KONSTRUKCE TYÚHELNÍKU UŽITÍM MNOŽINY BOD. (3 hodiny) tyúhelníky:

Transkript

1 KONSTRUKE TYÚHENÍKU UŽITÍM MNOŽINY BO (3 hodiny) V této itole udeme zoumt onstruce všech druh tyúhelní (rovnožníy, onvexní tyúhelníy) rom lichožníu, terým ude vnován smosttná itol. Než istouíš smotným onstrucím, zouj si nejdíve záldní druhy tyúhelní jejich vlstnosti. K disozici Ti dávám následující ehledné shrnutí. Poud se Ti zdá, že si rolemtiu oteuješ více rohlouit, odívej se n itolu tyúhelníy. tyúhelníy: N orázu je vyznen onvexní tyúhelní je to ást roviny ohrniená uzvenou lomenou árou sládjící se ze ty úsee AB B A. Sousední vrcholy tyúhelníu: A B B A Protjší vrcholy tyúhelníu: A B Sousední strny tyúhelníu: c c d d Protjší strny tyúhelníu: c d Sousední vnitní úhly tyúhelníu: Protjší vnitní úhly tyúhelníu: Úhloíy tyúhelníu: A B Ovod tyúhelníu: o c d Souet vnitních úhl v ždém tyúhelníu je roven 360º

2 Rovnožníy: Rovnožní je tyúhelní, jehož ždé dv rotjší strny jsou rovnožné shodné Jsou-li všechny vnitní úhly rovnožníu rvé, nzývá se rovnožní PRAVOÚHENÍK. Mezi rvoúhelníy díme tverec odélní. Není-li žádný z vnitních úhl rovnožníu rvý, nzývá se rovnožní KOSOÚHENÍK. Mezi osoúhelníy díme osotverec osodélní. R O V N O B Ž N Í K Y tverec Odélní Kosotverec Kosodélní Všechny strny jsou stejn dlouhé (rovnostrnný rovnožní) Sousední strny mjí rzné dély (rznostrnný rovnožní) Všechny strny jsou stejn dlouhé (rovnostrnný rovnožní) Sousední strny mjí rzné dély (rznostrnný rovnožní) Všechny vnitní úhly jsou rvé (rvoúhelníy) Žádný vnitní úhel není rvý (osoúhelníy) Úhloíy se nvzájem lí Úhloíy mjí stejnou délu Úhloíy nemjí stejnou délu Úhloíy jsou so olmé Úhloíy so nejsou olmé Úhloíy jsou so olmé Úhloíy so nejsou olmé Stedov soumrné útvry

3 Osov soumrný (tyi osy soumrnosti) Osov soumrný (dv osy soumrnosti) Osov soumrný (dv osy soumrnosti) Není osov soumrný Máš-li zoováno, mám ro Tee velmi líovou otázu, terou se ousíme solu zodovdt. T tdy je t otáz: Koli údj je te znát ro onstruci tyúhelníu? První velmi stá štná odov i s vysvtlením zní si tto: Ke onstruci trojúhelníu oteuji 3 údje (3 strny 3 údje) e onstruci tyúhelníu mi tedy stí údje 4 (4 strny 4 údje). Pousme se to solen vyvrátit. Nrtni si liovolný onvexní tyúhelní vyzn v nm jednu úhloíu (viz or.) P odovídej n mé jednoduché otázy.? N oli trojúhelní mn úhloí tyúhelní rozdlí? N dv trojúhelníy AB, A? o mjí o trojúhelníy solené? O trojúhelníy mjí solenou strnu A? Koli údj oteuješ ro onstruci trojúhelníu AB? Jo u ždého trojúhelníu oteuji znát 3 údje? A oli jich ješt oteuješ ro onstruci trojúhelníu A? Stí mi ouze dv údje, jeliož solenou strnu A již znám? Koli údj tedy oteuješ celem? = 5 Závr: Pro onstruci tyúhelníu je te znát celem t údj

4 Poznám: Pi onstruci rovnožníu mi stí údje ti, rotože rovnožní má shodné rotjší strny Postu i onstruci liovolného tyúhelníu: 1. Pousíš se sestrojit omocný trojúhelní, terý se sládá ze dvou strn udoucího tyúhelníu jedné ze dvou úhloíe tyúhelníu. Tento omocný trojúhelní sestrojíš omocí To již známých onstrucí sss, sus, usu neo Ssu. Použiješ t ti údje ze zdání. o ostuu onstruce stí ouze zst, že jsi sestrojil trojúhelní AB odle dné vty: AB (sss) 2. tvrtý neznámý vrchol tyúhelníu dostneš jo rni dvou množin od, jejichž onstruci Ti oslouží zývjící dv údje v zdání. Poznámy: - Poud omocný trojúhelní nelze sestrojit omocí známých onstrucí, je te do ostuu onstruce uvézt všechny roy vedoucí jeho sestrojení (viz íldy 4, 5) - V ostuech onstruce udu sto užívt záis omocí stedové soumrnosti (i onstrucích rovnožní). Píld 1: Sestroj rovnožní AB, je-li dáno: 4cm 5cm e A 7cm Nárt rozor: Jeliož rotjší strny rovnožníu jsou rovnožné, známe vlstn 5 údj ( = c = de) S( ) : B

5 Postu onstruce: 1. AB sss 3. S : B 4. RovnožníAB Konstruce: 2. A A Závr: Rovnožní vyhovuje, jedno ešení ve zvolené olorovin Poznám: Urit jsi si všiml, že i hledání neznámého odu není nutno užít stedové soumrnosti. Nízím Ti ješt dlší ešení. Jeho ostu onstruce vydá následovn: 1. AB sss 2. // AB 3. q q // B A q 5. RovnožníAB 4. q

6 Odon si lze vyírt i v následujících íldech, já již udu rcovt ouze s jedním ešením, ty si v rámci cviení zoušej i jiné ešení. Píld 2: Sestroj rovnožní AB, je-li dáno: 7cm 5cm AB 135 Nárt rozor: Postu onstruce:

7 1. AB sus 3. S : A 4. RovnožníAB Konstruce: 2. B B Závr: Rovnožní vyhovuje, jedno ešení ve zvolené olorovin Píld 3: Sestroj rovnožní AB, je-li dáno: 7cm d 4,5cm v 3, 5cm Nárt rozor:

8 Postu onstruce Konstruce: RovnožníAB A S B B cm v AB v AB cm d r A cm AB AB 4. : ,5, // 3. 4,5,

9 Závr: Rovnožní vyhovuje, dv ešení ve zvolené olorovin (rovnožní AB 1 1 je vyznen mode, rovnožní AB 2 2 není revn vyznen, ty si jej ve své onstruci ro vtší ehlednost revn vyzn) Píld 4: Sestroj rovnožní AB, je-li dáno: 40mm c 60mm v 50mm Nárt rozor:

10 Postu onstruce: 1. B B 40mm 4cm 2., r c 60mm 6cm 3. // B v, B B B 6. A S : A 7. RovnožníAB v 50mm 5cm Konstruce: Závr: Rovnožní vyhovuje, dv ešení ve zvolené olorovin (rovnožní B 1 A 1 je vyznen mode, rovnožní B 2 A 2 není revn vyznen, ty si jej ve své onstruci ro vtší ehlednost revn vyzn) Píld 5: Sestroj osotverec (rovnožní) AB, je-li dáno: e A 9cm f B 6cm Nárt rozor: Zus ijít n to, jým omocným trojúhelníem zneš? Terve oté se odívej n mj oráze. Poud si nevíš rdy, zus si odovdt n následující otázy:? o ltí ro úhloíy v osotverci? Nvzájem se lí

11 ? Jý úhel svírjí úhloíy v osotverci? Svírjí rvý úhel Myslím si, že už si n omocný trojúhelní išel. Jedná se níld o trojúhelní AB, de 1 1 A A 4,5cm B B 3cm. Zyte je již velmi jednoduchý (užij ot 2 2 stedovou soumrnost) Postu onstruce: 1. AB sus 2. S : A 3. S : B 4. KosotverecAB Konstruce:

12 Závr: Rovnožní vyhovuje, jedno ešení ve zvolené olorovin Píld 6: Sestroj tyúhelní AB, je-li dáno: 7cm 4cm c 5cm d 5,5cm AB 75 Nárt rozor: Jedná se o oecný tyúhelní, roto se v zdání ojevilo celem 5 údj. Ot se nejrve ousíme njít sestrojit trojúhelní. tvrtý, chyjící vrchol, zísáme jo rni dvou množin od. Souástí nártu ude i struný rozor (ude zsán od nártem). V nártu zznmenám modrou rvou známé údje ze zdání, ržovou rvou tvrtý, neznámý vrchol tyúhelníu

13 ( B r ) l( r c Postu onstruce: 1. AB sus 3. l l r c 5cm 2. B r 4cm 4. l 5. tyúhe ln íab Konstruce: Závr: Rovnožní vyhovuje, dv ešení ve zvolené olorovin tyúhelníy AB 1 (onvexní) AB 2 (neonvexní neoznen revn) Píld 7: Sestroj tyúhelní AB, je-li dáno: 3cm 3,5cm c 4cm BA 75 B 115 Nárt rozor: Jedná se o oecný tyúhelní, roto se v zdání ojevilo celem 5 údj

14 ) ( ) ( BX X c r Postu onstruce: Konstruce: íab tyúhe X BX BX cm c r sus AB ln

15 Závr: Rovnožní vyhovuje, jedno ešení ve zvolené olorovin Píld 8: Sestroj tyúhelní AB s úhloími A = e, B = f, je-li dáno: 7cm 4cm e 5cm f 6cm d 4, 5cm Nárt rozor: ( B r f ) l( A r d) Postu onstruce:

16 1. AB sss 4. l 5. tyúhe ln í AB Konstruce: 2. B r f 6cm 3. l l A r d 4,5cm Závr: Rovnožní vyhovuje, jedno ešení ve zvolené olorovin Píld 9: Sestroj tyúhelní AB s úhloími e = A, f = B, je-li dáno: 12cm e A 11cm f B 15cm Nárt rozor:

17 ) ( ) ( BAX AX f r B Postu onstruce: Konstruce: íab tyúhe AX BAX BAX cm f r B Ssu AB ln

18 Závr: Rovnožní vyhovuje, dv ešení ve zvolené olorovin (tyúhelní AB 1 je vyznen mode, tyúhelní AB 2 není revn vyznen) Poznám: Všimni si, j netrná zmn jednoho rozmru mže zmnit oet ešení. Níld zmníme veliost úhlu z vodních 60 n 75. A nyní se odívej, co se stne: Všimni si, že nelze sestrojit od, tedy nelze sestrojit trojúhelní AB ni tyúhelní AB. ná onstruní úloh y t neml ešení. Jinými zmnmi údj lze no zíst níld 3 ešení (viz cviení n onci itoly).

19 Píld 10: Sestroj tyúhelní AB, je-li dáno: 5cm 6cm AB 115 AB 100 B 60 Nárt rozor: AY ( BAY ) X ( BX ) Postu onstruce: 1. AB sus 2. BAY BAY BX BX AY X 5. tyúhe ln í AB Konstruce:

20 Závr: Rovnožní vyhovuje, jedno ešení ve zvolené olorovin Píld 11: Sestroj tyúhelní AB, je-li dáno: 9cm AB 75 AB 80 f B 10cm c Nárt rozor: Nejdíve nrtnu ouze to, co známe ze zdání. Pous se hem nártu njít trojúhelní, terým y ylo vhodné zít. Asi ro Tee neyl rolém zjistit trojúhelní, terým i onstruci zneš. Je to trojúhelní AB, terý sestrojíš odle vty Ssu. N terých množinách od le ude ležet od? Urit n oloímce BY (úhel ABY mí 80 ). Nyní njdeme druhou množinu od:

21 ? Jý je trojúhelní A? Je rovnormenný, odle zdání = c? o ltí ro vrchol ležící nroti záldn rovnormenného trojúhelníu? Je stejn vzdálen od od B,? N teré množin od tedy ude od ležet? N ose záldny B Pedládám Ti nyní úlný nárt s rozorem: Postu onstruce: 1. AB sus 2. ABX ABX o o je os úsey (úhloíy) B 5. tyúhe ln í BX o 80 AB BX ( ABX ) o (os úsey B) Konstruce:

22 Závr: Rovnožní vyhovuje, jedno ešení ve zvolené olorovin Píld 12: Sestroj osotverec AB, je-li dáno: v 3cm f B 6cm Nárt rozor: Všimni si, že zde orvé nelze zít onstrucí njé strny osotverce. J tedy zít? Zmysli se nd vlstnostmi osotverce! Uvdom si, že se jedná o rovnožní. o thle

23 zít rovnožmi, jejichž vzdálenost je v = 3 cm? A n jedné z nich si vyzn od B. Už víš. Nrtni si zontroluj si s mým nártem od textem. A q A B Postu onstruce: q q // v q 3. B B 4. l l( B r f 6cm) 5. l q 6. B B 7. B 8. A A 9. q 10. osotverec AB Konstruce: v 3cm

24 Závr: osotverec vyhovuje, dv ešení v olorovin V I E N Í Pous se nejrve sám onstruní úlohu vyešit. Neudeš-li si vdt rdy, odívej se n výsledy. V nich je ouze nsáno, j zísáš omocí množin od neznámý vrchol lichožníu (rozor úlohy). Píldy jsou velmi odoné uázovým íldm. T s chutí do toho! Píld 1: Sestroj rovnožní AB, je-li dáno: AB 7cm B 5cm AB 45 Píld 2: Sestroj rovnožní AB, je-li dáno: AB 4cm d A 6cm f B 7cm Píld 3: Sestroj rovnožní AB, je-li dáno: AB 7cm v 3cm BA 40 Píld 4: Sestroj rovnožní AB, je-li dáno: AB 7cm AB 60 AB 45 Píld 5: Sestroj osotverec AB, je-li dáno: e A 8cm f B 12cm Píld 6: Sestroj osotverec AB, je-li dáno: AB 7cm v 4cm

25 Píld 7: Sestroj osotverec AB, je-li dáno: e A 8cm v 4cm Píld 8: Sestroj tyúhelní AB, je-li dáno: 7cm 4cm c 5cm d 5cm 65 Píld 9: Sestroj tyúhelní AB, je-li dáno: 5,6cm 4,2cm c 2,5cm Píld 10: Sestroj tyúhelní AB, je-li dáno: 8cm d 6cm e A 9cm Píld 11: Sestroj tyúhelní AB, je-li dáno: 12cm A 11cm B 10cm Píld 12: Sestroj tyúhelní AB, je-li dáno: 9cm B 6cm d Píld 13: Sestroj tyúhelní AB, je-li dáno: 9cm B 6cm d Výsledy úloh: Úloh 1: AB S S : B je sted A 1ešení v olorovin Úloh 2: AB( sss) je sted B S : A 1ešení v olorovin Úloh 3: // AB v(, AB) v AX BAX 40 je sted A S : B neo 1ešení v olorovin B

26 Úloh 4: v olorovin 1ešení : S je sted A ) ( ) 60 ( B ABY BY BAX AX Úloh 5: v olorovin 1ešení : : : B S S A S S ASB cm BS cm AS ABS Úloh 6: v olorovin 2ešení : je sted A ) ( ). ( // B S r B v AB v AB Úloh 7: v olorovin 2ešení r qa r r A rr je sted A ) ( ), ( // A r A A v q v q Úloh 8:

27 AB sss ( r c) l( A r d) 1ešení v olorovin Úloh 9: AB sus ( B r ) BX ABX 90 1ešení v olorovin Úloh 10: AB( sus) ( A r e) ( B) - Thletov 2ešení v olorovin ružnice nd úseou B Úloh 11: AB( sus) ( B r f ) AY( BAY ) 3ešení v olorovin Úloh 12: viz uázový íld 11 B( Ssu) A A o, BX ( BX de o je os strny B, rotože trojúhelní BA je 2ešení v olorovin ) rovnormenný ( d) Úloh 13: Rozor totožný s úlohou 12, trojúhelní B nelze sestrojit, úloh nemá ešení.