MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ. Nestandardní a aplikační úlohy v geometrii PEDAGOGICKÁ FAKULTA. Diplomová práce. Katedra MATEMATIKY

Transkript

1 MAARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ PEDAGOGICKÁ FAKULTA Ktedr MATEMATIKY Nestndrdní plikční úlohy v geometrii Diplomová práce Brno 007 Vedoucí práce: RNDr. Růžen Blžková, Cc. Autor práce: Lydie Špňhelová

2 Prohlášení Prohlšuji, že jsem diplomovou práci zprcovl/ smosttně použil/ jen prmeny uvedené v seznmu litertury. ouhlsím, by práce byl uložen n Msrykově univerzitě v Brně v knihovně Pedgogické fkulty zpřístupněn ke studijním účelům Brně dne 0.dubn 007 Lydie Špňhelová

3 Poděkování N tomto místě bych rád poděkovl pní Růženě Blžkové, vedoucí mé diplomové práce, z velmi dobrou spolupráci. Dále bych chtěl poděkovt svému příteli z pomoc při tvorbě obrázků.

4 Obsh ÚVOD... ÚLOHY PRO ROZVOJ PROTOROVÉ PŘEDTAVIVOTI... ÚLOHY Z PLANIMETRIE...6 OBJEMY A POVRCHY MNOHOTĚNŮ, PROTOROVÉ ÚLOHY...6 PLATÓNOVA TĚLEA... PRAVIDELNÝ ČTYŘTĚN...6 ČTYŘTĚN DUÁLNÍ ÁM E EBOU...7 PRAVIDELNÝ ČTYŘTĚN V KRYCHLI...9 KRYCHLE A OMITĚN.... Osmistěn b v krychli.... Krychle c v osmistěnu b.... Osmistěn d vepsný do krychle c...5 PRAVIDELNÝ DVACETITĚN...6 PRAVIDELNÝ DVANÁCTITĚN...6 ZÁVĚR...5 POUŽITÁ LITERATURA...5 REUME...56

5 Úvod Právě v tyto dny probíhjí n nšich školách důležité legisltivní změny. Kždá škol by od měl zčít vyučovt podle vlstního školního progrmu, který měl vyprcovt dle prvidel vymezených v Rámcovém vzdělávcím progrmu (dále jen RVP), což je dokument vydný ministerstvem školství. Tento dává kždé škole jistou míru volnosti v tom, kdy zřzovt které učivo, kolik hodin se mu věnovt, jk jej předávt dětem pod. Dominntní změnou je, že škol se mění směrem k žákovi. Dříve se kldl důrz n učivo způsob jeho předávání, nyní je tím důležitým elementem kždý jednotlivý žák. Jedním z poždvků RVP v oblsti mtemtik její plikce je zvádění nestndrdních plikčních úloh ve vyučování. Proto chci vytvořit sbírku úloh, která vyhovuje součsným poždvkům RVP bude přínosem všem učitelům, protože mteriálů, které by vyhovovly RVP je ztím málo. Chtěl bych ve své práci uvést několik zjímvých, netrdičních úloh které je možné v hodinách geometrie použít. Úlohy by neměly bezprostředně vycházet ze znlostí předcházejícího učiv neměly by být zloženy jen n strohém výpočtu veličin jko je obvod, objem, povrch tp., jk je známe z většiny sbírek. O úlohách je nutno přemýšlet z výsledků je třeb odvodit ptřičný závěr. Ve většině úloh je nutné znát zákldní vzorce pro obshy objemy. Tyto znlosti všk povžuji z tk nezbytné, zejmén do budoucí prxe, že je zbytečné hovořit o tom, zd by je žáci měli umět zpměti či nikoli. Pltónov těles, jimiž se zbývám v části práce jsou dobrým podnětem k práci ve skupinkách k projektovému vyučování. Tyto moderní formy výuky jsou tké v poždvcích RVP. Jedním z důvodů, proč jsem si vybrl tém Nestndrdní plikční úlohy v geometrii je tké to, že mnozí učitelé se s geometrií nerdi setkávjí. Geometrie je zrádná především pro nutnou míru předstvivosti, kterou nejenže nemusí disponovt žáci le tké učitelé. Proto je potřeb, by žákům byly předkládány úlohy zjímvé, netrdiční především prktické, by i ti, kteří mjí problémy s předstvivostí, geometrii neodsoudili le vycítili její nezbytnou roli v životě kždého člověk.

6 . Rámcový vzdělávcí progrm (RVP) Cíle obsh výchovy vzdělávání ve školách obshují dokumenty vydné nebo schválené ministerstvem školství mládeže tělovýchovy (MŠMT). V roce 000 byl v ČR vydán Národní progrm rozvoje vzdělávání v České republice, tzv. Bílá knih. Tento dokument vymezil nové směry vzdělávcí politiky n jeho zákldě se od roku vydání Bílé knihy připrvují nové dokumenty, to jk n úrovni státní, tk n úrovni školní. tátní progrm vzdělávání (PV), který byl připrvován n státní úrovni, vymezuje zásdy pro tvorbu rámcových školních vzdělávcích progrmů. Obshuje obecné cíle vzdělávání, oblsti vzdělávání, zásdy pro tvorbu rámcových školních vzdělávcích progrmů jiné legisltivní orgnizční podmínky. Dále byl n státní úrovni vyprcován Rámcový vzdělávcí progrm pro předškolní, zákldní, gymnsiální střední odborné vzdělávání. Školní vzdělávcí progrmy (ŠVP) jsou vyprcovány smotnými školmi vycházejí z pokynů RVP. Pojetí zákldního vzdělávání Podle RVP (6 ) je pojetí zákldního vzdělávání n. stupni budováno n širokém rozvoji zájmů žáků, n vyšších učebních možnostech žáků n prováznosti vzdělávání život školy se životem mimo školu. To umožňuje využít náročnější metody práce i nové zdroje způsoby poznávání, zdávt komplexnější dlouhodobější úkoly či projekty přenášet n žáky větší odpovědnost ve vzdělávání i v orgnizci život školy. Zákldní vzdělávání vyžduje n. i n. stupni podnětné tvůrčí školní prostředí, které stimuluje nejschopnější žáky, povzbuzuje méně ndné, chrání i podporuje žáky nejslbší zjišťuje, by se kždé dítě prostřednictvím výuky přizpůsobené individuálním potřebám optimálně vyvíjelo v souldu s vlstními předpokldy pro vzdělávání. K tomu se vytvářejí i odpovídjící podmínky pro vzdělávání žáků se speciálními vzdělávcími potřebmi. Přátelská vstřícná tmosfér vybízí žáky ke studiu, práci i činnostem podle jejich zájmu poskytuje jim prostor čs k ktivnímu učení k plnému rozvinutí jejich osobnosti. Hodnocení výkonů prcovních výsledků žáků by mělo být postveno n plnění konkrétních splnitelných úkolů, n posuzování individuálních změn žák pozitivně lděných hodnotících soudech. Žákům má být dán možnost zžívt úspěch, nebát se chyby prcovt s ní. V průběhu zákldního 5

7 vzdělávání žáci postupně získávjí tkové kvlity osobnosti, které jim umožní pokrčovt ve studiu, zdokonlovt se ve zvolené profesi během celého život se dále vzdělávt podle svých možností ktivně podílet n životě společnosti. Cíle zákldního vzdělávání Zákldní vzdělávání má žákům pomoci utvářet postupně rozvíjet klíčové kompetence poskytnout spolehlivý zákld všeobecného vzdělání orientovného zejmén n situce blízké životu n prktické jednání. V zákldním vzdělávání se proto usiluje o nplňování těchto cílů: umožnit žákům osvojit si strtegie učení motivovt je pro celoživotní učení podněcovt žáky k tvořivému myšlení, logickému uvžování k řešení problémů vést žáky k všestrnné, účinné otevřené komunikci rozvíjet u žáků schopnost spoluprcovt respektovt práci úspěchy vlstní i druhých připrvovt žáky k tomu, by se projevovli jko svébytné, svobodné zodpovědné osobnosti, upltňovli svá práv nplňovli své povinnosti vytvářet u žáků potřebu projevovt pozitivní city v chování, jednání v prožívání životních situcí; rozvíjet vnímvost citlivé vzthy k lidem, prostředí i k přírodě učit žáky ktivně rozvíjet chránit fyzické, duševní sociální zdrví být z ně odpovědný vést žáky k tolernci ohleduplnosti k jiným lidem, jejich kulturám duchovním hodnotám, učit je žít společně s osttními lidmi pomáht žákům poznávt rozvíjet vlstní schopnosti v souldu s reálnými možnostmi upltňovt je spolu s osvojenými vědomostmi dovednostmi při rozhodování o vlstní životní profesní orientci. Klíčové kompetence Klíčové kompetence předstvují souhrn vědomostí, dovedností, schopností, postojů, názorů hodnot důležitých pro osobní rozvoj upltnění kždého člen společnosti. myslem cílem vzdělávání je vybvit všechny žáky souborem klíčových kompetencí n úrovni, která je pro ně dosžitelná. Klíčovým kompetencím neučíme kždé zvlášť, le tyto se musí nvzájem prolínt. V etpě zákldního vzdělávání jsou z klíčové povžovány: kompetence k učení; kompetence k řešení problémů; kompetence 6

8 komuniktivní; kompetence sociální personální; kompetence občnské; kompetence prcovní. Vzdělávcí oblsti Vzdělávcí obsh zákldního vzdělávání je v RVP ZV orientčně rozdělen do devíti vzdělávcích oblstí. Jednotlivé vzdělávcí oblsti jsou tvořeny jedním vzdělávcím oborem nebo více obshově blízkými vzdělávcími obory:. Jzyk jzyková komunikce (Český jzyk litertur, Cizí jzyk). Mtemtik její plikce (Mtemtik její plikce). Informční komunikční technologie (Informční komunikční technologie). Člověk jeho svět (Člověk jeho svět) 5. Člověk společnost (Dějepis, Výchov k občnství) 6. Člověk přírod (Fyzik, Chemie, Přírodopis, Zeměpis) 7. Umění kultur (Hudební výchov, Výtvrná výchov) 8. Člověk zdrví (Výchov ke zdrví, Tělesná výchov) 9. Člověk svět práce (Člověk svět práce) Učivo, vymezené v RVP ZV, je doporučené školám k distribuci k dlšímu rozprcování do jednotlivých ročníků nebo delších čsových úseků. N úrovni ŠVP se stává učivo závzné. RVP ZV umožňuje propojení (integrci) vzdělávcího obshu n úrovni témt, temtických okruhů, přípdně vzdělávcích oborů. Integrce Mtemtik její plikce Tto vzdělávcí oblst klde důrz především n ktivní činnosti, to jk n práci s mtemtickými objekty, tk n situce reálné, dále je důležité osvojování si myšlenkových postupů pojmů mtemtiky. Žáci si postupně osvojují některé pojmy, lgoritmy, terminologii, symboliku způsoby jejich užití. Vzdělávcí obsh vzdělávcího oboru Mtemtik její plikce je rozdělen n čtyři temtické okruhy:. Čísl početní operce. Závislosti, vzthy práce s dty. Geometrie v rovině v prostoru - žáci určují znázorňují geometrické útvry geometricky modelují reálné situce, hledjí podobnosti odlišnosti útvrů, které se vyskytují všude kolem nás, uvědomují si vzájemné polohy objektů v rovině (resp. v prostoru), učí se porovnávt, odhdovt, měřit délku, velikost úhlu, obvod 7

9 obsh (resp. povrch objem), zdokonlovt svůj grfický projev. Zkoumání tvru prostoru vede žáky k řešení polohových metrických úloh problémů, které vycházejí z běžných životních situcí.. Nestndrdní plikční úlohy problémy - řešení tkových úloh může být do určité míry nezávislé n znlostech dovednostech školské mtemtiky. Nezbytným prvkem všk je upltňovt při řešení úloh logické myšlení. Tyto úlohy by měly prolínt všemi temtickými okruhy v průběhu celého zákldního vzdělávání. Žáci se učí řešit problémové situce úlohy z běžného život, pochopit nlyzovt problém, utřídit údje podmínky, provádět situční náčrty, řešit optimlizční úlohy. Žáci se učí využívt prostředky výpočetní techniky (především klkulátory, vhodný počítčový softwre, určité typy výukových progrmů) používt některé dlší pomůcky, což umožňuje přístup k mtemtice i žákům, kteří mjí nedosttky v numerickém počítání v rýsovcích technikách. Zdokonlují se rovněž v smosttné kritické práci se zdroji informcí. Protože není dost mteriálů pro toto tém, rozhodl jsem se sestvit sbírku vhodných nestndrdních plikčních úloh, které by měly odpovídt poždvkům Rámcového vzdělávcího progrmu. Tto sbírk může zároveň sloužit jko mteriál pro individuální přístup k dětem s mtemtickým ndáním. Geometrické výpočty jsou zloženy n bezpodmínečných znlostech zákldních vzorců pro obsh, které lze upltnit jk při výpočtech plnimetrických příkldů, tk při počítání objemů povrchů těles v prostoru. Dlším důležitým učivem, n kterém stojí geometrie je znlost Pythgorovy věty, která v rovině umožní výpočty délek strn dných útvrů, v rovině ji pk využíváme pro počítání povrchů objemů těles. Cílové změření vzdělávcí oblsti Vzdělávání v dné vzdělávcí oblsti směřuje k utváření rozvíjení klíčových kompetencí tím, že vede žák k: využívání mtemtických pozntků dovedností v prktických činnostech odhdy, měření porovnávání velikostí vzdáleností, orientce rozvíjení pměti žáků prostřednictvím numerických výpočtů osvojováním si nezbytných mtemtických vzorců lgoritmů rozvíjení kombintorického logického myšlení, ke kritickému usuzování srozumitelné věcné rgumentci prostřednictvím řešení mtemtických problémů 8

10 rozvíjení bstrktního exktního myšlení osvojováním si využíváním zákldních mtemtických pojmů vzthů, k poznávání jejich chrkteristických vlstností n zákldě těchto vlstností k určování zřzování pojmů vytváření zásoby mtemtických nástrojů (početních opercí, lgoritmů, metod řešení úloh) k efektivnímu využívání osvojeného mtemtického prátu vnímání složitosti reálného svět jeho porozumění; k rozvíjení zkušenosti s mtemtickým modelováním (mtemtizcí reálných situcí), k vyhodnocování mtemtického modelu hrnic jeho použití; k poznání, že relit je složitější než její mtemtický model, že dný model může být vhodný pro různorodé situce jedn situce může být vyjádřen různými modely provádění rozboru problému plánu řešení, odhdování výsledků, volbě správného postupu k vyřešení problému vyhodnocování správnosti výsledku vzhledem k podmínkám úlohy nebo problému přesnému stručnému vyjdřování užíváním mtemtického jzyk včetně symboliky,prováděním rozborů zápisů při řešení úloh ke zdokonlování grfického projevu rozvíjení spolupráce při řešení problémových plikovných úloh vyjdřujících situce z běžného život následně k využití získného řešení v prxi; k poznávání možností mtemtiky skutečnosti, že k výsledku lze dospět různými způsoby rozvíjení důvěry ve vlstní schopnosti možnosti při řešení úloh, k soustvné sebekontrole při kždém kroku postupu řešení, k rozvíjení systemtičnosti, vytrvlosti přesnosti, k vytváření dovednosti vyslovovt hypotézy n zákldě zkušenosti nebo pokusu k jejich ověřování nebo vyvrcení pomocí protipříkldů Vzdělávcí obsh vzdělávcího oboru. stupeň. Číslo proměnná. Závislosti, vzthy práce s dty. Geometrie v rovině v prostoru Očekávné výstupy Žák: zdůvodňuje využívá polohové metrické vlstnosti zákldních rovinných útvrů při řešení úloh jednoduchých prktických problémů; využívá potřebnou mtemtickou symboliku 9

11 chrkterizuje třídí zákldní rovinné útvry určuje velikost úhlu měřením výpočtem odhduje vypočítá obsh obvod zákldních rovinných útvrů využívá pojem množin všech bodů dné vlstnosti k chrkteristice útvru k řešení polohových nepolohových konstrukčních úloh nčrtne sestrojí rovinné útvry užívá k rgumentci při výpočtech věty o shodnosti podobnosti trojúhelníků nčrtne sestrojí obrz rovinného útvru ve středové osové souměrnosti, určí osově středově souměrný útvr určuje chrkterizuje zákldní prostorové útvry (těles), nlyzuje jejich vlstnosti odhduje vypočítá objem povrch těles nčrtne sestrojí sítě zákldních těles nčrtne sestrojí obrz jednoduchých těles v rovině nlyzuje řeší plikční geometrické úlohy s využitím osvojeného mtemtického prátu Učivo rovinné útvry přímk, polopřímk, úsečk, kružnice, kruh, úhel, trojúhelník, čtyřúhelník (lichoběžník, rovnoběžník), prvidelné mnohoúhelníky, vzájemná poloh přímek v rovině (typy úhlů), shodnost podobnost (věty o shodnosti podobnosti trojúhelníků) metrické vlstnosti v rovině druhy úhlů, vzdálenost bodu od přímky, trojúhelníková nerovnost, Pythgorov vět prostorové útvry kvádr, krychle, rotční válec, jehln, rotční kužel, koule, kolmý hrnol konstrukční úlohy množiny všech bodů dné vlstnosti (os úsečky, os úhlu, Thletov kružnice), osová souměrnost, středová souměrnost. Nestndrdní plikční úlohy problémy Očekávné výstupy Žák: užívá logickou úvhu kombinční úsudek při řešení úloh problémů nlézá různá řešení předkládných nebo zkoumných situcí 0

12 řeší úlohy n prostorovou předstvivost, plikuje kombinuje pozntky dovednosti z různých temtických vzdělávcích oblstí Učivo číselné logické řdy číselné obrázkové nlogie logické netrdiční geometrické úlohy

13 Úlohy pro rozvoj prostorové předstvivosti Úloh : (převzto z (8) ) Kruhy z ppíru -6 byly přeloženy podle svého průměru z kždého byl po přeložení odstřižen vyznčená část (viz obr.). Ke kždému přeloženému půlkruhu nkresli, jk vypdá nepřeložený kruh po vystřihnutí dné části. Řešení: Úloh : (převzto z (8) ) Kruhy z ppíru byly přeloženy postupně podle dvou nvzájem kolmých průměrů. Z kždého byl po přeložení odstřižen vyznčená část (dle obr.). Do prázdných kruhů nkresli, jk bude zbytek kruhu vypdt po vystřižení dné části. Řešení:

14 Úloh : Urči názvy těles, která lze sestvit z obrázků A, B, C, D : A B C D Řešení: A krychle, B- prvidelný čtyřboký jehln, C- kvádr, D hrnol bez jedné podstvy. Úloh : (inspircí byl úloh z (0) ) N obrázcích A B je nárys, půdorys bokorys těles, urči, o jké těleso jde. A B Řešení: A-Jde o polokouli, B- půl válce Úloh 5: (převzto z (8) ) Vprvo vidíš díly dřevěné stvebnice, které jsou vytvořeny, ze tří nebo čtyř mlých kostek. Kterou ze stveb n obrázcích (A) ž (D) nelze postvit z nšich dílů?

15 Řešení: Všechny stvby n obrázcích (A) ž (D) lze sestvit z dílů stvebnice. Úloh 6: N obrázku je stvb z kostek. Nkresli pohledy zepředu (nárys), zprv (bokorys), zlev (bokorys), zdol shor (půdorys). Řešení:. zepředu:. zprv:. zlev:. zdol: 5. shor: Úloh 7: ( inspircí byl úloh z () ) N obrázku jsou krychle, kterými prochází přímky. Nejprve si promysli polohu přímek v krychli, potom situci znázorni pomocí plstelíny párátek. Body, kterými přímky prochází jsou buď středy hrn nebo jsou to vrcholy krychle. r KL, s MN, u GH, v EF. p AB, q CD,

16 Úloh 8: (inspirce z () ) N obrázku je kótovný půdorys těles, které je složené z kostek. Nkresli nárys bokorys ( zprv i zlev) tohoto těles. Vzorový příkld: Těleso sestvené podle kótovného půdorysu: Řešení: nárys: bokorys (prvý): bokorys (levý): Úloh 9: Podle kótovného nárysu těles složeného z kostek udělej náčrt tohoto těles nkresli jeho půdorys. Pro závorku (x,y,z) pltí: x počet kostek v první řdě, y počet kostek ve druhé řdě, z počet kostek v řdě třetí. Vzorový příkld: těleso podle kótovného nárysu: půdorys: Řešení: těleso: půdorys: 5

17 Úlohy z plnimetrie Úloh : (úloh převzt z () ) Ze čtyř čtverců je možné sestvit následující tvry: Kterými z nich lze bezezbytku pokrýt obrázky A B? A B Řešení: Obrázek A lze pokrýt tvry,,. Obrázek B můžeme pokrýt tvry,. 5. Úloh : (zdání převzto z (8) ) Rovnostrnný trojúhelník ACD se otáčí kolem bodu A proti směru hodinových ručiček. Určete velikost úhlu otočení v okmžiku, kdy překryje rovnostrnný trojúhelník ABC. Řešení: Uvědomíme-li si, že rovnostrnný trojúhelník má všechny úhly rovny 60, že pokud by se otočil kolem bodu A n své původní místo, pk by byl úhel otočení 60. K otočení o 60 mu všk chybí jedn fáze tj. 60. Velikost úhlu otočení je tedy

18 Úloh č. : (zdání převzto z (8) ) Prstenec s vnitřním průměrem cm vnějším průměrem 6 cm jsou spolu propojeny stejně jko n obrázku. Kolik prstenců potřebujeme, bychom dostli řetěz dlouhý,7 m? Řešení: První prstenec zujímá délku 6 cm, pokud k němu přidáme dlší, zvětší se řetěz o cm, protože cm se ztrtí z důvodu překrývání kroužků. kždým dlším přidným prstencem se řetěz prodlouží o cm. Máme tedy jeden prstenec, který řetěz prodlouží o 6 cm neznámý počet prstenců x, který jej prodlouží o. x cm.,7 m 70 cm Odečteme-li od délky řetězce délku, kterou zujímá první prstenec: , dostneme délku, kterou tvoří jen prstence, které řetězec prodlužují o cm. Když 6 :, máme počet prstenců, které vytvoří řetězec dlouhý 6 cm. Připočteme-li k nim ještě první prstenec, který jsme n zčátku odečetli, dostáváme, že řetězec o délce 70 cm je tvořen prstenci. Úloh č. : (zdání převzto z (8) ) Určete velikost průměru kružnice n obrázku. Řešení: N první pohled se může zdát, že pro vyřešení této úlohy budeme muset počítt. Avšk podíváme-li se n obrázek s jkýmsi odstupem, zjistíme, že hledáme druhou úhlopříčku obdélník ABCD, která je zároveň 7

19 poloměrem kružnice.. Víme, že úhlopříčky v obdélníku jsou shodné, tudíž průměr kružnice je. 5cm 0 cm. Úloh č. 5: Odvoďte vzth. b. c r pro výpočet obshu trojúhelník ABC, kde,b,c jsou délky strn trojúhelník r je poloměr kružnice trojúhelníku opsné. Řešení: Budeme vycházet z obecného vzthu pro obsh trojúhelník c v c [ ]. V tomto vzthu je jedn neznámá, tou je v c. Pomocí goniometrické funkce sinus, odvodíme vzth pro výpočet v c. vzth pro výšku tedy dosdíme do vzthu [ ] Pro trojúhelník APC pltí: úsečk CP je výšk n vc strnu c. Dále sinα vc b sinα. Tento b dostáváme : c b sinα [ ] 5. Nyní se všk neznámou stl sinα. Z obrázku je zřejmé, že úhel BC je středový úhel úhel BAC je úhel obvodový. Ob tyto úhly přísluší stejnému oblouku kružnice (CB), proto pltí p BC α. Trojúhelník BC je rovnormenný, s délkmi rmen r. Úsečk T je výškou trojúhelník BC půli strnu úhel BC. Z prvoúhlého trojúhelník TC vypočítáme sinα r. Tento vzth r dosdíme do vzthu [ 5 ] po úprvách získáváme b c. r Úloh 6: Určete vzorec pro výpočet obshu trojúhelník ABC, jestliže znáte poloměr kružnice vepsné ρ, délky strn trojúhelník, b, c. 8

20 trojúhelník AB: Podle obrázku, rozdělíme trojúhelník ABC, n trojúhelníky: AB, BC AC. Když spočítáme obshy těchto tří trojúhelníku následně je sečteme dostneme obsh trojúhelníku ABC. V kždém ze tří trojúhelníků, známe strnu výšku n tuto strnu, která je u všech trojúhelníků stejná je rovn poloměru kružnice vepsné ρ. Pro ρ c, pro BC: ρ pro AC: + + c ρ ρ b ρ + + ρ ( + b + c) ρ b Úloh 7: Vypočítej obsh H vybrvených částí tzv. Hippokrtových půlměsíčků. Bod je střed Thletovy kružnice, bod je středem strny b zároveň je středem kružnice K bod je střed strny zároveň je středem kružnice K. AB c, BC, AC b Řešení:. Vypočítáme obsh dvou kruhových úsečí, které vzniknou odečtením obshu trojúhelník ABC od poloviny obshu kruhu vytvořeného Thletovou kružnicí. Tento obsh budeme znčit P.. ečteme obshy obou půlkruhů K K od tohoto čísl odečteme obsh P. K + K P H. 9

21 0 8 b c P b c P π π 8 8 b b K K K K π π π π ( ) b H b c b H b c b H π π π π Závěr: Obsh Hippokrtových půlměsíčků je roven obshu prvoúhlého trojúhelník, nd kterým jsou sestrojeny. Úloh 8: (zdání převzto z (9) ) estrojte trojúhelník ABC, je-li dán střed kružnice opsné, střed D strny AB těžiště T (viz obr.). Postup:. D. p D D p p ;. q T q D q ;. ( ) DT T l l, ; 5. ( ) l q C C ; 6. ( ) C k k, ; 7. p k B A B A, ;, 8. ABC..

22 Úloh 9: (úloh převzt z (9) ) Vprvo vidíš obrázek. Vypočítej velikost úhlu α. Řešení: Velikost úhlu ve vnitřním trojúhelníku je 80 0 ( ) 0 (součet úhlů v trojúhelníku je 80 0 ). Vnitřní nekonvexní úhel čtyřúhelník je 0 +. ( ) 8 0 (součet vedlejších úhlů je 80 0 ). Pro úhel α pltí : α, α 0.(součet úhlů v čtyřúhelníku je 60 0 ). Úloh 0: (úloh převzt z (9) ) N obrázku jsou znázorněny všechny vrcholy dvou čtverců. Zjisti obsh jejich společné části (jeden čtvereček sítě má obsh 5 mm ). Obr. Obr. Řešení: Jediná možnost dokreslení čtverců je n obrázku. Jejich společnou část tvoří čtyřúhelník, jehož vrcholy jsou opět body čtvercové sítě. Celý čtyřúhelník lze svisle

23 rozdělit n dv trojúhelníky. Obsh kždého z nich určíme buď přímo, nebo je ve čtvercové síti doplníme n obdélník uvědomíme si, že obsh trojúhelníku je roven polovině obshu obdélníku. Proto obsh 6 : 8 čtverečků mm. Úloh : (úloh převzt z (9) ) Ivn dostl speciální bílo-hnědou čokoládu. Zjisti hmotnost bílé části, pokud celá čokolád má tři stejně široké řádky tři stejně široké sloupce váží grmů. Řešení: Čokolád má tvr obdélníku má stejné řádky stejné sloupce, tedy je rozdělen n 9 shodných obdélníků. Proto je tké možno rozdělit celou čokoládu n 6 trojúhelníků stejných obshů. hodnost obshů těchto mlých trojúhelníků je zřejmá npř. z dlšího rozdělení n shodné trojúhelníky: Celá čokolád má hmotnost g. Hmotnost jednoho trojúhelníku je : 6 g. Hnědá část: 0 trojúhelníků g. Bílá část: 6 trojúhelníků g. Bílá část má hmotnost 0 grmy.

24 Úloh : (úloh převzt z (9) ) Ktk rozstřihl čtvercový šátek nkreslený n obrázku podél úhlopříčky dostl dv trojúhelníkové šátky. Zjistěte jká část n kždém z nových šátků je bílá, černá šedá. N původním šátku byl černá šedá jeho plochy. 6 Řešení: N obrázku je nkreslen Ktčin šátek. Pro lepší orientci nkreslíme čtvercový šátek do čtvercové sítě. Vzhledem k podílu je vhodné použít čtverec o strně 6 jednotek 6 (obr. ). Po rozstřihnutí získáme dv stejně velké trojúhelníkové šátky, le s jinými brevnými podíly. V jednom trojúhelníkovém šátku je celkem 8 čtverců o strně, tj. 6 mlých trojúhelníčků (obr..) První trojúhelníkový šátek: bílá část: 7 trojúhelníčků šedá část: 8 trojúhelníčků 7, 6 8, 6 9 černá část: trojúhelníček. 6 Druhý trojúhelníkový šátek: bílá část: 9 trojúhelníků šedá část: 6 trojúhelníků 9, 6 6, 6 9 černá část: trojúhelníků. 6

25 Úloh : (úloh převzt z (7) ) N louce stojí tři stromy tvořící trojúhelník s obvodem 80 m. Ke kždému stromu je šňůrou přivázán jedn koz. Délky šňůr jsou tkové, že kždá dvě území, n kterých se kozy psou, se nvzájem právě dotýkjí. Poměr ploch, které mohou jednotlivé kozy vypást, je : 9 : 6. Zjistěte vzdálenosti mezi stromy celkovou plochu, kterou kozy spsou. Řešení: Nechť, jsou stromy, u kterých jsou kozy přivázné r, r r jsou délky šňůr koz. Kozy vypsou plochy tvru kruhů. Jestliže jsou poměry těchto ploch : 9 : 6 π r πr : : πr, pk poměry poloměrů těchto kruhů budou : :. Kždý z poloměrů se v obvodu trojúhelník vyskytuje dvkrát. Obvod trojúhelník rozdělíme tedy n (++) 8 dílů, přičemž kždý díl bude mít délku 80:80 metrů. Délky poloměrů pk budou: r 0 m, r 0 m, r 0 m vzdálenosti mezi stromy budou rovny 50 m, 70 m 60 m. Celková ploch spsené louky,(r +r +r ) bude přibližně 906 m. Úloh : (úloh převzt z (9) ) Nrýsujte prvoúhlý trojúhelník ABC; cm, b cm, c 5 cm polokruhy K, L M s průměry BC, CA AB podle obrázku. Ověřte, zd podobně jko pro čtverce sestrojené nd strnmi prvoúhlého trojúhelník pltí i pro tyto polokruhy vzth: K + L M.

26 Řešení: Obsh půlkruhu K, je : K π po doszení hodnot: K,5π. tejně vypočítáme i půlkruhy L M: L 8π, M,5π. Nyní dosdíme do vzthu ze zdání : K + L M,5π + 8π,5π z rovnice je ptrné, že dná rovnost pltí. Úloh 5: (zdání převzto z (9) ) N obrázku jsou tři rovnostrnné trojúhelníky, tři mlé polokružnice dotýkjící se jedné velké polokružnice o poloměru dm. Určete délku úsečky AB. Řešení: Oznčme poloměr velké kružnice R, poloměr mlé kružnice r, výšku rovnostrnného trojúhelníku v strnu tohoto trojúhelníku. Z obrázku je ptrné že poloměr mlé kružnice r. Výšku v vypočítáme Pythgorovou větou: v Po úprvách dostáváme: v. Z obrázku dále vidíme, že pltí: R r + v. Po doszení dostneme: R + + 0,7 dm. 5

27 Objemy povrchy mnohostěnů, prostorové úlohy Úloh : (zdání uprveno z () ) estry Hnk Klár si chtějí do společného pokoje koupit odpdkový koš. Nemohou se rozhodnou mezi dvěm koši, které jsou z stejnou cenu. Nkonec se dohodnou, že koupí ten z nich, do kterého se vejde více odpdků. Koš A má tvr válce s rozměry: poloměr podstvy r 7 cm výšk v 50 cm, koš B je tvru kvádru s délkmi hrn: 5 cm, 0 cm 60 cm. Který z košů A B děvčt nkonec koupil? Řešení: Budeme počítt objemy dvou těles kvádru válce, které nkonec porovnáme. Pro koš A: Pro koš B: V πr v V b c V π V V 596 cm V 5000 cm Více odpdků se vejde do koše A, protože má větší objem. Pro lepší předstvu o objemu je vhodné převést cm n litry. Koš A má pk objem V 5, l do koše B se vejde přesně 5 l. Úloh : (inspircí k této úloze byl úloh z () ) Určete objem těles, které vznikne rotcí prvoúhlého trojúhelníku ABC s prvým úhlem u vrcholu C, kolem strny BC; je dáno: c 5 cm, α 7. Určete o jké těleso jde. Řešení: Hledným tělesem je kužel, jehož poloměr podstvy je strn b 6

28 dného trojúhelníku, výšk má délku délk hrny kužele odpovídá strně c v trojúhelníku. Vzorec pro výpočet objemu kužele je : V pv, kde p je obsh podstvy kužele v je jeho výšk. Podstvu vypočítáme p π.r, pro nše znčení je tedy p π.b objem V π b. Nyní pomocí goniometrických funkcí vypočítáme délky strn b trojúhelník ABC. sin α c sin 7 5 b cos α c b cos7 5,0 cm. b, 0 cm. Délku strny b můžeme tké vypočítt Pythgorovou větou: b c b 5 9 b,0 cm Nyní dosdíme do vzorce pro objem kužele: V π V 50, cm. Úloh : (zdání převzto z () ) Do rovnostrnného válce ( průměr podstvy je roven výšce válce) je vepsán koule kužel. Podstv válce je podstvou kužele, který má vrchol ve středu druhé podstvy válce. Určete poměr objemů těchto tří těles. Řešení: Válec: V v, kde p znčí obsh podstvy. p V π r r V πr 7

29 Koule: V Kužel: V π r p v V π r válec : koule : kužel π r : r π r : : π : Úloh : (zdání převzto z (9) ) Tovární hl nd půdorysem tvru obdélníku může být zstřešen buď klsickou sedlovou střechou, nebo střechou z hliníkového plechu, která má tvr poloviny pláště rotčního válce. Porovnejte ) potřebu krytiny n klsickou střechu se spotřebou hliníkového plechu, b) spotřebu mteriálu n vyzdění štítů v obou přípdech, c) objem hly v metrech krychlových. Řešení: ) Při výpočtu spotřeby hliníkového plechu budeme počítt polovinu obshu pláště válce p, jehož výšk v 0 m poloměr podstvy r m. p. π r. v 80π m p 5, m p potřebu krytiny k n klsickou střechu vypočítáme jko dvojnásobek obshu obdélník o, kde jedn strn má délku 0 m druhou musíme vypočítt. K výpočtu použijeme prvoúhlý trojúhelník, který tvoří polovin štítu. Z Pythgorovy věty pk: 8

30 x + o 5,66 0 k o x 5,66 m, m 8, m o N klsickou střechu bude menší spotřeb krytiny, než n střechu z hliníkového plechu. k b) Nyní musíme vypočítt obsh půlkruhu pp v přípdě střechy z hliníkového plechu obsh trojúhelník kt v přípdě sedlové střechy. Protože štíty jsou dv (n kždé strně budovy jeden) musíme výsledek vynásobit dvěm. pp π r kt v 50, m m pp kt c) Hlu si rozdělme n části: kvádr střešní část v jednom přípdě ji tvoří polovin válce, ve druhém hrnol s podstvou trojúhelník. Objem kvádru je u obou typů hl stejný, při porovnávání nás tedy budou zjímt objemy střešních částí. Pro objem V p střešní části hly s hliníkovou střechou pltí: V p v, kde je obsh podstvy válce jehož polovin tvoří střechu v 0 m je výšk válce neboli délk hly. Podle obrázku v zdání je r m. V p V p π r v π6 0 V 50,7 m p Objem V k střešní části hly s klsickou střechou vypočítáme jko obsh štítu (použijeme výpočet z úlohy b) vynásobený délkou hly: V k 6 0 V 0 m Podle výsledků V p V k je zřejmé, že hl se střechou z hliníkového plechu má větší objem. k 9

31 Úloh č. 5: (zdání převzto z (9) ) N obrázku vidíš tzv. kvdroládu (speciální druh rolády). Je vyroben z bílé hnědé mrcipánové hmoty, přičemž obě hmoty mjí stejnou tloušťku, to cm. Celá kvdrolád má délku 5 cm. Prodává se rozkrájená n 0 shodných plátků. Zjisti ) rozměry jednoho plátku, b) kolik grmů hnědé hmoty kolik grmů bílé hmoty je třeb n její příprvu, jestliže víš, že cm mrcipánu má hmotnost grmy. Řešení: ) Šířk plátku bude,5 cm, protože délku rolády tj. 5 cm vydělíme 0. Výšku délku plátku určíme z obrázku, to tk že spočítáme bílé hnědé vrstvy ve směru svislém (8) ve směru vodorovném (9). Rozměry jednoho plátku tedy jsou: šířk,5 cm, výšk 8 cm délk 9 cm. b) Bílou i hnědou vrstvu rozdělíme n několik části (kvádrů), které očíslujeme budeme počítt objem kždého z nich. Pro bílou část: Pro hnědou část: V V V V V V V V V V V V V V

32 V V Celkový objem bílé části V b 0 cm Celkový objem hnědé části V h 660 cm Celkový počet grmů bílé hmoty : g. Celkový počet grmů hnědé hmoty: g. Pro kontrolu vypočítáme objem celé kvdrolády: cm porovnáme jej se součtem objemů hnědé bílé části : cm. Objemy se rovnjí. Úloh 6: (zdání převzto z () ) Hrdní zhrdy zdobí koule z pískovce. Poloměr koule je přibližně 50 cm, hustot kg pískovce je si 600. Vypočítej hmotnost koule. (Výpočty zokrouhluj n dvě m desetinná míst.) Řešení: Nejprve převedeme zdný poloměr r z centimetrů n metry: r 0,5 m, protože hustotu máme zdnou v kilogrmech n metr krychlový. Dále vypočítáme objem koule V, poté jej vynásobíme hustotou ρ dostneme hmotnost m koule. Úlohu můžeme řešit úvhou, nebo doszením do fyzikálního vzthu pro výpočet hmotnosti: m ρ. V. V Vzorec pro výpočet objemu koule je V r π, po doszení z r dostáváme: 0,5 m. Po vynásobení objemu koule hustotou pískovce dostáváme výsledek: m 5 kg. Úloh 7: (část zdání převzt z () ) těn duté čokoládové koule má tloušťku přibližně mm, vnější průměr koule je 58 mm. Tet Bět snědl pět koulí libuje si: Po tom neztloustnu, dutá koule je jenom vzduch.

33 kg ) Zjisti, kolik grmů čokolády Bět snědl; hustot čokolády ρ je přibližně 00. m (objemy zokrouhluj n celá čísl) b) Vypočítej, jkou energetickou hodnotu měl snědená čokolád, když 00 g této čokolády dodá energii 58 kj. Přesáhl tet doporučenou denní dávku, která je 9000 kj? Řešení: ) Objem čokolády V vypočítáme, tk že od objemu V koule s průměrem d 58 mm (r 9 mm) odečteme objem V koule o průměru d 5 mm (r 7 mm). V V V V πr πr V V 97 mm. Protože máme vypočítt, kolik grmů čokolády Bět snědl, musíme převést hustotu kg g čokolády z n m cm součsně objem čokolády n cm nebo převedeme objem V z milimetrů n metry výslednou hmotnost, která nám vyjde v kilogrmech převedeme n grmy. Volíme první způsob: kg g 00,. m cm 9 7 mm 9,7 cm m ρ. V m,. 9,7 m,7 g. Nyní jsme vypočítli hmotnost čokolády jedné koule. Protože Bět snědl tkových koulí pět je celková hmotnost čokolády, kterou tet snědl 5.,7 8,5g. b) Víme, že 00g čokolády dodá energii 58 kj. Pro g čokolády tedy pltí: 58 : 00,6. Jeden grm čokolády má energetickou hodnotu zhrub,6 kj. Tet snědl celkem,7g čokolády, tkže celková energie snědené čokolády je,7.,6 5 kj. Protože , tet nepřesáhl doporučenou denní dávku energie.

34 Pltónov těles Nejprve definujme pojem prvidelný mnohoúhelník, ze kterého budeme vycházet. Definice : Uzvřená lomená čár spolu s částí roviny ohrničené touto lomenou čárou se nzývá mnohoúhelník, jk je uvedeno v (6). Definice : Prvidelný n-úhelník je mnohoúhelník, jehož všechny strny vnitřní úhly jsou shodné, uvádí (6). Vlstnosti: Prvidelný mnohoúhelník má všechny strny shodné všechny jeho vnitřní úhly se shodují. Lze mu opst i vepst kružnici. Definice : Mnohostěn (n-stěn) je kždé těleso, jehož hrnice je sjednocením n mnohoúhelníků (stěn) tkových, že strn kždého z nich je zároveň strnou sousedního mnohoúhelníku žádné dv sousední mnohoúhelníky neleží v téže rovině, je uvedeno v (6). Definice : Prvidelný mnohostěn (s-stěn) má shodné stěny, kterými jsou prvidelné n-úhelníky z kždého jeho vrcholu vychází stejný počet hrn. Vlstnosti: Prvidelnému mnohostěnu lze vepst koule, tké kždý prvidelný mnohostěn můžeme do koule vepst. Jk uvádí (7) : oučet vnitřních úhlů prvidelných n-úhelníků u jednoho vrcholu musí být menší než 60. Pokud jsou stěnmi prvidelného mnohostěnu rovnostrnné trojúhelníky (velikost vnitřního úhlu v rovnostrnném trojúhelníku je 60 ), mohou být u jednoho vrcholu buď tři prvidelný čtyřstěn, nebo čtyři prvidelný osmistěn, nebo pět prvidelný dvcetistěn. Jsou-li stěnmi prvidelného mnohostěnu čtverce (vnitřní úhel ve čtverci je 90 ), mohou být u jednoho vrcholu pouze tři - prvidelný šestistěn neboli krychle. Jsou-li stěnmi prvidelného mnohostěnu prvidelné pětiúhelníky ( vnitřní úhel má velikost 08 ), mohou se v jednom vrcholu stýkt pouze tři prvidelný dvnáctistěn. Vnitřní úhly prvidelného šestiúhelníku mjí velikost 0, tkže žádný prvidelný mnohostěn nemůže mít prvidelné šestiúhelníky jko své stěny. Proto je prvidelných mnohostěnů jen pět. Mezi počtem vrcholů v, hrn h stěn s konvexního mnohostěnu odvodil Euler vzth, který je znám jko Eulerov vět. T říká: v konvexním mnohostěnu je součet počtu stěn počtu vrcholů roven počtu hrn zvětšeném o dvě: s + v h +.

35 Definice 5: Nechť M je mnohostěn x,y jsou dv libovolné body, pro které pltí: x,y M. Pokud úsečk XY M, pk říkáme že M je konvexní. Jestliže XY M, pk je mnohoúhelník nekonvexní. Podrobný popis prvidelných mnohostěnů nlezneme v následující tbulce (zdroj: (5) ): Název mnohostěnu Počet stěn s Počet hrn jednoho vrcholu m Počet hrn jedné stěny n Počet vrcholů v Počet hrn Čtyřstěn (tetredr) 6 Krychle (hexedr) 6 8 Osmistěn (oktedr) 8 6 Dvnáctistěn (dodekedr) Dvcetistěn (ikosedr) h (obrázky použity z: (0) ) Z tbulky vyplývá, že npříkld prvidelný dvnáctistěn se tké nzývá dodekedr, v jeho kždém vrcholu se stýkjí hrny, kždá jeho stěn má 5 hrn jeho povrch je tvořen prvidelnými pětiúhelníky, dále má dvnáctistěn stěn, 0 vrcholů 0 hrn. Těchto pět prvidelných mnohostěnů znli už mtemtikové počátkem. stol. př.n.l. ve strém Řecku. Řecký filosof Pltón (7-7 př.n.l.) tto těles používl k objsňování svého učení o podsttě hmotného svět. Podle něj byly podsttou svět čtyři zákldní živly: země, vzduch, oheň vod, které předstvovly krychle, osmistěn, čtyřstěn dvcetistěn. Dvnáctistěn Pltón povžovl z předstvitele jsoucn tj. všeho co existuje. Definice 6: Ke kždému mnohostěnu existuje mnohostěn duální. Ten vznikne umístěním vrcholů do středů stěn původního mnohostěnu jejich spojením hrnmi tk, že vrcholy ležící v sousedních stěnách původního mnohostěnu jsou v jeho duálu spojeny hrnou.

36 Znmená to, že středy stěn krychle jsou vrcholy prvidelného osmistěnu zároveň středy stěn osmistěnu jsou vrcholy krychle. Říkáme, že krychle prvidelný osmistěn jsou nvzájem duální. Nvzájem duální je i prvidelný dvcetistěn prvidelný dvnáctistěn. Prvidelný čtyřstěn je duální sám se sebou. Z předchozí tbulky je zřejmá následující symetrie: m n s v h Krychle 6 8 Osmistěn 8 6 V dlší kpitole se budeme zbývt povrchy objemy jednotlivých Pltónových těles budeme je porovnávt s povrchy objemy těles k nim duálních. Pltónov těles jsou vhodná pro zřzení do oblsti nestndrdních plikčních úloh v geometrii, protože se zde upltňuje většin geometrických znlostí dovedností. Lze zde plikovt zákldní učivo z oblsti geometrie. Žáci musí používt logické myšlení, mohou nlézt různé způsoby řešení dného problému v neposlední řdě si procvičují prostorovou předstvivost. Znlost Pythgorovy věty z roviny se v této oblsti přesouvá do prostoru. Při řešení úloh týkjících se Pltónových těles se jko form výuky nbízí práce ve skupinkách nebo toto tém můžeme zřdit do projektového vyučování. Tyto formy výuky (práce ve skupinkách projektové vyučování) jsou zdůrzňovány v RVP ZŠ. 5

37 Prvidelný čtyřstěn Uvžujeme prvidelný čtyřstěn ABCD s hrnou o délce. Pro výpočet jeho povrchu nejprve spočítáme obsh jedné jeho stěny. Zvolme trojúhelník BCD. Nechť v v je výšk trojúhelníku BCD. Pk pro jeho obsh pltí:. Velikost výšky v vypočteme z trojúhelníku PCD pomocí Pythgorovy věty: v v v [ ] Po doszení výšky vyjádřené pomocí strny do vzorce pro obsh dostáváme.. Obsh trojúhelníku BCD zároveň obsh kždé stěny čtyřstěnu ABCD je [ ]. Jelikož povrch čtyřstěnu ABCD tvoří čtyři shodné rovnostrnné trojúhelníky pltí: [ ] Objem V čtyřstěnu ABCD vypočítáme podle vzorce: V p.h, kde p je obsh podstvy h je tělesová výšk. Pro výpočet výšky h musíme nejprve určit její ptu T, která leží v těžišti podstvy. Nyní je dobré si uvědomit, že výšky rovnostrnného trojúhelník splývjí s jeho těžnicemi. Z vlstností těžnic plyne, že těžiště trojúhelník leží n těžnici to tk, že ji. 6

38 dělí v poměru :. Z trojúhelník ABT pomocí Pythgorovy věty vypočítáme h. Víme, že BT t zároveň t v. h t h v z v dosdíme vzorec [ ] dostáváme: h Běžnými úprvmi potom h 6 h. Nyní už můžeme přejít k výpočtu objemu čtyřstěnu ABCD: V. h, kde z dosdíme [ ]. V 6, úprvmi: V [ ]. Čtyřstěn duální sám se sebou Oznčme těžiště všech stěn čtyřstěnu ABCD postupně písmeny K,L,M,N. Po vzájemném spojení všech těchto bodů dostáváme dlší prvidelný čtyřstěn KLMN. Vypočítáme délku hrny prvidelného čtyřstěnu KLMN v závislosti n délce hrny prvidelného čtyřstěnu ABCD. 7

39 Z prvoúhlého trojúhelníku OND, kde O je pt výšky trojúhelníku ABD spuštěná z vrcholu D: v cos α, v cos α Pro prvoúhlý trojúhelník KOU: OU ON K, kde O je pt výšky trojúhelníku ABD, U je pt výšky v trojúhelníku KON spuštěná z vrcholu K je těžiště trojúhelníku KLM. OU v v OU OU 6 ( ) cosα 6 cosα ( ) Dále musí pltit, že úhly α se rovnjí to jk pro OND, tk pro KOU. Pltí tedy: cos α cosα Při počítání ve vyšších ročnících nebo s ndnými dětmi můžeme použít kosinovou větu, která má tvr: b + c bc cosα, kde strn c t. Pro určení cosα b zvolíme prvoúhlý trojúhelník OND, pro který pltí: DN h, DO v ON t. Víme, že t v h, v jsou výšky tělesová stěnová. doszení do kosinové věty dostáváme: v + v v ON cos α, OD t cos α, t t + t t t cosα, běžnými úprvmi doszením z v vzth [ ] pk: cos α.. Po Nyní nás budou zjímt poměry objemů povrchů čtyřúhelníků ABCD KLMN. Pro přehlednost budeme objem povrch čtyřstěnu KLMN oznčovt 8

40 čárkovně. Pro výpočet objemu použijeme vzorec[ ], kde z hrnu dosdíme hrnu čtyřstěnu KLMN. V V 7 Při určení povrchu, si pomůžeme vzthem [ ], do kterého opět místo dosdíme. 9 9 Nyní přejdeme k smotnému porovnání objemů povrchů čtyřstěnů ABCD KLMN: V V Vidíme, že objem čtyřstěnu KLMN je 7 krát menší, než objem čtyřstěnu ABCD, že jeho povrch je 9 krát menší než povrch čtyřstěnu ABCD. 9 Prvidelný čtyřstěn v krychli Vhodným výběrem vrcholů krychle lze získt prvidelný čtyřstěn. Vypočítáme poměry objemů povrchů krychle čtyřstěnu, když známe velikost hrny krychle, která je. Povrch čtyřstěnu znčíme objem čtyřstěnu V. Nejprve určíme délku hrny z prvidelného čtyřstěnu. Z obrázku je vidět, že délk hrny čtyřstěnu je rovn velikosti stěnové úhlopříčky krychle, proto pltí: z. Pro výpočet povrchu čtyřstěnu stčí délku hrny z dosdit do vzorce [ ]. 9

41 0 ( ) z Objem vypočítáme doszením z do vzorce [ ]. z V V ( ) V V Povrch krychle V čtyřstěnu V dáme do poměru dostáváme: V V, tj. objem prvidelného čtyřstěnu, jehož vrcholy leží ve vrcholech krychle do které je vepsán, tvoří jednu třetinu objemu této krychle. Poměr povrchů krychle čtyřstěnu je stejný jko poměr objemů těchto těles: 9 6. Povrch krychle je třikrát větší než povrch čtyřstěnu.

42 Krychle osmistěn. Osmistěn b v krychli pojíme-li středy všech sousedních stěn krychle, získáme jedno z Pltónových těles, kterým je prvidelný osmistěn. Délku hrny krychle budeme stejně jko v předchozí úloze znčit písmenem. Nechť b je délk hrny osmistěnu vepsného krychli. Znovu nás bude zjímt, v jkém poměru jsou povrchy objemy krychle osmistěnu. Pro objem povrch osmistěnu budeme používt index 8. Hrnu b, vypočítáme z prvoúhlého rovnormenného trojúhelníku ABD, kde body A, B leží ve středu stěn krychle bod D leží ve středu hrny krychle. Pro rmen trojúhelníku ABD pltí AD BD. Podle Pythgorovy věty: b AD + BD b + Povrch osmistěnu tvoří 8 rovnostrnných trojúhelníků, tedy 8 8t, kde t je obsh jedné stěny osmistěnu. Tu oznčíme body ABC. Pro výpočet obshu trojúhelník ABC, je nutné znát výšku v b. Její ptu oznčíme P k výpočtu výšky použijeme prvoúhlý trojúhelník BPC. Podle Pythgorovy věty b [ ]. pltí: b v b b z b dosdíme [ ] dostáváme: v b v b 8

43 6 v b Pro obsh stěny prvidelného osmistěnu pltí: b v b t, po doszení z v b předchozí výpočet vzth [ ]: t t 8 6 Nyní už můžeme přejít k výpočtu smotného povrchu prvidelného osmistěnu, to doszením do vzorce 8 8t [ 5 ] 8 Pro výpočet objemu bude vhodné rozdělit osmistěn n dv shodné jehlny s čtvercovou podstvou o ploše p. Osmistěn rozdělíme rovinou, která je rovnoběžná s podstvou krychle prochází body A C. Protože je osmistěn vepsán do krychle jeho vrcholy leží ve středech stěn krychle je délk výšky osmistěnu h rovn délce hrny krychle. Tvr podstvy jehlnu ABCFG je čtvercový, proto: p b b p p Objem jehlnu ABCFG V h p, h, tedy V V [ 6 ] Celkový objem V 8 pk vypočítáme jko dvojnásobek objemu jehlnu ABCFG.

44 V 8 V 8 6 Povrch objem krychle vyjádříme vzthy: Poměr objemů krychle osmistěnu je 6, V. V V Objem osmistěnu vepsného do krychle je šestkrát menší než objem krychle. Povrch osmistěnu je dvnáctkrát menší než povrch krychle: Krychle c v osmistěnu b pojíme-li těžiště všech stěn prvidelného osmistěnu, který je vepsán krychli s délkou hrny, získáme dlší krychli, jejíž hrnu oznčíme c. Nyní se nbízí několik možných úloh:. Porovnt povrchy objemy krychlí s hrnmi c.. Porovnt objem povrch krychle vepsné osmistěnu s tímto osmistěnem. K určení délky hrny c, využijeme goniometrických funkcí dvou prvoúhlých trojúhelníků. třed krychle oznčíme písmenem. Průnik úsečky P s hrnou krychle je oznčen Q vrchol krychle, který náleží trojúhelníku ABC je oznčen písmenem R. Úhel RPQ oznčme β. Pro trojúhelník BP : b P, cos β P PB h B, BP vb

45 6 v b dostneme: b β, po doszení z b vzorec [ ] cos v b z cos β Pro trojúhelník RPQ: b u PQ t, kde u t je tělesová úhlopříčk krychle pltíu t c, proto PQ c. Protože vrchol krychle R leží v těžišti rovnostrnného trojúhelník ABC BP je výšk tohoto trojúhelník, pltí cos β 6 c 6 RP vb, RP. Dále pro RPQ: PQ cos β, RP Pltí: cos β cos β 6 6c c c Pro objem krychle tedy pltí V c pro její povrch: 7 Poměr objemů krychlí: c 6 9 Poměr povrchů krychlí: V V c 7 7 V c - objem krychle s hrnou c V - objem krychle s hrnou c 6 9 c - povrch krychle o hrně c - povrch krychle o hrně Poměr objemů i povrchů krychlí se shoduje s poměry objemů povrchů čtyřstěnů ABCD KLMN.

46 Následně vypočítáme poměry objemů povrchů krychle vepsné osmistěnu osmistěnu. V 8 V c c Osmistěn d vepsný do krychle c Do krychle s délkou hrny c vepíšeme prvidelný osmistěn. Hrnu tohoto osmistěnu oznčíme d. Její délku vypočítáme dle již odvozeného vzorce [ ], kde b je b hrn osmistěnu je hrn krychle do které je osmistěn vepsán. Pro tento přípd má vzorec [ ] tvr d c. Po doszení z c dostáváme: d. 6 Objem povrch tohoto osmistěnu budeme oznčovt indexem d. Povrch vypočítáme podle vzorce [ 5 ] objem osmistěnu dle vzorce [ ] 6. d d d c 9 9 V V V d d d c Poměr objemů osmistěnů s hrnmi o délkách d b : V 8 V d Poměr povrchů osmistěnů s hrnmi o délkách d b : 8 d 9 9 Vc 7 Poměr objemu osmistěnu krychle: 6 V d 6 c Poměr povrchu osmistěnu krychle: d 9 5

47 Poměr objemů 7: povrchů 9: osmistěnů, kde jeden je krychli vepsán druhý je té smé krychli opsán je stejný jko poměr objemů povrchů prvidelného čtyřstěnu vepsného do dlšího čtyřstěnu tktéž je tento poměr shodný s poměrem dvou krychlí, kde jedn je opsán prvidelnému osmistěnu druhá je témuž osmistěnu vepsán. Prvidelný dvcetistěn Je dán délk hrny prvidelného dvcetistěnu. Urči jeho objem V povrch. Povrch vypočítáme jednoduše, budemeli znát obsh jedné stěny dvcetistěnu, kterou je rovnostrnný trojúhelník oznčme jej ABC. Podle [ ] je obsh jedné stěny. Nyní stčí obsh trojúhelníku vynásobit počtem stěn těles tj. 0 dostáváme : 5 Prvidelný dvnáctistěn Je dán hrn prvidelného dvnáctistěnu. Tk jko v předešlých úlohách budeme počítt objem povrch tohoto těles. K výpočtu povrchu musíme nejprve vypočítt obsh jedné stěny prvidelného dvnáctistěnu, to prvidelného pětiúhelník. Abychom jej mohli vyjádřit pomocí jedné proměnné, musíme vyjádřit poloměr r kružnice pětiúhelníku opsné v závislosti n délce strny. Předpokládáme znlost konstrukce prvidelného pětiúhelníku. 6

48 Pltí: TV TU x. Délku úsečky x vypočítáme z prvoúhlého trojúhelník TV, kde r T V r. Z Pythgorovy věty pk: x x r 5 r + r Pro prvoúhlý trojúhelník VU: V r, VU, U TU T, po doszení z TU 5 x r r T pltí: r ( 5 ) U. Opět pomocí Pythgorovy věty dostáváme: 7 r + r r U r + 5 ( 5 ) 5 r. 5 5 Pokud pětiúhelník rozdělíme n 5 rovnormenných trojúhelníku, pk můžeme spočítt obsh pětiúhelník jko pětinásobek obshu jednoho rovnormenného trojúhelník, kde zákldn má délku rmen délku r. Výšku tohoto trojúhelník vypočítáme z Pythgorovy věty: v r, po doszení z r : 5 5

49 Obsh trojúhelník tedy bude: v 5 + v 5 v ( 5) ( 5 + 5) v, po doszení z v dostáváme: Pro obsh jedné stěny dvcetistěnu: , úprvmi pk: Povrch dvnáctistěnu dostneme vynásobením obshu jedné stěny počtem všech stěn:

50 ítě Pltónových těles: Úloh: Nrýsujte sítě pltónových těles, vystřihněte je složte z nich dná těles. Předem si promyslete, kde uděláte záložky. (obrázky sítí převzty z () ). čtyřstěn:. Krychle:.Osmistěn:.Dvnáctistěn: 5.Dvcetistěn: Úloh: Nkresli všechny možné sítě krychle: Řešení: Krychli lze složit z různých sítí: 9

51 Úloh: Kolik sítí prvidelného čtyřstěnu dokážeš nkreslit? Řešení: ítě prvidelného čtyřstěnu jsou : Úloh: Které prvidelné mnohostěny lze sestvit z plstelíny párátek, z podmínky, že v kždém vrcholu se sbíhjí hrny? Řešení: Úloh: Výrob klendáře z prvidelného dvnáctistěnu: Necháme žáky by si vyrobili klendář dle svých možností, který může zároveň sloužit, jko dekortivní ozdob n prcovním stole. Žáci se učí prcovt v prostoru zároveň jim zůstává něco, co smi vyrobili. (šblon klendáře z (5) ) 50

52 5

53 Závěr V této práci se mi podřilo vytvořit sbírku Nestndrdních plikčních úloh do geometrie. Celá práce je rozdělen n několik částí. Do první části jsem zřdil úlohy rozvíjející geometrickou předstvivost. V dlší části se věnuji úlohám v rovině po ní následuje část, která obshuje úlohy prostorové. N tuto část pk nvzuje kpitol o Pltónových tělesech. nžil jsem se vybrt úlohy, které by odpovídly poždvkům RVP. Úlohy týkjící se Pltónových těles ptří do náročnějších metod práce mezi dlouhodobější úkoly. Aplikují se n nich zákldní pozntky z oblsti geometrie. Proti tomu npříkld úlohy pro rozvoj prostorové předstvivosti nevycházejí z žádných vědomostí, tudíž mohou povzbudit mtemticky méně ndné žáky. Většin úloh je zdán tk, by se dotýkl prxe utvrzovl tk žáky v potřebě dnou úlohu vyřešit. To je důležité zejmén pro slbší žáky, kteří nemjí žádnou motivci k učení potřebují odpovědi n otázku: K čemu je to dobré vědět? Rámcový vzdělávcí progrm klde důrz n rozvoj klíčových kompetencí, které by měly být rozvíjeny ne jenom po dobu zákldního vzdělávání le po celý život. Mtemtik je předmět, který rozvíjí všechny klíčové kompetence. Kompetence k učení mtemtik rozvíjí npř. tím, že předkládá žákovi více způsobů řešení. Žák si pk sám volí způsob, který mu lépe vyhovuje. Pokud zdáme úlohu, ve které je více údjů, než je potřeb k vyřešení problému, pk se žák učí třídit vybírt potřebné informce. Ve všech úlohách by měl žák provádět zkoušku správnosti řešení tím rozvíjí kompetence k řešení problémů. Dále tyto kompetence rozvíjí tím, že dokáže plikovt známé postupy při řešení příkldů n obdobné nebo nové problémové situce. Komuniktivní kompetence jsou v mtemtice vytvářeny tk, že nutí žáky diskutovt o dném problému, učí je odhdovt výsledek úlohy srovnávt jej z výsledkem vypočítným. Žák musí umět obhájit proč zvolil právě tkové řešení, proč je správné. Při práci ve skupinkách se rozvíjí kompetence sociální personální. Žáci se učí vzájemné spolupráci. Vidí nezbytnost jednoho nebo druhého pro vyřešení zdného problému. Pokud učitel žáky vhodně rozdělí kždému přiřdí určitou roli (řečník, zpisovč, designer, výrobce td.), podporuje tím u dětí smosttný rozvoj osobnosti sebedůvěry. 5

54 Tím, že mtemtik vládne různými přístupy k řešení dného příkldu, rozvíjí se kompetence občnské. Žáci se učí respektovt přijímt názory jiných. V geometrii se rozvíjí tké tvořivost, která ptří do občnských kompetencí. Kompetence prcovní se rozvíjí především v oblsti geometrie, kdy se žáci učí prvidlům práce s geometrickými pomůckmi. V této oblsti můžeme pro lepší názornost využívt počítčových progrmů. V jiných oblstech mtemtiky se upltňuje práce s klkulčkou jinou výpočetní technikou. Žák si musí osvojit určité prcovní postupy při práci dbát ochrny zdrví druhých i sebe sm. 5

55 Použitá litertur. BENDA, Petr, j. bírk mturitních příkldů z mtemtiky. Prh: PN, 98. IBN (s.65). FUCH, Edurd, HOŠPEOVÁ, Alen, LIŠKOVÁ, Hn. Postvení mtemtiky ve školním vzdělávcím progrmu zákldní vzdělávání. Prh : Prometheus, 006. IBN (s.6). KUŘINA, Frntišek. Umění vidět v mtemtice. Prh : PN, 990. IBN ODVÁRKO, Oldřich, KADLEČEK, Jiří.Prcovní sešit z mtemtiky: oubor úloh pro 9. ročník zákldní školy. Prh: Prometheus, l. IBN (s.,65) 5. OPAVA, Zdeněk. Mtemtik kolem nás. Prh : Albtros, l. IBN (s.9-95). 6. POMYKALOVÁ, Ev. Plnimetrie : Mtemtik pro gymnázi.. Prh: Prometheus, s. IBN (s. 0) 7. POMYKALOVÁ, Ev. tereometrie : Mtemtik pro gymnázi.. Prh: Prometheus, 995. s., IBN (s.9). 8. ŠAROUNOVÁ, Alen, j. Mtemtik 9, I. díl. Prh: Prométheus, 999. s. IBN (s.9) 9. ŠAROUNOVÁ, Alen, j. Mtemtik 8, I. díl. Prh: Prométheus, s. IBN (s.09) 0. ŠAROUNOVÁ, Alen, j. Mtemtik 7, II. díl. Prh: Prométheus, 998. s. IBN X.. ŠAROUNOVÁ, Alen, j. Mtemtik 7, I. díl. Prh: Prométheus, s. IBN ŠAROUNOVÁ, Alen, j. Mtemtik 6, II. díl. Prh: Prométheus, s. IBN (s.76). [online]. [cit.. dubn 007]. Dostupný z WWW: < >.. Česká Wikipedie, internetová encyklopedie [online]. poslední revize. březn 007. Dostupná z WWW: < > 5. Gymnázium Jroslv Vrchlického v Kltovech [online] [cit.. dubn 007]. Dostupný z WWW: < > 5