Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Sbírka. úloh z matematiky. pro 2. ročník. tříletých učebních oborů"

Transkript

1 Sbírka úloh z matematik pro. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída:

2 Obsah Výraz Člen výrazu Absolutní hodnota Sčítání a odčítání výrazů 6 Násobení výrazů 6 Dělení výrazů jednočlenem 8 Vtýkání před závorku 8 Rozklad podle vzorců 9 Lomené výraz Lineární rovnice o jedné neznámé 8 Rovnice se závorkami 0 Rovnice se zlomk Rovnice s neznámou ve jmenovateli Slovní úloh 6 Vjádření neznámé ze vzorce 7 Nerovnice 0 Soustav rovnic Slovní úloh 7 Soustav nerovnic 8 Kvadratické rovnice 8 Slovní úloh Test: J

3 Výraz Výraz je a) každé číslo a každá proměnná b) součet, rozdíl, součin a podíl (pokud hodnota dělitele je různá od nul) dvou výrazů c) mocnina a absolutní hodnota výrazu Početní operace provádíme v tomto pořadí:. umocňování a odmocňování. násobení a dělení. sčítání a odčítání Pokud jsou ve výrazu závork, má výpočet hodnot v závorce přednost před všemi jinými úpravami.. Určete hodnotu výrazu 7 a) 6 - (6) b). 7 :. : c). ( 7) :. ( : ) d) (. ) 7 : (. : ) e). :. f). ( ) :. g) (. ) - [ : ( )]. h). ( : ).. Určete hodnotu výrazu - a) pro 0, b) pro, c) pro -. Určete hodnotu výrazů: - 0 0, (-) - (-)

4 . Určete, zda je výrazem zápis: a) 987 b) 0 c) 8 7 d) a 8 b - e) -6 Člen výrazu Součin, podíl nebo mocninu považujeme jako celek za jediný člen. Před každým členem je ted znaménko nebo -. Znaménko se před prvním členem vnechává. Dva výraz, které se navzájem liší pouze ve znaménkách před všemi svými člen, se nazývají opačné výraz. Hodnot dvou navzájem opačných výrazů jsou opačná čísla.. Vpište jednotlivé člen výrazu: a). 6 b) 0 :. c) - d). 8 ( ). ( ) e)..(8 ) f) 7 6. Zapište k výrazům ze cvičení výraz opačné.. Určete opačný výraz k výrazu 7 9 a hodnotu obou výrazů pro.

5 Absolutní hodnota Absolutní hodnota reálného čísla: Absolutní hodnotu čísla si můžeme představit jako vzdálenost tohoto čísla od počátku číselné os. Zapisujeme ji pomocí svislých čárek. Absolutní hodnota a) kladného čísla je číslo samo; 8 8 b) záporného čísla je číslo k němu opačné c) nul je nula 0 0 Absolutní hodnota výrazu - je rovna výrazu samému, pokud je jeho hodnota nezáporná, - je rovna výrazu opačnému, pokud je jeho hodnota záporná. Příklad: Určete -. Řešení: Pokud je 0 Pokud je < 0, <, je -,, je Vpočtěte: a) 7, - -,6 -, 7,8 b), -,. (-,) c) 6, 6,. 0,6 (-7) *. Určete absolutní hodnotu výrazů: a) 7 b) a 6 c) 6b 6 d) m 6. Napište opačný výraz k výrazu: a) m mn n b) 8 -. Určete hodnotu výrazu 7 pro -.

6 Sčítání a odčítání výrazů K danému výrazu přičteme výraz tak, že přičteme každý jeho člen. Výraz odečteme tak, že přičteme výraz k němu opačný.. Výraz přičtěte k výrazu. Výraz odečtěte od výrazu. Vpočtěte: a) a a b) c) a (a 7) d) 9a (6 a) e) (6a ) (a ) f) ( 8) (-9 6) g) (a 7 b 9) (a 6 b ) h) ( z) ( z) i) (a b 7c 9) (-a 7b 9c ) j) ( 7 z) (0 0z ) k) ( z ) ( z ) l) a (a b) (a b) b (a b) m) - [ 6 ( 8)] n) 6m - [(m 6) (m 7)] Násobení výrazů Při násobení výrazů násobíme každý člen jednoho výrazu každým členem druhého výrazu..vnásobte: a) a. 7ab b) a b. ab c) 6a b. (-8ab ) d) (-). (- ) 6

7 . Vnásobte: a) m(m ) b) n(n 7) c) r(r 0,) d) (-6)( ) e) 7( ) f) (-8 )(-) g) (-, 0, )(-). Zjednodušte: a) ( 7) b) 9a 6(a ) c) ( ). d) ( ) e) (-8)(-r s) (r 7s).Vnásobte: a) (m )(m ) b) ( )( 7) c) (n )( n) d) (a 6)(7 a) e) (6a b)(a b) f) ( )(- ). Vnásobte a zjednodušte: a) (m )(m m 6) b) (6n n )( n) c) (a )(a )(a ) d) 7 (8 7) (6 ) e) ( ) ( 7) 6 f) (a )(8b 6) (7a )(b ) 7

8 g) (a )(6b 9) (a 6)( 8b) h) [ (6 8)] i) ( )[( ) -] 6.Umocněte: a) ( ) b) ( ) Dělení výrazů jednočlenem Při dělení výrazů jednočlenem vdělíme každý člen výrazu jednočlenem..vdělte výraz: a) (a ) : b) ( 6) : c) (7m ) : 9 d) (a b) : (-) e) (- 7) : (-7) f) (- 6) : (-) g) (8r 6r) : r h) (-s s ) : (-s ) i) (-8b a 6a b 9ab) : (-9ab) j) (r s 8r s 6 r 6 s 6 ) : r s J Vtýkání před závorku ac bc c(a b) Vtknout před závorku můžeme každého dělitele všech členů výrazu. V závorce píšeme podíl vzniklé dělením členů výrazu vtknutým dělitelem.. Rozložte výraz: a) b) rt st c) 6 9 d) b e) 8 f) m 6m g) z z h) 7 a b ab i) 8r s r s j) -6 6m 8

9 .Vtkněte (-) z daného výrazu: a) b) a b c) - d) e) - m m f) 8 g) -r r h) k k. Vpočtěte užitím rozkladu na součin: a) b) c) d) e).. f) Rozložte na součin: a) 8p(a b) q(ab) b) c( ) ( ) c) ( a) - 7b( a) d) a(7 9) 7 9 e) (d ) r( d) f) s(c ) (c ) 6.Rozložte na součin: a) p q p - pq b) c) b bc b c d) mn 8m 9n 7 Rozklad podle vzorců ( a b ) a ab b ( a - b ) a - ab b ( a b ) (a b ) a - b Zaměníme-li obě stran ve vzorcích, provádíme rozklad výrazů. 9

10 .Umocněte výraz podle vzorců: a) (r s) b) (p - q) c) (a ) d) ( ) e) ( - ) f) ( - b) g) ( a) h) ( - ) i) (r s) j) (6 ) k) (6a - ) l) ( ).Umocněte výraz: a) (-r s) b) (- - ) c) (- ) d) (-z -) e) (- v) f) (-a -b).rozložte výraz podle vzorce: a) p q b) c) 6 d) u e) 0,6 f) a - 0,0 g) 9 h) 00a b i) - a j) v,.vjádřete výraz jako rozdíl druhých mocnin: a) ( )( ) b) (m 8)(m 8) c) (-m 6)(m 6) d) (-s )(s ) e) (00 z)(z 00) f) (a b)(a b).vjádřete jako druhou mocninu dvojčlenu: a) a 8a 8 b) m m c) k k d) 9c 6c 0

11 e) 00b 0b f) z z 6 J Lomené výraz Podíl s proměnnými zapsaný ve tvaru zlomku se nazývá lomený výraz. Určování podmínek, za kterých má lomený výraz smsl: Jmenovatel lomeného výrazu musí být různý od nul!. Urči podmínk, za kterých má výraz smsl: p 0q a) b) 7 p q 6 c) a 9 (6 a)(7 ) 8 d) e) a f) m g) 6 h) a a i) ( )(8 ) j) 8r r 9 k) s l) t t. Zkrať výraz a uveď podmínk, za kterých má výraz smsl: a) b) c) 8 d) 6 m e) m f) a b g) a b

12 h) m( a ) ( a ) i) ( ) ( ). j) b 0c 0b k) ( a ) ( a) l) ( ) 8( ) m) 6 8 n) u u v v ( ) o) p) uv u v q) ( v ) r) ac bc ad bd ac bc ad bd. Vnásob výraz (před násobením je pokud možno zkrať) a uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl : a) a. b) b. c) 8. b 9 d) 7 m 6k. 8k m e). f) 6 a. ( ) a g) 6. h) m 7. 7 m 0

13 i) j) uv u v. u v u 9 a b. a 6b b 9 k).b 9b l) (8-k). 6 k 8 m) n) ( r s) r r s. r s 8. m o). m p) a a r. r 8 8a q) b 6b 9 b. b b r) 9 c c. 8d c 7. Vděl výraz (před dělením je pokud možno zkrať) a uveď podmínk, za kterých mají výraz smsl : a) a m a : b) : m b n b c) m a : d) n m : n 8 6a 8 0 e) : ( )

14 f) 9 00 : 0 c g) a a : h) b b : i) 0 7 : 6 7 k k j) n m n m : ) ( k) b m b m : l) b a a 0 : 6 m) : u u u u u n) : a a a a a a o) 9 8 : b b b b b p) 9 : 9 7 q) 9 : mn m n m n m r) : 0 a a a a a s) : 7 a a

15 V příkladech -0 sečti výraz a uveď podmínk, za kterých mají smsl:. m n a) a b) b c) d) m m 8 8 e) r r 6. a) b) 6 t t s s 7a 7a c) c c c d) e) f) r s c d e a) b) c) 7 a b b m b 7 b

16 8. a) b) c) m n c b d k k d) 8 9. a) b) a b b c c) m n m n m mn d) a b a c ab ac e) a a a a a f) g) 6 b b 8 a a 8 h) r r b 0 0 b i) b b b c c c 6

17 0. a) b) c) a a 8 d) n e) m n m n V příkladech - uprav výraz a uveď podmínk, za kterých mají smsl :. a). a a b) b. b c). c a b d). ab ab e) m m. m 8 f). 8 g). h). 7

18 *. a) : b) : c) : d) : J Lineární rovnice o jedné neznámé Lineární rovnice o jedné neznámé je možno převést ekvivalentními úpravami na tvar kde a,b jsou reálná čísla, a 0, je neznámá. a b Ekvivalentní úprav rovnic. K oběma stranám rovnice můžeme přičíst (odečíst) týž výraz.. Obě stran rovnice můžeme násobit (dělit) týmž výrazem, různým od nul.. Obě stran rovnice můžeme zaměnit Při úpravách lineárních rovnic postupujeme takto:. Odstraníme závork ve výrazech.. Vhodným vnásobením obou stran rovnice se zbavíme zlomků.. Rovnici upravíme na tvar a b.. Obě stran rovnice dělíme číslem a 0. 8

19 Zvláštní případ řešení rovnic:. po úpravách vjde : a 0 a R, a 0 : 0. po úpravách vjde : 0 b b R, b 0 : rovnice nemá řešení ( NŘ ). po úpravách vjde : 0 0 rovnice má řešení pro všechna reálná čísla ( R ). Řeš rovnice a proveď zkoušku: a/ 6 b/ Zk. : L : P : Zk. : L : P : c/ 6 - d/ - Zk. : L : P : Zk. : L : P :. Řeš rovnice a proveď zkoušku a/ 8 Zk. : L : P : b/ Zk. : L : P : c/ - 9z - 6 Zk. : L : P :. Řeš rovnice a proveď zkoušku: a/ b/ Zk. : L : P : Zk. : L : P : 9

20 c/ z 9z - 7 d/ Zk. : L : P: Zk. : L : P : e/ Zk: L: P: Rovnice se závorkami V příkladech -6 nejprve odstraňte závork a potom vřešte:. a) 9( ) - b) 8 - ( - ) - c) 7( z - ) - z z - 0

21 d) 7 - ( - ) 6 - e) ( - ) - - ( - ) f) ( z ) ( - z ). a) ( - ) 6( 7 - ) b) ( - ) 8 ( )

22 c) 6( - ) ( - ) 0 d) 8( ) ( 8) 0 6. a) 6z - ( z - ) ( z ) b) 7 - ( - 6 ) ( - ) c) 9 - ( - ) ( - 7 ) d) ( - 7 ) - ( - ) ( - ) e) 6( ) ( - ) ( - ) f) 7( 6 ) - ( - ) ( ) Rovnice se zlomk 7. Nejprve vnásobte rovnici společným jmenovatelem a pak dále řešte: a) 7 b) 8

23 c) d) 8 z z e) 0 7 f) 0 8 g) 8 8

24 h) 0 7 i) 6 7 u u u j) 6 0 r r r r k) l) J Rovnice s neznámou ve jmenovateli 8. Řešte rovnice, určete podmínk, proveďte zkoušku: a) 0 b) c) 7 7 z z d)

25 e) 9 f) g) 6 9 h) i) 0 6 j) z z z z 8 k) 6 0 z z z z n) 6 r r r l) z z z z m) 8 v v v p) s s s q) s s s o) r) s s s s s 8 8

26 Slovní úloh. Ve dvou sudech je 90kg surovin. V jednom sudu je o 8kg surovin více než ve druhém. Kolik surovin je v každém sudu?. Dělník odvezl za dn 6 vozíků, a to tak, že každého následujícího dne odvezl o dva vozík více než v předchozím dnu. Kolik vozíků odvezl první den?. Bedna se sádrou má hmotnost kg. Sádra má hmotnost krát větší než bedna. Kolik kg sádr je v bedně?. Ve dvou krabicích je celkem 0 šroubů. V jedné krabici je jich krát více než ve druhé. Kolik šroubů je v každé krabici?. Nádrž na olej je naplněna do jedné třetin. Jestliže se z ní vpustí 00litrů, bude naplněna do jedné pětin. Jaký je objem nádrže? 6. Vpočítejte šířku budov o půdorsu tvaru obdélníku, jehož délka je o 600mm kratší něž dvojnásobek jeho šířk. Obvod budov je 6,8m. 6

27 7. První dělník splní úkol za 8hodin, druhý dělník tentýž úkol za 0hodin. Jaký čas ke splnění úkolu se může předpokládat, kdž budou oba dělníci pracovat společně. 8. Do nádrže vedou tři potrubí. Prvním nateče voda za hodin, druhým za hodin a třetím za 6hodin. Za kolik hodin se nádrž naplní všemi potrubími současně? 9. Zedník vzdil příčku za 8hodin, zednický žák vzdil stejnou příčku za hodin. Kolik hodin b trvalo vzdění jedné příčk při společné práci zedníka učně? 0. Prodavač prodal za tři dn celkem 80 stíracích losů. Druhý den prodal o 90 losů méně než první den, třetí den prodal, krát více než druhý den. Kolik losů prodal první den?. V sedmých třídách nasbíral děti 80 kg papíru. Třída 7.A nasbírala o 0 kg více než třída 7.B a 7.C dvojnásobek toho, co třída 7.A. Kolik papíru nasbírala třída 7.A? Vjádření neznámé ze vzorce Z daného vzorce nebo vztahu vjádřete veličinu uvedenou v závorce.. a) s vt (v) c) v at (t) b) u a (a) d) S πrv (r). a) ρ V m (m), (V) 7

28 b) sin α c a (a), (c) c) av S a (a), (v a ). a) V a (a) b) S 6a (a) U c) P (U), (R) d) V π r (r) R. a) R R R (R ) b) C C C C (C ) c) o (a b) (a) d) v v 0 at (v 0 ), (a). a) v gh (h) b) T π g l (l) 8

29 c) S π(r r ) (r) d) R (R), (R ) R R 6. Do vztahu: a) R ρl dosaďte za S S πd b) Q S.v dosaďte S πr c) m ρ dosaďte za V a v V 7. Vpočítejte druhou základnu zahrad tvaru lichoběžníku s obsahem m, je-li jedna ( a c) v základna 0 m a výška m. (Obsah lichoběžníku S ) 8) Ze vzorce v gh vpočítejte výšku h hladin vod nad výtokovým otvorem. Přitom je výtoková rchlost zanedbáváme). m. m v 0 a tíhové zrchlení g 0 (odpor prostředí s s J 9

30 Nerovnice Nerovnicí budeme rozumět každý ze zápisů tvaru l( ) > p() l( ) < p() l( ) p() l( ) p() Opakování : Interval Množin všech reálných čísel, větších (případně větších nebo rovných) než jisté číslo a a menších (menších nebo rovných) než jisté číslo b. Přitom a, b jsou reálná čísla, a < b Množinový zápis Grafické znázornění Smbolický zápis Způsob čtení { R ; < b } (-,b ) otevřený interval méně nekonečno, b { R ; b } (-,b polouzavřený interval méně nekonečno, b { R ; > a } ( a, ) otevřený interval a, nekonečno { R ; a } a, ) polouzavřený interval a, nekonečno { R ; a < < b } ( a, b ) otevřený interval a, b { R ; a b } a, b uzavřený interval a, b { R ; a < b } a, b ) polouzavřený interval a, b, uzavřený zdola { R ; a < b } ( a, b polouzavřený interval a, b, uzavřený shora R ( - ; ) ( - ; ) interval méně nekonečno,nekonečno Číslo a nazýváme dolní mez, číslo b horní mez intervalu. Otevřenost či uzavřenost intervalu značíme tpem závork. Závork (, ) znamenají, že příslušná mez do intervalu nepatří, závork, znamenají, že příslušná mez do intervalu patří. Smbol -, nepředstavují čísla. Ekvivalentní úprav nerovnic. K oběma stranám nerovnice přičteme (odečíst) týž výraz.. Obě stran nerovnice násobíme (dělíme) týmž kladným číslem.. Obě stran nerovnice násobíme (dělíme) týmž záporným číslem a změníme znaménko nerovnosti na opačné.. Obě stran nerovnice zaměníme a změníme znaménko nerovnosti v opačné. > < Znaménko Opačné znaménko 0

31 Řešte nerovnice v R, řešení znázorněte na číselné ose a zapište jako interval.. a) 0 c) -, > 8 e) > - b) 7, d) f) < -. a) 8 0 c) 0 > b) -77 d) >. a) - < b) - > - 8 c) 6. a) > c) - 9 b) 7 - < - 0 d) 8-9 -

32 . a) ( 8 - ) ( 6 - ) c) 9( - ) 6( 7-6 ) b) 7( - ) > ( 7 - ) d) ( 8 - ) < ( 6 - ) 6. a) < 7 - c) > b) 8 d)

33 7. a) > c) 0 b) d) 0 < 6 e) f) 0 Soustav rovnic Obecný zápis soustav rovnic: a b c d e f kde a, b, c, d, e, f jsou libovolná reálná čísla a, jsou neznámé. Soustavou dvou lineárních rovnic o dvou neznámých nazýváme dvojici lineárních rovnic o dvou neznámých, které spolu souvisí. Řešením soustav dvou lineárních rovnic o dvou neznámých nazýváme takovou uspořádanou dvojici čísel [ ; ], která po dosazení do původní soustav za příslušné neznámé dá platné rovnosti.

34 Počet řešení dvou lineárních rovnic o dvou neznámých: Jedno řešení Žádné řešení Nekonečně mnoho řešení po vřešení získáme uspořádanou dvojici čísel po úpravách dostaneme některý z následujících tvarů lineárních rovnic: 0. a nebo 0. b, kde a,b jsou libovolná nenulová čísla po úpravách dostaneme některý z následujících tvarů lineárních rovnic: 0. 0 nebo 0. 0 Zápis řešení K { [ ; ] } K prázdná množina K R (řešíme-li soustavu v množině reálných čísel) Metod řešení:. Srovnávací Z obou rovnic vjádříme stejnou neznámou pomocí druhé neznámé a pak z obou vjádření sestavíme rovnici.. Dosazovací Z jedné rovnice vjádříme jednu neznámou pomocí druhé a pak toto vjádření dosadíme do druhé rovnice. Sčítací Nejprve, je-li to nutné, každou z rovnic vnásobíme vhodným číslem a pak tto upravené rovnice sečteme (popř. odečteme) tak, ab v součtu (rozdílu) zůstala pouze jedna neznámá. Těmito úpravami získáme jedno rovnici o jedné neznámé, kterou vřešíme. Druhou neznámou pak získáme po dosazení první neznámé do libovolné z původních rovnic.. Řešte soustavu rovnic: a) - c) b) - d) - -

35 e) - g) f) h) 6. Řešte soustavu rovnic: a) 6 b) c) d) 6-6 e) - 6 f) 8. Řešte soustavu rovnic: r s a) r s b) m n 6 m n 6

36 6 c) 6 v u v u d) q p q p *. Řešte soustavu rovnic: a) 0 b) 6 6 v u v u *. Řešte soustavu rovnic: a) 9 b) *6. Řešte soustavu rovnic: a) b) 7 *7. Řešte soustavu rovnic: a) b)

37 Slovní úloh. Při zlepšování životního prostředí okolí škol blo 76 žáků rozděleno do dvou skupin A a B. Ve skupině A každý žák odpracoval šest hodin, ve skupině B čtři hodin. Celkem žáci odpracovali hodin. Kolik žáků blo ve skupině A a kolik v B?. Určete dvě čísla, jejichž součet je 6 a rozdíl je.. V internátu je ve pokojích, z nichž některé jsou třílůžkové a některé čtřlůžkové, ubtováno 0 žáků. Určete, kolik pokojů je třílůžkových a kolik čtřlůžkových.. Na honu bli loveni jen zajíci a bažanti. Kdž lovci prohlíželi kořist, napočítali 6 hlav a 76 nohou. Kolik ulovili bažantů a kolik zajíců?. Účetní měla v pokladně v hotovosti 70 Kč ve bankovkách, zčásti padesátikorunových, zčásti stokorunových. Kolik blo kterých bankovek? 7

38 6. Dva chlapci o hmotnosti 0 kg a 0 kg si chtějí z klád dlouhé,8 m udělat houpačku. Jak daleko od obou konců ji musí podepřít, ab bli v rovnováze? Soustav nerovnic. Řešte soustavu nerovnic, výsledek znázorněte grafick na číselné ose a zapište intervalem: a) -7 > 7 > c) < < b) > > 6 d) 9. Řešte soustavu nerovnic, výsledek znázorněte grafick na číselné ose a zapište intervalem: a) ( ) b) 7 c) 8 < > 6 J Kvadratické rovnice Kvadratické rovnice jsou všechn rovnice, které se ekvivalentními úpravami dají převést na tvar : a b c 0 kde a, b, c jsou libovolná reálná čísla a zároveň a 0 Člen a nazýváme kvadratický člen, člen b nazýváme lineární člen a člen c nazýváme absolutní člen. Řešení kvadratické rovnice naz. kořen, ozn. a 8

39 Příklad - 6 řeš bez použití vzorce.. a) - 0 c) - 0 b) 0 d) a) b) - 6 c) 8 d) - 9. a) - 0 c) e) 0 6 b) d) f) 0, - 0,0 0. a) 7 0 b) c)

40 d) - e) 7 f) - g) h) 9 j) a) ( - )( - ) 0 c) ( )( - ) 0 b) ( - )( ) 0 d) ( - )( 6 ) 0 6. a) ( - 8 ) 0 d) ( 7 - ) 0 b) ( ) 0 e) 0 c) ( - ) 0 f) Řešte rovnice užitím vzorců: ( a b ) a ab b a) 0 ( a - b ) a - ab b b) - 0 0

41 c) 0 d) e) Kvadratická rovnice a b c 0 má řešení, b ± b ac a b -ac se nazývá diskriminant kvadratické rovnice, ozn. D Jestliže D > 0, má rovnice řešení. Jestliže D 0, má rovnice řešení. Jestliže D < 0, nemá rovnice řešení. 8. Řešte kvadratické rovnice a) - 0 b) c) d) 0

42 e) f) Řešte kvadratické rovnice a) - 0 b) c) 7-0 d) 9 0 e) f) 8-0 g) h) i) j) j)

43 0. Řešte kvadratické rovnice a) ( - ) ( - ) ( - ) b) ( - ) ( ) ( ) c) ( - 6 ) ( - 8 ) 00 d) ( - )( ) 0 e) ( ) 7 f) ( ) ( ) g) 0 ( )

44 Slovní úloh. Výška trojúhelníku je o cm delší než jeho základna. Vpočítejte výšku trojúhelníku, je-li jeho obsah 0,6 dm.. Vpočítejte obvod obdélníku, jehož šířka je o 6 cm kratší než jeho délka a obsah je 6 cm.. Zvětší-li se strana čtverce o dm, zdevítinásobí se jeho obsah. Určete délku jeho stran.. Odvěsna pravoúhlého trojúhelníku je o 7 cm kratší než druhá odvěsna a o 8 cm kratší než přepona. Vpočítejte obvod trojúhelníku. J

45 Seznam použité literatur: Barták, J. a kol.: Matematika I pro učební obor středních odborných učilišť SPN Praha, 990. Barták, J. a kol.: Matematika II pro učební obor středních odborných učilišť SPN Praha, 988. Barták, J. a kol.: Matematika III pro učební obor středních odborných učilišť SPN Praha, 986. Hudcová, M., Kubičíková, L.: Sbírka úloh z matematik pro SOU a SOŠ Prométheus, Praha 99 Běloun, F. a kol.: Sbírka úloh z matematik pro základní škol SPN, Praha 98 Nováková, E.: Aplikovaná matematika pro učební obor ve stavebnictví a stavební prai Raport, Rakovník. vdání Květen 007 Zpracovala: RNDr. Dagmar Fialová Mgr. Vlastislava Kolmanová

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2

a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 2 3 x. a jeho hodnotu pro x = 2 a jeho hodnotu pro x = 6; x = 13 28 = 1 7 a jeho hodnotu pro x = 2 Obsah Definiční obory výrazů s proměnnou... Zápisy výrazů...3 Sčítání a odčítání mnohočlenů...4 Násobení mnohočlenů...5 Dělení mnohočlenů...7 Rozklad mnohočlenů na součin vytýkání...9 Rozklad mnohočlenů

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

MANUÁL. Výukových materiálů. Matematický kroužek 8.ročník MK2

MANUÁL. Výukových materiálů. Matematický kroužek 8.ročník MK2 MANUÁL Výukových materiálů Matematický kroužek 8.ročník MK2 Vypracovala: Mgr. Jana Kotvová 2014 Číslo hodiny: 1 Téma: Celá čísla, přednost matematických operací Očekávané výstupy: žáci počítají jednoduché

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.

Celá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

ARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ARITMETIKA - SEKUNDA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ARITMETIKA - SEKUNDA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose 3. Celá čísla 6. ročník 3. Celá čísla 3.1. Vymezení pojmu celé číslo Ve své dosavadní praxi jste se setkávali pouze s přirozenými čísly. Tato čísla určovala konkrétní počet (6 jablek, 7 kilogramů jablek,

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

1. Dělitelnost v oboru přirozených čísel

1. Dělitelnost v oboru přirozených čísel . Dělitelnost v oboru přirozených čísel Zopakujte si co to je násobek a dělitel čísla co je to prvočíslo jak se hledá rozklad složeného čísla na prvočinitele největší společný dělitel, nejmenší společný

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

64-41-L/51 Podnikání,

64-41-L/51 Podnikání, Informace nástavbového studia oboru vzdělání 64-41-L/51 Podnikání, dálková formy vzdělávání Vážení studenti, zasíláme Vám základní informace, které se týkají materiálního zabezpečení nástavbového studia

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Matematika se vyučuje ve všech ročnících. V primě a sekundě je vyučováno 5 hodin týdně, v tercii a kvartě 4 hodiny týdně. Předmět je tedy posílen o 2 hodiny

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Matematika a její aplikace - 1. ročník

Matematika a její aplikace - 1. ročník Matematika a její aplikace - 1. ročník počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20 užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti

Více

Přirozená čísla do milionu 1

Přirozená čísla do milionu 1 statisíce desetitisíce tisíce stovky desítky jednotky Klíčová aktivita: Přirozená čísla do milionu 1 č. 1 Matematika 1. Porovnej čísla: , =. 758 258 4 258 4 285 568 470 56 847 203 488 1 584 2 458 896

Více

Obecné informace: Typy úloh a hodnocení:

Obecné informace: Typy úloh a hodnocení: Obecné informace: Počet úloh: 30 Časový limit: 60 minut Max. možný počet bodů: 30 Min. možný počet bodů: 8 Povolené pomůcky: modrá propisovací tužka obyčejná tužka pravítko kružítko mazací guma Poznámky:

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

5.2.2 Matematika - 2. stupeň

5.2.2 Matematika - 2. stupeň 5.2.2 Matematika - 2. stupeň Charakteristika předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu: Vyučovací předmět Matematika na 2. stupni školy navazuje svým vzdělávacím obsahem na předmět Matematika

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

6.6 Matematika. 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu

6.6 Matematika. 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu 6.6 Matematika 6.6.1 Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení předmětu: Vyučovací předmět se jmenuje Matematika. Patří do vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace z RVP ZV. Vzdělávací

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

UČEBNÍ OSNOVY VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA

UČEBNÍ OSNOVY VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA UČEBNÍ OSNOVY VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA 1. Obsahové vymezení předmětu Matematika prolíná celým základním vzděláváním a její výuka vede žáky především předmět Matematika zahrnuje vzdělávací Matematika

Více

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE Vzdělávací oblast : : Cílové zaměření vzdělávací oblasti Učíme žáky využívat matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech rozvíjet pamětˇ žáků prostřednictvím

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Mezipředmětové vztahy, průřezová témata, projekty, kurzy

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Mezipředmětové vztahy, průřezová témata, projekty, kurzy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Žák: čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla provádí početní operace s přirozenými čísly zpaměti a písemně provádí

Více

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení MATEMATIKA 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení Obsah vyučovacího předmětu Matematika je totožný s obsahem vyučovacího oboru Matematika a její aplikace.

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Zvyšování kvality výuky technických oborů

Zvyšování kvality výuky technických oborů Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ M. Alše Mirotice

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ M. Alše Mirotice UČEBNÍ OSNOVY ZŠ M. Alše Mirotice Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Období: 3. období Počet hodin ročník: 165 132 132 132 Učební texty: 1 3. období A) Cíle vzdělávací

Více

Matematika a její aplikace Matematika

Matematika a její aplikace Matematika Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Počet hodin : 165 Matematika a její aplikace Matematika 2. období 5. ročník Učební texty : J. Justová: Alter-Matematika, Matematika 5.r.I.díl, 5.r.

Více

6.6 Matematika. Matematika a její aplikace VZDĚLÁVACÍ OBLAST : Matematika VZDĚLÁVACÍ OBOR: VYUČOVACÍ PŘEDMĚT: CHARAKTERISTIKA PŘEDMĚTU:

6.6 Matematika. Matematika a její aplikace VZDĚLÁVACÍ OBLAST : Matematika VZDĚLÁVACÍ OBOR: VYUČOVACÍ PŘEDMĚT: CHARAKTERISTIKA PŘEDMĚTU: VZDĚLÁVACÍ OBLAST : VZDĚLÁVACÍ OBOR: VYUČOVACÍ PŘEDMĚT: Matematika a její aplikace Matematika 6.6 Matematika CHARAKTERISTIKA PŘEDMĚTU: Vyučovací předmět Matematika je předmět, který poskytuje vědomosti

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Matematika. Výchovné a vzdělávací strategie předmětu v 6. 9. ročníku

Matematika. Výchovné a vzdělávací strategie předmětu v 6. 9. ročníku Matematika Vyučovací předmět navazuje na učivo matematiky I. stupně. Časová dotace předmětu je v 6., 7.,8. ročníku 4 hodiny, v 9. ročníku 5 hodin. Třída se na matematiku nedělí. Vyučovací předmět poskytuje

Více

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò:

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò: 9. TØÍDA PZ 2012 9. tøída I MA D Matematika Až zahájíš práci, nezapomeò: každá úloha má jen jedno správné øešení úlohy mùžeš øešit v libovolném poøadí test obsahuje 30 úloh na 60 minut sleduj bìhem øešení

Více

Obsahy. Trojúhelník = + + 2

Obsahy. Trojúhelník = + + 2 Obsahy Obsah nám říká, jak velkou plochu daný útvar zaujímá. Třeba jak velký máme byt nebo pozemek kolik metrů čtverečných (m 2 ), hektarů (ha), centimetrů čtverečných (cm 2 ), Základní jednotkou obsahu

Více

69-41-L/52 Vlasová kosmetika,

69-41-L/52 Vlasová kosmetika, Informace nástavbového studia oboru vzdělání 69-41-L/52 Vlasová kosmetika, denní formy vzdělávání Vážení rodiče, Vážení studenti, zasíláme Vám základní informace, které se týkají materiálního zabezpečení

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

D O D A T E K č. 1 ŠKOLNÍHO VZDĚLÁVACÍHO PROGRAMU

D O D A T E K č. 1 ŠKOLNÍHO VZDĚLÁVACÍHO PROGRAMU D O D A T E K č. ŠKOLNÍHO VZDĚLÁVACÍHO PROGRAMU Tento dodatek č. se vydává za účelem vytvoření podmínek pro čerpání finanční podpory z Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost, Oblast podpory.5

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647

ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647 ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647 Název vzdělávacího materiálu: VY_32_INOVACE_HRAVĚ19 Soutěž zlomky, celá čísla, procenta, rovnice a sl.

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

skupinová práce, frontální výuka, samostatná práce, problémové učení

skupinová práce, frontální výuka, samostatná práce, problémové učení Předmět: MATEMATIKA Vzdělávací oblast: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Charakteristika předmětu Předmět je vyučován na 1. a 2. stupni. Vzdělávací oblast matematika a její aplikace je v základním vzdělávání

Více

MATEMATIKA. Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň

MATEMATIKA. Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět v 6. 9. ročníku 5 hodin týdně ve třídách s rozšířenou

Více

Školní výstupy Učivo Průřezová témata Mezipředmětové vztahy

Školní výstupy Učivo Průřezová témata Mezipředmětové vztahy PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRIMA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Mezipředmětové vztahy Žák: rozlišuje pojmy násobek, dělitel definuje prvočíslo, číslo složené, sudé a liché číslo, čísla soudělná

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

MATEMATIKA - III. období (6. -9. ročník)

MATEMATIKA - III. období (6. -9. ročník) MATEMATIKA - III. období (6. -9. ročník) Charakteristika předmětu Při výuce ve III. období klademe důraz na porozumění matematickým pojmům a jejich souvislostem. Snažíme se žáky motivovat matematizací

Více

MATEMATIKA. Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň: Obsahové, časové a organizační vymezení: Předmětem prolínají průřezová témata:

MATEMATIKA. Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň: Obsahové, časové a organizační vymezení: Předmětem prolínají průřezová témata: MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň: Vyučovací předmět matematika je předmět, který by měl být chápán jako odraz reálných vztahů v hmotném světě. V základním vzdělávání je založen

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 9. Matematika 104 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační

Více

Příloha č. 4 Matematika Ročník: 4. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo Přesahy (průřezová témata)

Příloha č. 4 Matematika Ročník: 4. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo Přesahy (průřezová témata) Příloha č. 4 Matematika Ročník: 4. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo Přesahy (průřezová témata) Číslo a početní operace - využívá při pamětném i písemném počítání komutativnost a asociativnost

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

MATEMATIKA. MATEMATIKA průřez.téma + MP vazby. vzdělávací oblast: vzdělávací obor: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE

MATEMATIKA. MATEMATIKA průřez.téma + MP vazby. vzdělávací oblast: vzdělávací obor: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE + MP vazby 1. Obor přirozených čísel - používá čísla v oboru 0-20 k modelování reálných situací.- práce s manipulativy - počítá předměty v oboru 0-20, vytváří soubory

Více

Školní vzdělávací program - Základní škola, Nový Hrádek, okres Náchod. Část V. Osnovy

Školní vzdělávací program - Základní škola, Nový Hrádek, okres Náchod. Část V. Osnovy Část V. Osnovy II. stupeň KAPITOLA 19. - MATEMATIKA Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor - vyučovací předmět: Matematika a její aplikace Matematika 1. CHARAKTERISTIKA VYUČOVACÍHO

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Žák cvičí prostorovou představivost Žák využívá při paměťovém i písemném počítání komutativnost i asociativní sčítání a násobení Žák provádí písemné početní operace v oboru Opakování učiva 3. ročníku Písemné

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

Školní vzdělávací program Dát šanci každému Verze 3 ZŠ a MŠ Praha 5 Smíchov, Grafická 13/1060

Školní vzdělávací program Dát šanci každému Verze 3 ZŠ a MŠ Praha 5 Smíchov, Grafická 13/1060 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE 5.2.1 MATEMATIKA 5.2.1.1 Charakteristika vyučovacího předmětu Vyučovací předmět Matematika vychází ze vzdělávacího obsahu vzdělávacího oboru Matematika a její aplikace. Předmět

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 3. ročník Zpracovala: Mgr. Jiřina Hrdinová Číslo a početní operace čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 1000, užívá a zapisuje vztah rovnosti a

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 TS Matematika pro 2. stupeň ZŠ Terasoft Celá čísla Celý program pohádkový příběh Království Matematikán se závěrečným vyhodnocením Zobrazení čísel na ose Zápis čísel zobrazených na ose Opačná čísla na

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Dodatek k ŠVP ZV č. 1

Dodatek k ŠVP ZV č. 1 Dodatek k ŠVP ZV č. 1 Název školního vzdělávacího programu: Škola dobré pohody Školní vzdělávací program pro základní vzdělávání Ředitelka školy: Mgr. Dagmar Bičová Koordinátor ŠVP ZV: Mgr. Magdalena Krausová

Více