Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n n n n. n n n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b b n) = 1 b

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b"

Transkript

1 Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je ) + = = Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a <, b < + + b Protože pro a < je k= a k = a, je + a + a + + a ) + b + b + + b = + b + b + + b ) = b a + a + a + + a Najděte itu ) ) Protože součet prvích čleů aritmetické poslouposti ) =, je ) ) = = ) = = Najděte itu [ + ] ) Typeset by AMS-TEX

2 Protože platí vztah k= + ) = +, je kk + ) = k= k ) = ) = k + + Najděte itu 4 8 ) Protože ) =, je 4 8 ) )+/ = 3 )+ +/ ) /+/ = Dokažte, že existuje ita poslouposti a = Protože a + = a, je pro 0 posloupost a klesající Protože a > 0, je tato posloupost zdola omezeá Existuje tedy Dokažte, že existuje ita poslouposti a = ) ) ) 4 Protože a + = + posloupost a je zdola omezeá, existuje a Dokažte, že existuje ita poslouposti ) a < a, jedá se o klesající posloupost Protože avíc a > 0, tj a = si + si + + si Protože pro každé, k N platí erovost a +k a = si + ) si + ) ) k si + k) +k <,

3 splňuje posloupost a Cauchy Bolzaovu podmíku, a tedy koverguje Dokažte, že existuje ita poslouposti a = cos! + cos! cos! + ) Protože je + ) = a +k a = + a cos!, platí pro každé, k N erovost cos + )! cos + )! + + ) + ) + ) + 3) + + cos + k)! + k) + k + ) + ) + ) + + ) + 3) k) + k + ) = = + + k + + Proto posloupost a splňuje Cauchy Bolzaovu podmíku, a tedy koverguje Najděte a a a pro posloupost a = ) + 3 ) Uvažujme dvě vybraé poslouposti b 0, = a = + 3 ) a b, = a = Protože b 0, = a b, =, je a = a a = Najděte a a a pro posloupost a = ) + + ) + 3 ) Ozačme b 0, = a = + a b, = a + = dvě poslouposti vybraé z poslouposti + a = 0 a a = a Protože b 0, = a b, = 0, je Najděte a a a pro posloupost a = + + cos π Pro k = 0,,, 3 ozačme b k, = a 4+k = k 4 + k + cos kπ poslouposti a Protože b k, = +cos kπ čtyři vybraé poslouposti z, je a = b, = 0 a a = b 0, = 3

4 Najděte a a a pro posloupost a = + cos π 3 Pro k = 0,, ozačme b k, = a 3+k = 3 + k 3 + k + a Protože b k, = cos kπ Najděte a a a pro posloupost 3 cos kπ 3 tři vybraé poslouposti z poslouposti, je a = b, = b, = a a = b 0, = a = π cos + 3 Pro k = 0,, ozačme b k, = a 3+k = tři vybraé poslouposti z poslouposti a Protože b k, = cos kπ 3 b 0, = Najděte a a a pro posloupost a = 3 + k) kπ cos k) 3, je a = b, = + ) ) + si π 4 b, = a a = Pro k = 0,,, 7 ozačme b k, = a 8+k = ) k + ) 8+k + si kπ 8 + k 4 osm vybraých podposloupostí z poslouposti a Protože b k, = ) k e + si kπ, je a = 4 b 5, = b 7, = e a a = b, = e + Najděte itu + ) Protože ) + = = + +, je + ) = + + = 4

5 Najděte itu + ) ) Protože ) =, je k= k )k = k= k ) = ) = k Najděte itu 3 + ) ) + ) Protože ) + ) = ), je + k= k )k + ) = = k= k + ) = k + ) = Najděte itu a + a, a > 0 Protože pro 0 < a < je a + a = Tedy a = 0, je pro 0 < a < ita a + a = = + a Pro a > je a + a = 0 pro 0 < a < pro a = pro a > a = 0 Pro a = je + a Najděte itu ) 3 + Protože 3 + = 4 ) 3, je = e + + Najděte itu ) + 3 5

6 Protože + 3 = 3 ), je = e 3/ Najděte itu ) Protože + = ) 4+, je = e Najděte itu + 3) ) + 3 Protože + 3) = + 3, je + 3) = + 3 ) + 3 = e6 0 = 0 Najděte itu ) ) Protože =, je = + 3 Tedy ) = = Dokažte kovergeci řady a ajděte její součet ) + Najdeme tý částečý součet této řady Protože s = + 4 +, je s + ) ) = ) + Tedy s = 3 + ) ) + Protože je = 0, je s = s = 3 Dokažte kovergeci řady + ) ) ) 3 + 6

7 a ajděte její součet Částečý součet této řady je Protože je s = = Dokažte kovergeci řady a ajděte její součet Protože platí k= k + ) /) 3 k = + / 3 /3) /3 = 0, je s = 3 s = )3 + ) + 3 )3 + ) = 3 3 ), je tý částečý součet rove 3 + s = k= 3 )3 + ) = 3 k= Tedy s = s = 3 ) = k ) = ) 3k Dokažte kovergeci řady ) a ajděte její součet Nejprve ajdeme tý částečý součet řady Te je s = k ) + k + + k = k= + + = k k + k = k=3 Protože + + = k= k= + + +, je s = s = + = V závislosti a x R zkoumejte kovergeci řady si x 7

8 Protože pro x kπ, k Z, eí si x = 0, řada si x diverguje Pro x = kπ, k Z, je si kπ = 0, a tedy čley řady jsou všechy rovy ule Proto řada x = kπ, k Z, a diverguje pro x kπ, k Z Vyšetřete kovergeci řady si x koverguje pro Jedá se o řadu s ezáporými čley Uvažujme fukci fx) = x pro x Pro N je f) = = a Derivace této fukce f x) = je pro x záporá Proto je fukce x ) fx) pro x klesající Tedy podle itegrálího kritéria koverguje řada současě s itegrálem + dx x Protože teto itegrál diverguje, diverguje také řada Vyšetřete kovergeci řady Protože je a = Vyšetřete kovergeci řady = 0, řada diverguje ) + Jedá se o řadu s ezáporými čley Uvažujme fukce fx) =, x, + ) Protože x ) je f 4 x) = x ) 3 < 0 pro x >, je fukce fx) klesající Neboť f) = ) = a, + dx koverguje podle itegrálího kritéria řada současě s itegrálem ) x ) Protože teto itegrál koverguje = /), koverguje také řada Vyšetřete kovergeci řady )

9 Jedá se o řadu s ezáporými čley Pro x > 0 uvažujme fukci fx) = je f) = fukce fx) klesající x x + Pro N 3x + ) je záporá, je x x + ) 3/ současě s ite- + grálem = a Protože derivace této fukce f x) = Podle itegrálího kritéria koverguje řada dx x x + protože teto itegrál koverguje = l + ) ), koverguje také řada Vyšetřete kovergeci řady ) + ) Jedá se o řadu s ezáporými čley Protože koverguje řada ) a = = ) + ), ) + ) současě s řadou apříklad podle itegrálího kritéria), řada V závislosti a x R zkoumejte kovergeci řady si x + ) + ) také diverguje si x si x Protože tato řada diverguje Protože pro každé x R platí erovost si x také pro každé x R řada si x V závislosti a x R zkoumejte kovergeci řady a řada cos x cos x cos x koverguje = ), koverguje Protože pro každé x R platí erovost cos x a řada itegrálího kritéria), koverguje také pro každé x R řada 9 koverguje apříklad podle cos x

10 Vyšetřete kovergeci řady!)! +!) 4! + +!) )! + Protože se jedá o řadu s ezáporými čley, můžeme použít pro zkoumáí její kovergece itího podílového kritéria To dává Tedy řada [ ] )! a + + )! = a + )!! ) = + ) + ) + ) = 4 < )! )! koverguje Vyšetřete kovergeci řady! +! + 3! ! + Jedá se o řadu s ezáporými čley K určeí její kovergece můžeme použít apříklad itího podílového kritéria Protože řada! koverguje Vyšetřete kovergeci řady a + = a! = + )! + ) + +! = ) = e <, ) = + +! + 3 3! ! + Protože se jedá o řadu s ezáporými čley, lze se pokusit zjistit její kovergeci pomocí itího podílového kritéria To dává Tedy řada koverguje Zkoumejte kovergeci řady a + + ) = = ) = e < a + ) + + 3! + 3! ! ! + 0

11 Protože se jedá o řadu s ezáporými čley, lze se pokusit zjistit její kovergeci pomocí itího podílového kritéria To dává Tedy řada diverguje Zkoumejte kovergeci řady a ) = = 3 ) = 3e > a + ) + +!) +!) 4 + 3!) 9 + +!) + Protože se jedá o řadu s ezáporými čley, lze se pokusit zjistit její kovergeci pomocí itího podílového kritéria To dává Tedy řada [ ] a + + )! + ) = ) a +) =! + = 0 < )! koverguje Vyšetřete kovergeci řady ) 3 5 ) ) + Protože se jedá o řadu s ezáporými čley, lze se pokusit zjistit její kovergeci pomocí itího podílového kritéria To dává a + = +3 ) = < a Tedy daá řada koverguje Zkoumejte kovergeci řady + /) Protože se jedá o řadu s ezáporými čley, můžeme se pokusit zjisti její kovergeci pomocí itího odmociového kritéria To dává Tedy řada a = + / ) koverguje + / ) = + / = <

12 Vyšetřujte kovergeci řady = Protože =, je = 0 Tedy řada diverguje Zkoumejte kovergeci řady = ) ) + Jedá se o řadu s ezáporými čley Její kovergeci můžeme zkoumat pomocí itího odmociového kritéria to dává ) a = = ) = e < + + Tedy řada = ) ) koverguje + Zkoumejte kovergeci řady 3 [ + ) ] 3 Nechť je b = a = 8 3 Protože b ==, eí a = 0 Proto řada diverguje 3[ + ) ] 3 Vyšetřete kovergeci řady ) + cos + cos Hodoty cos, Uvažujme fukce fx) = + x a hledejme její maximum a itervalu + x, Protože f x) = + x) > 0, abývá tato fukce a itervalu, maxima f max = 3 ) ) + cos v bodě x = a miima f mi = 0 pro x = Proto platí erovost 0 + cos 3 ) ) + cos Protože řada koverguje s = 4/5), koverguje také řada 3 + cos Vyšetřete kovergeci řady + =

13 Jedá se o řadu s ezáporými čley Protože + 4 a = = + + ), ) je 3/ + a = Tedy řada koverguje současě s řadou 3/ = = Ale posledí řada koverguje apříklad podle itegrálího kritéria) Tedy koverguje také řada + = Vyšetřete kovergeci řady + + ) +)/ Jedá se o řadu s ezáporými čley K určeí její kovergece použijeme itího odmociového kritéria To dává a = + + / + + ) =, /) protože / = ++) /) =, což se dokáže apříklad l Hospitalovým pravidlem Protože <, řada koverguje + + ) +)/ Zkoumejte kovergeci řady ) + ) Jedá se o alterující řadu Můžeme se pokusit ukázat kovergeci této řady pomocí Leibizova kritéria Ozačme a = + ) Podmíka a + ) = = 0 je splěa Ale posloupost a eí mootoí, protože a > a + a a + < a + Budeme zkoumat řadu, v íž sečteme dva po sobě ásledující čley, tj řadu ) a + a = + 3 ) = 4 3 ) ) To je řada s ezáporými čley Neboť =, koverguje řada ) ) současě s řadou, která diverguje Proto diverguje také řada ) + ) Vyšetřujte kovergeci řady si π 4 3

14 Protože řada diverguje, ekoverguje řada si π absolutě Tato řada eí ai alterující Ale jestliže seskupíme čtyři za sebou jdoucí čley řady, dostaeme si π 4 = ) Řadu jsme zapsali jako alterující řadu a = ) + a, kde > 0 ) Protože a = 0 a posloupost a je klesající, koverguje podle Leibizova kritéria řada ) a = si π 4 eabsolutě Vyšetřujte absolutí a eabsolutí kovergeci řady ) + 00 Protože řada s ezáporými čley + 00 koverguje současě s řadou, která diverguje apříklad podle itegrálího kritéria), ekoverguje daá řada absolutě Nyí budeme zkoumat, zda tato řada koverguje eabsolutě Jedá se o alterující řadu Proto se pokusíme dokázat její kovergeci pomocí Leibizova kritéria Platí a = + 00 = 0 x Musíme ještě ukázat, že posloupost a = je klesající Uvažujme fukce fx) = + 00 x + 00 Její derivace je f 00 x x) = x + 00) Protože je tato derivace pro x > 00 záporá, je fukce x fx) pro x > 00 klesající Ale z toho plye, že také posloupost a je pro > 00 klesající Proto daá řada koverguje Vyšetřujte kovergeci řady ) Protože ) =, eí = 0 Tedy řada ) diverguje V závislosti a parametru x R vyšetřujte absolutí a eabsolutí kovergeci řady ) si x 4

15 Nejprve budeme zkoumat absolutí kovergeci této řady K tomu použijeme itího podílového kritéria Protože a + a = si x + = si x, bude řada kovergovat absolutě pro si x <, tj si x <, a divergovat pro si x >, tj pro si x > Tedy řada koverguje absolutě pro x 4k π, 4k + ) π a diverguje 4 4 k Z pro x 4k + π, 4k + 3 ) π 4 4 k Z Pro x = k + π, k Z, je si x = 4 Pro tato x má daá řada tvar ) Protože = 0 a posloupost a = k + je klesající, řada pro x =, k Z, koverguje podle 4 Leibizova kritéria eabsolutě V závislosti a parametru x R zkoumejte absolutí a eabsolutí kovergeci řady ) x + Pokud x = k, k N, eí k tý čle řady defiová, a tedy pro tato x řada ekoverguje Pro ostatí x R se jedá o alterující řadu Protože x + = 0 a x + > x + + daá řada koverguje pro x / N podle Leibizova kritéria eabsolutě Zkoumejte absolutí a eabsolutí kovergeci řady ) + Protože řada + podle itegrálího kritéria diverguje, ekoverguje daá řada absolutě Jedá se o alterující řadu Proto se pokusíme dokázat kovergeci řady pomocí Leibizova kritéria Pro posloupost a = + je a = 0 Zbývá ukázat, že posloupost a je klesající Uvažujme fukci fx) = x x + ) x Protože derivace této fukce f + 4x x x) = je pro x > 5 x + ) x3/ záporá, je tato fukce pro x > 5 klesající Proto je také pro > 5 klesající posloupost a = f) Zkoumejte absolutí a eabsolutí kovergeci řady ) )/ 00 5

16 Protože + ) Zkoumejte absolutí a eabsolutí kovergeci řady = <, daá řada koverguje absolutě ) Uvažujme fukce ) l x l x x x = exp x Protože x + ) = Protože posloupost Zkoumejte absolutí a eabsolutí kovegreci řady = x = 0, je x + x x = emá itu rovou ule, daá řada diverguje siπ/) l Proto je Protože řada = l diverguje, ekoverguje daá řada absolutě Protože posloupost a = si π má omezeé částečé součty a posloupost b = l a je = 0, koverguje daá řada podle Abelova kritéria eabsolutě l je klesající V závislosti a parametru x R zkoumejte absolutí a eabsolutí kovergeci řady [ ] 3 5 ) ) x 4 6 ) Návod: Použijte erovost 3 5 ) 4 6 ) < Nejprve ajdeme možiuvšech x R, pro která řada koverguje absolutě kritérium dává a + a = x + + = x Limití podílové Tedy řada koverguje absolutě pro x < a diverguje pro x > Pro x = dostaeme altrující řadu ) 3 ) b, kde b = Protože b + = 4 ) b < b, je posloupost b klesající Protože 0 < b <, je b = 0 Proto daá řada koverguje pro x = podle Leibizova kritéria eabsolutě Pro x = dostaeme řadu se záporými čley b Jestliže použijeme Raabeho kritérium dostaeme ) ) a + = a + + = + = < 6

17 Tedy podle Raabeova kritéria řada v bodě x = diverguje Zkoumejte absolutí a eabsolutí kovergeci řady ) si Protože eexistuje ) si daá řada diverguje Vyšetřete absolutí a eabsolutí kovergeci číselé řady ) + Nejprve budeme zkoumat absolutí kovergeci daé řady, tj kovergeci řady + Protože + =, koverguje tato řada současě s řadou Protože tato řada diverguje apříklad podle itegrálího kritéria), diverguje také řada Tedy daá řada ekoverguje absolutě + Protože se jedá o alterující, lze k vyšetřováí její kovergece použít Leibizova kritéria Protože + = 0 a posloupost a = + je klesající, řada ) podle tohoto kritéria + koverguje eabsolutě) Vyšetřete kovergeci číselé řady = l Jedá se o řadu s ezáporými čley Uvažujme fukci fx) = x l pro x > Protože její x derivace f x) = l x + x l 3 x < 0 je tato fukce klesající Protože pro =, 3, je f) = a, jsou splěy všechy předpoklady itegrálího kritéria Protože itegrál koverguje = ), koverguje také řada l = + e dx x l x = + dy y Vyšetřete kovergeci číselé řady = l 7

18 Protože se jedá o řadu s ezáporými čley, lze k vyšetřeí její kovergece použít itího odmociového kritéria Protože a = l = 0 <, číselá řada l koverguje = Vyšetřete kovergeci číselé řady = l Jedá se o řadu s ezáporými čley Uvažujme fukci fx) = x l x derivace f x) = l x + pro x > Protože její x l x < 0 je tato fukce klesající Protože pro =, 3, je f) = a, jsou splěy všechy předpoklady itegrálího kritéria Protože itegrál diverguje, diverguje také řada l = + e dx x l x = + dy y Vyšetřete kovergeci číselé řady + ) Jedá se o řadu s ezáporými čley Protože =, koverguje daá řada současě + ) s řadou Protože tato řada diverguje apříklad podle itegrálího kritéria), diverguje také řada + ) Vyšetřete kovergeci číselé řady 3 Jedá se o řadu s ezáporými čley Proto lze k určeí její kovergece použít itího podílového a + 3 kritéria Protože = a + ) 3 = >, číselá řada 3 diverguje Vyšetřete kovergeci číselé řady = l + 5 ) Protože se jedá o řadu s ezáporými čley, lze k vyšetřeí její kovergece použít itího odmociového kritéria Protože a = + 5 = 0 e l ) 5 = 0 < 8

19 číselá řada = l + 5 ) koverguje 9

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY

ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Zápdočeská uiverzit v Plzi Fkult pedgogická Bklářská práce ZÁKLADNÍ SUMAČNÍ TECHNIKY Diel Tyr Plzeň Prohlšuji, že jsem tuto práci vyprcovl smosttě s použitím uvedeé litertury zdrojů iformcí. V Plzi,..

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů

Kapitola 12: Zpracování dotazů. Základní kroky ve zpracování dotazů - 12.1 - Přehled Ifomace po odhad ákladů Míy po áklady dotazu Opeace výběu Řazeí Opeace spojeí Vyhodocováí výazů Tasfomace elačích výazů Výbě pláu po vyhodoceí Kapitola 12: Zpacováí dotazů Základí koky

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/.5./34.948 IV-2 Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- JEDNODCHÉ

Více

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss F. KOUTNÝ, Zlí (. 4. 777.. 855) Každé vyprávěí o ěkom, kdo žil dávo, je utě je kompilací prameů a odkazů, které v ejlepším případě pocházejí od jeho pamětíků. Rámec tohoto textu tvoří

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

I Z klad pojmy teorie pravd podobosti { eoci l u eb text pro p edm t MATEMATIKA V, FS,FM TUL, ( drob chyby ejsou vylou ey) P. Volf, b eze 999 N hod pokus, syst m jev P edm tem teorie pravd podobosti je

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueing systems

MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueing systems MODELY HROMADNÉ OBSLUHY Models of queueig systems Prof. RNDr. Ig. Miloš Šeda, Ph.D. Vysoé učeí techicé v Brě, Faulta strojího ižeýrství, Ústav automatizace a iformatiy e-mail: seda@fme.vutbr.cz Abstrat

Více

Algoritmus RSA. Vilém Vychodil. 4. března 2002. Abstrakt

Algoritmus RSA. Vilém Vychodil. 4. března 2002. Abstrakt Algoritmus RSA Vilém Vychodil 4. břza 2002 Abstrakt Násldující podpůrý txt stručě shruj základí problmatiky při šifrováí algoritmm RSA. Sm spadá j samotý pricip algoritmu, al i základí mtody grováí vlkých

Více

DLUHOPISY. Třídění z hlediska doby splatnosti

DLUHOPISY. Třídění z hlediska doby splatnosti DLUHOISY - dlouhodobý obchodovatelý ceý papír - má staoveou dobu splatost - vyadřue závaze emteta oblgace (dlužía) vůč matel oblgace (věřtel) Tříděí z hledsa doby splatost - rátodobé : splatost do 1 rou

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1

Střední hodnoty. Aritmetický průměr prostý Aleš Drobník strana 1 Středí hodoty. Artmetcký průměr prostý Aleš Drobík straa 0. STŘEDNÍ HODNOTY Př statstckém zjšťováí často zpracováváme statstcké soubory s velkým možstvím statstckých jedotek. Např. soubor pracovíků orgazace,

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií Využití Markovových řetězců pro predikováí pohybu ce akcií Mila Svoboda Tredy v podikáí, 4(2) 63-70 The Author(s) 2014 ISSN 1805-0603 Publisher: UWB i Pilse http://www.fek.zcu.cz/tvp/ Úvod K vybudováí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA RVDĚODONOST STTISTIK Gymázium Jiřího Wolkera v rostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymázia utoři projektu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiky a gymáziu Teto projekt

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Měření na D/A a A/D převodnících

Měření na D/A a A/D převodnících Měřeí a D/A a A/D převodících. Zadáí A. Na D/A převodíku ealizovaém pomocí MDAC 8: a) Změřte závislost výstupího apětí převodíku v ozsahu až V a zvoleé vstupí kombiaci sousedích kódových slov. Měřeí poveďte

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Jan Zahradník, Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích

Jan Zahradník, Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích Pohled do historie fiačí matematiky Ja Zahradík, Pedagogická fakulta Jihočeské uiverzity v Českých Budějovicích Úvod Častým tématem diskusí současých ekoomů je ízká úroveň fiačí gramotosti ašich občaů.

Více

Informační systémy o platu a služebním příjmu zahrnují:

Informační systémy o platu a služebním příjmu zahrnují: Katalog datových prvků a dalších položek používaých v Iformačích systémech o platu a služebím příjmu (ISPSP) verze 2014-6 16. 4. 2014 ISPSP Iformačí systémy o platu a služebím příjmu zahrují: ISP Iformačí

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu . ýpočty s využití vztahů ezi stavovýi veličiai ideálího plyu Ze zkušeosti víe, že obje plyu - a rozdíl od objeu pevé látky ebo kapaliy - je vyeze prostore, v ěž je ply uzavře. Přítoost plyu v ádobě se

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. TEORIE ČÍSEL MNOHOČLENŮ A MNOHOČLENY V TEORII ČÍSEL Jakub Opršal Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím

Více

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK 04 prof. Ig. Bohuml Mařík, CSc. STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH.

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

IDEÁLNÍ PLYN I. Prof. RNDr. Emanuel Svoboda, CSc.

IDEÁLNÍ PLYN I. Prof. RNDr. Emanuel Svoboda, CSc. IDEÁLÍ PLY I Prof. RDr. Eanuel Soboda, CSc. DEFIICE IDEÁLÍHO PLYU (MODEL IP) O oleulách ideálního plynu ysloujee 3 předpolady: 1. Rozěry oleul jsou zanedbatelně alé e sronání se střední zdáleností oleul

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

ř é ů ř ř š Š ě ř é ů Š ě ř é ů ř ř é ě š ů ď ě ý ů ú é ú é ú é ú é ý ú é ř ř ů ř ě ý é ů ě é ř ě Ž é ú ř ý ě ý ř ď ů é Í ě é ě ý Š ěř é ýř é ř ů ó ě ý ř ě ř ě ý ů ě ě š ř ů ú ýš ě ů ú ý ť ě ý ý ď ě ď

Více

Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost /65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv

Více

Základní údaje. Ing. Zdeněk Jindrák JUDr. Dana Musalová. n Vznik společnosti 29.9.1997. n Obchodní název HYDRA a.s.

Základní údaje. Ing. Zdeněk Jindrák JUDr. Dana Musalová. n Vznik společnosti 29.9.1997. n Obchodní název HYDRA a.s. Základí údaje Vzik společosti 29.9.1997 Obchodí ázev HYDRA a.s. Sídlo: Na Zámecké 1518, 140 00 Praha 4 IČO/DIČ 25610562 / CZ25610562 Předmět podikáí Výroba kodezátorů Provozovy: Průmyslová 1110, Jičí Hradecká

Více