III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál"

Transkript

1 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E : +,, } ( ( + ( + d d d ( ( + ( + d d [ [ Příkld. I Řešení : I d e d (9. d. ( [ ( + + d d ( ( d d ( d ( + d d d; {[,, E :, e, } [ ( + d [ e ln [ ( + ponámk: Je-li funkce tpu f(,, g ( g ( g ( množin D je kvádr D, b c, d r, s, pk b d s f(,, d d d g ( d g ( d g ( d. D Příkld.* I sin ddd; { [,, E : sin, sin, } Řešení : I / ( sin ( sin sin d d d 8 c / r ( sin [ sin sin d d

2 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( / ( sin sin d d / [ sin (podle llisov formule vi př sin d 8 / d d d Příkld. Vpočítejte, kde je čtřstěn omeený rovinmi ( + + +,,,. Řešení : Obecnou rovnici rovin npíšeme v knonickém tvru + + I ( ( ( ( + d d d d d + ( ( (7 + ( [ d ( (7 ( d [ 7 ln 7 Příkld. Vpočítejte sin 9 d [ ( + ( + (7 d (7 d + ln 7 d d d + ln 7. cos( + d d d, kde množin je omeená plochmi,,,+. Řešení : I / / ( ( cos(+ d d d ( (sin sin d d 9 / / ( ( [ sin(+ ( sin d d d d

3 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( / u, u, [ ( sin v sin v cos d / ( sin d [ cos +sin / [ /. / sin d Vpočítejte integrál n množinách,které jsou omeen dnými plochmi: ( + + d d d, :,,,, ddd, :,,,, + d d d, :,,, [ + ( + d d d, :,,,,, d d d, :,,,+, + + [ [ [ [ 7 III.. Substituční metod pro trojný integrál Spočítejte integrál substitucí do clindrických souřdnic : r cos ϕ r sin ϕ r w J r>; ϕ< ; r + r r ϕ ϕ ϕ w w w r Příkld. Řešení : ( + d d d, {[,, E : +,, ( >} je část vnitřku rotčního prboloidu : + r w r w, : + r, r, ϕ. ( + d d d ( ( r r rdw dr dϕ ( r [w r dr dϕ 7

4 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( dϕ ( r r dr [ r r (. Vtomtopříkldějsmemohlipostupovtibepoužitíclindrických souřdnic. Mohli + jsme vjádřit přímo : potomvítvúvhuprůměttěles do rovin (, což je ře těles rovinou tj. + použítpolární souřdnice pro dvojný integrál. Ted ( ( + d d d ( + d d d + [ ( + + r cos ϕ r r sin ϕ ϕ J r Příkld. Řešení : + d d + d d d, + + ( + ( + r ( r rdrdϕ. {[,, E : + } d d + je rovnice rotční kuželové ploch s vrcholem vpočátku; je rovnice rotčního prboloidu. Obě ploch mjí společnou osu rotce, protoseprotínjí vkružnici,jejížpoloměrdostnemeesoustv: { +, Ted., +, ( (+. Úloe vhovuje řešení +. Použijeme clindrické souřdnice určíme příslušné mee : ( + d d d r ( r r dr dϕ ( ( r [ r r r r { r w r r ϕ r rdw dr dϕ (. Spočítejte integrál substitucí do sférických souřdnic : r cos ϕ cos ϑ r sin ϕ cos ϑ r sin ϑ r r>; ϕ< ; J <ϑ< ; r + + r ; r ϕ ϕ ϕ ϑ ϑ ϑ r cos ϑ 7

5 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( Příkld. + + d d d, {[,, E : + + 9,, } Řešení : / / ( ( / + + d d d r r cos ϑdr dϕ dϑ 8 8. Příkld. ( + d d d, Řešení : / / ( ( cos ϑdϑ Příkld. r ϕ ϑ / / cos ϑdϑ / dϕ {[,, E : + + 9,, } ( + d d d r dr r + r cos ϑ ϕ d d d Jdrdϕdϑ ϑ J r cos ϑ r cos ϑ r cos ϑdr dϕ dϑ cos ϑdϑ dϕ / [ r 8. d d d, { } [,, E : + +,,, 9 Řešení : Použijeme obecněné sférické souřdnice. 7 d d d r cos ϕ cos ϑ r sin ϕ cos ϑ r sin ϑ J r cos ϑ r ϕ ϑ r dr

6 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( [ r 7 ( ( [ sin ϕ r sin ϕ cos ϕ cos ϑ r cos ϑdr dϕ dϑ [. Příkld 7. Vpočítejte integrál d d d, {[,, E :,,, + b + c } Řešení : Použijeme obecněné sférické souřdnice : } r cos ϕ cos ϑ br sin ϕ cos ϑ cr sin ϑ d d d sin ϑ cos ϑdϑ J bcr cos ϑ, r ϕ ϑ ( ( c r sin ϑ bcr cos ϑdr dϕ dϑ dϕ r dr bc [ sin ϑ [ r bc 8. Vpočítejte integrál : d d d, + + {[,, E : + +,, } ddd, {[,, E :,, } ( + d d d, {[,, E : d d d, + + {[,, E : + +,,, }. ( + + d d d, {[,, E : +, }. d d d, [ ( 9 +ln [ } [ {[,, E : +,, } (Návod : clindrické souř. r cos ϕ, w, r sin ϕ [ (8 [ [ 7

7 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Aplikce trojných integrálů Příkld. Užitímvorceprovýpočetobjemutělespomocítrojného integrálu (tj. V d d d ukžte,žeobjemtělest {[,, T E : [, B E, f(, } pod grfem funkce f(,, která je spojitá n B, B je měřitelná množin v E, le spočítt pomocí dvojného integrálu f(, d d. Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrce vhledem k rovině (, proto le přímo plikovt Fubiniovu větu pro trojný integrál. ( f(, d d d Fubini [ f(, d d d d d f(, d d T B ponámk : Vhledem k lineritě integrálu le tento postup obecnit pro těles,která jsou (ve směru os omeen shor i dol ve smslu f (, f (,. Idele ( přímo plikovt Fubiniovu větu, níž dostáváme V f (, f (, d d. Vpočítejte objem těles omeeného plochmi : B B B B Příkld. + +,,,, Řešení : je část trojbokého hrnolu se ákldnou v rovině. Hrnol je shor omeený rotčním prboloidem s vrcholem [,,. B V ( d d d ( + + : + + d d d ( [ + + d ( ( + [ ( ( B (, d d ( + +d d ( +( d 7

8 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( Příkld. ( +, ( + Řešení : : ( + -rovniceprboloidu ( + -rovnicekuželovéploch ( + ( + V d d d (použijeme clindrické souřdnice r cos ϕ ( + + r w r r sin ϕ r r ϕ w r r J r ( ( r rdw r [ r r dr dϕ Příkld 7., ( [ r r w r dϕ dϕ r r(r r dr Řešení : Ploch je eliptickým prboloidem s vrcholem v bodě [,,. ( V d d d d d d ( d d + r cos ϕ r r sin ϕ ϕ J r ( + ( r r dr dϕ [ r r Příkld 8. +, + Řešení : Ploch je ohrničen rotčním prboloidem s vrcholem v počátku souřdnic rovinou,kteráprocháípočátkem. + + V d d d + + {[, E : + + } + + ( + + d d d 7

9 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( + + ( + d d [, + ( ( ( + + ( + + r cos ϕ r + r sin ϕ ϕ J r ( / ( r rdr dϕ [ r r / ( 8 Příkld 9. Určete hmotnost koule, jestliže hustot ϱ(,, je rovn čtverci vdálenosti od středu koule. Řešení : Zvolíme počátek soustv souřdnic ve středu koule. Pk koule je popsán nerovnicí + + hustotϱ(,, + +. m ϱ(,, d d d ( + + d d d r cos ϕ cos ϑ r sin ϕ cos ϑ r sin ϑ J r cos ϑ ( ( r ϕ ϑ ( ( [ r cos ϑdr dϑ dϕ sin ϑ r r cos ϑdr dϑ dϕ [ r Příkld 7. Určete hmotnost -ovou souřdnici těžiště těles omeeného rovinmi,,,+ +, je-li hustot ϱ(,,. Řešení : Hmotnost těles při ϱ se číselně rovná objemu. Těleso je čtřstěn jeho objem je roven objemu krchle o hrně. m V ϱ T M m, M ϱ(,, d d d ( ( d d d 7 ddd ( ( d d

10 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( [( d ( + d [ (( + ( d, T ( d Příkld 7. Určete těžiště těles omeeného plochmi +,, je-li hustot ϱ(,, k. Řešení : Těleso je rotční porboloid, ted je smetrické vhledem k ose, protojeho těžiště je n -ové ose, tj. T T. Těžiště T [,, T, kde T M m, m ( kddd kd d d + k + k M ( d d + r cos ϕ r r sin ϕ ϕ J r ( ( r rdr dϕ k [r r k. ( ϱdd d k d d d 8 [ + k, T,, + Příkld 7. Určete těžiště těles {[,, E : + +, }, ϱ. Řešení : Těleso je homogenní polokoule se středem v počátku [,,, poloměrem je nd půdorsnou. Těžišě leží n ose. r cos ϕ cos ϑ r sin ϕ cos ϑ r sin ϑ J r cos ϑ r dr r ϕ ϑ T [,, T, kde T M m, V, m V ϱ, M ddd dϕ sin ϑ cos ϑdϑ ( ( [ r [ ϕ r sin ϑ r cos ϑdr dϕ dϑ [ sin ϑ, T [,, 8 Příkld 7. Určete těžiště kužele se ákldnou + vrcholem v bodě [,,, je-li hustot ϱ(,, k. Řešení : Uvžovný kužel je rotční, os je jeho osou rotce. Meridiánem tohoto 77

11 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( rotčního kužele je část přímk +. Potom rovnice kuželové ploch je + T [,, T, kde T M m, m V ϱ k k. M ϱ(,, d d d kddd ( + [ + M k d d d k d d + + k ( r cos ϕ ϕ + d d r sin ϕ r k + J r ( r rdrdϕ k (r 8r + r dr k [8r 8 r + r k, T [,, Příkld 7. Určete moment setrvčnosti vhledem k bodu [,, těles { + [,, E ; }, ϱ(,, k. + Řešení : + rovnice prboloidu + + rovnice kulové ploch Ploch mjí společnou osu rotce. Bod průniku leží v rovině kolmé n osu. Rovnici rovin dostneme vřešením soustv: ( +( k k r cos ϕ r sin ϕ w J r Průnikem je kružnice + vrovině. J ( + + ϱ(,, d d d r w r r r r ( r r +r (r (r + r r, ϕ ( ( r (r + w rdw dr dϕ k r (r r + r ( r r r r7 78 dr k [r w + r w [ r r r r8 8 dr +

12 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( +k k (r r + ( r r dr k 8 r (+ r ( r dr 8 r t r t rdr dt r t k k t (+ ( t dt ( k + k t t t dt k + k [ t / ( 8 k 97 t/ ( k + k 9 +, k Příkld 7. Určete moment setrvčnosti vhledem k ose homogenního těles, {[,, E ; + }. Řešení : Homogenní kužel má konstntní hustotu, ončíme ji ϱ(,, k J ( + ϱ(,, d d d ( k ( + d d k k + + ( + ( + d d + d r cos ϕ r r sin ϕ ϕ J r ( r ( rrdr dϕ k [ r r ( k 8 k Příkld 7. Určete sttický moment M (vhledem k rovině ( těles omeeného rovinmi,,,+, h, ( >,h>, je-li hustot ϱ(,, konstntní. Řešení : Těleso je trojboký hrnol s podstvou v rovině (,. M ϱddd k ddd : h h k kh ( h( d d d k ( h ( d d k h [ Příkld 77. Určete moment setrvčnosti J (vhledem k rovině ( těles, {[,, E ; +, }, ϱ k. 79

13 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( Řešení : Těleso je rotční válec s osou rovnoběžnou s osou. ( J ϱ(,, d d d k d d d k ( + [ d d k ( + ( + d d k k Příkld 78. Vpočítejte integrál stnovte jeho možný fikální výnm: I + + d d d, {[,, E : +, }. Řešení : : + (rotční kuželová ploch + + (kulová ploch I [ r / ( ( [ sin ϑ r cos ϕ cos ϑ r sin ϕ cos ϑ r sin ϑ J r cos ϑ r r cos ϑdr dϕ dϑ ( r dr r ϕ ( ϑ cos ϑdϑ Výnm : I je celková hmot těles při hustotě ϱ(,, + +, I je sttický moment těles vhledem k bodu [,, při hustotě ϱ(,,. dϕ Příkld 79. Vpočítejte hmotnost kužele s vrcholem v počátku, s poloměrem podstv výškou h. Hustot se lineárně mění vávislostinvdálenostibodutělesodpodstv.vevrcholu je ϱ(,, ϱ(,, vkždémboděpodstv. Řešení : Zvolíme soustvu souřdnic s počátkem ve vrcholu kužele, os bude osou rotce, meridiánem bude část přímk,,. Kuželová ploch bude mít rovnici +. Uvžovné těleso píšeme pomocí nerovnic. : + + 8

14 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( Pro hustotu pltí : ϱ( k ( +k : ϱ( k + k ϱ( k k ϱ(,, ( + + m ϱ(,, d d d ( +d d d ( [ ( +d d d + + d d ( + ( 8( + + d d r cos ϕ r r sin ϕ ϕ J r [ ( 8r r rdϕ dr r r ( r Je dán množin D v E funkce f(,,. Nčrtněte množinu D jejíprůmětd do rovin. b Ověřte předpokld pro použití Fubiniov vět vpočítejte trojný integrál f(,, d d d. D c Uved te příkld možného fikálního výnmu dného integrálu. Uved te, d se jedná o hmotnost (při jké hustotě, sttický momentčimoment setrvčnosti (při jké hustotě vhledem k jkému bodu, přímce nebo rovině. 8. D {[,, E :,, }, f(,, b c m, ϱ J, ϱ 8. D {[,, E :,, },f(,, 8. D {[,, E :, }, f(,, b c m, ϱ M, ϱ M, ϱ b c m, ϱ M, ϱ J, ϱ 8

15 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( 8. D {[,, E :,, }, f(,, ( + 8. D {[,, E : + 9,,}, f(,, +, b 7 c m, ϱ ( + M, ϱ + J,ϱ [ b c m, ϱ + 8. D : + + R,, (, f(,,, R je kldná konsttnt b R c M, ϱ, nevjdřuje hmotnost protože ϱ Je dáno těleso D E omeené plochmi : Nčrtněte těleso D jehoprůmětd do rovin. b Množinu D vjádřete ve tvru elementárního oboru integrce v souř d n i c í c h, ve kterých budete objem počítt. c Vpočítejte objem tohoto těles. 8. D : +,,,, 87. D :,,,, D: +,, b c b + c 8 b r ϕ w r cos ϕ c 8

16 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( 89. D : + 9,, b w r ϕ c8 9. D :,, + b r ϕ w r cos ϕ c 9. D :, b r ϕ w r c Vpočítejte objem V těles E : 9. :,+,ln, ln [e 8 9. : +,8 [8 9. : +, : + +, + b, b 9. :( + +,,, 97. :+ +,, [ [ ( ( b [ ( Je dáno těleso D E omeené plochmi : Nčrtněte těleso D jehoprůmětd do rovin. b Při vhodné substituci vjádřete D jko elementární obor v trnsformovných souřdnicích. c Vpočítejte hmotnost těles, je-li dán hustot ϱ(,,. [ 98. D : +,,,, (, ϱ(,, b r ϕ w c 8

17 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( 99. D : +,, ϱ(,,. D : +,, ϱ(,, +. D : + +,, +, ϱ(,, k b r ϕ r w c b r ϕ r w b 8 b r, ϕ, w r, +r ck. D {[,, E ; + + 9, }, ϱ(,, + +, b r, ϕ, ψ, c Je dáno těleso D E. Nčrtněte těleso D jehoprůmětd do rovin. b Vpočítejte objem těles D. c Vpočítejte hmotnost těles D, je-li dán hustot ϱ(,,.. D {[,, E ;,, },ϱ(,, +.. D :,,+,,, ϱ(,, b V c m 9 9 b V c m 8

18 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II (. D {[,, E ; + 9}, ϱ(,, +.. D {[,, E ; + }, ϱ(,, +, b V 8 c m 7. D : +,, + +, ϱ(,, b V c m 8 8. D :,,,, ϱ(,, b V 7 c m 9 b V c m 7 9. D {[,, E ; + +, + 9}, ϱ(,, k b V ( 7 7 c m k( 7 7. D : + b +, ϱ(,, c [ b V bc c m bc Určete hmotnost m těles E :. {[,, E ;, b, c}, ϱ(,, + +. [ bc ( + b + c 8

19 E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II (. {[,, E ;,, +, }, ϱ(,, [. {[,, E ; + + 9, }, ϱ(,, + +. je koule o poloměru, jestližehustotjerovnčtvercivdálenostiodprůmě r u. (Zvolte kouli se středem v počátku souřdnic průměr ležící n ose.. je omeené plochmi o rovnicích:, + +,,, je-li ϱ(,,. [8 [ 8. je omeené plochmi o rovnicích : + +,, +, je-li ϱ(,, ( +. [ [ 9 Určete těžiště T těles E omeeného plochmi : 7. :, +,+,,,ϱ(,, k 8. : +, + +,, ϱ(,, k [ [ T,, [ [ T,, 9. : + b + c,,,(vprvnímoktntu,ϱ(,, k [ T [ 8, b 8, c 8 Určete moment setrvčnosti těles E :. : +, + vhledem k osám souřdnic, je-li ϱ(,,. [J 7, J J,. : + +, +, ( vhledem k ose, je-liϱ(,,. [ J (. rotčníhoválcespoloměrempodstv výškoub vhledem k přímce p, která se dotýká pláště válce je rovnoběžná s osou rotce. [ (Zvolte válec ( +, b, přímk p pk bude os. b. {[,, E ; + }, vhledemkose, je-lihustot ϱ(,, k [ J 7 ϱ 8

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál. E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem

Více

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34. I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

U V W xy 2 x 2 +2z 3yz

U V W xy 2 x 2 +2z 3yz E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 V.5. Gaussova-strogradského věta Má-li vektorováfunkce f (U,V,W spojitévšechn parciálníderivacevotevřenémnožině G E 3, pak skalární

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

III. Dvojný a trojný integrál

III. Dvojný a trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 III. vojný a trojný integrál III.. Eistence Necht je měřitelná v Jordanově smslu množina v E resp. E a funkce f je omezená na. Necht

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

Analytická geometrie v rovině

Analytická geometrie v rovině nltická geometrie v rovině Souřdnicová soustv v rovině Zvolme v rovině dvě nvájem kolmé přímk číselné os. růsečík O těchto přímek nveme počátek souřdnic. Vodorovnou přímku ončíme osou svislou ončíme osou

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

) (P u P v dudv, f d p na ploše Q E 3, která je orientována. x = u, y = v, z = a, (P u P v dudv = B

) (P u P v dudv, f d p na ploše Q E 3, která je orientována. x = u, y = v, z = a, (P u P v dudv = B E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II 6 V.4. Plošný integrál vektorové funkce Necht je jednoduchá hladká plocha orientovaná v bodech X jednotkovým vektorem normál n o X. Necht

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

14 Kuželosečky v základní poloze

14 Kuželosečky v základní poloze 4 Kuželosečk v zákldní poloze Následující tet 4 7 se týkjí geometrie v rovině. Až dosud jsme studovli útvr lineární (v nltickém vjádření l vžd proměnné,, z v první mocnině). Nní se udeme zývt některými

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti Určitý intgrál Dfinic vlstnosti Má-li spojitá funkc f() n otvřném intrvlu I primitivní funkci F(), pk pro čísl, I j dfinován určitý intgrál funkc f() od do vzthm [,, 7: [ F( ) = F( ) F( ) f ( ) d = (6)

Více

f(x)dx, kde a < b < c

f(x)dx, kde a < b < c URČITÝ INTEGRÁL jeho plikce Newton-Leibnizov formule f(x)=f(b) F(), kde F (x)=f(x). Vlstnosti ) ) ) 4) Substituce f(x)+ c f(x)= f(x)= f(x)= b f(g(x))g (x)= f(x)= f(x) c f(x), kde < b < c pro fsudou, =

Více

A 1. x x. 1.1 V pravoúhlé axonometrii zobrazte průměty bodu A [4, 5, 8].

A 1. x x. 1.1 V pravoúhlé axonometrii zobrazte průměty bodu A [4, 5, 8]. strana 1 1. onometrie. 1.1 V pravoúhlé aonometrii obrate průmět bodu [4, 5, 8]. 1.2 Zobrate bývající pravoúhlé průmět bodu do souřadnicových rovin. Určete souřadnice bodu, který je obraen v pravoúhlé aonometrii.

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}.

Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}. E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (206 II. Diferenciální počet funkcí více proměnných II.. Definiční obor funkce z = f(, Určete definiční obor funkcí a zakreslete jej

Více

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2. Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

Plošný integrál funkce

Plošný integrál funkce Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho

Více

9.6. Odchylky přímek a rovin

9.6. Odchylky přímek a rovin 9 Stereometrie 96 Odchylky přímek rovin Odchylku dvou přímek, dvou rovin přímky od roviny převádíme n určení velikosti úhlu dvou různoběžek Odchylk dvou přímek Odchylk dvou přímek splývjících nebo rovnoběžných

Více

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ: Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

V = π f 2 (x) dx. f(x) 1 + f 2 (x) dx. x 2 + y 2 = r 2

V = π f 2 (x) dx. f(x) 1 + f 2 (x) dx. x 2 + y 2 = r 2 Odození zorců pro ýpočet objemů porchů některých těles užitím integrálního počtu Objem rotčního těles, které znikne rotcí funkce y f(x) n interlu, b kolem osy x, lze spočítt podle zorce b V f (x) dx Porch

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Logaritmická funkce teorie

Logaritmická funkce teorie Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá

Více

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0 Příklad 1 Vypočtěte trojné integrály transformací do cylindrických souřadnic a) b) c) d), + + +,,, je omezena + =1,++=3,=0 je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + Řešení 1a,

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení .. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému

Více

Ohýbaný nosník - napětí

Ohýbaný nosník - napětí Pružnost pevnost BD0 Ohýbný nosník - npětí Teorie Prostý ohb, rovinný ohb Při prostém ohbu je průřez nmáhán ohbovým momentem otáčejícím kolem jedné z hlvních os setrvčnosti průřezu, obvkle os. oment se

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY V PŘÍKLADECH

ROTAČNÍ KVADRIKY V PŘÍKLADECH Univerzit Plckého v Olomouci Rozšíření kreditce učitelství mtemtiky učitelství deskriptivní geometrie n PřF UP v Olomouci o formu kombinovnou CZ..07/..00/8.003 ROTAČNÍ KVADRIKY V PŘÍKLADECH Mrie OŠLEJŠKOVÁ,

Více

Maturitní témata z Matematiky

Maturitní témata z Matematiky Mturitní témt z Mtemtik. Výrz jejich úprv. Lineární rovnice nerovnice, lineární rovnice s prmetrem. vdrtická rovnice nerovnice, kvdrtická rovnice s prmetrem. Rovnice nerovnice v součinovém podílovém tvru.

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ),

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), Tělesa 1/6 Tělesa 1.Mnohostěny n-boký hranol Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), hranol kosý hranol kolmý (boční stěny jsou kolmé k rovině podstavy) pravidelný

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Popis polohy tělesa. Robotika. Vladimír Smutný. Centrum strojového vnímání. České vysoké učení technické v Praze

Popis polohy tělesa. Robotika. Vladimír Smutný. Centrum strojového vnímání. České vysoké učení technické v Praze Popis poloh těles 1 2 Robotik Popis poloh těles 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Vldimír Smutný Centrum strojového vnímání České vsoké učení technické v Prze 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Více

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více

Stereometrie metrické vlastnosti

Stereometrie metrické vlastnosti Stereometrie metrické vlstnosti Odchylk dvou přímek Odchylk dvou různoběžek je velikost kždého z ostrých nebo prvých úhlů, které přímky spolu svírjí. Odchylk rovnoběžek je 0. Odchylk mimoběžných přímek

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2] ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten MONGEOVO PROMÍTÁNÍ π 1... půdorysna π 2... nárysna x... osa x (průsečnice průměten) sdružení průměten A 1... první průmět bodu A A 2... druhý průmět bodu A ZOBRAZENÍ

Více

Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11].

Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. VŠB-TU Ostrava 1 Jana Bělohlávková Konstruktivní geometrie

Více

7.5.8 Středová rovnice elipsy

7.5.8 Středová rovnice elipsy 758 Středová rovnice elips Předpokld: 750, 7507 Př : Vrchol elips leží v odech A[ ;], B [ 3;], [ ;5], [ ; 3] elips souřdnice jejích ohnisek Urči prmetr Zdné souřdnice už n první pohled vpdjí podezřele,

Více

4.2. Graf funkce více proměnných

4.2. Graf funkce více proměnných V této kapitole se soustředíme na funkce dvou proměnných. Poue v tomto případě jsme schopni graf funkcí dvou proměnných obrait. Pro funkce tří a více proměnných trácí grafické vjádření smsl. Výklad Definice

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

Matematika II: Aplikované úlohy

Matematika II: Aplikované úlohy Mtemtik II: Aplikovné úlohy Zuzn Morávková Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - plikovné úlohy Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1 (Souřdnicové výpočty) 1 ročník bklářského studi studijní progrm G studijní obor G doc Ing Jromír Procházk CSc listopd 2015 1 Geodézie 1 přednášk č7 VÝPOČET SOUŘADNIC JEDNOHO

Více

POUŽITÍ RIEMANNOVA INTEGRÁLU K VÝPOČTU MATEMATICKO-FYZIKÁLNÍCH ÚLOH

POUŽITÍ RIEMANNOVA INTEGRÁLU K VÝPOČTU MATEMATICKO-FYZIKÁLNÍCH ÚLOH JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH PEDAGOGICKÁ FAKULTA Ktedr mtemtik POUŽITÍ RIEMANNOVA INTEGRÁLU K VÝPOČTU MATEMATICKO-FYZIKÁLNÍCH ÚLOH Ondřej MAREČEK České Budějovice, duen 8 PROHLÁŠENÍ Prohlšuji,

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 8 URČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Dněček, Oldřich Dlouhý,

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejz Dohnl, CSc. IV. ákldy integrálního počtu 1 Mtemtik I. I. Lineární lgebr II. ákldy mtemtické nlýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Mtemtik I. IV. Integrální

Více

8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura:

8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: 8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: (1)Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy

Více

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky. AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna

Více

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E)

a a Posloupnost ( ) je totožná s posloupností: (A) 9 (B) 17 (C) 21 (D) 34 (E) 64 (B) (C) (E) . Když c + d + bc + bd = 68 c+ d = 4, je + b+ c+ d rovno: 9 7 34 64 4. Posloupnost ( ) =, n+ = 3 =, n+ n = 3 3 =, n+ = = 3, n+ = n + 3n + n je totožná s posloupností: n n =. n+ = 3, = n Povrch rotčního

Více

6.1 Shrnutí základních poznatků

6.1 Shrnutí základních poznatků 6.1 Shrnutí ákladních ponatků Prostorová a rovinná napjatost Prostorová napjatost v libovolném bodě tělesa je v pravoúhlé soustavě souřadnic obecně popsána 9 složkami napětí, které le uspořádat do matice

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

1. Změřte momenty setrvačnosti kvádru vzhledem k hlavním osám setrvačnosti.

1. Změřte momenty setrvačnosti kvádru vzhledem k hlavním osám setrvačnosti. 1 Pracovní úkoly 1. Změřte momenty setrvačnosti kvádru vzhledem k hlavním osám setrvačnosti.. Určete složky jednotkového vektoru ve směru zadané obecné osy rotace kvádru v souřadné soustavě dané hlavními

Více

Povrch a objem těles

Povrch a objem těles Povrch a objem těles ) Kvádr: a.b.c S =.(ab+bc+ac) ) Krychle: a S = 6.a ) Válec: π r.v S = π r.(r+v) Obecně: S podstavy. výška S =. S podstavy + S pláště Vypočtěte objem a povrch kvádru, jehož tělesová

Více

Přijímací řízení akademický rok 2014/2015 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2014/2015 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímcí řízení kemický rok 0/0 Bc. stuium Kompletní znění testových otázek mtemtik Koš Znění otázky Opověď ) Opověď ) Opověď c) Opověď ) Správná opověď. Které číslo oplníte místo otzníku? 9 7?. Které

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU

Více

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,

P R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r, P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor

Více

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Diplomová práce Aplikovaná matematika - sbírka řešených příkladů Autor diplomové práce: Eva Kutová Vedoucí diplomové práce: RNDr. Libuše

Více

3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE

3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE 3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE V této kapitole se dozvíte: jak popsat kružnici a kruh v rovině; jak určit vzájemnou polohu bodu nebo a kružnice, resp. bodu a kruhu; jakými metodami určit vzájemnou

Více

Deg2-Kvadriky. Světlana Tomiczková

Deg2-Kvadriky. Světlana Tomiczková KMA FAV ZČU Plzeň 18. března 2016 Kvadriky Rotační kvadriky singulární (vzniknou rotací singulární kuželosečky) a) rotační válcová plocha x2 + y2 = 1 a 2 a 2 b) rotační kuželová plocha x2 + y2 z2 = 0 a

Více

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n. SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n

Více

U dx+v dy = y. f = (2x+3y,5x y 4) po obvodu ABC ve směru A B C, kde A = [1,0],B = [1, 3], C = [ 3,0].

U dx+v dy = y. f = (2x+3y,5x y 4) po obvodu ABC ve směru A B C, kde A = [1,0],B = [1, 3], C = [ 3,0]. E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (6) IV.6. Greenova věta Křivkový integrál vektorového pole po uzavřené křive nazýváme irkulaí vektorového pole f po křive a zapisujeme

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROĚNNÝCH Petr Vodstrčil Jiří Bouchl Tet bl vtvořen v rámci relizce projektu temtik pro inženýr. století (reg. č. CZ..7/../7.), n kterém se společně podílel Vsoká škol báňská

Více

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2)

M A = M k1 + M k2 = 3M k1 = 2400 Nm. (2) 5.3 Řešené příkldy Příkld 1: U prutu kruhového průřezu o průměrech d d b, který je ztížen kroutícími momenty M k1 M k2 (M k2 = 2M k1 ), viz obr. 1, vypočítejte rekční účinek v uložení prutu, vyšetřete

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

Kapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku

Kapitola Křivkový integrál 1. druhu Délka oblouku x 5 x 6 x 7 x 8 pitol 3 řivkové integrály 3. řivkový integrál. druhu líčová slov: délk oblouku, délk křivky, křivkový integrál. druhu po oblouku, křivkový integrál. druhu po křivce, neorientovný křivkový

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

7.1.2 Kartézské soustavy souřadnic II

7.1.2 Kartézské soustavy souřadnic II 7..2 Kartéské soustav souřadnic II Předpoklad: 70 Zavedení kartéské soustav souřadnic minulé hodin: Kartéskou soustavou souřadnic v rovině naýváme dvojici číselných os, v rovině, pro které platí:. obě

Více

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................

Více

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA. Základní teze tuhé těleso ideální těleso, které nemůže být deformováno působením žádné (libovolně velké) vnější síly druhy pohybu tuhého tělesa a) translace (posuvný pohyb) všechny

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

Kinematika tuhého tělesa. Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb

Kinematika tuhého tělesa. Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb Kinematika tuhého tělesa Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb Úvod Tuhé těleso - definice všechny body tělesa mají stálé vzájemné vzdálenosti těleso se nedeformuje, nemění tvar počet

Více

Těžiště a moment setrvačnosti Nalezení práce polohy těžiště a momentu setrvačnosti vůči zadané ose u homogenních těles v třírozměrném prostoru.

Těžiště a moment setrvačnosti Nalezení práce polohy těžiště a momentu setrvačnosti vůči zadané ose u homogenních těles v třírozměrném prostoru. Těžiště a momet setrvačosti Naleeí práce polohy těžiště a mometu setrvačosti vůči adaé ose u homogeích těles v tříroměrém prostoru. Př. 1 Najděte těžiště a momet setrvačosti kulové vrstvy vůči rotačí ose

Více