O teleskopických součtech a součinech

Transkript

1 O teleskopických součtech a součinech JAROSLAV ŠVRČEK Přírodovědecká fakulta UP, Olomouc Stanovení součtusoučinu) několika číselčlenů číselné posloupnosti vyhovující danému předpisu) a řešení úloh, které s touto problematikou souvisejí, patří v oblasti školské matematiky mezi oblíbené celky jak pro žáky, tak i pro učitele matematiky. Na druhé straně je třeba konstatovat, že se žáci při výuce matematiky hlouběji seznamují pouze se součty několika členů aritmetické či geometrické posloupnosti, což představuje jen velmi omezený celek znalostí z uvedené oblasti. Tento článek je určen především těm učitelům matematiky, jejich žákům a dalším zájemcům, kteří se chtějí o uvedené problematice dovědět něco navíc. Cílem příspěvku je seznámit čtenáře s metodou teleskopických součtů a součinů. Jak již název napovídá, princip této metody je založen na cíleném rozšíření prodloužení )danéhosoučtusoučinu)několikačíseltakovýmzpůsobem,aby jej vzápětí bylo možno výrazně zjednodušit, tj. co nejvíce snížit počet jeho sčítancůčinitelů). Toho lze dosáhnout, pokud každý ze sčítanců lze přepsat ve tvaru vhodného rozdílu tak, že většina členů takto upraveného součtu se v závěru navzájem zruší. Takový postup představuje jistou analogii s činností velkého dalekohleduteleskopu), který je potřeba před vlastním použitím zpravidla prodloužit o určitý počet článků tak, abychom s ním mohli dál efektivně pracovat odtud název metody). Zájemcům o tuto problematiku je možno doporučit také některé zahraniční zdroje, které jsou zaměřeny především na práci s matematicky talentovanými žáky. Patří mezi ně také obě publikace uvedené na konci článku. V první části příspěvku je prezentováno využití metody teleskopických součtů při řešení několika konkrétních úloh. Druhá část článku je pak věnována problematice teleskopických součinů.. Teleskopické součty Uveďme nejprve několik snazších úloh. Příklad Určete hodnotu výrazu nn+). Řešení.Uvažujme k-týsčítaneck,,..., n)danéhosoučtu,prokterýplatí kk+) k+) k kk+) k k+. )

2 V daném součtu nahradíme každý sčítanec rozdílem dvou zlomků podle). Dostaneme tak nn+) ) + ) n n+ ) n+ n n+. Všimněme si, že uvedené řešení je založeno na následující skutečnosti: Každý sčítanec je nahrazen rozdílem dvou zlomkův podstatě jde o rozšíření daného součtu, přesněji zdvojnásobení počtu jeho členů, s cílem výrazně v závěru zjednodušit upravený tvar součtu). Poznámka. K rozkladu) lze dospět také jinak využitím metody neurčitých koeficientů při rozkladu k-tého sčítance na tzv. parciální zlomky. Jde o nalezení reálných čísel A a B, která pro každé k přirozené vyhovují vztahu kk+) A k + B k+. Tatoúlohavedenařešenísnadnésoustavydvoulineárníchrovnic A+B0a Aoneznámých A, B.Jejířešení A, B vedekvýšeodvozenému rozkladu). Podobným způsobem lze stanovit např. hodnotu součtu nn+)n+). Příklad Dokažte,žeprokaždépřirozenéčíslo n >platínerovnost n <. Řešení.Prokaždé kpřirozené k >platínerovnost k < k )k. Využitímtétonerovnostipro k,,..., navyužitímvýsledkuzpříkladu dostaneme postupně n < n )n n <, což jsme chtěli dokázat.

3 Příklad Dokažte, že pro každé n přirozené platí nerovnost n <. Řešení. Vzhledem k tomu, že pro každé přirozené číslo k platí k kk+) je daná nerovnost ekvivalentní s nerovností nn+) <. Po snadné úpravě však dostáváme přímo nerovnost dokázanou v předešlém příkladu. Příklad 4 Dokažte, že platí následující rovnost , Řešení. Usměrníme-li každý sčítanec na levé straně rovnosti, získáme pouhým teleskopickýmzjednodušením celéhovýrazunalevéstraně )+ ) ) , což bylo třeba dokázat. Příklad 5 Dokažte následující nerovnosti a)! +! ! <, b)!+!+! + 4!+!+4! !+00!+0! <.

4 Řešení. a)podobnějakovpříkladuupravímenejprve k-týsčítaneck,,...,00) na levé straně nerovnosti následujícím způsobem Pak platí k k+) k+)! k+)! k! k+)!. )! ! 00!! +!!!) ! ) 0! což jsme chtěli dokázat. 0! <, b) Jednotlivé sčítance na levé straně nerovnosti upravíme pomocí následující identity.provšechna k,4,...,0platí k k )!+k )!+k! k k k )! kk )! k k! k )! k!. Pomocí ní upravíme každý sčítanec na levé straně nerovnosti a dostaneme tak!+!+! + 4!+!+4! !+00!+0!!!) +! 4!) ! ) 0!! 0! <. Tím je důkaz i této nerovnosti uzavřen. Analogickým způsobem využitím metody teleskopických součtů) lze řešit také následující úlohy. U každé z nich je uveden stručný návod, pomocí něhož se každý ze zájemců o tuto problematiku může samostatně pokusit o její řešení. Příklad 6 Určete hodnotu součtu [Návod: Využijte rovnost + + k+) k + k+) k k k+) 4 + n + n+).

5 a dále po úpravě jednotlivých sčítanců metodu teleskopických součtů.] Příklad 7 Určete hodnotu součtu S n sin x+sinx+sinx+...+sin nx. [Návod: Pro využití metody teleskopických součtů vynásobte nejprve každý člen součtuvýrazemsin x adálevyužijtevzorec sinkxsin x cosk )x cos k+)x pro k,,..., n.] Poznámka. Podobně lze stanovit také hodnotu součtu C n cos x+cosx+cosx+...+cosnx. Příklad 8. USAMO, 99) Dokažte rovnost cos0 cos + cos cos cos cos88 cos89 sin. [Návod:Oběstranydokazovanérovnostivynásobtevýrazemsin adálevyužijte následující rovnostargumenty goniometrických funkcí uvažujte ve stupních) pro k0,,,...,88.] sin cosk+)sin k sink+)cosk cos kcosk+) coskcosk+) Příklad 95. USAMO, 996) Dokažte rovnost sin +4sin sin78 90cotg. [Návod:Oběstranydokazovanérovnostivynásobtevýrazemsin adálevyužijte identituargumenty goniometrických funkcí uvažujte ve stupních) pro k,,...,89.] sinksincosk ) cosk+). 5

6 . Teleskopické součiny Ve druhé části se zaměříme na prezentaci metody teleskopických součinů. S uvedenou problematikou se mj. mohli setkat již řešitelé. ročníku Matematické olympiády v kategorii Aviz příklady 4 a 5), které ponecháváme čtenářům k samostatnému procvičení. Příklad 0 Dokažte nerovnost < 0. Řešení. Označme A a B Protože pro všechna n přirozená platí očividně nerovnost n n+ < n+ n+, obdržímevyužitím teleskopickéhozkrácení většinyčinitelůvčitateliajmenovateli zlomkusoučinu) A B postupně následující odhady A < A B < 0 < 00, tj. A < 0, což přímo dokazuje danou nerovnost. Příklad Dokažte nerovnost + ) + ) )... + < Řešení. Každý z činitelů na levé straně dokazované nerovnosti upravíme následujícímzpůsobem:prokaždé k,,...,00platí + k )k+) k k )k+). Uvažovaný součin upravíme pomocí této rovnosti a dále využijemestejně jako vpředchozímpřípadě) teleskopickézkrácení celéhovýrazu.dostanemetak Tím je důkaz uzavřen <. 6

7 Zcela analogicky lze postupovat také při důkazu následující identity. O její snadný důkaz se můžete pokusit samostatně. Příklad. Dokažte,žeprovšechna n >přirozenárovnost ) )... ) 4 9 n n+ n. Příklad. Dokažte,žeprokaždépřirozenéčíslo n >platínerovnost n + n <. Řešení.Využitímvzorců a +b a+b)a ab+b ), a b a b)a +ab+b ), ježplatíprolibovolnáreálnáčísla a, b,dostanemespeciálnívolbou a,,..., n a b n + n n+)n n+) n )n + n+). Protožepro k,,..., n platírovnost k+) k+)+k + k+, lze poslední součin upravitpo teleskopickém zkrácení) do tvaru n+)n n+) n )n + n+) nn+) n + n+ n + n n + n+ <. Tím je důkaz nerovnosti uzavřen. Závěrečné dvěna sebe navazující úlohy) jsou určeny čtenářům k samostatnému procvičení problematiky této části příspěvku. Příklad 4. ročník MO, A II a) Dokažte,žeprovšechnapřirozenáčísla n >platí + ) ) n n n ) n+) 4n Příklad 5.. ročník MO, A III ) Dokažte, že pro všechna přirozená čísla n > platí nerovnost ) )... ) > 8 7 n.. 7

8 Literatura [] Andreescu, T. Gelca, R.: Mathematical Olympiad Challanges. Birkäuser. Boston 000. [] Larson, L. C.: Metódy riešenia matematických problémov. Vyd. Alfa, Bratislava 990. Příspěvek vznikl za podpory projektu OPVK CZ..07/../