CVIČNÉ PŘÍKLADY z finanční matematiky

Transkript

1 CVIČNÉ PŘÍKLADY z finanční matematiky ÚROKOVÝ A RENTNÍ POČET 1. pracovní verze OBSAH 1. PŘÍKLADY ÚROKOVÉHO POČTU Jednoduché úročení Složené úročení PŘÍKLADY RENTNÍHO POČTU Důchody věčné Důchody dočasné (konečné) Výpočty anuity FIN-MAT-cvičné PŘÍKLADY_1 pro kurz 1

2 1. PŘÍKLADY ÚROKOVÉHO POČTU 1.1 Jednoduché úročení A1. příklad Majitel vkladu a) , b) , c) Kč vyzvedl jednoroční úroky. Kolik mu banka vyplatila při p = 3 %? a) b) c) A2. příklad Roční úrok z vkladu uloženého na p = a) 7 %, b) 8 %, c) 9 % byl Kč. Z jakého vkladu úrok pocházel? a) b) c) A3. příklad Pokud zastavíte např. auto Škoda Forman v zastavárně (ve frcu ) a dostanete na něj půjčku Kč, za 25 dní musíte vrátit Kč. Jakému ročnímu úroku to zhruba odpovídá? 360 % FIN-MAT-cvičné PŘÍKLADY_1 pro kurz 2

3 1.2 Složené úročení B1. příklad Jakou kapitálovou hodnotu budou mít za 30 let dnes vynaložené náklady na zalesňování ve výši Kč při p = 3 %? Kdyby majitel náklady na zalesňování uložil jako vklad do spořitelny (banky), na jakou částku by tento vklad vzrostl? Kč B2. příklad Zástupce holandské Západoindické společnosti Peter Minuit koupil 24. května 1626 od indiánů Manhattan za cetky v hodnotě 60 holandských zlatých, tradičně přepočítané na 24 dolarů. Kolik by měli na účtu indiáni dnes, po 385 letech, kdyby 24 dolarů tehdy ušetřili a investovali? Výsledek (pro různou úrokovou míru): Úroková míra Částka v dolarech 1 % % % % % % % % B3. příklad Jakou bude mít za 18 let nominální hodnotu dnes uložený vklad Kč, jestliže úroková sazba činí 6 %? Kč FIN-MAT-cvičné PŘÍKLADY_1 pro kurz 3

4 B4. příklad Čistý výnos z probírky ve výši Kč uložil majitel lesa do banky. Jaká bude kapitálová hodnota této probírky (jaký bude stav vkladu) za 10 let při p = a) 2 %, b) 5 %, c) 8 %? a) b) c) B5. příklad Meliorační náklady vynaložené v roce zalesnění byly a) Kč, b) Kč, c) Kč. Jaká bude jejich kapitálová hodnota v 90 letech porostu při p = 3,5 %? a) b) c) B6. příklad Majitel lesa podle dosavadních zkušeností předpokládá, že čistý výnos z pařeziny za 8 let bude Kč. Jaká je dnešní kapitálová hodnota tohoto výnosu při p = 3 %? Kč B7. příklad Pravá skotská whisky obdrží svoji typickou chuť dlouhodobým skladováním v požadovaných dubových sudech tak to stojí v lexikonu. Investiční společnost vám navrhuje investovat část vaší hotovosti do nákupu čerstvě vypálené whisky, která po delší skladovací době má být prodána za vyšší cenu. Jakou sumu by vám společnost měla zaručit, když byste vložil(a) Kč a) na 5 let b) na 10 let a přitom chtěl(a) dosáhnout zúročení 8 %? a) Kč b) Kč FIN-MAT-cvičné PŘÍKLADY_1 pro kurz 4

5 B8. příklad Majitel polí a lesa měl v letošním roce mimořádně vysoký výnos a má tedy k dispozici větší kapitál. Předpokládá, že za 12 let bude nucen vystavět menší úsek cesty se skládkou, aby mohl těžit v oddělené části lesa. Předběžně kalkulované náklady výstavby jsou Kč. Kolik by musel dnes na 15% úrok uložit, aby měl v daném roce potřebnou částku k dispozici? Kč B9. příklad Očekávaný čistý výnos z lesního porostu v 80 letech je Kč. Jaká je dnešní (současná) hodnota tohoto výnosu při p = 4 %, jestliže má porost 30 let? Kč B10. příklad K dovršení 25. roku života vám daruje dědeček Kč. S hrdostí vypravuje, že při vašem narození uložil peníze na vázaný účet a banku mu tehdy vzhledem k dlouhodobému spořitelnímu vkladu přiznala mimořádnou úrokovou sazbu ve výši 5,5 %. Napadá vás zvědavost: kolik peněz musel dědeček tehdy vyplatit? Dědeček o úrokové sazbě dlouho a houževnatě vyjednával. Původně mu banka chtěla přiznat pouze 4,5 %. Kolik peněz dědeček tím ušetřil, když každopádně měl v úmyslu našetřit Kč? Kč B11. příklad Váš známý, na kterého jste se obrátil(a) o radu, vám sděluje svůj úspěšný zážitek ze spolupráce s whiskovou společností: investuje Kč a po 7 letech dostane zpět ,60 Kč. Jakého dosáhne zúročení? 2 % FIN-MAT-cvičné PŘÍKLADY_1 pro kurz 5

6 B12. příklad Podnik vloží do banky Kč na dobu 2 let při úrokové sazbě 5 % p.a. (po zdanění). Jakou výši peněz obdrží podnik v den splatnosti vkladu po 2 letech, pokud je úrok připisován vždy na konci roku? Jakou výši peněž by obdržel, pokud by byl vklad úročen např. čtvrtletně? a) roční úročení = Kč b) čtvrtletní úročení = Kč B13. příklad Rostoucí stromy mohou přinést zajímavé výnosy týkové dřevo je investicí na mnoho let. S poklesem úrokových sazeb hledají investoři nové možnosti zhodnocení. Jednou z těch nestandardních je i týkové dřevo. Střadatel při investování peněz kupuje budoucí stromy, které budou vysazeny v jižní části brazilského státu Mato Grosso na okraji amazonského pralesa. Minimální jednotkou je 1 ha, na který je vysazeno stromů. První sklizeň se uskuteční po 5 letech v rámci probírky. Komerčně využitelné jsou již 12leté stromy, které se používají pro obklady a dýhy. Nejcennější dřevo je ze závěrečné těžby, která se provádí mezi rokem. Dřevo se poté prodá dalším zpracovatelům. Minimální investice je USD. Podle údajů společnosti, která tuto investici nabízí, je možno při prodeji vzrostlých stromů po 25 letech dosáhnout výnosu až USD. Jaké zúročení v % představuje tato investice? 16,22 % FIN-MAT-cvičné PŘÍKLADY_1 pro kurz 6

7 2. PŘÍKLADY RENTNÍHO POČTU 2.1 Důchody věčné C1. příklad Lesní majetek vynáší svému majiteli roční čistý výnos Kč. Jaká je výnosová hodnota tohoto majetku při p = 3 %? C2. příklad Majitel vkladu se sjednanou 9 % úrokovou mírou si na konci každého roku vybírá roční úroky ve výši Kč. Jaká je základní jistina nutná k výplatě tohoto úroku? Kč C3. příklad Roční správní náklady (daně, poplatky za odbornou správu) na lesní majetek menšího vlastníka lesa jsou 750 Kč/ha/rok. Jaký kapitál by musel majitel uložit, aby při p = 4 % trvale uhradil úrokem z tohoto kapitálu roční správní náklady na svém majetku o velikosti 50 ha? Kč C4. příklad Pro výstavbu trasy plynovodu došlo k trvalému odnětí 1 ha lesních pozemků. Roční ztráta hrubé půdní renty činí 300 Kč/ha a má být uhrazena předem a jednorázově (jednou částkou) na začátku odnětí lesních pozemků. Kapitalizační úroková míra činí 4 % Kč/ha FIN-MAT-cvičné PŘÍKLADY_1 pro kurz 7

8 C5. příklad Pařezina při 30letém obmýtí poskytuje vždy na konci tohoto obmýtí čistý výnos a) , b) , c) Kč. Jaká je výnosová hodnota této pařeziny při p = 3 %? a) b) c) C6. příklad V rámci časově neomezeného užívacího práva lesního pozemku o výměře 1 ha by měla být vyplácena renta, a sice poprvé po 5 letech a potom vždy po dalších 5 letech ve výši 300 Kč/ha. Tento rentní nárok by měl být uhrazen předem jednou částkou. (p = 4 %) 1 384,71 Kč/ha 2.2 Důchody dočasné (konečné) D1. příklad Vypočtěte současnou hodnotu retního kapitálu při roční rentě ve výši Kč, která je placena polhůtně po dobu 5 let při úrokové sazbě 6 % Kč D2. příklad Vypočtěte konečnou (budoucí) hodnotu retního kapitálu při roční rentě ve výši Kč, která je placena polhůtně po dobu 5 let při úrokové sazbě 6 % na konci 5. roku Kč FIN-MAT-cvičné PŘÍKLADY_1 pro kurz 8

9 D3. příklad Vlastník lesa pronajme ha borového lesa k provozování sběru smůly na 12 let za roční poplatek 0,30 EUR ha = EUR. Jakou současnou hodnotu má výnos z tohoto pronájmu při úrokové míře 4 %? ,88 EUR D4. příklad Při výstavbě silnice bylé investorem požadováno dočasné odnětí 1 ha lesních pozemků na dobu 5 let za účelem deponování zeminy z výkopových prací. Ztráta roční hrubé půdní renty činí 300 Kč/ha. Z důvodu administrativního zjednodušení nebude náhrada škody (odškodnění) hrazena každoročně, nýbrž bude vlastníkovi pozemku zaplacena předem v jedné částce. (p = 4 %) 1 335,55 Kč/ha D5. příklad Jakou má pařezina výnosovou hodnotu bezprostředně po svém smýcení, jestliže poskytuje při 20letém obmýtí vždy Kč čistého výnosu? (p = 3 %) Kč D6. příklad Bukový porost dává po 12 let čistý výnos 150 EUR/ha. Jak velká je současná hodnota tohoto výnosu při úrokové míře 4 %? 249,58 EUR FIN-MAT-cvičné PŘÍKLADY_1 pro kurz 9

10 2.3 Výpočty anuity E1. příklad Jakou výši bude činit anuita, aby se bance vrátil její úvěr a současně dostala zaplacen svůj 6 % úrok, poskytne-li banka úvěr ve výši Kč při úrokové sazbě 6 % a dohodne roční jednorázovou anuitu placenou polhůtně (resp. splátku jistiny - úmoru a úroku ve stálé výši. Umořování se děje po celé období Kč E2. příklad Koupili jste půdu za Kč. Prodávající ale nechce, abyste tuto částku zaplatili najednou, nýbrž jí spláceli doživotně. Vám přichází tento návrh vhod, neboť pak si nemusíte brát žádný úvěr. Jakou částku musíte ročně zaplatit, činí-li očekávaná doba dožití prodávajícího ještě 17 let a podléhá úrokové sazbě 4 %? Kč E3. příklad Vypočtěte výši anuity v případě půjčky a znázorněte průběh splácení vlastní půjčky a úhrady úroků v jednotlivých letech splatnosti za těchto podmínek: vypůjčený kapitál činí ,- Kč, anuitu je nutno splácet ročně polhůtně během 5 let při zúročení 12 %. Rok Úhrada úroků Úmor kreditu Anuita Zbytek dluhu CELKEM Kč FIN-MAT-cvičné PŘÍKLADY_1 pro kurz 10

11 E4. příklad Podnik pravidelně na konci měsíce převádí na termínovaný účet 300 tis. Kč. Účet je úročen sazbou 6,75 % p.a. (po zdanění). Kolik peněz bude mít podnik na tomto účtu za dva roky? Kč *** Zpracoval: Jiří Matějíček Jílové u Prahy, listopad 2014 FIN-MAT-cvičné PŘÍKLADY_1 pro kurz 11