Porovnání napjatosti nestacionárnězatíženého

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Porovnání napjatosti nestacionárnězatíženého"

Transkript

1 STROJNÍCKY ČAS()PIS 28, 1977,č Porovnání napjatosti nestacionárnězatíženého stěnovéhopásu a Timošenkova nosníku F. VALEŠ, R. BREPTA, J. VOLEK Tento článek, který má charakter předběžného sdělení, navazuje na práci (l], uveřejněnou ve Strojníckem časopise č. 5 z r. 1973, kde bylo popsáno odvození vztahů pro složky napětí ve stěnovém pásu příčně zatíženém a uvedeny výsledky prvních numerických výpočtů pro oblast blízkou místu působení budícího zatížení a též pro krátké časy po začátku jeho působení. Zde jsou popsány jednak výpočty napjatosti ve stěnovém pásu pro větší vzdálenosti od místa zatížení a delší časy a dále řešení napjatosti Timošenkova nosníku. Nakonec jsou uvedeny první výsledky srovnávacích výpočtů napjatosti pásu a Timošenkova nosníku. Použitá označení x, y [ml 2d [ml 2h [ml Go(x, t) [Nm"] GO m [Nm"] o., t'xy [Nm- 2 ] ;n T/n c-ttd, c-itd II a rod 21 '[ml polohové souřadnice, šířka pásu, délka, na níž působí zatížení, budící zatížení, amplituda budícího zatížení, složky normálového a smykového napětí, kořeny rovnice disperzní závislosti pro podélné vlny v pásu, kořeny rovnice disperzní závislosti pro příčné vlny v pásu, bezrozměrné parametry času, Poissonovo číslo, koeficient charakterizující rozložení smykového napětí v průřezu nosníku, bezrozměrná proměnná Fourierova integrálu, délka nosníku, Ing. František Valeš, CSc., ÚT ČSAV, Puškinovo nám. 9, Praha 6, doc. Ing. Rudolf Brepta, DrSc., SjF ČVUT, katedra částí strojů, Technická 4, Praha 6, Ing. Jan Volek, PVT, Vavřinecká 13, Litoměřice, ČSSR

2 722 [ms-i] (ms-i] (} [kgm"] Cz C3 STROJNÍCKY ČASOPIS 28, 1977, Č. 6 - rychlost příčných vln v kontinuu, - rychlost dilatačních vln v dvojrozměrném kontinuu, ~ měrná hmotnost. 1. Úvod Podrobný popis o vzniku této úlohy a analytické řešení napjatosti pásu a Timošenkova nosníku je popsáno ve zprávách [2] a [3]. Výpočty napjatosti v pásu pro krátké časy jsou popsány v pracech [4] a [5]. E IDO x Obr. 1 - Pne. 1 - Fig. 1 Uveďme nyní ve stručnosti některé základní poznatky z předchozích prací. Úloha' vznikla ze snahy určit přesnost, resp. vymezit obor platnosti jednorozměrných metod používaných při řešení příčného rázu tělesa na nosník. V technické praxi se všeobecně používají tyto přibližné metody, založené na předpokladu o platnosti BernouHiovy-Navierovy hypotézy, platící pro statický ohyb tenkých prutů. Důsledky této hypotézy použité při rázovém zatížení se projevují nejvýrazněji v blízkém okolí místa rázu a pro časy velmi krátké po začátku rázu, kdy je zde trojosá napjatost. Přesné analytické řešení rázu tělesa na nosník, při uvažování trojrozměrné napjatosti, není současnými prostředky matematiky možné. Je však možné řešit úlohu dvojrozměrnou,a to za předpokladu, že je rázová síla nahrazena předepsanýmspojitým zatížením. Proto vznikla myšlenka řešit napjatost stěnového nekonečně dlouhého pás,,!.zatíženého příčně předepsaným napětím a obdobnou úlohu potom řešit pomocí některé jednorozměrné metody. Porovnáním těchto dvou řešení, kdy prvé z nich může být pokládáno za přesné, můžeme určit přesnost nebo obor platnosti jednorozměrných metod. Na obr. 1 je uvedeno schéma úlohy o stěnovém pásu. Neomezeně dlouhý stěnový pás má šířku 2d a leží v souřadnicovém systému O, x, y. Na délce 2h jednoho okraje působív rovině pásu budící napětí (Jo(x, t), jehož Závislost na čase t je dána skokovou funkcí. Jeho Závislost na polohové souřadnici x byla zvolena kosinusová, aby pozdější numerické výpočty byly pokud možno co nejlevnější.

3 STROJNÍCKY ČASOPIS 28, 1977, Č Řešení vycházelo z pohybových rovnic rovinného kontinua. Pohyb nedeformovaného pásu začínal z klidu. Tím jsou dány počátečnípodmínky. Okrajové podmínky vyjadřují stav napětí na okrajích pásu. Pohybové rovnice byly transformovány pomocí Laplaceovy-Carsonovy transformace pro čas t. Řešení transformovaných rovnic bylo voleno ve tvaru Fourierova integrálu. Po provedení zpětné transformace byly získány výrazy pro složky posuvů a napětí ve tvaru součtů nevlastních integrálů. Uveďme schematicky" bezrozměrný tvar tohoto výrazu pro složku napětí (lx -h 4d i~ (lx = F 1(y /d, rod) cos(x/d'rod) d(rod) + (lom O + ~ i~f2(y/d, ;n, rod) cos (x/d. rod) c~s(c2t/d ';n. rod) d{rod)+ (1) + n~ i~f3(y/d, 11n, rod) cos(~/d' rod) cos (c 3t/d '11n' rod) d(rod), kde x/d, y/d, c-tld, c-ttd jsou bezrozměrnépolohové souřadnice a bezrozměrné parametry času, rod je bezrozměrná proměnná Fourierova integrálu, ;n, 11n jsou kořeny rovnic disperzních závislostí pro podélné a příčné vlny v pásu. Rovnice disperzních závislostí mají tvar [2 - ;2]2cosh[rodY1- kl; 2] sinh [rody1- ;2]_ - 4Y1- kl; 2Y1- ;2 sinh [rody1- kl; 2] cosh [rody1- ;2] = 0, 4Y1- k T11 2 Y1-7]2 sinh [rody1- k T11 2 ] cosh [rody1-11 2]- (2) kde - [2- kt7]2ycosh[rody1- kt1]2] sinh [rody1 ~ 1]2] = 0, 1:-/1 k; =--2-' 1 kt = kl. Rozborem těchto transcendentních rovnic zjistíme, že ke každé hodnotě rod ~0 existuje nekonečně mnoho hodnot ě, resp. 11, které označíme indexem n, probíhajícím od jedné do nekonečna; podle tohoto indexu se sčítá v řadách ve výrazu (1). Znázorníme-li tyto závislosti graficky, potom všechny kořeny stejného indexu n tvoří tzv. n-tou větev disperzních křivek. Schematicky jsou vybrané disperzní křivky zobrazeny na Obr. 2 a obr. 3. Obdobná úloha byla také řešena pomocí jednorozměrnéteorie. Místo stěnového

4 724 STROJNÍCKY tasopis , Č. 6 5 /n 3H-Hi-~~~-+-7't-+--;----I l,~~ 15 o cod Obr. 2~Pllc.2~Fig. 2 ~=1 o Obr. 3 ~ Pac, 3 ~ Fig. 3 pásu byl úvažovan velmi štíhlý nosník obdélníkového průřezu, aby se co nejvíce přiblížil tvarem průřezu pásu. Podmínky řešení byly stejné jako u pásu. Byl řešen jednak nosník nekonečné délky a dále nosník konečný. Nosník konečné délky byl řešen také klasickou Bernoulliovou metodou bez transformace. Pro nekonečný nosník platí např. pro složku napětí o, vztah 4d ~ 6 fl. L"'{_l~ ±cos [(Czl/d)';n.(wd)\!2(l + II)]}. aomh a x - d 6 (wdy+ n~1 (wd)z[2k7;~-(1+k7);~]-3;~ kde cozs [(h/d)'(wd)].cos [(x/d)'(w4)] d(wd), (3) (~) - [(h/d)'(wd)y k 7 = 2(1 +ll) a ' ~ je bezrozměrná příčná souřadnice bodu průřezu, wd je proměnná Fourierova integrálu, ;n jsou v tomto případě kořeny disperzní závislosti Timošenkova nosníku, 6,4 je dolní, resp. horní mez integrálu -- blíže popsáno v práci [3]. Disperzní závislost má tvar

5 STROJNfCKY ČASOPIS ", Č. 6 f: _ Iks+Vk~-4k7(rodt,:>1.2- " 2k 7(rod)2, 725 (4) kde k s=3+(rody'(i+k7) a kde pro index 1 platí pod odmocninou znaménko minus a pro index.z platí znaménko plus. Pro nosník konečné délky 21, řešený pomocí Laplaceovy transformace i klasickou metodou, platí společný výraz (opět uvádíme výraz pro složku (J%) 4d. d ~ -.{ (J = 6Jl ~.- 2: (Jomh x I d n~l (njldlw cos [(njldll)' (hld)] (JlI2Y - [(njldll)' (hld)y.cos [(x Id)' (njldll)], (5) kde ;1.2 plyne opět ze vztahu (4), dosadíme-li místo proměnné (rod) proměnnou (njldll). Nosník konečné délky byl řešen jako nepodepřený.žádné zvláštní potíže však nepůsobí řešení nosníku konečné délky, který je na koncích podepřen. Numerické výpočty vztahů (1) až (5) byly značně náročné, a to zvláštěpokud jde o výrazy (1) a (2). Druhý a třetí člen výrazu (1) je tvořen nekonečnou řadou nevlastních integrálů. Tyto řady jsou příčinou všech obtíží. Pro časy, kdy čelo rozruchu proběhne od místa působení budícího zatížení dráhu dlouhou řádově jen několik šířek pásu, jsme vystačili při vyčíslování nevlastních integrálů s klasickou jednotřetinovou Simpsonovou metodou. Pro požadovanou několikaprocentnírelativní přesnost stačilo sčítat prvních 40 členů řad, integrační interval mohl být od 0,1 do 100 a nejmenší krok Simpsonovy metody 0,1. Protože v integrandech integrálů řad vystupujíjako parametry kořeny ;n a 7}n, musely být v dostatečném počtu k dispozici před vlastním výpočtem integrálů. Pro každou z rovnic (2) bylo určeno pro každé n od jedné do čtyřiceti 1000 kořenů. Dohromady tedy bylo předpočítáno hodnot a teprve potom mohly být vyčísleny integrály. Tento postup vyhověl při výpočtech průběhů složek napětí v řezech až do hodnot xld = 4 a pro časy dané parametrem c-tld nejvýše 3. V této etapě výpočtů nebyly porovnány průběhy složek napětí v pásu s napětími Timošenkova nosníku. To bylo cílem až dalších výpočtů. Všechny až dosud popsané výpočty byly vykonány na počítači ELLIOTT 503.

6 726 STROJNÍCKY éasofis 28, 1977, Č Porovnániupjatosti púu ft Timošenkova nosm'ku pro dlouhé časy. Podstatně složitější situace nastane, budeme-li chtít počítat průběhy složek napětí v pásu pro větší hodnoty xld a c-tld, než které byly uvedeny v předchozím odstavci. Aplikace stejného postupu jako při předcházejícíchvýpočtechby vedla k velkému prodloužení výpočtových časů. Bylo proto nutno použít ekonomičtější metodu. Větším hodnotám xld a c-ttd odpovídá velké zhuštění nulových bodů integrandů v (1), a to díky velkému počtu nulových bodů příslušných trigonometrických funkcí. Vzhledem k možnostem použitého počítače E 503 byly jako největší možné hodnoty zvoleny xld = 10 a Cz/Id = 15 (tomu odpovídá c3/ld==25, 35). Při této volbě mají funkce Ft, F«, F 3 na celém užitém integračním intervalu, tj. od 0,1 do 99, pouze několiknulových bodů. Jejich vyčíslení však, vzhledem k jejich složitosti, zabere podstatnou část strojového času při výpočtu hodnoty integrandu. Pro zvolené hodnoty xld a Cz/Id musí být krok Simpsonovy metody rovný 0,01, což znamená, že musí být vypočteno téměř hodnot integrandů každého integrálu. Počítat funkce Ft, F, a F 3 podle přesných vztahů není vzhledem ke spotřebě strojového času možné a vedlo by k nereálným nárokům na strojový čas. Byla proto navržena metoda, podle níž se počítají přesně všechny trigonometrické funkce, kdežto funkce Ft, F«a F 3 se přesně počítají jenom v určitých bodech integračníhointervalu a mezi těmito body se nahrazují parabolou. To je umožněno právě jejich pomalou změnouv důsledku malého počtu nulových bodů. Stejně tak disperzní závislosti lze vzhledem k jejich téměř monotónním průběhůmod určité hodnoty (viz obr. 2 a 3) nahrazovat po částech parabolou. Po velmi důkladném prověření vlastností integrandů bylo možno navrhnout definitivní algoritmus pro výpočty tohoto typu. Bylo prokázáno, že není možno nahradit disperzní křivky po částech parabolou v intervalu wd=o,1 až tod = 5, jsou-li k dispozici přesné hodnoty ~n a l1n pouz~ pro dělení rod po 0,1. A právě s tímto dělením máme hodnoty ~n a l1n před počítány z předchozí etapy výpočtů. Bylo proto nutné v intervalu 0,1 až 5 dopočítat kořeny rovnic disperzních křivek s dělením po 0,01 a integrály v tomto intervalu zpracovat opět klasickou Simpsonovou metodou s tím, že se počítají přesné hodnoty integrandůa funkce Ft, F, a F 3 se nenahrazují po částech parabolou. Tato část úlohy byla řešena ve spolupráci s Podnikem výpočetní technj.~y v Litoměřicích a zpracoval ji Ing. J.' Volek. Při určování kořenů vypracoval novoutzv. metodu rovnoběžnýchsečen, která podstatně zrychlila jejich výpočet oproti metodě půlení kroku, použité dříve. Popišme nyní stručně tuto metodu. Mějme rovnici f(x) = O, kde funkce f(x) je definována a spojitá v intervalu a <x < b. Předpokládejme, že je znám uzavřený interval (a, (3), kde a >a, f3 < b, pro jehož okrajové body jsou znaménka funkčních hodnot rozdílná, tj. platí f(a)-{(f3) <O. Dále předpokládejme, že v intervalu (a, (3) existuje pouze jeden kořen ě, pro který platíf(~)=o.spojnice

7 STROJNiCKY CASOPIS 28, 1911, Č SI bodů f(a) a [(fj) (viz obr. 4) určí na ose x první aproximaci kořene ;, rovnou hodnotě {3-a Xl = a - [(a) [({3) - f(a), obdobnou jako podle metody regula falsi. Přímka S2 vedená bodem [(Xl) rovnoběžně s přímkou SI protne osu x v bodě X2' f{xl Obr. 4 - PHC. 4 - Fig. 4 f[xji flsl x Jestliže nyní: a) Xz E (;, XI), potom nové {3 položíme rovno x, a předchozí postup opakujeme, b) X2 E (a, ;), potom nové a položíme rovno X z a předchozí postup opakujeme, c) xz<a, potom bodem [(XI) vedeme přímku o směrnici která protíná osu X v novém bodě Xz. Další zpřesnění kořene potom probíhá podle bodu a) nebo b). Výpočet je dokončen, jestliže je dosaženo zvolené relativní přesnosti e, definované vztahem la-{3i::::;;elxll Vlastní výpočtový algoritmus je ovšem složitější než zde uvedený, protože je nutno vždy uvažovat všechny možné průběhyfunkce v intervalu (a, {3). Přednosti této metody rovnoběžných sečen při výpočtu reálných kořenů nelineárních rovníc je to, žěnení např. třeba znát derivace příslušné funkce, nebo že v intervalu (a, tj) může být jak extrém této funkce, tak i inřlexní bod. Po dopočítání potřebného množství kořenů rovnicdisperzních křivek byly v PVT Litoměřicena počítači MINSK 22 vyčíslovány pouze řady, tvořící druhý a třetí čl~n výrazu (1). Bylo opět sčítáno pouze prvních 40 členů těchto řad, a to pro interval' rod od 0,1 do 5. Takto získané hodnoty byly potom sčítánys hodnotami získanými na počítači E 503 v intervalu rod od 5 do 99. Popišme teď tuto etapu výpočtů.jak bylo řečeno dříve, některé části integrandů byly nahrazovány parabolou. Protože první člen ve výrazu (1) neobsahuje kořeny disperzních závislosti, molů být

8 728 STROJNÍCKY ČASOPIS č: 6 vyčíslován v celém integračnímintervalu na počítači E 503 a nahrazován parabolami. Tak od rod =0,1 do rod=25 byl jeho integrand nahrazován parabolou druhého stupně v intervalu délky 0,2. Pro rod = 25 do rod=99 bylo nahrazení parabolou v intervalu délky 1,6. Pro každý dílčí interval je třeba znát tři přesné hodnoty nahrazované funkce. Těmito hodnotami jsou funkční hodnoty na počátku, uprostřed a na konci příslušného intervalu. x/d=10 ~6 2 6 h x Obr. 5 - PHC. 5 - Fig. 5 Pro druhý a třetí člen výrazu (1) byla situace složitější. Zde pro 1. až 10. člen řady měl interval, v němž byl integrand a disperzní křivky nahrazovány parabolou, pro rod=5 až rod =25 délku 0,4 a pro rod =25 do rod =99 délku 1,6. Pro 11. až 40. člen řady pro rod = 5 až do rod = 99 měl náhradní interval délku 0,8. V této etapě výpočtů byly nejprve vypočítány průběhy složek o, a t'xy pro xld= 10 a c2tld= 15. Potom byly počítány průběhy těchto složek napětí pro xld = 5 a c2tld = 15. Pro jednu hodnotu jedné složky napětí byla potřeba 1 hodina strojového času počítačeminsk 22 a 1,5 hodiny strojového času počítačee 503. Současně s výpočty průběhů složek napětí v pásu probíhaly výpočty Timošenkova nosníku, a to pro stejné xlda c-ttd jakou pásu. Byly vyčíslovány jednakvztahy typu (3) pro nosník nekonečný a dále vztahy typu (5) pro nosník konečný. Abychom pro oba tyto vztahy získali výsledky shodné na 4 první cifry, musel být

9 STROJNÍCKY ČASOPIS č u nosníku nekonečné délky pro o, integračníinterval od tj = 0,02 do L1 == 20 a krok Simpsonovy metody, použité k vyčíslení integrálu, byl 0,01. Pro složku t x y musely být hodnoty tj =0,02, L1 =30 a krok roven 0,01. Při vyčíslování vztahu typu (5) muselo být pro složku o, sčítáno 300 prvních členu řady, kdežto pro složku r x y muselo být sčítáno 500 členu řady. Tyto výpočty byly prováděny na stolním kalkulátoru HP 9820 A. Pro výpočet jednoho průběhu jedné složky napětí bylo zapotřebí asi 15 minut strojového času tohoto počítače. To je doba nesrovnatelně kratší, než jakou vyžadují výpočty v pásu. Získané výsledky jsou uvedeny na obr. 5, kde jsou porovnány průběhy obou počítaných složek napětí v obou uvažovaných řezech, a to jak pro stěnový pás (čárkovaná čára), tak i pro Timošenkův nosník (plná čára). Z obrázku je patrná velmi dobrá shoda u složky a., zatímco u složky i x y jsou značné rozdíly. Přitom je zajímavé, že hodnoty i x y prořez x /d = love stěnovém pásu jsou značně větší, než jaké dává Timošenkův nosník, zatímco v řezu x /d = 5 je situace opačná. Na základě těchto prvních srovnání nelze ještě jednoznačně rozhodnout v prospěch či neprospěch jednorozměrných metod. K tomu je potřeba mít více srovnávacího materiálu. Už dnes se však ukazuje, podle.dobré shody průběhu složky a., že v případech, kde bude pro únosnost konstrukce rozhodující tato složka napětí, bude možno použít jednorozměrnémetody. Nebude je možné ovšem použít v blízkém okolí místa rázu a pro velmi krátké časy, srovnatelné s časem potřebným k proběhnutí čela rozruchu přes šířku pásu. 3. Závěr V předkládaném článku je stručně popsán postup, který byl použit při řešení napjatosti stěnového pásu a Timošenkova nosníku příčně nestacionárně zatížených. Je zde ukázáno, s jakými potížemi jsme se museli vypořádat při vyčíslování hlavně napjatosti pásu pro dlouhé časy po začátku působení budícího zatížení. Numerické zpracování úlohy klade velké nároky na číslicovou výpočetní techniku, a to zvláště v případě stěnového pásu. Neporovnatelně jednodušší je situace u Timošenkova nosníku. Přes všechny potíže byly získány originální výsledky, v literatuře zatím nepublikované, které umožňují porovnat napjatost pásu a Timošenkova nosníku. Prvý případ byl řešen přesnou metodou, kdežto druhý byl řešen přibližnou jednorozměrnou metodou. Velmi dobrá shoda podélné složky napětí obou případuukazuje, že tam, kde pro únosnost konstrukce je rozhodující tato složka, bude možno bez většího rizika použít jednoduchou přibližnou metodu. Větší rozdíly se objevují u složky smykového napětí. V pracech na této úloze se bude pokračovata podrobný popis všech získaných výsledku bude uveřejněn v dalším článku.

10 730 STROJNÍCKY CASOPlS 28, 1977, Č. 6 LITERATURA [1] VALEŠ,F.: Výpočet napjatosti příčně nestacionárně zatíženého stěnového pásu. Strojn. Čas., 24, 1973, č. 5. ~ [zl VALEŠ, F.: Napjatost elastického pásu při příčném rázu. Výzkumná zpráva č. Z 355/71 ÚT ČSAV, Praha ~ [31 VALEŠ, F.: Napjatost tenkého nosníku příčně nestacionárně zatíženého ~ Timošenkův VÝPOČtový model. Výzkumná zpráva č. Z 514/76 ÚT ČSAV, Praha ~ [4] VALEŠ, F.: Vyčíslení vztahů pro posuvy a napětí při příčném rázu na pás. Výzkumná zpráva č, Z -t16/73 ÚT ČSAV, Praha [5) VALEŠ, F. ŠEBKOVÁ, H.: The state of stress in non-stationary loaded thin belt, Acta Technica ČSAV, č, 4, Lektor: G. Martinček Rukopis dodaný: 18:

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu.

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu. Ohyb přímých prutů nosníků Ohyb nastává, jestliže v řeu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řeu Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech

Více

studentská kopie 3. Vaznice - tenkostěnná 3.1 Vnitřní (mezilehlá) vaznice

studentská kopie 3. Vaznice - tenkostěnná 3.1 Vnitřní (mezilehlá) vaznice 3. Vaznice - tenkostěnná 3.1 Vnitřní (mezilehlá) vaznice Vaznice bude přenášet pouze zatížení působící kolmo k rovině střechy. Přenos zatížení působícího rovnoběžně se střešní rovinou bude popsán v poslední

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Automatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností

Automatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností Automatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností různých přístrojů a zařízení. (Mechanizace, Automatizace, Komplexní automatizace) Kybernetika je Věda, která zkoumá obecné

Více

1 Použité značky a symboly

1 Použité značky a symboly 1 Použité značky a symboly A průřezová plocha stěny nebo pilíře A b úložná plocha soustředěného zatížení (osamělého břemene) A ef účinná průřezová plocha stěny (pilíře) A s průřezová plocha výztuže A s,req

Více

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01 matematických pojmů a vztahů, k poznávání základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů matematického aparátu Zapisuje a počítá mocniny a odmocniny racionálních čísel Používá pro počítání s mocninami

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA ILUSTRAČNÍ TEST MAIZD4C0T0 Pokyny k hodnocení MATEMATIKA Pokyny k hodnocení úlohy Vyznačte na číselné ose obraz čísla 0,6. 0,6 3 apod. NEDOSTATEČNÉ ŘEŠENÍ Chybně vyznačený obraz, resp. není zřejmé, kde

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Výukový text pro učební obor Technik plynových zařízení Vzdělávací oblast RVP Plynová zařízení a Tepelná technika (mechanika) Pardubice 013 Použitá literatura: Technická

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr.

Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr. . cvičení Klopení nosníků Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr. Ilustrace klopení Obr. Ohýbaný prut a tvar jeho ztráty

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

ZÁKLADNÍ PŘÍPADY NAMÁHÁNÍ

ZÁKLADNÍ PŘÍPADY NAMÁHÁNÍ 7. cvičení ZÁKLADNÍ PŘÍPADY NAMÁHÁNÍ V této kapitole se probírají výpočty únosnosti průřezů (neboli posouzení prvků na prostou pevnost). K porušení materiálu v tlačených částech průřezu dochází: mezní

Více

Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny

Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny Online: http://www.sclpx.eu/lab2r.php?exp=2 V tomto experimentu vycházíme z pojetí klasického pokusu s pružinovým oscilátorem. Z periody kmitů se obvykle

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

D ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU 1. D Algebraická vyjádření tvarové amplitudy mnohostěnu [1]

D ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU 1. D Algebraická vyjádření tvarové amplitudy mnohostěnu [1] D ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU 1 D Algebraická vyjádření tvarové amplitudy mnohostěnu [1] Tvarovou amplitudu mnohostěnu 177) trojrozměrného tělesa V S X) = A exp ikx x) d x, 1) V

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

Vzpěr, mezní stav stability, pevnostní podmínky pro tlak, nepružný a pružný vzpěr Ing. Jaroslav Svoboda

Vzpěr, mezní stav stability, pevnostní podmínky pro tlak, nepružný a pružný vzpěr Ing. Jaroslav Svoboda Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název: Téma: Autor: Číslo: Anotace: Mechanika, pružnost pevnost Vzpěr,

Více

ZDM PŘÍMÉ NOSNÍKY. Příklad č. 1. Miloš Hüttner SMR2 ZDM přímé nosníky cvičení 09. Zadání

ZDM PŘÍMÉ NOSNÍKY. Příklad č. 1. Miloš Hüttner SMR2 ZDM přímé nosníky cvičení 09. Zadání iloš Hüttner SR D přímé nosníky cvičení 09 adání D PŘÍÉ NOSNÍKY Příklad č. 1 Vykreslete průběhy vnitřních sil na konstrukci zobrazené na Obr. 1. Příklad převzat z katedrové wikipedie (originál ke stažení

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Tabulky únosností trapézových profilů ArcelorMittal (výroba Senica)

Tabulky únosností trapézových profilů ArcelorMittal (výroba Senica) Tabulky únosností trapézových profilů ArcelorMittal (výroba Senica) Obsah: 1. Úvod 4 2. Statické tabulky 6 2.1. Vlnitý profil 6 2.1.1. Frequence 18/76 6 2.2. Trapézové profily 8 2.2.1. Hacierba 20/137,5

Více

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Modelování v geotechnice Metoda okrajových prvků (prezentace pro výuku předmětu Modelování v geotechnice) doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D. Inovace studijního

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

KONSTRUKCE POZEMNÍCH STAVEB

KONSTRUKCE POZEMNÍCH STAVEB 6. cvičení KONSTRUKCE POZEMNÍCH STAVEB Klasifikace konstrukčních prvků Uvádíme klasifikaci konstrukčních prvků podle idealizace jejich statického působení. Začneme nejprve obecným rozdělením, a to podle

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup) Průřezová témata, projekty

Více

Ctislav Fiala: Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb

Ctislav Fiala: Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb 16 Optimální hodnoty svázaných energií stropních konstrukcí (Graf. 6) zde je rozdíl materiálových konstant, tedy svázaných energií v 1 kg materiálu vložek nejmarkantnější, u polystyrénu je téměř 40krát

Více

Ve výrobě ocelových konstrukcí se uplatňují následující druhy svařování:

Ve výrobě ocelových konstrukcí se uplatňují následující druhy svařování: 5. cvičení Svarové spoje Obecně o svařování Svařování je technologický proces spojování kovů podmíněného vznikem meziatomových vazeb, a to za působení tepla nebo tepla a tlaku s případným použitím přídavného

Více

Sylabus k přednášce předmětu BK1 SCHODIŠTĚ Ing. Hana Hanzlová, CSc., Ing. Jitka Vašková, CSc.

Sylabus k přednášce předmětu BK1 SCHODIŠTĚ Ing. Hana Hanzlová, CSc., Ing. Jitka Vašková, CSc. Schodiště jsou souborem stavebních prvků (schodišťová ramena, podesty, mezipodesty, podestové nosníky, schodnice a schodišťové stěny), které umožňují komunikační spojení různých výškových úrovní. V budovách

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1 metodický list č. 1 Integrální počet 1 V tomto tématickém celku se posluchači seznámí s některými definicemi, větami a výpočetními metodami užívanými v části matematiky obecně známé jako integrální počet

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Kalibrace a limity její přesnosti

Kalibrace a limity její přesnosti Univerzita Pardubice Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium chemometrie Statistické zpracování dat Kalibrace a limity její přesnosti Zdravotní ústav se sídlem v Ostravě

Více

NUMERICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO PŘENOSU TEPLA V PALIVOVÉ TYČI JADERNÉHO REAKTORU VVER 1000 SVOČ FST 2014

NUMERICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO PŘENOSU TEPLA V PALIVOVÉ TYČI JADERNÉHO REAKTORU VVER 1000 SVOČ FST 2014 NUMERICKÝ MODEL NESTACIONÁRNÍHO PŘENOSU TEPLA V PALIVOVÉ TYČI JADERNÉHO REAKTORU VVER 1000 SVOČ FST 2014 Miroslav Kabát, Západočeská univerzita v Plzni, Univerzitní 8, 306 14 Plzeň Česká republika ABSTRAKT

Více

Matematická a experimentální analýza namáhání rotujícího prstence ovinovacího balicího stroje

Matematická a experimentální analýza namáhání rotujícího prstence ovinovacího balicího stroje Matematická a experimentální analýza namáhání rotujícího prstence ovinovacího balicího stroje Bc. Josef Kamenický Vedoucí práce: Ing. Jiří Mrázek, Ph.D.; Ing. František Starý Abstrakt Tématem této práce

Více

STATICKÉ TABULKY stěnových kazet

STATICKÉ TABULKY stěnových kazet STATICKÉ TABULKY stěnových kazet OBSAH ÚVOD.................................................................................................. 3 SATCASS 600/100 DX 51D................................................................................

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni Abstrakt Současný trend snižování počtu kontaktních hodin ve výuce nutí vyučující

Více

6. Viskoelasticita materiálů

6. Viskoelasticita materiálů 6. Viskoelasticita materiálů Viskoelasticita materiálů souvisí se schopností materiálů tlumit mechanické vibrace. Uvažujme harmonické dynamické namáhání (tzn. střídavě v tahu a tlaku) materiálu v oblasti

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB Pomůcky: LabQuest, sonda čidlo polohy (sonar), nakloněná rovina, vozík, který se může po nakloněné rovině pohybovat Postup: Nakloněnou rovinu umístíme tak, aby svírala s vodorovnou

Více

Numerické řešení rovnice f(x) = 0

Numerické řešení rovnice f(x) = 0 Numerické řešení rovnice f(x) = 0 Přemysl Vihan 9.10.2003 Katedra fyziky, Pedagogická fakulta Univerzity J.E. Purkyně v Ústí n.l. 2. ročník, PMVT-mag. Abstrakt Seminární práce se zabývá numerickým řešením

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Měřítka. Technická dokumentace Ing. Lukáš Procházka. Téma: Měřítka, čáry a technické písmo 1) Měřítka 2) Technické čáry 3) Technické písmo

Měřítka. Technická dokumentace Ing. Lukáš Procházka. Téma: Měřítka, čáry a technické písmo 1) Měřítka 2) Technické čáry 3) Technické písmo Technická dokumentace Ing. Lukáš Procházka Téma: Měřítka, čáry a technické písmo 1) Měřítka 2) Technické čáry 3) Technické písmo Měřítka Měřítka zmenšení (1 : 10000 až 1 : 2) skutečné (1 : 1) zvětšení

Více

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován:

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován: 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou :. ) Určete, pro která R není daný výraz definován: 3) Určete obor hodnot funkce Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) f : y 4 3. 4 8 5 1 4) Vyšetřete vzájemnou

Více

Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu. Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011

Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu. Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011 Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011 Cíle doktorandské práce Seminář 10. 11. 2010 Najít, implementovat, ověřit a do praxe

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Spoje pery a klíny. Charakteristika (konstrukční znaky)

Spoje pery a klíny. Charakteristika (konstrukční znaky) Spoje pery a klíny Charakteristika (konstrukční znaky) Jednoduše rozebíratelná spojení pomocí per, příp. klínů hranolového tvaru (u klínů se skosením na jedné z ploch) vložených do podélných vybrání nebo

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

LANGERŮV TRÁM MOST HOLŠTEJN

LANGERŮV TRÁM MOST HOLŠTEJN LANGERŮV TRÁM MOST HOLŠTEJN Ing. Jiří Španihel, Firesta - Fišer, rekonstrukce, stavby a.s. Konference STATIKA 2014, 11. a 12. června POPIS KONSTRUKCE Most pozemní komunikace přes propadání potoka Bílá

Více

Funkce. Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin.

Funkce. Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin. Funkce Pojem funkce Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce vyjadřuje závislost

Více

ANALÝZA LIDSKÉHO HLASU

ANALÝZA LIDSKÉHO HLASU ANALÝZA LIDSKÉHO HLASU Pomůcky mikrofon MCA-BTA, LabQuest, program LoggerPro (nebo LoggerLite), tabulkový editor Excel, program Mathematica Postup Z každodenní zkušenosti víme, že každý lidský hlas je

Více

Omezení nadměrných průhybů komorových mostů optimalizací vedení předpínacích kabelů

Omezení nadměrných průhybů komorových mostů optimalizací vedení předpínacích kabelů Omezení nadměrných průhybů komorových mostů optimalizací vedení předpínacích kabelů Lukáš Vráblík, Vladimír Křístek 1. Úvod Jedním z nejzávažnějších faktorů ovlivňujících hlediska udržitelné výstavby mostů

Více

MECHANIKA HORNIN A ZEMIN

MECHANIKA HORNIN A ZEMIN MECHANIKA HORNIN A ZEMIN podklady k přednáškám doc. Ing. Kořínek Robert, CSc. Místnost: C 314 Telefon: 597 321 942 E-mail: robert.korinek@vsb.cz Internetové stránky: fast10.vsb.cz/korinek Konsolidace zemin

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

Test Matematika Var: 101

Test Matematika Var: 101 Test Matematika Var: 101 Pokyny: Vyplňte příslušné kolečko odpovídající správné odpovědi u každé otázky ve zvláštním odpovědním formuláři, který Vám byl rozdán spolu se zadáním testu. 1. Přímky p: y =

Více

Náhradní ohybová tuhost nosníku

Náhradní ohybová tuhost nosníku Náhradní ohybová tuhost nosníku Autoři: Doc. Ing. Jiří PODEŠVA, Ph.D., Katedra mechaniky, Fakulta strojní, VŠB - Technická univerzita Ostrava, e-mail: jiri.podesva@vsb.cz Anotace: Výpočty ocelových výztuží

Více

1/7. Úkol č. 9 - Pružnost a pevnost A, zimní semestr 2011/2012

1/7. Úkol č. 9 - Pružnost a pevnost A, zimní semestr 2011/2012 Úkol č. 9 - Pružnost a pevnost A, zimní semestr 2011/2012 Úkol řešte ve skupince 2-3 studentů. Den narození zvolte dle jednoho člena skupiny. Řešení odevzdejte svému cvičícímu. Na symetrické prosté krokevní

Více

Zkouška rázem v ohybu. Autor cvičení: prof. RNDr. B. Vlach, CSc; Ing. Petr Langer. Jméno: St. skupina: Datum cvičení:

Zkouška rázem v ohybu. Autor cvičení: prof. RNDr. B. Vlach, CSc; Ing. Petr Langer. Jméno: St. skupina: Datum cvičení: BUM - 6 Zkouška rázem v ohybu Autor cvičení: prof. RNDr. B. Vlach, CSc; Ing. Petr Langer Jméno: St. skupina: Datum cvičení: Úvodní přednáška: 1) Vysvětlete pojem houževnatost. 2) Popište princip zkoušky

Více

Centrovaná optická soustava

Centrovaná optická soustava Centrovaná optická soustava Dvě lámavé kulové ploch: Pojem centrovaná optická soustava znamená, že splývají optické os dvou či více optických prvků. Základním příkladem takové optické soustav jsou dvě

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

Namáhání na tah, tlak

Namáhání na tah, tlak Namáhání na tah, tlak Pro namáhání na tah i tlak platí stejné vztahy a rovnice. Velikost normálového napětí v tahu, resp. tlaku vypočítáme ze vztahu: resp. kde je napětí v tahu, je napětí v tlaku (dále

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:

Více

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU Úloha č 5 MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU ÚKOL MĚŘENÍ: Určete moment setrvačnosti ruhové a obdélníové desy vzhledem jednotlivým osám z doby yvu Vypočtěte moment setrvačnosti ruhové a obdélníové

Více

Pohyb tělesa (5. část)

Pohyb tělesa (5. část) Pohyb tělesa (5. část) A) Co už víme o pohybu tělesa?: Pohyb tělesa se definuje jako změna jeho polohy vzhledem k jinému tělesu. O pohybu tělesa má smysl hovořit jedině v souvislosti s polohou jiných těles.

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Statické tabulky profilů Z, C a Σ

Statické tabulky profilů Z, C a Σ Statické tabulky profilů Z, C a Σ www.satjam.cz STATICKÉ TABULKY PROFILŮ Z, C A OBSAH PROFIL PRODUKCE..................................................................................... 3 Profi ly Z,

Více

Sklářské a bižuterní materiály 2005/06

Sklářské a bižuterní materiály 2005/06 Sklářské a bižuterní materiály 005/06 Cvičení 4 Výpočet parametru Y z hmotnostních a molárních % Vlastnosti skla a skloviny Viskozita. Viskozitní křivka. Výpočet pomocí Vogel-Fulcher-Tammannovy rovnice.

Více

Derivační spektrofotometrie a rozklad absorpčního spektra

Derivační spektrofotometrie a rozklad absorpčního spektra Derivační spektrofotometrie a rozklad absorpčního spektra Teorie: Derivační spektrofotometrie, využívající derivace absorpční křivky, je obecně používanou metodou pro zvýraznění detailů průběhu záznamu,

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NAMÁHÁNÍ NA OHYB

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NAMÁHÁNÍ NA OHYB Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHNIK DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PVELK V. 14. ČERVENCE 2013 Název zpracovaného celku: NMÁHÁNÍ N OHYB D) VETKNUTÉ NOSNÍKY ZTÍŽENÉ SOUSTVOU ROVNOBĚŽNÝCH SIL ÚLOH 1 Určete maximální

Více

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách

Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky

Více

Propojení matematiky, fyziky a počítačů

Propojení matematiky, fyziky a počítačů Propojení matematiky, fyziky a počítačů Název projektu: Věda pro život, život pro vědu Registrační číslo: CZ..7/.3./45.9 V Ústí n. L., únor 5 Ing. Radek Honzátko, Ph.D. Propojení matematiky, fyziky a počítačů

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

2. LMP SP 3. LMP SP + 2. LMP NSP. operace. Závislosti, vztahy a práce s daty. Závislosti, vztahy a práce s daty. v prostoru

2. LMP SP 3. LMP SP + 2. LMP NSP. operace. Závislosti, vztahy a práce s daty. Závislosti, vztahy a práce s daty. v prostoru ŠVP LMP Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika Obsahové, časové a organizační vymezení vyučovacího předmětu Matematika Vzdělávací obsah předmětu Matematika je utvořen vzdělávacím obsahem vzdělávacího

Více

Matematika a její aplikace Matematika

Matematika a její aplikace Matematika Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Počet hodin : 165 Matematika a její aplikace Matematika 2. období 5. ročník Učební texty : J. Justová: Alter-Matematika, Matematika 5.r.I.díl, 5.r.

Více

Statický výpočet střešního nosníku (oprava špatného návrhu)

Statický výpočet střešního nosníku (oprava špatného návrhu) Statický výpočet střešního nosníku (oprava špatného návrhu) Obsah 1 Obsah statického výpočtu... 3 2 Popis výpočtu... 3 3 Materiály... 3 4 Podklady... 4 5 Výpočet střešního nosníku... 4 5.1 Schéma nosníku

Více

VŠB- Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti. Úvod do MKP Deformační analýza stojanu na kuželky

VŠB- Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti. Úvod do MKP Deformační analýza stojanu na kuželky VŠB- Technická univerzita Ostrava akulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti Úvod do KP Autor: ichal Šofer Verze Ostrava Úvod do KP Zadání: Určete horizontální a vertikální posun volného konce stojanu

Více

Mezi jednotlivými rozhraními resp. na nosníkových prvcích lze definovat kontakty

Mezi jednotlivými rozhraními resp. na nosníkových prvcích lze definovat kontakty Kontaktní prvky Mezi jednotlivými rozhraními resp. na nosníkových prvcích lze definovat kontakty Základní myšlenka Modelování posunu po smykové ploše, diskontinuitě či na rozhraní konstrukce a okolního

Více

předběžný statický výpočet

předběžný statický výpočet předběžný statický výpočet (část: betonové konstrukce) KOMUNITNÍ CENTRUM MATKY TEREZY V PRAZE . Základní informace.. Materiály.. Schéma konstrukce. Zatížení.. Vodorovné konstrukc.. Svislé konstrukce 4.

Více