Porovnání napjatosti nestacionárnězatíženého

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Porovnání napjatosti nestacionárnězatíženého"

Transkript

1 STROJNÍCKY ČAS()PIS 28, 1977,č Porovnání napjatosti nestacionárnězatíženého stěnovéhopásu a Timošenkova nosníku F. VALEŠ, R. BREPTA, J. VOLEK Tento článek, který má charakter předběžného sdělení, navazuje na práci (l], uveřejněnou ve Strojníckem časopise č. 5 z r. 1973, kde bylo popsáno odvození vztahů pro složky napětí ve stěnovém pásu příčně zatíženém a uvedeny výsledky prvních numerických výpočtů pro oblast blízkou místu působení budícího zatížení a též pro krátké časy po začátku jeho působení. Zde jsou popsány jednak výpočty napjatosti ve stěnovém pásu pro větší vzdálenosti od místa zatížení a delší časy a dále řešení napjatosti Timošenkova nosníku. Nakonec jsou uvedeny první výsledky srovnávacích výpočtů napjatosti pásu a Timošenkova nosníku. Použitá označení x, y [ml 2d [ml 2h [ml Go(x, t) [Nm"] GO m [Nm"] o., t'xy [Nm- 2 ] ;n T/n c-ttd, c-itd II a rod 21 '[ml polohové souřadnice, šířka pásu, délka, na níž působí zatížení, budící zatížení, amplituda budícího zatížení, složky normálového a smykového napětí, kořeny rovnice disperzní závislosti pro podélné vlny v pásu, kořeny rovnice disperzní závislosti pro příčné vlny v pásu, bezrozměrné parametry času, Poissonovo číslo, koeficient charakterizující rozložení smykového napětí v průřezu nosníku, bezrozměrná proměnná Fourierova integrálu, délka nosníku, Ing. František Valeš, CSc., ÚT ČSAV, Puškinovo nám. 9, Praha 6, doc. Ing. Rudolf Brepta, DrSc., SjF ČVUT, katedra částí strojů, Technická 4, Praha 6, Ing. Jan Volek, PVT, Vavřinecká 13, Litoměřice, ČSSR

2 722 [ms-i] (ms-i] (} [kgm"] Cz C3 STROJNÍCKY ČASOPIS 28, 1977, Č. 6 - rychlost příčných vln v kontinuu, - rychlost dilatačních vln v dvojrozměrném kontinuu, ~ měrná hmotnost. 1. Úvod Podrobný popis o vzniku této úlohy a analytické řešení napjatosti pásu a Timošenkova nosníku je popsáno ve zprávách [2] a [3]. Výpočty napjatosti v pásu pro krátké časy jsou popsány v pracech [4] a [5]. E IDO x Obr. 1 - Pne. 1 - Fig. 1 Uveďme nyní ve stručnosti některé základní poznatky z předchozích prací. Úloha' vznikla ze snahy určit přesnost, resp. vymezit obor platnosti jednorozměrných metod používaných při řešení příčného rázu tělesa na nosník. V technické praxi se všeobecně používají tyto přibližné metody, založené na předpokladu o platnosti BernouHiovy-Navierovy hypotézy, platící pro statický ohyb tenkých prutů. Důsledky této hypotézy použité při rázovém zatížení se projevují nejvýrazněji v blízkém okolí místa rázu a pro časy velmi krátké po začátku rázu, kdy je zde trojosá napjatost. Přesné analytické řešení rázu tělesa na nosník, při uvažování trojrozměrné napjatosti, není současnými prostředky matematiky možné. Je však možné řešit úlohu dvojrozměrnou,a to za předpokladu, že je rázová síla nahrazena předepsanýmspojitým zatížením. Proto vznikla myšlenka řešit napjatost stěnového nekonečně dlouhého pás,,!.zatíženého příčně předepsaným napětím a obdobnou úlohu potom řešit pomocí některé jednorozměrné metody. Porovnáním těchto dvou řešení, kdy prvé z nich může být pokládáno za přesné, můžeme určit přesnost nebo obor platnosti jednorozměrných metod. Na obr. 1 je uvedeno schéma úlohy o stěnovém pásu. Neomezeně dlouhý stěnový pás má šířku 2d a leží v souřadnicovém systému O, x, y. Na délce 2h jednoho okraje působív rovině pásu budící napětí (Jo(x, t), jehož Závislost na čase t je dána skokovou funkcí. Jeho Závislost na polohové souřadnici x byla zvolena kosinusová, aby pozdější numerické výpočty byly pokud možno co nejlevnější.

3 STROJNÍCKY ČASOPIS 28, 1977, Č Řešení vycházelo z pohybových rovnic rovinného kontinua. Pohyb nedeformovaného pásu začínal z klidu. Tím jsou dány počátečnípodmínky. Okrajové podmínky vyjadřují stav napětí na okrajích pásu. Pohybové rovnice byly transformovány pomocí Laplaceovy-Carsonovy transformace pro čas t. Řešení transformovaných rovnic bylo voleno ve tvaru Fourierova integrálu. Po provedení zpětné transformace byly získány výrazy pro složky posuvů a napětí ve tvaru součtů nevlastních integrálů. Uveďme schematicky" bezrozměrný tvar tohoto výrazu pro složku napětí (lx -h 4d i~ (lx = F 1(y /d, rod) cos(x/d'rod) d(rod) + (lom O + ~ i~f2(y/d, ;n, rod) cos (x/d. rod) c~s(c2t/d ';n. rod) d{rod)+ (1) + n~ i~f3(y/d, 11n, rod) cos(~/d' rod) cos (c 3t/d '11n' rod) d(rod), kde x/d, y/d, c-tld, c-ttd jsou bezrozměrnépolohové souřadnice a bezrozměrné parametry času, rod je bezrozměrná proměnná Fourierova integrálu, ;n, 11n jsou kořeny rovnic disperzních závislostí pro podélné a příčné vlny v pásu. Rovnice disperzních závislostí mají tvar [2 - ;2]2cosh[rodY1- kl; 2] sinh [rody1- ;2]_ - 4Y1- kl; 2Y1- ;2 sinh [rody1- kl; 2] cosh [rody1- ;2] = 0, 4Y1- k T11 2 Y1-7]2 sinh [rody1- k T11 2 ] cosh [rody1-11 2]- (2) kde - [2- kt7]2ycosh[rody1- kt1]2] sinh [rody1 ~ 1]2] = 0, 1:-/1 k; =--2-' 1 kt = kl. Rozborem těchto transcendentních rovnic zjistíme, že ke každé hodnotě rod ~0 existuje nekonečně mnoho hodnot ě, resp. 11, které označíme indexem n, probíhajícím od jedné do nekonečna; podle tohoto indexu se sčítá v řadách ve výrazu (1). Znázorníme-li tyto závislosti graficky, potom všechny kořeny stejného indexu n tvoří tzv. n-tou větev disperzních křivek. Schematicky jsou vybrané disperzní křivky zobrazeny na Obr. 2 a obr. 3. Obdobná úloha byla také řešena pomocí jednorozměrnéteorie. Místo stěnového

4 724 STROJNÍCKY tasopis , Č. 6 5 /n 3H-Hi-~~~-+-7't-+--;----I l,~~ 15 o cod Obr. 2~Pllc.2~Fig. 2 ~=1 o Obr. 3 ~ Pac, 3 ~ Fig. 3 pásu byl úvažovan velmi štíhlý nosník obdélníkového průřezu, aby se co nejvíce přiblížil tvarem průřezu pásu. Podmínky řešení byly stejné jako u pásu. Byl řešen jednak nosník nekonečné délky a dále nosník konečný. Nosník konečné délky byl řešen také klasickou Bernoulliovou metodou bez transformace. Pro nekonečný nosník platí např. pro složku napětí o, vztah 4d ~ 6 fl. L"'{_l~ ±cos [(Czl/d)';n.(wd)\!2(l + II)]}. aomh a x - d 6 (wdy+ n~1 (wd)z[2k7;~-(1+k7);~]-3;~ kde cozs [(h/d)'(wd)].cos [(x/d)'(w4)] d(wd), (3) (~) - [(h/d)'(wd)y k 7 = 2(1 +ll) a ' ~ je bezrozměrná příčná souřadnice bodu průřezu, wd je proměnná Fourierova integrálu, ;n jsou v tomto případě kořeny disperzní závislosti Timošenkova nosníku, 6,4 je dolní, resp. horní mez integrálu -- blíže popsáno v práci [3]. Disperzní závislost má tvar

5 STROJNfCKY ČASOPIS ", Č. 6 f: _ Iks+Vk~-4k7(rodt,:>1.2- " 2k 7(rod)2, 725 (4) kde k s=3+(rody'(i+k7) a kde pro index 1 platí pod odmocninou znaménko minus a pro index.z platí znaménko plus. Pro nosník konečné délky 21, řešený pomocí Laplaceovy transformace i klasickou metodou, platí společný výraz (opět uvádíme výraz pro složku (J%) 4d. d ~ -.{ (J = 6Jl ~.- 2: (Jomh x I d n~l (njldlw cos [(njldll)' (hld)] (JlI2Y - [(njldll)' (hld)y.cos [(x Id)' (njldll)], (5) kde ;1.2 plyne opět ze vztahu (4), dosadíme-li místo proměnné (rod) proměnnou (njldll). Nosník konečné délky byl řešen jako nepodepřený.žádné zvláštní potíže však nepůsobí řešení nosníku konečné délky, který je na koncích podepřen. Numerické výpočty vztahů (1) až (5) byly značně náročné, a to zvláštěpokud jde o výrazy (1) a (2). Druhý a třetí člen výrazu (1) je tvořen nekonečnou řadou nevlastních integrálů. Tyto řady jsou příčinou všech obtíží. Pro časy, kdy čelo rozruchu proběhne od místa působení budícího zatížení dráhu dlouhou řádově jen několik šířek pásu, jsme vystačili při vyčíslování nevlastních integrálů s klasickou jednotřetinovou Simpsonovou metodou. Pro požadovanou několikaprocentnírelativní přesnost stačilo sčítat prvních 40 členů řad, integrační interval mohl být od 0,1 do 100 a nejmenší krok Simpsonovy metody 0,1. Protože v integrandech integrálů řad vystupujíjako parametry kořeny ;n a 7}n, musely být v dostatečném počtu k dispozici před vlastním výpočtem integrálů. Pro každou z rovnic (2) bylo určeno pro každé n od jedné do čtyřiceti 1000 kořenů. Dohromady tedy bylo předpočítáno hodnot a teprve potom mohly být vyčísleny integrály. Tento postup vyhověl při výpočtech průběhů složek napětí v řezech až do hodnot xld = 4 a pro časy dané parametrem c-tld nejvýše 3. V této etapě výpočtů nebyly porovnány průběhy složek napětí v pásu s napětími Timošenkova nosníku. To bylo cílem až dalších výpočtů. Všechny až dosud popsané výpočty byly vykonány na počítači ELLIOTT 503.

6 726 STROJNÍCKY éasofis 28, 1977, Č Porovnániupjatosti púu ft Timošenkova nosm'ku pro dlouhé časy. Podstatně složitější situace nastane, budeme-li chtít počítat průběhy složek napětí v pásu pro větší hodnoty xld a c-tld, než které byly uvedeny v předchozím odstavci. Aplikace stejného postupu jako při předcházejícíchvýpočtechby vedla k velkému prodloužení výpočtových časů. Bylo proto nutno použít ekonomičtější metodu. Větším hodnotám xld a c-ttd odpovídá velké zhuštění nulových bodů integrandů v (1), a to díky velkému počtu nulových bodů příslušných trigonometrických funkcí. Vzhledem k možnostem použitého počítače E 503 byly jako největší možné hodnoty zvoleny xld = 10 a Cz/Id = 15 (tomu odpovídá c3/ld==25, 35). Při této volbě mají funkce Ft, F«, F 3 na celém užitém integračním intervalu, tj. od 0,1 do 99, pouze několiknulových bodů. Jejich vyčíslení však, vzhledem k jejich složitosti, zabere podstatnou část strojového času při výpočtu hodnoty integrandu. Pro zvolené hodnoty xld a Cz/Id musí být krok Simpsonovy metody rovný 0,01, což znamená, že musí být vypočteno téměř hodnot integrandů každého integrálu. Počítat funkce Ft, F, a F 3 podle přesných vztahů není vzhledem ke spotřebě strojového času možné a vedlo by k nereálným nárokům na strojový čas. Byla proto navržena metoda, podle níž se počítají přesně všechny trigonometrické funkce, kdežto funkce Ft, F«a F 3 se přesně počítají jenom v určitých bodech integračníhointervalu a mezi těmito body se nahrazují parabolou. To je umožněno právě jejich pomalou změnouv důsledku malého počtu nulových bodů. Stejně tak disperzní závislosti lze vzhledem k jejich téměř monotónním průběhůmod určité hodnoty (viz obr. 2 a 3) nahrazovat po částech parabolou. Po velmi důkladném prověření vlastností integrandů bylo možno navrhnout definitivní algoritmus pro výpočty tohoto typu. Bylo prokázáno, že není možno nahradit disperzní křivky po částech parabolou v intervalu wd=o,1 až tod = 5, jsou-li k dispozici přesné hodnoty ~n a l1n pouz~ pro dělení rod po 0,1. A právě s tímto dělením máme hodnoty ~n a l1n před počítány z předchozí etapy výpočtů. Bylo proto nutné v intervalu 0,1 až 5 dopočítat kořeny rovnic disperzních křivek s dělením po 0,01 a integrály v tomto intervalu zpracovat opět klasickou Simpsonovou metodou s tím, že se počítají přesné hodnoty integrandůa funkce Ft, F, a F 3 se nenahrazují po částech parabolou. Tato část úlohy byla řešena ve spolupráci s Podnikem výpočetní technj.~y v Litoměřicích a zpracoval ji Ing. J.' Volek. Při určování kořenů vypracoval novoutzv. metodu rovnoběžnýchsečen, která podstatně zrychlila jejich výpočet oproti metodě půlení kroku, použité dříve. Popišme nyní stručně tuto metodu. Mějme rovnici f(x) = O, kde funkce f(x) je definována a spojitá v intervalu a <x < b. Předpokládejme, že je znám uzavřený interval (a, (3), kde a >a, f3 < b, pro jehož okrajové body jsou znaménka funkčních hodnot rozdílná, tj. platí f(a)-{(f3) <O. Dále předpokládejme, že v intervalu (a, (3) existuje pouze jeden kořen ě, pro který platíf(~)=o.spojnice

7 STROJNiCKY CASOPIS 28, 1911, Č SI bodů f(a) a [(fj) (viz obr. 4) určí na ose x první aproximaci kořene ;, rovnou hodnotě {3-a Xl = a - [(a) [({3) - f(a), obdobnou jako podle metody regula falsi. Přímka S2 vedená bodem [(Xl) rovnoběžně s přímkou SI protne osu x v bodě X2' f{xl Obr. 4 - PHC. 4 - Fig. 4 f[xji flsl x Jestliže nyní: a) Xz E (;, XI), potom nové {3 položíme rovno x, a předchozí postup opakujeme, b) X2 E (a, ;), potom nové a položíme rovno X z a předchozí postup opakujeme, c) xz<a, potom bodem [(XI) vedeme přímku o směrnici která protíná osu X v novém bodě Xz. Další zpřesnění kořene potom probíhá podle bodu a) nebo b). Výpočet je dokončen, jestliže je dosaženo zvolené relativní přesnosti e, definované vztahem la-{3i::::;;elxll Vlastní výpočtový algoritmus je ovšem složitější než zde uvedený, protože je nutno vždy uvažovat všechny možné průběhyfunkce v intervalu (a, {3). Přednosti této metody rovnoběžných sečen při výpočtu reálných kořenů nelineárních rovníc je to, žěnení např. třeba znát derivace příslušné funkce, nebo že v intervalu (a, tj) může být jak extrém této funkce, tak i inřlexní bod. Po dopočítání potřebného množství kořenů rovnicdisperzních křivek byly v PVT Litoměřicena počítači MINSK 22 vyčíslovány pouze řady, tvořící druhý a třetí čl~n výrazu (1). Bylo opět sčítáno pouze prvních 40 členů těchto řad, a to pro interval' rod od 0,1 do 5. Takto získané hodnoty byly potom sčítánys hodnotami získanými na počítači E 503 v intervalu rod od 5 do 99. Popišme teď tuto etapu výpočtů.jak bylo řečeno dříve, některé části integrandů byly nahrazovány parabolou. Protože první člen ve výrazu (1) neobsahuje kořeny disperzních závislosti, molů být

8 728 STROJNÍCKY ČASOPIS č: 6 vyčíslován v celém integračnímintervalu na počítači E 503 a nahrazován parabolami. Tak od rod =0,1 do rod=25 byl jeho integrand nahrazován parabolou druhého stupně v intervalu délky 0,2. Pro rod = 25 do rod=99 bylo nahrazení parabolou v intervalu délky 1,6. Pro každý dílčí interval je třeba znát tři přesné hodnoty nahrazované funkce. Těmito hodnotami jsou funkční hodnoty na počátku, uprostřed a na konci příslušného intervalu. x/d=10 ~6 2 6 h x Obr. 5 - PHC. 5 - Fig. 5 Pro druhý a třetí člen výrazu (1) byla situace složitější. Zde pro 1. až 10. člen řady měl interval, v němž byl integrand a disperzní křivky nahrazovány parabolou, pro rod=5 až rod =25 délku 0,4 a pro rod =25 do rod =99 délku 1,6. Pro 11. až 40. člen řady pro rod = 5 až do rod = 99 měl náhradní interval délku 0,8. V této etapě výpočtů byly nejprve vypočítány průběhy složek o, a t'xy pro xld= 10 a c2tld= 15. Potom byly počítány průběhy těchto složek napětí pro xld = 5 a c2tld = 15. Pro jednu hodnotu jedné složky napětí byla potřeba 1 hodina strojového času počítačeminsk 22 a 1,5 hodiny strojového času počítačee 503. Současně s výpočty průběhů složek napětí v pásu probíhaly výpočty Timošenkova nosníku, a to pro stejné xlda c-ttd jakou pásu. Byly vyčíslovány jednakvztahy typu (3) pro nosník nekonečný a dále vztahy typu (5) pro nosník konečný. Abychom pro oba tyto vztahy získali výsledky shodné na 4 první cifry, musel být

9 STROJNÍCKY ČASOPIS č u nosníku nekonečné délky pro o, integračníinterval od tj = 0,02 do L1 == 20 a krok Simpsonovy metody, použité k vyčíslení integrálu, byl 0,01. Pro složku t x y musely být hodnoty tj =0,02, L1 =30 a krok roven 0,01. Při vyčíslování vztahu typu (5) muselo být pro složku o, sčítáno 300 prvních členu řady, kdežto pro složku r x y muselo být sčítáno 500 členu řady. Tyto výpočty byly prováděny na stolním kalkulátoru HP 9820 A. Pro výpočet jednoho průběhu jedné složky napětí bylo zapotřebí asi 15 minut strojového času tohoto počítače. To je doba nesrovnatelně kratší, než jakou vyžadují výpočty v pásu. Získané výsledky jsou uvedeny na obr. 5, kde jsou porovnány průběhy obou počítaných složek napětí v obou uvažovaných řezech, a to jak pro stěnový pás (čárkovaná čára), tak i pro Timošenkův nosník (plná čára). Z obrázku je patrná velmi dobrá shoda u složky a., zatímco u složky i x y jsou značné rozdíly. Přitom je zajímavé, že hodnoty i x y prořez x /d = love stěnovém pásu jsou značně větší, než jaké dává Timošenkův nosník, zatímco v řezu x /d = 5 je situace opačná. Na základě těchto prvních srovnání nelze ještě jednoznačně rozhodnout v prospěch či neprospěch jednorozměrných metod. K tomu je potřeba mít více srovnávacího materiálu. Už dnes se však ukazuje, podle.dobré shody průběhu složky a., že v případech, kde bude pro únosnost konstrukce rozhodující tato složka napětí, bude možno použít jednorozměrnémetody. Nebude je možné ovšem použít v blízkém okolí místa rázu a pro velmi krátké časy, srovnatelné s časem potřebným k proběhnutí čela rozruchu přes šířku pásu. 3. Závěr V předkládaném článku je stručně popsán postup, který byl použit při řešení napjatosti stěnového pásu a Timošenkova nosníku příčně nestacionárně zatížených. Je zde ukázáno, s jakými potížemi jsme se museli vypořádat při vyčíslování hlavně napjatosti pásu pro dlouhé časy po začátku působení budícího zatížení. Numerické zpracování úlohy klade velké nároky na číslicovou výpočetní techniku, a to zvláště v případě stěnového pásu. Neporovnatelně jednodušší je situace u Timošenkova nosníku. Přes všechny potíže byly získány originální výsledky, v literatuře zatím nepublikované, které umožňují porovnat napjatost pásu a Timošenkova nosníku. Prvý případ byl řešen přesnou metodou, kdežto druhý byl řešen přibližnou jednorozměrnou metodou. Velmi dobrá shoda podélné složky napětí obou případuukazuje, že tam, kde pro únosnost konstrukce je rozhodující tato složka, bude možno bez většího rizika použít jednoduchou přibližnou metodu. Větší rozdíly se objevují u složky smykového napětí. V pracech na této úloze se bude pokračovata podrobný popis všech získaných výsledku bude uveřejněn v dalším článku.

10 730 STROJNÍCKY CASOPlS 28, 1977, Č. 6 LITERATURA [1] VALEŠ,F.: Výpočet napjatosti příčně nestacionárně zatíženého stěnového pásu. Strojn. Čas., 24, 1973, č. 5. ~ [zl VALEŠ, F.: Napjatost elastického pásu při příčném rázu. Výzkumná zpráva č. Z 355/71 ÚT ČSAV, Praha ~ [31 VALEŠ, F.: Napjatost tenkého nosníku příčně nestacionárně zatíženého ~ Timošenkův VÝPOČtový model. Výzkumná zpráva č. Z 514/76 ÚT ČSAV, Praha ~ [4] VALEŠ, F.: Vyčíslení vztahů pro posuvy a napětí při příčném rázu na pás. Výzkumná zpráva č, Z -t16/73 ÚT ČSAV, Praha [5) VALEŠ, F. ŠEBKOVÁ, H.: The state of stress in non-stationary loaded thin belt, Acta Technica ČSAV, č, 4, Lektor: G. Martinček Rukopis dodaný: 18:

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady.

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu.

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu. Ohyb přímých prutů nosníků Ohyb nastává, jestliže v řeu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řeu Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech

Více

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012

Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Opakování rovnice přímky Úloha: Určete rovnici přímky procházející body A[a, f(a)] a B[b, f(b)], kde f je funkce spojitá

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Automatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností

Automatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností Automatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností různých přístrojů a zařízení. (Mechanizace, Automatizace, Komplexní automatizace) Kybernetika je Věda, která zkoumá obecné

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

VYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŢENÝRSTVÍ cvičení 9

VYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŢENÝRSTVÍ cvičení 9 UNIVERZITA TOMÁŠE BATI VE ZLÍNĚ FAKULTA APLIKOVANÉ INFORMATIKY VYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŢENÝRSTVÍ cvičení 9 Nestacionární vedení tepla v rovinné stěně Hana Charvátová, Dagmar Janáčová Zlín 2013 Tento

Více

studentská kopie 3. Vaznice - tenkostěnná 3.1 Vnitřní (mezilehlá) vaznice

studentská kopie 3. Vaznice - tenkostěnná 3.1 Vnitřní (mezilehlá) vaznice 3. Vaznice - tenkostěnná 3.1 Vnitřní (mezilehlá) vaznice Vaznice bude přenášet pouze zatížení působící kolmo k rovině střechy. Přenos zatížení působícího rovnoběžně se střešní rovinou bude popsán v poslední

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Únosnost kompozitních konstrukcí

Únosnost kompozitních konstrukcí ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta strojní Ústav letadlové techniky Únosnost kompozitních konstrukcí Optimalizační výpočet kompozitních táhel konstantního průřezu Technická zpráva Pořadové číslo:

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Pružnost a plasticita II CD03

Pružnost a plasticita II CD03 Pružnost a plasticita II CD3 uděk Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechanik tel: 5447368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/stm/brdecko.l/html/distcz.htm Obsah

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01

MOCNINY A ODMOCNINY. Standardy: M-9-1-01 M-9-1-02 PYTHAGOROVA VĚTA. Standardy: M-9-3-04 M-9-3-01 matematických pojmů a vztahů, k poznávání základě těchto vlastností k určování a zařazování pojmů matematického aparátu Zapisuje a počítá mocniny a odmocniny racionálních čísel Používá pro počítání s mocninami

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

1 Použité značky a symboly

1 Použité značky a symboly 1 Použité značky a symboly A průřezová plocha stěny nebo pilíře A b úložná plocha soustředěného zatížení (osamělého břemene) A ef účinná průřezová plocha stěny (pilíře) A s průřezová plocha výztuže A s,req

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Cvičení 1 Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Napjatost v bodě tělesa Napjatost (napěťový stav) v bodě tělesa je množinou obecných napětí ve všech řezech, které lze

Více

NESTABILITY VYBRANÝCH SYSTÉMŮ. Úvod. Vzpěr prutu. Petr Frantík 1

NESTABILITY VYBRANÝCH SYSTÉMŮ. Úvod. Vzpěr prutu. Petr Frantík 1 NESTABILITY VYBRANÝCH SYSTÉMŮ Petr Frantík 1 Úvod Úloha pokritického vzpěru přímého prutu je řešena dynamickou metodou. Prut se statickým zatížením je modelován jako nelineární disipativní dynamický systém.

Více

4 Numerické derivování a integrace

4 Numerické derivování a integrace Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Výukový text pro učební obor Technik plynových zařízení Vzdělávací oblast RVP Plynová zařízení a Tepelná technika (mechanika) Pardubice 013 Použitá literatura: Technická

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA ILUSTRAČNÍ TEST MAIZD4C0T0 Pokyny k hodnocení MATEMATIKA Pokyny k hodnocení úlohy Vyznačte na číselné ose obraz čísla 0,6. 0,6 3 apod. NEDOSTATEČNÉ ŘEŠENÍ Chybně vyznačený obraz, resp. není zřejmé, kde

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí

Více

Použitý rezistor (jmenovitá hodnota): R1 = 270 kω je přesný metalizovaný rezistor s přesností ± 0,1%.

Použitý rezistor (jmenovitá hodnota): R1 = 270 kω je přesný metalizovaný rezistor s přesností ± 0,1%. Laboratorní úloha Snímač teploty R je zapojený podle schema na Obr. 1. Snímač je termistor typ B57164K [] se jmenovitým odporem pro teplotu 5 C R 5 00 Ω ± 10 %. Závislost odporu termistoru na teplotě je

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

Úvod do analytické mechaniky

Úvod do analytické mechaniky Úvod do analytické mechaniky Vektorová mechanika, která je někdy nazývána jako Newtonova, vychází bezprostředně z principů, které jsou vyjádřeny vztahy mezi vektorovými veličinami. V tomto případě např.

Více

Stěnové nosníky. Obr. 1 Stěnové nosníky - průběh σ x podle teorie lineární pružnosti.

Stěnové nosníky. Obr. 1 Stěnové nosníky - průběh σ x podle teorie lineární pružnosti. Stěnové nosníky Stěnový nosník je plošný rovinný prvek uložený na podporách tak, že prvek je namáhán v jeho rovině. Porovnáme-li chování nosníků o výškách h = 0,25 l a h = l, při uvažování lineárně pružného

Více

NAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB

NAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MECHANIKA DRUHÝ ŠČERBOVÁ M. PAVELKA V. 12. KVĚTNA 2013 Název zpracovaného celku: NAMÁHÁNÍ NA OHYB NAMÁHÁNÍ NA OHYB Nejdůleţitější konstrukční prvek pro ohyb je nosník.

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A

Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 1, varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R1 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční

Více

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr.

Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr. . cvičení Klopení nosníků Klopením rozumíme ztrátu stability při ohybu, při které dojde k vybočení prutu z roviny jeho prvotního ohybu (viz obr.). Obr. Ilustrace klopení Obr. Ohýbaný prut a tvar jeho ztráty

Více

Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)

Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Inovace studijního oboru Geotechnika Reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0009 Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Doc. RNDr.

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

ZDM PŘÍMÉ NOSNÍKY. Příklad č. 1. Miloš Hüttner SMR2 ZDM přímé nosníky cvičení 09. Zadání

ZDM PŘÍMÉ NOSNÍKY. Příklad č. 1. Miloš Hüttner SMR2 ZDM přímé nosníky cvičení 09. Zadání iloš Hüttner SR D přímé nosníky cvičení 09 adání D PŘÍÉ NOSNÍKY Příklad č. 1 Vykreslete průběhy vnitřních sil na konstrukci zobrazené na Obr. 1. Příklad převzat z katedrové wikipedie (originál ke stažení

Více

Pohyb tělesa po nakloněné rovině

Pohyb tělesa po nakloněné rovině Pohyb tělesa po nakloněné rovině Zadání 1 Pro vybrané těleso a materiál nakloněné roviny zjistěte závislost polohy tělesa na čase při jeho pohybu Výsledky vyneste do grafu a rozhodněte z něj, o jakou křivku

Více

Úročení a časová hodnota peněz

Úročení a časová hodnota peněz Úročení a časová hodnota peněz V přednášce budou představeny základní pojmy z finanční matematiky. 1 Jednoduché úročení a diskontování V případě jednoduchého úročení nedochází k připisování úroku k původnímu

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

ZÁKLADNÍ PŘÍPADY NAMÁHÁNÍ

ZÁKLADNÍ PŘÍPADY NAMÁHÁNÍ 7. cvičení ZÁKLADNÍ PŘÍPADY NAMÁHÁNÍ V této kapitole se probírají výpočty únosnosti průřezů (neboli posouzení prvků na prostou pevnost). K porušení materiálu v tlačených částech průřezu dochází: mezní

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

VYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŢENÝRSTVÍ cvičení 8

VYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŢENÝRSTVÍ cvičení 8 UNIVERZITA TOMÁŠE BATI VE ZLÍNĚ FAKULTA APLIKOVANÉ INFORMATIKY VYBRANÉ STATĚ Z PROCESNÍHO INŢENÝRSTVÍ cvičení 8 Hana Charvátová, Dagmar Janáčová Zlín 2013 Tento studijní materiál vznikl za finanční podpory

Více

D ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU 1. D Algebraická vyjádření tvarové amplitudy mnohostěnu [1]

D ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU 1. D Algebraická vyjádření tvarové amplitudy mnohostěnu [1] D ALGEBRAICKÁ VYJÁDŘENÍ TVAROVÉ AMPLITUDY MNOHOSTĚNU 1 D Algebraická vyjádření tvarové amplitudy mnohostěnu [1] Tvarovou amplitudu mnohostěnu 177) trojrozměrného tělesa V S X) = A exp ikx x) d x, 1) V

Více

Optimalizace vláknového kompozitu

Optimalizace vláknového kompozitu Optimalizace vláknového kompozitu Bc. Jan Toman Vedoucí práce: doc. Ing. Tomáš Mareš, Ph.D. Abstrakt Optimalizace trubkového profilu z vláknového kompozitu při využití Timošenkovy hypotézy. Hledání optimálního

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Vzpěr, mezní stav stability, pevnostní podmínky pro tlak, nepružný a pružný vzpěr Ing. Jaroslav Svoboda

Vzpěr, mezní stav stability, pevnostní podmínky pro tlak, nepružný a pružný vzpěr Ing. Jaroslav Svoboda Střední průmyslová škola a Vyšší odborná škola technická Brno, Sokolská 1 Šablona: Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název: Téma: Autor: Číslo: Anotace: Mechanika, pružnost pevnost Vzpěr,

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Cvičení 9 (Výpočet teplotního pole a teplotních napětí - Workbench)

Cvičení 9 (Výpočet teplotního pole a teplotních napětí - Workbench) VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) Pružnost a pevnost v energetice (Návody do cvičení) Cvičení 9 (Výpočet teplotního pole a teplotních napětí - Workbench)

Více

Newtonova metoda. 23. října 2012

Newtonova metoda. 23. října 2012 Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné Newtonova metoda Michal Čihák 23. října 2012 Newtonova metoda (metoda tečen) využívá myšlenku, že tečna v daném bodě grafu funkce nejlépe aproximuje graf funkce

Více

Statika 1. Miroslav Vokáč ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Vokáč. Příhradové konstrukce a názvosloví

Statika 1. Miroslav Vokáč ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Vokáč. Příhradové konstrukce a názvosloví 5. přednáška Miroslav Vokáč miroslav.vokac@klok.cvut.cz ČVUT v Praze, Fakulta architektury 5. května 2014 (prutové ) podle prostoru rozdělujeme na: Rovinné Prostorové Dále se budeme zabývat jen rovinnými

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Posouzení stability svahu

Posouzení stability svahu Inženýrský manuál č. 25 Aktualizace 07/2016 Posouzení stability svahu Program: MKP Soubor: Demo_manual_25.gmk Cílem tohoto manuálu je vypočítat stupeň stability svahu pomocí metody konečných prvků. Zadání

Více

Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny

Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny Měření modulů pružnosti G a E z periody kmitů pružiny Online: http://www.sclpx.eu/lab2r.php?exp=2 V tomto experimentu vycházíme z pojetí klasického pokusu s pružinovým oscilátorem. Z periody kmitů se obvykle

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1

MATEMATIKA B 2. Integrální počet 1 metodický list č. 1 Integrální počet 1 V tomto tématickém celku se posluchači seznámí s některými definicemi, větami a výpočetními metodami užívanými v části matematiky obecně známé jako integrální počet

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup) Průřezová témata, projekty

Více

Tabulky únosností trapézových profilů ArcelorMittal (výroba Senica)

Tabulky únosností trapézových profilů ArcelorMittal (výroba Senica) Tabulky únosností trapézových profilů ArcelorMittal (výroba Senica) Obsah: 1. Úvod 4 2. Statické tabulky 6 2.1. Vlnitý profil 6 2.1.1. Frequence 18/76 6 2.2. Trapézové profily 8 2.2.1. Hacierba 20/137,5

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

KONSTRUKCE POZEMNÍCH STAVEB

KONSTRUKCE POZEMNÍCH STAVEB 6. cvičení KONSTRUKCE POZEMNÍCH STAVEB Klasifikace konstrukčních prvků Uvádíme klasifikaci konstrukčních prvků podle idealizace jejich statického působení. Začneme nejprve obecným rozdělením, a to podle

Více

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Obsah Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Silové působení kabelu na beton Ekvivalentní zatížení Staticky neurčité účinky předpětí Konkordantní kabel, Lineární

Více

A mez úměrnosti B mez pružnosti C mez kluzu (plasticity) P vznik krčku na zkušebním vzorku, smluvní mez pevnosti σ p D přetržení zkušebního vzorku

A mez úměrnosti B mez pružnosti C mez kluzu (plasticity) P vznik krčku na zkušebním vzorku, smluvní mez pevnosti σ p D přetržení zkušebního vzorku 1. Úlohy a cíle teorie plasticity chopnost tuhých těles deformovat se působením vnějších sil a po odnětí těchto sil nabývat původního tvaru a rozměrů se nazývá pružnost. 1.1 Plasticita, pracovní diagram

Více

Ctislav Fiala: Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb

Ctislav Fiala: Optimalizace a multikriteriální hodnocení funkční způsobilosti pozemních staveb 16 Optimální hodnoty svázaných energií stropních konstrukcí (Graf. 6) zde je rozdíl materiálových konstant, tedy svázaných energií v 1 kg materiálu vložek nejmarkantnější, u polystyrénu je téměř 40krát

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství

Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Katedra geotechniky a podzemního stavitelství Modelování v geotechnice Metoda okrajových prvků (prezentace pro výuku předmětu Modelování v geotechnice) doc. RNDr. Eva Hrubešová, Ph.D. Inovace studijního

Více

7. Základní formulace lineární PP

7. Základní formulace lineární PP p07 1 7. Základní formulace lineární PP Podle tvaru závislosti mezi vnějšími silami a deformačně napěťovými parametry tělesa dělíme pružnost a pevnost na lineární a nelineární. Lineární pružnost vyšetřuje

Více

Stavební mechanika 2 (K132SM02)

Stavební mechanika 2 (K132SM02) Stavební mechanika 2 (K132SM02) Přednáší: doc. Ing. Matěj Lepš, Ph.D. Katedra mechaniky K132 místnost D2034 e-mail: matej.leps@fsv.cvut.cz konzultační hodiny budou upřesněny později https://mech.fsv.cvut.cz/student/

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

STATICKÉ TABULKY stěnových kazet

STATICKÉ TABULKY stěnových kazet STATICKÉ TABULKY stěnových kazet OBSAH ÚVOD.................................................................................................. 3 SATCASS 600/100 DX 51D................................................................................

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ TĚŽIŠTĚ

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ TĚŽIŠTĚ Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 2.10 TĚŽIŠTĚ Těžiště (hmotný střed) je působiště tíhové síly působící na těleso. Těžiště zavádíme jako působiště

Více

Sylabus k přednášce předmětu BK1 SCHODIŠTĚ Ing. Hana Hanzlová, CSc., Ing. Jitka Vašková, CSc.

Sylabus k přednášce předmětu BK1 SCHODIŠTĚ Ing. Hana Hanzlová, CSc., Ing. Jitka Vašková, CSc. Schodiště jsou souborem stavebních prvků (schodišťová ramena, podesty, mezipodesty, podestové nosníky, schodnice a schodišťové stěny), které umožňují komunikační spojení různých výškových úrovní. V budovách

Více

MEZNÍ STAVY POUŽITELNOSTI PŘEDPJATÝCH PRŮŘEZŮ DLE EUROKÓDŮ

MEZNÍ STAVY POUŽITELNOSTI PŘEDPJATÝCH PRŮŘEZŮ DLE EUROKÓDŮ 20. Betonářské dny (2013) Sborník Sekce ČT1B: Modelování a navrhování 2 ISBN 978-80-87158-34-0 / 978-80-87158-35-7 (CD) MEZNÍ STAVY POUŽITELNOSTI PŘEDPJATÝCH PRŮŘEZŮ DLE EUROKÓDŮ Jaroslav Navrátil 1,2

Více

Namáhání ostění kolektoru

Namáhání ostění kolektoru Inženýrský manuál č. 23 Aktualizace 06/2016 Namáhání ostění kolektoru Program: MKP Soubor: Demo_manual_23.gmk Cílem tohoto manuálu je vypočítat namáhání ostění raženého kolektoru pomocí metody konečných

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

Diskrétní řešení vzpěru prutu

Diskrétní řešení vzpěru prutu 1 z 5 Diskrétní řešení vzpěru prutu Discrete solution of beam buckling Petr Frantík Abstract Here is described discrete method for solution of beam buckling. The beam is divided into a number of tough

Více