2 HODINY. - jedná se o další velmi dležitou množinu bod urité vlastnosti. P: Narýsuj si kružnici k se stedem S a polomrem 6 cm.

Transkript

1 T H A L E T O V A K R U Ž N I E 2 HODINY - jedná se o další velmi dležitou množinu bod urité vlastnosti P: Narýsuj si ružnici se stedem S a polomrem 6 cm. 1. Sestroj libovolný prmr ružnice Krajní body prmru si ozna A, B. 2. Na ružnici si libovoln zvol další body, D, E, F. 3. Zm veliosti úhl AB, ADB, AEB, AFB. Pojmenuj vznilé trojúhelníy. 4. o jsi zjistil? Poud jsi pracoval stejn jao já, zjistil jsi, že aždý z bod, D, E, F tvoí vrchol pravoúhlého trojúhelníu s peponou AB, terá pedstavuje prmr ružnice. Není vša náš výslede náhodný? Zísali bychom stejný výslede pro ružnici o libovolném polomru? Narýsuj si libovolnou ružnici, opt si sestroj prmr ružnice AB a zvol si na ružnici bod. Nyní bez mení zusíme uázat, že úhel AB je pravý (viz obr.)

2 Postupuj podle mého návodu: 1. S( S) : D - ve stedové soumrnosti se stedem S sestroj bod D jao obraz bodu 2. Sestroj tyúhelní ABD Nyní odpovídej na mé otázy:? Ja nazýváme úsey AB, D? Úhlopíy ve tyúhelníu nebo prmry ružnice, protože procházejí jejím stedem? Jaá je vzdálenost bodu S od bod A, B,, D? Stejná, vzdálenost bodu S od bod A, B,, D je vždy rovna polomru ružnice? o vše tedy platí pro úhlopíy AB, D?

3 Jsou shodné a navzájem se plí? Ve terém tyúhelníu jsou úhlopíy shodné a navzájem se plí? V obdélníu nebo ve tverci? o platí pro vnitní úhly obdélníu a tverce, a tedy i pro hledaný vnitní úhel AB? Jsou pravé, a tedy vnitní úhel AB je opravdu pravý (viz obr.) Stejn ta je pravý libovolný úhel AB, de vrchol leží na ružnici mimo rajní body prmru AB!!! Objevitelem této velmi zajímavé a dležité vlastnosti se stal ecý matemati a filosof Thalés z Milétu (žil v letech 624 až 547 p.n.l.). Své výsledy zformuloval do Thaletovy vty (napiš si ji) THALETOVA VTA

4 Pro libovolný trojúhelní AB platí: - jestliže je trojúhelní AB pravoúhlý s peponou AB, leží vrchol na ružnici s prmrem AB mimo body A,B. Kružnice se nazývá Thaletova ružnice. Znaení: je velmi rznorodé, napílad, h stejn jao jiné ružnice Úmluva: v následujících apitolách bude Thaletova ružnice znaena ecým písmenem (ti tau je to obdoba našeho písmene t) a v postupech onstruce budu používat následující zjednodušený a urychlující zápis: (AB) Thaletova ružnice sestrojená nad prmrem (peponou) AB Definuj Thaletovu ružnici jao množinu bod dané vlastnosti Thaletova ružnice je ružnice s prmrem AB, terá pedstavuje množinu vrchol pravých úhl pravoúhlých trojúhelní s peponou AB, pitom body A, B do této množiny nepatí.? Myslíš si, že existuje taový bod, terý neleží na Thaletov ružnici a pitom je úhel AB pravý? To je velmi zajímavá otáza. Zusme si taovou situaci nartnout (viz obr.) a poté formou otáze pijít na odpov výše položené otázy. Pedstavíme si, že jsme našli bod D, pro terý platí, že úhel ADB je pravý. Dále je na obrázu Thaletova ružnice, na ni je bod a tedy úhel AB je rovnž pravý.

5 ? o platí pro úhel BD? Je pravý. Úhel AD je pímý (180 ), úhel AB je pravý (90 ), úhel BD má tedy rovnž 90? Nezdá se Ti na trojúhelníu BD nco zvláštního? Má dva pravé úhly a taový trojúhelní neexistuje, protože v aždém trojúhelníu je souet všech vnitních úhl 180? Existuje tedy bod mimo Thaletovu ružnici a pitom je úhel AB pravý? Neexistuje A na závr si zusíme vytvoit Thaletovu ružnici pomocí množiny bod bez ružíta, piemž budeš potebovat pravoúhlý trojúhelní a dva špendlíy V sešit si zvol libovolné dva body A, B a do tchto bod zapíchni své dva špendlíy. Vezmi si pravoúhlý trojúhelní a polož jej ta, aby se ramena pravého úhlu dotýala špendlí. Ozna vrchol pravého úhlu. Na obrázu pod tímto textem máš zaznaené dv polohy téhož pravoúhlého trojúhelníu (modrou a ervenou barvou). Sám si taových poloh zazna v sešit co nejvíce. Dostaneš ta množinu bod, terá Ti po spojení dá hledanou Thaletovou ružnici.

6 Pílad 1: Je dána úsea AB o polomru 8 cm. Sestrojte množinu všech bod ta, aby byl úhel AB pravý. Rozbor: Hledanou množinou bod je Thaletova ružnice nad prmrem AB. Je to ružnice, jejíž sted leží ve stedu úsey AB a jejíž polomr je roven polovin dély úsey AB, je tedy 4 cm. Postup onstruce: 1. AB; AB 8cm 2. S; S je sted AB 1 3. ; ( S; r AB 4cm) 2 4. ; mimo body A, B Konstruce:

7 Závr: ružnice vyhovuje, jedno ešení v rovin Pílad 2: Dopoti veliosti chybjících úhl oznaených na obrázcích ervenými vyiníy Otázy vedoucí ešení obr. 1 vetn odpovdí:? Jaou množinu bod pedstavuje ružnice? Jedná se o Thaletovu ružnici sestrojenou nad prmrem A? o platí pro úhel u vrcholu B, terá na Thaletov ružnici leží? Je to úhel pravý, = 90

8 ? o platí pro souet vnitních úhl trojúhelníu? Je vždy 180? Umíš si již dopoítat veliost úhlu? = 180 ( ) = = 28 Otázy vedoucí ešení obr. 2 bez odpovdí:? o platí pro veliost úhl u vrchol A,?? o platí pro souet vnitních úhl v libovolném trojúhelníu?? Jaé jsou pa veliosti vnitních úhl,?? o platí pro souet vnitních úhl v tyúhelníu ABD?? Ov si na zálad pedchozí otázy, že vnitní úhly v tvém tyúhelníu jsi uril správn? Odpovdi: = 30, = 40, souet vnitních úhl v tyúhelníu je 360, Pílad 3: Je dána úhlopía tverce A = 8 cm. Sestrojte zbývající vrcholy tverce ABD. Ke onstruci vrchol užij Thaletovu ružnici. Nárt a rozbor: nejprve si zopauj, co platí pro strany tverce a pro jeho úhlopíy. Poté si svj nárt zontroluj s mým. Pomocí terých množin bod zísáš neznámé vrcholy tverce B, D? Pod nártem nalezneš rozbor zapsán pomocí matematicé symboliy. Dladn si jej prostuduj. Rozumíš mu? Pamatuj, že aždý rozbor, je-li to možné, by ml být pomocí matematicé symboliy u nártu zapsán!!!

9 B, D ( A) B, D o B, D ( A) o Postup onstruce: 1. A; A 8cm 2. S; S je sted A 3. ( A) 4. o; je osa A 5. B, D; B, D ( A) o 6. tverec ABD Konstruce: Závr: tverec vyhovuje, jedno ešení v rovin Pílad 4: Je dána úsea AB dély 8 cm. Urete množinu všech vrchol pravoúhlých trojúhelní AB, teré mají odvsnu B = 6 cm. Nárt a rozbor: podíváš-li se na mj nárt, ihned urit zjistíš, na terých množinách bod leží hledaný bod, pod nártem pa najdeš rozbor zapsaný pomocí matematicé symboliy.

10 AB cm B r B AB ) ( 6 ; ( ) ( Postup onstruce: AB AB cm r B AB cm AB AB 5. ) ( ; 4. 6 ; ; 3. ) ( 2. 8 ; 1. Konstruce:

11 Závr: trojúhelní vyhovuje, jedno ešení v polorovin Pílad 5: Jsou dány body A, B,, teré neleží na jedné pímce. Sestrojte množinu všech bod taových, aby úhly ADB a BD byly pravé. Rozbor: úloha je natoli jednoduchá, že nárt vynechám (ty si jej vša udlej) a zamíme se na nalezení bodu D jao prni dvou množin bod. Budu Ti dávat otázy, na teré se pous odpovídat. Svou odpov si zontroluj s mou odpovdí, terá je hned pod otázou. Ná závr je rozbor zapsán pomocí matematicé symboliy.? o musí platit pro úhel ADB? Podle zadání musí být pravý? Na teré množin bod tedy bude bod D ležet? Bude ležet na Thaletov ružnici 1 sestrojené nad prmrem AB? Doážeš tuto množinu popsat (teré body do ní nap. nepatí)? Bude to ružnice bez bod A, B? Na teré další množin bod bude bod D ležet? Podle zadání je i úhel BD pravý, bod D bude tedy ležet taé na Thaletov ružnici 2 sestrojené nad prmrem B? Kde tedy bude celov bod D ležet? Bod D musí souasn ležet na obou Thaletových ružnicích, leží tedy v prniu obou ružnic (v prniu dvou množin bod) Možné zápisy rozboru: D 1( AB) 2 ( B) - zrácený zápis rozboru

12 D ( AB) 1 D ( B) 2 D ( AB) ( B) podrobný popis rozboru Postup onstruce: 1. A, B, 2. ( AB) 1 3. ( B) 2 4. D; D 1 2 Závr: bod D vyhovuje, jedno ešení v rovin Poznáma: Pro bod B není ešením úlohy, aoliv leží v prniu obou ružnic? Pílad 6: Urete množinu všech vrchol pravoúhlých trojúhelní AB s peponou c dély 8 cm, platí-li dále, že veliost úhlu BA je menší než 50. Úlohu eš v rovin. Nárt a rozbor: Nejprve si úlohu vyeš pro pípad, dy je veliost úhlu BA rovna 50 (viz obr.). Nezapome, že úlohu ešíš v rovin.

13 Na obráze Ti nyní vyznaím další body. Pous se sám zdvodnit, teré body spl ují pvodní zadání. Opt Ti pomžu otázami. Otázy pro bod 3 :? o musí platit pro bod 3? Musí ležet na Thaletov ružnici a úhel 3 BA musí být menší než 50

14 ? Leží bod 3 na Thaletov ružnici? Ano? Je úhel 3 BA menší než 50? (zaresli si jej a porovnej s úhlem 1 BA = 50 ) Ano, bod c 3 tedy patí do hledané množiny bod (na obr.pod textem vyznaen erven) Stejn postupuj i pro zbývající body 4, 5, 6. Poté se podívej na obráze, erven jsou na nm vyznaeny body, teré do dané množiny patí, fialov pa body, teré do dané množiny nepatí. Víš pro? Už víš, terá množina bod je ešením naší úlohy?

15 Množinou bod je oblou 2 A 1 ružnice bez bodu A (u bodu A je prázdné oleo, což znamená, že do dané množiny bod nepatí). Bod A do dané množiny nepatí, protože hledáme množinu všech pravoúhlých trojúhelní. Dopl ující úoly: v závislosti na požadavu o úhlu BA stanov ešení formou množiny bod: a) BA < 50º - ešením je b) BA > 50º - ešením je c) BA 50º - ešením je UŽITÍ THALETOVY KRUŽNIE TENY Z BODU KE KRUŽNII Pílad 7 (dležitý): Je dána ružnice se stedem S a polomrem 3 cm a bod A, pro terý platí, že SA = 7 cm. Vete z bodu A teny e ružnici. Nejprve si spolen pipomeneme, co to vlastn tena je. Tena t je píma, terá má s ružnicí spolený práv jeden bod T, terý se nazývá bod dotyu. Tena je olmá na polomr r ružnice v bod dotyu T.

16 Nárt a rozbor: Nejprve Ti nartnu pouze zadání, pod ním pa najdeš otázy nalezení bodu T.? Jaou veliost má úhel STA u vrcholu T? Pravý úhel, protože tena je vždy olmá na polomr ružnice? Na teré množin bod rom ružnice ješt bod T musí ležet? Musí ležet na Thaletov ružnici s prmrem SA (úhel u vrcholu T je pravý 1. otáza)

17 ? Ja tedy bod T zísáš? Jao prni dvou množin bod ružnice a Thaletovy ružnice Nárt a rozbor ješt jednou: T T ( SA) T ( SA) Postup onstruce: 1. ; S; r 3cm 2. A; AS 7cm 3. ( SA) 4. T; T ( SA) 5. tena AT Konstruce:

18 Závr: úloha vyhovuje zadání, dv ešení v rovin Zamysli se!!!:? Kde by musel ležet bod A, aby mla úloha 1 ešení? Odpov najdeš v nápovd úloze 11 na onci této apitoly? Kde by musel ležet bod A, aby úloha nemla ešení? Odpov najdeš v nápovd úloze 10 na onci této apitoly Pílad 8 (sestrojení teny bez Thaletovy ružnice): Je dána ružnice ( S; r 4cm). Sestrojte všechny teny t e ružnici, pro teré platí, že tena t je rovnobžná s danou pímou p a vzdálenost pímy p od bodu S je 7 cm. Nárt a rozbor: Staí si uvdomit, že tena je vždy olmá na prmr ružnice. Každá rovnobža s tenou (vetn zadané pímy p) bude tedy taé olmá na prmr ružnice. Z obrázu je Ti ihned jasné, ja zísáš bod dotyu T.

19 Postup onstruce: t T p t t l T T l S p l l cm p S v p cm r S // ; 5. ; 4. ; 3. 7 ), ( ; 2. ) 3 ; ( ; 1. Konstruce:

20 Závr: teny vyhovují zadání, dv ešení v rovin V I E N Í Pous se nejprve sám úlohu vyešit, nebudeš-li si vdt rady, podívej se na výsledy. V nich je pouze napsáno, ja zísáš pomocí množin bod neznámý údaj (rozbor úlohy). Pílady jsou velmi podobné uázovým píladm. Ta s chutí do toho! Úloha 1: Je dána úsea AB, pro terou platí, AB = 7 cm. Sestrojte množinu bod ta, aby vznilý trojúhelní AB byl pravoúhlý. Úloha 2: Je dána úsea KL, pro terou platí KL = 8 cm. Sestrojte množinu prseí S úhlopíe KM a LN všech možných osotverc KLMN. Narýsujte aspo jeden taový sted a osotverec. Úloha 3: Uri veliost erven znaených chybjících úhl: Úloha 4: Sestroj pravoúhlý trojúhelní AB s pravým úhlem pi vrcholu, je-li dáno: AB 10cm, B 4cm Úloha 5: Sestroj pravoúhlý trojúhelní AB s pravým úhlem pi vrcholu, je-li dáno: AB 6cm, AB 30 Úloha 6: Urete množinu všech vrchol pravoúhlého trojúhelníu AB s pravým úhlem pi vrcholu, je-li dáno AB = 8 cm, B 4 cm Úloha 7: Urete množinu všech vrchol pravoúhlého trojúhelníu AB s pravým úhlem pi vrcholu, je-li dáno AB = 8 cm, A < 4 cm

21 Úloha 8: Urete množinu všech vrchol pravoúhlého trojúhelníu AB s pravým úhlem pi vrcholu, je-li dáno AB = 8 cm, AB > 35º Úloha 9: Je dána úsea AB, de AB = 5 cm. Sestrojte množinu všech bod ta, aby byl úhel AB pravý a vzdálenost bodu od ružnice ( A; r 3cm) byla 1 cm. Úloha 10: Sestroj teny z bodu X e ružnici ( A; r 4cm), je-li AX = 6 cm. Úloha 11: Sestroj teny z bodu X e ružnici ( A; r 6cm), je-li AX = 5 cm. Úloha 12: Sestroj teny z bodu X e ružnici ( A; r 4cm), je-li AX = 4 cm. Výsledy úloh: Úloha 1: Množinou bod je Thaletova ružnice sestrojená nad prmrem AB bez bod A, B Úloha 2: Množinou všech sted S je Thaletova ružnice sestrojená nad prmrem KL bez bod K, L Úloha 3: Staí si uvdomit, že na obou obrázcích jsou Thaletovy ružnice a dále si uvdomit, co platí pro souet vnitních úhl v trojúhelníu a v tyúhelníu Úloha 4: ( AB) ( B; r B ) ( AB) Úloha 5: ( AB) AX ( BAX ) ( AB) AX Úloha 6:

22 Nejprve sestroj v rovin pravoúhlý trojúhelní AB ( AB = 8 cm, B = 4 cm, BA = 90º). Vyjdou Ti dv ešení v rovin (body 1, 2 ). Poté si na Thaletov ružnici vyzna další body a zoumej, teré úsey B odpovídají zadání. Výsledem úlohy je oblou 1 A 2 vetn bod 1, 2. Úloha 7: Nejprve sestroj v rovin pravoúhlý trojúhelní AB ( AB = 8 cm, A = 4 cm, BA = 90º). Vyjdou Ti dv ešení v rovin (body 1, 2 ). Poté si na Thaletov ružnici vyzna další body a zoumej, teré úsey B odpovídají zadání. Výsledem úlohy je oblou 1 A 2 bez rajních bod 1, 2 (z dvodu ostré nerovnosti v zadání). Úloha 8: Nejprve sestroj v rovin pravoúhlý trojúhelní AB ( AB = 8 cm, AB < 35º, BA = 90º). Vyjdou Ti dv ešení v rovin (body 1, 2 ). Poté si na Thaletov ružnici vyzna další body a zoumej, teré úsey B odpovídají zadání. Výsledem úlohy je oblou 1 A 2 bez rajních bod 1, 2 (z dvodu ostré nerovnosti v zadání). Úloha 9: ( AB) ( A; r 3cm1cm 4cm) nebo ( A; r 3cm 1cm 2cm) 1 ( AB) tyiešení 1 nebo (AB) 2 2 Úloha 10: T ( AX ) dv teny Úloha 11: Úloha nemá ešení, bod X totiž leží uvnit ružnice a jaáoliv píma jím procházející protne ružnici ve dvou bodech. Taová píma se nazývá sena ružnice, nioliv hledaná tena. Úloha 12: Staí spojit sted S s bodem X a poté bodem X vézt olmici na úseu SX. Tato olmice je hledanou tenou. Úsea SX totiž pedstavuje polomr ružnice a tena je na nj vždy olmá. Úloha má vždy jen jedno ešení, bod X je teným bodem.