Porovnání napjatosti nestacionárnězatíženého
|
|
- Daniela Vlčková
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 STROJNÍCKY ČAS()PIS 28, 1977,č Porovnání napjatosti nestacionárnězatíženého stěnovéhopásu a Timošenkova nosníku F. VALEŠ, R. BREPTA, J. VOLEK Tento článek, který má charakter předběžného sdělení, navazuje na práci (l], uveřejněnou ve Strojníckem časopise č. 5 z r. 1973, kde bylo popsáno odvození vztahů pro složky napětí ve stěnovém pásu příčně zatíženém a uvedeny výsledky prvních numerických výpočtů pro oblast blízkou místu působení budícího zatížení a též pro krátké časy po začátku jeho působení. Zde jsou popsány jednak výpočty napjatosti ve stěnovém pásu pro větší vzdálenosti od místa zatížení a delší časy a dále řešení napjatosti Timošenkova nosníku. Nakonec jsou uvedeny první výsledky srovnávacích výpočtů napjatosti pásu a Timošenkova nosníku. Použitá označení x, y [ml 2d [ml 2h [ml Go(x, t) [Nm"] GO m [Nm"] o., t'xy [Nm- 2 ] ;n T/n c-ttd, c-itd II a rod 21 '[ml polohové souřadnice, šířka pásu, délka, na níž působí zatížení, budící zatížení, amplituda budícího zatížení, složky normálového a smykového napětí, kořeny rovnice disperzní závislosti pro podélné vlny v pásu, kořeny rovnice disperzní závislosti pro příčné vlny v pásu, bezrozměrné parametry času, Poissonovo číslo, koeficient charakterizující rozložení smykového napětí v průřezu nosníku, bezrozměrná proměnná Fourierova integrálu, délka nosníku, Ing. František Valeš, CSc., ÚT ČSAV, Puškinovo nám. 9, Praha 6, doc. Ing. Rudolf Brepta, DrSc., SjF ČVUT, katedra částí strojů, Technická 4, Praha 6, Ing. Jan Volek, PVT, Vavřinecká 13, Litoměřice, ČSSR
2 722 [ms-i] (ms-i] (} [kgm"] Cz C3 STROJNÍCKY ČASOPIS 28, 1977, Č. 6 - rychlost příčných vln v kontinuu, - rychlost dilatačních vln v dvojrozměrném kontinuu, ~ měrná hmotnost. 1. Úvod Podrobný popis o vzniku této úlohy a analytické řešení napjatosti pásu a Timošenkova nosníku je popsáno ve zprávách [2] a [3]. Výpočty napjatosti v pásu pro krátké časy jsou popsány v pracech [4] a [5]. E IDO x Obr. 1 - Pne. 1 - Fig. 1 Uveďme nyní ve stručnosti některé základní poznatky z předchozích prací. Úloha' vznikla ze snahy určit přesnost, resp. vymezit obor platnosti jednorozměrných metod používaných při řešení příčného rázu tělesa na nosník. V technické praxi se všeobecně používají tyto přibližné metody, založené na předpokladu o platnosti BernouHiovy-Navierovy hypotézy, platící pro statický ohyb tenkých prutů. Důsledky této hypotézy použité při rázovém zatížení se projevují nejvýrazněji v blízkém okolí místa rázu a pro časy velmi krátké po začátku rázu, kdy je zde trojosá napjatost. Přesné analytické řešení rázu tělesa na nosník, při uvažování trojrozměrné napjatosti, není současnými prostředky matematiky možné. Je však možné řešit úlohu dvojrozměrnou,a to za předpokladu, že je rázová síla nahrazena předepsanýmspojitým zatížením. Proto vznikla myšlenka řešit napjatost stěnového nekonečně dlouhého pás,,!.zatíženého příčně předepsaným napětím a obdobnou úlohu potom řešit pomocí některé jednorozměrné metody. Porovnáním těchto dvou řešení, kdy prvé z nich může být pokládáno za přesné, můžeme určit přesnost nebo obor platnosti jednorozměrných metod. Na obr. 1 je uvedeno schéma úlohy o stěnovém pásu. Neomezeně dlouhý stěnový pás má šířku 2d a leží v souřadnicovém systému O, x, y. Na délce 2h jednoho okraje působív rovině pásu budící napětí (Jo(x, t), jehož Závislost na čase t je dána skokovou funkcí. Jeho Závislost na polohové souřadnici x byla zvolena kosinusová, aby pozdější numerické výpočty byly pokud možno co nejlevnější.
3 STROJNÍCKY ČASOPIS 28, 1977, Č Řešení vycházelo z pohybových rovnic rovinného kontinua. Pohyb nedeformovaného pásu začínal z klidu. Tím jsou dány počátečnípodmínky. Okrajové podmínky vyjadřují stav napětí na okrajích pásu. Pohybové rovnice byly transformovány pomocí Laplaceovy-Carsonovy transformace pro čas t. Řešení transformovaných rovnic bylo voleno ve tvaru Fourierova integrálu. Po provedení zpětné transformace byly získány výrazy pro složky posuvů a napětí ve tvaru součtů nevlastních integrálů. Uveďme schematicky" bezrozměrný tvar tohoto výrazu pro složku napětí (lx -h 4d i~ (lx = F 1(y /d, rod) cos(x/d'rod) d(rod) + (lom O + ~ i~f2(y/d, ;n, rod) cos (x/d. rod) c~s(c2t/d ';n. rod) d{rod)+ (1) + n~ i~f3(y/d, 11n, rod) cos(~/d' rod) cos (c 3t/d '11n' rod) d(rod), kde x/d, y/d, c-tld, c-ttd jsou bezrozměrnépolohové souřadnice a bezrozměrné parametry času, rod je bezrozměrná proměnná Fourierova integrálu, ;n, 11n jsou kořeny rovnic disperzních závislostí pro podélné a příčné vlny v pásu. Rovnice disperzních závislostí mají tvar [2 - ;2]2cosh[rodY1- kl; 2] sinh [rody1- ;2]_ - 4Y1- kl; 2Y1- ;2 sinh [rody1- kl; 2] cosh [rody1- ;2] = 0, 4Y1- k T11 2 Y1-7]2 sinh [rody1- k T11 2 ] cosh [rody1-11 2]- (2) kde - [2- kt7]2ycosh[rody1- kt1]2] sinh [rody1 ~ 1]2] = 0, 1:-/1 k; =--2-' 1 kt = kl. Rozborem těchto transcendentních rovnic zjistíme, že ke každé hodnotě rod ~0 existuje nekonečně mnoho hodnot ě, resp. 11, které označíme indexem n, probíhajícím od jedné do nekonečna; podle tohoto indexu se sčítá v řadách ve výrazu (1). Znázorníme-li tyto závislosti graficky, potom všechny kořeny stejného indexu n tvoří tzv. n-tou větev disperzních křivek. Schematicky jsou vybrané disperzní křivky zobrazeny na Obr. 2 a obr. 3. Obdobná úloha byla také řešena pomocí jednorozměrnéteorie. Místo stěnového
4 724 STROJNÍCKY tasopis , Č. 6 5 /n 3H-Hi-~~~-+-7't-+--;----I l,~~ 15 o cod Obr. 2~Pllc.2~Fig. 2 ~=1 o Obr. 3 ~ Pac, 3 ~ Fig. 3 pásu byl úvažovan velmi štíhlý nosník obdélníkového průřezu, aby se co nejvíce přiblížil tvarem průřezu pásu. Podmínky řešení byly stejné jako u pásu. Byl řešen jednak nosník nekonečné délky a dále nosník konečný. Nosník konečné délky byl řešen také klasickou Bernoulliovou metodou bez transformace. Pro nekonečný nosník platí např. pro složku napětí o, vztah 4d ~ 6 fl. L"'{_l~ ±cos [(Czl/d)';n.(wd)\!2(l + II)]}. aomh a x - d 6 (wdy+ n~1 (wd)z[2k7;~-(1+k7);~]-3;~ kde cozs [(h/d)'(wd)].cos [(x/d)'(w4)] d(wd), (3) (~) - [(h/d)'(wd)y k 7 = 2(1 +ll) a ' ~ je bezrozměrná příčná souřadnice bodu průřezu, wd je proměnná Fourierova integrálu, ;n jsou v tomto případě kořeny disperzní závislosti Timošenkova nosníku, 6,4 je dolní, resp. horní mez integrálu -- blíže popsáno v práci [3]. Disperzní závislost má tvar
5 STROJNfCKY ČASOPIS ", Č. 6 f: _ Iks+Vk~-4k7(rodt,:>1.2- " 2k 7(rod)2, 725 (4) kde k s=3+(rody'(i+k7) a kde pro index 1 platí pod odmocninou znaménko minus a pro index.z platí znaménko plus. Pro nosník konečné délky 21, řešený pomocí Laplaceovy transformace i klasickou metodou, platí společný výraz (opět uvádíme výraz pro složku (J%) 4d. d ~ -.{ (J = 6Jl ~.- 2: (Jomh x I d n~l (njldlw cos [(njldll)' (hld)] (JlI2Y - [(njldll)' (hld)y.cos [(x Id)' (njldll)], (5) kde ;1.2 plyne opět ze vztahu (4), dosadíme-li místo proměnné (rod) proměnnou (njldll). Nosník konečné délky byl řešen jako nepodepřený.žádné zvláštní potíže však nepůsobí řešení nosníku konečné délky, který je na koncích podepřen. Numerické výpočty vztahů (1) až (5) byly značně náročné, a to zvláštěpokud jde o výrazy (1) a (2). Druhý a třetí člen výrazu (1) je tvořen nekonečnou řadou nevlastních integrálů. Tyto řady jsou příčinou všech obtíží. Pro časy, kdy čelo rozruchu proběhne od místa působení budícího zatížení dráhu dlouhou řádově jen několik šířek pásu, jsme vystačili při vyčíslování nevlastních integrálů s klasickou jednotřetinovou Simpsonovou metodou. Pro požadovanou několikaprocentnírelativní přesnost stačilo sčítat prvních 40 členů řad, integrační interval mohl být od 0,1 do 100 a nejmenší krok Simpsonovy metody 0,1. Protože v integrandech integrálů řad vystupujíjako parametry kořeny ;n a 7}n, musely být v dostatečném počtu k dispozici před vlastním výpočtem integrálů. Pro každou z rovnic (2) bylo určeno pro každé n od jedné do čtyřiceti 1000 kořenů. Dohromady tedy bylo předpočítáno hodnot a teprve potom mohly být vyčísleny integrály. Tento postup vyhověl při výpočtech průběhů složek napětí v řezech až do hodnot xld = 4 a pro časy dané parametrem c-tld nejvýše 3. V této etapě výpočtů nebyly porovnány průběhy složek napětí v pásu s napětími Timošenkova nosníku. To bylo cílem až dalších výpočtů. Všechny až dosud popsané výpočty byly vykonány na počítači ELLIOTT 503.
6 726 STROJNÍCKY éasofis 28, 1977, Č Porovnániupjatosti púu ft Timošenkova nosm'ku pro dlouhé časy. Podstatně složitější situace nastane, budeme-li chtít počítat průběhy složek napětí v pásu pro větší hodnoty xld a c-tld, než které byly uvedeny v předchozím odstavci. Aplikace stejného postupu jako při předcházejícíchvýpočtechby vedla k velkému prodloužení výpočtových časů. Bylo proto nutno použít ekonomičtější metodu. Větším hodnotám xld a c-ttd odpovídá velké zhuštění nulových bodů integrandů v (1), a to díky velkému počtu nulových bodů příslušných trigonometrických funkcí. Vzhledem k možnostem použitého počítače E 503 byly jako největší možné hodnoty zvoleny xld = 10 a Cz/Id = 15 (tomu odpovídá c3/ld==25, 35). Při této volbě mají funkce Ft, F«, F 3 na celém užitém integračním intervalu, tj. od 0,1 do 99, pouze několiknulových bodů. Jejich vyčíslení však, vzhledem k jejich složitosti, zabere podstatnou část strojového času při výpočtu hodnoty integrandu. Pro zvolené hodnoty xld a Cz/Id musí být krok Simpsonovy metody rovný 0,01, což znamená, že musí být vypočteno téměř hodnot integrandů každého integrálu. Počítat funkce Ft, F, a F 3 podle přesných vztahů není vzhledem ke spotřebě strojového času možné a vedlo by k nereálným nárokům na strojový čas. Byla proto navržena metoda, podle níž se počítají přesně všechny trigonometrické funkce, kdežto funkce Ft, F«a F 3 se přesně počítají jenom v určitých bodech integračníhointervalu a mezi těmito body se nahrazují parabolou. To je umožněno právě jejich pomalou změnouv důsledku malého počtu nulových bodů. Stejně tak disperzní závislosti lze vzhledem k jejich téměř monotónním průběhůmod určité hodnoty (viz obr. 2 a 3) nahrazovat po částech parabolou. Po velmi důkladném prověření vlastností integrandů bylo možno navrhnout definitivní algoritmus pro výpočty tohoto typu. Bylo prokázáno, že není možno nahradit disperzní křivky po částech parabolou v intervalu wd=o,1 až tod = 5, jsou-li k dispozici přesné hodnoty ~n a l1n pouz~ pro dělení rod po 0,1. A právě s tímto dělením máme hodnoty ~n a l1n před počítány z předchozí etapy výpočtů. Bylo proto nutné v intervalu 0,1 až 5 dopočítat kořeny rovnic disperzních křivek s dělením po 0,01 a integrály v tomto intervalu zpracovat opět klasickou Simpsonovou metodou s tím, že se počítají přesné hodnoty integrandůa funkce Ft, F, a F 3 se nenahrazují po částech parabolou. Tato část úlohy byla řešena ve spolupráci s Podnikem výpočetní technj.~y v Litoměřicích a zpracoval ji Ing. J.' Volek. Při určování kořenů vypracoval novoutzv. metodu rovnoběžnýchsečen, která podstatně zrychlila jejich výpočet oproti metodě půlení kroku, použité dříve. Popišme nyní stručně tuto metodu. Mějme rovnici f(x) = O, kde funkce f(x) je definována a spojitá v intervalu a <x < b. Předpokládejme, že je znám uzavřený interval (a, (3), kde a >a, f3 < b, pro jehož okrajové body jsou znaménka funkčních hodnot rozdílná, tj. platí f(a)-{(f3) <O. Dále předpokládejme, že v intervalu (a, (3) existuje pouze jeden kořen ě, pro který platíf(~)=o.spojnice
7 STROJNiCKY CASOPIS 28, 1911, Č SI bodů f(a) a [(fj) (viz obr. 4) určí na ose x první aproximaci kořene ;, rovnou hodnotě {3-a Xl = a - [(a) [({3) - f(a), obdobnou jako podle metody regula falsi. Přímka S2 vedená bodem [(Xl) rovnoběžně s přímkou SI protne osu x v bodě X2' f{xl Obr. 4 - PHC. 4 - Fig. 4 f[xji flsl x Jestliže nyní: a) Xz E (;, XI), potom nové {3 položíme rovno x, a předchozí postup opakujeme, b) X2 E (a, ;), potom nové a položíme rovno X z a předchozí postup opakujeme, c) xz<a, potom bodem [(XI) vedeme přímku o směrnici která protíná osu X v novém bodě Xz. Další zpřesnění kořene potom probíhá podle bodu a) nebo b). Výpočet je dokončen, jestliže je dosaženo zvolené relativní přesnosti e, definované vztahem la-{3i::::;;elxll Vlastní výpočtový algoritmus je ovšem složitější než zde uvedený, protože je nutno vždy uvažovat všechny možné průběhyfunkce v intervalu (a, {3). Přednosti této metody rovnoběžných sečen při výpočtu reálných kořenů nelineárních rovníc je to, žěnení např. třeba znát derivace příslušné funkce, nebo že v intervalu (a, tj) může být jak extrém této funkce, tak i inřlexní bod. Po dopočítání potřebného množství kořenů rovnicdisperzních křivek byly v PVT Litoměřicena počítači MINSK 22 vyčíslovány pouze řady, tvořící druhý a třetí čl~n výrazu (1). Bylo opět sčítáno pouze prvních 40 členů těchto řad, a to pro interval' rod od 0,1 do 5. Takto získané hodnoty byly potom sčítánys hodnotami získanými na počítači E 503 v intervalu rod od 5 do 99. Popišme teď tuto etapu výpočtů.jak bylo řečeno dříve, některé části integrandů byly nahrazovány parabolou. Protože první člen ve výrazu (1) neobsahuje kořeny disperzních závislosti, molů být
8 728 STROJNÍCKY ČASOPIS č: 6 vyčíslován v celém integračnímintervalu na počítači E 503 a nahrazován parabolami. Tak od rod =0,1 do rod=25 byl jeho integrand nahrazován parabolou druhého stupně v intervalu délky 0,2. Pro rod = 25 do rod=99 bylo nahrazení parabolou v intervalu délky 1,6. Pro každý dílčí interval je třeba znát tři přesné hodnoty nahrazované funkce. Těmito hodnotami jsou funkční hodnoty na počátku, uprostřed a na konci příslušného intervalu. x/d=10 ~6 2 6 h x Obr. 5 - PHC. 5 - Fig. 5 Pro druhý a třetí člen výrazu (1) byla situace složitější. Zde pro 1. až 10. člen řady měl interval, v němž byl integrand a disperzní křivky nahrazovány parabolou, pro rod=5 až rod =25 délku 0,4 a pro rod =25 do rod =99 délku 1,6. Pro 11. až 40. člen řady pro rod = 5 až do rod = 99 měl náhradní interval délku 0,8. V této etapě výpočtů byly nejprve vypočítány průběhy složek o, a t'xy pro xld= 10 a c2tld= 15. Potom byly počítány průběhy těchto složek napětí pro xld = 5 a c2tld = 15. Pro jednu hodnotu jedné složky napětí byla potřeba 1 hodina strojového času počítačeminsk 22 a 1,5 hodiny strojového času počítačee 503. Současně s výpočty průběhů složek napětí v pásu probíhaly výpočty Timošenkova nosníku, a to pro stejné xlda c-ttd jakou pásu. Byly vyčíslovány jednakvztahy typu (3) pro nosník nekonečný a dále vztahy typu (5) pro nosník konečný. Abychom pro oba tyto vztahy získali výsledky shodné na 4 první cifry, musel být
9 STROJNÍCKY ČASOPIS č u nosníku nekonečné délky pro o, integračníinterval od tj = 0,02 do L1 == 20 a krok Simpsonovy metody, použité k vyčíslení integrálu, byl 0,01. Pro složku t x y musely být hodnoty tj =0,02, L1 =30 a krok roven 0,01. Při vyčíslování vztahu typu (5) muselo být pro složku o, sčítáno 300 prvních členu řady, kdežto pro složku r x y muselo být sčítáno 500 členu řady. Tyto výpočty byly prováděny na stolním kalkulátoru HP 9820 A. Pro výpočet jednoho průběhu jedné složky napětí bylo zapotřebí asi 15 minut strojového času tohoto počítače. To je doba nesrovnatelně kratší, než jakou vyžadují výpočty v pásu. Získané výsledky jsou uvedeny na obr. 5, kde jsou porovnány průběhy obou počítaných složek napětí v obou uvažovaných řezech, a to jak pro stěnový pás (čárkovaná čára), tak i pro Timošenkův nosník (plná čára). Z obrázku je patrná velmi dobrá shoda u složky a., zatímco u složky i x y jsou značné rozdíly. Přitom je zajímavé, že hodnoty i x y prořez x /d = love stěnovém pásu jsou značně větší, než jaké dává Timošenkův nosník, zatímco v řezu x /d = 5 je situace opačná. Na základě těchto prvních srovnání nelze ještě jednoznačně rozhodnout v prospěch či neprospěch jednorozměrných metod. K tomu je potřeba mít více srovnávacího materiálu. Už dnes se však ukazuje, podle.dobré shody průběhu složky a., že v případech, kde bude pro únosnost konstrukce rozhodující tato složka napětí, bude možno použít jednorozměrnémetody. Nebude je možné ovšem použít v blízkém okolí místa rázu a pro velmi krátké časy, srovnatelné s časem potřebným k proběhnutí čela rozruchu přes šířku pásu. 3. Závěr V předkládaném článku je stručně popsán postup, který byl použit při řešení napjatosti stěnového pásu a Timošenkova nosníku příčně nestacionárně zatížených. Je zde ukázáno, s jakými potížemi jsme se museli vypořádat při vyčíslování hlavně napjatosti pásu pro dlouhé časy po začátku působení budícího zatížení. Numerické zpracování úlohy klade velké nároky na číslicovou výpočetní techniku, a to zvláště v případě stěnového pásu. Neporovnatelně jednodušší je situace u Timošenkova nosníku. Přes všechny potíže byly získány originální výsledky, v literatuře zatím nepublikované, které umožňují porovnat napjatost pásu a Timošenkova nosníku. Prvý případ byl řešen přesnou metodou, kdežto druhý byl řešen přibližnou jednorozměrnou metodou. Velmi dobrá shoda podélné složky napětí obou případuukazuje, že tam, kde pro únosnost konstrukce je rozhodující tato složka, bude možno bez většího rizika použít jednoduchou přibližnou metodu. Větší rozdíly se objevují u složky smykového napětí. V pracech na této úloze se bude pokračovata podrobný popis všech získaných výsledku bude uveřejněn v dalším článku.
10 730 STROJNÍCKY CASOPlS 28, 1977, Č. 6 LITERATURA [1] VALEŠ,F.: Výpočet napjatosti příčně nestacionárně zatíženého stěnového pásu. Strojn. Čas., 24, 1973, č. 5. ~ [zl VALEŠ, F.: Napjatost elastického pásu při příčném rázu. Výzkumná zpráva č. Z 355/71 ÚT ČSAV, Praha ~ [31 VALEŠ, F.: Napjatost tenkého nosníku příčně nestacionárně zatíženého ~ Timošenkův VÝPOČtový model. Výzkumná zpráva č. Z 514/76 ÚT ČSAV, Praha ~ [4] VALEŠ, F.: Vyčíslení vztahů pro posuvy a napětí při příčném rázu na pás. Výzkumná zpráva č, Z -t16/73 ÚT ČSAV, Praha [5) VALEŠ, F. ŠEBKOVÁ, H.: The state of stress in non-stationary loaded thin belt, Acta Technica ČSAV, č, 4, Lektor: G. Martinček Rukopis dodaný: 18:
Kapitola 4. Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena. Každý prut v rovině má 3 volnosti (kap.1).
Kapitola 4 Vnitřní síly přímého vodorovného nosníku 4.1 Analýza vnitřních sil na rovinných nosnících Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena rekapitulace
Vícemetoda Regula Falsi 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda Regula Falsi Michal Čihák 23. října 2012 Metoda Regula Falsi hybridní metoda je kombinací metody sečen a metody půlení intervalů předpokladem je (podobně
Více4. Napjatost v bodě tělesa
p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.
Více16. Matematický popis napjatosti
p16 1 16. Matematický popis napjatosti Napjatost v bodě tělesa jsme definovali jako množinu obecných napětí ve všech řezech, které lze daným bodem tělesa vést. Pro jednoznačný matematický popis napjatosti
VíceObecný Hookeův zákon a rovinná napjatost
Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou
VíceKapitola 8. prutu: rovnice paraboly z = k x 2 [m], k = z a x 2 a. [m 1 ], (8.1) = z b x 2 b. rovnice sklonu střednice prutu (tečna ke střednici)
Kapitola 8 Vnitřní síly rovinně zakřiveného prutu V této kapitole bude na příkladech vysvětleno řešení vnitřních sil rovinně zakřivených nosníků, jejichž střednici tvoří oblouk ve tvaru kvadratické paraboly[1].
VícePružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Část 1 - Test
Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových charakteristik, oficiální přehled
VíceMETODA PŮLENÍ INTERVALU (METODA BISEKCE) METODA PROSTÉ ITERACE NEWTONOVA METODA
2-3. Metoda bisekce, met. prosté iterace, Newtonova metoda pro řešení f(x) = 0. Kateřina Konečná/ 1 ITERAČNÍ METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC - řešení nelineární rovnice f(x) = 0, - separace kořenů =
VícePružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady.
Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceA x A y. α = 30. B y. A x =... kn A y =... kn B y =... kn. Vykreslení N, V, M. q = 2kN/m M = 5kNm. F = 10 kn A c a b d ,5 2,5 L = 10
Vzorový příklad k 1. kontrolnímu testu Prostý nosník Zadání: Vypočtěte složky reakcí a vykreslete průběhy vnitřních sil. A x A y y q = kn/m M = 5kNm F = 10 kn A c a b d 1 1 3,5,5 L = 10 α B B y x α = 30
VíceDISPERZNÍ KŘIVKY V DESCE S KUBICKOU ANIZOTROPIÍ
DISPERZNÍ KŘIVKY V DESCE S KUBICKOU ANIZOTROPIÍ P. Hora, O. Červená Ústav termomechaniky AV ČR Příspěvek vznikl na základě podpory grantu cíleného vývoje a výzkumu AV ČR č. IBS276356 Ultrazvukové metody
Víceα = 210 A x =... kn A y =... kn A M =... knm
Vzorový příklad k 1. kontrolnímu testu Konzola Zadání: Vypočtěte složky reakcí a vykreslete průběhy vnitřních sil. A x A M A y y q = kn/m M = - 5kNm A α B c a b d F = 10 kn 1 1 3,5,5 L = 10 x α = 10 A
VícePřetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka.
OHYBOVÁ ČÁRA ZA PROSTÉHO OHYBU - rovinné průřez zůstávají po deformaci rovinnými, avšak natáčejí se. - při prostém ohbu hlavní centrální osa setrvačnosti všech průřezů leží v rovině vnějších sil, která
VíceStatika 1. Vnitřní síly na prutech. Miroslav Vokáč 11. dubna ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M.
Definování 4. přednáška prutech iroslav okáč miroslav.vokac@cvut.cz ČUT v Praze, Fakulta architektury 11. dubna 2016 prutech nitřní síly síly působící uvnitř tělesa (desky, prutu), které vznikají působením
VíceVzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová
1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,
Více1. výpočet reakcí R x, R az a R bz - dle kapitoly 3, q = q cosα (5.1) kolmých (P ). iz = P iz sinα (5.2) iz = P iz cosα (5.3) ix = P ix cosα (5.
Kapitola 5 Vnitřní síly přímého šikmého nosníku Pojem šikmý nosník je používán dle publikace [1] pro nosník ležící v souřadnicové rovině xz, který je vůči vodorovné ose x pootočen o úhel α. Pro šikmou
VíceP Ř Í K L A D Č. 5 LOKÁLNĚ PODEPŘENÁ ŽELEZOBETONOVÁ DESKA S VÝRAZNĚ ROZDÍLNÝM ROZPĚTÍM NÁSLEDUJÍCÍCH POLÍ
P Ř Í K L A D Č. 5 LOKÁLNĚ PODEPŘENÁ ŽELEZOBETONOVÁ DESKA S VÝRAZNĚ ROZDÍLNÝ ROZPĚTÍ NÁSLEDUJÍCÍCH POLÍ Projekt : FRVŠ 011 - Analýza metod výpočtu železobetonových lokálně podepřených desek Řešitelský
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceOhyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu.
Ohyb přímých prutů nosníků Ohyb nastává, jestliže v řeu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řeu Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech
VíceNOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM)
NOSNÍK NA PRUŽNÉ PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉ) Uvažujeme spojitý nosník na pružných podporách. Pružná podpora - odpor je úměrný zatlačení. Pružné podpory velmi blízko sebe - jejich účinek lze nahradit spojitou
VíceNÁVRH VÝZTUŽE ŽELEZOBETONOVÉHO VAZNÍKU S MALÝM OTVOREM
NÁVRH VÝZTUŽE ŽELEZOBETONOVÉHO VAZNÍKU S MALÝM OTVOREM Předmět: Vypracoval: Modelování a vyztužování betonových konstrukcí ČVUT v Praze, Fakulta stavební Katedra betonových a zděných konstrukcí Thákurova
VíceAutomatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností
Automatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností různých přístrojů a zařízení. (Mechanizace, Automatizace, Komplexní automatizace) Kybernetika je Věda, která zkoumá obecné
Více4. cvičení výpočet zatížení a vnitřních sil
4. cvičení výpočet zatížení a vnitřních sil Výpočet zatížení stropní deska Skladbu podlahy a hodnotu užitného zatížení převezměte z 1. úlohy. Uvažujte tloušťku ŽB desky, kterou jste sami navrhli ve 3.
Více4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 013 Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy Studijní program Učitelství pro základní školy - obor Učitelství fyziky
Více3.2 Základy pevnosti materiálu. Ing. Pavel Bělov
3.2 Základy pevnosti materiálu Ing. Pavel Bělov 23.5.2018 Normálové napětí představuje vazbu, která brání částicím tělesa k sobě přiblížit nebo se od sebe oddálit je kolmé na rovinu řezu v případě že je
VíceCvičení 7 (Matematická teorie pružnosti)
VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) Pružnost a pevnost v energetice (Návo do cvičení) Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) Autor: Jaroslav Rojíček Verze:
VíceHledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Opakování rovnice přímky Úloha: Určete rovnici přímky procházející body A[a, f(a)] a B[b, f(b)], kde f je funkce spojitá
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
Více3. kapitola. Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku. Janek Faltýnek SI J (43) Teoretická část: Příkladová část: Stavební mechanika 2
3. kapitola Stavební mechanika Janek Faltýnek SI J (43) Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku Teoretická část: Naším úkolem je v tomto příkladu vyšetřit průběh vnitřních sil na lomeném rovinném nosníku
VíceOTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6
OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 POSUZOVÁNÍ KONSTRUKCÍ PODLE EUROKÓDŮ 1. Jaké mezní stavy rozlišujeme při posuzování konstrukcí podle EN? 2. Jaké problémy řeší mezní stav únosnosti
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceAnalýza napjatosti PLASTICITA
Analýza napjatosti PLASTICITA TENZOR NAPĚTÍ Teplota v daném bodě je skalár, je to tenzor nultého řádu, který nezávisí na změně souřadného systému Síla je vektor, je to tenzor prvního řádu, v trojrozměrném
VíceÚnosnost kompozitních konstrukcí
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta strojní Ústav letadlové techniky Únosnost kompozitních konstrukcí Optimalizační výpočet kompozitních táhel konstantního průřezu Technická zpráva Pořadové číslo:
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VícePRUŽNOST A PLASTICITA I
Otázky k procvičování PRUŽNOST A PLASTICITA I 1. Kdy je materiál homogenní? 2. Kdy je materiál izotropní? 3. Za jakých podmínek můžeme použít princip superpozice účinků? 4. Vysvětlete princip superpozice
Vícepísemky (3 příklady) Výsledná známka je stanovena zkoušejícím na základě celkového počtu bodů ze semestru, ze vstupního testu a z písemky.
POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I Zkouška úrovně Alfa (pro zájemce o magisterské studium) Zkouška sestává ze vstupního testu (10 otázek, výběr správné odpovědi ze čtyř možností, rozsah dle sloupečku Požadavky)
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
Více1. Úvod do pružnosti a pevnosti
1. Úvod do pružnosti a pevnosti Mechanika je nejstarší vědní obor a její nedílnou součástí je nauka o pružnosti a pevnosti. Pružností nazýváme schopnost pevných těles získat po odstranění vnějších účinků
VíceHledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012 Problém hledání kořenů rovnice f(x) = 0 jeden ze základních problémů numerické matematiky zároveň i jeden
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
VíceTeorie tkaní. Modely vazného bodu. M. Bílek
Teorie tkaní Modely vazného bodu M. Bílek 2016 Základní strukturální jednotkou tkaniny je vazný bod, tj. oblast v okolí jednoho zakřížení osnovní a útkové nitě. Proces tkaní tedy spočívá v tvorbě vazných
Více3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům
RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních
VíceENÁ ŽELEZOBETONOVÁ DESKA S OTVOREM VE SLOUPOVÉM PRUHU
P Ř Í K L A D Č. 4 LOKÁLNĚ PODEPŘENÁ ŽELEZOBETONOVÁ DESKA S OTVOREM VE SLOUPOVÉM PRUHU Projekt : FRVŠ 011 - Analýza metod výpočtu železobetonových lokálně podepřených desek Řešitelský kolektiv : Ing. Martin
VíceVYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŢENÝRSTVÍ cvičení 9
UNIVERZITA TOMÁŠE BATI VE ZLÍNĚ FAKULTA APLIKOVANÉ INFORMATIKY VYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŢENÝRSTVÍ cvičení 9 Nestacionární vedení tepla v rovinné stěně Hana Charvátová, Dagmar Janáčová Zlín 2013 Tento
VíceKapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.
Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
VíceQ(y) dy = P(x) dx + C.
Cíle Naše nejbližší cíle spočívají v odpovědích na základní otázky, které si klademe v souvislosti s diferenciálními rovnicemi: 1. Má rovnice řešení? 2. Kolik je řešení a jakého jsou typu? 3. Jak se tato
VíceB) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.
4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
VíceAproximace posuvů [ N ],[G] Pro každý prvek se musí nalézt vztahy
Aproimace posuvů Pro každý prvek se musí nalézt vztahy kde jsou prozatím neznámé transformační matice. Neznámé funkce posuvů se obvykle aproimují ve formě mnohočlenů kartézských souřadnic. Například 1.
VíceNelineární rovnice. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Nelineární rovnice Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Ohraničení kořene Hledání kořene Soustava Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Hledáme bod x, ve kterém je splněno pro zadanou funkci
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
Vícestudentská kopie 3. Vaznice - tenkostěnná 3.1 Vnitřní (mezilehlá) vaznice
3. Vaznice - tenkostěnná 3.1 Vnitřní (mezilehlá) vaznice Vaznice bude přenášet pouze zatížení působící kolmo k rovině střechy. Přenos zatížení působícího rovnoběžně se střešní rovinou bude popsán v poslední
VíceMOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01
matematických pojmů a vztahů, k poznávání základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů matematického aparátu Zapisuje a počítá mocniny a odmocniny racionálních čísel Používá pro počítání s mocninami
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
Více[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2
4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch
VícePružnost a plasticita II CD03
Pružnost a plasticita II CD3 uděk Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechanik tel: 5447368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/stm/brdecko.l/html/distcz.htm Obsah
VícePrvky betonových konstrukcí BL01 6 přednáška. Dimenzování průřezů namáhaných posouvající silou prvky se smykovou výztuží, Podélný smyk,
Prvky betonových konstrukcí BL01 6 přednáška Dimenzování průřezů namáhaných posouvající silou prvky se smykovou výztuží, Podélný smyk, Způsoby porušení prvků se smykovou výztuží Smyková výztuž přispívá
VícePříklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0
Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +
VíceMATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,
MATEMATIKA III Program - vojný integrál. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : + dd = { < > < > } ( 3), (, ) : 0,, 0,, dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,3,,, + dd = { < > < > } ( ), (, ):,0,,, + dd=
VíceANALÝZA KONSTRUKCÍ. 5. přednáška
ANALÝZA KONSTRUKCÍ 5. přednáška Nosné stěny rovinná napjatost Způsoby výpočtu napjatosti: Deformační metodou Primární neznámé: posuny u(,y), v(,y) Výchozí rovnice: statické Silovou metodou Primární neznámá:
VíceNelineární obvody. V nelineárních obvodech však platí Kirchhoffovy zákony.
Nelineární obvody Dosud jsme se zabývali analýzou lineárních elektrických obvodů, pasivní lineární prvky měly zpravidla konstantní parametr, v těchto obvodech platil princip superpozice a pro analýzu harmonického
VícePOŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I
POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I Zkouška úrovně Alfa (pro zájemce o magisterské studium) Zkouška sestává ze o vstupního testu (10 otázek, výběr správné odpovědi ze čtyř možností, rozsah dle sloupečku Požadavky)
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
Více1 Použité značky a symboly
1 Použité značky a symboly A průřezová plocha stěny nebo pilíře A b úložná plocha soustředěného zatížení (osamělého břemene) A ef účinná průřezová plocha stěny (pilíře) A s průřezová plocha výztuže A s,req
VíceStěnové nosníky. Obr. 1 Stěnové nosníky - průběh σ x podle teorie lineární pružnosti.
Stěnové nosníky Stěnový nosník je plošný rovinný prvek uložený na podporách tak, že prvek je namáhán v jeho rovině. Porovnáme-li chování nosníků o výškách h = 0,25 l a h = l, při uvažování lineárně pružného
Více0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Limita a spojitost funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q D(f)
VíceNESTABILITY VYBRANÝCH SYSTÉMŮ. Úvod. Vzpěr prutu. Petr Frantík 1
NESTABILITY VYBRANÝCH SYSTÉMŮ Petr Frantík 1 Úvod Úloha pokritického vzpěru přímého prutu je řešena dynamickou metodou. Prut se statickým zatížením je modelován jako nelineární disipativní dynamický systém.
VíceSemestrální projekt. Vyhodnocení přesnosti sebelokalizace VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ. Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií Semestrální projekt Vyhodnocení přesnosti sebelokalizace Vedoucí práce: Ing. Tomáš Jílek Vypracovali: Michaela Homzová,
VíceFourierova transformace
Fourierova transformace EO Přednáška Pavel Máša ÚVODEM Známe Fourierovy řady v komplexním tvaru f(t) = 1X k= 1 A k e jk! t Spektrum této řady je diskrétní A k = 1 T Obvody tedy musíme řešit v HUS člen
VíceVzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.
Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)
VíceIng. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST
Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Výukový text pro učební obor Technik plynových zařízení Vzdělávací oblast RVP Plynová zařízení a Tepelná technika (mechanika) Pardubice 013 Použitá literatura: Technická
VíceStatika soustavy těles.
Statika soustavy těles Základy mechaniky, 6 přednáška Obsah přednášky : uvolňování soustavy těles, sestavování rovnic rovnováhy a řešení reakcí, statická určitost, neurčitost a pohyblivost, prut a jeho
VíceP Ř Í K L A D Č. 3 LOKÁLNĚ PODEPŘENÁ ŽELEZOBETONOVÁ DESKA S OTVOREM VE STŘEDNÍM PRUHU
P Ř Í K L A D Č. 3 LOKÁLNĚ PODEPŘENÁ ŽELEZOBETONOVÁ DESKA S OTVOREM VE STŘEDNÍM PRUHU Projekt : FRVŠ 011 - Analýza metod výpočtu železobetonových lokálně podepřených desek Řešitelský kolektiv : Ing. Martin
VíceDefinice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,
5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu
VíceObsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti
VíceNAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 12. KVĚTNA 2013 Název zpracovaného celku: NAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB Nejdůleţitější konstrukční prvek pro ohyb je nosník.
VícePostup zadávání základové desky a její interakce s podložím v programu SCIA
Postup zadávání základové desky a její interakce s podložím v programu SCIA Tloušťka desky h s = 0,4 m. Sloupy 0,6 x 0,6m. Zatížení: rohové sloupy N 1 = 800 kn krajní sloupy N 2 = 1200 kn střední sloupy
VíceFunkce dvou a více proměnných
Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:
VíceVyužití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce
Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,
VícePružnost a pevnost I
Stránka 1 teoretické otázk 2007 Ing. Tomáš PROFANT, Ph.D. verze 1.1 OBSAH: 1. Tenzor napětí 2. Věta o sdruženosti smkových napětí 3. Saint Venantův princip 4. Tenzor deformace (přetvoření) 5. Geometrická
Více1.1 Shrnutí základních poznatků
1.1 Shrnutí základních poznatků Pojmem nádoba obvykle označujeme součásti strojů a zařízení, které jsou svým tvarem a charakterem namáhání shodné s dutými tělesy zatíženými vnitřním, popř. i vnějším tlakem.sohledemnatopovažujemezanádobyrůznápotrubíakotlovátělesa,alenapř.i
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
VíceK výsečovým souřadnicím
3. cvičení K výsečovým souřadnicím Jak již bylo řečeno, výsečové souřadnice přiřazujeme bodům na střednici otevřeného průřezu, jejich soustava je dána pólem B a výsečovým počátkem M 0. Velikost výsečové
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz
VíceObecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
Více9. Úvod do teorie PDR
9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VíceIntegrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze
Integrace Numerické metody 7. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Kvadraturní vzorce Gaussovy kvadratury Více dimenzí Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Máme funkci f( x) a snažíme se najít určitý integrál
VíceNapětí v ohybu: Výpočet rozměrů nosníků zatížených spojitým zatížením.
Číslo projektu CZ.1.07/ 1.1.36/ 02.0066 Autor Pavel Florík Předmět Mechanika Téma Namáhání součástí na ohyb Metodický pokyn výkladový text s ukázkami Napětí v ohybu: Výpočet rozměrů nosníků zatížených
Více4 Numerické derivování a integrace
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,
VíceNewtonova metoda. 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné Newtonova metoda Michal Čihák 23. října 2012 Newtonova metoda (metoda tečen) využívá myšlenku, že tečna v daném bodě grafu funkce nejlépe aproximuje graf funkce
VícePohyb tělesa po nakloněné rovině
Pohyb tělesa po nakloněné rovině Zadání 1 Pro vybrané těleso a materiál nakloněné roviny zjistěte závislost polohy tělesa na čase při jeho pohybu Výsledky vyneste do grafu a rozhodněte z něj, o jakou křivku
Více