Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n n n n. n n n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b b n) = 1 b

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b"

Transkript

1 Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je ) + = = Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a <, b < + + b Protože pro a < je k= a k = a, je + a + a + + a ) + b + b + + b = + b + b + + b ) = b a + a + a + + a Najděte itu ) ) Protože součet prvích čleů aritmetické poslouposti ) =, je ) ) = = ) = = Najděte itu [ + ] ) Typeset by AMS-TEX

2 Protože platí vztah k= + ) = +, je kk + ) = k= k ) = ) = k + + Najděte itu 4 8 ) Protože ) =, je 4 8 ) )+/ = 3 )+ +/ ) /+/ = Dokažte, že existuje ita poslouposti a = Protože a + = a, je pro 0 posloupost a klesající Protože a > 0, je tato posloupost zdola omezeá Existuje tedy Dokažte, že existuje ita poslouposti a = ) ) ) 4 Protože a + = + posloupost a je zdola omezeá, existuje a Dokažte, že existuje ita poslouposti ) a < a, jedá se o klesající posloupost Protože avíc a > 0, tj a = si + si + + si Protože pro každé, k N platí erovost a +k a = si + ) si + ) ) k si + k) +k <,

3 splňuje posloupost a Cauchy Bolzaovu podmíku, a tedy koverguje Dokažte, že existuje ita poslouposti a = cos! + cos! cos! + ) Protože je + ) = a +k a = + a cos!, platí pro každé, k N erovost cos + )! cos + )! + + ) + ) + ) + 3) + + cos + k)! + k) + k + ) + ) + ) + + ) + 3) k) + k + ) = = + + k + + Proto posloupost a splňuje Cauchy Bolzaovu podmíku, a tedy koverguje Najděte a a a pro posloupost a = ) + 3 ) Uvažujme dvě vybraé poslouposti b 0, = a = + 3 ) a b, = a = Protože b 0, = a b, =, je a = a a = Najděte a a a pro posloupost a = ) + + ) + 3 ) Ozačme b 0, = a = + a b, = a + = dvě poslouposti vybraé z poslouposti + a = 0 a a = a Protože b 0, = a b, = 0, je Najděte a a a pro posloupost a = + + cos π Pro k = 0,,, 3 ozačme b k, = a 4+k = k 4 + k + cos kπ poslouposti a Protože b k, = +cos kπ čtyři vybraé poslouposti z, je a = b, = 0 a a = b 0, = 3

4 Najděte a a a pro posloupost a = + cos π 3 Pro k = 0,, ozačme b k, = a 3+k = 3 + k 3 + k + a Protože b k, = cos kπ Najděte a a a pro posloupost 3 cos kπ 3 tři vybraé poslouposti z poslouposti, je a = b, = b, = a a = b 0, = a = π cos + 3 Pro k = 0,, ozačme b k, = a 3+k = tři vybraé poslouposti z poslouposti a Protože b k, = cos kπ 3 b 0, = Najděte a a a pro posloupost a = 3 + k) kπ cos k) 3, je a = b, = + ) ) + si π 4 b, = a a = Pro k = 0,,, 7 ozačme b k, = a 8+k = ) k + ) 8+k + si kπ 8 + k 4 osm vybraých podposloupostí z poslouposti a Protože b k, = ) k e + si kπ, je a = 4 b 5, = b 7, = e a a = b, = e + Najděte itu + ) Protože ) + = = + +, je + ) = + + = 4

5 Najděte itu + ) ) Protože ) =, je k= k )k = k= k ) = ) = k Najděte itu 3 + ) ) + ) Protože ) + ) = ), je + k= k )k + ) = = k= k + ) = k + ) = Najděte itu a + a, a > 0 Protože pro 0 < a < je a + a = Tedy a = 0, je pro 0 < a < ita a + a = = + a Pro a > je a + a = 0 pro 0 < a < pro a = pro a > a = 0 Pro a = je + a Najděte itu ) 3 + Protože 3 + = 4 ) 3, je = e + + Najděte itu ) + 3 5

6 Protože + 3 = 3 ), je = e 3/ Najděte itu ) Protože + = ) 4+, je = e Najděte itu + 3) ) + 3 Protože + 3) = + 3, je + 3) = + 3 ) + 3 = e6 0 = 0 Najděte itu ) ) Protože =, je = + 3 Tedy ) = = Dokažte kovergeci řady a ajděte její součet ) + Najdeme tý částečý součet této řady Protože s = + 4 +, je s + ) ) = ) + Tedy s = 3 + ) ) + Protože je = 0, je s = s = 3 Dokažte kovergeci řady + ) ) ) 3 + 6

7 a ajděte její součet Částečý součet této řady je Protože je s = = Dokažte kovergeci řady a ajděte její součet Protože platí k= k + ) /) 3 k = + / 3 /3) /3 = 0, je s = 3 s = )3 + ) + 3 )3 + ) = 3 3 ), je tý částečý součet rove 3 + s = k= 3 )3 + ) = 3 k= Tedy s = s = 3 ) = k ) = ) 3k Dokažte kovergeci řady ) a ajděte její součet Nejprve ajdeme tý částečý součet řady Te je s = k ) + k + + k = k= + + = k k + k = k=3 Protože + + = k= k= + + +, je s = s = + = V závislosti a x R zkoumejte kovergeci řady si x 7

8 Protože pro x kπ, k Z, eí si x = 0, řada si x diverguje Pro x = kπ, k Z, je si kπ = 0, a tedy čley řady jsou všechy rovy ule Proto řada x = kπ, k Z, a diverguje pro x kπ, k Z Vyšetřete kovergeci řady si x koverguje pro Jedá se o řadu s ezáporými čley Uvažujme fukci fx) = x pro x Pro N je f) = = a Derivace této fukce f x) = je pro x záporá Proto je fukce x ) fx) pro x klesající Tedy podle itegrálího kritéria koverguje řada současě s itegrálem + dx x Protože teto itegrál diverguje, diverguje také řada Vyšetřete kovergeci řady Protože je a = Vyšetřete kovergeci řady = 0, řada diverguje ) + Jedá se o řadu s ezáporými čley Uvažujme fukce fx) =, x, + ) Protože x ) je f 4 x) = x ) 3 < 0 pro x >, je fukce fx) klesající Neboť f) = ) = a, + dx koverguje podle itegrálího kritéria řada současě s itegrálem ) x ) Protože teto itegrál koverguje = /), koverguje také řada Vyšetřete kovergeci řady )

9 Jedá se o řadu s ezáporými čley Pro x > 0 uvažujme fukci fx) = je f) = fukce fx) klesající x x + Pro N 3x + ) je záporá, je x x + ) 3/ současě s ite- + grálem = a Protože derivace této fukce f x) = Podle itegrálího kritéria koverguje řada dx x x + protože teto itegrál koverguje = l + ) ), koverguje také řada Vyšetřete kovergeci řady ) + ) Jedá se o řadu s ezáporými čley Protože koverguje řada ) a = = ) + ), ) + ) současě s řadou apříklad podle itegrálího kritéria), řada V závislosti a x R zkoumejte kovergeci řady si x + ) + ) také diverguje si x si x Protože tato řada diverguje Protože pro každé x R platí erovost si x také pro každé x R řada si x V závislosti a x R zkoumejte kovergeci řady a řada cos x cos x cos x koverguje = ), koverguje Protože pro každé x R platí erovost cos x a řada itegrálího kritéria), koverguje také pro každé x R řada 9 koverguje apříklad podle cos x

10 Vyšetřete kovergeci řady!)! +!) 4! + +!) )! + Protože se jedá o řadu s ezáporými čley, můžeme použít pro zkoumáí její kovergece itího podílového kritéria To dává Tedy řada [ ] )! a + + )! = a + )!! ) = + ) + ) + ) = 4 < )! )! koverguje Vyšetřete kovergeci řady! +! + 3! ! + Jedá se o řadu s ezáporými čley K určeí její kovergece můžeme použít apříklad itího podílového kritéria Protože řada! koverguje Vyšetřete kovergeci řady a + = a! = + )! + ) + +! = ) = e <, ) = + +! + 3 3! ! + Protože se jedá o řadu s ezáporými čley, lze se pokusit zjistit její kovergeci pomocí itího podílového kritéria To dává Tedy řada koverguje Zkoumejte kovergeci řady a + + ) = = ) = e < a + ) + + 3! + 3! ! ! + 0

11 Protože se jedá o řadu s ezáporými čley, lze se pokusit zjistit její kovergeci pomocí itího podílového kritéria To dává Tedy řada diverguje Zkoumejte kovergeci řady a ) = = 3 ) = 3e > a + ) + +!) +!) 4 + 3!) 9 + +!) + Protože se jedá o řadu s ezáporými čley, lze se pokusit zjistit její kovergeci pomocí itího podílového kritéria To dává Tedy řada [ ] a + + )! + ) = ) a +) =! + = 0 < )! koverguje Vyšetřete kovergeci řady ) 3 5 ) ) + Protože se jedá o řadu s ezáporými čley, lze se pokusit zjistit její kovergeci pomocí itího podílového kritéria To dává a + = +3 ) = < a Tedy daá řada koverguje Zkoumejte kovergeci řady + /) Protože se jedá o řadu s ezáporými čley, můžeme se pokusit zjisti její kovergeci pomocí itího odmociového kritéria To dává Tedy řada a = + / ) koverguje + / ) = + / = <

12 Vyšetřujte kovergeci řady = Protože =, je = 0 Tedy řada diverguje Zkoumejte kovergeci řady = ) ) + Jedá se o řadu s ezáporými čley Její kovergeci můžeme zkoumat pomocí itího odmociového kritéria to dává ) a = = ) = e < + + Tedy řada = ) ) koverguje + Zkoumejte kovergeci řady 3 [ + ) ] 3 Nechť je b = a = 8 3 Protože b ==, eí a = 0 Proto řada diverguje 3[ + ) ] 3 Vyšetřete kovergeci řady ) + cos + cos Hodoty cos, Uvažujme fukce fx) = + x a hledejme její maximum a itervalu + x, Protože f x) = + x) > 0, abývá tato fukce a itervalu, maxima f max = 3 ) ) + cos v bodě x = a miima f mi = 0 pro x = Proto platí erovost 0 + cos 3 ) ) + cos Protože řada koverguje s = 4/5), koverguje také řada 3 + cos Vyšetřete kovergeci řady + =

13 Jedá se o řadu s ezáporými čley Protože + 4 a = = + + ), ) je 3/ + a = Tedy řada koverguje současě s řadou 3/ = = Ale posledí řada koverguje apříklad podle itegrálího kritéria) Tedy koverguje také řada + = Vyšetřete kovergeci řady + + ) +)/ Jedá se o řadu s ezáporými čley K určeí její kovergece použijeme itího odmociového kritéria To dává a = + + / + + ) =, /) protože / = ++) /) =, což se dokáže apříklad l Hospitalovým pravidlem Protože <, řada koverguje + + ) +)/ Zkoumejte kovergeci řady ) + ) Jedá se o alterující řadu Můžeme se pokusit ukázat kovergeci této řady pomocí Leibizova kritéria Ozačme a = + ) Podmíka a + ) = = 0 je splěa Ale posloupost a eí mootoí, protože a > a + a a + < a + Budeme zkoumat řadu, v íž sečteme dva po sobě ásledující čley, tj řadu ) a + a = + 3 ) = 4 3 ) ) To je řada s ezáporými čley Neboť =, koverguje řada ) ) současě s řadou, která diverguje Proto diverguje také řada ) + ) Vyšetřujte kovergeci řady si π 4 3

14 Protože řada diverguje, ekoverguje řada si π absolutě Tato řada eí ai alterující Ale jestliže seskupíme čtyři za sebou jdoucí čley řady, dostaeme si π 4 = ) Řadu jsme zapsali jako alterující řadu a = ) + a, kde > 0 ) Protože a = 0 a posloupost a je klesající, koverguje podle Leibizova kritéria řada ) a = si π 4 eabsolutě Vyšetřujte absolutí a eabsolutí kovergeci řady ) + 00 Protože řada s ezáporými čley + 00 koverguje současě s řadou, která diverguje apříklad podle itegrálího kritéria), ekoverguje daá řada absolutě Nyí budeme zkoumat, zda tato řada koverguje eabsolutě Jedá se o alterující řadu Proto se pokusíme dokázat její kovergeci pomocí Leibizova kritéria Platí a = + 00 = 0 x Musíme ještě ukázat, že posloupost a = je klesající Uvažujme fukce fx) = + 00 x + 00 Její derivace je f 00 x x) = x + 00) Protože je tato derivace pro x > 00 záporá, je fukce x fx) pro x > 00 klesající Ale z toho plye, že také posloupost a je pro > 00 klesající Proto daá řada koverguje Vyšetřujte kovergeci řady ) Protože ) =, eí = 0 Tedy řada ) diverguje V závislosti a parametru x R vyšetřujte absolutí a eabsolutí kovergeci řady ) si x 4

15 Nejprve budeme zkoumat absolutí kovergeci této řady K tomu použijeme itího podílového kritéria Protože a + a = si x + = si x, bude řada kovergovat absolutě pro si x <, tj si x <, a divergovat pro si x >, tj pro si x > Tedy řada koverguje absolutě pro x 4k π, 4k + ) π a diverguje 4 4 k Z pro x 4k + π, 4k + 3 ) π 4 4 k Z Pro x = k + π, k Z, je si x = 4 Pro tato x má daá řada tvar ) Protože = 0 a posloupost a = k + je klesající, řada pro x =, k Z, koverguje podle 4 Leibizova kritéria eabsolutě V závislosti a parametru x R zkoumejte absolutí a eabsolutí kovergeci řady ) x + Pokud x = k, k N, eí k tý čle řady defiová, a tedy pro tato x řada ekoverguje Pro ostatí x R se jedá o alterující řadu Protože x + = 0 a x + > x + + daá řada koverguje pro x / N podle Leibizova kritéria eabsolutě Zkoumejte absolutí a eabsolutí kovergeci řady ) + Protože řada + podle itegrálího kritéria diverguje, ekoverguje daá řada absolutě Jedá se o alterující řadu Proto se pokusíme dokázat kovergeci řady pomocí Leibizova kritéria Pro posloupost a = + je a = 0 Zbývá ukázat, že posloupost a je klesající Uvažujme fukci fx) = x x + ) x Protože derivace této fukce f + 4x x x) = je pro x > 5 x + ) x3/ záporá, je tato fukce pro x > 5 klesající Proto je také pro > 5 klesající posloupost a = f) Zkoumejte absolutí a eabsolutí kovergeci řady ) )/ 00 5

16 Protože + ) Zkoumejte absolutí a eabsolutí kovergeci řady = <, daá řada koverguje absolutě ) Uvažujme fukce ) l x l x x x = exp x Protože x + ) = Protože posloupost Zkoumejte absolutí a eabsolutí kovegreci řady = x = 0, je x + x x = emá itu rovou ule, daá řada diverguje siπ/) l Proto je Protože řada = l diverguje, ekoverguje daá řada absolutě Protože posloupost a = si π má omezeé částečé součty a posloupost b = l a je = 0, koverguje daá řada podle Abelova kritéria eabsolutě l je klesající V závislosti a parametru x R zkoumejte absolutí a eabsolutí kovergeci řady [ ] 3 5 ) ) x 4 6 ) Návod: Použijte erovost 3 5 ) 4 6 ) < Nejprve ajdeme možiuvšech x R, pro která řada koverguje absolutě kritérium dává a + a = x + + = x Limití podílové Tedy řada koverguje absolutě pro x < a diverguje pro x > Pro x = dostaeme altrující řadu ) 3 ) b, kde b = Protože b + = 4 ) b < b, je posloupost b klesající Protože 0 < b <, je b = 0 Proto daá řada koverguje pro x = podle Leibizova kritéria eabsolutě Pro x = dostaeme řadu se záporými čley b Jestliže použijeme Raabeho kritérium dostaeme ) ) a + = a + + = + = < 6

17 Tedy podle Raabeova kritéria řada v bodě x = diverguje Zkoumejte absolutí a eabsolutí kovergeci řady ) si Protože eexistuje ) si daá řada diverguje Vyšetřete absolutí a eabsolutí kovergeci číselé řady ) + Nejprve budeme zkoumat absolutí kovergeci daé řady, tj kovergeci řady + Protože + =, koverguje tato řada současě s řadou Protože tato řada diverguje apříklad podle itegrálího kritéria), diverguje také řada Tedy daá řada ekoverguje absolutě + Protože se jedá o alterující, lze k vyšetřováí její kovergece použít Leibizova kritéria Protože + = 0 a posloupost a = + je klesající, řada ) podle tohoto kritéria + koverguje eabsolutě) Vyšetřete kovergeci číselé řady = l Jedá se o řadu s ezáporými čley Uvažujme fukci fx) = x l pro x > Protože její x derivace f x) = l x + x l 3 x < 0 je tato fukce klesající Protože pro =, 3, je f) = a, jsou splěy všechy předpoklady itegrálího kritéria Protože itegrál koverguje = ), koverguje také řada l = + e dx x l x = + dy y Vyšetřete kovergeci číselé řady = l 7

18 Protože se jedá o řadu s ezáporými čley, lze k vyšetřeí její kovergece použít itího odmociového kritéria Protože a = l = 0 <, číselá řada l koverguje = Vyšetřete kovergeci číselé řady = l Jedá se o řadu s ezáporými čley Uvažujme fukci fx) = x l x derivace f x) = l x + pro x > Protože její x l x < 0 je tato fukce klesající Protože pro =, 3, je f) = a, jsou splěy všechy předpoklady itegrálího kritéria Protože itegrál diverguje, diverguje také řada l = + e dx x l x = + dy y Vyšetřete kovergeci číselé řady + ) Jedá se o řadu s ezáporými čley Protože =, koverguje daá řada současě + ) s řadou Protože tato řada diverguje apříklad podle itegrálího kritéria), diverguje také řada + ) Vyšetřete kovergeci číselé řady 3 Jedá se o řadu s ezáporými čley Proto lze k určeí její kovergece použít itího podílového a + 3 kritéria Protože = a + ) 3 = >, číselá řada 3 diverguje Vyšetřete kovergeci číselé řady = l + 5 ) Protože se jedá o řadu s ezáporými čley, lze k vyšetřeí její kovergece použít itího odmociového kritéria Protože a = + 5 = 0 e l ) 5 = 0 < 8

19 číselá řada = l + 5 ) koverguje 9

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n.

a logaritmickou funkci a goniometrické funkce. 6.1 Násobení řad. Podívejme se neprve na násobení mnohočlenů x = x x n a y = y y n. Matematická aalýza II předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Semestr letí 2005 6. Nekoečé řady fukcí V šesté kapitole pokračujeme ve studiu ekoečých řad. Nejprve odvozujeme základí tvrzeí o

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Infinity series collection of solved and unsolved examples

Infinity series collection of solved and unsolved examples Nekoečé řady sbírka řešeých a eřešeých příkladů Ifiity series collectio of solved ad usolved examples Lucie Jaoušková Bakalářská práce 9 ABSTRAKT Cílem práce bylo vytvořit sbírku řešeých příkladů, která

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7]

f B 6. Funkce a posloupnosti 3 patří funkci dané předpisem y = 2 x + 3. [všechny] 1) Rozhodněte, která z dvojic [ ;9][, 0;3 ][, 2;7] 6. Fukce a poslouposti ) Rozoděte, která z dvojic [ ;9[, 0; [, ; patří fukci daé předpisem y +. [všecy ) Auto má spotřebu 6 l beziu a 00 km. Na začátku jízdy mělo v plé ádrži 6 l beziu. a) Vyjádřete závislost

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Jan Šustek OSTRAVSKÁ UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA MATEMATICKÁ ANALÝZA Doc. RNDr. Jaroslav Hačl, CSc. Ja Šustek OSTRAVA 00 0. ÚVOD 0.. INFORMACE O POUŽITÝCH SYMBOLECH Průvodce studiem vstup autora do tetu, specifický

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

Interpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2

Interpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2 Iterpolace pomocí sple křvky dáo: bodů v rově úkol: alézt takovou křvku, která daým body prochází y f f 2 f 0 f x0 x... x 2 x x Iterpolace pomocí sple křvky evýhodou polyomálí terpolace změa ěkterého z

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Vyšší mocniny. Předpoklady: Doplň místo obdélníčků správné číslo. a) ( 2) 3. = c) ( ) = 1600 = e) ( 25) 2 0,8 0, 64.

Vyšší mocniny. Předpoklady: Doplň místo obdélníčků správné číslo. a) ( 2) 3. = c) ( ) = 1600 = e) ( 25) 2 0,8 0, 64. 81 Vyšší mociy Předpoklady: 0081 Př 1: Doplň místo obdélíčků správé číslo a) ( ) = b) = 0, 0000 e) ( ) = 0, ( 0) = 100 = f) ( ) = 8 a) ( ) = 8 b) 0, 0 0, 0000 = ( ) 0,8 0, 0 = 100 = e) ( ) = f) ( ) = 8

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0

I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0 8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

( x) ( lim ( ) ( ) 0

( x) ( lim ( ) ( ) 0 357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Poslouposti a řady ucí Bodová overgece poslouposti ucí Deiice (odová overgece) Nechť je posloupost ucí : S, S Říáme, že posloupost ucí overguje uci a odově a

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY,

POSLOUPNOSTI A ŘADY, POSLOUPNOSTI A ŘADY, ÚVOD DO INTEGRÁLNÍHO POČTU Obsh Poslouposti řdy. Poslouposti reálých čísel................................ Aritmetická geometrická posloupost........................ 4.3 Nekoečé číselé

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Zákoy velkých čísel Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Ig. Lubomír Kubáček, DrSc.,

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uivrzit Krlov v Prz Pdgogická fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATICKÉ ANALÝZY KONVERGENCE ŘAD. přprcové vydáí / Cifrik, M-ZT Zdáí: Vyštřt kovrgci řdy, jstliž. ( ).!.. l ( ). 7.!. ( ). 8..! 4. 9. cos.. Vyprcováí:

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

Kapitola 8. Řady funkcí

Kapitola 8. Řady funkcí 343 Kapitola 8 Řady fukcí Možá jste si právě prolistovali obsah této kapitoly a kladete si otázku, proč se máme ještě zabývat posloupostmi a řadami, když jsme jim už popřáli docela dost pozorosti v prvím

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT

ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT ANALÝZA A KLASIFIKACE DA prof. Ig. Jří Holčík, CSc. INVESICE Isttut DO bostatstky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a aalýz IV. LINEÁRNÍ KLASIFIKACE pokračováí Isttut bostatstky a aalýz (SUPPOR VECOR MACHINE SVM) SEPARABILNÍ

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána

Matematická analýza III - funkční posloupnosti a. Ing. Leopold Vrána Mtemtická lýz III - fukčí poslouposti řdy Ig. Leopold Vrá Obsh Předmluv 5 Část. Mocié řdy 7 Kpitol. Kovergece mocié řdy 9 Kpitol. Součtová fukce mocié řdy 7 Část. Fukčí poslouposti 3 Kpitol 3. Kovergece

Více

Derivace součinu a podílu

Derivace součinu a podílu 5 Derivace součiu a podílu Předpoklad: Pedagogická pozámka: Následující odvozeí jsem převzal a amerického fzikálího kursu Mechaical Uiverse Možá eí dostatečě rigorózí, ale mě osobě se strašě líbí spojitost

Více

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ 3 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Představa obsahu roviého obrazce byla pro lidi důležitá od pradávých dob ať již se jedalo o velikost a přeměu polí či apříklad rozměry základů obydlí Úlohy a výpočet obsahu základích

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor.

5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor. 5 PŘEDNÁŠKA 5: Jedorozměrý a třírozměrý harmoický oscilátor. Půjde o spektrum harmoického oscilátoru emá to ic společého se spektrem atomu ebo se spektrálími čarami atomu. Liší se to právě poteciálem!

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta

Matematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.

Více

DVOUVÝBĚROVÉ PODMÍNĚNÉ POŘADOVÉ TESTY VANALÝZEPŘEŽITÍ

DVOUVÝBĚROVÉ PODMÍNĚNÉ POŘADOVÉ TESTY VANALÝZEPŘEŽITÍ ROBUST 2000, 3 8 c JČMF 200 DVOUVÝBĚROVÉ ODMÍNĚNÉ OŘADOVÉ TESTY VANALÝZEŘEŽITÍ LENKA KOBLÍŽKOVÁ Abstrakt The preset paper deals with coditioal rak tests i survival aalysis for two sample problem with radomly

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Tabulkové limity. n! lim. n n) n + lim. n + n β = 0. n + a n = 0. lim. (d) Pro α > 0 (tj. libovolně velké) a pro β > 0 (tj.

Tabulkové limity. n! lim. n n) n + lim. n + n β = 0. n + a n = 0. lim. (d) Pro α > 0 (tj. libovolně velké) a pro β > 0 (tj. 1 Limity posloupností 1. (a) pro a > 1 je (c) Pro β > 0 a a > 1 Tabulkové ity n! n n = 0 a n n! = 0. n β a n = 0. (d) Pro α > 0 (tj. libovolně velké) a pro β > 0 (tj. libovolně malé) ln α n n β = 0. (e)

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více