1 3Masarykova univerzita 6 1 P 0 0 rodov deck fakulta NEKONE 0 9N ADY

Transkript

1 3Masarykova uiverzita 6 P 0 0 rodov deck fakulta Zuzaa Do 0 8l, V t zslav Nov k NEKONE 0 9N ADY Bro 2002

2 3c П Zuzaa Do 0 8l, V t zslav Nov k, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 2002 ISBN

3 3 Kapitola Nekoe sel 0 0ady Cz klad pojmy Teorie ekoe ch 0 0 sel 0 5ch 0 0ad vzikla ve druh polovi 7. stolet spolu s utv 0 0e m ifiitezim l ho po 0 0tu. Moh my 0 8leky zr ly 0 0adu stolet, e 0 6 se p 0 0ibl 0 6ily de 0 8 podob. V pr 0 b hu v 0 5voje se kte 0 0 matematikov dopustili p 0 0i po 0 0 t s 0 0adami omyl 0, zejm a v dob, kdy ebyl pojem kovergece 0 0ady kostituov, a tak v dob, kdy paovala jak si hr 0 za z ekoe 0 0a. T mto probl mem se od po 0 0 tku zab 0 5vali ejeom matematikov, ale i filozofov. Nap 0 0 klad Zeo z Eleje (490 C430 p 0 0..l.) pova 0 6oval za emo 0 6, 0 6e by ekoe sou 0 0et klad 0 5ch 0 0 sel mohl b 0 5t koe slo; p 0 0ipome me jeho aporii Achilles a 0 6elva: 6 7Rychlooh 0 5 Achilles ikdy edo 0 6ee 0 6elvu, jestli 0 6e se 0 6elva ach z v jak vzd leosti p 0 0ed m. Se sou 0 0ty ekoe ch geometrick 0 5ch 0 0ad ji 0 6 pracoval (ai 0 6 pou 0 6 val de 0 8 symboliku) Archimedes (287 C22 p 0 0..l.), kdy 0 6 ur 0 0oval kvadraturu paraboly; prv ekoe 0 0ou 0 0adu, kter ebyla geometrick, se 0 0etl a z klad fyzik l ch vah a 0 6 ve st 0 0edov ku (kolem roku 350) R. Swieshead. V cel historii matematiky byla saha zodpov d t dv z klad ot zky pro po 0 0 t s ekoe mi 0 0 sel 0 5mi 0 0adami: Jak se 0 0 st ekoe 0 0ou (p 0 0es ji spo 0 0etou) mo 0 6iu 0 0 sel? Plat pro ekoe 0 0 sou 0 0ty podob z koy jako pro koe 0 0 sou 0 0ty, zejm a z ko distributiv, asociativ a komutativ? Odpov d a ob ot zky uk 0 6eme v pr 0 b hu prv ch 0 0ty 0 0 kapitol, kter jsou v ov y ekoe m 0 0 sel 0 5m 0 0ad m. C lem prv kapitoly je zav st pojem sou 0 0et 0 0ady a uk zat kter z klad operace s 0 0 sel 0 5mi 0 0adami. aporie slep uli 0 0ka rozumu

4 32 Nekoe sel 0 0ady C z klad pojmy.. Sou 0 0et 0 0ady Ze st 0 0ed 0 8koly je dob 0 0e z ma ekoe 0 0 geometrick 0 0ada. Postup pou 0 6it 0 5 p 0 0i ur 0 0e jej ho sou 0 0tu, tj. utvo 0 0e tzv. 0 0 ste ch sou 0 0t 0 a provede limit ho p 0 0echodu, je vodem pro obecou defiici. Defiice.. Necht {a } ч je posloupost re l 0 5ch 0 0 sel. Symbol a ebo a + a 2 + a 3 + +a + (.) az 0 5v me ekoe 0 0ou 0 0 selou 0 0adou. Posloupost {s } ч, kde s = a,s 2 = a + a 2,..., s = a + a 2 + +a,..., az 0 5v me posloupost 0 0 ste ch sou 0 0t 0 t to 0 0ady. Existuje-li vlast limita lim s = s, 0 0ekeme, 0 6e 0 0ada ф ч З ч a koverguje am sou 0 0et s. Neexistuje-li vlast limita lim s, 0 0ekeme, 0 6e 0 0ada ф ч a diverguje. Nekoe ada je tedy symbol ф ч a ebo a + a a +, kde {a } je da posloupost. K tomuto symbolu je p 0 0i 0 0azea posloupost 0 0 ste ch sou 0 0t 0 {s }. Prvky poslouposti {a } az 0 5v me 0 0ley 0 0ady ф ч a, kde a je -t le. 0 9 slo s az 0 5v me -t 0 5m 0 0 ste m sou 0 0tem t to 0 0ady. Vp 0 0 pad, kdy 0 0ada diverguje, rozli 0 8ujeme t 0 0i p 0 0 pady: 6ъ8 Je-li lim s = ч, 0 0 k me, 0 6e 0 0ada ur 0 0it diverguje k + ч; 6ъ8 Je-li lim s = 6с ч, 0 0 k me, 0 6e 0 0ada ur 0 0it diverguje k 6с ч; 6ъ8 Jestli 0 6e lim s eexistuje, 0 0 k me, 0 6e 0 0ada osciluje. M -li koverget 0 0ada ф a sou 0 0et s, p 0 8eme ф ч a = s. Je-li 0 0ada diverget k ю ч,p 0 8eme ф ч a = ч,p 0 0 pad ф ч a = 6с ч. P 0 0 klad.. Vy 0 8et 0 0ete, kdy koverguje ekoe 0 0 geometrick 0 0ada a ur 0 0ete jej sou 0 0et. a + aq + +aq 6с + = aq 6с, kde a 0б2= 0,q 0б2= 0, 0 9e 0 8e. Postupujeme podle Defiice.: ur 0 0 me s a provedeme limit p 0 0echod. a) Necht q =. Pak s = a a plat lim s = lim a = ю ч, tj. 0 0ada ф ч a je diverget.

5 3. Sou 0 0et 0 0ady 3 b) Necht q = 6с. 0 9ada m tvar a + ( 6сa) + +( 6с) 6с a +, tak 0 6e 0 0 ste sou 0 0et je { 0 pro sud, s = a pro lich. Posloupost {0,a,0,a,...} em limitu, proto je tato 0 0ada osciluj c. c) Necht q 0б2=. Plat s = a + aq + +aq 6с. U 0 6it m vztahu ( 6с q)( + q + q 2 + +q 6с ) = 6с q dostaeme s = a( + q + q 2 + +q 6с ) = a 6с q 6с q. Uva 0 6ujme sleduj c p 0 0 pady: pro q < je lim q = 0, proto lim s = a 6сq ; pro q> je lim q = ч, proto lim s = ю ч; pro q< 6с limita lim q eexistuje. Proto je geometrick 0 0ada pro q щ diverget a pro q < koverget. V tomto p 0 0 pad je jej sou 0 0et aq 6с = a, q <. 6с q P 0 0 klad.2. Ur 0 0ete sou 0 0et 0 0ady: a) b) c) d) ( + ) ч = ф (3 6с 2)(3 + ) 2 ( л + 2 6с 2 л + + л ) e) arctg 2 + arctg 8 + +arctg e 0 8e. Ve v 0 8ech p 0 0 padech postupujeme podle Defiice.: ur 0 0 me -t ste sou 0 0et s da 0 0ady a provede m limit ho p 0 0echodu ur 0 0 me jej sou 0 0et.

6 34 Nekoe sel 0 0ady C z klad pojmy a) V 0 5raz pro 0 0le a rozlo 0 6 me v sou 0 0et parci l ch zlomk 0 (+) = 6с +. Pak a proto s = 6с с с 6с + 6с + = 6с +, ( s = lim s = lim 6с ) =. + b) Postupujeme obdob : provedeme rozklad 0 0leu a v sou 0 0et parci l ch zlomk 0, tj. (3 6с 2)(3 + ) = A 3 6с 2 + B 3 +. Z rovice = (3 6с 2)B + (3 + )A plye B = 6с 3,A= 3, tj. (3 6с 2)(3 + ) = ( 3 3 6с 2 6с ). 3 + Pak s = ( 6с с с 5 6с 3 6с с 2 6с ) = 3 + a proto = 3 c) Plat ( 6с 3 + ), odkud po vyd le dv ma plye s = lim s = lim 3 ( 6с ) = s = , s 2 = Ode 0 0te m druh rovice od prv dostaeme 2 +. tj. s 2 = с 2 +, ( s = с ). 2 +

7 3. Sou 0 0et 0 0ady 5 Jeliko 0 6 ( lim ) = 3 2 =, lim = 0, 2 2+ je sou 0 0et 0 0ady 2 = lim s = 2. Ji 0 5 zp 0 sob ur 0 0e sou 0 0tu t to 0 0ady uk 0 6eme v P 0 0 kladu 6.3 pomoc sou 0 0tu moci 0 0ady. Z historick ho hlediska je tato 0 0ada prv egeometrickou 0 0adou, u kter byl ur 0 0e jej sou 0 0et. Ur 0 0il ho st 0 0edov k 0 5 matematik Richard Swieshead v kize Liber calculatioum apsa kolem roku 350, kdy e 0 8il tuto fyzik l lohu: Jak je pr 0 m r rychlost v hmot ho bodu s po 0 0 te 0 0 rychlost v 0 v 0 0asov m itervalu t й[0, ], kter 0 5 se pohybuje takto: b hem prv poloviy 0 0asov ho itervalu kostat rychlost, b hem dal tvrtiy itervalu rychlost, kter je dvoj sobkem po 0 0 te 0 0 rychlosti, b hem sleduj c osmiy itervalu se pohybuje rychlost, kter je troj sobkem po 0 0 te 0 0 rychlosti atd. a 0 6 do ekoe 0 0a. Vyu 0 6ijeme-li v e odvoze 0 5 sou 0 0et 0 0ady, dostaeme v = s t = s + s 2 + =v v 0. ( 4 + =v ) 2 + = 2v 0, tj. pr 0 m r rychlost b hem cel ho 0 0asov ho itervalu se bude rovat dvoj sobku po 0 0 te 0 0 rychlosti. d) Plat a = л 3 6с 2 л 2 + a 2 = л 4 6с 2 л 3 + л 2 a 3 = л 5 6с 2 л 4 + л 3. a 6с2 = л 6с 2 л 6с + л 6с 2 a 6с = л + 6с 2 л + л 6с a = л + 2 6с 2 л + + л Z uvede ho sch matu je z 0 0ejm, 0 6e s = 6с л 2 6с л + + л + 2, a proto s = lim З ч s = 6с л 2 + lim З ч ( л + 2 6с л + ) = = 6с л 2 + lim З ч л л + = 6с л 2.

8 36 Nekoe sel 0 0ady C z klad pojmy e) Pro x <, y < plat vztah U 0 6it m tohoto vztahu postup dost v me arctg x + arctg y = arctg x + y 6с xy. s 2 = a + a 2 = arctg 2 + arctg 8 = arctg с 6 s 3 = s 2 + a 3 = arctg arctg 8 = arctg с s = s 6с + a = arctg 6с = arctg (22 6с 2 + ) 2 3 6с + Sou 0 0et 0 0ady je = arctg. + arctg 6с 2 = arctg 2 = arctg 2 3 = arctg с 6с 2 3 = (2 2 6с 2 + ) (2 2 6с 2 + )( + ) = arctg +. s = lim s = lim arctg З ч З ч + = п 4. P 0 0 klad.3. Vyj d 0 0ete ve tvaru zlomku v z klad m tvaru 0 0 slo 0, e 0 8e. Plat 0, 25 = 2 ( ) = с = ( + ) = 2 = = = N sleduj c v ta ud v utou podm ku kovergece 0 0ady. V ta.. Jestli 0 6e 0 0ada ф ч a koverguje, pak plat lim a = 0. З ч D 0 kaz. Necht ф ч a koverguje a ф ч a = s. Tedy lim s = s й R, a proto 0 6e a = s 6с s 6с, plye odtud lim a = lim(s 6с s 6с ) = s 6с s = 0. Je t 0 0eba si uv domit, 0 6e opak t to v ty eplat. Je-li toti 0 6 pro 0 0adu spl a podm ka lim a = 0, pak z kovergece 0 0ady je 0 8t eplye. Tuto skute 0 0ost ilustruje sleduj c p 0 0 klad.

9 3. Sou 0 0et 0 0ady 7 P 0 0 klad ada ф ч se az 0 5v harmoick.vt to 0 0ad je ka 0 6d le harmoick 0 5m pr 0 m rem dvou soused ch 0 0le 0, tj. plat a = a 6с + a ada spl uje utou podm ku kovergece, ebot lim = 0. Uka 0 6me, 0 6e je tato 0 0ada diverget. K tomuto 0 0elu provedeme sleduj c odhady: s = s 2 = + 2. s 4 = s >s = s 8 = s > = s 6 = s > = s 2 > + 2 Posloupost {s } je rostouc, proto m bud vlast limitu ebo evlast limitu ч. Tut 0 6 limitu m i vybra posloupost {s 2 }; av 0 8ak z aleze ho odhadu plye s 2 З ч,a proto tak lim s = ч. Proto harmoick 0 0ada ф ч ur 0 0it diverguje. Jak uk 0 6eme pozd ji, divergeci t to 0 0ady lze dok zat velmi jedodu 0 8e pomoc itegr l ho krit ria. Harmoick 0 0ada byla prv 0 0adou, u 0 6 byla poprv uk z a divergece 0 0ady. U 0 0iil to pr v uvede 0 5m zp 0 sobem fracouzsk 0 5 matematik Nicole Oresme (323 C382). Bezprost 0 0ed z Defiice. plye tato v ta: V ta.2. Necht p й N. 0 9ady ф ч a, ф ч =p+ a sou 0 0as bud koverguj ebo diverguj. Jestli 0 6e koverguj, pak plat a = a + +a p + a. =p+

10 38 Nekoe sel 0 0ady C z klad pojmy Poz mka.. Zp 0 0edch zej c v ty plye, 0 6e a kovergeci, resp. divergeci 0 0ady em vliv chov koe 0 0 ho po 0 0tu jej ch 0 0le 0. Proto budeme u 0 6 vat tuto mluvu: 6ъ8 pokud jak 0 5 p 0 0edpoklad emus platit pro koe po 0 0et 0 0le 0, budeme 0 0 kat, 0 6e plat pro skoro v 0 8echa, tj. plat a 0 6od jist ho idexu po 0 0 aje; 6ъ8 pokud budeme vy 0 8et 0 0ovat kovergeci (divergeci) 0 0ady, budeme m sto ф ч a ps t je ф a. Nutou a posta 0 0uj c podm kou kovergece 0 0ady je sleduj c v ta, kterou budeme pou 0 6 vat v dal 0 8 ch d 0 kazech; k praktick 0 5m v 0 5po 0 0t 0 m e p 0 0 li 0 8 vhod. Lemma. (Cauchyovo-Bolzaovo krit rium kovergece). 0 9ada ф ч a je koverget pr v tehdy, kdy 0 6 posloupost jej ch 0 0 ste ch sou 0 0t 0 je cauchyovsk, tj. pro libovol е>0 existuje 0 й N takov, 0 6e pro й N, щ 0 a libovol m й N plat s +m 6с s = a + + a a +m < е. D 0 kaz. Plye z Defiice. a z plosti prostoru R, co 0 6 zame, 0 6e ka 0 6d posloupost v R je koverget pr v tehdy, kdy 0 6 je cauchyovsk (viz ap 0 0. [3])..2. Operace s 0 0 sel 0 5mi 0 0adami Zdrojem omyl 0 moha matematik 0 byla skute 0 0ost, 0 6e s ekoe mi sou 0 0ty elze zach zet jako s koe mi sou 0 0ty. Uved me p 0 0 klad z historie: italsk 0 5 matematik Guido Gradi (67 C742) uva 0 6oval 0 0adu + ( 6с) + + ( 6с) + = ( 6с) ; des se tato 0 0ada az 0 5v Gradiho 0 0ada. Tato 0 0ada diverguje, proto 0 6e s =, s 2 = 0, s 3 =,...,tj.limita s eexistuje. Daou 0 0adu lze uz vorkovat dvoj m zp 0 sobem a dostaeme tyto 0 0ady: 6ъ8 0 0ada +[( 6с) + ]+[( 6с) + ]+ koverguje, ebot s = pro v 0 8echa й N a s = lim s = ; 6ъ8 0 0ada [ + ( 6с)] +[ + ( 6с)]+ koverguje, ebot s = 0 pro v 0 8echa й N a s = lim s = 0. Jed seot 0 0i r 0 z 0 0ady, kde prv diverguje a druh dv koverguj, eboli uz vorkov m se poru 0 8ila divergece 0 0ady. =0

11 3.2 Operace s 0 0 sel 0 5mi 0 0adami 9 Gradiho v 0 5po 0 0et byl sleduj c : 0 = =( 6с ) + ( 6с ) + ( 6с ) + ( 6с ) + = = 6с ( 6с ) 6с ( 6с ) 6с ( 6с ) 6с = 6с 0 6с 0 6с 0 6с = =, co 0 6 si Gradi vylo 0 6il jako symbol stvo 0 0e sv ta bohem z i 0 0eho. To vyvolalo bou 0 0livou polemiku, kter se krom Gradiho z 0 0astil Leibiz, Nicolaus Beroulli a ji. V t chto diskus ch se up 0 0es ovaly pojmy sou 0 0et ekoe sel 0 0ady, kovergece a divergece t chto 0 0ad. Gradi se dopustil dvou omyl 0 : zkouma 0 0ada je diverget, proto em koe sou 0 0et a krom toho p 0 0i sv m v 0 5po 0 0tu pou 0 6il asociativ z ko, kter 0 5 obec pro ekoe ady eplat. Z klad operac s ekoe mi 0 0adami je sou 0 0et dvou koverget ch 0 0ad: V ta.3. Bud te ф a, ф b koverget 0 0ady a echt ф a = s, ф b = t. Pak je koverget i 0 0ada ф (a + b ) a plat ф (a + b ) = s + t. D 0 kaz. Oza 0 0me {s } posloupost 0 0 ste ch sou 0 0t 0 0 0ady ф a, {t } posloupost 0 0 ste ch sou 0 0t 0 0 0ady ф b, {w } posloupost 0 0 ste ch sou 0 0t 0 0 0ady ф (a + b ). Pak je lim s = s,lim t = t a w = (a + b ) + (a 2 + b 2 ) + +(a + b ) = (a + a 2 + +a ) + (b + b 2 + +b ) = s + t. Odtud plye lim w = lim(s + t ) = s + t, tj. ф (a + b ) = s + t. Poz mka.2. Necht ф a = s, ф b = t jsou koverget 0 0ady a echt a э b pro v 0 8echa. Pak s э t. Vskutku, pro poslouposti 0 0 ste ch sou 0 0t 0 {s } a {t } t chto 0 0ad plat s э t pro v 0 8echa, a proto i limita s э t. N sleduj c v tu m 0 0 6eme ch pat jako aalogii distributiv ho z koa pro koe 0 0 sou 0 0ty. V ta.4. Jestli 0 6e 0 0ada ф ч a koverguje, pak pro libovol k й R koverguje t ada ф ч k a a plat ka = k a. Naopak, koverguje-li 0 0ada ф ч ka, kde k й R, k 0б2= 0, koverguje i 0 0ada ф ч a. D 0 kaz. Necht ф a koverguje, ф a = s. Oza 0 0 me-li {s } posloupost 0 0 ste ch sou 0 0t 0 0 0ady ф a, {t } posloupost 0 0 ste ch sou 0 0t 0 0 0ady ф ka, je lim s = s a pro libovol й N plat t = ka + ka 2 + +ka = k(a + a 2 + +a ) = ks. Odtud plye lim t = ks, tj. ф ka = ks. Necht aopak koverguje ф ka a k 0б2= 0. Podle ji 0 6 dok za prv 0 0 sti v ty pak koverguje 0 0ada ф k (ka ) = ф a.

12 30 Nekoe sel 0 0ady C z klad pojmy Poz mka.3. Tvrze V ty.3 lze z 0 0ejm plou idukc roz it a libovol 0 5 koe po 0 0et s 0 0 tac 0. Nav c lze podle V ty.4 ahradit sou 0 0et uva 0 6ova 0 5ch 0 0ad jejich libovol 0 5mi lie r mi kombiacemi. Z kovergece 0 0ady ф (a + b ) v 0 8ak aopak eplye kovergece 0 0ad ф a, ф b, jak ukazuje p 0 0 klad 0 0ad ф ( 6с) 6с, ф ( 6с). P 0 0 klad.5. Doka 0 6te kovergeci a ajd te sou 0 0et 0 0ady 5.4 6с 3 + =0 6. (.2) 0 9e 0 8e. Ob 0 0ady ф 4 = ф ( ), ф 3 = ф ( 6 2 ) koverguj a jejich sou 0 0et je ( ) 2 = ( ) 3 6с 2 = 3, = 2 6с = =0 Podle V ty.3 a.4 je koverget i 0 0ada (.2) a jej sou 0 0et je rove s = 5 3 6с3 2 = 9. Zp 0 0 kladu Gradiho 0 0ady je z 0 0ejm, 0 6e mezi 0 0ley ekoe sel 0 0ady elze libovol rozm stit z vorky. Pouze v p 0 0 pad koverget 0 0ady m 0 0 6eme sdru 0 6ovat jej 0 0ley, ai 0 6 se zm jej sou 0 0et. Tato skute 0 0ost je zformulov a v sleduj c v t, kter b 0 5v az 0 5v a asociativ m z koem pro koverget 0 0ady. V ta.5. Necht ф ч a je koverget 0 0ada a echt { k } je rostouc posloupost p 0 0iroze 0 5ch 0 0 sel. Polo 0 6me 0 = 0 aprok й N oza 0 0me Pak 0 0ada ф ч k= b k koverguje a plat =0 b k = a k 6с + + a k 6с a k. b k = a. k= D 0 kaz. Oza 0 0 me-li {s } posloupost 0 0 ste ch sou 0 0t 0 0 0ady ф a, {t k } posloupost 0 0 ste ch sou 0 0t 0 0 0ady ф b k, pak plat t k = s k, tak 0 6e posloupost {t k } je vybr a z poslouposti {s }. Podle v ty o vybra 0 5ch posloupostech (viz ap 0 0. [9]) posloupost {t k } koverguje a plat lim t k = lim s, tj. ф b k = ф a. Poz mka.4. Asociativ z ko zame z ko o sdru 0 6e v 0 0ad m 0 0 6eme jedotliv 0 0ley sdru 0 6ovat (uz vorkovat), ai 0 6 se zm jej sou 0 0et. Tedy V tu.5 lze vyslovit takto: Koverguje-li 0 0ada a + a a +, pak koverguje i 0 0ada (a + a a ) + (a + + a a 2 ) + + (a k 6с + + a k 6с +2 +

13 3.2 Operace s 0 0 sel 0 5mi 0 0adami +a k ) + am t sou 0 0et. Obr ce tvrze v 0 8ak eplat. Z kovergece 0 0ady (a + a 2 + +a ) + (a + + a a 2 ) + obec eplye kovergece 0 0ady a + a 2 +, jak ukazuje vod p 0 0 klad o Gradiho 0 0ad. Aalogie t 0 0et ho, komutativ ho z koa o z m, resp. o p 0 0erov v 0 0le 0 0 0ady, obec pro koverget 0 0ady eplat. Jak uk 0 6eme v Kapitole 3, k jeho platosti je t 0 0eba sil j 0 8 vlastost 0 0ady, tzv. absolut kovergece. Cvi 0 0e.. Ur 0 0ete sou 0 0et t chto 0 0ad: a) b) c) d) 2 + e) (+3) f) (2 6с)(2+5) g) 4 2 6с h).2. Vyj d 0 0ete ve tvaru zlomku v z klad m tvaru: a) 6с 0, 2 b) 0, с 2 ( ( 2 6с с ) ) с Rozhod te, zda koverguj tyto 0 0ady: a) l b) arctg c).4. S vyu 0 6it m ekoe 0 0 geometrick 0 0ady 0 0e 0 8te rovice v R: a) log x + log л x + log 4 л x + log 8 л x + =2 b) 6с tg x + tg 2 x 6с tg 3 x + = tg 2x + tg 2x.5. Do 0 0tverce o d lce stray 2 je veps 0 0tverec, jeho 0 6 stray jsou spojicemi st 0 0ed 0 stra da ho 0 0tverce. Do vepsa ho 0 0tverce je stej 0 5m zp 0 sobem veps dal tverec atd. Vypo 0 0 tejte sou 0 0et obvod 0 a sou 0 0et obsah 0 v 0 8ech takov 0 5chto 0 0tverc Vypo 0 0t te obsah obrazce utvo 0 0e ho z ekoe 0 0 moha obd l k 0, jestli 0 6e se d lky jejich vodorov 0 5ch stra zme 0 8uj v pom ru 4 : ad lky jejich svisl 0 5ch stra se zv t 0 8uj v pom ru : 2, p 0 0i 0 0em 0 6 obsah v 0 5choz ho obd l ka je 48 cm 2. (Tuto lohu 0 0e 0 8il N. Oresme

14 32 Nekoe sel 0 0ady C z klad pojmy ve sv m trakt tu O kofiguraci kvalit, kde aza 0 0il kostrukce tvar 0, kter maj ekoe 0 0 rozm ry, ale koe obsah)..7. Ur 0 0ete obsah sleduj c ho obrazce (tzv. Sierpi sk ho koberec): Jedotkov tverec rozd l me a dev t shod 0 5ch 0 0tverc 0 a odstra me vit 0 0ek prost 0 0ed ho 0 0tverce. Ka 0 6d 0 5 ze zb 0 5vaj c ch 0 0tverc 0 rozd l me zovu a dev t shod 0 5ch 0 0tvere 0 0k 0 a zovu odstra me v ka 0 6d m z ich jeho st 0 0ed 0 0tvere 0 0ek. Po t 0 0et m kroku takov operace dostaeme tvar zobraze 0 5 a obr zku. Kdy 0 6 tuto operaci prodlou 0 6 me do ekoe 0 0a, dostaeme tvar, kter 0 5 se az 0 5v Sierpi sk ho koberec..8. Doka 0 6te: Jestli 0 6e ф a koverguje, ф b ur 0 0it diverguje k + ч, pak ф (a + b ) ur 0 0it diverguje k + ч. Jestli 0 6e ф a koverguje, ф b osciluje, pak ф (a +b ) osciluje. 0 7petka praxe vyd za tuu teorie.

15 V 0 5sledky cvi 0 0e Kapitola.. a) b) c) 23 d) e) 3 f) 3 g) 5 h) 4.2. a) 6с 4 b) a) Cc) diverguj.4. a) x = 0 b) x = п 6 + k п ebo x = 5 п + k п..5. Sou 0 0et obvod 0 je 6 8(2 + л 2), sou 0 0et obsah 0 je loha vede k ur 0 0e sou 0 0tu ekoe 0 0 geometrick 0 0ady: , jej 0 6 sou 0 0et je s = 96 cm Obsah Sierpi sk ho koberce je P = 6с ф ч = = 0. Kapitola a) koverguje b) koverguje c) koverguje d) diverguje e) koverguje pro 0 <a<, diverguje pro a щ f) diverguje g) koverguje pro a>, diverguje pro a й (0, ] h) koverguje i) koverguje j) koverguje k) koverguje l) diverguje m) koverguje ) diverguje o) diverguje pro a щ п, koverguje pro 2 0 <a< п 2 p) diverguje q) diverguje a 2 6с =, a 2 2 6с 2 = Neexistuje [N vod: je-li lim sup л л 3 2 a >, pak existuje { k }, k З чtak, 0 6e lim k ak щ. Oza 0 0 me-li b k = a k,je 0 0ada ф ф b k diverget. Proto 0 6e a щ 0, je diverget i 0 0ada a viz [5]. Kapitola a) koverguje b) koverguje c) diverguje d) diverguje e) koverguje f) koverguje a) koverguje eabsolut b) koverguje absolut c) koverguje eabsolut d) diverguje e) koverguje absolut f) koverguje absolut g) koverguje absolut h) koverguje eabsolut a) Pro x>0 0 0ada koverguje absolut, pro x э 0 0 0ada diverguje. b) Pro x й (,e) 0 0ada koverguje absolut, e pro ostat x 0 0ada diverguje. c) Pro x < 2 0 0ada koverguje absolut, pro x > 2a x = 2 diverguje, pro x = 6с2 koverguje eabsolut. d) Pro x щ 0 0 0ada koverguje absolut, pro x<0 0 0ada diverguje.