1,...,n}\{i} j {1,...,n}\{i} V j. X j (X j, V j ). λ i λ j = c j λ i λ j. Vidíme tedy, že úloha určit vlastní vektory matice může být nestabilní jen v případě,žealespoňjedenkoeficientdeformace c i jevelkýnebojsou-liněkterávlastní čísla příliš blízká. 37

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím.

Regulární matice. Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Regulární matice Věnujeme dále pozornost zejména čtvercovým maticím. Věta. Pro každou čtvercovou matici A = (a ij ) řádu n nad tělesem (T, +, ) jsou následující podmínky ekvivalentní: (i) Řádky matice

Více

Kapitola 1. Tenzorový součin matic

Kapitola 1. Tenzorový součin matic Kapitola 1 Tenzorový součin matic Definice 1.1. Buď F komutativní těleso. Pro matice A F m n a B F r s definujeme tenzorový součin A B jako matici o rozměru mr ns zapsanou blokově: A 11 B A 12 B A 1n B

Více

Maticový a tenzorový počet

Maticový a tenzorový počet Maticový a tenzorový počet Doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D. Ústav matematiky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obsah. Test vstupních znalostí............................. 5 Matice

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple

Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vybrané problémy lineární algebry v programu Maple Vedoucí bakalářské práce: RNDr.

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

TEORIE MATIC. Tomáš Vondra

TEORIE MATIC. Tomáš Vondra TEORIE MATIC Tomáš Vondra 2 Obsah 1 Opakování 5 1.1 Základní operace s maticemi..................... 5 1.2 Determinant matice......................... 7 1.2.1 Cauchyův-Binedův vzorec..................

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice.

Determinant. Definice determinantu. Permutace. Permutace, vlastnosti. Definice: Necht A = (a i,j ) R n,n je čtvercová matice. [] Definice determinantu BI-LIN, determinant, 9, P Olšák [2] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.

a m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem. 1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její

Více

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04

0. Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 0 Lineární rekurence Martin Mareš, 2010-07-04 V tomto krátkém textu se budeme zabývat lineárními rekurencemi, tj posloupnostmi definovanými rekurentní rovnicí typu A n+k = c 0 A n + c 1 A n+1 + + c k 1

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC

2.2. SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC 22 SČÍTÁNÍ A NÁSOBENÍ MATIC V této kapitole se dozvíte: jak je definováno sčítání matic a jaké má základní vlastnosti jak je definováno násobení matic číslem a jaké má základní vlastnosti zda a proč se

Více

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly

A0M15EZS Elektrické zdroje a soustavy ZS 2011/2012 cvičení 1. Jednotková matice na hlavní diagonále jsou jedničky, všude jinde nuly Matice Matice typu (m, n) je uspořádaná m-tice prvků z řádky matice.. Jednotlivé složky této m-tice nazýváme Matice se zapisují Speciální typy matic Nulová matice všechny prvky matice jsou nulové Jednotková

Více

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku

VI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n.

Operace s maticemi Sčítání matic: u matic stejného typu sečteme prvky na stejných pozicích: A+B=(a ij ) m n +(b ij ) m n =(a ij +b ij ) m n. 1 Sylvestrova věta Platí: Nechť A je symetrická matice řádu n, označme a 11 a 12... a 1i a D i = 21 a 22... a 2i.... a i1 a i2... a ii Pak A(a příslušná KF) je pozitivně definitní, právěkdyž D i >0provšechna

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Poznámky z matematiky

Poznámky z matematiky Poznámky z matematiky Verze: 14. dubna 2015 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu

Více

2. Matice, soustavy lineárních rovnic

2. Matice, soustavy lineárních rovnic Matice, soustavy lineárních rovnic Tento učební text byl podpořen z Operačního programu Praha- Adaptabilita Irena Sýkorová Některé vlastnosti matic Uvažujmečtvercovoumatici A=(a ij ) n n Matice Asenazývásymetrická,jestližeplatí

Více

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012

Lenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012 Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Lineární algebra 10. přednáška: Ortogonalita II Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text byl vytvořen

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a

a + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování

Více

Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n.

Masarykova univerzita. Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. Masarykova univerzita Ondřej Došlý Základy konvexní analýzy a optimalizace v R n. První vydání Brno 2004 Došlý Ondřej Název knihy c prof. RNDr. Ondřej Došlý, DrSc., 2005 Největší životní umění je neoptimalizovat

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

AVDAT Vektory a matice

AVDAT Vektory a matice AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x

Více

Matice lineárních zobrazení

Matice lineárních zobrazení Matice lineárních zobrazení Nechť V, +, a W, +, jsou nenulové vektorové prostory konečných dimenzí n a m nad tělesem T, +,, nechť posloupnosti vektorů g 1, g 2,..., g n V a h 1, h 2,..., h m W tvoří báze

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů

Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Lineární algebra a analytická geometrie sbírka úloh a ř ešených př íkladů Linear algebra and analytic geometry problems and solved examples Klára Javornická Bakalářská práce 2010 UTB ve Zlíně, Fakulta

Více

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Eduard Šubert: Koktejl nápoj je vektorem z lineárního obalu ingrediencí.

Eduard Šubert: Koktejl nápoj je vektorem z lineárního obalu ingrediencí. Eduard Šubert: Koktejl nápoj je vektorem z lineárního obalu ingrediencí. V roce 2012 se na katedře matematiky FJFI ČVUT v Praze konala Matematická fotosoutěž. Vítězný snímek týkající se právě lineární

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

Stochastické modely: prezentace k přednášce

Stochastické modely: prezentace k přednášce Stochastické modely: prezentace k přednášce Jan Zouhar Katedra ekonometrie FIS VŠE v Praze 27. října 2015 Obsah 1 Úvod do náhodných procesů 2 MŘ s diskrétním časem a konečným počtem stavů Základní pojmy

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14. Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

Operace s maticemi

Operace s maticemi Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =

Více

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =

P 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 = 1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu:

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu: FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Matematika 3 Garant předmětu: RNDr. Břetislav Fajmon, PhD Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Břetislav Fajmon, PhD

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Úvod do optimalizace

Úvod do optimalizace Přednáška Ú-Opt, February 19, 2006:1324 Petr Lachout 1 Úvod do optimalizace Prof. RNDr. Jitka Dupačová, DrSc. Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. KPMS MFF UK Verze 19. února 2006 2 Obsah 1 Úvod 5 2 Optimalizace

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů

Kapitola 11. Vzdálenost v grafech. 11.1 Matice sousednosti a počty sledů Kapitola 11 Vzdálenost v grafech V každém grafu lze přirozeným způsobem definovat vzdálenost libovolné dvojice vrcholů. Hlavním výsledkem této kapitoly je překvapivé tvrzení, podle kterého lze vzdálenosti

Více

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6. Základní aproximační úlohu lze popsat následovně: Jsou dány body [x 0, y 0 ], [x 1, y 1 ],..., [x n, y n

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012 2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Elektrotechnická fakulta

Elektrotechnická fakulta ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Elektrotechnická fakulta OPTIMÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ A ŘÍZENÍ Jan Štecha Katedra řídicí techniky 1999 Předmluva Toto skriptum je určeno posluchačům 4. ročníku oboru technická

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12

Vektory a matice. Matice a operace s nimi. Hodnost matice. Determinanty. . p.1/12 Vektory a matice Lineární (ne-)závislost vektorů n zê Matice a operace s nimi Hodnost matice Determinanty. p.1/12 Lineární (ne-)závislost vektorů zê n Příklad 9.1.1 Rozhodněte, zda jsou uvedené vektory

Více

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Podobnostní transformace

Podobnostní transformace Schurova věta 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci tak, aby se řešení úlohy

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

1. Základy logiky a teorie množin

1. Základy logiky a teorie množin . Základy logiky a teorie množin Studijní text. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 9. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (85 864). Boole prosadil

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29

Matematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29 Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010

Více