Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Transkript

1 .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli zvedení pojmu učitý integál (kpitol.1). Dále předpokládáme, že znáte zákldní metody výpočtu učitého integálu. Budeme tké používt vzthy po výpočet délky oblouku křivky (kpitol.). Výkld Uvžujme nezáponou funkci f ( ) n intevlu < b, >. Nším úkolem bude vypočítt obsh pláště otčního těles, kteé vznikne otcí gfu této funkce kolem osy (ob..4.1). Ob Rotce křivky kolem osy Budeme postupovt nlogicky jko při výpočtu objemu otčního těles (kp..). Řezy kolmými n osu ozdělíme otční těleso n n tenkých plátků. (Opět si můžete předstvit, že těleso kájíte n káječi jko šunku. Tentokát nás zjímá slupk jednotlivých plátků.) Ob..4.. Rozřezání těles n tenké plátky

2 .4. Obsh pláště otčního těles Kždý plátek můžeme poimovt komolým kuželem, jehož plášť vytvoří úsečk otující kolem osy (ob..4.). Plášť i - tého komolého kuželu bude ΔSi f( ξi) Δ si. Obsh pláště celého těles bude přibližně oven součtu obshů plášťů jednotlivých plátků (komolých kuželů): n n i i i i= 1 i= 1 S Δ S = f( ξ ) Δs. Δ si Čím bude dělení intevlu <b, > jemnější, tím méně se bude součet obshů plášťů plátků n ΔS i= 1 tohoto součtu po b S = f( ) ds. i lišit od obshu pláště dného těles. Poto obsh pláště definujeme jko limitu n, když záoveň všechny délky Δ 0. Kldeme Z kpitoly. víme, že po element délky křivky pltí dy ds = d + dy = 1 + d = 1 + [ f ( ) ] d. Doszením z ds dostneme: d b S = f( ) 1 + f ( ) Vět.4.1. [ ] d. Nechť je funkce f ( ) spojitá nezáponá n intevlu < b, > má zde spojitou deivci f ( ). Pk po obsh otční plochy vzniklé otcí oblouku křivky y = f( ) kolem osy pltí b S = f( ) 1 + f ( ) [ ] s i d

3 .4. Obsh pláště otčního těles Poznámk Vzoec z věty.4.1 můžeme zpst ve tvu b b S = y ds = y 1 + ( y ) d. Tento vzoec můžeme sndno použít i v přípdě, že je uvžovná křivk dán pmetickými ovnicemi. Je-li otující křivk popsán pmetickými ovnicemi = ϕ() t, y = ψ () t, t < α, β >, pk po ds pltí (vět..) [ ϕ ()] [ ψ ()] ds = t + t dt. Po výpočet obshu plochy, kteá byl vytvořen otcí uvedené křivky kolem osy, dostáváme: b β S = y ds = ψ( t) ϕ ( t) + ψ ( t) dt Vět.4.. [ ] [ ]. α Nechť je funkce f dán pmetickými ovnicemi = ϕ() t, y = ψ () t, t < α, β >, přičemž funkce ϕ ( t) ψ ( t) mjí spojité deivce n intevlu < α, β > funkce ψ ( t) je nezáponá n intevlu < α, β >. Pk po obsh plochy, kteá vznikne otcí gfu funkce f kolem osy pltí β S = ψ( t) [ ϕ ( t) ] + [ ψ ( t) ] dt. α Řešené úlohy Příkld.4.1. Vypočtěte obsh pláště otčního kužele, kteý je vytvořen úsečkou y = po < 0, > otující kolem osy. Řešení: V příkldu..1 jsme již počítli objem kuželu (ob...). Po dnou úsečku y = po < 0, > dostáváme

4 .4. Obsh pláště otčního těles ds = 1 + ( y ) d = 1+ 1 d = d. Obsh pláště otčního kužele bude S = yds= d= = Příkld.4.. Odvoďte vzth po výpočet povchu koule o poloměu > 0. Řešení: Rovnice kužnice se středem v počátku poloměem je + y =. Odtud y=±, přičemž <, >. Rotcí honí půlkužnice y =+ dostneme plášť koule (viz ob...4). Před dlším výpočtem si upvíme výz 1 + ( y ). ( ) 1 1 y = ( ) =. 1 + ( y ) = 1+ = Po povch koule bude z věty.4.1 pltit, S = y 1 + ( y ) d= d= d= = 4 [ ]. Dostli jsme známý vzth po povch koule. Poznámk Musíme přiznt, že předcházející výpočet nebyl zcel koektní, potože deivce funkce y = není definován po = ±. Nejsou tedy splněny předpokldy věty.4.1. Mohli bychom to npvit tk, že bychom počítli integál n intevlu < + ε, ε >, kde ε > 0 je mlé číslo (vlstně bychom z koule odřezli dv mlé vchlíky). Plášť koule bez vchlíků by byl S = 4 ( ε ). Po ε 0 dostneme očekávný výsledek. Po výpočet povchu koule můžeme tké využít pmetické ovnice honí půlkužnice: = cost, y = sin t, t < 0, > (viz příkld..)

5 Po doszení do vzthu z věty.4. dostneme S = ψ( t) ϕ ( t) + ψ ( t) dt = sint sint + cost dt.4. Obsh pláště otčního těles [ ] [ ] [ ] [ ] = 0 0 = sint sint + cost dt = sin t dt = cost = 4. [ ] [ ] [ ] Příkld.4.. Vypočtěte obsh otční plochy, kteá vznikne otci steoidy kolem osy. Řešení: Postup výpočtu bude nlogický jko v příkldu... Vznik steoidy je objsněn n obázku..4. Pmetické ovnice steoidy jsou = cos t, = sin, > 0. y t Vzhledem k symetii steoidy se můžeme omezit n t < 0, >. Rotcí dostneme polovinu otční plochy. Po její obsh pltí (sovnej s příkldem..): S = sin t cos tsin t + sin tcost dt = sin t(sin tcos t) dt 0 0 = 5 4 sin t 6 = 6 sin tcos t dt = =. Obsh celé otční plochy bude dvojnásobný: 6 1 S = =. 5 5 Příkld.4.4. Vypočtěte povch otčního nuloidu. Řešení: S nuloidem jsme se podobně seznámili v příkldu..4. Podívejte se n obázky Povch nuloidu je složený ze dvou ploch

6 Pvní vznikne otcí křivky.4. Obsh pláště otčního těles = + (ob...9), duhá ploch vznikne f ( ) R otcí křivky = po <, > kolem osy. g ( ) R Je zřejmé, že f ( ) g ( ) Povch nuloidu bude 1 + f ( ) = 1 + g ( )]. = poto [ ] [ S = S1+ S = f( ) 1 + [ f ( ) ] d+ g( ) 1 + [ g ( ) ] d= = ( ) + ( ) 1 + ( ) = 1 + ( ) [ f g ] [ f ] d R [ f ] d= [ ] = 4R 1 + f ( ) d= 4R = 4 R. Využili jsme toho, že [ ] poloviny kužnice o poloměu. Kontolní otázky 1 + f ( ) d=, neboť hodnot integálu je ovn délce 1. Uveďte vzth po výpočet obshu otční plochy, kteá vznikne otcí křivky y = f( ) kolem osy.. Uveďte vzth po výpočet obshu otční plochy, je-li otující křivk dán pmetickými ovnicemi otuje kolem osy.. Jk bude vypdt vzth po výpočet obshu otční plochy, jestliže křivk dná pmetickými ovnicemi bude otovt kolem osy y? 4. Odvoďte vzth po výpočet obshu pláště otčního kužele s poloměem podstvy výškou v. (Viz příkld..1.) 5. Jk vypočtete obsh pláště otčního komolého kužele, kteý vznikne otcí křivky y = k, 0 < b kolem osy? 6. Jk vypočtete obsh otční plochy, kteá vznikne otcí křivky dné pmetickými ovnicemi = t + 1, y = 4 t po t < 0, 4 > kolem osy? Jké těleso vznikne?

7 .4. Obsh pláště otčního těles 7. Sestvte integál po výpočet obshu otční plochy, kteá vznikne otcí pboly y = po 0 kolem osy (kolem osy y). Zkuste integál řešit pomocí někteého mtemtického pogmu (npř. Deive, Mple, Mthemtic). Úlohy k smosttnému řešení 1. Vypočtěte obsh otční plochy, kteá vznikne otcí dné křivky kolem osy : ) y = ; b) y = e + e ; 0 c) d) y = 4; 0 y = 1 ; 0 e) y = e4 + e 4 ; 0 4 f) y = sin ; 0. Vypočtěte obsh otční plochy, kteá vznikne otcí dné křivky kolem osy : ) = cos t, y= sin t; 0 t b) = cos t, y = sin t; 0 t c) ( ) ( ) = 4 t sin t, y = 4 1 cos t ; 0 t d) = sin t, y = sin t; 0 t t t e) = e sin t, y = e cos t; 0 t f) + y =

8 .4. Obsh pláště otčního těles Výsledky úloh k smosttnému řešení 1. ) 196 ; b) 1 4 e 79 + e ; c) 56 ; d) ; e) e + e ; 1 f) + ln( + ).. ) 16 ; b) ; c) ; d) 5 f) ; e) ( e ) 5 ; Kontolní test 1. Vypočtěte povch vchlíku kulové plochy o poloměu, jehož výšk je v <. ) v, b) ( + v), c) v, d) ( + v).. Vypočtěte obsh otční plochy, kteou vytvoří oblouk pboly y = po 8 při otáčení kolem osy. ) 76 15, b) 6, c), d) 15.. Vypočtěte obsh otční plochy, kteou vytvoří oblouk křivky y = (1 ) po 1 1 při otáčení kolem osy. ) 1 4, b), c), d) Vypočtěte obsh otční plochy, kteou vytvoří oblouk řetězovky y = ( e + e ),> 0 konst. po 0 otcí kolem osy. ) c) 4 ( e + e +4), b) e (1 + e ), ( e e +4), d) 4 (4 e + e )

9 .4. Obsh pláště otčního těles 5. Vypočtěte povch těles, kteé vznikne otcí ovinné oblsti dné neovnostmi y 0, + y, + y,, > 0 konst. kolem osy. ) (1+ ), b) 7 ( ), c) (4 + ), d) 7 ( + ) Vypočtěte obsh otční plochy, kteou vytvoří oblouk pboly y = 4 po při otáčení kolem osy y. ) ( ), b) ( ), c) ( ), d) ( ) Vypočtěte obsh otční plochy, kteou vytvoří oblouk křivky po t 0otcí kolem osy. t = t, y = t ), b) 9, c) 6, d) Vypočtěte obsh otční plochy, kteou vytvoří oblouk křivky = sin t, y = sin t po 0 t. ) 8, b) 16, c) 1, d) Vypočtěte obsh otční plochy, kteou vytvoří oblouk křivky tkti t = cost+ lntg, y = sint po t při otáčení kolem osy. 6 ) 4, b) 8, c) 8 ( 1 ), d). 10. Vypočtěte povch těles, jehož plášť vytvoří oblouk křivky = 4cost+ 4, y = 4sin t po 0 t otáčením kolem osy. ) 48, b) 6, c) 60, d) 54. Výsledky testu 1. );. c);. d); 4. c); 5. b); 6. b); 7. ); 8. d); 9. ); 10. c). Původce studiem Pokud jste spávně odpověděli nejméně v 8 přípdech, pokčujte dlší kpitolou. V opčném přípdě je třeb postudovt kpitolu.4 znovu

10 .4. Obsh pláště otčního těles Shnutí lekce Obsh otční plochy, kteá vznikne otcí křivky y = f( ) po b kolem osy, vypočteme podle vzthu b S = f( ) 1 + f ( ) d. Je-li křivk otující kolem osy [ ] popsán pmetickými ovnicemi = ϕ( t), y = ψ ( t) po t < α, β >, užijeme po výpočet obshu otční plochy vzth S = ψ( t) [ ϕ ( t) ] + [ ψ ( t) ] β α dt. Stejně jko u integálů po výpočet délky křivky se nám stne, že neumíme integál, kteý obshuje odmocninu, vyjádřit pomocí elementáních funkcí. V těchto přípdech nezbývá než použít nějkou přibližnou metodu. Obshy obecnějších ploch, kteé nejsou otční, lze vypočítt pomocí dvojných integálů. Podobnosti nleznete v tetu Mtemtik III