Porovnání napjatosti nestacionárnězatíženého

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Porovnání napjatosti nestacionárnězatíženého"

Transkript

1 STROJNÍCKY ČAS()PIS 28, 1977,č Porovnání napjatosti nestacionárnězatíženého stěnovéhopásu a Timošenkova nosníku F. VALEŠ, R. BREPTA, J. VOLEK Tento článek, který má charakter předběžného sdělení, navazuje na práci (l], uveřejněnou ve Strojníckem časopise č. 5 z r. 1973, kde bylo popsáno odvození vztahů pro složky napětí ve stěnovém pásu příčně zatíženém a uvedeny výsledky prvních numerických výpočtů pro oblast blízkou místu působení budícího zatížení a též pro krátké časy po začátku jeho působení. Zde jsou popsány jednak výpočty napjatosti ve stěnovém pásu pro větší vzdálenosti od místa zatížení a delší časy a dále řešení napjatosti Timošenkova nosníku. Nakonec jsou uvedeny první výsledky srovnávacích výpočtů napjatosti pásu a Timošenkova nosníku. Použitá označení x, y [ml 2d [ml 2h [ml Go(x, t) [Nm"] GO m [Nm"] o., t'xy [Nm- 2 ] ;n T/n c-ttd, c-itd II a rod 21 '[ml polohové souřadnice, šířka pásu, délka, na níž působí zatížení, budící zatížení, amplituda budícího zatížení, složky normálového a smykového napětí, kořeny rovnice disperzní závislosti pro podélné vlny v pásu, kořeny rovnice disperzní závislosti pro příčné vlny v pásu, bezrozměrné parametry času, Poissonovo číslo, koeficient charakterizující rozložení smykového napětí v průřezu nosníku, bezrozměrná proměnná Fourierova integrálu, délka nosníku, Ing. František Valeš, CSc., ÚT ČSAV, Puškinovo nám. 9, Praha 6, doc. Ing. Rudolf Brepta, DrSc., SjF ČVUT, katedra částí strojů, Technická 4, Praha 6, Ing. Jan Volek, PVT, Vavřinecká 13, Litoměřice, ČSSR

2 722 [ms-i] (ms-i] (} [kgm"] Cz C3 STROJNÍCKY ČASOPIS 28, 1977, Č. 6 - rychlost příčných vln v kontinuu, - rychlost dilatačních vln v dvojrozměrném kontinuu, ~ měrná hmotnost. 1. Úvod Podrobný popis o vzniku této úlohy a analytické řešení napjatosti pásu a Timošenkova nosníku je popsáno ve zprávách [2] a [3]. Výpočty napjatosti v pásu pro krátké časy jsou popsány v pracech [4] a [5]. E IDO x Obr. 1 - Pne. 1 - Fig. 1 Uveďme nyní ve stručnosti některé základní poznatky z předchozích prací. Úloha' vznikla ze snahy určit přesnost, resp. vymezit obor platnosti jednorozměrných metod používaných při řešení příčného rázu tělesa na nosník. V technické praxi se všeobecně používají tyto přibližné metody, založené na předpokladu o platnosti BernouHiovy-Navierovy hypotézy, platící pro statický ohyb tenkých prutů. Důsledky této hypotézy použité při rázovém zatížení se projevují nejvýrazněji v blízkém okolí místa rázu a pro časy velmi krátké po začátku rázu, kdy je zde trojosá napjatost. Přesné analytické řešení rázu tělesa na nosník, při uvažování trojrozměrné napjatosti, není současnými prostředky matematiky možné. Je však možné řešit úlohu dvojrozměrnou,a to za předpokladu, že je rázová síla nahrazena předepsanýmspojitým zatížením. Proto vznikla myšlenka řešit napjatost stěnového nekonečně dlouhého pás,,!.zatíženého příčně předepsaným napětím a obdobnou úlohu potom řešit pomocí některé jednorozměrné metody. Porovnáním těchto dvou řešení, kdy prvé z nich může být pokládáno za přesné, můžeme určit přesnost nebo obor platnosti jednorozměrných metod. Na obr. 1 je uvedeno schéma úlohy o stěnovém pásu. Neomezeně dlouhý stěnový pás má šířku 2d a leží v souřadnicovém systému O, x, y. Na délce 2h jednoho okraje působív rovině pásu budící napětí (Jo(x, t), jehož Závislost na čase t je dána skokovou funkcí. Jeho Závislost na polohové souřadnici x byla zvolena kosinusová, aby pozdější numerické výpočty byly pokud možno co nejlevnější.

3 STROJNÍCKY ČASOPIS 28, 1977, Č Řešení vycházelo z pohybových rovnic rovinného kontinua. Pohyb nedeformovaného pásu začínal z klidu. Tím jsou dány počátečnípodmínky. Okrajové podmínky vyjadřují stav napětí na okrajích pásu. Pohybové rovnice byly transformovány pomocí Laplaceovy-Carsonovy transformace pro čas t. Řešení transformovaných rovnic bylo voleno ve tvaru Fourierova integrálu. Po provedení zpětné transformace byly získány výrazy pro složky posuvů a napětí ve tvaru součtů nevlastních integrálů. Uveďme schematicky" bezrozměrný tvar tohoto výrazu pro složku napětí (lx -h 4d i~ (lx = F 1(y /d, rod) cos(x/d'rod) d(rod) + (lom O + ~ i~f2(y/d, ;n, rod) cos (x/d. rod) c~s(c2t/d ';n. rod) d{rod)+ (1) + n~ i~f3(y/d, 11n, rod) cos(~/d' rod) cos (c 3t/d '11n' rod) d(rod), kde x/d, y/d, c-tld, c-ttd jsou bezrozměrnépolohové souřadnice a bezrozměrné parametry času, rod je bezrozměrná proměnná Fourierova integrálu, ;n, 11n jsou kořeny rovnic disperzních závislostí pro podélné a příčné vlny v pásu. Rovnice disperzních závislostí mají tvar [2 - ;2]2cosh[rodY1- kl; 2] sinh [rody1- ;2]_ - 4Y1- kl; 2Y1- ;2 sinh [rody1- kl; 2] cosh [rody1- ;2] = 0, 4Y1- k T11 2 Y1-7]2 sinh [rody1- k T11 2 ] cosh [rody1-11 2]- (2) kde - [2- kt7]2ycosh[rody1- kt1]2] sinh [rody1 ~ 1]2] = 0, 1:-/1 k; =--2-' 1 kt = kl. Rozborem těchto transcendentních rovnic zjistíme, že ke každé hodnotě rod ~0 existuje nekonečně mnoho hodnot ě, resp. 11, které označíme indexem n, probíhajícím od jedné do nekonečna; podle tohoto indexu se sčítá v řadách ve výrazu (1). Znázorníme-li tyto závislosti graficky, potom všechny kořeny stejného indexu n tvoří tzv. n-tou větev disperzních křivek. Schematicky jsou vybrané disperzní křivky zobrazeny na Obr. 2 a obr. 3. Obdobná úloha byla také řešena pomocí jednorozměrnéteorie. Místo stěnového

4 724 STROJNÍCKY tasopis , Č. 6 5 /n 3H-Hi-~~~-+-7't-+--;----I l,~~ 15 o cod Obr. 2~Pllc.2~Fig. 2 ~=1 o Obr. 3 ~ Pac, 3 ~ Fig. 3 pásu byl úvažovan velmi štíhlý nosník obdélníkového průřezu, aby se co nejvíce přiblížil tvarem průřezu pásu. Podmínky řešení byly stejné jako u pásu. Byl řešen jednak nosník nekonečné délky a dále nosník konečný. Nosník konečné délky byl řešen také klasickou Bernoulliovou metodou bez transformace. Pro nekonečný nosník platí např. pro složku napětí o, vztah 4d ~ 6 fl. L"'{_l~ ±cos [(Czl/d)';n.(wd)\!2(l + II)]}. aomh a x - d 6 (wdy+ n~1 (wd)z[2k7;~-(1+k7);~]-3;~ kde cozs [(h/d)'(wd)].cos [(x/d)'(w4)] d(wd), (3) (~) - [(h/d)'(wd)y k 7 = 2(1 +ll) a ' ~ je bezrozměrná příčná souřadnice bodu průřezu, wd je proměnná Fourierova integrálu, ;n jsou v tomto případě kořeny disperzní závislosti Timošenkova nosníku, 6,4 je dolní, resp. horní mez integrálu -- blíže popsáno v práci [3]. Disperzní závislost má tvar

5 STROJNfCKY ČASOPIS ", Č. 6 f: _ Iks+Vk~-4k7(rodt,:>1.2- " 2k 7(rod)2, 725 (4) kde k s=3+(rody'(i+k7) a kde pro index 1 platí pod odmocninou znaménko minus a pro index.z platí znaménko plus. Pro nosník konečné délky 21, řešený pomocí Laplaceovy transformace i klasickou metodou, platí společný výraz (opět uvádíme výraz pro složku (J%) 4d. d ~ -.{ (J = 6Jl ~.- 2: (Jomh x I d n~l (njldlw cos [(njldll)' (hld)] (JlI2Y - [(njldll)' (hld)y.cos [(x Id)' (njldll)], (5) kde ;1.2 plyne opět ze vztahu (4), dosadíme-li místo proměnné (rod) proměnnou (njldll). Nosník konečné délky byl řešen jako nepodepřený.žádné zvláštní potíže však nepůsobí řešení nosníku konečné délky, který je na koncích podepřen. Numerické výpočty vztahů (1) až (5) byly značně náročné, a to zvláštěpokud jde o výrazy (1) a (2). Druhý a třetí člen výrazu (1) je tvořen nekonečnou řadou nevlastních integrálů. Tyto řady jsou příčinou všech obtíží. Pro časy, kdy čelo rozruchu proběhne od místa působení budícího zatížení dráhu dlouhou řádově jen několik šířek pásu, jsme vystačili při vyčíslování nevlastních integrálů s klasickou jednotřetinovou Simpsonovou metodou. Pro požadovanou několikaprocentnírelativní přesnost stačilo sčítat prvních 40 členů řad, integrační interval mohl být od 0,1 do 100 a nejmenší krok Simpsonovy metody 0,1. Protože v integrandech integrálů řad vystupujíjako parametry kořeny ;n a 7}n, musely být v dostatečném počtu k dispozici před vlastním výpočtem integrálů. Pro každou z rovnic (2) bylo určeno pro každé n od jedné do čtyřiceti 1000 kořenů. Dohromady tedy bylo předpočítáno hodnot a teprve potom mohly být vyčísleny integrály. Tento postup vyhověl při výpočtech průběhů složek napětí v řezech až do hodnot xld = 4 a pro časy dané parametrem c-tld nejvýše 3. V této etapě výpočtů nebyly porovnány průběhy složek napětí v pásu s napětími Timošenkova nosníku. To bylo cílem až dalších výpočtů. Všechny až dosud popsané výpočty byly vykonány na počítači ELLIOTT 503.

6 726 STROJNÍCKY éasofis 28, 1977, Č Porovnániupjatosti púu ft Timošenkova nosm'ku pro dlouhé časy. Podstatně složitější situace nastane, budeme-li chtít počítat průběhy složek napětí v pásu pro větší hodnoty xld a c-tld, než které byly uvedeny v předchozím odstavci. Aplikace stejného postupu jako při předcházejícíchvýpočtechby vedla k velkému prodloužení výpočtových časů. Bylo proto nutno použít ekonomičtější metodu. Větším hodnotám xld a c-ttd odpovídá velké zhuštění nulových bodů integrandů v (1), a to díky velkému počtu nulových bodů příslušných trigonometrických funkcí. Vzhledem k možnostem použitého počítače E 503 byly jako největší možné hodnoty zvoleny xld = 10 a Cz/Id = 15 (tomu odpovídá c3/ld==25, 35). Při této volbě mají funkce Ft, F«, F 3 na celém užitém integračním intervalu, tj. od 0,1 do 99, pouze několiknulových bodů. Jejich vyčíslení však, vzhledem k jejich složitosti, zabere podstatnou část strojového času při výpočtu hodnoty integrandu. Pro zvolené hodnoty xld a Cz/Id musí být krok Simpsonovy metody rovný 0,01, což znamená, že musí být vypočteno téměř hodnot integrandů každého integrálu. Počítat funkce Ft, F, a F 3 podle přesných vztahů není vzhledem ke spotřebě strojového času možné a vedlo by k nereálným nárokům na strojový čas. Byla proto navržena metoda, podle níž se počítají přesně všechny trigonometrické funkce, kdežto funkce Ft, F«a F 3 se přesně počítají jenom v určitých bodech integračníhointervalu a mezi těmito body se nahrazují parabolou. To je umožněno právě jejich pomalou změnouv důsledku malého počtu nulových bodů. Stejně tak disperzní závislosti lze vzhledem k jejich téměř monotónním průběhůmod určité hodnoty (viz obr. 2 a 3) nahrazovat po částech parabolou. Po velmi důkladném prověření vlastností integrandů bylo možno navrhnout definitivní algoritmus pro výpočty tohoto typu. Bylo prokázáno, že není možno nahradit disperzní křivky po částech parabolou v intervalu wd=o,1 až tod = 5, jsou-li k dispozici přesné hodnoty ~n a l1n pouz~ pro dělení rod po 0,1. A právě s tímto dělením máme hodnoty ~n a l1n před počítány z předchozí etapy výpočtů. Bylo proto nutné v intervalu 0,1 až 5 dopočítat kořeny rovnic disperzních křivek s dělením po 0,01 a integrály v tomto intervalu zpracovat opět klasickou Simpsonovou metodou s tím, že se počítají přesné hodnoty integrandůa funkce Ft, F, a F 3 se nenahrazují po částech parabolou. Tato část úlohy byla řešena ve spolupráci s Podnikem výpočetní technj.~y v Litoměřicích a zpracoval ji Ing. J.' Volek. Při určování kořenů vypracoval novoutzv. metodu rovnoběžnýchsečen, která podstatně zrychlila jejich výpočet oproti metodě půlení kroku, použité dříve. Popišme nyní stručně tuto metodu. Mějme rovnici f(x) = O, kde funkce f(x) je definována a spojitá v intervalu a <x < b. Předpokládejme, že je znám uzavřený interval (a, (3), kde a >a, f3 < b, pro jehož okrajové body jsou znaménka funkčních hodnot rozdílná, tj. platí f(a)-{(f3) <O. Dále předpokládejme, že v intervalu (a, (3) existuje pouze jeden kořen ě, pro který platíf(~)=o.spojnice

7 STROJNiCKY CASOPIS 28, 1911, Č SI bodů f(a) a [(fj) (viz obr. 4) určí na ose x první aproximaci kořene ;, rovnou hodnotě {3-a Xl = a - [(a) [({3) - f(a), obdobnou jako podle metody regula falsi. Přímka S2 vedená bodem [(Xl) rovnoběžně s přímkou SI protne osu x v bodě X2' f{xl Obr. 4 - PHC. 4 - Fig. 4 f[xji flsl x Jestliže nyní: a) Xz E (;, XI), potom nové {3 položíme rovno x, a předchozí postup opakujeme, b) X2 E (a, ;), potom nové a položíme rovno X z a předchozí postup opakujeme, c) xz<a, potom bodem [(XI) vedeme přímku o směrnici která protíná osu X v novém bodě Xz. Další zpřesnění kořene potom probíhá podle bodu a) nebo b). Výpočet je dokončen, jestliže je dosaženo zvolené relativní přesnosti e, definované vztahem la-{3i::::;;elxll Vlastní výpočtový algoritmus je ovšem složitější než zde uvedený, protože je nutno vždy uvažovat všechny možné průběhyfunkce v intervalu (a, {3). Přednosti této metody rovnoběžných sečen při výpočtu reálných kořenů nelineárních rovníc je to, žěnení např. třeba znát derivace příslušné funkce, nebo že v intervalu (a, tj) může být jak extrém této funkce, tak i inřlexní bod. Po dopočítání potřebného množství kořenů rovnicdisperzních křivek byly v PVT Litoměřicena počítači MINSK 22 vyčíslovány pouze řady, tvořící druhý a třetí čl~n výrazu (1). Bylo opět sčítáno pouze prvních 40 členů těchto řad, a to pro interval' rod od 0,1 do 5. Takto získané hodnoty byly potom sčítánys hodnotami získanými na počítači E 503 v intervalu rod od 5 do 99. Popišme teď tuto etapu výpočtů.jak bylo řečeno dříve, některé části integrandů byly nahrazovány parabolou. Protože první člen ve výrazu (1) neobsahuje kořeny disperzních závislosti, molů být

8 728 STROJNÍCKY ČASOPIS č: 6 vyčíslován v celém integračnímintervalu na počítači E 503 a nahrazován parabolami. Tak od rod =0,1 do rod=25 byl jeho integrand nahrazován parabolou druhého stupně v intervalu délky 0,2. Pro rod = 25 do rod=99 bylo nahrazení parabolou v intervalu délky 1,6. Pro každý dílčí interval je třeba znát tři přesné hodnoty nahrazované funkce. Těmito hodnotami jsou funkční hodnoty na počátku, uprostřed a na konci příslušného intervalu. x/d=10 ~6 2 6 h x Obr. 5 - PHC. 5 - Fig. 5 Pro druhý a třetí člen výrazu (1) byla situace složitější. Zde pro 1. až 10. člen řady měl interval, v němž byl integrand a disperzní křivky nahrazovány parabolou, pro rod=5 až rod =25 délku 0,4 a pro rod =25 do rod =99 délku 1,6. Pro 11. až 40. člen řady pro rod = 5 až do rod = 99 měl náhradní interval délku 0,8. V této etapě výpočtů byly nejprve vypočítány průběhy složek o, a t'xy pro xld= 10 a c2tld= 15. Potom byly počítány průběhy těchto složek napětí pro xld = 5 a c2tld = 15. Pro jednu hodnotu jedné složky napětí byla potřeba 1 hodina strojového času počítačeminsk 22 a 1,5 hodiny strojového času počítačee 503. Současně s výpočty průběhů složek napětí v pásu probíhaly výpočty Timošenkova nosníku, a to pro stejné xlda c-ttd jakou pásu. Byly vyčíslovány jednakvztahy typu (3) pro nosník nekonečný a dále vztahy typu (5) pro nosník konečný. Abychom pro oba tyto vztahy získali výsledky shodné na 4 první cifry, musel být

9 STROJNÍCKY ČASOPIS č u nosníku nekonečné délky pro o, integračníinterval od tj = 0,02 do L1 == 20 a krok Simpsonovy metody, použité k vyčíslení integrálu, byl 0,01. Pro složku t x y musely být hodnoty tj =0,02, L1 =30 a krok roven 0,01. Při vyčíslování vztahu typu (5) muselo být pro složku o, sčítáno 300 prvních členu řady, kdežto pro složku r x y muselo být sčítáno 500 členu řady. Tyto výpočty byly prováděny na stolním kalkulátoru HP 9820 A. Pro výpočet jednoho průběhu jedné složky napětí bylo zapotřebí asi 15 minut strojového času tohoto počítače. To je doba nesrovnatelně kratší, než jakou vyžadují výpočty v pásu. Získané výsledky jsou uvedeny na obr. 5, kde jsou porovnány průběhy obou počítaných složek napětí v obou uvažovaných řezech, a to jak pro stěnový pás (čárkovaná čára), tak i pro Timošenkův nosník (plná čára). Z obrázku je patrná velmi dobrá shoda u složky a., zatímco u složky i x y jsou značné rozdíly. Přitom je zajímavé, že hodnoty i x y prořez x /d = love stěnovém pásu jsou značně větší, než jaké dává Timošenkův nosník, zatímco v řezu x /d = 5 je situace opačná. Na základě těchto prvních srovnání nelze ještě jednoznačně rozhodnout v prospěch či neprospěch jednorozměrných metod. K tomu je potřeba mít více srovnávacího materiálu. Už dnes se však ukazuje, podle.dobré shody průběhu složky a., že v případech, kde bude pro únosnost konstrukce rozhodující tato složka napětí, bude možno použít jednorozměrnémetody. Nebude je možné ovšem použít v blízkém okolí místa rázu a pro velmi krátké časy, srovnatelné s časem potřebným k proběhnutí čela rozruchu přes šířku pásu. 3. Závěr V předkládaném článku je stručně popsán postup, který byl použit při řešení napjatosti stěnového pásu a Timošenkova nosníku příčně nestacionárně zatížených. Je zde ukázáno, s jakými potížemi jsme se museli vypořádat při vyčíslování hlavně napjatosti pásu pro dlouhé časy po začátku působení budícího zatížení. Numerické zpracování úlohy klade velké nároky na číslicovou výpočetní techniku, a to zvláště v případě stěnového pásu. Neporovnatelně jednodušší je situace u Timošenkova nosníku. Přes všechny potíže byly získány originální výsledky, v literatuře zatím nepublikované, které umožňují porovnat napjatost pásu a Timošenkova nosníku. Prvý případ byl řešen přesnou metodou, kdežto druhý byl řešen přibližnou jednorozměrnou metodou. Velmi dobrá shoda podélné složky napětí obou případuukazuje, že tam, kde pro únosnost konstrukce je rozhodující tato složka, bude možno bez většího rizika použít jednoduchou přibližnou metodu. Větší rozdíly se objevují u složky smykového napětí. V pracech na této úloze se bude pokračovata podrobný popis všech získaných výsledku bude uveřejněn v dalším článku.

10 730 STROJNÍCKY CASOPlS 28, 1977, Č. 6 LITERATURA [1] VALEŠ,F.: Výpočet napjatosti příčně nestacionárně zatíženého stěnového pásu. Strojn. Čas., 24, 1973, č. 5. ~ [zl VALEŠ, F.: Napjatost elastického pásu při příčném rázu. Výzkumná zpráva č. Z 355/71 ÚT ČSAV, Praha ~ [31 VALEŠ, F.: Napjatost tenkého nosníku příčně nestacionárně zatíženého ~ Timošenkův VÝPOČtový model. Výzkumná zpráva č. Z 514/76 ÚT ČSAV, Praha ~ [4] VALEŠ, F.: Vyčíslení vztahů pro posuvy a napětí při příčném rázu na pás. Výzkumná zpráva č, Z -t16/73 ÚT ČSAV, Praha [5) VALEŠ, F. ŠEBKOVÁ, H.: The state of stress in non-stationary loaded thin belt, Acta Technica ČSAV, č, 4, Lektor: G. Martinček Rukopis dodaný: 18:

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu.

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu. Ohyb přímých prutů nosníků Ohyb nastává, jestliže v řeu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řeu Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

KONSTRUKCE POZEMNÍCH STAVEB

KONSTRUKCE POZEMNÍCH STAVEB 6. cvičení KONSTRUKCE POZEMNÍCH STAVEB Klasifikace konstrukčních prvků Uvádíme klasifikaci konstrukčních prvků podle idealizace jejich statického působení. Začneme nejprve obecným rozdělením, a to podle

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Matematika a její aplikace Matematika

Matematika a její aplikace Matematika Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Počet hodin : 165 Matematika a její aplikace Matematika 2. období 5. ročník Učební texty : J. Justová: Alter-Matematika, Matematika 5.r.I.díl, 5.r.

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr.

Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr. . cvičení Klopení nosníků Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr. Ilustrace klopení Obr. Ohýbaný prut a tvar jeho ztráty

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Omezení nadměrných průhybů komorových mostů optimalizací vedení předpínacích kabelů

Omezení nadměrných průhybů komorových mostů optimalizací vedení předpínacích kabelů Omezení nadměrných průhybů komorových mostů optimalizací vedení předpínacích kabelů Lukáš Vráblík, Vladimír Křístek 1. Úvod Jedním z nejzávažnějších faktorů ovlivňujících hlediska udržitelné výstavby mostů

Více

Statický výpočet střešního nosníku (oprava špatného návrhu)

Statický výpočet střešního nosníku (oprava špatného návrhu) Statický výpočet střešního nosníku (oprava špatného návrhu) Obsah 1 Obsah statického výpočtu... 3 2 Popis výpočtu... 3 3 Materiály... 3 4 Podklady... 4 5 Výpočet střešního nosníku... 4 5.1 Schéma nosníku

Více

Příloha č. 4 Matematika Ročník: 4. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo Přesahy (průřezová témata)

Příloha č. 4 Matematika Ročník: 4. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo Přesahy (průřezová témata) Příloha č. 4 Matematika Ročník: 4. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo Přesahy (průřezová témata) Číslo a početní operace - využívá při pamětném i písemném počítání komutativnost a asociativnost

Více

Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník

Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Matematika a její aplikace Matematika 1. období 3. ročník Počet hodin : 165 Učební texty : H. Staudková : Matematika č. 7 (Alter) R. Blažková : Matematika

Více

3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) Charakteristika vzdělávací oblasti

3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) Charakteristika vzdělávací oblasti 3.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE (M) 51 Charakteristika vzdělávací oblasti Vzdělávací oblast matematika a její aplikace v základním vzdělávání je založena především na aktivních činnostech, které jsou typické

Více

BETONOVÉ A ZDĚNÉ KONSTRUKCE 1. Dimenzování - Deska

BETONOVÉ A ZDĚNÉ KONSTRUKCE 1. Dimenzování - Deska BETONOVÉ A ZDĚNÉ KONSTRUKCE 1 Dimenzování - Deska Dimenzování - Deska Postup ve statickém výpočtu (pro BEK1): 1. Nakreslit navrhovaný průřez 2. Určit charakteristické hodnoty betonu 3. Určit charakteristické

Více

* Modelování (zjednodušení a popis) tvaru konstrukce. pruty

* Modelování (zjednodušení a popis) tvaru konstrukce. pruty 2. VNITŘNÍ SÍLY PRUTU 2.1 Úvod * Jak konstrukce přenáší atížení do vaeb/podpor? Jak jsou prvky konstrukce namáhány? * Modelování (jednodušení a popis) tvaru konstrukce. pruty 1 Prut: konstrukční prvek,

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

φ φ d 3 φ : 5 φ d < 3 φ nebo svary v oblasti zakřivení: 20 φ

φ φ d 3 φ : 5 φ d < 3 φ nebo svary v oblasti zakřivení: 20 φ KONSTRUKČNÍ ZÁSADY, kotvení výztuže Minimální vnitřní průměr zakřivení prutu Průměr prutu Minimální průměr pro ohyby, háky a smyčky (pro pruty a dráty) φ 16 mm 4 φ φ > 16 mm 7 φ Minimální vnitřní průměr

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 6. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace zaokrouhluje, provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor porovnává

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Žák cvičí prostorovou představivost Žák využívá při paměťovém i písemném počítání komutativnost i asociativní sčítání a násobení Žák provádí písemné početní operace v oboru Opakování učiva 3. ročníku Písemné

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Numerické algoritmy KAPITOLA 11. Vyhledávání nulových bodů funkcí

Numerické algoritmy KAPITOLA 11. Vyhledávání nulových bodů funkcí Numerické algoritmy KAPITOLA 11 V této kapitole: Vyhledávání nulových bodů funkcí Iterativní výpočet hodnot funkce Interpolace funkcí Lagrangeovou metodou Derivování funkcí Integrování funkcí Simpsonovou

Více

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky.

Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Základní otázky pro teoretickou část zkoušky. Platí shodně pro prezenční i kombinovanou formu studia. 1. Síla současně působící na elektrický náboj v elektrickém a magnetickém poli (Lorentzova síla) 2.

Více

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté

Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Matematika DÍL I. Charakteristika předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu

Matematika DÍL I. Charakteristika předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu Matematika DÍL I. Charakteristika předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu Vyučovací předmět Matematika je zařazen v 1. - 10. ročníku v hodinové dotaci 2 (na I. stupni ) a 3 (na II. stupni)

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

Matematika a její aplikace Matematika

Matematika a její aplikace Matematika Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Počet hodin : 165 Učební texty : Matematika a její aplikace Matematika 1. období 2. ročník Mgr. M. Novotný, F. Novák: Matýskova matematika 4.,5.,6.díl

Více

Jednotný programový dokument pro cíl 3 regionu (NUTS2) hl. m. Praha (JPD3)

Jednotný programový dokument pro cíl 3 regionu (NUTS2) hl. m. Praha (JPD3) Jednotný programový dokument pro cíl 3 regionu (NUTS2) hl. m. Praha (JPD3) Projekt DALŠÍ VZDĚLÁVÁNÍ PEDAGOGŮ V OBLASTI NAVRHOVÁNÍ STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ PODLE EVROPSKÝCH NOREM Projekt je spolufinancován

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NAMÁHÁNÍ NA OHYB

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. NAMÁHÁNÍ NA OHYB Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHNIK DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PVELK V. 14. ČERVENCE 2013 Název zpracovaného celku: NMÁHÁNÍ N OHYB D) VETKNUTÉ NOSNÍKY ZTÍŽENÉ SOUSTVOU ROVNOBĚŽNÝCH SIL ÚLOH 1 Určete maximální

Více

GlobalFloor. Cofrastra 40 Statické tabulky

GlobalFloor. Cofrastra 40 Statické tabulky GlobalFloor. Cofrastra 4 Statické tabulky Cofrastra 4. Statické tabulky Cofrastra 4 žebrovaný profil pro kompozitní stropy Tloušťka stropní desky až cm Použití Profilovaný plech Cofrastra 4 je určen pro

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět : Matematika Ročník: 1. Výstup Učivo Průřezová témata,

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět : Matematika Ročník: 1. Výstup Učivo Průřezová témata, 5.1.2.2 Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět : Matematika Ročník: 1. Výstup Učivo Průřezová témata, Zná číslice 1 až 20, umí je napsat a

Více

K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR

K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR K metodám převodu souřadnic mezi ETRS 89 a S-JTSK na území ČR Vlastimil Kratochvíl * Příspěvek obsahuje popis vlastností některých postupů, využitelných pro transformaci souřadnic mezi geodetickými systémy

Více

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Matematika 3. období 6. ročník J.Coufalová : Matematika pro 6.ročník ZŠ (Fortuna) O.Odvárko,J.Kadleček : Sbírka úloh z matematiky pro 6.ročník ZŠ (Prometheus)

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 5. ročník Zpracovala: Mgr. Jiřina Hrdinová Číslo a početní operace Využívá při pamětném i písemném počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení

Více

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce

MATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický

Více

ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptylkách. PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk

ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptylkách. PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptlkách PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk Optická soustava - je soustava optických prostředí a jejich rozhraní, která mění směr chodu světelných

Více

Projekt 3. Zastřešení sportovní haly založené na konceptu Leonardova mostu: statická analýza

Projekt 3. Zastřešení sportovní haly založené na konceptu Leonardova mostu: statická analýza Projekt 3 Zastřešení sportovní haly založené na konceptu Leonardova mostu: statická analýza Vypracovala: Bc. Karolína Mašková Vedoucí projektu: Doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D. Konzultace: Ing. Ladislav Svoboda,

Více

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku. Pracoval: Jakub Michálek

PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku. Pracoval: Jakub Michálek Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. úloha č. 10 Název: Rychlost šíření zvuku Pracoval: Jakub Michálek stud. skup. 15 dne: 20. března 2009 Odevzdal dne: Možný

Více

Zakládání ve Scia Engineer

Zakládání ve Scia Engineer Apollo Bridge Apollo Bridge Architect: Ing. Architect: Miroslav Ing. Maťaščík Miroslav Maťaščík - Alfa 04 a.s., - Alfa Bratislava 04 a.s., Bratislava Design: DOPRAVOPROJEKT Design: Dopravoprojekt a.s.,

Více

Matematika a její aplikace - 1. ročník

Matematika a její aplikace - 1. ročník Matematika a její aplikace - 1. ročník počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20 užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 22 úloh. Časový limit pro

Více

zákona č. 26/1964 Sb., o vnitrozemské plavbě, ve znění zákona č. 126/1974 Sb.:

zákona č. 26/1964 Sb., o vnitrozemské plavbě, ve znění zákona č. 126/1974 Sb.: 27 Výnos Federálního ministerstva dopravy ze dne 30. září 1976, kterým se vydává Řád pro cejchování lodí vnitrozemské plavby Federální ministerstvo dopravy stanoví v dohodě se zúčastněnými ústředními orgány

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

NEXIS 32 rel. 3.70 Betonové konstrukce referenční příručka

NEXIS 32 rel. 3.70 Betonové konstrukce referenční příručka SCIA CZ, s. r. o. Slavíčkova 1a 638 00 Brno tel. 545 193 526 545 193 535 fax 545 193 533 E-mail info.brno@scia.cz www.scia.cz Systém programů pro projektování prutových a stěnodeskových konstrukcí NEXIS

Více

Přehled vhodných metod georeferencování starých map

Přehled vhodných metod georeferencování starých map Přehled vhodných metod georeferencování starých map ČVUT v Praze, katedra geomatiky 12. 3. 2015 Praha Georeferencování historická mapa vs. stará mapa georeferencování umístění obrazu mapy do referenčního

Více

Derivační spektrofotometrie a rozklad absorpčního spektra

Derivační spektrofotometrie a rozklad absorpčního spektra Derivační spektrofotometrie a rozklad absorpčního spektra Teorie: Derivační spektrofotometrie, využívající derivace absorpční křivky, je obecně používanou metodou pro zvýraznění detailů průběhu záznamu,

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Optické zobrazování Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Základní pojmy Optické zobrazování - pomocí paprskové (geometrické) optiky - využívá model světelného

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

INOVACE ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH ZAMĚŘENÉ NA VYUŽÍVÁNÍ ENERGETICKÝCH ZDROJŮ PRO 21. STOLETÍ A NA JEJICH DOPAD NA ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ

INOVACE ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH ZAMĚŘENÉ NA VYUŽÍVÁNÍ ENERGETICKÝCH ZDROJŮ PRO 21. STOLETÍ A NA JEJICH DOPAD NA ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ INOVACE ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ NA STŘEDNÍCH ŠKOLÁCH ZAMĚŘENÉ NA VYUŽÍVÁNÍ ENERGETICKÝCH ZDROJŮ PRO 21. STOLETÍ A NA JEJICH DOPAD NA ŽIVOTNÍ PROSTŘEDÍ CZ.1.07/1.1.00/08.0010 NUMERICKÉ SIMULACE ING. KATEŘINA

Více

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-16 Téma: Práce a energie Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TEST Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso 1 Účinnost

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Cvičebnice stavební mechaniky

Cvičebnice stavební mechaniky Cvičebnice stavební mechaniky Ing. Karla Labudová. vydání Tato příručka vznikla za finanční podpory Evropského sociálního fondu a rozpočtu České republiky. Obsah Síly působící v jednom paprsku 7. Dvě síly

Více

TECHNICKÁ ZPRÁVA. Geodetické zaměření Neštěmického potoka Geodetické zaměření Neštěmického potoka v úseku 0-3,632 ř. km.

TECHNICKÁ ZPRÁVA. Geodetické zaměření Neštěmického potoka Geodetické zaměření Neštěmického potoka v úseku 0-3,632 ř. km. TECHNICKÁ ZPRÁVA Číslo zakázky: Název zakázky: Název akce: Obec: Katastrální území: Objednatel: Měření zadal: Geodetické zaměření Neštěmického potoka Geodetické zaměření Neštěmického potoka v úseku 0-3,632

Více

6. Geometrie břitu, řezné podmínky. Abychom mohli určit na nástroji jednoznačně jeho geometrii, zavádíme souřadnicový systém tvořený třemi rovinami:

6. Geometrie břitu, řezné podmínky. Abychom mohli určit na nástroji jednoznačně jeho geometrii, zavádíme souřadnicový systém tvořený třemi rovinami: 6. Geometrie břitu, řezné podmínky Abychom mohli určit na nástroji jednoznačně jeho geometrii, zavádíme souřadnicový systém tvořený třemi rovinami: Základní rovina Z je rovina rovnoběžná nebo totožná s

Více

PROBLÉMY STABILITY. 9. cvičení

PROBLÉMY STABILITY. 9. cvičení PROBLÉMY STABILITY 9. cvičení S pojmem ztráty stability tvaru prvku se posluchač zřejmě již setkal v teorii pružnosti při studiu prutů namáhaných osovým tlakem (viz obr.). Problematika je však obecnější

Více

Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie

Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie 12. licenční studium PYTHAGORAS Statistické zpracování dat 3.1 Matematické principy vícerozměrných metod statistické analýzy

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

Ročník VI. Matematika. Období Učivo téma Metody a formy práce- kurzívou. Kompetence Očekávané výstupy. Průřezová témata. Mezipřed.

Ročník VI. Matematika. Období Učivo téma Metody a formy práce- kurzívou. Kompetence Očekávané výstupy. Průřezová témata. Mezipřed. Přirozená čísla Desetinná čísla IX. X. Přirozená čísla opakování všech početních výkonů, zobrazení čísel na číselné ose, porovnávání a zaokrouhlování čísel. Metody- slovní, názorně demonstrační a grafická.

Více

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE Vzdělávací oblast : : Cílové zaměření vzdělávací oblasti Učíme žáky využívat matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech rozvíjet pamětˇ žáků prostřednictvím

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát Michal Veselý, 00 Základní části fotografického aparátu tedy jsou: tělo přístroje objektiv Pochopení funkce běžných objektivů usnadní zjednodušená představa, že objektiv jako celek se chová stejně jako

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAIZD15C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

RIBTEC zadání průběhů vnitřních sil z globálního modelu do výpočtu BEST Newsletter

RIBTEC zadání průběhů vnitřních sil z globálního modelu do výpočtu BEST Newsletter RIBtec BEST výpočet a zadání zatížení sloupu korespondující s průběhem jeho vnitřních sil v globálním výpočetním modelu (FEM) nosné konstrukce Běžným pracovním postupem, zejména u prefabrikovaných betonových

Více

Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1. Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1. Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Název: Téma: Autor: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Spoje a spojovací součásti Pohybové šrouby Ing. Magdalena

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více