ElektromagnetickÈ kmity a st ÌdavÈ proudy

Transkript

1 33 lektromagnetckè kmty a st ÌdavÈ proudy VyûadujÌ-l vysokonapïùov v konov vedenì opravu, nemohou je rozvodnè spoleënost jednoduöe odpojt, protoûe by se propadla do tmy t eba cel mïsta. Opravy se proto musejì prov dït na vedenìch pod napïtìm. Muû na obr zku pr vï vymïnl dstanënì rozpïrku na 500 kv vedenì, coû vyûaduje znaënou zkuöenost. ProË je vlastnï napïtì v konov ch p enosov ch vedenì tak vysokè? Proud tekoucì vedenìm je p tom vzhledem k p en öenèmu v konu relatvnï mal. Nemohl by b t vïtöì?

2 860 KAPITOA 33 KTROMAGNTIKÉ KMITY A STŘÍDAVÉ PROUDY 33.1 NOVÁ FYZIKA STARÁ MATMATIKA V této kaptole uvdíme, jak se s časem mění elektrcký náboj Q v obvodu sestaveném z cívky, kondenzátoru a rezstoru R. Z jného pohledu vzato budeme probírat, jak se energe přenáší tam a zpět mez magnetckým polem cívky a elektrckým polem kondenzátoru, přčemž jí v průběhu těchto osclací ubývá (a rezstor se zahřívá). Kmty mechancké jsme jž probíral dříve. V kap. 16 jsme vděl, jak se s časem mění výchylka x vmechancké kmtající soustavě skládající se z tělesa s hmotností m,pružny s tuhostí k a prvku s výraznou vskoztou (např. olej) nebo s třením. Taková soustava je znázorněna na obr Z obrázku také vdíme,jak mechancká energe prochází perodckou změnou knetcké energe kmtajícího tělesa na potencální energ deformované pružny, přčemž je během kmtání postupně dspována. Mez těmto dvěma (dealzovaným) soustavam je analoge a také dferencální rovnce popsující tyto procesy jsou stejné. Nemusíme tedy studovat novou matematku a budeme věnovat plnou pozornost fyzkálnímu děj. 33. KVAITATIVNÍ ROZBOR KMITŮ Ze tří obvodových prvků, rezstoru R, kondenzátoru a cív ky, jsme dosud probral sérové zapojení R včl. 8.8 a R včl Poznal jsme, že vtěchto dvou typech obvodů náboj, proud a napětí narůstá a klesá s časem exponencálně. Časový průběh růstu nebo poklesu lze charakterzovat příslušnou časovou konstantou τ nebo τ. Nyní zkoumejme třetí možnost sérové zapojení. Uvdíme, že v tomto případě náboj, proud a napětí neklesají exponencálně s časem, ale mění se harmoncky (s dobou kmtu T a úhlovou frekvencí ω). Říkáme, že obvod kmtá nebol oscluje a příslušné změny elektrckého pole kondenzátoru a magnetckého pole cívky se nazývají elektromagnetcké kmty. Část (a) až (h) na obr ukazují po sobě jdoucí fáze průběhu kmtů vjednoduchém kmtavém obvodu. Metoda opravování vysokonapě ových vedení, zobrazená na úvodní fotograf, je patentována Scottem H. Yenzerem a vlastníkem lcence je výhradně Haverfeld orporaton z Mam na Flordě. Jakmle se opravář přblíží k vedení pod napětím, elektrcké pole okolo vedení způsobí, že jeho tělo získá potencál blízký potencálu vedení. Aby se oba potencály vyrovnaly, přpojí se opravář vodvou tyčí k vedení. Aby nebyl usmrcen elektrckým proudem, musí být zolován od všeho, co je elektrcky spojeno se zemí. A aby jeho tělo bylo na konstantním potencálu potencálu vedení, má oblečen vodvý oblek s kapucí a rukavcem, které jsou spojeny pomocí vodče s vedením. Podle rov. (6.1) je energe uložená v elektrckém pol kondenzátoru v lbovolném okamžku rovna el (t) = Q (t), (33.1) kde Q(t) je náboj na kondenzátoru včase t. Podle rovnce (31.53) je energe uložená vmagnetckém pol cívky v lbovolném okamžku rovna mg (t) = I (t), (33.) kde I(t)je proud protékající cívkou v čase t. Přjmeme dále dohodu, že k vyjádření okamžtých hodnot elektrckých velčn, které kmtají harmoncky, použjeme malá písmena (q,, u,e ) a pro jejch ampltudy velká písmena (Q, I, U, ). Předpokládejme, že počáteční náboj q na kondenzátoru je roven jeho ampltudě Q a počáteční proud cívkou je nulový. Tento výchozí stav obvodu je na obr. 33.1a. Sloupcové grafy pro energ ukazují, že vtomto okamžku př nulovém proudu v cívce a maxmálním napětí na kondenzátoru je energe mg magnetckého pole nulová a energe el elektrckého pole je maxmální. Kondenzátor se nyní začne vybíjet přes cívku. Kladný náboj se pohybuje prot směru otáčení hodnových ručček (obr. 33.1b), což znamená, že vznkne proud = dq/dt, který na obrázku směřuje vcívce dolů. Spolu s nábojem na kondenzátoru klesá jeho energe. Tato energe se přeměňuje na energ magnetckého pole cívky tak, jak narůstá proud. nerge elektrckého pole tedy klesá a mění se venerg pole magnetckého. Kondenzátor nakonec ztratí všechen náboj (obr. 33.1c), a tím také své elektrcké pole a energ v tomto pol akumulovanou. nerge je zcela převedena do magnetckého pole cívky. Protože magnetcké pole má v tomto okamžku největší hodnotu, má svou maxmální hodnotu I také proud tekoucí cívkou. Ačkol náboj na kondenzátoru je nyní nulový, proud dále teče prot směru otáčení hodnových ručček, nebo v důsledku elektromagnetcké ndukce cívka nedovolí, aby náhle zankl. To znamená, že proud pokračuje vpřenosu kladného náboje z horní elektrody kondenzátoru na jeho dolní elektrodu obvodem (obr. 33.1d). nerge nyní přechází z cívky zpět do kondenzátoru tak, jak postupně znovu narůstá elektrcké pole kondenzátoru. Proud postupně během přenosu energe klesá. Když je nakonec všechna energe přenesena zpět do kondenzátoru (obr. 33.1e), proud klesne na okamžk na nulu. Stuace na obr. 33.1e je stejná

3 33. KVAITATIVNÍ ROZBOR KMITŮ 861 mg el mg el mg el + + max + + = (b) (c) (d) = mg el mg el (a) + + max (e) + + mg el mg (h) (g) Obr Osm stavů jedné perody kmtů v deálním obvodu (bez odporu). Sloupcové grafy u každého obrázku ukazují velkost energe uložené vmagnetckém a velektrckém pol. Jsou též naznačeny ndukční čáry magnetckého pole cívky a elektrcké sločáry v kondenzátoru. (a) Kondenzátor má maxmální náboj a proud je nulový. (b) Kondenzátor se vybíjí, proud narůstá. (c) Kondenzátor je zcela vybt a proud je maxmální. (d) Kondenzátor je nabíjen, ale s opačnou polartou než v (a). (e) Kondenzátor má maxmální náboj opačné polarty než v (a), proud je nulový. (f) Kondenzátor se vybíjí, proud narůstá v opačném směru než v (b). (g) Kondenzátor je zcela vybt, proud je maxmální. (h) Kondenzátor je nabíjen, proud klesá. el mg (f ) el jako původní (obr. 33.1a), s tím rozdílem, že kondenzátor je nyní nabt opačně. Kondenzátor se potom začíná znovu vybíjet, avšak nyní proudem ve směru otáčení hodnových ručček. Z důvodů právě uvedených vdíme, že proud vzrůstá k maxmu (obr. 33.1g) a pak klesá (obr. 33.1h), až se obvod nakonec dostane do původního stavu (obr. 33.1a). elý proces se opakuje s kmtočtem f a tedy úhlovou frekvencí ω = pf. V deálním obvodu bez odporu neprobíhá jná přeměna energe než mez elektrckým polem kondenzátoru a magnetckým polem cívky. Podle zákona zachování energe by kmty pokračovaly nekonečně dlouho. Kmty nemusejí začínat s veškerou energí v elektrckém pol počátečním stavem může být kterýkol jný stav během kmtu. Abychom nalezl časový průběh náboje q na kondenzátoru, budeme na něm měřt voltmetrem napětí u. Z rov. (6.1) plyne ( ) 1 u = q, odkud můžeme vyjádřt q. Abychom změřl proud, zapojíme do sére s kondenzátorem a cívkou malý rezstor R a změříme časově proměnné napětí u R na rezstoru; to je úměrné podle vztahu u R = R. Přtom předpokládáme, že odpor R je tak malý, že jeho vlv na chování obvodu je zanedbatelný. Časový průběh u a u R, a tedy také q a je naznačen vobr Všechny čtyř velčny se mění s časem harmoncky. (a) u a c e g a c e g a c (b) Obr. 33. (a) Napětí u na kondenzátoru vobvodu z obr jako funkce času t. Napětí u je úměrné náboj q na kondenzátoru. (b) Napětí u R na malém rezstoru je úměrné proudu v obvodu z obr Písmena se vztahují ke stejně označeným stavům kmtajícího obvodu z obr ur t t

4 86 KAPITOA 33 KTROMAGNTIKÉ KMITY A STŘÍDAVÉ PROUDY Ve skutečném obvodu nebudou kmty trvat nekonečně dlouho, protože obvod má vždy jstý odpor, který odčerpá energ z elektrckého a magnetckého pole a rozptýlí j (obvod se zahřeje). Vybuzené kmty postupně zanknou, jak je vdět z obr Porovnejte tento obrázek s obr , který ukazuje útlum mechanckých kmtů, způsobený třením vsoustavě pružna + těleso. (za Q dosadíme U) a tím dostaneme I = U (1,5 10 = (57 V) 6 F) ( H) = = 0,637 A. = 640 ma. (Odpově ) 33.3 KTRO-MHANIKÁ ANAOGI Obr Stopa na stínítku oscloskopu ukazuje útlum osclací vobvodu R vdůsledku dspace energe vrezstoru. KONTROA 1: Nabtý kondenzátor a cívka jsou spojeny do sére včase t = 0. Určete vnásobcích perody T kmtů obvodu, kdy poprvé pro t > 0 dosáhne maxmální hodnotu (a) náboj na kondenzátoru, (b) napětí na kondenzátoru s původní polartou, (c) energe akumulovaná v elektrckém pol, (d) proud. PŘÍKAD 33.1 Kondenzátor o kapactě 1,5 mf je nabt na napětí 57 V. Potom je odpojen od zdroje a přpojen k cívce s ndukčností 1 mh. Takto vznklý obvod bude kmtat. Jaký bude největší proud v cívce? Předpokládejte, že odpor obvodu je zanedbatelný. ŘŠNÍ: Ze zákona zachování energe plyne, že maxmální energe vkondenzátoru je rovna maxmální energ vcívce. To podle rov. (33.1) a (33.) znamená, že Q = I, kde I je maxmální proud a Q je maxmální náboj. (Maxmální proud a maxmální náboj se nevyskytnou ve stejném okamžku, ale jsou posunuty včase o čtvrtnu perody, jak je zřejmé z obr a 33..) Z uvedeného vztahu vypočteme I Podívejme se poněkud blíže na analog mez kmtajícím obvodem z obr a kmtající soustavou tvořenou tělesem a pružnou. V mechancké soustavě těleso+pružna se vyskytují dva druhy energe: jednak potencální energe stlačené nebo napnuté pružny, jednak knetcká energe pohybujícího se tělesa. Oba druhy energe jsou popsány známým vztahy v tab vlevo. Tabulka také ukazuje dva druhy energe v kmtajícím obvodu. Můžeme vdět analog mez dvojcem: potencální + knetcká energe mechancké soustavy a magnetcká + elektrcká energe obvodu. Rovnce pro v a na konc tabulky pomáhají lépe pochopt tuto analog. Říkají nám, že náboj q odpovídá výchylka x a proudu odpovídá rychlost v (v obou rovncích se druhá velčna získá dervací velčny první). Tato obdoba nás vede k tomu, abychom seskupl energe do dvojc v řádcích tak, jak jsou v tabulce. Z tabulky vyplývá, že velčně 1/ odpovídá tuhost k a ndukčnost odpovídá hmotnost m: q odpovídá x, 1/ odpovídá k, odpovídá v, odpovídá m. Podle matematckého popsu je tedy obvod analogcký soustavě těleso + pružna, kondenzátor odpovídá pružně a cívka tělesu. Tabulka 33.1 nerge prvků kmtajících soustav TĚSO + PRUŽINA ÍVKA + KONDNZÁTOR PRVK NRGI PRVK NRGI pružna p = 1 kx kondenzátor el = 1 (1/)q těleso k = 1 mv cívka mg = 1 v = dx/dt = dq/dt Z čl víme, že úhlová frekvence kmtů soustavy těleso + pružna př zanedbání tření je k ω = (soustava těleso + pružna). (33.3) m

5 33.4 KMITY KVANTITATIVNĚ 863 Uvedená analoge nás vede k tomu, abychom pro stanovení úhlové frekvence kmtů v obvodu (bez odporu) nahradl k velčnou 1/ a m velčnou. Tím dostaneme ω = 1 (obvod ). (33.4) Tento výsledek odvodíme v následujícím článku KMITY KVANTITATIVNĚ Nyní potvrdíme platnost rov. (33.4) pro úhlovou frekvenc kmtů. Současně budeme podrobněj zkoumat analog mez kmty obvodu a kmty soustavy těleso + pružna. Začneme tak, že rozšíříme naše dřívější studum kmtající soustavy těleso + pružna. Osclátor těleso + pružna Kmty soustavy těleso + pružna jsme studoval v kap. 16 z hledska přenosu energe. Tehdy jsme s však neodvodl základní rovnc, která mechancké kmty popsuje. To provedeme nyní. Pro celkovou energ osclátoru těleso+pružna vlbovolném okamžku můžeme psát = k + p = 1 mv + 1 kx, (33.5) kde k je knetcká energe pohybujícího se tělesa a p je potencální energe napnuté nebo stlačené pružny. Přtom zanedbáváme tření, takže se celková energe s časem nemění, když se v a x mění. Platí tedy d/dt = 0. Dervace rov. (33.5) podle času dává d dt = d dt = mv dv dt ( 1 mv + 1 ) kx + kx dx dt = = 0. (33.6) Avšak v = dx/dt, a tedy dv/dt = d x/dt. Dosazením do rov. (33.6) pak dostaneme m d x + kx = 0 (kmty tělesa na pružně). (33.7) dt Dferencální rovnce (33.7) je základní dferencální rovncí popsující kmty vsoustavě těleso + pružna př zanedbání tření. Vystupuje v ní výchylka z rovnovážné polohy x a její druhá dervace podle času. Obecné řešení rov. (33.7),tj. funkce x(t),která popsuje kmty soustavy těleso + pružna, je, jak víme z rov. (16.3), x(t) = X cos(ωt + ϕ) (výchylka), (33.8) kde X je ampltuda výchylky mechanckých kmtů (v kaptole 16 značená x m ), ω je úhlová frekvence kmtů a ϕ je počáteční fáze. Osclátor Studujme nyní kmty vobvodu beze ztrát. Postupujme přtom stejně jako vpřípadě soustavy těleso + pružna. elková energe,kterou má vkaždém okamžku kmtající obvod,je = mg + el = + q, (33.9) kde mg je energe magnetckého pole cívky a el je energe elektrckého pole kondenzátoru. Protože jsme předpokládal,že odpor obvodu je nulový,energe není dspována,takže zůstává v čase konstantní. Jnak řečeno, změna d/dt je rovna nule. To vede ke vztahu: d = d ( ) dt dt + q = = d dt + q dq = 0. (33.10) dt Avšak = dq/dt ad/dt = d q/dt. Dosazením do rov. (33.10) dostaneme d q dt + 1 q = 0 (kmty obvodu ), (33.11) což je dferencální rovnce, která popsuje kmty vobvodu beze ztrát. Př porovnání rov. (33.11) a (33.7) vdíme, že mají stejný matematcký tvar a lší se pouze jným pojmenováním proměnných a konstant. Protože tyto dferencální rovnce jsou matematcky stejné, jejch řešení musí být také stejná. Protože q odpovídá x, můžeme napsat obecné řešení rov. (33.11) pro q analogcky s rov. (33.8): q = Q cos(ωt + ϕ) (časový průběh náboje), (33.1) kde Q je ampltuda proměnného náboje, ω je úhlová frekvence elektromagnetckých kmtů a ϕ je počáteční fáze. První dervace rov. (33.1) podle času dává proud tekoucí vobvodu : = dq = ωq sn(ωt + ϕ) dt (časový průběh proudu). (33.13) Ampltuda I tohoto harmoncky proměnného proudu je I = ωq, (33.14) takže rov. (33.13) můžeme přepsat do tvaru = I sn(ωt + ϕ). (33.15)

6 864 KAPITOA 33 KTROMAGNTIKÉ KMITY A STŘÍDAVÉ PROUDY Vztah (33.1) je řešením rov. (33.11). Ověříme to tak, že ho dosadíme spolu s jeho druhou dervací podle času do rov. (33.11). První dervací rov. (33.1) je rov. (33.13). Druhou dervací je d q dt = ω Q cos(ωt + ϕ). Dosazením za q azad q/dt do rov. (33.11) dostaneme ω Q cos(ωt + ϕ) + 1 Q cos(ωt + ϕ) = 0. Má-l toto platt vlbovolném okamžku t, musí být ω Q + Q/ = 0, odkud ω = 1. Za této podmínky je tedy rov. (33.1) opravdu řešením rov. (33.11). Všmněme s, že tento výraz pro ω je stejný jako vztah (33.4), získaný na základě elektromechancké analoge. Ampltudu Q počáteční fáz ϕ určíme z počátečních podmínek. Jestlže včase t = 0 neteče obvodem proud, tj. (0) = 0, musí být ϕ = 0 a okamžtý náboj q(0) musí nabývat své maxmální hodnoty Q. Těmto počátečním podmínkám odpovídá obr. 33.1a. nerg uloženou velektrckém pol obvodu vlbovolném čase t dostaneme z rov. (33.1) a (33.1): el = q = Q cos (ωt + ϕ), (33.16) energ uloženou vmagnetckém pol dostaneme z rovnc (33.) a (33.13): mg = 1 = 1 ω Q sn (ωt + ϕ). Když za ω dosadíme z rov. (33.4), dostaneme Q mg = Q sn (ωt + ϕ). (33.17) = mg + el Obr znázorňuje časové průběhy el (t) a mg (t) pro případ ϕ = 0. Poznamenejme, že: 1. Maxmální hodnota jak el, tak mg je rovna Q /().. Součet el a mg je roven v každém okamžku Q /(). 3. V okamžku, kdy je energe el maxmální, je mg mnmální (nulová) a naopak. KONTROA : Kondenzátor vobvodu má maxmální napětí 17 V a maxmální energ 160 mj. Stanovte (a) emn na cívce a (b) energ akumulovanou v magnetckém pol vokamžku, kdy je na kondenzátoru napětí 5 V a energe 10 mj. PŘÍKAD 33. (a) Vyjádřeme pomocí maxmálního náboje Q náboj q na kondenzátoru kmtavého obvodu vokamžku, kdy je energe rozdělena stejným dílem mez elektrcké a magnetcké pole. Předpokládejme, že = 1 mh a = 1,7 mf. ŘŠNÍ: Podle zadání je el = 1 el,max. Okamžtáamaxmální energe akumulovaná v kondenzátoru jsou el = q Zadání vyžaduje, aby a odtud q a = 1, el,max = Q. Q q = 1 Q. = 0,707Q. (Odpově ) (b) Kdy je tato podmínka splněna, má-l kondenzátor největší náboj včase t = 0? ŘŠNÍ: Rov. (33.1) vyjadřuje, jak se q mění s časem. Protože včase t = 0jeq = Q, je počáteční fáze ϕ rovna nule. Dosazením ϕ = 0 a q = 0,707Q do rov. (33.1) dostaneme energe el (t) mg (t) odkud 0,707Q = Q cos ωt, ωt = 45 = p 4 rad. 0 T/ T čas Obr nerge elektrckého a magnetckého pole vkmtavém obvodu (obr. 33.1) vyjádřená jako funkce času. Povšmněme s, že úhrnná energe zůstává konstantní. T je peroda kmtů. To odpovídá jedné osmně kmtu. Dosadíme-l za ω z rovnce (33.4), dostaneme hledaný čas t = p 4ω = p = p ( H)(1, F) = 4 4 = 1, s =. 110 ms. (Odpově )

7 33.5 TUMNÉ KMITY V OBVODU R TUMNÉ KMITY VOBVODUR Obvod skládající se z rezstoru, cívky a kondenzátoru se nazývá obvod R. Probereme zde pouze sérový obvod R, který je na obr Je-l přítomen rezstor R, potom celková elektromagnetcká energe obvodu (součet energe elektrckého a magnetckého pole) jž nezůstává konstantní, ale klesá s časem tak, jak je energe postupně dspována v rezstoru. Proto také postupně klesá ampltuda kmtů náboje, proudu a napětí; říkáme, že kmty jsou tlumené. Jak uvdíme, jsou kmty v obvodu R tlumeny stejně jako je tomu vtlumené soustavě těleso + pružna (čl. 16.8). Obr Sérový obvod R. Protože proud vobvodu prochází (střídavě) rezstorem, dochází k dspac elektromagnetcké energe a kmty se tlumí (zmenšuje se jejch ampltuda). Abychom tyto kmty analyzoval, napíšeme rovnc pro celkovou energ elektromagnetckého pole tohoto obvodu, a to pro lbovolný okamžk. Tato energe se ukládá jen vcívce a kondenzátoru podle rov. (33.9): = mg + el = + q. (33.18) Nyní však jž celková energe není konstantní, ale klesá tak, jak je postupně dspována. Rychlost této dspace (tj. ztrátový výkon) je podle rov. (7.) d = R, (33.19) dt kde znaménko mnus říká, že s časem klesá. Dervací rov. (33.18) podle času a dosazením výsledku do rovnce (33.19) dostaneme d dt + q dq = R. dt Dosadíme-l dq/dt za ad q/dt za d/dt, dostaneme po vykrácení R kde Tato rovnce má řešení q = Qe Rt/() cos(ω t + ϕ), (33.1) ω = ω (R/) (33.) a ω = 1/ je stejné jako vpřípadě netlumených kmtů. Rov. (33.1) vyjadřuje, jak se v čase mění náboj Q na kondenzátoru vtlumeném obvodu R. Tato rovnce je elektromagnetckým protějškem rov. (16.40), která určuje časový průběh výchylky tlumeného mechanckého osclátoru těleso + pružna. Rov. (33.1) popsuje kmty (kosnový člen) s exponencálně klesající ampltudou Qe Rt/(). Úhlová frekvence ω tlumených kmtů je tedy vždy menší než úhlová frekvence ω netlumených kmtů; pokud je odpor R dostatečně malý, lze ω nahradt hodnotou ω. Vyjádřeme dále celkovou elektromagnetckou energ obvodu jako funkc času. Jeden způsob, jak toho dosáhnout, je sledovat energ elektrckého pole v kondenzátoru; ta je dána rov. (33.1) el = q /(). Dosadíme-l do ní rov. (33.1), dostaneme el = q = ( Qe Rt/() cos(ω t + ϕ) ) = = Q e Rt/ cos (ω t + ϕ). (33.3) Rov. (33.3) ukazuje, že energe elektrckého pole se perodcky mění včase se čtvercem kosnu fáze a že ampltuda těchto kmtů klesá exponencálně s časem. nerge magnetckého pole cívky se s časem mění poněkud složtěj. ze odvodt, že střední hodnota celkové energe v obvodu R klesá s časem exponencálně podle vztahu = Q e Rt/. (33.4) KONTROA 3: (a) Obrázek ukazuje časovou závslost střední hodnoty celkové elektromagnetcké energe ve dvou obvodech R se stejným kondenzátory a cívkam. Která křvka odpovídá obvodu s větším R? (b) Pokud by měly oba obvody stejnou hodnotu R, která křvka by odpovídala obvodu s větší hodnotou? d q dt + R dq dt + 1 q = 0 (obvod R), (33.0) což je dferencální rovnce popsující tlumené kmty v sérovém obvodu R. 1 t

8 866 KAPITOA 33 KTROMAGNTIKÉ KMITY A STŘÍDAVÉ PROUDY PŘÍKAD 33.3 Sérový obvod R má ndukčnost = 1 mh, kapactu = 1,6 mf a odpor R = 1,5. (a) Za jakou dobu t poklesne ampltuda kmtů náboje vobvodu na 50 % své původní hodnoty? ŘŠNÍ: Rov. (33.1) vyjadřuje exponencální útlum př kmtání náboje. Ampltuda kmtů náboje poklesne na 50 % původní hodnoty, jestlže Qe Rt/() = 0,50Q. Zkrátíme Q a logartmujeme obě strany; tím dostaneme Rt = ln 0,50. Řešením této rovnce vzhledem k t a dosazením zadaných hodnot dostaneme t = R ln 0,50 = ( H) ln 0,50 = (1,5 ) = 0,011 1 s =. 11 ms. (Odpově ) (b) Kolk kmtů proběhne během této doby? ŘŠNÍ: Protože doba kmtu je T = p/ω a úhlová frekvence je ω = 1/, dostaneme T = p. Každý kmt trvá jednu perodu, takže v časovém ntervalu t = 0,011 1 s je počet kmtů roven t T = t = p (0,011 1 s). = = 13. (Odpově ) p ( H)(1, F) Ampltuda kmtů náboje poklesne na 50 % přblžně během 13 kmtů. Toto tlumení je výrazně menší než tlumení z obr. 33.3, kde klesala ampltuda o něco více než 50 % během jednoho kmtu STŘÍDAVÉ PROUDY Kmty vobvodu R nebudou tlumeny, jestlže vhodný vnější zdroj elektromotorckého napětí dodá dostatek energe k pokrytí tepelných ztrát na rezstoru R. lektrcké obvody v domácnostech, úřadech a továrnách obsahující bezpočet obvodů R, které odebírají tuto energ od místních rozvodných podnků. Ve většně zemí se energe dodává formou střídavého emn, resp. střídavého proudu*. Tyto * Proud včase neproměnný, např. z baterí a akumulátorů, se nazývá stejnosměrný. kmtající emn a proudy se mění včase harmoncky s kmtočtem 50 Hz, což znamená, že změní 100krát za sekundu svůj směr. (V některých zemích, např. v USA, se používá kmtočet 60 Hz; směr se za sekundu změní 10krát.) Všmněme s jedné pozoruhodnost střídavého proudu. Vděl jsme, že drftová rychlost elektronů (čl. 7.3) ve vodčích obvykle nepřesahuje m s 1. Jestlže nyní změníme směr proudu každou setnu sekundy, posune se elektron as o m za půl perody. Tato vzdálenost představuje posun elektronu as o 10 atomů, načež je elektron přnucen obrátt směr. Můžeme se tedy ptát, jak se může elektron př střídavém proudu vůbec dostat ke spotřebč. Odpově spočívá v tom, že vodvé elektrony se nemusí někam dostat. Řekneme-l, že proud ve vodč je jeden ampér, míníme tím, že nosče náboje, které projdou průřezem vodče, jím přenesou náboj jednoho coulombu za sekundu. Velkost rychlost, kterou náboje procházejí rovnou průřezu, není přtom podstatná. Tentýž proud může odpovídat mnoha nábojům pohybujícím se pomalu, nebo několka nábojům pohybujícím se velm rychle. Dále s uvědomme, že fyzkální popud, který mění směr pohybu elektronů a který má původ ve střídavém emn dodávaném z generátoru velektrárně, se šíří jako elektromagnetcká vlna podél tohoto vodče s rychlostí blízkou rychlost světla. Všechny elektrony, bez ohledu na jejch polohu, dostávají pokyny pro změnu směru praktcky ve stejném okamžku. Je také na místě poznamenat, že vmnoha zařízeních (jako jsou žárovky a tepelné spotřebče) není směr pohybu elektronů důležtý. lektrony totž takovým zařízením předávají energ srážkam s jeho atomy, tedy dějem, kde směr pohybu náboje není podstatný. Základní výhoda střídavých proudů je tato: s časovou změnou proudů se mění magnetcké pole obklopující vodče. To dává možnost využít Faradayův zákon elektromagnetcké ndukce, což mez mnoha jným důsledky znamená, že můžeme lbovolně zvýšt nebo snížt velkost střídavého napětí použtím transformátoru, jak uvdíme v této kaptole pozděj. Navíc je střídavý proud vhodnější k použtí vrotačních strojích, jako jsou generátory a motory, než (včase stálý) stejnosměrný proud. Obr ukazuje jednoduchý model alternátoru generátoru střídavého napětí. Přnutíme-l vodvou smyčku točt se ve vnějším magnetckém pol o ndukc B, ndukuje se vní emn s harmonckým průběhem (kap. 31, úloha 5): e = sn ω b t. (33.5) Úhlová frekvence emn, označená ω b, je rovna úhlové rychlost, se kterou se smyčka otáčí vmagnetckém pol. Fáze emn je ω b t a ampltuda emn je. Je-l otáčející se smyčka

9 33.8 TŘI JDNODUHÉ OBVODY 867 částí uzavřeného obvodu, budí v něm toto emn harmoncký* proud se stejnou úhlovou frekvencí ω b,kteráse nazývá budcí úhlová frekvence. Proud můžeme vyjádřt vztahem = I sn (ω b t ϕ), (33.6) kde I je ampltuda buzeného proudu. Zvolíme-l znaménko před ϕ záporné, pak ϕ>0 přímo udává fázové zpoždění proudu vůče ; proud totž nemusí být obecně ve fáz se. Jak uvdíme, závsí fázový posun ϕ na vlastnostech obvodu, který je ke generátoru přpojen. (Je-l ϕ<0, jde ovšem o předbíhání, nkol zpoždění.) B e e sběrací kroužek kovový kartáček Obr Prncp generátoru střídavého proudu: vodvá smyčka se otáčí ve vnějším magnetckém pol. Střídavé emn ndukované ve smyčce se z ní vyvede pomocí sběracích kroužků přpojených ke smyčce. Po nch kloužou vodvé kartáčky spojené s vnějším obvodem. (V prax se místo smyčky používá cívky s mnoha závty, aby ndukované emn bylo větší.) 33.7 NUNÉ KMITY Vděl jsme, že náboj, napětí a proud, jakmle vznknou, kmtají jak vnetlumeném obvodu,tak vslabě tlumeném obvodu R (s dostatečně malým R) s úhlovou frekvencí ω = 1/. Takovým kmtům se říká vlastní kmty (bez vnějšího emn) a úhlová frekvence ω se nazývá vlastní úhlová frekvence obvodu. Je-l k obvodu R přpojeno vnější střídavé emn s frekvencí ω b, potom mluvíme o nucených nebo též buzených kmtech. Dá se dokázat, že tyto kmty mají po odeznění přechodových jevů rovněž frekvenc ω b, a to bez ohledu na hodnotu ω. Nucené kmty (náboje, proudu, napětí) vždy převezmou po celkem krátké době budcí úhlovou frekvenc ω b,a už byla vlastní úhlová frekvence ω jakákol. * Je to běžný název pro snusový a kosnusový průběh s lbovolnou počáteční fází. Jak uvdíme v čl. 33.9, závsejí ampltudy kmtů značně na tom, jak jsou navzájem blízké velkost ω b a ω. Jsou-l obě úhlové frekvence stejné, nastane rezonance, kdy ampltuda proudu I v obvodu je největší TŘI JDNODUHÉ OBVODY V dalších článcích přpojíme vnější zdroj střídavého emn k sérovému obvodu R tak jako na obr Potom vyjádříme ampltudu I a počáteční fáz ϕ harmoncky kmtajícího proudu pomocí ampltudy emn a úhlové frekvence ω b vnějšího zdroje emn. Nejprve však prostudujeme tř jednodušší obvody, z nchž každý má kromě vnějšího zdroje emn pouze jeden obvodový prvek: R,, nebo. Začneme s rezstorem (čstě odporová zátěž). e Obr Sérový obvod skládající se z generátoru, rezstoru, kondenzátoru a cívky; generátor je znázorněn kroužkem se snusodou. Je zdrojem střídavého emn, které v obvodu vyvolá střídavý proud. Na obrázku je naznačen směr emn a proudu vjednom okamžku. Odporová zátěž Obr. 33.8a ukazuje obvod s rezstorem o odporu R přpojeným ke generátoru harmonckého emn. Pro smyčku (jak víme z čl. 8.3) platí e u R = 0. Po dosazení z rov. (33.5) dostaneme R u R = sn ω b t. Napětí na rezstoru se tedy mění harmoncky s úhlovou frekvencí rovnou ω b a ampltudou, která se rovná ampltudě přloženého emn. Můžeme proto psát u R = U R sn ω b t. (33.7) Z defnce odporu (R = u/) můžeme vyjádřt proud rezstorem vztahem R = u R R = U R R sn ω bt. (33.8)

10 868 KAPITOA 33 KTROMAGNTIKÉ KMITY A STŘÍDAVÉ PROUDY e Podle rov. (33.6) můžeme tento proud zapsat ve tvaru R = I R sn (ω b t ϕ), (33.9) kde I R je ampltuda proudu R vrezstoru. Porovnáním rov. (33.8) a (33.9) vdíme, že pro čstě odporovou zátěž je ϕ = 0 a že ampltudy napětí a proudu jsou spolu spojeny vztahem U R = I R R (rezstor). (33.30) V obvodech střídavého proudu odporovou zátěž R zpravdla nazýváme rezstance. Ačkol jsme nalezl tento vztah pro konkrétní obvod odpovídající obr. 33.8a, lze ho použít na lbovolný rezstor v obvodu střídavého proudu. R R u R u R, R I R U R R u R 0 T/ T t Časově proměnné velčny u R (t) a R (t) můžeme znázornt též geometrcky pomocí fázorů. Přpomeňme s z čl , že fázory jsou vektory, které rotují kolem počátku souřadnc. Fázory představující napětí na rezstoru a proud, který jím prochází, jsou nakresleny vjstém okamžku t na obr. 33.8c. Fázory mají následující vlastnost: Úhlová rychlost: Fázory rotují (př popsu střídavých proudů) prot směru otáčení hodnových ručček okolo počátku s úhlovou rychlostí, která je rovna úhlové frekvenc ω b napětí u R proudu R. Délka: Délka fázoru představuje ampltudu střídavé velčny, tedy U R pro napětí a I R pro proud. Projekce: Projekce fázoru do svslé osy udává okamžtou hodnotu střídavé velčny, tedy napětí u R a proud R včase t. Když je ω b t = 90, směřuje fázor svsle vzhůru a jeho projekce je právě rovna jeho délce. Úhel pootočení: S časem proměnný úhel pootočení fázoru měříme od vodorovné osy (obr. 33.8c). Je roven fáz střídavé velčny v čase t. Na obr. 33.8c jsou napětí a proud ve fáz. Proto mají jejch fázory tutéž fáz ω b t, tj. stejný úhel pootočení vobrázku a rotují tedy společně. Na obr. 33.9c jsou fázory navzájem posunuty o 90. (a) R u R ω b t U R okamžky znázorněné v(c) I R (b) rotace fázorů rychlostí ω b Kapactní zátěž Obr. 33.9a ukazuje obvod sestavený z kondenzátoru a generátoru harmonckého emn podle rov. (33.5). Postupem, kterým jsme dospěl k rov. (33.7), zjstíme, že napětí na kondenzátoru je u = U sn ω b t, (33.31) kde U je ampltuda napětí na kondenzátoru. Z defnce kapacty plyne (c) Obr (a) Rezstor je přpojen ke zdroj harmonckého emn. (b) Proud a napětí na rezstoru jsou ve fáz a uskuteční jeden kmt za jednu perodu T. (c) Fázorový dagram ukazuje tutéž stuac jako obr. (b). Porovnáním rov. (33.7) a (33.8) vdíme, že obě časové závslost u R (t) a R (t) jsou dány týmž výrazem sn ω b t, a tedy rozdíl jejch fází je ϕ = 0. Říkáme, že obě velčny jsou vefáz, což znamená, že jejch maxma (a mnma) nastanou ve stejných okamžcích. Obr. 33.8b se závslostm u R (t) a R (t) tuto skutečnost dokresluje. Poznamenejme, že u R (t) a R (t) nejsou tlumené proto, že generátor dodává do obvodu energ a nahrazuje energ dspovanou v rezstoru. q = u = U sn ω b t. (33.3) Více než náboj nás však zajímá proud. Dervováním rov. (33.3) dostaneme = dq dt = ω b U cos ω b t. (33.33) Provedeme dále dvě úpravy rov. (33.33). Za prvé: aby se záps podobal rov. (33.8), zavedeme kapactní reaktanc X kondenzátoru, defnovanou vztahem X = 1 ω b (kapactní reaktance). (33.34) Její hodnota závsí nejen na kapactě, ale na úhlové frekvenc ω b. Vdíme, že jednotkou pro X je ohm, stejně

11 33.8 TŘI JDNODUHÉ OBVODY 869 e (a) u u, I U u 0 T/ T ϕ = 90 t KONTROA 4: Obrázek (1) ukazuje snusovou funkc S(t) = sn ω b t a čtyř další snusody A(t), B(t), (t), D(t), každou tvaru sn(ω b t ϕ). (a) Seřa te sestupně uvedené čtyř křvky podle hodnoty ϕ.(b)která z křvek odpovídá jednotlvým fázorům z obrázku ()? (c) Která křvka časově předbíhá před ostatním? I okamžky znázorněné v(c) (b) rotace fázorů rychlostí ω b A B S D u ω b t U (1) () (c) Obr (a) Kondenzátor je přpojen ke zdroj harmonckého emn. (b) Proud předbíhá před napětím o 90. (c) Fázorový dagram ukazuje tutéž stuac. jako pro odpor R. Za druhé: vrov. (33.33) nahradíme funkc cos ω b t funkcí snus fázově posunutou: cos ω b t = sn(ω b t + 90 ). Po těchto dvou úpravách zapíšeme rov. (33.33) ve tvaru ( ) U = sn(ω b t + 90 ). (33.35) X Proud však můžeme vyjádřt také podle rov. (3.6): = I sn(ω b t ϕ), (33.36) kde I je ampltuda velčny. Porovnáním rov. (33.35) a (33.36) vdíme, že př čstě kapactní zátěž je ϕ = 90. Vdíme též,že ampltudy napětí a proudu jsou spolu spojeny vztahem U = I X (kondenzátor). (33.37) Ačkol jsme nalezl tento vztah pro konkrétní obvod na obr. 33.9a, lze ho použít na lbovolný kondenzátor v jakémkol obvodu střídavého proudu. Porovnáním rov. (33.31) a (33.35) nebo pohledem na obr. 33.9b zjstíme, že velčny u a jsou posunuty o úhel 90, tedy o čtvrtnu perody. Navíc vdíme, že předbíhá u, což znamená, že na obr. 33.9a dosahuje maxma o čtvrtnu perody před u. Tento vztah mez a u je znázorněn na fázorovém dagramu vobr. 33.9c: fázor I předbíhá před fázorem U o úhel 90. Induktvní zátěž Obr a ukazuje obvod sestavený z cívky a generátoru harmonckého emn podle rov. (33.5). Postupem, který nás přvedl k rov. (33.7) a (33.31), dostaneme, že napětí na cívce je u = U sn ω b t, (33.38) kde U je ampltuda napětí u. Z rov. (31.40) můžeme vyjádřt napětí na cívce, ve které se mění proud s rychlostí d /dt: u = d dt. (33.39) Z rov. (33.38) a (33.39) dostaneme d dt = U sn ω bt. (33.40) Více než časová dervace proudu nás však zajímá samotný proud. Ten dostaneme ntegrací rov. (33.40): = d = U sn ω b t dt = ( ) U = cos ω b t. (33.41) ω b Provedeme dále dvě úpravy této rovnce. Za prvé: aby se záps podobal rov. (33.8), zavedeme nduktvní reaktanc X cívky vztahem X = ω b (nduktvní reaktance). (33.4)

12 870 KAPITOA 33 KTROMAGNTIKÉ KMITY A STŘÍDAVÉ PROUDY e (a) u, U u I u ϕ =+90 (b) 0 T/ T okamžky znázorněné v(c) t Porovnáním rov. (33.38) a (33.43) nebo pohledem na obr b shledáme, že fáze velčn a u jsou navzájem posunuty o 90. V tomto případě je však zpožděn za u. To znamená, že sledujeme-l průběh proudu a napětí u vobvodu z obr a, zjstíme, že dosáhne svého maxma o čtvrtnu perody pozděj než u. Z fázorového dagramu v obr c je to také zřejmé. Fázor I má fázové zpoždění oprot fázoru U o úhel 90. Přesvědčte se, že obr c znázorňuje stuac popsanou rov. (33.38) a (33.43). u ω b t I (c) U rotace fázorů rychlostí ω b Obr (a) ívka je přpojena ke zdroj harmonckého emn. (b) Proud je zpožděn za napětím o 90. (c) Fázorový dagram ukazuje totéž. Její hodnota závsí nejen na ndukčnost, ale na úhlové frekvenc ω b. Opět vdíme, že jednotkou X je ohm, stejně jako pro X a R. Za druhé: zaměníme funkc cos ω b t vrov. (33.41) funkcí snus fázově posunutou: cos ω b t = sn(ω b t 90 ). Po těchto úpravách zapíšeme rov. (33.41) ve tvaru = U X sn(ω b t 90 ). (33.43) Proud však můžeme vyjádřt také podle rov. (33.6): = I sn(ω b t ϕ), (33.44) kde I je ampltuda proudu cívkou. Porovnáním rovnce (33.43) a (33.44) vdíme, že pro čstě nduktvní zátěž je ϕ = +90. Také vdíme, že mez ampltudou napětí a ampltudou proudu platí vztah U = I X (cívka). (33.45) Ačkol jsme tento vztah nalezl pro konkrétní obvod z obr a, lze ho použít pro jakoukol cívku v obvodu střídavého proudu. RADY A NÁMĚTY Bod 33.1: Předbíhání a zpož ování v obvodech se střídavým proudy Tab. 33. uvádí přehled vztahů mez proudem a napětím u pro každý ze tří typů uvažovaných obvodových prvků. Přloží-l se na ně napětí, je proud ve fáz s napětím na rezstoru, proud předbíhá před napětím na kondenzátoru a je zpožděn za napětím na cívce. Fáz ϕ fázový posun ϕ vyjadřujeme obvykle v obloukové míře v radánech nebo ve stupních. Někdy je však názornější vyjádření pomocí času t = ϕ/ω,resp. t = ϕ/ω. Říkáme: Proud napětí nabývají maxma současně, Proud předbíhá před napětím apod. PŘÍKAD 33.4 (a) V obr. 33.9a je = 15,0 mf, = U = 36,0Vakmtočet budcího napětí je f b = 60,0 Hz. Jaká je ampltuda proudu I? ŘŠNÍ: Hledanou ampltudu dostaneme z rov. (33.37) (tj. U = I X ), vypočteme-l nejprve kapactní reaktanc X. Z rov. (33.34), kde ω b = pf b, plyne X = 1 pf b = 1 p(60,0hz)(15, F) = = 177. Potom z rov. (33.37) I = U = (36,0V) = 0,03 A. (Odpově ) X (177 ) (b) Nech vobr a je = 30 mh, = U = 36,0V a f b = 60,0 Hz. Jaká je ampltuda proudu I? ŘŠNÍ: Ampltudu můžeme získat z rov. (33.45) (I = = U /X ) tak, že nejprve vypočteme nduktvní reaktanc X. Z rov. (33.4), kde položíme ω b = pf b, dostaneme X = pf b = p(60,0hz)( H) = 86,7.

13 33.9 SÉRIOVÝ OBVOD R 871 Tabulka 33. Vztahy mez ampltudou a fází pro střídavé proudy a napětí OBVODOVÝ RZISTAN NBO FÁZOVÝ VZTAH MZI PRVK SYMBO RAKTAN* FÁZ PROUDU POSUN ϕ AMPITUDAMI Rezstor R R ve fáz s u R 0 U R = I R R Kondenzátor X = 1/(ω b ) předbíhá u o90 90 U = I X ívka X = ω b zpožděna za u o U = I X * Někdy se pro kapactní reaktanc užívá název kapactance a pro nduktvní reaktanc název nduktance. Potom z rov. (33.45) I = U = (36,0V) = 0,415 A. (Odpově ) X (86,7 ) (c) Napšte výraz pro časově proměnný proud vobvodu podle (b). ŘŠNÍ: Rov. (33.44) je obecným řešením pro. Pro vypočtený proud I = 0,415 A a pro ampltuda I, projekce fázoru na svslou osu je okamžtý proud včase t a úhel pootočení fázoru je fáze (ω b t ϕ) proudu včase t. I ω b t ϕ U u R u U R ω b t ϕ ω b = pf b = 10p s 1 u U dostaneme př ϕ = 90 = p/ rad pro tento čstě nduktvní obvod = I sn(ω b t ( ϕ) = ) = (0,415 A) sn 10pt p. (Odpově ) (a) e ω b t U U (b) ϕ U R ω b t ϕ ω b t K ONTROA 5: Jestlže zvýšíme budcí kmtočet f b vobvodu (a) podle obr. 33.9a, (b) podle obr a, ampltuda proudu I v obvodu vzroste, klesne, nebo zůstane stejná? 33.9 SÉRIOVÝ OBVOD R Nyní jsme přpraven vyšetřt stuac, kdy přpojíme zdroj harmonckého emn e = sn ω b t (přložené emn) (33.46) k sérovému obvodu R podle obr Protože R, a jsou zapojeny vsér, protéká tentýž proud = I sn(ω b t ϕ) (33.47) všem třem prvky. hceme nalézt ampltudu I proudu a fázový posun ϕ proudu vůče. Řešení se zjednoduší použtím fázorových dagramů. Začneme s obr a, který ukazuje fázor představující proud z rov. (33.47) v lbovolném čase t. Délka fázoru je (c) Obr (a) Fázor harmonckého proudu vbuzeném obvodu R na obr včase t. V obrázku je vyznačena ampltuda I, okamžtá hodnota a fáze (ω b t ϕ). (b) Fázory napětí na cívce, rezstoru a kondenzátoru, vztažené k fázoru proudu v(a). (c) Fázor harmonckého emn, které budí proud podle (a). (d) Fázor emn je roven vektorovému součtu tří fázorů napětí podle (b). Fázory U a U jsou sečteny do výsledného fázoru (U U ). Obr b ukazuje fázory napětí na R, a ve stejném okamžku t. Každý fázor je vztažen k fázoru proudu I z obr a podle pravdel uvedených v tab. 33.: Rezstor: Napětí a proud jsou ve fáz, takže fázor napětí U R má stejný směr jako fázor I. Kondenzátor: Proud předbíhá napětí o 90, takže fázor napětí U je zpožděn o 90 za fázorem I. ívka: Proud je zpožděn za napětím o 90, takže naopak fázor napětí U předbíhá o 90 před fázorem I. Obr b také ukazuje okamžté hodnoty napětí u R, u a u na prvcích R, a včase t. Tato napětí jsou projekce odpovídajících fázorů na svslou osu. (d)

14 87 KAPITOA 33 KTROMAGNTIKÉ KMITY A STŘÍDAVÉ PROUDY Obr c ukazuje fázor představující přložené emn z rov. (33.46). Délka fázoru je ampltuda, projekce fázoru na svslou osu je okamžtá hodnota emn v čase t a úhel pootočení fázoru je fáze ω b t emn včase t. Smyčkové pravdlo říká, že v lbovolném okamžku je součet napětí u R, u a u roven přloženému emne : e = u R + u + u. (33.48) V lbovolném okamžku t je projekce emn vobr c tedy rovna součtu projekcí u R, u a u vobr b. Protože fázory rotují se stejnou úhlovou rychlostí, platí tato rovnce v každém okamžku. To znamená, že fázor v obr c musí být roven vektorovému součtu tří fázorů napětí U R, U a U vobr b. Uvedené vektorové skládání fázorů můžeme zjednodušt nejprve využtím té skutečnost, že fázory U a U mají opačné směry. ze je proto nahradt jedným fázorem U U, jak je ukázáno vobr d. Vektorový součet všech tří napě ových fázorů z obr b nalezneme jako výslednc dvou fázorů U R a (U U ) vobr d. Tento výsledek je roven fázoru, jak je naznačeno. Oba trojúhelníky vobr d jsou pravoúhlé. Použtím Pythagorovy věty dostaneme vztah = U R + (U U ). (33.49) Z tab. 33. dosadíme za ampltudy napětí na jednotlvých prvcích, takže = (IR) + (IX IX ) (33.50) a z toho po úpravě dostaneme I = R + (X X ). (33.51) Jmenovatel v rov. (33.51) má význam celkového odporu sérového obvodu R anazývásempedance obvodu pro budcí úhlovou frekvenc ω b : Z = R + (X X ) (defnce mpedance). (33.5) Rov. (33.51) potom můžeme psát ve tvaru I = Z. (33.53) Dosadíme-l za X a X z rov. (33.34) a (33.4), můžeme rov. (33.51) zapsat ve tvaru I = R + (ω b 1/ω b ) (ampltuda proudu). (33.54) Tím jsme dosáhl polovny našeho záměru: odvodl jsme výraz pro ampltudu I proudu. Hodnota I závsí na rozdílu (ω b 1/ω b ) vrov. (33.54) nebol na rozdílu X X vrov. (33.51). Nezáleží však na tom, která z obou velčn je větší, nebo počítáme druhou mocnnu jejch rozdílu. V tomto článku jsme se zabýval ustáleným harmonckým proudem. Ten se vyskytuje v obvodu až po určté době od přpojení zdroje emn. Ihned po přpojení obvodu k emn jím protéká po krátkou dobu přechodný proud. Doba jeho trvání (dříve, než nastane ustálený stav) je určena časovým konstantam τ = /R a τ = R; ty jsou úměrné době, potřebné pro plné zapojení nduktvních a kapactních prvků. Přechodný proud může být velký a může například znčt elektromotor př rozběhu, nemá-l vnutí přměřeně navržené. Fázový posun Ještě potřebujeme stanovt hodnotu fázového posunu ϕ. Z pravoúhlého trojúhelníku fázorů v obr d a podle údajů tab. 33. můžeme psát což dává tg ϕ = U U U R tg ϕ = X X R = IX IX, (33.55) IR (fázový posun). (33.56) Znaménko rozdílu (X X ) nemělo vlv na ampltudu proudu. Z rov. (33.56) však vdíme, že toto znaménko určuje fázový posun proudu vůč napětí. Jsou tř možnost: Je-l X >X, obvod má nduktvní charakter.podle rov. (33.56) je fázový posun ϕ pro takový obvod kladný, což znamená, že fázor rotuje před fázorem I (obr. 33.1a). Příklad závsloste a na čase je na obr. 33.1b. Je-l X >X, obvod má kapactní charakter. Podle rov. (33.56) je fázový posun pro takový obvod záporný, což znamená, že fázor rotuje za fázorem I (obr. 33.1c). Příklad závslost e a na čase je na obr. 33.1d. Je-l X = X, obvod je v rezonanc; tento termín vysvětlíme dále. Rov. (33.56) říká, že v takovém obvodu je ϕ = 0, což znamená, že fázory a I rotují společně (na téže vektorové přímce) (obr. 33.1e). Příklad závsloste a na čase je na obr. 33.1f. Jako lustrac uvažujme dva krajní případy obvodů: V čstě nduktvním obvodu podle obr a, kde je reaktance X nenulová a X = R = 0, rov. (33.56) dává

15 33.9 SÉRIOVÝ OBVOD R 873 I e, I e t Tato frekvence, kterou nazýváme rezonanční frekvence kmtavého sérového obvodu R, je tedy rovna vlastní úhlové frekvenc (netlumených) kmtů v obvodu. To znamená, že vobvodu R nastane rezonance a ampltuda I proudu dosáhne maxma, je-l (a) kladná ϕ (b) ω b = ω = 1 (rezonanční frekvence). (33.58) I (c) I e, I záporná ϕ e, I e e (d) t t Rezonanční frekvence je určena hodnotam a.o se stane, když měníme R? Obr ukazuje tř rezonanční křvky proudu pro harmoncky buzené kmty ve třech sérových obvodech R, které se lší pouze hodnotou R. Každá křvka dosahuje maxma ampltudy proudu př rezonanční frekvenc ω b = ω, avšak toto maxmum klesá s rostoucím R. (Maxmum I je vždy rovno /R; k důkazu postačí kombnovat rov. (33.5) a (33.53)). Také šířka křvek narůstá s rostoucím R (šířka je defnována jako rozdíl kmtočtů př proudu rovném polovně maxmální hodnoty I, obr ). (e) nulová ϕ Obr Fázorové dagramy a časový průběh harmonckých emn a proudů pro buzený obvod R na obr Pro (a, b) je fázový posun ϕ kladný, pro (c, d) je záporný a pro (e, f ) je nulový. ϕ =+90 (nejvyšší hodnota ϕ) vsouladu s obr c. V čstě kapactním obvodu podle obr. 33.9a, kde je reaktance X nenulová a X = R = 0, rov. (33.56) dává ϕ = 90 (nejnžší hodnota ϕ) vsouladu s obr. 33.9c. Rezonance Rov. (33.54) udává ampltudu proudu I vobvodu R jako funkc budcí úhlové frekvence ω b vnějšího harmonckého zdroje emn. Pro zadaný odpor R je tato ampltuda největší, jestlže je velčna (ω b 1/(ω b )) ve jmenovatel nulová, tedy jestlže odkud ω b = 1 ω b, (f ) ω b = 1 (maxmum I). (33.57) ampltuda proudu I X >X R = 10 X >X R = 30 R = 100 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 ω b /ω Obr Rezonanční křvky buzeného obvodu R na obr pro = 100 mh, = 100 pf a tř hodnoty R. Ampltuda I harmonckého proudu závsí na tom, jak blízko je budcí úhlová frekvence ω b k vlastní úhlové frekvenc ω. Vodorovná špka u každé křvky udává její šířku na polovční hodnotě maxma proudu, což je měřítkem strmost rezonanční křvky. Nalevo od ω b /ω = 1jeX >X a obvod má kapactní charakter. Napravo od ω b /ω = 1jeX >X a obvod má nduktvní charakter. Rezonančním křvkám z obr můžeme dát fyzkální význam tím, že budeme uvažovat, jak se reaktance X a X změní, zvyšujeme-l postupně budcí úhlovou frekvenc ω b, přčemž začneme z hodnot mnohem menších, než je vlastní frekvence ω. Pro malé hodnoty ω b je reaktance X = ω b malá a reaktance X = 1/(ω b ) je velká. Obvod má tedy kapactní charakter a převládá velká reaktance X, která udržuje vobvodu malý proud.

16 874 KAPITOA 33 KTROMAGNTIKÉ KMITY A STŘÍDAVÉ PROUDY Zvyšujeme-l ω b, reaktance X stále převažuje, ale klesá, zatímco X se zvyšuje. S poklesem X klesá mpedance, takže proud narůstá, jak vdíme na levé část rezonanční křvky v obr Když rostoucí X a klesající X dosáhnou stejných hodnot, proud je největší a obvod je v rezonanc př ω b = ω. Zvyšujeme-l dále ω b, převládne narůstající reaktance X nad klesající reaktancí X. Impedance tedy narůstá vdůsledku zvýšení X a proud klesá, jak je zřejmé v pravé část rezonanční křvky v obr Stručně shrnuto: pro úhlové frekvence menší než ω převažuje kapactní reaktance, pro úhlové frekvence větší než ω převažuje nduktvní reaktance a rezonance nastává právě pro frekvenc ω, kdy celková reaktance je nulová. PŘÍKAD 33.5 V obr je R = 160, = 15,0 mf, = 30 mh, f b = 60,0Hz a = 36,0V.(Až na R jsou hodnoty stejné jako vpř ) (a) Jak velká je ampltuda proudu I? ŘŠNÍ: Ampltudu proudu můžeme vypočítat z rovnce (33.53) (I = /Z), stanovíme-l nejprve mpedanc Z obvodu z rov. (33.5). Z př. 33.4a víme, že kapactní reaktance X pro kondenzátor (a tedy pro obvod) je 177, a z př. 33.4b víme,že nduktvní reaktance X cívky je 86,7. Z rov. (33.5) dostaneme Z = R + (X X ) = = (160 ) + (86,7 177 ) = = 184. Potom vypočteme I = Z = (36,0V) (184 ) (b) Jaký je fázový posun ϕ? ŘŠNÍ: Z rov. (33.56) je odtud tg ϕ = X X R = (86,7 ) (177 ) (160 ) ϕ = 9,4 = 0,513 rad. = 0,196 A. (Odpově ) = 0,564, (Odpově ) Fázový posun je záporný, protože výsledná zátěž má kapactní charakter, tj. X >X. KONTROA 6: Mějme tř dvojce kapactní a nduktvní reaktance pro tř harmoncky buzené obvody R: (1) 50,100 ; () 100,50 ; (3) 50,50.(a)Pro každý z obvodů rozhodněte, jestl proud předbíhá, nebo je zpožděn vzhledem k přpojenému emn, nebo jestl jsou obě velčny ve fáz. (b) Je některý z obvodů v rezonanc? VÝKON V OBVODH S STŘÍDAVÝM PROUDM Do obvodu R (obr. 33.7) dodává energ generátor střídavého napětí. Část energe, kterou dodává, je uložena velektrckém pol kondenzátoru, část vmagnetckém pol cívky a část se dspuje v rezstoru. V ustáleném stavu, který předpokládáme, zůstává časová střední hodnota energe uložené vkondenzátoru a vcívce konstantní. lektromagnetcká energe se přenáší jen od generátoru k rezstoru a vněm se dspuje. snθ sn θ p p 3p (a) p p 3p (b) Obr (a) Závslost sn θ na θ. Střední hodnota za dobu jedné perody je nulová.(b) Závslost sn θ na θ.střední hodnota za dobu jedné perody je 1. Rychlost, se kterou je energe dspována v rezstoru, tj. okamžtý výkon,lze vyjádřt pomocí rov. (7.) a (33.6) vztahem P = R = I R sn (ω b t ϕ). (33.59) Střední výkon dspovaný v rezstoru je časovou střední hodnotou výrazu (33.59). Ačkol střední hodnota za dobu jedné perody je pro funkc sn θ nulová, je střední hodnota sn θ rovna 1 (obr ). (Povšmněte s v obr b, jak vystínované část křvky, které leží nad vodorovnou θ θ

17 33.10 VÝKON V OBVODH S STŘÍDAVÝM PROUDM přímkou označenou + 1, přesně vyplňují prázdná místa pod touto čárou.) Z rov. (33.59) plyne výraz pro střední výkon P = I R = I R. (33.60) Velčna I / se nazývá efektvní hodnota proudu, a pokud nebude uvedeno jnak, použjeme pro její označení ndex ef. Tedy I Ief = (efektvní proud). (33.61) (střední výkon). (33.6) Rov. (33.60) můžeme přepsat do tvaru P = Ief R (Přpoměňme, že Ustř = 0 a Istř = 0!) Rov. (33.6) se formálně podobá rov. (7.) P = R. Zavedení efektvních hodnot proto umožňuje, abychom střední hodnoty ztrát ve střídavých obvodech (tj. střední výkony) v ustáleném stavu vyjádřl formálně stejným vztahem jako pro stejnosměrné proudy. Pro střídavé proudy můžeme také definovat efektvní hodnoty napětí emn: U Uef = a ef = (33.63) 875 efektvní napětí. Maxmální hodnota napětí v zásuvce je pak (30 V), tj. 35 voltů. Protože součntel úměrnost 1/ v rov. (33.61) a (33.63) je stejný pro všechny tř proměnné, můžeme rov. (33.53) a (33.51) psát ve tvaru Ief = ef ef =. Z R + (X X ) (33.64) Zápsu pomocí efektvních hodnot budeme dávat přednost. Vztah Ief = ef /Z můžeme použít k přepsu rovnce (33.6) do jného užtečného ekvvalentního vyjádření. Píšeme R ef Ief R = ef Ief. (33.65) P = Z Z Z obr d, tab. 33. a z rov. (33.53) však plyne, že podíl R/Z je roven kosnu fázového posunu ϕ: cos ϕ = IR R UR = =. IZ Z (33.66) Rov. (33.65) pak zní P = ef Ief cos ϕ (střední výkon) (33.67) Přístroje na měření střídavých velčn, jako např. ampérmetry a voltmetry, jsou obvykle cejchovány v efektvních hodnotách. Pokud tedy voltmetr na měření střídavých napětí ukazuje v elektrcké zásuvce 30 V, je to a čntel cos ϕ v ní se nazývá účník. Protože cos ϕ = = cos( ϕ), nezávsí rov. (33.67) na znaménku fázového posunu ϕ. Aby se do odporové zátěže lbovolného obvodu R přenášel maxmální výkon, musí se účník co nejvíce blížt jedné: cos ϕ 1. To je ekvvalentní požadavku, aby V září 1988, po 7 letech hry za denního světla, nstaloval klub hcago ubs reflektory pro hru př umělém osvětlení. elkem 540 halogenových svítdel po W osvětllo hrací plochu. Avšak první hra za umělého osvětlení byla pro bouřku přerušena. Fanoušc s to vysvětll po svém považoval to za znamení, aby ubs zůstal př hře za denního světla. 11. lstopadu 1965 v 17:17 h způsoblo vadné relé v energetcké soustavě poblíž Nagarských vodopádů odpojení spínače na přenosovém vedení. Proud se samočnně přepojl do ostatních vedení, ta se tím však přetížla a automatcky odpojla ze soustavy. V několka mnutách se zhroutla energetcká soustava a do tmy se ponořla většna New Yorku, Nové Angle a Ontara. (efektvní napětí a emn).

18 876 KAPITOA 33 KTROMAGNTIKÉ KMITY A STŘÍDAVÉ PROUDY fázový posun ϕ byl co nejblíže nule. Pokud má například obvod nduktvní charakter, lze nduktvní reaktanc snížt přdáním kapacty do obvodu a tak zmenšt fázový posun a zvýšt účník v rov. (33.67). Protože spotřebče mají mnohem častěj nduktvní charakter než kapactní,umís ují elektrárenské společnost na místě spotřeby kondenzátory a v rozvodnách, kterým je přenášen velký výkon, různé kompenzátory účníku. KONTROA 7: (a) Proud vharmoncky buzeném sérovém obvodu R předbíhá emn. Je nutno zvětšt, nebo zmenšt kapactu, aby se zvýšl výkon dodávaný do rezstoru? (b) Posune tato změna rezonanční úhlovou frekvenc obvodu blíže k úhlové frekvenc emn, nebo j naopak oddálí? PŘÍKAD 33.6 Sérový obvod R, buzený zdrojem s ef = 10 V př kmtočtu f b = 60,0 Hz, sestává z rezstoru s R = 00, cívky s X = 80,0 a kondenzátoru s X = 150. (a) Jaký je účník cos ϕ a fázový posun ϕ vtomto obvodu? ŘŠNÍ: Účník můžeme vypočítat z rov. (33.66) (cos ϕ = = R/Z) tak, že nejprve stanovíme mpedanc Z. Dosazením do rov. (33.5) dostaneme Z = R + (X X ) = (00 ) + (80,0 150 ) = = 11,9. Z rov. (33.66) potom vypočteme Odtud plyne, že cos ϕ = R Z = (00 ) = 0,944. (Odpově ) (11,90 ) ϕ = 19,3 nebo ϕ = 19,3. První řešení nevyhovuje úloze, nebo př X >X má obvod kapactní charakter a fázový posun ϕ proto musí být záporný. Druhé řešení úloze vyhovuje, tedy ϕ = 19,3. (Odpově ) (Namísto uvedeného postupu jsme mohl dosadt známé údaje do rov. (33.56) a dostal bychom správný výsledek jako jedné řešení.) (b) S jakým středním výkonem P se elektromagnetcká energe dspuje vrezstoru? ŘŠNÍ: P vypočteme pomocí rov. (33.67), jestlže nejprve určíme I ef. Z rov. (33.64) máme I ef = ef Z (10 V) = = 0,566 3 A. (11,9 ) Dosazením této a dalších hodnot do rov. (33.67) vypočteme P = ef I ef cos ϕ = (10 V)(0,566 3 A)(0,944) = = 64,W. (Odpově ) (c) Jaká změna kapacty je potřeba, aby P byl maxmální za předpokladu, že se ostatní parametry obvodu nezmění? ŘŠNÍ: Z rov. (33.34) (X = 1/(ω b )) vypočteme původní kapactu = 1 1 = = 17,7 mf. pf b X p(60,0hz)(150 ) Výkon P je nejvyšší, je-l obvod v rezonanc, tj. když jsou s reaktance rovny: X = X. Rov. (33.34) pro X = X = = 80 dává kapactu potřebnou pro rezonanc = 1 1 = = 33, mf. pf b X p(60,0hz)(80 ) Požadovaná změna kapacty tedy bude = = 33, mf 17,7 mf = = 15,5 mf. (Odpově ) (d) Jaký bude střední výkon P př takto změněné kapactě? ŘŠNÍ: Po změně je X = X. Potom z rov. (33.5) a (33.66) platí Z = R acosϕ = 1. fektvní proud dostaneme z rov. (33.64) a střední výkon je I ef = ef Z = (10 V) (00 ) = 0,600 A P = ef I ef cos ϕ = (10 V)(0,600 A)(1,0) = = 7,0W. (Odpově ) TRANSFORMÁTORY Požadavky na přenos energe Je-l střídavý zdroj zatížen pouze rezstorem, je fázový posun ϕ nulový, a proto účník v rov. (33.67) je roven jedné