Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta"

Transkript

1 Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00

2 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN

3 3 Kapitola 3 Řady absolutě a eabsolutě kovergetí Předmětem této kapitoly budou číselé řady a, kde a R. Nejprve si všimeme speciálího případu, kterými jsou řady se střídavými zaméky, tzv. alterující řady. Dále zavedeme důležitý pojem pro řady s libovolými čley, kterým je absolutí, resp. eabsolutí kovergece. Také se vrátíme k otázce z Kapitoly, zda pro ekoečé řady platí aalogie komutativího zákoa, tj. zda lze přerovávat čley číselé řady, aiž se poruší její součet. Ukážeme, že pro přerováváí řad je rozhodující právě skutečost, zda jsou tyto řady absolutě kovergetí. 3.. Alterující řady Defiice 3.. Nekoečá řada a se azývá alterující, právě když platí sg a + = sg a pro všecha N. Vyloučíme-li případ řady, jejíž všechy čley jsou ulové, lze každou alterující řadu psát ve tvaru ( ) a ebo tvaru ( ) a, kde a > 0 pro všecha N. Pro alterující řady platí ásledující Leibizovo kritérium kovergece. Věta 3. (Leibizovo kritérium). Necht a je erostoucí posloupost kladých čísel. Pak alterující řada ( ) a koverguje právě tehdy, když platí lim a = 0. Důkaz. Nutost uvedeé podmíky plye ihed z Věty., ebot vztah lim a = 0 je ekvivaletí se vztahem lim[( ) a ]=0. Dokážeme její dostatečost. Necht

4 4 Řady absolutě a eabsolutě kovergetí jsou předpoklady věty splěy a uvažme posloupost {s } částečých součtů řady ( ) a. Pro libovolé N je s = (a a ) + (a 3 a 4 ) + +(a a ). Protože je zde každý sčítaec ezáporý, platí s s 4 s, tj. vybraá posloupost {s } je eklesající. Aalogicky je s + = a (a a 3 ) (a 4 a 5 ) (a a + ), a protože opět čísla v závorkách jsou ezáporá, je s s 3 s +, takže {s + } je erostoucí. Obě poslouposti {s }, {s + } jsou tedy mootoí a obě jsou ohraičeé, ebot pro libovolé N platí a a = s s <s + a + = s + s = a. Podle věty o mootoích posloupostech jsou tedy obě kovergetí a přitom mají stejou limitu, ebot lim s + lim s = lim(s + s ) = lim a + = 0. Je-li lim s = lim s + = s, pak zřejmě i lim s = s, takže ( ) a je kovergetí a má součet s. Příklad 3.. Rozhoděte o kovergeci řady: a) ( ) b) 3 + ( ) 3 c) ( ) l. Řešeí. Všechy uvedeé řady jsou alterující; ověříme, zda jsou splěy podmíky Leibizova kritéria (Věta 3.). a) Tato alterující řada se azývá Leibizova řada. Posloupost { } je klesající a platí, že lim a = lim = 0. Proto podle Leibizova kritéria Leibizova řada koverguje. Později ukážeme, že její součet je l (viz Příklad 6.4). b) Platí lim a = 3, a proto je daá řada divergetí. c) Nejprve ověřme, zda je posloupost { } klesající. Uvažujme fukci y = l x l x. Platí, že y = ( ) ( ) = < 0 pro x>, x l x (x l x) x tj. tato fukce je klesající a itervalu (, ), odkud plye, že také posloupost { l } je klesající. Dále je lim( l ) = lim l e =, a proto lim = 0. Podle Leibizova l kritéria daá řada koverguje.

5 3. Absolutí kovergece číselých řad Absolutí kovergece číselých řad Věta 3.. Koverguje-li řada a, koverguje i řada a. Důkaz. Necht a koverguje a bud ε R,ε >0 libovolé. Pak podle Cauchyova Bolzaova kritéria kovergece (Lemma.) existuje 0 N takové, že pro N, 0 a libovolé m N platí: a + + a a +m <ε. Potom též platí, že a + +a + + +a +m a + + a a +m <εpro N, 0,m N, tj. podle Cauchy Bolzaova kritéria řada a koverguje. Opačá implikace eplatí, jak ukazuje příklad Leibizovy řady ( ) ( ) : tato řada je kovergetí, avšak řada a = je divergetí. Proto má smysl zavést uřad s libovolými čley silější vlastost ež je kovergece: Defiice 3.. Řekeme, že řada a koverguje absolutě, jestliže koverguje řada a. Jestliže řada a koverguje a a diverguje, říkáme, že řada a koverguje eabsolutě. Příklad 3.. Leibizova řada ( ) + je eabsolutě kovergetí, aopak řada ( ) + je absolutě kovergetí, ebot řada koverguje (viz Příklad.). Lemma 3.. Necht a = s je absolutě kovergetí řada. Pak platí s a. Důkaz. Ozačme {s } posloupost -tých částečých součtů řady a a {t } posloupost -tých částečých součtů řady a. Protože s t pro všecha N, platí lim s = s lim t = a. (Tvrzeí také okamžitě plye z Pozámky., uvědomíme-li si, že a a ). Řada a je řada s ezáporými čley, a proto můžeme pro určováí absolutí kovergece řad použít všecha kritéria z Kapitoly. Věta 3.3 (Srovávací kritérium). Necht b je kovergetí řada s ezáporými čley a a je řada s libovolými čley. Jestliže pro všecha N platí a b, pak řada a koverguje absolutě. Důkaz. Plye z Věty.. Věta 3.4 (Odmociové kritérium). Jestliže pro všecha N platí a q<, pak řada a koverguje absolutě. Platí-li pro ekoečě moho N erovost a, pak tato řada diverguje. Existuje-li lim a =q R,pakvpřípadě q<řada a koverguje absolutě avpřípadě q>řada diverguje.

6 6 Řady absolutě a eabsolutě kovergetí Důkaz. Prví atřetí tvrzeí plye z odmociového kritéria pro řadu a (Věta.3). Je-li a pro ekoečě moho N,jei a pro ekoečě moho N, takže eplatí lim a = 0a a diverguje podle Věty.. Věta 3.5 (Podílové kritérium). Bud a řada s eulovými čley. Jestliže pro všecha N platí a + a q<, pak řada a koverguje abso- lutě. Platí-li pro všecha N erovost a + a, řada diverguje. Existuje-li lim a + a = q, pak v případě q<řada a koverguje absolutě a vpřípadě q>tato řada diverguje. Důkaz. Prví atřetí tvrzeí plye z podílového kritéria pro řadu a (Věta.4). Je-li a + a, tj. a+ a pro všecha N, je posloupost { a } eklesající, takže eplatí lim a = 0a a diverguje podle Věty.. Příklad 3.3. Zjistěte, zda jsou ásledující řady absolutě kovergetí: a) b) c) d) ( ) + ( + ) 3 ( ) + l ( + ) = l l 3 + l ( ) + ( + 3 ) ( )! ( + )( + )... ( + ). Řešeí. Ve všech případech budeme ověřovat kovergeci řady a. a) Pro všecha N platí. Řada je kovergetí, proto je podle (+) Věty 3.3 daá řada absolutě kovergetí. b) Platí: a = lim l ( + ) = lim lim l ( + ) = lim Podle Věty3.4 je daá řada absolutě kovergetí. c) Platí: ( + ) ( + ) lim a = lim = lim = e <. l( + ) = 0.

7 3. Absolutí kovergece číselých řad 7 Podle Věty3.4 je daá řada absolutě kovergetí. d) V tomto případě se ukazuje výhodé použít Raabeovo kritérium pro řadu a. Platí (! lim ( + )... ( + ) + ) = ( + )! ( + )... ( + ) lim proto je vyšetřovaá řada absolutě kovergetí. Příklad 3.4. Určete, pro která x R je řada ( + ) + = lim + x = x + x + x absolutě kovergetí, pro která eabsolutě a pro která diverguje. + =, Řešeí. Pro x = 0je lim a + = lim x+ = lim x = x. a + x + Podle Věty 3.5 řada absolutě koverguje pro x <, pro x > řada diverguje. Pro x = dostáváme harmoickou řadu, která je divergetí, a pro x = Leibizovu řadu ( ) (+), která je eabsolutě kovergetí. Na závěr tohoto odstavce uved me dvě kritéria k určeí kovergece řady s libovolými čley. Jejich důkaz lze alézt apř. v [6, 3]. Věta 3.6 (Abelovo a Dirichletovo kritérium). Necht {b } je mootoí posloupost a platí jeda z ásledujících podmíek:. (Dirichlet) Posloupost částečých součtů řady a je ohraičeá alim b = 0;. (Abel) Řada a koverguje a posloupost {b } je ohraičeá. Pak řada a b koverguje. Příklad 3.5. Dokažte, že řada a) si x koverguje pro libovolé x R; b) je kovergetí. si

8 8 Řady absolutě a eabsolutě kovergetí Řešeí. a) Případ kdy x = kπ, k Z je triviálí, ebot se jedá o ulovou řadu. Necht tedy x = kπ. Položme b = a a = si x. Ukážeme, že jsou splěy podmíky Dirichletova kritéria (Věta 3.6). Zřejmě je posloupost {b } mootoí a lim b = 0. Zbývá dokázat, že posloupost částečých součtů řady a je ohraičeá. Ozačme Z Moivreovy věty plye s = si x + si x + +si x, r = cos x + cos x + +cos x, q = cos x + i si x. q = (cos x + i si x) = cos x + i si x, odkud q q = cos x + i si x ( cos( x) + i si( x) ) = i si x. Užitím těchto vzorců dostaeme r + is = cos x + i si x + cos x + i si x + +cos x + i si x = = q + q + +q = q q q = q q (q q ) q (q q ) ( = cos + = q + i si x i si x = x + i si + x ) si x si x. Nyí porováme reálou a imagiárí část + cos r = cos x + cos x + +cos x = x si x si x, + si s = si x + si x + +si x = x si x si x. Odtud plye s si, a proto je posloupost {s } částečých součtů řady si x ohraičeá. Tím jsme dokázali, že řada si x x je kovergetí pro všecha x R. b) Použijeme Abelovo kritérium (Věta 3.6)přivolbě b =, a = si. Podle předchozího příkladu a koverguje. Protože lim =, je {b } ohraičeá; ukážeme ještě,že pro 3je klesající. Vskutku, > + + právěkdyž + >(+), což je ekvivaletí >(+ ) a tato erovost platí pro 3, ebot {( + ) } je rostoucí posloupost s limitou e< Přerováváí řad Již v prví kapitole jsme ukázali, že s ekoečými součty emůžeme zacházet stejě jako se součty koečými. V tomto odstavci se budeme zabývat aalogií komutativího zákoa přerováváím ekoečých řad.

9 3.3 Přerováváí řad 9 Zaved me ásledující defiici: Defiice 3.3. Necht a je řada, {k } permutace možiy N (tj. {k } je prostá posloupost přirozeých čísel, v íž se každé přirozeé číslo vyskytuje). Pak říkáme, že ak vzikla přerováím řady a. Věta 3.7. Necht řada a koverguje absolutě. Pak koverguje absolutě také každá řada a k vziklá přerováím řady a a platí a k = a. Důkaz. Bud ε>0 libovolé. Protože řada a je absolutě kovergetí, existuje 0 N takové, že pro 0 a libovolé m N platí a a +m <ε. Dále protože {k } je permutace možiy N, existuje p N tak, že {,,..., 0} {k,k,...,k p }. Bud yí >pa m N libovolé. Ozačíme-li t = max{k +,......,k +m }, platí a k+ + + a k+m a a t <ε. Podle Cauchy-Bolzaova kritéria řada a k koverguje, tj. řada a k koverguje absolutě. Zbývá dokázat, že obě řady mají stejý součet. Ozačme s částečé součty řady a, t částečé součty řady a k. Pro >max{ 0,k p } platí s t = a + +a 0 + a a (a k + +a k ) a a a 0 +q <ε, kde 0 + q = max{, k,...,k }. Je tedy lim (s t ) = 0, tj. lim s = lim t. Právě jsme dokázali, že pro absolutě kovergetí řady platí komutativí záko. Vyvstává otázka, jak se chovají při přerováváí eabsolutě kovergetí řady. Zaved me ásledující ozačeí: pro a R položme a + = max{a, 0}, a = max{ a, 0}. Potom je zřejmě a + 0,a 0, a = a + a, a =a + + a. Proto je-li a ekoečá řada, můžeme uvažovat dvě ekoečé řady s ezáporými čley a + a. Tyto řady mají ásledující vlastost: a Lemma 3.. Necht řada a koverguje eabsolutě. Pak obě řady a + a a divergují k +. Důkaz. Protože a + a a jsou řady s ezáporými čley, každá z ich bud koverguje ebo diverguje k +. Kdyby obě kovergovaly, pak by podle Věty.3 kovergovala i řada (a + + a ) = a, tj. a by kovergovala absolutě. Kdyby apř. a + divergovala k +, a kovergovala, pak by podle cvičeí. řada (a + a ) = a divergovala k +. Tedy obě řady a +, a divergují.

10 30 Řady absolutě a eabsolutě kovergetí Nyí můžeme dokázat větu o eabsolutě kovergetích řadách, která říká, jak labilí jsou tyto řady vzhledem k přerováváí. Věta 3.8 (Riemaova). Necht řada a koverguje eabsolutě a echt s R je libovolé. Pak existuje takové přerováí a k řady a,že a k = s, existuje takové přerováí a p řady a,že a p určitě diverguje a takové přerováí aq,že a q osciluje. Důkaz. Dříve ež provedeme přesý důkaz, azačme velmi zjedodušeě, jakým způsobem bude důkaz vede. Myšlekou důkazu tvrzeí, že a k = s, jepřerovat daou řadu ásledujícím způsobem: ejdříve poecháme kladé čley, dokud epřekročíme předepsaý součet. Poté začeme odčítat záporé čley až bude částečý součet řady meší ež součet předepsaý a stejým způsobem pokračujeme dál. Nakoec dokážeme, že takto přeskládaá řada opravdu koverguje k předem určeému číslu. (i) Ukažme, že lze řadu přerovat tak, že přerovaá řada koverguje a má součet s. Předpokládejme pro určitost, že s>0. Necht N je ejmeší takové, že a a + > s; vzhledem k divergeci a + takové existuje. Necht m N je ejmeší takové, že a + + +a+ (a + +a m )<s; existece takového m plye z divergece řady a. Necht dále N, > je ejmeší takové, že a + + +a+ (a + +a m ) + a a+ >s. Takové opět existuje ze stejých důvodů jako.vtéto kostrukci lze pokračovat idukcí; jejím výsledkem je jistá řada, která vzikla přerováím řady a. Dokažme, že součet takto přerovaé řady je s. Z kostrukce je patré, že částečý součet s +m + + k přerovaé řady se od požadovaého součtu s liší maximálě oa + k, částečý součet s +m + + k +m k se liší ods maximálě oa m k ačástečý součet s, kde + m + + k << + m + + k + m k, resp. + m + + k + m k < < + m + + k + m k + k+ se liší ods aejvýš o max{a k,a mk } resp. o max{a mk,a k+ }. Protože a koverguje, je lim a = 0, tedy i lim a + = lim a = 0; odtud lim s = s. (ii) Ukažme, že lze řadu přerovat tak, že přerovaá řada diverguje k. Necht N je ejmeší takové, že a a+ > ; > ejmeší takové, že a + + +a+ a + a a+ >, 3 > ejmeší takové, že a a + a + a a+ a + a a+ 3 > 3 atd. Vziklá přerovaá řada určitě diverguje k. (iii) Obdobě určíme ejmeší N tak, že a a+ >, ejmeší m N tak, že a a+ (a + +a m )<0, ejmeší > tak, že a + + +a+ (a + +a m ) + a a+ > atd. Vziklá přerovaá řada osciluje.

11 3.3 Přerováváí řad 3 Cvičeí 3.. Rozhoděte o kovergeci alterujících řad: a) b) c) ( ) 3 d) ( ) +00 e) ( ) 5 f) ( ) ( ) l ( ) l(+) 3.. Vyšetřete, které řady kovergují absolutě, které kovergují eabsolutě a které divergují: a) ( ) l si e) 6 = b) ( ) 3 f) ( ) tg c) ( ) ( ) + d) ( ) l g)! h) ( ) + 3 l (+) 3.3. Určete, pro která reálá čísla x ásledující řady absolutě kovergují, pro která eabsolutě a pro která divergují: a) e x c) b) l x d) + 3 x x e x Cítíte-li se skvěle, bud te bez obav. To přejde.

12 Výsledky cvičeí Kapitola.. a) b) c) 3 d) e) 3 f) 3 g) 5 h) 4.. a) 4 b) 7.3. a) c) divergují.4. a) x = 0 b) x = π 6 + kπ ebo x = 5π + kπ..5. Součet obvodů je 6 8( + ), součet obsahů je8..6. Úloha vede k určeí součtu ekoečé geometrické řady: , jejíž součet je s = 96 cm..7. Obsah Sierpińského koberce je P = = = 0. Kapitola.. a) koverguje b) koverguje c) koverguje d) diverguje e) koverguje pro 0 <a<, diverguje pro a f) diverguje g) koverguje pro a>, diverguje pro a (0, ] h) koverguje i) koverguje j) koverguje k) koverguje l) diverguje m) koverguje ) diverguje o) diverguje pro a π, koverguje pro 0 <a< π p) diverguje q) diverguje... a =, a =..3. Neexistuje [Návod: je-li lim sup 3 a >, pak existuje { k }, k tak, že lim k ak. Ozačíme-li b k = a k,jeřada b k divergetí. Protože a 0, je divergetí iřada a..4. viz [5]. Kapitola a) koverguje b) koverguje c) diverguje d) diverguje e) koverguje f) koverguje. 3.. a) koverguje eabsolutě b) koverguje absolutě c) koverguje eabsolutě d) diverguje e) koverguje absolutě f) koverguje absolutě g) koverguje absolutě h) koverguje eabsolutě a) Pro x>0řada koverguje absolutě, pro x 0řada diverguje. b) Pro x (,e) řada koverguje absolutě, e pro ostatí x řada diverguje. c) Pro x < řada koverguje absolutě, pro x > a x = diverguje, pro x = koverguje eabsolutě. d) Pro x 0řada koverguje absolutě, pro x<0řada diverguje.

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet

Více

1 Nekonečné řady s nezápornými členy

1 Nekonečné řady s nezápornými členy Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci

(3n + 1) 3n Příklady pro samostatnou práci ... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1 3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel

11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

ZS 2018/19 Po 10:40 T5

ZS 2018/19 Po 10:40 T5 Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI

6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI 6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1 I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) = Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2012 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 202 PAVLA STARÁ MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Rozklady celých

Více

P. Girg. 23. listopadu 2012

P. Girg. 23. listopadu 2012 Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji

Více

1 Základní matematické pojmy Logika Množiny a jejich zobrazení... 7

1 Základní matematické pojmy Logika Množiny a jejich zobrazení... 7 Semiář z matematické aalýzy I Čížek Jiří-Kubr Mila 8 září 007 Obsah Základí matematické pojmy Logika Možiy a jejich zobrazeí 7 Reálá a komplexí čísla 6 Poslouposti 7 Základí vlastosti posloupostí 7 Limita

Více

Matematická analýza III (NMUM201)

Matematická analýza III (NMUM201) Matematická aalýza III (NMUM0) Marti Rmoutil 0. leda 09 Kapitola Nekoečé číselé řady. Základí fakta Mějme posloupost reálých čísel {a } R. Až dosud jsme se při studiu posloupostí zabývali zejméa jejich

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost

DUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

Vlastnosti posloupností

Vlastnosti posloupností Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti

Více

Infinity series collection of solved and unsolved examples

Infinity series collection of solved and unsolved examples Nekoečé řady sbírka řešeých a eřešeých příkladů Ifiity series collectio of solved ad usolved examples Lucie Jaoušková Bakalářská práce 9 ABSTRAKT Cílem práce bylo vytvořit sbírku řešeých příkladů, která

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY MB202. Diferenciální a integrální počet B

MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY MB202. Diferenciální a integrální počet B MASARYKOVA UNIVERZITA FAKULTA INFORMATIKY Sbírka příkladů do cvičeí MB0 Difereciálí a itegrálí počet B jaro 08 Mgr. Jakub Juráek Obsah Polyomy, racioálí lomeé fukce, iterpolace Limity a spojitost fukce

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE

3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

Čísla a početní výkony

Čísla a početní výkony Čísla a početí výkoy III. Reálá čísla I: Eduard Čech (author): Čísla a početí výkoy. (Czech). Praha: Státí akladatelství techické literatury, 1954. pp. 92--137. Persistet URL: http://dml.cz/dmlcz/402583

Více

1 3Masarykova univerzita 6 1 P 0 0 rodov deck fakulta NEKONE 0 9N 0 7 0 9ADY

1 3Masarykova univerzita 6 1 P 0 0 rodov deck fakulta NEKONE 0 9N 0 7 0 9ADY 3Masarykova uiverzita 6 P 0 0 rodov deck fakulta Zuzaa Do 0 8l, V t zslav Nov k NEKONE 0 9N 0 7 0 9ADY Bro 2002 3c П Zuzaa Do 0 8l, V t zslav Nov k, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 2002 ISBN 80-20-949-2

Více

3. Limity posloupností

3. Limity posloupností 3. Limity posloupostí V této kapitole bude slovo posloupost zameat zobrazeí možiy Nebo obecějimožiy NN):= { Z; N},kde N Z)domožiy Rvšech koečých) reálých čísel. Je-li a posloupost, měli bychomv souladu

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti

1 Základní pojmy a vlastnosti Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).

Více

Reprezentace holomorfní funkce mocninnou řadou

Reprezentace holomorfní funkce mocninnou řadou Kapitola 4 Reprezetace holomorfí fukce mociou řadou V této kapitole završíme studium holomorfích fukcí. Zatím jsme odvodili důležitou itegrálí reprezetaci holomorfí fukce Cauchyův itegrálí vzorec. Teď

Více

M - Posloupnosti VARIACE

M - Posloupnosti VARIACE M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE

ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ INDUKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí registračí číslo projektu: CZ07/500/098 IV- Iovace a zkvalitěí výuky směřující k rozvoji matematické gramotosti žáků středích škol ZÁKLADNÍ TYPY DŮKAZŮ, MATEMATICKÁ

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

1. Přirozená topologie v R n

1. Přirozená topologie v R n MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášy M Krupy Zií seestr 999/ Přirozeá topologie v R V prví části tohoto tetu zavádíe přirozeou topologii a ožiě R ejprve jao topologii orovaého prostoru a pa jao topologii součiu

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

množina všech reálných čísel

množina všech reálných čísel /6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Diferenciální počet I

Diferenciální počet I Difereciálí počet I Kapitola II. Poslouposti I: Vojtěch Jarík (author): Difereciálí počet I. (Czech). Praha: Academia, 1974. pp. 73--103. Persistet URL: http://dml.cz/dmlcz/401985 Terms of use: Vojtěch

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) = NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

1. Zjistěte, jestli následující formule jsou tautologie. V případě záporné odpovědi určete k dané formuli konjunktivní a disjunktivní normální formu.

1. Zjistěte, jestli následující formule jsou tautologie. V případě záporné odpovědi určete k dané formuli konjunktivní a disjunktivní normální formu. Výrokový počet. Zjistěte, jestli ásledující formule jsou tautologie. V případě záporé odpovědi určete k daé formuli kojuktiví a disjuktiví ormálí formu. i) A C) = B C) = A B) ) ii) A B) = A C C B ) iii)

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více