Katedra obecné elektrotechniky Fakulta elektrotechniky a informatiky, VŠB - TU Ostrava

Transkript

1 Katedra obecné elektrotechnky Faklta elektrotechnky a nformatky, VŠB - T Ostrava 3. ELEKTRCKÉ OBVODY STŘÍDAVÉHO PROD 3.1 Úvod 3.2 Základní pojmy z teore střídavého prod 3.3 Výkon střídavého prod 3.4 Pasvní dvojpóly v obvod střídavého prod 3.5 Sérové řazení pasvních prvků 3.6 Rezonance 3.7 Kompenzace účník ng. Václav Kolář, Ph.D., ng. Ctrad Kodelka Září 24 Elektrcké obvody střídavého prod

2 3.1 Úvod Doposd jsme se zabýval konstantním obvodovým velčnam, tedy velčnam na čase nezávslým. Ovšem kromě těchto velčn se lze velm často v prax setkat s velčnam, které se s časem mění. Těmto velčnám říkáme velčny střídavé a obvody, kde se tyto velčny vyskytjí se označjí jako obvody střídavé. 3.2 Základní pojmy z teore střídavého prod Výklad základních pojmů, který v této část bde proveden pro střídavý prod se vztahje na jakokolv střídavo velčn (tedy např. na napětí). Střídavý elektrcký prod se může měnt v elektrckém obvod v pravdelných nebo nepravdelných časových ntervalech v rytm změn polarty napájecího zdroje. Důležté jso zejména perodcké střídavé prody harmonckého (snsového) průběh, kterým se bdeme dále zabývat. Jejch časový průběh se opakje v pravdelných ntervalech - perodách (cyklech, kmtech) - obr.3.1. Délka perody se nazývá doba kmt T, její závslost je dána kmtočtem sítě f (rovnce 3.1). T = 1 (s; Hz) (3.1) f Jednotko kmtočt je hertz (Hz), který má rozměr (s -1 ). Jedna peroda prod se také nazývá vlna střídavého prod. Pro perodcký prod platí vztah 3.2. (t) = (t+t) = (t+kt) (3.2) Kde (t) = je okamžtá hodnota střídavého prod, značí se vždy malým písmenem. Nejvyšší okamžtá hodnota které prod dosahje se nazývá maxmální nebo vrcholová hodnota, ampltda, značí se velkým písmenem s ndexem m nebo max, např. m, max. Pro okamžto hodnot snsového prod platí vztah 3.3. Velčna ω se nazývá úhlová rychlost, platí pro n vztah 3.4. Obecně ale harmoncký průběh nemsí začínat z nlové hodnoty, je to dáno volbo počátk časové osy, která může být zcela lbovolná. Průběh má potom počáteční fázový úhel ψ, který může být jak kladný tak záporný. Zjednodšeně řečeno, harmoncký průběh je jakákol posntá snsovka, a snsové průběhy jso podmnožno harmonckých průběhů (začínají z nly). Pro harmoncký prod s počátečním fázovým úhlem ψ platí vztah 3.5 a jeho průběh je zobrazen na obr (t) = m. sn() (3.3) 2 Elektrcké obvody střídavého prod

3 ω = 2π f = 2π T (3.4) m π/2 π 2π Obr. 3.1 Střídavý prod snsového průběh (t) = m sn(ω t+ ψ) (3.5) m ψ ψ + Obr. 3.2 Harmoncký prod s počátečním úhlem ψ Dva harmoncké průběhy téhož kmtočt moho být vůč sobě vzájemně posnty o úhel ϕ, kterém říkáme fázový posv. Přtom může jít o různé velčny, například o prod a napětí. Pro fázový posv platí vztah 3.6 a tato stace je znázorněna na obr.3.3. ϕ = ψ 2 - ψ 1 (3.6) Pokd se drhý průběh před prvním předbíhá, je úhel ϕ kladný, pokd se zpožďje, je záporný. Pozor, v prax je často velm důležté dbát na znaménko fázového posv. Poněkd zvláštní význam má stace, kdy například dva prody mají nlový fázový posv, říkáme, že jso ve fáz a jestlže mají posv π, říkáme, že jso v protfáz. 3 Elektrcké obvody střídavého prod

4 2 1 ψ 2 ψ 1 ϕ = ψ 2 - ψ 1 Obr. 3.3 Dva harmoncké prody posnté o úhel ϕ Mez základní pojmy ve střídavých obvodech patří střední a efektvní hodnota střídavého prod. Střední hodnota odpovídá velkost stejnosměrného prod, který přenese za jednotk čas stejný náboj, jako daný střídavý prod. Je to vlastně výška obdélník o stejné ploše, jako je plocha mez průběhem prod a nlovo oso, jak je vedeno na obrázk 3.4. Pro harmoncký prod j počítáme pro jedn půlperod, protože obě půlperody jso stejné, ale s opačným znaménkem a za celo perod by byla střední hodnota nlová. (Pro jné průběhy kde není střední hodnota za celo perod nlová, j počítáme za celo perod a dává nám vlastně stejnosměrno složk velčny.) Střední hodnota se obvykle značí velkým písmenem s ndexem av (average), např. av. Pro střední hodnot harmonckého průběh platí vztah 3.7. Obecně můžeme psát T / av = t dt = T ( ) π 2 av =,637 m m (3.7) S 1 =S 2 S 1 S 2 av m Obr. 3.4 Střední hodnota střídavého prod. Efektvní hodnota střídavého prod charakterzje výkon prod. Značí se velkým písmenem bez ndex, např. a je to nejběžněj dávaná hodnota (např. hodnota napětí v naší sít 23 V je právě efektvní hodnota tohoto napětí), rovněž většna měřcích přístrojů měří efektvní hodnoty napětí a prodů. Efektvní hodnota je velkost stejnosměrného prod, který by př průchod rezstorem vykonal za jednotk čas stejno prác jako daný střídavý prod. 4 Elektrcké obvody střídavého prod

5 = m 2 (3.9) Obecně můžeme psát =,77 m 3.3 Výkon střídavého prod Střídavý prod mění perodcky svůj směr a velkost, podobně jako napětí. Proto se b-,,p p de v čase perodcky měnt + + výkon v obvodě. Pro okamžto hodnot výkon platí: p=. Z P Grafcký průběh výkon na obecné zátěž, kde napětí a - π - 2π ω t prod mají vzájemný fázový posn ϕ je na obrázk 3.9. Jak je vdět, okamžtý výkon ϕ má také harmoncký průběh, ale dvojnásobno frekvenc, než Obr. 3.9 Napětí, prod a výkon na obecné zátěž napětí a prod a kmtá kolem rčté střední hodnoty. To že výkon má v rčtých okamžcích záporné znaménko, znamená, že v této chvíl zátěž vrací energ zpátky do zdroje Čnný výkon Je to střední hodnota z průběh výkon. Tento výkon se ve spotřebč přeměňje na jný drh energe, koná žtečno prác, odtd název čnný. Čnný výkon se označje písmenem P a jeho jednotko je watt (W). Platí pro něj vztah: P= cos ϕ (3.13) Kde velčn cos ϕ nazýváme účník a jde v elektrotechnce o poměrně důležto velčn Jalový výkon Z obrázk 3.9 je vdět, že část výkon se v rčtých okamžcích vrací do zdroje, tomto výkon přelévajícím se mez zdrojem a spotřebčem říkáme jalový výkon. Označje se Q, a jeho jednotko je var (ze slov voltampér reaktanční, protože jalový výkon se realzje na reaktanc). Platí pro něj vztah: Q= sn ϕ (3.14) Tento výkon nám nekoná žádno žtečno prác, ale je ntný pro fnkc spotřebčů (k vytvoření elektrckého nebo magnetckého pole) Zdánlvý výkon Zdánlvý výkon rčtým způsobem shrnje čnný a jalový výkon. Značíme ho S a jeho jednotko je voltampér (V A). Pro zdánlvý výkon platí: 5 Elektrcké obvody střídavého prod

6 S= (3.15) 3.4 Pasvní dvojpóly v obvod střídavého prod V této kaptole se bdeme zabývat chováním deálních pasvních prvků (rezstor, ndoktor a kapactor) v obvodech harmonckého prod Rezstor Rezstor má hodnot odpor, jednotko je ohm (Ω). Mez napětím a prodem není žádný fázový posv, ϕ =, cosϕ = 1, snϕ =, jak je také vdět na obrázk Pro napětí platí vztah: = R. (V; Ω, A) +j,,p p R +1 2π ω t Obr Časový průběh napětí, prod a výkon na rezstor a fázorový dagram ndktor ndktor zavádíme hodnot X L, což je ndktvní reaktance, jednotko je ohm (Ω). Pro ndktvní reaktanc platí vztah: X L = ω. L, (Ω; H) a pro napětí: L = X L. (V; Ω, A) Napětí se předbíhá před prodem o π/2 (9 ), ϕ = π/2 jak je také vdět na obrázk Elektrcké obvody střídavého prod

7 Protože mez napětím a prodem na ndktor je fázový posn ϕ =π/2, realzje se na ndktor poze jalový výkon. Jalovém výkon na ndktor přszjeme kladné znaménko ( kapactor to bde naopak). Průběhy napětí a prod na ndktor a jejch fázorový dagram jso na obr Strčně řečeno, ndktor se chová vůč prod jako setrvačný člen, (akmlje energ v podobě prod), proto se průběh prod opožďje za průběhem napětí Kapactor +j,,p L ϕ = π/2 kapactor zavádíme hodnot X L, což je kapactní reaktance, jednotko je ohm (Ω). Pro kapactní reaktanc platí vztah: 1 X C =, (Ω; C) ωc a pro napětí: C = X C. (V; Ω, A) +1 Obr Časový průběh napětí, prod a výkon na ndktor a fázorový dagram p 2π ω t Mez napětím a prodem je opět fázový posv π/2, ale v opačném směr než ndktor, napětí se zpožďje za prodem, ϕ = π/2. Časový průběh a fázorový dagram napětí a prod na ndktor nám kazje obrázek Analogcky s ndktorem se také na kapactor realzje poze jalový výkon, kterém ovšem přszjeme tentokrát záporné znaménko. To znamená, že jalový výkony kapactor a ndktor se moho vzájemně odečítat. Toho se ve sktečnost také vyžívá (kompenzace účník). C +j ϕ =-π/2,,p +1 p 2π ω t Obr Časový průběh napětí, prod a výkon na kapactor a fázorový dagram 7 Elektrcké obvody střídavého prod

8 3.5 Sérové řazení pasvních prvků V předchozí kaptole jsme s odvodl, jaké jso vztahy mez napětím a prodem na deálních prvcích. V prax se ale v elektrckých obvodech setkáváme s různým sérovým a paralelním kombnacem těchto prvků a s reálným prvky. Tyto reálné prvky také nahrazjeme sérovo č paralelní kombnací několka deálních prvků. Abychom mohl vyřešt poměr mez napětím a prodem lbovolného obvod, zavedeme s pojem mpedance a admtance. mpedance je poměr mez napětím a prodem, je to rčtá analoge odpor, zahrnje v sobě jak odpory R, tak reaktance X. Označení mpedance je Z, jednotko je ohm (Ω). Převráceno hodnoto mpedance je admtance, je to opět rčtá analoge vodvost, označje se Y a její jednotko je semens (S). 1 Y = (3.27) Z Př sérovém řazení prvků prochází všem prvky stejný prod, a celkové napětí je rovno sočt napětí na jednotlvých prvcích. Na obrázk 3.14 máme sérové řazení rezstor, kapactor a ndkčnost. Fázorový dagram nám znázorňje napětí a prody v obvodě a pomocí grafckého sočt řeší výsledné napětí v obvodě. Prod tekocí obvodem vypočteme ze vztah: C C Obr Sérové řazení prvků R, L, C a =, Z jejch fázorový dagram kde Z je mpedance obvod a její jednotka je ohm (Ω). mpedanc vypočteme ze vztah: Z 2 = R 2 + (X L X C ) 2, nebo R L R L C L + C +j L C ϕ R R +1 Z ( X ) 2 L X = R +. 2 C Kdyby v zapojení některý z prvků chyběl, tak by se ve vztah pro mpedanc příslšný člen neobjevl. Kdyby byl v zapojení některý prvek vícekrát, ke každém prvk by příslšel jeden člen ve vztah pro mpedanc. 8 Elektrcké obvody střídavého prod

9 3.6 Rezonance každého střídavého obvod který obsahje ndktory, kapactory a eventelně rezstory (platí to pro reálné obvody s cívkam, kondenzátory a odporníky) může nastat př rčté napájecí frekvenc stav, př němž je fázový posn roven nle. Tedy celkové napětí a prod jso ve fáz, obvod se chová jako by měl poze odpor. Tento stav je důležtý v techncké prax, často ho vyžíváme př kompenzac účník (bde popsáno dále), v osclátorech, ladcích obvodech. Jndy se m ale snažíme zabránt, protože může být nebezpečný (vznká přepětí). Jak jsme jž vedl, rezonance může nastat v lbovolném obvodě, který obsahje ndkčnost a kapacty, ale dále se omezíme poze na sérové a paralelní R-L obvody. Přčemž bdeme važovat nejdříve, že máme deální ndktor a pak reálno cívk, která má odpor (kondenzátor můžeme většno považovat za deální prvek). Př hledání rezonanční frekvence, postpjeme tak, že s vyjádříme vztah pro mpedanc, nebo admtanc obvod, a její magnární část položíme rovn nle. Z tohoto vztah potom vyřešíme vzorec pro rezonanční kmtočet. Je zcela lhostejné, požjeme-l pro odvození rezonanční frekvence f r (ω r ) mpedanc nebo admtanc, protože jestlže bde mít mpedance nlovo magnární část, bde j mít admtance. Sérový rezonanční obvod Jak vdíme, tohoto obvod nemá na rezonanční frekvenc vlv jestl je v obvodě zapojen deální ndktor, nebo reálná cívka. Odvození tedy provedeme pro obvod s reálno cívko. Jde potom vlastně o sérový obvod R-L-C, jak nám ho znázorňje obr Celková mpedance obvod je: R L C reálná cívka R L C C L + C = +j L C R = +1 1 Z = R + j( X L X C ) = R + j ω L ω C Z tohoto vztah s snadno vyjádříme magnární část a t položíme rovn nle: 1 ω L = ω C Obr Sérový rezonanční obvod a jeho fázorový dagram Tto rovnc poměrně jednodše vyřešíme, a jako řešení pro rezonanční úhlovo frekvenc dostaneme vztah 3.3, který je známý pod názvem Thomsonův vztah: 1 ω r = L C (3.3) 1 1 f r = 2π L C 9 Elektrcké obvody střídavého prod

10 3.7 Kompenzace účník Mnoho běžně požívaných spotřebčů má ndktvně odporový charakter, například asynchronní motory, transformátory, svářečky, zářvková svítdla ap. Tyto spotřebče potřebjí ke své čnnost jalový výkon ndktvního charakter. Ten ale nekoná žádno prác. Jalový výkon se poze přelévá po vedení mez zdrojem a spotřebčem a způsobje ztráty. Prncp kompenzace spočívá v tom, že potřebný ndktvní jalový výkon vyrobíme v kondenzátorech (nebo synchronních kopenzátorech, což jso specelní synchronní stroje) přímo spotřebče a po vedení přvádíme bď poze čnný výkon, nebo velkost jalového výkon podstatně zmenšíme. To bde mít za následek zmenšení prod protékajícího přívodním vedením a tím pádem menší ztráty, nebo př stejných ztrátách můžeme požít vedení s menším průřezem. V energetckých sítích bývá obvyklé, že se kompenzje tak, aby cos byl,95 ndktvního charakter. Kompenzac provádíme nejčastěj jako trojfázovo, protože rozvod většna spotřebčů v průmysl bývají trojfázové. Př kompenzac pomocí kondenzátorů zapojjeme tř kondenzátory do hvězdy, nebo častěj do trojúhelníka. Kompenzace může bďto reglovaná nebo nereglovaná. Reglace se provádí bďto nespojtě, tak že místo jednoho kondenzátor je v každé fáz paralelní batere kondenzátorů a atomatcký reglátor provádí jejch přpojování nebo odpojování podle potřeby jalového výkon v sít. Nebo může být reglace spojtá pomocí výkonových polovodčových prvků. Tento způsob je složtější. Podle místění můžeme mít kompenzac ndvdální - každý spotřebč má své vlastní kompenzační kondenzátory. Výhodo je to, že tato kompenzace většno nemsí být reglovaná a že kompenzace se provede co nejblíže spotřebč, takže po přívodním vedení se nemsí přelévat žádný jalový výkon. Nevýhodo je že ke každém spotřebč potřebjeme kompenzační kondenzátory. Tato kompenzace se požívá například v klasckých zářvkách, kde v každém svítdle bývá kompenzační kondenzátor. Skpnová - kompenzje se najedno několk spotřebčů přpojených na jeden rozvaděč, např. spotřebče v jedné dílně. Zde šetříme počet kompenzačních kondenzátorů, ale nevýhodo je, že kompenzace msí být reglovaná, protože spotřebče nepracjí vždy sočasně a velkost odebíraného jalového výkon se mění. Centrální - kompenzace se provádí centrálně v rozvodně pro celý závod, výhody a nevýhody jso obdobné jako skpnové kompenzace. Jak se vypočítá velkost potřebné kondenzátorové batere s vedeme na následjícím příkladě zářvkového svítdla. Schéma, náhradní schéma a fázorový dagram je na obr Elektrcké obvody střídavého prod

11 V V m C tlmvka C C kompenzační kondenzátor startér zářvková trbce C L R ϕ ϕ k V Re schéma zářvkového svítdla náhradní schéma fázorový dagram Obr schéma a fázorový dagram zářvkového svítdla s fltračním kondenzátorem. V tomto případě se čnný výkon odebíraný ze spotřebčem před a po kompenzac nemění, pro jalový výkon kompenzačního kondenzátor lze odvodt vztah: Q C = P (tg ϕ - tg ϕ k ) (3.35) Kde: P je čnný výkon odebíraný spotřebčem, Q C je jalový výkon kondenzátorové batere ϕ a ϕ k jso fázové posvy před a po kompenzac, (ϕ respektve cosns ϕ většno dává výrobce zařízení) Známe-l potřebný jalový výkon, příslšno kapact kondenzátor vypočítáme jako QC C = 2 ω (3.36) Kde: ω je úhlová rychlost napájecí sítě je napětí na které je kondenzátor přpojen. V případě že by se jednalo o trojfázovo kompenzac, byla by kapacta jednoho kondenzátor třetnová. 11 Elektrcké obvody střídavého prod