Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů
|
|
- Peter Mach
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Sbírka úloh z matematik pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída:
2 Obsah Výraz Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů 6 Násobení výrazů 6 Dělení výrazů jednočlenem 8 Vtýkání před závorku 8 Rozklad podle vzorců 9 Lomené výraz Lineární rovnice o jedné neznámé 8 Rovnice se závorkami 0 Rovnice se zlomk Rovnice s neznámou ve jmenovateli Slovní úloh 6 Vjádření neznámé ze vzorce 7 Nerovnice 0 Soustav rovnic Slovní úloh 7 Soustav nerovnic 8 Kvadratické rovnice 8 Slovní úloh Test: J
3 Výraz Výraz je a) každé číslo a každá proměnná b) součet, rozdíl, součin a podíl (pokud hodnota dělitele je různá od nul) dvou výrazů c) mocnina a absolutní hodnota výrazu Početní operace provádíme v tomto pořadí:. umocňování a odmocňování. násobení a dělení. sčítání a odčítání Pokud jsou ve výrazu závork, má výpočet hodnot v závorce přednost před všemi jinými úpravami.. Určete hodnotu výrazu 7 a) 6 - (6) b). 7 :. : c). ( 7) :. ( : ) d) (. ) 7 : (. : ) e). :. f). ( ) :. g) (. ) - [ : ( )]. h). ( : ).. Určete hodnotu výrazu - a) pro 0, b) pro, c) pro -. Určete hodnotu výrazů: - 0 0, (-) - (-)
4 . Určete, zda je výrazem zápis: a) 987 b) 0 c) 8 7 d) a 8 b - e) -6 Člen výrazu Součin, podíl nebo mocninu považujeme jako celek za jediný člen. Před každým členem je ted znaménko nebo -. Znaménko se před prvním členem vnechává. Dva výraz, které se navzájem liší pouze ve znaménkách před všemi svými člen, se nazývají opačné výraz. Hodnot dvou navzájem opačných výrazů jsou opačná čísla.. Vpište jednotlivé člen výrazu: a). 6 b) 0 :. c) - d). 8 ( ). ( ) e)..(8 ) f) 7 6. Zapište k výrazům ze cvičení výraz opačné.. Určete opačný výraz k výrazu 7 9 a hodnotu obou výrazů pro.
5 Absolutní hodnota Absolutní hodnota reálného čísla: Absolutní hodnotu čísla si můžeme představit jako vzdálenost tohoto čísla od počátku číselné os. Zapisujeme ji pomocí svislých čárek. Absolutní hodnota a) kladného čísla je číslo samo; 8 8 b) záporného čísla je číslo k němu opačné c) nul je nula 0 0 Absolutní hodnota výrazu - je rovna výrazu samému, pokud je jeho hodnota nezáporná, - je rovna výrazu opačnému, pokud je jeho hodnota záporná. Příklad: Určete -. Řešení: Pokud je 0 Pokud je < 0, <, je -,, je Vpočtěte: a) 7, - -,6 -, 7,8 b), -,. (-,) c) 6, 6,. 0,6 (-7) *. Určete absolutní hodnotu výrazů: a) 7 b) a 6 c) 6b 6 d) m 6. Napište opačný výraz k výrazu: a) m mn n b) 8 -. Určete hodnotu výrazu 7 pro -.
6 Sčítání a odčítání výrazů K danému výrazu přičteme výraz tak, že přičteme každý jeho člen. Výraz odečteme tak, že přičteme výraz k němu opačný.. Výraz přičtěte k výrazu. Výraz odečtěte od výrazu. Vpočtěte: a) a a b) c) a (a 7) d) 9a (6 a) e) (6a ) (a ) f) ( 8) (-9 6) g) (a 7 b 9) (a 6 b ) h) ( z) ( z) i) (a b 7c 9) (-a 7b 9c ) j) ( 7 z) (0 0z ) k) ( z ) ( z ) l) a (a b) (a b) b (a b) m) - [ 6 ( 8)] n) 6m - [(m 6) (m 7)] Násobení výrazů Při násobení výrazů násobíme každý člen jednoho výrazu každým členem druhého výrazu..vnásobte: a) a. 7ab b) a b. ab c) 6a b. (-8ab ) d) (-). (- ) 6
7 . Vnásobte: a) m(m ) b) n(n 7) c) r(r 0,) d) (-6)( ) e) 7( ) f) (-8 )(-) g) (-, 0, )(-). Zjednodušte: a) ( 7) b) 9a 6(a ) c) ( ). d) ( ) e) (-8)(-r s) (r 7s).Vnásobte: a) (m )(m ) b) ( )( 7) c) (n )( n) d) (a 6)(7 a) e) (6a b)(a b) f) ( )(- ). Vnásobte a zjednodušte: a) (m )(m m 6) b) (6n n )( n) c) (a )(a )(a ) d) 7 (8 7) (6 ) e) ( ) ( 7) 6 f) (a )(8b 6) (7a )(b ) 7
8 g) (a )(6b 9) (a 6)( 8b) h) [ (6 8)] i) ( )[( ) -] 6.Umocněte: a) ( ) b) ( ) Dělení výrazů jednočlenem Při dělení výrazů jednočlenem vdělíme každý člen výrazu jednočlenem..vdělte výraz: a) (a ) : b) ( 6) : c) (7m ) : 9 d) (a b) : (-) e) (- 7) : (-7) f) (- 6) : (-) g) (8r 6r) : r h) (-s s ) : (-s ) i) (-8b a 6a b 9ab) : (-9ab) j) (r s 8r s 6 r 6 s 6 ) : r s J Vtýkání před závorku ac bc c(a b) Vtknout před závorku můžeme každého dělitele všech členů výrazu. V závorce píšeme podíl vzniklé dělením členů výrazu vtknutým dělitelem.. Rozložte výraz: a) b) rt st c) 6 9 d) b e) 8 f) m 6m g) z z h) 7 a b ab i) 8r s r s j) -6 6m 8
9 .Vtkněte (-) z daného výrazu: a) b) a b c) - d) e) - m m f) 8 g) -r r h) k k. Vpočtěte užitím rozkladu na součin: a) b) c) d) e).. f) Rozložte na součin: a) 8p(a b) q(ab) b) c( ) ( ) c) ( a) - 7b( a) d) a(7 9) 7 9 e) (d ) r( d) f) s(c ) (c ) 6.Rozložte na součin: a) p q p - pq b) c) b bc b c d) mn 8m 9n 7 Rozklad podle vzorců ( a b ) a ab b ( a - b ) a - ab b ( a b ) (a b ) a - b Zaměníme-li obě stran ve vzorcích, provádíme rozklad výrazů. 9
10 .Umocněte výraz podle vzorců: a) (r s) b) (p - q) c) (a ) d) ( ) e) ( - ) f) ( - b) g) ( a) h) ( - ) i) (r s) j) (6 ) k) (6a - ) l) ( ).Umocněte výraz: a) (-r s) b) (- - ) c) (- ) d) (-z -) e) (- v) f) (-a -b).rozložte výraz podle vzorce: a) p q b) c) 6 d) u e) 0,6 f) a - 0,0 g) 9 h) 00a b i) - a j) v,.vjádřete výraz jako rozdíl druhých mocnin: a) ( )( ) b) (m 8)(m 8) c) (-m 6)(m 6) d) (-s )(s ) e) (00 z)(z 00) f) (a b)(a b).vjádřete jako druhou mocninu dvojčlenu: a) a 8a 8 b) m m c) k k d) 9c 6c 0
11 e) 00b 0b f) z z 6 J Lomené výraz Podíl s proměnnými zapsaný ve tvaru zlomku se nazývá lomený výraz. Určování podmínek, za kterých má lomený výraz smsl: Jmenovatel lomeného výrazu musí být různý od nul!. Urči podmínk, za kterých má výraz smsl: p 0q a) b) 7 p q 6 c) a 9 (6 a)(7 ) 8 d) e) a f) m g) 6 h) a a i) ( )(8 ) j) 8r r 9 k) s l) t t. Zkrať výraz a uveď podmínk, za kterých má výraz smsl: a) b) c) 8 d) 6 m e) m f) a b g) a b
12 h) m( a ) ( a ) i) ( ) ( ). j) b 0c 0b k) ( a ) ( a) l) ( ) 8( ) m) 6 8 n) u u v v ( ) o) p) uv u v q) ( v ) r) ac bc ad bd ac bc ad bd. Vnásob výraz (před násobením je pokud možno zkrať) a uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl : a) a. b) b. c) 8. b 9 d) 7 m 6k. 8k m e). f) 6 a. ( ) a g) 6. h) m 7. 7 m 0
13 i) j) uv u v. u v u 9 a b. a 6b b 9 k).b 9b l) (8-k). 6 k 8 m) n) ( r s) r r s. r s 8. m o). m p) a a r. r 8 8a q) b 6b 9 b. b b r) 9 c c. 8d c 7. Vděl výraz (před dělením je pokud možno zkrať) a uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl : a) a m a : b) : m b n b c) m a : d) n m : n 8 6a 8 0 e) : ( )
14 f) 9 00 : 0 c g) a a : h) b b : i) 0 7 : 6 7 k k j) n m n m : ) ( k) b m b m : l) b a a 0 : 6 m) : u u u u u n) : a a a a a a o) 9 8 : b b b b b p) 9 : 9 7 q) 9 : mn m n m n m r) : 0 a a a a a s) : 7 a a
15 V příkladech -0 sečti výraz a uveď podmínk, za kterých mají smsl:. m n a) a b) b c) d) m m 8 8 e) r r 6. a) b) 6 t t s s 7a 7a c) c c c d) e) f) r s c d e a) b) c) 7 a b b m b 7 b
16 8. a) b) c) m n c b d k k d) 8 9. a) b) a b b c c) m n m n m mn d) a b a c ab ac e) a a a a a f) g) 6 b b 8 a a 8 h) r r b 0 0 b i) b b b c c c 6
17 0. a) b) c) a a 8 d) n e) m n m n V příkladech - uprav výraz a uveď podmínk, za kterých mají smsl :. a). a a b) b. b c). c a b d). ab ab e) m m. m 8 f). 8 g). h). 7
18 *. a) : b) : c) : d) : J Lineární rovnice o jedné neznámé Lineární rovnice o jedné neznámé je možno převést ekvivalentními úpravami na tvar kde a,b jsou reálná čísla, a 0, je neznámá. a b Ekvivalentní úprav rovnic. K oběma stranám rovnice můžeme přičíst (odečíst) týž výraz.. Obě stran rovnice můžeme násobit (dělit) týmž výrazem, různým od nul.. Obě stran rovnice můžeme zaměnit Při úpravách lineárních rovnic postupujeme takto:. Odstraníme závork ve výrazech.. Vhodným vnásobením obou stran rovnice se zbavíme zlomků.. Rovnici upravíme na tvar a b.. Obě stran rovnice dělíme číslem a 0. 8
19 Zvláštní případ řešení rovnic:. po úpravách vjde : a 0 a R, a 0 : 0. po úpravách vjde : 0 b b R, b 0 : rovnice nemá řešení ( NŘ ). po úpravách vjde : 0 0 rovnice má řešení pro všechna reálná čísla ( R ). Řeš rovnice a proveď zkoušku: a/ 6 b/ Zk. : L : P : Zk. : L : P : c/ 6 - d/ - Zk. : L : P : Zk. : L : P :. Řeš rovnice a proveď zkoušku a/ 8 Zk. : L : P : b/ Zk. : L : P : c/ - 9z - 6 Zk. : L : P :. Řeš rovnice a proveď zkoušku: a/ b/ Zk. : L : P : Zk. : L : P : 9
20 c/ z 9z - 7 d/ Zk. : L : P: Zk. : L : P : e/ Zk: L: P: Rovnice se závorkami V příkladech -6 nejprve odstraňte závork a potom vřešte:. a) 9( ) - b) 8 - ( - ) - c) 7( z - ) - z z - 0
21 d) 7 - ( - ) 6 - e) ( - ) - - ( - ) f) ( z ) ( - z ). a) ( - ) 6( 7 - ) b) ( - ) 8 ( )
22 c) 6( - ) ( - ) 0 d) 8( ) ( 8) 0 6. a) 6z - ( z - ) ( z ) b) 7 - ( - 6 ) ( - ) c) 9 - ( - ) ( - 7 ) d) ( - 7 ) - ( - ) ( - ) e) 6( ) ( - ) ( - ) f) 7( 6 ) - ( - ) ( ) Rovnice se zlomk 7. Nejprve vnásobte rovnici společným jmenovatelem a pak dále řešte: a) 7 b) 8
23 c) d) 8 z z e) 0 7 f) 0 8 g) 8 8
24 h) 0 7 i) 6 7 u u u j) 6 0 r r r r k) l) J Rovnice s neznámou ve jmenovateli 8. Řešte rovnice, určete podmínk, proveďte zkoušku: a) 0 b) c) 7 7 z z d)
25 e) 9 f) g) 6 9 h) i) 0 6 j) z z z z 8 k) 6 0 z z z z n) 6 r r r l) z z z z m) 8 v v v p) s s s q) s s s o) r) s s s s s 8 8
26 Slovní úloh. Ve dvou sudech je 90kg surovin. V jednom sudu je o 8kg surovin více než ve druhém. Kolik surovin je v každém sudu?. Dělník odvezl za dn 6 vozíků, a to tak, že každého následujícího dne odvezl o dva vozík více než v předchozím dnu. Kolik vozíků odvezl první den?. Bedna se sádrou má hmotnost kg. Sádra má hmotnost krát větší než bedna. Kolik kg sádr je v bedně?. Ve dvou krabicích je celkem 0 šroubů. V jedné krabici je jich krát více než ve druhé. Kolik šroubů je v každé krabici?. Nádrž na olej je naplněna do jedné třetin. Jestliže se z ní vpustí 00litrů, bude naplněna do jedné pětin. Jaký je objem nádrže? 6. Vpočítejte šířku budov o půdorsu tvaru obdélníku, jehož délka je o 600mm kratší něž dvojnásobek jeho šířk. Obvod budov je 6,8m. 6
27 7. První dělník splní úkol za 8hodin, druhý dělník tentýž úkol za 0hodin. Jaký čas ke splnění úkolu se může předpokládat, kdž budou oba dělníci pracovat společně. 8. Do nádrže vedou tři potrubí. Prvním nateče voda za hodin, druhým za hodin a třetím za 6hodin. Za kolik hodin se nádrž naplní všemi potrubími současně? 9. Zedník vzdil příčku za 8hodin, zednický žák vzdil stejnou příčku za hodin. Kolik hodin b trvalo vzdění jedné příčk při společné práci zedníka učně? 0. Prodavač prodal za tři dn celkem 80 stíracích losů. Druhý den prodal o 90 losů méně než první den, třetí den prodal, krát více než druhý den. Kolik losů prodal první den?. V sedmých třídách nasbíral děti 80 kg papíru. Třída 7.A nasbírala o 0 kg více než třída 7.B a 7.C dvojnásobek toho, co třída 7.A. Kolik papíru nasbírala třída 7.A? Vjádření neznámé ze vzorce Z daného vzorce nebo vztahu vjádřete veličinu uvedenou v závorce.. a) s vt (v) c) v at (t) b) u a (a) d) S πrv (r). a) ρ V m (m), (V) 7
28 b) sin α c a (a), (c) c) av S a (a), (v a ). a) V a (a) b) S 6a (a) U c) P (U), (R) d) V π r (r) R. a) R R R (R ) b) C C C C (C ) c) o (a b) (a) d) v v 0 at (v 0 ), (a). a) v gh (h) b) T π g l (l) 8
29 c) S π(r r ) (r) d) R (R), (R ) R R 6. Do vztahu: a) R ρl dosaďte za S S πd b) Q S.v dosaďte S πr c) m ρ dosaďte za V a v V 7. Vpočítejte druhou základnu zahrad tvaru lichoběžníku s obsahem m, je-li jedna ( a c) v základna 0 m a výška m. (Obsah lichoběžníku S ) 8) Ze vzorce v gh vpočítejte výšku h hladin vod nad výtokovým otvorem. Přitom je výtoková rchlost zanedbáváme). m. m v 0 a tíhové zrchlení g 0 (odpor prostředí s s J 9
30 Nerovnice Nerovnicí budeme rozumět každý ze zápisů tvaru l( ) > p() l( ) < p() l( ) p() l( ) p() Opakování : Interval Množin všech reálných čísel, větších (případně větších nebo rovných) než jisté číslo a a menších (menších nebo rovných) než jisté číslo b. Přitom a, b jsou reálná čísla, a < b Množinový zápis Grafické znázornění Smbolický zápis Způsob čtení { R ; < b } (-,b ) otevřený interval méně nekonečno, b { R ; b } (-,b polouzavřený interval méně nekonečno, b { R ; > a } ( a, ) otevřený interval a, nekonečno { R ; a } a, ) polouzavřený interval a, nekonečno { R ; a < < b } ( a, b ) otevřený interval a, b { R ; a b } a, b uzavřený interval a, b { R ; a < b } a, b ) polouzavřený interval a, b, uzavřený zdola { R ; a < b } ( a, b polouzavřený interval a, b, uzavřený shora R ( - ; ) ( - ; ) interval méně nekonečno,nekonečno Číslo a nazýváme dolní mez, číslo b horní mez intervalu. Otevřenost či uzavřenost intervalu značíme tpem závork. Závork (, ) znamenají, že příslušná mez do intervalu nepatří, závork, znamenají, že příslušná mez do intervalu patří. Smbol -, nepředstavují čísla. Ekvivalentní úprav nerovnic. K oběma stranám nerovnice přičteme (odečíst) týž výraz.. Obě stran nerovnice násobíme (dělíme) týmž kladným číslem.. Obě stran nerovnice násobíme (dělíme) týmž záporným číslem a změníme znaménko nerovnosti na opačné.. Obě stran nerovnice zaměníme a změníme znaménko nerovnosti v opačné. > < Znaménko Opačné znaménko 0
31 Řešte nerovnice v R, řešení znázorněte na číselné ose a zapište jako interval.. a) 0 c) -, > 8 e) > - b) 7, d) f) < -. a) 8 0 c) 0 > b) -77 d) >. a) - < b) - > - 8 c) 6. a) > c) - 9 b) 7 - < - 0 d) 8-9 -
32 . a) ( 8 - ) ( 6 - ) c) 9( - ) 6( 7-6 ) b) 7( - ) > ( 7 - ) d) ( 8 - ) < ( 6 - ) 6. a) < 7 - c) > b) 8 d)
33 7. a) > c) 0 b) d) 0 < 6 e) f) 0 Soustav rovnic Obecný zápis soustav rovnic: a b c d e f kde a, b, c, d, e, f jsou libovolná reálná čísla a, jsou neznámé. Soustavou dvou lineárních rovnic o dvou neznámých nazýváme dvojici lineárních rovnic o dvou neznámých, které spolu souvisí. Řešením soustav dvou lineárních rovnic o dvou neznámých nazýváme takovou uspořádanou dvojici čísel [ ; ], která po dosazení do původní soustav za příslušné neznámé dá platné rovnosti.
34 Počet řešení dvou lineárních rovnic o dvou neznámých: Jedno řešení Žádné řešení Nekonečně mnoho řešení po vřešení získáme uspořádanou dvojici čísel po úpravách dostaneme některý z následujících tvarů lineárních rovnic: 0. a nebo 0. b, kde a,b jsou libovolná nenulová čísla po úpravách dostaneme některý z následujících tvarů lineárních rovnic: 0. 0 nebo 0. 0 Zápis řešení K { [ ; ] } K prázdná množina K R (řešíme-li soustavu v množině reálných čísel) Metod řešení:. Srovnávací Z obou rovnic vjádříme stejnou neznámou pomocí druhé neznámé a pak z obou vjádření sestavíme rovnici.. Dosazovací Z jedné rovnice vjádříme jednu neznámou pomocí druhé a pak toto vjádření dosadíme do druhé rovnice. Sčítací Nejprve, je-li to nutné, každou z rovnic vnásobíme vhodným číslem a pak tto upravené rovnice sečteme (popř. odečteme) tak, ab v součtu (rozdílu) zůstala pouze jedna neznámá. Těmito úpravami získáme jedno rovnici o jedné neznámé, kterou vřešíme. Druhou neznámou pak získáme po dosazení první neznámé do libovolné z původních rovnic.. Řešte soustavu rovnic: a) - c) b) - d) - -
35 e) - g) f) h) 6. Řešte soustavu rovnic: a) 6 b) c) d) 6-6 e) - 6 f) 8. Řešte soustavu rovnic: r s a) r s b) m n 6 m n 6
36 6 c) 6 v u v u d) q p q p *. Řešte soustavu rovnic: a) 0 b) 6 6 v u v u *. Řešte soustavu rovnic: a) 9 b) *6. Řešte soustavu rovnic: a) b) 7 *7. Řešte soustavu rovnic: a) b)
37 Slovní úloh. Při zlepšování životního prostředí okolí škol blo 76 žáků rozděleno do dvou skupin A a B. Ve skupině A každý žák odpracoval šest hodin, ve skupině B čtři hodin. Celkem žáci odpracovali hodin. Kolik žáků blo ve skupině A a kolik v B?. Určete dvě čísla, jejichž součet je 6 a rozdíl je.. V internátu je ve pokojích, z nichž některé jsou třílůžkové a některé čtřlůžkové, ubtováno 0 žáků. Určete, kolik pokojů je třílůžkových a kolik čtřlůžkových.. Na honu bli loveni jen zajíci a bažanti. Kdž lovci prohlíželi kořist, napočítali 6 hlav a 76 nohou. Kolik ulovili bažantů a kolik zajíců?. Účetní měla v pokladně v hotovosti 70 Kč ve bankovkách, zčásti padesátikorunových, zčásti stokorunových. Kolik blo kterých bankovek? 7
38 6. Dva chlapci o hmotnosti 0 kg a 0 kg si chtějí z klád dlouhé,8 m udělat houpačku. Jak daleko od obou konců ji musí podepřít, ab bli v rovnováze? Soustav nerovnic. Řešte soustavu nerovnic, výsledek znázorněte grafick na číselné ose a zapište intervalem: a) -7 > 7 > c) < < b) > > 6 d) 9. Řešte soustavu nerovnic, výsledek znázorněte grafick na číselné ose a zapište intervalem: a) ( ) b) 7 c) 8 < > 6 J Kvadratické rovnice Kvadratické rovnice jsou všechn rovnice, které se ekvivalentními úpravami dají převést na tvar : a b c 0 kde a, b, c jsou libovolná reálná čísla a zároveň a 0 Člen a nazýváme kvadratický člen, člen b nazýváme lineární člen a člen c nazýváme absolutní člen. Řešení kvadratické rovnice naz. kořen, ozn. a 8
39 Příklad - 6 řeš bez použití vzorce.. a) - 0 c) - 0 b) 0 d) a) b) - 6 c) 8 d) - 9. a) - 0 c) e) 0 6 b) d) f) 0, - 0,0 0. a) 7 0 b) c)
40 d) - e) 7 f) - g) h) 9 j) a) ( - )( - ) 0 c) ( )( - ) 0 b) ( - )( ) 0 d) ( - )( 6 ) 0 6. a) ( - 8 ) 0 d) ( 7 - ) 0 b) ( ) 0 e) 0 c) ( - ) 0 f) Řešte rovnice užitím vzorců: ( a b ) a ab b a) 0 ( a - b ) a - ab b b) - 0 0
41 c) 0 d) e) Kvadratická rovnice a b c 0 má řešení, b ± b ac a b -ac se nazývá diskriminant kvadratické rovnice, ozn. D Jestliže D > 0, má rovnice řešení. Jestliže D 0, má rovnice řešení. Jestliže D < 0, nemá rovnice řešení. 8. Řešte kvadratické rovnice a) - 0 b) c) d) 0
42 e) f) Řešte kvadratické rovnice a) - 0 b) c) 7-0 d) 9 0 e) f) 8-0 g) h) i) j) j)
43 0. Řešte kvadratické rovnice a) ( - ) ( - ) ( - ) b) ( - ) ( ) ( ) c) ( - 6 ) ( - 8 ) 00 d) ( - )( ) 0 e) ( ) 7 f) ( ) ( ) g) 0 ( )
44 Slovní úloh. Výška trojúhelníku je o cm delší než jeho základna. Vpočítejte výšku trojúhelníku, je-li jeho obsah 0,6 dm.. Vpočítejte obvod obdélníku, jehož šířka je o 6 cm kratší než jeho délka a obsah je 6 cm.. Zvětší-li se strana čtverce o dm, zdevítinásobí se jeho obsah. Určete délku jeho stran.. Odvěsna pravoúhlého trojúhelníku je o 7 cm kratší než druhá odvěsna a o 8 cm kratší než přepona. Vpočítejte obvod trojúhelníku. J
45 Seznam použité literatur: Barták, J. a kol.: Matematika I pro učební obor středních odborných učilišť SPN Praha, 990. Barták, J. a kol.: Matematika II pro učební obor středních odborných učilišť SPN Praha, 988. Barták, J. a kol.: Matematika III pro učební obor středních odborných učilišť SPN Praha, 986. Hudcová, M., Kubičíková, L.: Sbírka úloh z matematik pro SOU a SOŠ Prométheus, Praha 99 Běloun, F. a kol.: Sbírka úloh z matematik pro základní škol SPN, Praha 98 Nováková, E.: Aplikovaná matematika pro učební obor ve stavebnictví a stavební prai Raport, Rakovník. vdání Květen 007 Zpracovala: RNDr. Dagmar Fialová Mgr. Vlastislava Kolmanová
1. VÝRAZY 2. LOMENÉ VÝRAZY 3. ROVNICE 4. SLOVNÍ ÚLOHY REŠENÉ ROVNICEMI 5. SOUSTAVY ROVNIC 6. SLOVNÍ ÚLOHY REŠENÉ SOUSTAVOU ROVNIC 7
Jméno a příjmení: Třída:. VÝRAZY.... LOMENÉ VÝRAZY.... ROVNICE.... SLOVNÍ ÚLOHY REŠENÉ ROVNICEMI.... SOUSTAVY ROVNIC... 8. SLOVNÍ ÚLOHY REŠENÉ SOUSTAVOU ROVNIC... 8. NEROVNICE A SOUSTAVY NEROVNIC... a
VíceRozklad na součin vytýkáním
Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin prvočísel číslo: 165 = 210 = 546 = 2. Rozložte na součin mocnin prvočísel číslo: 96 = 432 = B. Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin vytýkáním:
VíceAlgebraické výrazy. Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek.
Algebraické výrazy Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek. 1. Upravte výrazy: a) 6a + 3b + 2a + c b b) 3m + s
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
VíceLineární rovnice o jedné neznámé a jejich užití
Lineární rovnice o jedné neznámé a jejich užití Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, první ročník, okruh Rovnice a nerovnice Pracovní list vytvořil: Mgr. Helena Korejtková Období
VíceLineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především
VíceVzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.
Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)
Více3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy
. Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme
VíceAlgebraické výrazy pro učební obory
Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy
VíceTypové příklady k opravné písemné práci z matematiky
Typové příklady k opravné písemné práci z matematiky Př. 1: Umocni (bez tabulek, bez kalkulačky): 2 2 4 2 9 2 10 2 100 2 1000 2 20 2 200 2 500 2 3000 2 80 2 900 2 300 2 40000 2 0,1 2 0,001 2 0,05 2 0,008
VíceÚvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav
Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové
VíceZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332
Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu
VíceALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE
ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.
VíceTémata absolventského klání z matematiky :
Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný
VíceVZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C)
VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 3. C) Zjednodušte daný příklad. (a 2 3 b 3 4) 2 (a 2 b 3 8) 3 max. 3 body 2 Ve které z následujících možností je uveden správný postup usměrnění daného zlomku a správný výsledek?
VíceM - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
VíceM - Příprava na pololetní písemku č. 1
M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno jako studijní materiál pro třídu 2K. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu
VíceMO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
VíceM - Příprava na pololetní písemku č. 1
M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno pro třídy 3SA, 3SB. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceZvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami
VíceLineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x.
Lineární rovnice Rovnice je zápis rovnosti mezi dvěma algebraickými výrazy, které obsahují alespoň jednu proměnnou, kterou nazýváme neznámá. Rovnice má levou stranu L a pravou stranu P. Rovnost pak zapisujeme
VíceM - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
VíceAlgebraické výrazy - řešené úlohy
Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,
VíceZvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV..1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami
VíceMATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce
MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem
VíceCVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
VícePŘÍKLAD 6: Řešení: Příprava k přijímacím zkouškám na střední školy matematika 29. Určete, pro které x je hodnota výrazu 8x 6 rovna: a) 6 b) 0 c) 34
Příprava k přijímacím zkouškám na střední školy matematika 29 PŘÍKLAD 6: Určete, pro které x je hodnota výrazu 8x 6 rovna: a) 6 b) 0 c) 34 Chceme-li vypočítat hodnotu výrazu za daného předpokladu, pak
VíceUčební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.
Učební osnovy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup) Průřezová témata, projekty
VíceSoustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých
Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých obsah 1.a) x + y = 5 x 2 + y 2 = 13 3 b) x - y = 7 x 2 + y 2 = 65 5 c) x - y = 3 x 2 + y 2 = 5 6 3. a) x + 2y = 9 x. y = 10 12 b) x - 3y = 1
VíceCVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23
CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
Více1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A
1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové
VíceMO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceDIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17
DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0763 Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220 Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 Autor Ing. Antonín Kučera
VíceČíslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta
1. Mnohočleny 2. Rovnice rovné nule 3. Nerovnice různé od nuly 4. Lomený výraz 5. Krácení lomených výrazů 6. Rozšiřování lomených výrazů 7. Sčítání lomených výrazů 8. Odčítání lomených výrazů 9. Násobení
VíceCVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 2 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256.
Více3. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE
. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE Dovednosti:. Lineární funkce. -Vědět, že je vyjádřena předpisem f: y = a + b, a znát geometrický význam konstant a,b. -Umět přiřadit proměnné její
VíceSTŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA
STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace
Vícea jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2
Obsah Definiční obory výrazů s proměnnou... Zápisy výrazů...3 Sčítání a odčítání mnohočlenů...4 Násobení mnohočlenů...5 Dělení mnohočlenů...7 Rozklad mnohočlenů na součin vytýkání...9 Rozklad mnohočlenů
VíceAutoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno:
Autoevaluační karta Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875 Obor: obchodní akademie Zaměření: ekonomika, účetnictví, daně Školní rok: Předmět: matematika Třída: 1. A Jméno: TEMATICKÝ CELEK: Znalosti
VíceAlgebraické výrazy-ii
Algebraické výrazy-ii Jednou ze základních úprav mnohočlenů je jejich rozklad na součin mnohočlenů nižšího stupně. Ne všechny mnohočleny lze na součin rozložit. Pro provedení rozkladu můžeme použít: 1.
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Vícea se nazývá aritmetická právě tehdy, když existuje takové číslo d R
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ Mgr. Tomáš MAŇÁK. březen 014 Název zpracovaného celku: ARITMETICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ ARITMETICKÁ POSLOUPNOST Teorie: Posloupnost každé ( ) n n1
VíceTEMATICKÝ PLÁN. září říjen
TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené
VíceMatematika I (KMI/5MAT1)
Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny
Vícepro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p
KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,
VíceCVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
VíceCVIČNÝ TEST 14. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21
CVIČNÝ TEST 14 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 7x 11 1 Určete hodnotu výrazu pro x = 27. 11 7x 32 2 Aritmetický průměr
VíceNázev školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.
Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.
VíceRovnice s neznámou ve jmenovateli a jejich užití
Rovnice s neznámou ve jmenovateli a jejich užití Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, první ročník, okruh Rovnice a nerovnice Pracovní list vytvořil: Mgr. Helena Korejtková Období
VíceM - Příprava na pololetku č. 2-1KŘA, 1KŘB
M - Příprava na pololetku č. - 1KŘA, 1KŘB Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz VARIACE 1 Tento dokument
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník a kvinta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Základní poznatky Číselné
VíceNerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru
Variace 1 Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz
VíceUrčete třetinu podílu čtvrtého čísla zleva a šestého čísla zprava podle číselné osy: Vypočtěte, kolik korun je 5 setin procenta ze 2 miliard korun.
1. Operace s reálnými čísly Obsah jedné stěny krychle je 289 cm 2. Vypočítejte objem této krychle. [S= 4 913 cm 3 ] Určete třetinu podílu čtvrtého čísla zleva a šestého čísla zprava podle číselné osy:
VíceObecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
Vícea a
1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)
VíceMETODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gmnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceALGEBRAICKÉ VÝRAZY FUNKCE
ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. Násobení a dělení mnohočlenů definovat základní pojmy (jednočlen, mnohočlen, koeficient) pro učivo násobení a dělení mnohočlenů a) Dokažte algebraickou identitu ab cd ac bd a d b c.
VíceŘešení: 1. Metodou sčítací: Vynásobíme první rovnici 3 a přičteme ke druhé. 14, odtud x 2.
Soustav rovnic Metod řešení soustav rovnic o více neznámých jsou založen na postupné eliminaci neznámých Pro dvě lineární rovnice o dvou neznámých používáme metodu sčítací (aditivní), kd vhodně vnásobíme
VíceLineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic
Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních
VíceLineární rovnice pro učební obory
Variace 1 Lineární rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Rovnice Co je rovnice
VíceROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108
ROVNICE A NEROVNICE Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M1r0108 KVADRATICKÁ ROVNICE V rámci našeho poznávání rovnic a jejich řešení jsme narazili pouze na lineární
VíceM - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy 2P a 2VK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy P a VK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu dovoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
VícePříklady. Kvadratické rovnice. 1. Řeš v R kvadratické rovnice:
Kvadratické rovnice Rovnici f ( ) g ( ) s neznámou R nazýváme kvadratickou rovnicí (rovnicí. stupně) s reálnými koeficienty, jestliže ji lze ekvivalentními úpravami převést na tvar a + b + c 0; a, b, c
VíceM - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK
M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK Souhrnný studijní materiál k přípravě na 2. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo listopadu až ledna. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen,
VíceMatematika. 8. ročník. Číslo a proměnná druhá mocnina a odmocnina (využití LEGO EV3) mocniny s přirozeným mocnitelem. výrazy s proměnnou
list 1 / 7 M časová dotace: 4 hod / týden Matematika 8. ročník M 9 1 01 provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu Číslo a proměnná druhá
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
Více- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr
Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceKaţdé číslo, které lze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel, je číslo racionální.
. Racionální čísla. ročník -. Racionální čísla.. Vymezení pojmu Kaţdé číslo které lze vyjádřit jako podíl dvou celých čísel je číslo racionální. Při podílu dvou celých čísel a a b mohou nastat tyto situace
VíceZákladní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník 4 hodiny týdně PC a dataprojektor Číselné obory Přirozená a celá čísla Racionální
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceCelá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.
Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,
Více( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.
Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou
VíceZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332
Úvodní obrazovka Menu Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 9-12 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu témat (horní
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více6. POČÍTÁNÍ SE ZLOMKY
. ROZŠIŘOVÁNÍ ZLOMKŮ Hodnota zlomku se nezmění, vynásobíme-li jeho čitatele i jmenovatele stejným nenulovým číslem. Této úpravě se říká rozšiřování zlomků. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 KRÁCENÍ ZLOMKŮ Hodnota
VíceVariace. Lineární rovnice
Variace 1 Lineární rovnice Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Rovnice Co je rovnice Rovnice je
VíceZvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami
VíceZvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.2.1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Rovnice a nerovnice, kruhy a válce, úměrnost, geometrické konstrukce, výrazy 2 Třída: Tercie Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní
VíceMatematika - 6. ročník Očekávané výstupy z RVP Učivo Přesahy a vazby desetinná čísla. - zobrazení na číselné ose
Matematika - 6. ročník desetinná čísla - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - zaokrouhlování a porovnávání des. čísel ve výpočtových úlohách - zobrazení na číselné ose MDV kritické
Vícečitatel jmenovatel 2 5,
. ZLOMKY Zlomek má následující tvar čitatel jmenovatel Příkladem zlomku může být například zlomek, tedy dvě pětiny. Jmenovateli se říká jmenovatel proto, že pojmenovává zlomek. Pětina, třetina, šestina
Více3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům
RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních
VícePříklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
Více5 čitatel zlomková čára 13 jmenovatel
Aritmetika sekunda 1 Zlomky Celek a jeho část Zlomek je speciální zápis čísla v podílovém tvaru. Zlomek obsahuje čitatele a jmenovatele, kteří jsou od sebe odděleni zlomkovou čarou. Zlomek pět třináctin
VíceNerovnice. Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková
Nerovnice Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů
VíceCVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka
VíceM - Kvadratické rovnice
M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Více6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou
@06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VícePOSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceZvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV..1 Algebraické výrazy, výrazy s mocninami
Více