y 2 x 2 max F(X) x 1 y 1
|
|
|
- Iva Němcová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Øe¹ení soustavy nelineárních rovnic algoritmus "postup08" Petr Byczanski Ústav geoniky AV ÈR Studentská 1768 Ostrava {Poruba Algoritmus "postup08" je urèen pro øe¹ení soustavy nelineárních rovnic splòující (A) Slo¾ky funkce F : D E n! E n F (x) = Y (1) mají spojité první parciální derivace. (B) Je zadán výchozí bod X0; o nìm¾ je pøedpokládáno, ¾e z nìj lze spojitou zmìnou pøejít do hledaného øe¹ení. Pro enumeraci spojité zmìny si zaveïme promìnnou t nabývající nezáporných hodnot. Hodnotì 0 nech» odpovídá poèáteèní bod. Øe¹ený problém lze pøeformulovat. Hledáme funkci X(t) vyhovující X(0) = x F t X(t) = Y, F (X(t)) (2) Vzhledem k neúplnosti specikace spojité zmìny v (B) je na pravé stranì (2) pou¾ito nejjednodu¹¹í mo¾ná forma zaji¹»ující postup k cíli. Fakticky nás bude z hledané funkce zajímat pouze její hodnota v okam¾iku, kdy dojde ke splnìní rovnic soustavy (1). Pøeformulovaný problém lze my¹lenì vyøe¹it jednoduchým postupem. Vyjdeme z poèáteèních hodnot t = 0; X = X0 : S innitezimálním zvìt¹ením t provedeme innitezimální zmìnu X urèenou podle x F (X) dx = (Y, F (X)) dt (3) Pokud nevyjedeme z denièního oboru a pokud nenastane det(@ x F ) = 0 ; tak buï nìkdy nastane F (X) = Y ; tehdy skonèíme, anebo budeme pokraèovat donekoneèna. Pøedkládaný algoritmus vychází z uvedeného teoretického my¹lenkového postupu. Innitezimální zmìny jsou nahrazeny koneènými zmìnami. Na zaèátku vyjdeme z bodu X = X0 : Uva¾ujme obecnì, ¾e jsme v nìjakém postupovém bodì X: Levou stranu (1) lze napsat ve tvaru F (X)+@ x F (X) 4X + :?: Kdyby platil lineární rozvoj funkce F;tj. zanedbali bychom.?., a chtìli bychom splnit (1), tak by jsme zmìnu X urèili podle x F (X) max X = Y, F (X) (4)
2 Indexem "max" je vyznaèen fakt, ¾e jde o maximální mo¾nou koneènou zmìnu. Skuteènou koneènou zmìnu musíme toti¾ zvolit tak, abychom zùstali v oblasti alespoò pøibli¾né platnosti lineárního rozvoje F X = max X 2 (0; 1 > (5) Násobek urèíme tak, aby chyba.?. nepøesáhla únosnou mez. Po pøiètení koneèné zmìny se dostaneme do dal¹ího postupového bodu. Zpøesòování { pøechody z pøedchozího do následujícího postupového bodu { ukonèíme, kdy¾ se dostateènì blízko pøiblí¾íme k po¾adovanému Y anebo kdy¾ odhalíme tendenci ke smìøování donekoneèna. Pøirozenou mírou únosnosti chyby.?. je k :?: k xf X k ¹tíhlost Hranice pøípustné odchylky mezi linearizovanou a skuteènou funkèní hodnotou je úmìrná délce pohybu. Je{li koecient ¹tíhlost vìt¹í ne¾ 1, pøevy¹uje lineární èlen rozvoje F souèet v¹ech vy¹¹ích èlenù. Tím je opodstatnìno jejich zanedbání. Hodnota v (5) vyhovující (6) nemusí být urèena zcela pøesnì. Men¹í hodnota je dokonce pøíznivìj¹í, proto¾e odpovídá men¹í chybì. Proto lze stanovit binárním pùlením. Nejprve zkusíme = 1; tj. ovìøíme platnost k F (X)+@ x F (X) max X, F (X + max X) k xf (X) max X k ¹tíhlost Pøi splnìní jsme hotovi. V opaèném pøípadì zaèneme proces pùlení. Vyjdeme z intervalu 0/vyhovuje /... 1/nevyhovuje/. Pro ka¾dou novou prostøední hodnotu ovìøíme k F (X)+@ x F (X) ( max X), F (X + max X) k xf (X) ( max X) k ¹tíhlost Pøi splnìní (8) pøejdeme na pravý podinterval, pøi nesplnìní na levý. Okam¾ikem prvního splnìní zaèneme poèítat poèet pùlení. Skonèíme jakmile dosáhneme poèet jemnost. Mnemotechnické pojmenování je dáno tím, ¾e po¾adovaným poètem platných dvojkových èíslic hodnoty vlastnì urèujeme, nakolik pøesnì (jemnì) se posuneme dále. (6) (7) (8)
3 x 2 y 2 Y max X X F(X) x 1 y 1 Krok postupu je naznaèen na obrázku. Teèkovanì je zakreslen pøesný my¹lenkový postup podle (3). Skuteèný pohyb je vyznaèen plnou èárou. Poèáteèní bod je vyznaèen køí¾kem, následující postupový bod hvìzdièkou. Obrázek je nepøesný v tom, ¾e neodpovídá koneèné pøesnosti : Naznaèené platí pro spojité v celém rozsahu h0; 1i : Ve skuteènosti se realizují pouze nìkteré z tìchto bodù. Pro jednu hodnotu odpovídající teèce je naznaèeno pøípustné okolí skuteèných funkèních hodnot, kdy je chyba.?. pova¾ována je¹tì za únosnou. Støedy pøípustných kruhových okolí se my¹lenì pohybují na teèkované úseèce, jejich polomìry vzrùstají úmìrnì vzdálenosti støedu od výchozího bodu. Obalová plocha tìchto pøípustných okolí vytváøí ku¾el; jeho ¹tíhlost dala jméno mnemotechnickému pojmenování koecientu úmìrnosti. Øídící parametr ¹tíhlost urèuje nakolik se mù¾e odchýlit skuteèný a linearizovaný prùbìh funkce. Vìt¹í hodnotì odpovídá relativnì vìt¹í pøesnost lineární aproximace. Pøibli¾ování se k cíli je zaji¹tìno, kdy¾ hodnota pøesahuje 1. Ve vìt¹inì aplikací bude asi nejvhodnìj¹í zvolit hodnotu odpovídající nejrychlej¹ímu postupu k cíli. Hrubý odhad { maximální pøiblí¾ení se k cíli v jednom kroku i v nejménì pøíznivém pøípadì { vede na hodnotu 2. Øídící parametr jemnost urèuje nakolik vyu¾ijeme mo¾nou pøípustnou délku kroku postupu. Jeho volba není kritická. Postaèuje jakákoliv intuitivnì rozumná hodnota, napø. 5. Pøed závìreènou diskusí vlastností algoritmu "postup08" si nejprve v¹imneme rozdílu oproti jiným bì¾nì u¾ívaným metodám. Zásadní odli¹ností je korektnost pou¾ití Taylorova rozvoje funkce F: Napø. v Newtonovì metodì se také pou¾ívá pouze absolutní a lineární èlen. Na jejich základì se urèí zmìna argumentu. Tato se realizuje bez ohledu na platnost pou¾itého rozvoje. Proto se té¾ nìkdy stává, ¾e tato metoda nekonverguje. Potom se umìle pøidává tlumení, realizuje se pouze zlomek zmìny argumentu. Urèení tlumícího faktoru je velmi svízelné, není ji¾ souèástí Newtonovy metody! Naproti tomu v pøedkládaném algoritmu je pou¾ití lineárního rozvoje funkce F zcela korektní. Je to zaji¹tìno tím, ¾e skuteènì realizovaná zmìna je dána vhodným násobkem, kdy se pohyb dìje je¹tì v rozsahu postaèující platnosti lineárního rozvoje.
4 Algoritmus "postup08" nahrazuje spojité pøibli¾ování se k cíli pohybem po diskrétní posloupnosti bodù. Jsou rozli¹ovány postupové a prùzkumné body. V postupových bodech jsou kromì funkèních hodnot vyèíslovány i jejich derivace. Jsou zji¹»ovány odchylky od po- ¾adované hodnoty a provádìny linearizace funkce. Naproti tomu v prùzkumných bodech jsou vyèíslovány pouze funkèní hodnoty. Odchylkou mezi tìmito skuteènými a linearizovanými hodnotami je ovìøována platnost aproximace F: Prakticky je "postup08" ekvivalentní Newtonovì metodì s optimálnì urèovaným tlumením. Hlavní nevýhodou algoritmu "postup08" je mo¾nost pøekroèení hranice det(@ x F ) = 0 : Toto je zpùsobeno diskrétnosti postupu. Nejvìt¹í výhodou algoritmu "postup08" je univerzálnost pou¾ití. Vykazuje toti¾ kvalitativnì shodné chování bez ohledu na míru nelinearity a bez ohledu na vzdálenost poèáteèního odhadu od neznámého øe¹ení. Délky jednotlivých postupových krokù se automaticky pøizpùsobují stupni nelinearity. Je rozli¹ováno vyèíslování funkèních hodnot bez a vèetnì jejích derivací. Poèet (èasovì nároèných) vyèíslování derivací je automaticky minimalizován. Pøi malé hodnotì ¹tíhlost i není sledována ¾ádná teoretická linie vedoucí k cíli. Z aktuálního bodu se v y{prostoru zaène postupovat podél úseèky míøící k cíli, po odklonu se vytvoøí dal¹í bod. Situace se bude opakovat, opìt zamíøíme k cíli, ale ji¾ podél jiné úseèky. Naproti tomu pøi velké hodnotì ¹tíhlosti se bude postup k cíli dít v y{prostoru témìø podél úseèky F (X0),,Y dané výchozím a po¾adovaným bodem. Tento postup sledující jednu teoretickou linii bude ov¹em ji¾ podstatnì pomalej¹í oproti pøedchozímu chaotickému postupu. Proto byla vytvoøena i varianta "postup01", kdy se k cíli postupuje podél úseèky F (X0),,Y : Vka¾dém postupovém kroku je nejprve pouze zmìnou X korigována chyba z pøedchozího kroku a teprve poté je dal¹í zmìnou X spolu se zmìnou t postupováno k cíli. Ve variantì "postup01t" je místo úseèky pou¾ita obecná køivka Y (t); pøièem¾ F mù¾e explicitnì záviset i na t! Pro úèely øe¹ení pøeurèených soustav (více rovnic ne¾ neznámých) byly vytvoøeny varianty "postup 08mn" a "postup01mn", v nich¾ jsou rovnice øe¹eny ve smyslu minimalizace souètu ètvercù odchylek. V¹ech pìt variant má spoleènou ústøední my¹lenku : Postup k cíli na základì dílèích linearizací v rozsahu jejich pøibli¾ných platností.
5 :14 postup08.m 01 postup08 ********** varianta... kdy v y-prostoru postupujeme postupne podel mnoha usecek aktualni_postupovy_bod -->-- pozadovany_bod reseni soustavy nelinearnich rovnic F(x)=Y postupem podel dilcich linearizaci v rozsahu jejich pribliznych platnosti predpoklady : spojitost prvnich parcialnich derivaci F vzajemna "numericka zamennost" x-ovych hodnot vzajemna "numericka zamennost" y-ovych hodnot reprezentace funkce F podprogramem FCE : f = FCE (x,par) [f,df] = FCE (x,par) x n*1 argument PAR??? individualni parametry ulohy f n*1 resp. [ ] odpovidajici funkcni hodnota df n*n resp. nic odpovidajici parcialni derivace df(i,j) == df(i)/dx(j)æ "x" mimo definicni obor function [ X... n*1 nalezene reseni / posledni postup.bod, jake... 1*1 kvalitativni informace o ukonceni, pocetv... 1*2 pocet vycisleni FCE s 1 a 2 vyst.par., prubeh...? n*? mnozina vsech postupovych bodu ] =... postup08 ( Xp... n*1 realistic. pocatecni bod v x-prostoru, py... n*1 pozadovany koncovy bod v y-prostoru, FCE... char nazev podprogramu funkce ulohy, PAR...???? individualni parametry ulohy, stop...? 1*? specifikace podminek ukonceni, stihl...? 1*1 stihlost postupu >=2 2, jemn...? 1*1 jemnost postupu >=3 5 ) preskakovane mohou byt [] mozne explicitne zadane podminky ukonceni postupu - stop (1) relativni presnost reseni v y-prostoru 0 (2) absolutni presnost reseni v y-prostoru 0 (3) pomerne zpresneni reseni v y-prostoru 0 (rezerva) (8) maximalni pripustny pocet postupovych kroku 100 global postup0_ neprazdne => monitorovani
6 :14 postup08.m 02. jake >=0...uspech <0...neuspech pricina ukonceni postupu +1 vel(f(x)-py)/vel(py) < stop(1) +2 vel(f(x)-py) < stop(2) +3 vel(f(x)-py)/vel(f(xp)-py) < stop(3) 0 vel(f(x)-py)/vel(f(xp)-py) = strojova_nula -8 vycerpan limit postupovych kroku stop(8)? postupujeme donekonecna (reseni existuje/neexistuje)? silna nelinearita -10 preruseni uzivatelem -11 smerovani mimo definicni obor nebo extremni vliv zaokrouhlovacich chyb -12 det(df) = strojova_nula nebo rozsah hodnot mimo strojove moznosti -13 chybny podprogram FCE! nesouhlas hodnot a derivaci nebo "zachyt" u bodu lokalniho extremu -20 strojove nulova vzdalenost pocatecniho a pozadovaneho bodu -21 pocatecni bod mimo definicni obor -28 pocatecni resp. koncovy bod mimo strojove moznosti...
Matematika II Limita a spojitost funkce, derivace
Matematika II Limita a spojitost funkce, derivace RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Prstencové a kruhové okolí bodu
v trojúhelníku P QC sestrojíme vý¹ky na základnu a jedno rameno, patu vý¹ky na rameno oznaèíme R a patu na základnu S
Øe¹ení 5. série IV. roèníku kategorie JUNIOR RS-IV-5-1 Pro na¹e úvahy bude vhodné upravit si na¹í rovnici do tvaru 3 jx 1 4 j+2 = 5 + 4 sin 2x: Budeme uva¾ovat o funkci na pravé stranì na¹í rovnice, tj.
Aproximace funkcí. Chceme þvzoreèekÿ. Známe: celý prùbìh funkce
Aproximace funkcí 1/13 Známe: celý prùbìh funkce Chceme þvzoreèekÿ hodnoty ve vybraných bodech, pøíp. i derivace Kvalita údajù: známe pøesnì (máme algoritmus) známe pøibli¾nì (experiment èi simulace) {
Matematika II Lineární diferenciální rovnice
Matematika II Lineární diferenciální rovnice RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Lineární diferenciální rovnice Denice
algoritmus»postup06«p e t r B y c z a n s k i Ú s t a v g e o n i k y A V
Hledání lokálního maxima funkce algoritmus»postup06«p e t r B y c z a n s k i Ú s t a v g e o n i k y A V Č R Abstrakt : Lokální maximum diferencovatelné funkce je hledáno postupnou změnou argumentu. V
Matematika II Funkce více promìnných
Matematika II Funkce více promìnných RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Euklidovský n-rozmìrný prostor Def. Euklidovským
Matematika II Extrémy funkcí více promìnných
Matematika II Extrémy funkcí více promìnných RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Parciální derivace vy¹¹ích øádù Def.
Matematika II Aplikace derivací
Matematika II Aplikace derivací RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Derivace slo¾ené funkce Vìta o derivaci slo¾ené funkce.
Teorie Pøíèné vlny se ¹íøí v napjaté strunì pøibli¾nì rychlostí. v =
24. roèník, úloha V. E... strunatci (8 bodù; prùmìr 4,80; øe¹ilo 5 studentù) Vytvoøte si zaøízení, na kterém bude moci být upevnìna struna (èi gumièka) s promìnlivou délkou tak, ¾e bude napínána stále
Rovnováha kapalina{pára u binárních systémù
Rovnováha kapalina{pára u binárních systémù 1 Pøedpoklad: 1 kapalná fáze Oznaèení: molární zlomky v kapalné fázi: x i molární zlomky v plynné fázi: y i Poèet stupòù volnosti: v = k f + 2 = 2 stav smìsi
Turnaj HALAS ligy v logických úlohách Brno
ŠRešitel Šas ody celkem Turnaj HLS ligy v logických úlohách rno Èas øešení ) Iso tykadla ) Iso tykadla ) Iso tykadla SUOKUUP.OM ) omina ) omina ) omina ) Pyramida 8) Pyramida ) Pyramida ) asy as ) asy
Matematika II Urèitý integrál
Matematika II Urèitý integrál RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Motivace Je dána funkce f(x) = 2 + x2 x 4. Urèete co
Matematika I Ètvercové matice - determinanty
Matematika I Ètvercové matice - determinanty RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Co u¾ známe? vektory - základní operace
Mistrovství akademiku CR Š v sudoku 3. kolo
ŠRešitel Body celkem ŠCas Mistrovství akademiku CR Š v sudoku. kolo Èas øešení SUDOKUCUP.COM -) Klasika x ) Vìtší x ) Klasika x ) Klasika x ) Zrcadlo ) Šipky ) Renban 0) Dvojitá diagonála ) Dvojice ) Mathdoku
Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.
Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Opakování rovnice přímky Úloha: Určete rovnici přímky procházející body A[a, f(a)] a B[b, f(b)], kde f je funkce spojitá
Viriálová stavová rovnice 1 + s.1
Viriálová stavová rovnice 1 + s.1 (Mírnì nestandardní odvození Prùmìrná energie molekul okolo vybrané molekuly (β = 1/(k B T : 0 u(r e βu(r 4πr 2 dr Energie souboru N molekul: U = f 2 k B T + N 2 2V Tlak
Matematika I Posloupnosti
Matematika I Posloupnosti RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Posloupnost Def. Nekoneènou posloupností reálných èísel
- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady
Vzorové řešení domácího úkolu na 6. 1. 1. Integrály 1 1 x2 dx, ex2 dx spočítejte přibližně následují metodou - funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte.
Numerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
Prùhledové okénko pro pøesuv šablony o 9 mm. 9mm 9mm 600 mm. Line. Spoj desek pod úhlem 90 Spoj desek pod úhlem 45. r70mm. ver. 6.
ver..0 ver..0. Popis pøípravku Úvod Šablona je urèena pro produktivní spojování postformingových desek. Její konstrukce z prùhledného plastu,jednoznaèný popis jednotlivých prvkù vyrytý pøímo do šablony,sdru
Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího
Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
Kombinatorická minimalizace
Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny
Klasická termodynamika (aneb pøehled FCH I)
Klasická termodynamika (aneb pøehled FCH I) 1/16 0. zákon 1. zákon id. plyn: pv = nrt pv κ = konst (id., ad.) id. plyn: U = U(T) }{{} Carnotùv cyklus dq T = 0 2. zákon rg, K,... lim S = 0 T 0 S, ds = dq
Řešení "stiff soustav obyčejných diferenciálních rovnic
Řešení "stiff soustav obyčejných diferenciálních rovnic Jiří Škvára Katedra fyziky, Přírodovědecká fakulta Univerzity J.E. Purkyně v Ústí n.l.. ročník, počítačové metody ve vědě a technice Abstrakt Seminární
Návod k pou ití Jednotlivé prvky pøístroje Zprovoznìní
CZ Návod k pou ití Dìkujeme Vám za Vaši dùvìru. Koupí univerzálního laseru STABILA PointerMan jste získali vysoce kvalitní a snadno ovladatelný mìøicí pøístroj, který Vám velmi ulehèí práci pøi nejrùznìjších
OPTIMALIZACE FUNKCE GENETICKÝM ALGORITMEM
KIV/PC ZS 2018/2019 VARIANTA 1 (JSi) ZADÁNÍ SEMESTRÁLNÍ PRÁCE OPTIMALIZACE FUNKCE GENETICKÝM ALGORITMEM Zadání Naprogramujte v ANSI C pøenositelnou 1 konzolovou aplikaci, která bude hledat extrém funkce
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda půlení intervalů Michal Čihák 23. října 2012 Problém hledání kořenů rovnice f(x) = 0 jeden ze základních problémů numerické matematiky zároveň i jeden
Obsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb
Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2006 Obsah
Body celkem. Øešitel BLOK 2. Vánoèní turnaj HALAS ligy v logice Praha 15. prosinec 2012
Øešitel Body celkem Vánoèní turnaj HALAS ligy v logice Praha. prosinec 0 BLK Køížky a koleèka Zrcadla Padouši a poctivci Tykadla Bludištì / Mrakodrapy Hvìzdy a mìsíce Lev a Jednorožec Nejbližší úseèka
Opakování: Standardní stav þ ÿ
Opakování: Standardní stav þ ÿ s.1 12. øíjna 215 Standardní stav þ ÿ = èistá slo¾ka ve stavu ideálního plynu za teploty soustavy T a standardního tlaku = 1 kpa, døíve 11,325 kpa. Èistá látka: Pøibli¾nì:
Urèování polohy Nokia N76-1
Nokia N76-1 2007 Nokia. V¹echna práva vyhrazena. Nokia, Nokia Connecting People, Nseries a N76 jsou ochranné známky nebo registrované ochranné známky spoleènosti Nokia Corporation. Ostatní zmiòované výrobky
Filtrace v prostorové oblasti
prostorová oblast (spatial domain) se vztahuje k obrazu samotnému - metody zpracování obrazu jsou zalo¾eny na pøímou manipulaci s pixely v obraze transformaèní oblast (transform domain) - metody zpracování
HALAS liga online. 18. a 21. kvìtna Booklet. HALAS liga HALAS. sudokualogika.cz SUDOKUCUP.COM
8. a. kvìtna Booklet 8. a. kvìtna sudoku kolo seznam úloh a obodování èas na øešení: minut A. Klasické sudoku x... body A. Klasické sudoku x... body A. Klasické sudoku 9x9...7 bodù B. Diagonální sudoku
3. Polynomy Verze 338.
3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci
Exponenciála matice a její užití. fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu
1 Tutoriál č. 3 Exponenciála matice a její užití řešení Cauchyovy úlohy pro lineární systémy užitím fundamentálních matic. Užití mocninných řad pro rovnice druhého řádu 0.1 Exponenciála matice a její užití
1.7. Mechanické kmitání
1.7. Mechanické kmitání. 1. Umět vysvětlit princip netlumeného kmitavého pohybu.. Umět srovnat periodický kmitavý pohyb s periodickým pohybem po kružnici. 3. Znát charakteristické veličiny periodického
Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího
Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
9.1. 2. Ze zadaných požadavkù navrhneme klasickou teorií pøenosovou funkci Ha (p) vzorového
9.1 Základní vlastnosti IIR filtrù byly uvedeny v odst. 7.3. Je významné, že pøi jejich návrhu mùžeme vycházet z charakteristik vzorového analogového filtru požadovaných vlastností, jehož parametry transformujeme
Hledání extrémů funkcí
Hledání extrémů funkcí Budeme se zabývat téměř výhradně hledáním minima. Přes nost nalezeného extrému Obecně není hledání extrému tak přesné jako řešení rovnic. Demonstrovat to můžeme na příkladu hledání
9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
Numerické řešení diferenciálních rovnic
Numerické řešení diferenciálních rovnic Omezení: obyčejné (nikoli parciální) diferenciální rovnice, Cauchyho počáteční úloha, pouze jedna diferenciální rovnice 1. řádu 1/1 Numerické řešení diferenciálních
1.2 Realizace èekání pomocí jednoduché programové smyèky Pøíklad 3: Chceme-li, aby dítì blikalo baterkou v co nejpøesnìjším intervalu, øekneme mu: Roz
Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího
= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,
V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.
Newtonova metoda. 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné Newtonova metoda Michal Čihák 23. října 2012 Newtonova metoda (metoda tečen) využívá myšlenku, že tečna v daném bodě grafu funkce nejlépe aproximuje graf funkce
Interpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
Numerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
Pneumatický servopohon Typ 3271
Pneumtický servopohon Typ 71 Pou ití Zdvihové pohony pro regulèní èleny urèené zvláštì k montá i n servoventily konstrukce 40,0,80 n mikroventil typu 10, jko i n servoklpky. Plochy membr n od 80 do 800
Numerická derivace a kvadratura
Numerická derivce kvdrtur 1/7 kvdrtur = výpoèet urèitého integrálu jednodimenzionální Dt prolo¾it vhodnou funkcí tu pk derivovt/integrovt. Vhodné, jsou-li dt ztí¾en chybmi. Pøíkld: Shomteov rovnice C pm(t)
11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda.
Úvod Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda. Mnoho technických problémů vede na řešení matematických úloh, které se následně převedou na úlohy řešení soustav nelineárních rovnic
Parciální diferenciální rovnice
Parciální diferenciální rovnice Obsah kurzu Co bude obsahovat... úvod do PDR odvození některých PDR klasická teorie lineárních PDR 1. a 2. řádu řešení poč. a okraj. úloh vlastnosti řešení souvislost s
Numerické metody optimalizace - úvod
Numerické metody optimalizace - úvod Petr Tichý 16. února 2015 1 Organizace přednášek a cvičení 13 přednášek a cvičení. Zápočet: úloha programování a testování úloh v Matlabu. Další informace na blogu
Nelineární rovnice. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Nelineární rovnice Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod Ohraničení kořene Hledání kořene Soustava Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Hledáme bod x, ve kterém je splněno pro zadanou funkci
10. cvičení - LS 2017
10. cvičení - LS 2017 Michal Outrata Příklad 1 Spočtěte následující itu daných posloupností: (a) (b) (c) n 3 +5n 2 n 3 6n 2 +3 n ; n 4 3n 2 6 n 4 + 3n 2 + 6; n 2 15n+2(1 n). 2(n 2) 3 2n 3 Příklad 2 Pro
ekologie Pavel Fibich rovnice rovnice Pavel Fibich Shrnutí Literatura
a diferenční - nalévárna pavel.fibich@prf.jcu.cz 27. září 2012 Obsah 1 2 3 4 5 6 7 Proč povídat o diferenciálních (δr) a diferenčních rovnicích ( R) v kurzu? δr a R jsou vhodné pro popisy vztahů a vývoje
Vaše uživatelský manuál NOKIA LD-1W http://cs.yourpdfguides.com/dref/825063
Můžete si přečíst doporučení v uživatelské příručce, technickém průvodci, nebo průvodci instalací pro NOKIA LD-1W. Zjistíte si odpovědi na všechny vaše otázky, týkající se NOKIA LD-1W v uživatelské příručce
MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
Publikování. Zaèínáme. Odesílání souborù. Publikování
Share Online 2.0 2007 Nokia. V¹echna práva vyhrazena. Nokia, Nokia Connecting People a Nseries jsou ochranné známky nebo registrované ochranné známky spoleènosti Nokia Corporation. Ostatní zmiòované výrobky
Čebyševovy aproximace
Čebyševovy aproximace Čebyševova aproximace je tzv hledání nejlepší stejnoměrné aproximace funkce v daném intervalu Hledáme funkci h x, která v intervalu a,b minimalizuje maximální absolutní hodnotu rozdílu
5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
Funkce jedné proměnné
Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf
2.2.10 Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I
Slovní úlohy vedoucí na lineární rovnice I Předpoklady: 0, 06 Pedagogická poznámka: Řešení slovních úloh představuje pro značnou část studentů nejobtížnější část matematiky Důvod je jednoduchý Po celou
Schmidt-Cassegrain. = Cassegrain + asférická korekèní deska. ohnisková rovina je vysunuta ven
Schmidt-Cassegrain = Cassegrain + asférická korekèní deska ohnisková rovina je vysunuta ven vìt¹í ohnisková vzdálenost ne¾ u Schmidtovy komory, svìtelnost je typicky f/10 SC má tøi optické prvky: M1, M2,
Brownovská (stochastická) dynamika, disipativní èásticová dynamika = MD + náhodné síly. i = 1,..., N. r i. U = i<j. u(r ij ) du(r ji ) r ji
Molekulová dynamika Síly: tuhé koule ap. { nárazy þklasickáÿ MD { integrace pohybových rovnic 1/20 Brownovská (stochastická) dynamika, disipativní èásticová dynamika = MD + náhodné síly Pøíklad: f i =
Modul Řízení objednávek. www.money.cz
Modul Řízení objednávek www.money.cz 2 Money S5 Řízení objednávek Funkce modulu Obchodní modul Money S5 Řízení objednávek slouží k uskutečnění hromadných akcí s objednávkami, které zajistí dostatečné množství
Kontrolní test Číslicová technika 1/2. 1.Převeďte číslo 87 z desítkové soustavy z= 10 do soustavy dvojkové z=2
Kontrolní test Číslicová technika 1/2 1.Převeďte číslo 87 z desítkové soustavy z= 10 do soustavy dvojkové z=2 2.převeďte do dvojkové soustavy číslo 0,87 3.Převeďte do osmičkové soustavy z= 8 číslo (92,45)
ODR metody Runge-Kutta
ODR metody Runge-Kutta Teorie (velmi stručný výběr z přednášek) Úloha s počátečními podmínkami (Cauchyova) 1 řádu Hledáme aprox řešení Y(x) soustavy obyčejných diferenciálních rovnic 1 řádu kde Y(x) =
Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)
2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h
Úlohy k pøedná¹ce NMAG 102: Lineární algebra a geometrie 2, 2016
Úlohy k øedná¹ce NMG : Lineární algebra a geometrie, Verze ze dne kvìtna Toto je seznam øímoèarých øíkladù k øedná¹ce Úlohy z tohoto seznamu je nezbytnì nutné umìt øe¹it Oakování Nech» = ; ; a = rostoru
Home Media Server. Instalace aplikace Home Media Server do poèítaèe. Správa mediálních souborù. Home Media Server
2007 Nokia. V¹echna práva vyhrazena. Nokia, Nokia Connecting People a Nseries jsou ochranné známky nebo registrované ochranné známky spoleènosti Nokia Corporation. Ostatní zmiòované výrobky a názvy spoleèností
VLASTNOSTI PARAMETRY SVÍTIDLA VÝHODY NA PØÁNÍ
PARAMETRY SVÍTIDLA Krytí optické èásti: Krytí elektrické èásti: Odolnost proti nárazu (sklo): Napájecí napìtí: El. tøída izolace: Hmotnost: TECEO 1 TECEO 2 Instalaèní výška: TECEO 1 TECEO 2 VÝHODY NA PØÁNÍ
Soutìž pro mládež v øešení sudoku a logických úloh. Praha, 13. ledna 2013. Kolo 2
Soutìž pro mládež v øešení sudoku a logických úloh Praha,. ledna Kolo. Kropki b. Had b. Obdélníky b. Mrakodrapy b. Hitori b. Magnety b. Skládaèka b. Easy as b. Spojovaèka b. Easy as b. Spojovaèka b. Ohrádka
Extrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
ÈÁST VIII - M I K R O È Á S T I CE A JEJICH CHOVÁNÍ
1 ÈÁST VIII - M I K R O È Á S T I CE A JEJICH CHOVÁNÍ 32 Základní èástice 33 Dynamika mikroèástic 34 Atom - elektronový obal 35 Atomové jádro 36 Radioaktivita 37 Molekuly TABULKA: Základní èástice Druh
Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)
Inovace studijního oboru Geotechnika Reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0009 Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Doc. RNDr.
Antonín Kamarýt Opakujeme si MATEMATIKU 3 doplnìné vydání Pøíprava k pøijímacím zkouškám na støední školy Pøíruèka má za úkol pomoci ètenáøùm pøipravit se k pøijímacím zkouškám na støední školu Pøíruèka
Obyčejné diferenciální rovnice (ODE)
Obyčejné diferenciální rovnice (ODE) Obyčejné diferenciální rovnice N tého řádu převádíme na soustavy N diferenciálních rovnic prvního řádu. V rovnici f x, y, y ', y '',, y N =gx se substituují y '=z 1,
HALAS liga online. 26. a 29. øíjna 2012 Logika Kolo 2
liga 6. a 9. øíjna 0 Logika Kolo seznam úloh a obodování èas na øešení: 90 minut. Mezi stìnami... bodù. Mezi stìnami...6 bodù. Mezi stìnami... bodù. Vnitøní mrakodrapy...0 bodù. Vnitøní mrakodrapy... bodù
y = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).
III Diferenciál funkce a tečná rovina Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = 3x 3 x y + 5xy 6x + 5y + 10, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce
Zákony hromadění chyb.
Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky
LINEÁRNÍ ALGEBRA. 1. Pøedpoklady Teorie èísel. GCD, Bezout, inverzy modulo p, gcd a Bezout pro polynomy. 2. Øe¹ení soustav lineárních rovnic I 2
LINEÁRNÍ LGER LIOR RTO JIØÍ TÙM bartokarlinmffcunicz, tumakarlinmffcunicz Toto jsou prùbì¾nì vznikající zápisky z pøedná¹ky Lineární algebra a geometrie Pokud naleznete jakoukoliv chybu, dejte nám urèitì
1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
![1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu](/thumbs/102/155926571.jpg "1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu")
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
3.1.5 Energie II. Předpoklady: 010504. Pomůcky: mosazná kulička, pingpongový míček, krabička od sirek, pružina, kolej,
3.1.5 Energie II Předpoklady: 010504 Pomůcky: mosazná kulička, pingpongový míček, krabička od sirek, pružina, kolej, Př. 1: Při pokusu s odrazem míčku se během odrazu zdá, že se energie míčku "někam ztratila".
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 28. listopadu 2017, 9:2011:20 ➊ (8 bod ) Lze nebo nelze k rozhodnutí o stejnom rné konvergence ady ( 1) n+1 x ln(n) n 6 + n 2 x 4 na intervalu
8. Sběr a zpracování technologických proměnných
8. Sběr a zpracování technologických proměnných Účel: dodat v částečně předzpracovaném a pro další použití vhodném tvaru ucelenou informaci o procesu pro následnou analyzu průběhu procesu a pro rozhodování
Stanislav Labík. Ústav fyzikální chemie V CHT Praha budova A, 3. patro u zadního vchodu, místnost
Stanislav Labík Ústav fyzikální chemie V CHT Praha budova A, 3. patro u zadního vchodu, místnost 325 labik@vscht.cz 220 444 257 http://www.vscht.cz/fch/ Výuka Letní semestr N403032 Základy fyzikální chemie
ØÍZENÉ NÁHODNÉ PROHLEDÁVÁNÍ S ALTERNUJÍCÍMI HEURISTIKAMI Josef Tvrdík Ostravská universita 1 Abstract. The paper deals with stochastic algorithms for
ØÍZENÉ NÁHODNÉ PROHLEDÁVÁNÍ S ALTERNUJÍCÍMI HEURISTIKAMI Josef Tvrdík Ostravská universita 1 Abstract. The paper deals with stochastic algorithms for global optimization over continuous space. Special
Numerická stabilita algoritmů
Numerická stabilita algoritmů Petr Tichý 9. října 2013 1 Numerická stabilita algoritmů Pravidla v konečné aritmetice Pro počítání v konečné aritmetice počítače platí určitá pravidla, která jsou důležitá
C105S. Øídicí jednotka. 6 x 0,25. 4 x 0,25. l=4 m
05S Øídicí jednotka 6 x 0,5 x 0,5 l= m 600 OBSH. Øídicí jednotka 05S...3.. Obecné...3.. Technická specifikace...3.3. hybová hlá¹ení, viz Obr. 6....3. POKYY K POU ITÍ..... astavení doby do spu¹tìní a doby
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 6. prosince 2016, 13:2015:20 ➊ (8 bod ) Vy²et ete stejnom rnou konvergenci ady na mnoºin R +. n=2 x n 1 1 4n 2 + x 2 ln 2 (n) ➋ (5 bod ) Detailn
S VELOXEM ŠETØÍTE ÈAS, PENÍZE A NERVY!
DOPLÒKOVÉ PRODUKTY VELOX STROPNÍ KONSTRUKCE Ve stavebním systému VELOX je mo né provádìt dva druhy monolitických elezobetonových (dále B) stropù. Na podbednìní se pou ívá: 1. Prefabrikovaných stropních
Numerické řešení nelineárních rovnic
Numerické řešení nelineárních rovnic Mirko Navara http://cmp.felk.cvut.cz/ navara/ Centrum strojového vnímání, katedra kybernetiky FEL ČVUT Karlovo náměstí, budova G, místnost 104a http://math.feld.cvut.cz/nemecek/nummet.html
řešeny numericky 6 Obyčejné diferenciální rovnice řešeny numericky
řešeny numericky řešeny numericky Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Na minulé přednášce jsme viděli některé klasické metody a přístupy pro řešení diferenciálních rovnic: stručně řečeno, rovnice obsahující
Interpolace pomocí splajnu
Interpolace pomocí splajnu Interpolace pomocí splajnu Připomenutí U interpolace požadujeme, aby graf aproximující funkce procházel všemi uzlovými body. Interpolační polynom aproximující funkce je polynom